Формула на расчет механической работы. Механическая работа. Мощность (Зотов А.Е.)

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы.

Определение 1

Работа А, совершаемая постоянной силой F → , - это физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α , располагаемого между векторами силы F → и перемещением s → .

Данное определение рассматривается на рисунке 1 . 18 . 1 .

Формула работы записывается как,

A = F s cos α .

Работа – это скалярная величина. Это дает возможность быть положительной при (0 ° ≤ α < 90 °) , отрицательной при (90 ° < α ≤ 180 °) . Когда задается прямой угол α , тогда совершаемая сила равняется нулю. Единицы измерения работы по системе СИ - джоули (Д ж) .

Джоуль равняется работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещение 1 м по направлению действия силы.

Рисунок 1 . 18 . 1 . Работа силы F → : A = F s cos α = F s s

При проекции F s → силы F → на направление перемещения s → сила не остается постоянной, а вычисление работы для малых перемещений Δ s i суммируется и производится по формуле:

A = ∑ ∆ A i = ∑ F s i ∆ s i .

Данная сумма работы вычисляется из предела (Δ s i → 0) , после чего переходит в интеграл.

Графическое изображение работы определяют из площади криволинейной фигуры, располагаемой под графиком F s (x) рисунка 1 . 18 . 2 .

Рисунок 1 . 18 . 2 . Графическое определение работы Δ A i = F s i Δ s i .

Примером силы, зависящей от координаты, считается сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука. Чтобы произвести растяжение пружины, необходимо приложить силу F → , модуль которой пропорционален удлинению пружины. Это видно на рисунке 1 . 18 . 3 .

Рисунок 1 . 18 . 3 . Растянутая пружина. Направление внешней силы F → совпадает с направлением перемещения s → . F s = k x , где k обозначает жесткость пружины.

F → у п р = - F →

Зависимость модуля внешней силы от координат x можно изобразить на графике с помощью прямой линии.

Рисунок 1 . 18 . 4 . Зависимость модуля внешней силы от координаты при растяжении пружины.

Из выше указанного рисунка возможно нахождение работы над внешней силой правого свободного конца пружины, задействовав площадь треугольника. Формула примет вид

Данная формула применима для выражения работы, совершаемой внешней силой при сжатии пружины. Оба случая показывают, что сила упругости F → у п р равняется работе внешней силы F → , но с противоположным знаком.

Определение 2

Если на тело действует несколько сил, то формула общей работы будет выглядеть, как сумма всех работ, совершаемых над ним. Когда тело движется поступательно, точки приложения сил перемещаются одинаково, то есть общая работа всех сил будет равна работе равнодействующей приложенных сил.

Рисунок 1 . 18 . 5 . Модель механической работы.

Определение мощности

Определение 3

Мощностью называют работу силы, совершаемую в единицу времени.

Запись физической величины мощности, обозначаемой N , принимает вид отношения работы А к промежутку времени t совершаемой работы, то есть:

Определение 4

Система С И использует в качестве единицы мощности ватт (В т) , равняющийся мощности силы, которая совершает работу в 1 Д ж за время 1 с.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

1. Из курса физики 7 класса вы знаете, что если на тело действует сила и оно перемещается в направлении действия силы, то сила совершает механическую работу A , равную произведению модуля силы и модуля перемещения:

A =Fs .

Единица работы в СИ -джоуль (1 Дж ).

[A ] = [F ][s ] = 1 H 1 м = 1 Н м = 1 Дж.

За единицу работы принимают такую работу, которую совершает сила 1 Н на пути 1 м.

Из формулы следует, что механическая работа не совершается, если сила равна нулю (тело покоится или движется равномерно и прямолинейно) или перемещение равно нулю.

Предположим, что вектор силы, действующей на тело, составляет некоторый угол a с вектором перемещения (рис. 65). Так как в вертикальном направлении тело не перемещается, то проекция силы F y на ось Y работу не совершает, а проекция силы F x на ось X совершает работу, которая равна A = F x s x .

Поскольку F x = F cos a, а s x = s , то

A = Fs cos a.

Таким образом,

работа постоянной силы равна произведению модулей векторов силы и перемещения и косинуса угла между этими векторами.

2. Проанализируем полученную формулу работы.

Если угол a = 0°, то cos 0° = 1 и A = Fs . Совершенная работа положительна и ее значение максимально, если направление силы совпадает с направлением перемещения.

Если угол a = 90°, то cos 90° = 0 и A = 0. Сила не совершает работу, если она перпендикулярна направлению перемещения тела. Так, работа силы тяжести равна нулю при движении тела по горизонтальной плоскости. Нулю равна работа силы, сообщающей телу центростремительное ускорение при его равномерном движении по окружности, так как эта силав любой точке траектории перпендикулярна направлению движения тела.

Если угол a = 180°, то cos 180° = –1 и A = –Fs . Данный случай имеет место тогда, когда сила и перемещение направлены в противоположные стороны. Соответственно совершенная работа отрицательна и ее значение максимально. Отрицательную работу совершает, например, сила трения скольжения, поскольку она направлена в сторону, противоположную направлению перемещения тела.

Если угол a между векторами силы и перемещения острый, то работа положительна; если угол a тупой, то работа отрицательна.

3. Получим формулу для расчета работы силы тяжести. Пусть тело массой m свободно падает на землю из точки A , находящейся на высоте h относительно поверхности Земли, и через некоторое время оказывается в точке B (рис. 66, а ). Работа силы тяжести при этом равна

A = Fs = mgh .

В данном случае направление движения тела совпадает с направлением действу.щей на него силы, поэтому работа силы тяжести при свободном падении положительна.

Если тело движется вертикально вверх из точки B в точку A (рис. 66, б ), то его перемещение направлено в сторону, противоположную силе тяжести, и работа силы тяжести отрицательна:

A = –mgh

4. Работу силы можно вычислить, используя график зависимости силы от перемещения.

Предположим, под действием постоянной силы тяжести тело совершает перемещение. Графиком зависимости модуля силы тяжести F тяж от модуля перемещения тела s является прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 67). Найдем площадь выделенного прямоугольника. Она равна произведению двух его сторон: S = F тяж h = mgh . С другой стороны, этой же величине равна работа силы тяжестиA = mgh .

Таким образом, работа численно равна площади прямоугольника, ограниченного графиком, координатными осями и перпендикуляром, восставленным к оси абсцисс в точке h .

Рассмотрим теперь случай, когда сила, действующая на тело, прямо пропорциональна перемещению. Такой силой, как известно, является сила упругости. Ее модуль равен F упр = k Dl , где Dl - удлинение тела.

Предположим, пружину, левый конец которой закреплен, сжали (рис. 68, а ). При этом ее правый конец сместился на Dl 1 .В пружине возник сила упругости F упр 1 , направленная вправо.

Если теперь предоставить пружину самой себе, то ее правый конец переместится вправо (рис. 68, б ), удлинение пружины будет равно Dl 2 , а сила упругости F упр 2 .

Вычислим работу силы упругости при перемещении конца пружины из точкис координатой Dl 1 в точку с координатой Dl 2 . Используем для этого график зависимости F упр (Dl ) (рис. 69). Работа силы упругости численно равна площади трапеции ABCD . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, т. е. S = AD . В трапеции ABCD основания AB = F упр 2 = k Dl 2 , CD = F упр 1 = k Dl 1 , а высота AD = Dl 1 – Dl 2 . Подставим в формулу площади трапеции эти величины:

S = (Dl 1 – Dl 2) =– .

Таким образом, мы получили, что работа силы упругости равна:

A =– .

5 * . Предположим, что тело массой m перемещается из точки A в точку B (рис. 70), двигаясь сначала без трения по наклонной плоскости из точки A в точку C , а затем без трения по горизонтальной плоскости из точки C в точку B . Работа силы тяжести на участке CB равна нулю, поскольку сила тяжести перпендикулярна перемещению. При движении по наклонной плоскости работа силы тяжести равна:

A AC = F тяж l sin a. Так как l sin a = h , то A AC = Ft тяж h = mgh .

Работа силы тяжести при движении тела по траектории ACB равна A ACB = A AC + A CB = mgh + 0.

Таким образом, A ACB = mgh .

Полученный результат показывает, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории. Она зависит только от начального и конечного положений тела.

Предположим теперь, что тело движется по замкнутой траектории ABCA (см. рис. 70). При перемещении тела из точки A в точку B по траектории ACB работа силы тяжести равна A ACB = mgh . При перемещении тела из точки B в точку A сила тяжести совершает отрицательную работу, которая равна A BA = –mgh . Тогда работа силы тяжести на замкнутой траектории A = A ACB + A BA = 0.

Нулю равна и работа силы упругости на замкнутой траектории. Действительно, предположим, что недеформированную вначале пружину растянули и ее длина увеличилась на Dl . Сила упругости при этом совершила работу A 1 = . При возвращении в состояние равновесия сила упругости совершает работу A 2 = . Суммарная работа силы упругости при растяжении пружины и ее возвращении в недеформированное состояние равна нулю.

6. Работа силы тяжести и силы упругости на замкнутой траектории равна нулю.

Силы, работа которых на любой замкнутой траектории равна нулю (или не зависит от формы траектории), называют консервативными.

Силы, работа которых зависит от формы траектории, называют неконсервативными.

Неконсервативной является сила трения. Например, тело перемещается из точки 1 в точку 2 сначала по прямой 12 (рис. 71), а затем по ломаной линии 132 . На каждом участке траектории сила трения одинакова. В первом случае работа силы трения

A 12 = –F тр l 1 ,

а во втором -

A 132 = A 13 + A 32 , A 132 = –F тр l 2 – F тр l 3 .

Отсюда A 12 A 132 .

7. Из курса физики 7 класса вы знаете, что важной характеристикой устройств, которые совершают работу, является мощность .

Мощностью называют физическую величину, равную отношению работы к промежутку времени, за который она совершена:

N = .

Мощность характеризует быстроту выполнения работы.

Единица мощности в СИ - ватт (1 Вт ).

[N ] === 1 Вт.

За единицу мощности принимают такую мощность, при которой работа 1 Дж совершается за 1 с.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют работой? Какова единица работы?

2. В каком случае сила совершает отрицательную работу; положительную работу?

3. По какой формуле вычисляют работу силы тяжести; силы упругости?

5. Какие силы называют консервативными; неконсервативными?

6 * . Докажите, что работа силы тяжести и силы упругости не зависит от формы траектории.

7. Что называют мощностью? Какова единица мощности?

Задание 18

1. Мальчика массой 20 кг везут равномерно на санках, прикладывая силу 20 Н. Веревка, за которую тянут санки, составляет угол 30° с горизонтом. Чему равна работа силы упругости, возникающей в веревке, если санки переместились на 100 м?

2. Спортсмен массой 65 кг прыгает в воду с вышки, находящейся на высоте 3 м над поверхностью воды. Какую работу совершает сила тяжести, действующая на спортсмена, при его движении до поверхности воды?

3. Под действием силы упругости длина деформированной пружины жесткостью 200 Н/м уменьшилась на 4 см. Чему равна работа силы упругости?

4 * . Докажите, что работа переменной силы численно равна площади фигуры, ограниченной графиком зависимости силы от координаты и координатными осями.

5. Чему равна сила тяги двигателя автомобиля, если при постоянной скорости 108 км/ч он развивает мощность 55 кВт?

Вы знаете, что такое работа? Вне всякого сомнения. Что такое работа, знает каждый человек, при условии, что он рожден и живет на планете Земля. А что такое механическая работа?

Это понятие тоже известно большинству людей на планете, хотя некоторые отдельные личности и имеют довольно смутное представление об этом процессе. Но речь сейчас не о них. Еще меньшее число людей имеют представление, что такое механическая работа с точки зрения физики. В физике механическая работа - это не труд человека ради пропитания, это физическая величина, которая может быть совершенно никак не связана ни с человеком, ни с другим каким-нибудь живым существом. Как так? Сейчас разберемся.

Механическая работа в физике

Приведем два примера. В первом примере воды реки, столкнувшись с пропастью, шумно падают вниз в виде водопада. Второй пример - это человек, который держит на вытянутых руках тяжелый предмет, например, удерживает надломившуюся крышу над крыльцом дачного домика от падения, пока его жена и дети судорожно ищут, чем ее подпереть. В каком случае совершается механическая работа?

Определение механической работы

Практически все, не задумываясь, ответят: во втором. И будут неправы. Дело обстоит как раз наоборот. В физике механическая работа описывается следующими определениями: механическая работа совершается тогда, когда на тело действует сила, и оно движется. Механическая работа прямо пропорциональна приложенной силе и пройденному пути.

Формула механической работы

Определяется механическая работа формулой:

где A - работа,
F - сила,
s - пройденный путь.

Так что, несмотря на весь героизм уставшего держателя крыши, проделанная им работа равна нулю, а вот вода, падая под действием силы тяжести с высокого утеса, совершает самую, что ни на есть, механическую работу. То есть, если мы будем толкать тяжелый шкаф безуспешно, то проделанная нами работа с точки зрения физики будет равна нулю, несмотря на то, что мы прикладываем много сил. А вот если мы сдвинем шкаф на некоторое расстояние, то тогда мы проделаем работу, равную произведению приложенной силы на расстояние, на которое мы передвинули тело.

Единица работы - 1 Дж. Это работа, совершенная силой в 1 ньютон, по передвижению тела на расстояние в 1 м. Если направление приложенной силы совпадает с направлением движения тела, то данная сила совершает положительную работу. Пример - это когда мы толкаем какое-либо тело, и оно двигается. А в случае, когда сила приложена в противоположную движению тела сторону, например, сила трения , то данная сила совершает отрицательную работу. Если же приложенная сила никак не влияет на движение тела, то сила, совершаемая этой работой, равна нулю.

Пусть тело, на которое действует сила , проходит, двигаясь по некоторой траектории, путь s. При этом сила либо изменяет скорость тела, сообщая ему ускорение, либо компенсирует действие другой силы (или сил), противодействующей движению. Действие на пути s характеризуется величиной, которая называется работой.

Механической работой называется скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения Fs и пути s, проходимого точкой приложения силы (рис. 22):

A = Fs*s. (56)

Выражение (56) справедливо в том случае, если величина проекции силы Fs на направление перемещения (т. е. на направление скорости) остается все время неизменной. В частности, это имеет место, когда тело движется прямолинейно и постоянная по величине сила образует с направлением движения постоянный угол α. Поскольку Fs = F * cos(α), выражению (47) можно придать следующий вид:

A = F * s * cos(α).

Если – вектор перемещения, то работа вычисляется как скалярное произведение двух векторов и :

. (57)

Работа - алгебраическая величина. Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cos(α) > 0), работа положительна. Если угол α - тупой (cos(α) < 0), работа отрицательна. При α = π/2 работа равна нулю. Последнее обстоятельство особенно отчетливо показывает, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе. В обыденном понимании всякое усилие, в частности и мускульное напряжение, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, носильщик затрачивает много усилий, т. е. «совершает работу». Однако это – «физиологическая» работа. Механическая работа в этих случаях равна нулю.

Работа при перемещении под действием силы

Если величина проекции силы на направление перемещения не остается постоянной во время движения, то работа выражается в виде интеграла:

. (58)

Интеграл такого вида в математике называются криволинейным интегралом вдоль траектории S. Аргументом здесь служит векторная переменная , которая может меняться как по модулю, так и по направлению. Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора силы и вектора элементарного перемещения .

За единицу работы принимается работа, совершаемая силой, равной единице и действующей в направлении перемещения, на пути, равном единице. В СИ единицей работы является джоуль (Дж), который равен работе, совершаемой силой в 1 ньютон на пути в 1 метр:

1Дж = 1Н * 1м.

В СГС единицей работы является эрг, равный работе, совершаемой силой в 1 дину на пути в 1 сантиметр. 1Дж = 10 7 эрг.

Иногда применяется внесистемная единица килограммометр (кГ*м). Это работа, совершаемая силой в 1 кГ на пути в 1 метр. 1кГ*м = 9,81 Дж.

А что это значит?

В физике "механической работой" называют работу какой-нибудь силы (силы тяжести, упругости, трения и т.д.) над телом, в результате действия которой тело перемещается.

Часто слово "механическая" просто не пишется.
Иногда можно встретить выражение " тело совершило работу", что в принципе означает "сила, действующая на тело, совершила работу".

Я думаю - я работаю.

Я иду - я тоже работаю.

Где же здесь механическая работа?

Если под действием силы тело перемещается, то совершается механическая работа.

Говорят, что тело совершает работу.
А точнее будет так: работу совершает сила, действующая на тело.

Работа характеризует результат действия силы.

Cилы, действующие на человека совершают над ним механическую работу, а в результате действия этих сил человек перемещается.

Работа - физическая величина, равная произведению силы, действующей на тело, на путь, совершенный телом под действием силы в направлении этой силы.

А - механическая работа,
F - сила,
S - пройденный путь.

Работа совершается , если соблюдаются одновременно 2 условия: на тело действует сила и оно
перемещается в направлении действия силы.

Работа не совершается (т.е. равна 0),если:
1. Сила действует, а тело не перемещается.

Например: мы действуем с силой на камень, но не можем его сдвинуть.

2. Тело перемещается, а сила равна нулю, или все силы скомпенсированы (т.е. равнодействующая этих сил равна 0).
Например: при движении по инерции работа не совершается.
3. Направление действия силы и направление движения тела взаимно перпендикулярны.

Например: при движении поезда по горизонтали сила тяжести работу не совершает.

Работа может быть положительной и отрицательной

1. Если направление силы и направление движения тела совпадают, совершается положительная работа.

Например: сила тяжести, действуя на падающую вниз каплю воды, совершает положительную работу.

2. Если направление силы и движения тела противоположны, совершается отрицательная работа.

Например: сила тяжести, действующая на поднимающийся воздушный шарик, совершает отрицательную работу.

Если на тело действует несколько сил, то полная работа всех сил равна работе результирующей силы.

Единицы работы

В честь английского ученого Д.Джоуля единица измерения работы получила название 1 Джоуль.

В международной системе единиц (СИ):
[А] = Дж = Н м
1Дж = 1Н 1м

Механическая работа равна 1 Дж, если под действием силы в 1 Н тело перемещается на 1 м в направлении действия этой силы.

При перелете с большого пальца руки человека на указательный
комар совершает работу - 0, 000 000 000 000 000 000 000 000 001 Дж.

Сердце человека за одно сокращение совершает приблизительно 1 Дж работы, что соответствует работе, совершенной при поднятии груза массой 10 кг на высоту 1 см.

ЗА РАБОТУ, ДРУЗЬЯ!