Остаточная дисперсия. Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL
Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу
так как М(Х)
, 2 и
–
постоянные величины. Таким образом,
4.2.2. Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, по определению
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением его в квадрат.
Доказательство
Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:
Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:
Свойство 3. Если случайные величины Х иY независимы, то
Доказательство
. Обозначим
.
Тогдаи.
Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин
Пример 4.5.
Еслиa
иb
– постоянные,
тоD(a
Х+
b
)=
D
(a
Х)+
D
(b
)=
.
4.2.3. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия, как
характеристика разброса случайной
величины, имеет один недостаток. Если,
например, Х
– ошибка измерения имеет размерность
ММ
,
то дисперсия имеет размерность
.
Поэтому часто предпочитают пользоваться
другой характеристикой разброса –средним
квадратическим отклонением
,
которое равно корню квадратному из
дисперсии
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.
Пример 4.6. Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний
Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равнар . Выразим, как и прежде, число появления событияХ через число появления события в отдельных опытах:
Так как опыты независимы, то и связанные
с опытами случайные величины
независимы. А в силу независимости
имеем
Но каждая из случайных величин имеет закон распределения (пример 3.2)
|
| ||
и
(пример 4.4). Поэтому, по определению
дисперсии:
где q =1- p .
В итоге имеем
,
Среднее квадратическое отклонение
числа появлений события в n
независимых опытах равно
.
4.3. Моменты случайных величин
Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.
Начальным
моментом
k
Х
(
)
называется математическое ожиданиеk
-й
степени этой случайной величины.
Центральным моментом k -го порядка случайной величиныХ называется математическое ожиданиеk -ой степени соответствующей центрированной величины.
Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, так как .
Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.
4.4. Примеры нахождения законов распределения
Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.
Пример 4.7.
Составить закон распределения числа
попаданий в цель при трех выстрелах по
мишени, если вероятность попадания при
каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную
функцию F
(х)
для
полученного распределения дискретной
случайной величиныХ
и начертить
ее график. Найти математическое ожиданиеM
(X
)
,
дисперсиюD
(X
)
и среднее квадратическое отклонение
(Х
)
случайной величиныX
.
Решение
1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения:0, 1, 2, 3 . Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при:n =3,p =0,4,q =1- p =0,6 иm =0, 1, 2, 3:
Получим вероятности возможных значений Х :;
Составим искомый закон распределения случайной величины Х :
Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х . Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).
2) Если х
0,
то F
(х)
=0.
Действительно, значений, меньших нуля,
величина Х
не принимает. Следовательно, при всех
х
0
, пользуясь определениемF
(х)
,
получим F
(х)
=P
(X
<
x
)
=0
(как вероятность невозможного события).
Если 0
,
тоF
(X
)
=0,216.
Действительно, в этом случаеF
(х)
=P
(X
<
x
)
=
=P
(-
<
X
0)+
P
(0<
X
<
x
)
=0,216+0=0,216.
Если взять, например, х =0,2, тоF (0,2)=P (X <0,2) . Но вероятность событияХ <0,2 равна 0,216, так как случайная величинаХ лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно0 с вероятностью 0,216.
Если 1
,
то
Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.
Если 2
,
то рассуждая аналогично, получимF
(х)
=0,216+0,432 +
+ 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,х
=3. ТогдаF
(3)=P
(X
<3)
выражает вероятность событияX
<3 –
стрелок сделает меньше трех попаданий,
т.е. ноль, один или два. Применяя теорему
сложения вероятностей, получим указанное
значение функцииF
(х)
.
Если x
>3, тоF
(х)
=0,216+0,432+0,288+0,064=1.
Действительно, событиеX
является
достоверным и вероятность его равна
единице, аX
>3 –
невозможным. Учитывая, что
F
(х)
=P
(X
<
x
)
=P
(X
3)
+
P
(3<
X
<
x
)
,
получим указанный результат.
Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:
F
(x
)
=
график которой изображен на рис. 4.2.
3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:
М(Х) =0=1,2.
То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.
Дисперсию можно вычислить, исходя из
определения дисперсии D
(X
)=
M
(X
-
M
(X
))
или воспользоваться формулойD
(X
)=
M
(X
,
которая ведет к цели быстрее.
Напишем закон распределения случайной
величины Х
:
Найдем математическое ожидание для Х
:
М(Х
)
= 04
= 2,16.
Вычислим искомую дисперсию:
D
(X
)
=
M
(X
)
– (M
(X
))
= 2,16 – (1,2)
= 0,72.
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле
(X
)
=
= 0,848.
Интервал (M
-
;
M
+
)
= (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал
наиболее вероятных значений случайной
величиныХ
, в него попадают значения
1 и 2.
Пример 4.8.
Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х :
f
(x
)
=
1) Определить постоянный параметр a .
2) Найти интегральную функцию F (x ) .
3) Построить графики функций f (x ) иF (x ) .
4) Найти двумя способами вероятности
Р(0,5<
X
1,5)
иP
(1,5<
X
<3,5)
.
5). Найти математическое ожидание М(Х)
,
дисперсиюD
(Х)
и
среднее квадратическое отклонение
случайной величиныХ
.
Решение
1) Дифференциальная функция по свойству
f
(x
)
должна удовлетворять условию
.
Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f (x ) :
Подставляя этот результат в левую часть
равенства, получим, что а
=1. В условии
дляf
(x
)
заменим параметра
на 1:
2) Для нахождения F (x ) воспользуемся формулой
.
Если х
,
то
,
следовательно,
Если 1
то
Если x>2, то
Итак, искомая интегральная функция F (x ) имеет вид:
3) Построим графики функций f (x ) иF (x ) (рис. 4.3 и 4.4).
4) Вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал (а,
b
)
вычисляется по формуле
,
если известнафункция
f
(x
),
и по формуле P
(a
<
X
<
b
)
=
F
(b
)
–
F
(a
),
если известна
функция
F
(x
).
Найдем
по двум формулам и сравним результаты.
По условиюа=0,5;
b
=1,5;
функцияf
(X
)
задана в пункте 1). Следовательно,
искомая вероятность по формуле равна:
Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функцииF (x ) на этом интервале:
Так какF (0,5)=0.
Аналогично находим
так как F (3,5)=1.
5) Для нахождения математического
ожидания М(Х)
воспользуемся формулой
Функцияf
(x
)
задана в решении пункта 1), она равна
нулю вне интервала (1,2]:
Дисперсия
непрерывной случайной величиныD
(Х)
определяется равенством
,
или равносильным равенством
.
Для
нахожденияD
(X
)
воспользуемся последней формулой и
учтем, что все возможные значенияf
(x
)
принадлежат интервалу (1,2]:
Среднее квадратическое отклонение
=
=0,276.
Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х равен
(М-
,М+
)
= (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).
Шаги
Вычисление дисперсии выборки
-
Запишите значения выборки. В большинстве случаев статистикам доступны только выборки определенных генеральных совокупностей. Например, как правило, статистики не анализируют расходы на содержание совокупности всех автомобилей в России – они анализируют случайную выборку из нескольких тысяч автомобилей. Такая выборка поможет определить средние расходы на автомобиль, но, скорее всего, полученное значение будет далеко от реального.
- Например, проанализируем количество булочек, проданных в кафе за 6 дней, взятых в случайном порядке. Выборка имеет следующий вид: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Это выборка, а не совокупность, потому что у нас нет данных о проданных булочках за каждый день работы кафе.
- Если вам дана совокупность, а не выборка значений, перейдите к следующему разделу.
-
Запишите формулу для вычисления дисперсии выборки. Дисперсия является мерой разброса значений некоторой величины. Чем ближе значение дисперсии к нулю, тем ближе значения сгруппированы друг к другу. Работая с выборкой значений, используйте следующую формулу для вычисления дисперсии:
- s 2 {\displaystyle s^{2}} = ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ] / (n - 1)
- s 2 {\displaystyle s^{2}} – это дисперсия. Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
- x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке.
- x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть x̅, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
- x̅ – выборочное среднее (среднее значение выборки).
- n – количество значений в выборке.
-
Вычислите среднее значение выборки. Оно обозначается как x̅. Среднее значение выборки вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в выборке, а затем полученный результат разделите на количество значений в выборке.
- В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
Теперь результат разделите на количество значений в выборке (в нашем примере их 6): 84 ÷ 6 = 14.
Выборочное среднее x̅ = 14. - Выборочное среднее – это центральное значение, вокруг которого распределены значения в выборке. Если значения в выборке группируются вокруг выборочного среднего, то дисперсия мала; в противном случае дисперсия велика.
- В нашем примере сложите значения в выборке: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
-
Вычтите выборочное среднее из каждого значения в выборке. Теперь вычислите разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅, где x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в выборке. Каждый полученный результат свидетельствует о мере отклонения конкретного значения от выборочного среднего, то есть как далеко это значение находится от среднего значения выборки.
- В нашем примере:
x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3
x 2 {\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1
x 3 {\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9
x 4 {\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7
x 5 {\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5
x 6 {\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1 - Правильность полученных результатов легко проверить, так как их сумма должна равняться нулю. Это связано с определением среднего значения, так как отрицательные значения (расстояния от среднего значения до меньших значений) полностью компенсируются положительными значениями (расстояниями от среднего значения до больших значений).
- В нашем примере:
-
Как отмечалось выше, сумма разностей x i {\displaystyle x_{i}} - x̅ должна быть равна нулю. Это означает, что средняя дисперсия всегда равна нулю, что не дает никакого представления о разбросе значений некоторой величины. Для решения этой проблемы возведите в квадрат каждую разность x i {\displaystyle x_{i}} - x̅. Это приведет к тому, что вы получите только положительные числа, которые при сложении никогда не дадут 0.
- В нашем примере:
( x 1 {\displaystyle x_{1}} - x̅) 2 = 3 2 = 9 {\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}
(x 2 {\displaystyle (x_{2}} - x̅) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}
9 2 = 81
(-7) 2 = 49
(-5) 2 = 25
(-1) 2 = 1 - Вы нашли квадрат разности - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения в выборке.
- В нашем примере:
-
Вычислите сумму квадратов разностей. То есть найдите ту часть формулы, которая записывается так: ∑[( x i {\displaystyle x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} ]. Здесь знак Σ означает сумму квадратов разностей для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке. Вы уже нашли квадраты разностей (x i {\displaystyle (x_{i}} - x̅) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} в выборке; теперь просто сложите эти квадраты.
- В нашем примере: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .
-
Полученный результат разделите на n - 1, где n – количество значений в выборке. Некоторое время назад для вычисления дисперсии выборки статистики делили результат просто на n; в этом случае вы получите среднее значение квадрата дисперсии, которое идеально подходит для описания дисперсии данной выборки. Но помните, что любая выборка – это лишь небольшая часть генеральной совокупности значений. Если взять другую выборку и выполнить такие же вычисления, вы получите другой результат. Как выяснилось, деление на n - 1 (а не просто на n) дает более точную оценку дисперсии генеральной совокупности, в чем вы и заинтересованы. Деление на n – 1 стало общепринятым, поэтому оно включено в формулу для вычисления дисперсии выборки.
- В нашем примере выборка включает 6 значений, то есть n = 6.
Дисперсия выборки = s 2 = 166 6 − 1 = {\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33,2
- В нашем примере выборка включает 6 значений, то есть n = 6.
-
Отличие дисперсии от стандартного отклонения. Заметьте, что в формуле присутствует показатель степени, поэтому дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения анализируемой величины. Иногда такой величиной довольно сложно оперировать; в таких случаях пользуются стандартным отклонением, которое равно квадратному корню из дисперсии. Именно поэтому дисперсия выборки обозначается как s 2 {\displaystyle s^{2}} , а стандартное отклонение выборки – как s {\displaystyle s} .
- В нашем примере стандартное отклонение выборки: s = √33,2 = 5,76.
Вычисление дисперсии совокупности
-
Проанализируйте некоторую совокупность значений. Совокупность включает в себя все значения рассматриваемой величины. Например, если вы изучаете возраст жителей Ленинградской области, то совокупность включает возраст всех жителей этой области. В случае работы с совокупностью рекомендуется создать таблицу и внести в нее значения совокупности. Рассмотрим следующий пример:
- В некоторой комнате находятся 6 аквариумов. В каждом аквариуме обитает следующее количество рыб:
x 1 = 5 {\displaystyle x_{1}=5}
x 2 = 5 {\displaystyle x_{2}=5}
x 3 = 8 {\displaystyle x_{3}=8}
x 4 = 12 {\displaystyle x_{4}=12}
x 5 = 15 {\displaystyle x_{5}=15}
x 6 = 18 {\displaystyle x_{6}=18}
- В некоторой комнате находятся 6 аквариумов. В каждом аквариуме обитает следующее количество рыб:
-
Запишите формулу для вычисления дисперсии генеральной совокупности. Так как в совокупность входят все значения некоторой величины, то приведенная ниже формула позволяет получить точное значение дисперсии совокупности. Для того чтобы отличить дисперсию совокупности от дисперсии выборки (значение которой является лишь оценочным), статистики используют различные переменные:
- σ 2 {\displaystyle ^{2}} = (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
- σ 2 {\displaystyle ^{2}} – дисперсия совокупности (читается как «сигма в квадрате»). Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения.
- x i {\displaystyle x_{i}} – каждое значение в совокупности.
- Σ – знак суммы. То есть из каждого значения x i {\displaystyle x_{i}} нужно вычесть μ, возвести в квадрат, а затем сложить полученные результаты.
- μ – среднее значение совокупности.
- n – количество значений в генеральной совокупности.
-
Вычислите среднее значение совокупности. При работе с генеральной совокупностью ее среднее значение обозначается как μ (мю). Среднее значение совокупности вычисляется как обычное среднее арифметическое: сложите все значения в генеральной совокупности, а затем полученный результат разделите на количество значений в генеральной совокупности.
- Имейте в виду, что средние величины не всегда вычисляются как среднее арифметическое.
- В нашем примере среднее значение совокупности: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 {\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10,5
-
Вычтите среднее значение совокупности из каждого значения в генеральной совокупности. Чем ближе значение разности к нулю, тем ближе конкретное значение к среднему значению совокупности. Найдите разность между каждым значением в совокупности и ее средним значением, и вы получите первое представление о распределении значений.
- В нашем примере:
x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10,5 = -5,5
x 3 {\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10,5 = -2,5
x 4 {\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10,5 = 1,5
x 5 {\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10,5 = 4,5
x 6 {\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10,5 = 7,5
- В нашем примере:
-
Возведите в квадрат каждый полученный результат. Значения разностей будут как положительными, так и отрицательными; если нанести эти значения на числовую прямую, то они будут лежать справа и слева от среднего значения совокупности. Это не годится для вычисления дисперсии, так как положительные и отрицательные числа компенсируют друг друга. Поэтому возведите в квадрат каждую разность, чтобы получить исключительно положительные числа.
- В нашем примере:
( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} для каждого значения совокупности (от i = 1 до i = 6):
(-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} = 30,25
(-5,5) 2 {\displaystyle ^{2}} , где x n {\displaystyle x_{n}} – последнее значение в генеральной совокупности. - Для вычисления среднего значения полученных результатов нужно найти их сумму и разделить ее на n:(( x 1 {\displaystyle x_{1}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ( x 2 {\displaystyle x_{2}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} + ... + ( x n {\displaystyle x_{n}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n
- Теперь запишем приведенное объяснение с использованием переменных: (∑( x i {\displaystyle x_{i}} - μ) 2 {\displaystyle ^{2}} ) / n и получим формулу для вычисления дисперсии совокупности.
- В нашем примере:
Теория вероятности - особый раздел математики, который изучают только студенты высших учебных заведений. Вы любите расчёты и формулы? Вас не пугают перспективы знакомства с нормальным распределением, энтропией ансамбля, математическим ожиданием и дисперсией дискретной случайной величины? Тогда этот предмет вам будет очень интересен. Давайте познакомимся с несколькими важнейшими базовыми понятиями этого раздела науки.
Вспомним основы
Даже если вы помните самые простые понятия теории вероятности, не пренебрегайте первыми абзацами статьи. Дело в том, что без четкого понимания основ вы не сможете работать с формулами, рассматриваемыми далее.
Итак, происходит некоторое случайное событие, некий эксперимент. В результате производимых действий мы можем получить несколько исходов - одни из них встречаются чаще, другие - реже. Вероятность события - это отношение количества реально полученных исходов одного типа к общему числу возможных. Только зная классическое определение данного понятия, вы сможете приступить к изучению математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин.
Среднее арифметическое
Ещё в школе на уроках математики вы начинали работать со средним арифметическим. Это понятие широко используется в теории вероятности, и потому его нельзя обойти стороной. Главным для нас на данный момент является то, что мы столкнемся с ним в формулах математического ожидания и дисперсии случайной величины.
Мы имеем последовательность чисел и хотим найти среднее арифметическое. Всё, что от нас требуется - просуммировать всё имеющееся и разделить на количество элементов в последовательности. Пусть мы имеем числа от 1 до 9. Сумма элементов будет равна 45, и это значение мы разделим на 9. Ответ: - 5.
Дисперсия
Говоря научным языком, дисперсия - это средний квадрат отклонений полученных значений признака от среднего арифметического. Обозначается одна заглавной латинской буквой D. Что нужно, чтобы её рассчитать? Для каждого элемента последовательности посчитаем разность между имеющимся числом и средним арифметическим и возведем в квадрат. Значений получится ровно столько, сколько может быть исходов у рассматриваемого нами события. Далее мы суммируем всё полученное и делим на количество элементов в последовательности. Если у нас возможны пять исходов, то делим на пять.
У дисперсии есть и свойства, которые нужно запомнить, чтобы применять при решении задач. Например, при увеличении случайной величины в X раз, дисперсия увеличивается в X в квадрате раз (т. е. X*X). Она никогда не бывает меньше нуля и не зависит от сдвига значений на равное значение в большую или меньшую сторону. Кроме того, для независимых испытаний дисперсия суммы равна сумме дисперсий.
Теперь нам обязательно нужно рассмотреть примеры дисперсии дискретной случайной величины и математического ожидания.
Предположим, что мы провели 21 эксперимент и получили 7 различных исходов. Каждый из них мы наблюдали, соответственно, 1,2,2,3,4,4 и 5 раз. Чему будет равна дисперсия?
Сначала посчитаем среднее арифметическое: сумма элементов, разумеется, равна 21. Делим её на 7, получая 3. Теперь из каждого числа исходной последовательности вычтем 3, каждое значение возведем в квадрат, а результаты сложим вместе. Получится 12. Теперь нам остается разделить число на количество элементов, и, казалось бы, всё. Но есть загвоздка! Давайте её обсудим.
Зависимость от количества экспериментов
Оказывается, при расчёте дисперсии в знаменателе может стоять одно из двух чисел: либо N, либо N-1. Здесь N - это число проведенных экспериментов или число элементов в последовательности (что, по сути, одно и то же). От чего это зависит?
Если количество испытаний измеряется сотнями, то мы должны ставить в знаменатель N. Если единицами, то N-1. Границу ученые решили провести достаточно символически: на сегодняшний день она проходит по цифре 30. Если экспериментов мы провели менее 30, то делить сумму будем на N-1, а если более - то на N.
Задача
Давайте вернемся к нашему примеру решения задачи на дисперсию и математическое ожидание. Мы получили промежуточное число 12, которое нужно было разделить на N или N-1. Поскольку экспериментов мы провели 21, что меньше 30, выберем второй вариант. Итак, ответ: дисперсия равна 12 / 2 = 2.
Математическое ожидание
Перейдем ко второму понятию, которое мы обязательно должны рассмотреть данной статье. Математическое ожидание - это результат сложения всех возможных исходов, помноженных на соответствующие вероятности. Важно понимать, что полученное значение, как и результат расчёта дисперсии, получается всего один раз для целой задачи, сколько бы исходов в ней не рассматривалось.
Формула математического ожидания достаточно проста: берем исход, умножаем на его вероятность, прибавляем то же самое для второго, третьего результата и т. д. Всё, связанное с этим понятием, рассчитывается несложно. Например, сумма матожиданий равна матожиданию суммы. Для произведения актуально то же самое. Такие простые операции позволяет с собой выполнять далеко не каждая величина в теории вероятности. Давайте возьмем задачу и посчитаем значение сразу двух изученных нами понятий. Кроме того, мы отвлекались на теорию - пришло время попрактиковаться.
Ещё один пример
Мы провели 50 испытаний и получили 10 видов исходов - цифры от 0 до 9 - появляющихся в различном процентном отношении. Это, соответственно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Напомним, что для получения вероятностей требуется разделить значения в процентах на 100. Таким образом, получим 0,02; 0,1 и т.д. Представим для дисперсии случайной величины и математического ожидания пример решения задачи.
Среднее арифметическое рассчитаем по формуле, которую помним с младшей школы: 50/10 = 5.
Теперь переведем вероятности в количество исходов «в штуках», чтобы было удобнее считать. Получим 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Из каждого полученного значения вычтем среднее арифметическое, после чего каждый из полученных результатов возведем в квадрат. Посмотрите, как это сделать, на примере первого элемента: 1 - 5 = (-4). Далее: (-4) * (-4) = 16. Для остальных значений проделайте эти операции самостоятельно. Если вы всё сделали правильно, то после сложения всех вы получите 90.
Продолжим расчёт дисперсии и математического ожидания, разделив 90 на N. Почему мы выбираем N, а не N-1? Правильно, потому что количество проведенных экспериментов превышает 30. Итак: 90/10 = 9. Дисперсию мы получили. Если у вас вышло другое число, не отчаивайтесь. Скорее всего, вы допустили банальную ошибку при расчётах. Перепроверьте написанное, и наверняка всё встанет на свои места.
Наконец, вспомним формулу математического ожидания. Не будем приводить всех расчётов, напишем лишь ответ, с которым вы сможете свериться, закончив все требуемые процедуры. Матожидание будет равно 5,48. Напомним лишь, как осуществлять операции, на примере первых элементов: 0*0,02 + 1*0,1… и так далее. Как видите, мы просто умножаем значение исхода на его вероятность.
Отклонение
Ещё одно понятие, тесно связанное с дисперсией и математическим ожиданием - среднее квадратичное отклонение. Обозначается оно либо латинскими буквами sd, либо греческой строчной «сигмой». Данное понятие показывает, насколько в среднем отклоняются значения от центрального признака. Чтобы найти её значение, требуется рассчитать квадратный корень из дисперсии.
Если вы построите график нормального распределения и захотите увидеть непосредственно на нём квадратичного отклонения, это можно сделать в несколько этапов. Возьмите половину изображения слева или справа от моды (центрального значения), проведите перпендикуляр к горизонтальной оси так, чтобы площади получившихся фигур были равны. Величина отрезка между серединой распределения и получившейся проекцией на горизонтальную ось и будет представлять собой среднее квадратичное отклонение.
Программное обеспечение
Как видно из описаний формул и представленных примеров, расчеты дисперсии и математического ожидания - не самая простая процедура с арифметической точки зрения. Чтобы не тратить время, имеет смысл воспользоваться программой, используемой в высших учебных заведениях - она называется «R». В ней есть функции, позволяющие рассчитывать значения для многих понятий из статистики и теории вероятности.
Например, вы задаете вектор значений. Делается это следующим образом: vector <-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
В заключение
Дисперсия и математическое ожидание - это без которых сложно в дальнейшем что-либо рассчитать. В основном курсе лекций в вузах они рассматриваются уже в первые месяцы изучения предмета. Именно из-за непонимания этих простейших понятий и неумения их рассчитать многие студенты сразу начинают отставать по программе и позже получают плохие отметки по результатам сессии, что лишает их стипендии.
Потренируйтесь хотя бы одну неделю по полчаса в день, решая задания, схожие с представленными в данной статье. Тогда на любой контрольной по теории вероятности вы справитесь с примерами без посторонних подсказок и шпаргалок.
Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или вообще не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.
Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Подойдём к понятию математического ожидания, сначала исходя из механической интерпретации распределения дискретной случайной величины. Пусть единичная масса распределена между точками оси абсцисс x 1 , x 2 , ..., x n , причём каждая материальная точка имеет соответствующую ей массу из p 1 , p 2 , ..., p n . Требуется выбрать одну точку на оси абсцисс, характеризующую положение всей системы материальных точек, с учётом их масс. Естественно в качестве такой точки взять центр массы системы материальных точек. Это есть среднее взвешенное значение случайной величины X , в которое абсцисса каждой точки x i входит с "весом", равным соответствующей вероятности. Полученное таким образом среднее значение случайной величины X называется её математическим ожиданием.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных её значений на вероятности этих значений:
Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?
Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:
С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.
Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.
Найти ожидаемую прибыль издателя.
Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:
| Число | Прибыль x i | Вероятность p i | x i p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Всего: | 1,00 | 25000 |
Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:
.
Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2 . Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5.
Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:
.
Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величины x числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле p = 0,4 .
Подсказка: вероятность значений случайной величины найти по формуле Бернулли .
Свойства математического ожидания
Рассмотрим свойства математического ожидания.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Свойство 3. Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:
Свойство 4. Математическое ожидание произведения случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Свойство 5. Если все значения случайной величины X уменьшить (увеличить) на одно и то же число С , то её математическое ожидание уменьшится (увеличится) на то же число:
Когда нельзя ограничиваться только математическим ожиданием
В большинстве случаев только математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.
Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:
| Значение X | Вероятность |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Значение Y | Вероятность |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Математические ожидания этих величин одинаковы - равны нулю:
Однако характер распределения их различный. Случайная величина X может принимать только значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y может принимать значения, значительно отклоняющиеся от математического ожидания. Аналогичный пример: средняя заработная плата не даёт возможности судить об удельном весе высоко- и низкооплачиваемых рабочих. Иными словами, по математическому ожиданию нельзя судить о том, какие отклонения от него, хотя бы в среднем, возможны. Для этого нужно найти дисперсию случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения её от математического ожидания:
Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметическое значение квадратного корня её дисперсии:
.
Пример 5. Вычислить дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин X и Y , законы распределения которых приведены в таблицах выше.
Решение. Математические ожидания случайных величин X и Y , как было найдено выше, равны нулю. Согласно формуле дисперсии при Е (х )=Е (y )=0 получаем:
Тогда средние квадратические отклонения случайных величин X и Y составляют
.
Таким образом, при одинаковых математических ожиданиях дисперсия случайной величины X очень мала, а случайной величины Y - значительная. Это следствие различия в их распределении.
Пример 6. У инвестора есть 4 альтернативных проекта инвестиций. В таблице обобщены данные об ожидаемой прибыли в этих проектах с соответствующей вероятностью.
| Проект 1 | Проект 2 | Проект 3 | Проект 4 |
| 500, P =1 | 1000, P =0,5 | 500, P =0,5 | 500, P =0,5 |
| 0, P =0,5 | 1000, P =0,25 | 10500, P =0,25 | |
| 0, P =0,25 | 9500, P =0,25 |
Найти для каждой альтернативы математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. Покажем, как вычисляются эти величины для 3-й альтернативы:
В таблице обобщены найденные величины для всех альтернатив.
У всех альтернатив одинаковы математические ожидания. Это означает, что в долгосрочном периоде у всех - одинаковые доходы. Стандартное отклонение можно интерпретировать как единицу измерения риска - чем оно больше, тем больше риск инвестиций. Инвестор, который не желает большого риска, выберет проект 1, так как у него наименьшее стандартное отклонение (0). Если же инвестор отдаёт предпочтение риску и большим доходам в короткий период, то он выберет проект наибольшим стандартным отклонением - проект 4.
Свойства дисперсии
Приведём свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:
.
Свойство 3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины, из которого вычтен квадрат математического ожидания самой величины:
,
где 
.
Свойство 4. Дисперсия суммы (разности) случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:
Пример 7. Известно, что дискретная случайная величина X принимает лишь два значения: −3 и 7. Кроме того, известно математическое ожидание: E (X ) = 4 . Найти дисперсию дискретной случайной величины.
Решение. Обозначим через p вероятность, с которой случайная величина принимает значение x 1 = −3 . Тогда вероятностью значения x 2 = 7 будет 1 − p . Выведем уравнение для математического ожидания:
E (X ) = x 1 p + x 2 (1 − p ) = −3p + 7(1 − p ) = 4 ,
откуда получаем вероятности: p = 0,3 и 1 − p = 0,7 .
Закон распределения случайной величины:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Дисперсию данной случайной величины вычислим по формуле из свойства 3 дисперсии:
D (X ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Найти математическое ожидание случайной величины самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. Дискретная случайная величина X принимает лишь два значения. Большее из значений 3 она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной величины D (X ) = 6 . Найти математическое ожидание случайной величины.
Пример 9. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимают 3 шара. Число белых шаров среди вынутых шаров является дискретной случайной величиной X . Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности можно вычислить по правилу умножения вероятностей . Закон распределения случайной величины:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Отсюда математическое ожидание данной случайной величины:
M (X ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Дисперсия данной случайной величины:
D (X ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
Для непрерывной случайной величины механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределённой непрерывно на оси абсцисс с плотностью f (x ). В отличие от дискретной случайной величиной, у которой аргумент функции x i изменяется скачкообразно, у непрерывной случайной величины аргумент меняется непрерывно. Но математическое ожидание непрерывной случайной величины также связано с её средним значением.
Чтобы находить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины, нужно находить определённые интегралы . Если дана функция плотности непрерывной случайной величины, то она непосредственно входит в подынтегральное выражение. Если дана функция распределения вероятностей, то, дифференцируя её, нужно найти функцию плотности.
Арифметическое среднее всех возможных значений непрерывной случайной величины называется её математическим ожиданием , обозначаемым или .
Среди множества показателей, которые применяются в статистике, нужно выделить расчет дисперсии. Следует отметить, что выполнение вручную данного вычисления – довольно утомительное занятие. К счастью, в приложении Excel имеются функции, позволяющие автоматизировать процедуру расчета. Выясним алгоритм работы с этими инструментами.
Дисперсия – это показатель вариации, который представляет собой средний квадрат отклонений от математического ожидания. Таким образом, он выражает разброс чисел относительно среднего значения. Вычисление дисперсии может проводиться как по генеральной совокупности, так и по выборочной.
Способ 1: расчет по генеральной совокупности
Для расчета данного показателя в Excel по генеральной совокупности применяется функция ДИСП.Г . Синтаксис этого выражения имеет следующий вид:
ДИСП.Г(Число1;Число2;…)
Всего может быть применено от 1 до 255 аргументов. В качестве аргументов могут выступать, как числовые значения, так и ссылки на ячейки, в которых они содержатся.
Посмотрим, как вычислить это значение для диапазона с числовыми данными.
Способ 2: расчет по выборке
В отличие от вычисления значения по генеральной совокупности, в расчете по выборке в знаменателе указывается не общее количество чисел, а на одно меньше. Это делается в целях коррекции погрешности. Эксель учитывает данный нюанс в специальной функции, которая предназначена для данного вида вычисления – ДИСП.В. Её синтаксис представлен следующей формулой:
ДИСП.В(Число1;Число2;…)
Количество аргументов, как и в предыдущей функции, тоже может колебаться от 1 до 255.
Как видим, программа Эксель способна в значительной мере облегчить расчет дисперсии. Эта статистическая величина может быть рассчитана приложением, как по генеральной совокупности, так и по выборке. При этом все действия пользователя фактически сводятся только к указанию диапазона обрабатываемых чисел, а основную работу Excel делает сам. Безусловно, это сэкономит значительное количество времени пользователей.
