عندما a=b=R المعادلة (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2يصف دائرة نصف قطرها R ومركزها عند النقطة O"(x_0,y_0) .

المعادلة البارامترية للقطع الناقص

المعادلة البارامترية للقطع الناقصفي نظام الإحداثيات الكنسي له النموذج

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

في الواقع، باستبدال هذه التعبيرات في المعادلة (3.49)، نصل إلى الهوية المثلثية الرئيسية \cos^2t+\sin^2t=1 .

مثال 3.20.ارسم شكلًا ناقصًا \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1في نظام الإحداثيات الكنسي أوكسي. أوجد أنصاف المحاور، البعد البؤري، الانحراف المركزي، نسبة الضغط، المعلمة البؤرية، معادلات الدليل.

حل.بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة الأساسية، نحدد أنصاف المحاور: أ=2 - محور شبه رئيسي، ب=1 - محور شبه ثانوي للقطع الناقص. نقوم ببناء المستطيل الرئيسي بأضلاعه 2a=4,~2b=2 مع مركزه عند نقطة الأصل (الشكل 3.39). بالنظر إلى تماثل القطع الناقص، فإننا ندخله في المستطيل الرئيسي. إذا لزم الأمر، حدد إحداثيات بعض نقاط القطع الناقص. على سبيل المثال، بالتعويض x=1 في معادلة القطع الناقص، نحصل على

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ رباعي y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

ولذلك، نقاط مع الإحداثيات \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\يمين)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\يمين)- تنتمي إلى القطع الناقص.

حساب نسبة الضغط ك=\فارك(ب)(أ)=\فارك(1)(2); البعد البؤري 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); الانحراف e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); المعلمة البؤرية ع=\فارك(ب^2)(أ)=\فارك(1^2)(2)=\فارك(1)(2). نحن نؤلف معادلات الدليل: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

خطوط من الدرجة الثانية.
القطع الناقص ومعادلته القانونية. دائرة

بعد دراسة مستفيضة خطوط مستقيمة في الطائرةنواصل دراسة هندسة العالم ثنائي الأبعاد. لقد تضاعفت المخاطر وأدعوك لزيارة معرض خلاب من القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ، والتي تمثل ممثلين نموذجيين خطوط الترتيب الثاني. لقد بدأت الرحلة بالفعل، وأولًا معلومات موجزة عن المعرض بأكمله في طوابق مختلفة من المتحف:

مفهوم الخط الجبري وترتيبه

يسمى الخط الموجود على المستوى جبري، إذا كان في نظام الإحداثيات التقاربيمعادلتها لها الشكل، حيث هي كثيرة الحدود تتكون من حدود الشكل (- عدد حقيقي، - أعداد صحيحة غير سالبة).

كما ترون، معادلة الخط الجبري لا تحتوي على جيب التمام، وجيب التمام، واللوغاريتمات وغيرها من العالم الوظيفي. فقط X و Y موجودان الأعداد الصحيحة غير السالبةدرجات.

ترتيب الخطيساوي الحد الأقصى لقيمة الشروط الواردة فيه.

وفقًا للنظرية المقابلة، فإن مفهوم الخط الجبري وترتيبه لا يعتمدان على الاختيار نظام الإحداثيات التقاربيلذلك، لسهولة الوجود، نفترض أن جميع الحسابات اللاحقة تتم في الإحداثيات الديكارتية.

المعادلة العامةيحتوي سطر الترتيب الثاني على النموذج حيث - الأعداد الحقيقية التعسفية (ومن المعتاد كتابتها بعامل اثنين)والمعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

إذا، يتم تبسيط المعادلة إلى وإذا كانت المعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت، فهذا هو بالضبط المعادلة العامة للخط "المسطح".، التي تمثل خط الطلب الأول.

لقد فهم الكثيرون معنى المصطلحات الجديدة، ولكن، مع ذلك، من أجل إتقان المادة بنسبة 100٪، ندخل أصابعنا في المقبس. لتحديد ترتيب السطر، تحتاج إلى التكرار جميع المصطلحاتمعادلاتها وإيجاد لكل منها مجموع الدرجاتالمتغيرات الواردة.

على سبيل المثال:

يحتوي المصطلح على "x" للقوة الأولى؛
يحتوي المصطلح على "Y" للقوة الأولى؛
لا توجد متغيرات في الحد، وبالتالي فإن مجموع قواها هو صفر.

الآن دعونا نكتشف لماذا تحدد المعادلة الخط ثانيةطلب:

يحتوي المصطلح على "x" للقوة الثانية؛
يحتوي الجمع على مجموع قوى المتغيرات: 1 + 1 = 2؛
يحتوي المصطلح على "Y" للقوة الثانية؛
جميع المصطلحات الأخرى - أقلدرجات.

الحد الأقصى للقيمة: 2

إذا أضفنا، على سبيل المثال، إلى المعادلة لدينا، فسيتم تحديد ذلك بالفعل خط الدرجة الثالثة. من الواضح أن الشكل العام لمعادلة خط الرتبة الثالثة يحتوي على "مجموعة كاملة" من الحدود، مجموع قوى المتغيرات فيها يساوي ثلاثة:
حيث أن المعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

في حالة قيامك بإضافة واحد أو أكثر من المصطلحات المناسبة التي تحتوي على ، ثم سنتحدث عنه بالفعل خطوط الترتيب الرابع، إلخ.

سيتعين علينا مواجهة الخطوط الجبرية للطلبات الثالثة والرابعة والأعلى أكثر من مرة، على وجه الخصوص، عند التعرف عليها نظام الإحداثيات القطبية.

ومع ذلك، دعونا نعود إلى المعادلة العامة ونتذكر أبسط الاختلافات المدرسية. كأمثلة، ينشأ القطع المكافئ، الذي يمكن اختزال معادلته بسهولة إلى صيغة عامة، والقطع الزائد بمعادلة مكافئة. ومع ذلك، ليس كل شيء على نحو سلس جدا ...

العيب الكبير في المعادلة العامة هو أنه ليس من الواضح دائمًا الخط الذي تحدده. حتى في أبسط الحالات، لن تدرك على الفور أن هذا مبالغة. مثل هذه التخطيطات جيدة فقط في حفلة تنكرية، لذلك يتم أخذ مشكلة نموذجية بعين الاعتبار في سياق الهندسة التحليلية جلب معادلة خط الترتيب الثاني إلى الشكل القانوني.

ما هو الشكل القانوني للمعادلة؟

هذا هو الشكل القياسي المقبول عمومًا للمعادلة، حيث يصبح واضحًا في غضون ثوانٍ ما هو الكائن الهندسي الذي تحدده. بالإضافة إلى ذلك، فإن النموذج الكنسي مناسب جدًا لحل العديد من المهام العملية. لذلك، على سبيل المثال، وفقا للمعادلة القانونية "مسطحة" على التواليأولاً، من الواضح على الفور أن هذا خط مستقيم، وثانيًا، النقطة التي تنتمي إليه ومتجه الاتجاه يمكن رؤيتهما بسهولة.

ومن الواضح أن أي خط الطلب الأولهو خط مستقيم. في الطابق الثاني، لم يعد الحارس هو الذي ينتظرنا، بل مجموعة أكثر تنوعًا مكونة من تسعة تماثيل:

تصنيف خطوط الدرجة الثانية

باستخدام مجموعة خاصة من الإجراءات، يتم اختزال أي معادلة لخط من الدرجة الثانية إلى أحد الأشكال التالية:

(وهي أرقام حقيقية موجبة)

1) - المعادلة القانونية للقطع الناقص؛

2) – المعادلة القانونية للقطع الزائد؛

3) - المعادلة الأساسية للقطع المكافئ؛

4) – خياليالشكل البيضاوي؛

5) – زوج من الخطوط المتقاطعة؛

6) – زوج خياليالخطوط المتقاطعة (مع نقطة تقاطع صالحة واحدة عند الأصل)؛

7) – زوج من الخطوط المتوازية.

8) – زوج خياليخطوط متوازية؛

9) – زوج من الخطوط المتطابقة.

قد يكون لدى بعض القراء انطباع بأن القائمة غير مكتملة. على سبيل المثال، في النقطة رقم 7، تحدد المعادلة الزوج مباشرالموازية للمحور، والسؤال الذي يطرح نفسه: أين هي المعادلة التي تحدد المستقيمات الموازية للمحور الإحداثي؟ الإجابة عليه لا يعتبر الكنسي. تمثل الخطوط المستقيمة نفس الحالة القياسية، مدورة بمقدار 90 درجة، والإدخال الإضافي في التصنيف زائد عن الحاجة، لأنه لا يجلب أي شيء جديد بشكل أساسي.

وبالتالي، هناك تسعة وتسعة أنواع مختلفة فقط من خطوط الرتبة الثانية، ولكن من الناحية العملية الأكثر شيوعًا هي القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

دعونا ننظر إلى القطع الناقص أولا. كالعادة، أركز على تلك النقاط التي لها أهمية كبيرة في حل المشكلات، وإذا كنت بحاجة إلى اشتقاق مفصل للصيغ، وأدلة النظريات، فيرجى الرجوع، على سبيل المثال، إلى الكتاب المدرسي لبازليف/أتاناسيان أو ألكساندروف.

القطع الناقص ومعادلته القانونية

تهجئة... من فضلك لا تكرر أخطاء بعض مستخدمي ياندكس المهتمين بـ "كيفية بناء القطع الناقص"، "الفرق بين القطع الناقص والبيضاوي" و"غرابة الشكل البيضاوي".

المعادلة الأساسية للقطع الناقص لها الشكل، حيث توجد أرقام حقيقية موجبة، و. سأقوم بصياغة تعريف القطع الناقص في وقت لاحق، ولكن الآن حان الوقت لأخذ استراحة من متجر الحديث وحل مشكلة شائعة:

كيفية بناء القطع الناقص؟

نعم، فقط خذها وارسمها فقط. تحدث المهمة بشكل متكرر، ولا يتعامل جزء كبير من الطلاب مع الرسم بشكل صحيح:

مثال 1

أنشئ القطع الناقص الذي تعطيه المعادلة

حل: أولاً، لنحول المعادلة إلى الصيغة الأساسية:

لماذا جلب؟ إحدى مزايا المعادلة الأساسية هي أنها تسمح لك بالتحديد الفوري رؤوس القطع الناقصوالتي تقع في نقاط. من السهل أن نرى أن إحداثيات كل نقطة من هذه النقاط تحقق المعادلة.

في هذه الحالة :


القطعة المستقيمةمُسَمًّى المحور الرئيسيالشكل البيضاوي؛
القطعة المستقيمة – محور صغير;
رقم مُسَمًّى رمح شبه رئيسيالشكل البيضاوي؛
رقم – محور صغير.
في مثالنا: .

لتتخيل بسرعة كيف يبدو شكل قطع ناقص معين، ما عليك سوى إلقاء نظرة على قيمتي "a" و"be" في معادلته الأساسية.

كل شيء على ما يرام وسلس وجميل، ولكن هناك تحذير واحد: لقد قمت بالرسم باستخدام البرنامج. ويمكنك الرسم باستخدام أي تطبيق. ومع ذلك، في الواقع القاسي، هناك قطعة من الورق ذات مربعات على الطاولة، والفئران ترقص في دوائر على أيدينا. بالطبع، يمكن للأشخاص ذوي المواهب الفنية أن يجادلوا، ولكن لديك أيضًا فئران (على الرغم من أنها أصغر حجمًا). ليس عبثًا أن اخترعت البشرية المسطرة والبوصلة والمنقلة وغيرها من الأجهزة البسيطة للرسم.

لهذا السبب، من غير المرجح أن نكون قادرين على رسم قطع ناقص بدقة بمعرفة القمم فقط. لا بأس إذا كان القطع الناقص صغيرًا، على سبيل المثال، مع أنصاف محاور. بدلا من ذلك، يمكنك تقليل الحجم، وبالتالي، أبعاد الرسم. ولكن بشكل عام، من المرغوب فيه للغاية العثور على نقاط إضافية.

هناك طريقتان لبناء القطع الناقص - هندسية وجبرية. لا أحب البناء باستخدام البوصلة والمسطرة لأن الخوارزمية ليست الأقصر والرسم مزدحم بشكل كبير. في حالة الطوارئ، يرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي، ولكن في الواقع يكون استخدام أدوات الجبر أكثر عقلانية. من معادلة القطع الناقص في المسودة نعبر بسرعة عن:

ثم تنقسم المعادلة إلى دالتين:
- يحدد القوس العلوي للقطع الناقص؛
- يحدد القوس السفلي للقطع الناقص.

القطع الناقص الذي تحدده المعادلة القانونية هو متماثل بالنسبة إلى محاور الإحداثيات، وكذلك بالنسبة إلى الأصل. وهذا أمر رائع - فالتماثل دائمًا ما يكون نذيرًا بالهدايا المجانية. من الواضح أنه يكفي التعامل مع الربع الإحداثي الأول، لذلك نحن بحاجة إلى الوظيفة . فإنه يطرح أن يتم العثور على نقاط إضافية مع الإحداثيات . دعونا نضغط على ثلاث رسائل SMS على الآلة الحاسبة:

بالطبع، من الجيد أيضًا أنه إذا تم ارتكاب خطأ جسيم في الحسابات، فسوف يصبح واضحًا على الفور أثناء البناء.

لنضع علامة على النقاط الموجودة على الرسم (الأحمر)، والنقاط المتماثلة على الأقواس المتبقية (الأزرق) ونربط الشركة بأكملها بعناية بخط:


من الأفضل رسم المخطط الأولي بشكل رقيق جدًا، وبعد ذلك فقط قم بالضغط باستخدام قلم رصاص. يجب أن تكون النتيجة قطعًا ناقصًا لائقًا تمامًا. بالمناسبة، هل تريد أن تعرف ما هو هذا المنحنى؟

تعريف القطع الناقص. بؤر القطع الناقص وغرابة الأطوار القطع الناقص

القطع الناقص هو حالة خاصة من الشكل البيضاوي. لا ينبغي فهم كلمة "بيضاوي" بالمعنى التافه ("رسم الطفل شكلًا بيضاويًا" وما إلى ذلك). هذا مصطلح رياضي له صياغة مفصلة. الغرض من هذا الدرس ليس النظر في نظرية الأشكال البيضاوية وأنواعها المختلفة، والتي لم يتم الاهتمام بها عمليا في الدورة القياسية للهندسة التحليلية. ووفقًا للاحتياجات الأكثر حداثة، ننتقل فورًا إلى التعريف الصارم للقطع الناقص:

الشكل البيضاويهي مجموعة جميع نقاط المستوى، ويطلق عليها مجموع المسافات إلى كل منها من نقطتين محددتين الخدعالقطع الناقص، هو كمية ثابتة، تساوي عدديا طول المحور الرئيسي لهذا القطع الناقص: .
وفي هذه الحالة تكون المسافات بين البؤر أقل من هذه القيمة: .

الآن سوف يصبح كل شيء أكثر وضوحا:

تخيل أن النقطة الزرقاء "تنتقل" على طول القطع الناقص. لذلك، بغض النظر عن نقطة القطع الناقص التي نأخذها، فإن مجموع أطوال القطع سيكون دائمًا هو نفسه:

دعونا نتأكد من أن قيمة المجموع في مثالنا تساوي ثمانية. ضع النقطة "أم" ذهنيًا في الرأس الأيمن للقطع الناقص، ثم: وهو ما يجب التحقق منه.

طريقة أخرى للرسم تعتمد على تعريف القطع الناقص. في بعض الأحيان تكون الرياضيات العليا هي سبب التوتر والإجهاد، لذا فقد حان الوقت لإجراء جلسة تفريغ أخرى. يرجى أخذ ورق Whatman أو ورقة كبيرة من الورق المقوى وتثبيتها على الطاولة بمسامير. ستكون هذه حيلًا. اربطي خيطًا أخضر برؤوس الظفر البارزة واسحبيه بالكامل بقلم رصاص. سينتهي قلم الرصاص عند نقطة معينة تنتمي إلى الشكل الناقص. ابدأ الآن بتحريك قلم الرصاص على طول قطعة الورق، مع إبقاء الخيط الأخضر مشدودًا. استمر في العملية حتى تعود إلى نقطة البداية...رائع...يمكن مراجعة الرسم عند الطبيب والمعلم =)

كيفية العثور على بؤرة القطع الناقص؟

في المثال أعلاه قمت بتصوير نقاط التركيز “الجاهزة”، والآن سنتعلم كيفية استخراجها من أعماق الهندسة.

إذا تم إعطاء شكل بيضاوي بواسطة معادلة قانونية، فإن بؤرته لها إحداثيات ، أين هي المسافة من كل بؤرة إلى مركز تناظر القطع الناقص.

الحسابات أبسط من البساطة:

! لا يمكن تحديد الإحداثيات المحددة للبؤر بمعنى "tse"!وأكرر أن هذا هو المسافة من كل التركيز إلى المركز(والذي في الحالة العامة لا يجب أن يكون موجودًا بالضبط في الأصل).
وبالتالي، لا يمكن أيضًا ربط المسافة بين البؤرتين بالموضع القانوني للقطع الناقص. بمعنى آخر، يمكن نقل الشكل الناقص إلى مكان آخر وستبقى قيمته دون تغيير، بينما ستغير البؤر إحداثياتها بشكل طبيعي. يرجى أخذ ذلك في الاعتبار أثناء استكشاف الموضوع بشكل أكبر.

القطع الناقص الانحراف ومعناها الهندسي

إن انحراف الشكل البيضاوي هو النسبة التي يمكن أن تأخذ قيمًا ضمن النطاق.

في حالتنا هذه:

دعونا نكتشف كيف يعتمد شكل القطع الناقص على انحرافه. لهذا إصلاح القمم اليسرى واليمنىللقطع الناقص قيد النظر، أي أن قيمة المحور شبه الرئيسي ستبقى ثابتة. ثم صيغة الانحراف سوف تأخذ الشكل: .

لنبدأ بتقريب قيمة الانحراف إلى الوحدة. هذا ممكن فقط إذا . ماذا يعني ذلك؟ ...تذكر الحيل . وهذا يعني أن بؤر القطع الناقص سوف "تتحرك بعيدًا" على طول محور الإحداثي السيني إلى القمم الجانبية. وبما أن "الشرائح الخضراء ليست مطاطية"، فإن القطع الناقص سيبدأ حتما في التسطيح، ويتحول إلى نقانق أرق وأرق، معلقة على المحور.

هكذا، كلما كانت قيمة انحراف القطع الناقص أقرب إلى الوحدة، كلما كان القطع الناقص أكثر استطالة.

الآن دعونا نمثل العملية المعاكسة: بؤرة القطع الناقص ساروا نحو بعضهم البعض، يقتربون من المركز. وهذا يعني أن قيمة "ce" تصبح أقل فأقل، وبالتالي يميل الانحراف إلى الصفر: .
في هذه الحالة، على العكس من ذلك، فإن "القطاعات الخضراء" سوف "تزدحم" وستبدأ في "دفع" خط القطع الناقص لأعلى ولأسفل.

هكذا، كلما كانت قيمة الانحراف أقرب إلى الصفر، كلما كان القطع الناقص أكثر تشابهًا... انظر إلى الحالة المقيدة عندما يتم جمع البؤر بنجاح في الأصل:

الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص

وبالفعل، في حالة تساوي أنصاف المحاور، تأخذ المعادلة القانونية للقطع الناقص الشكل، والتي تتحول بشكل انعكاسي إلى معادلة دائرة مركزها عند أصل نصف القطر "أ"، المعروفة من المدرسة.

في الممارسة العملية، يتم استخدام التدوين بالحرف "الناطق" "er" في أغلب الأحيان: . نصف القطر هو طول القطعة، مع إزالة كل نقطة من الدائرة من المركز بمسافة نصف قطرها.

لاحظ أن تعريف القطع الناقص يظل صحيحًا تمامًا: البؤرتان متطابقتان، ومجموع أطوال القطع المتطابقة لكل نقطة على الدائرة ثابت. وبما أن المسافة بين البؤرتين هي إذن الانحراف المركزي لأي دائرة هو صفر.

إن إنشاء دائرة أمر سهل وسريع، فقط استخدم البوصلة. ومع ذلك، في بعض الأحيان يكون من الضروري معرفة إحداثيات بعض نقاطها، في هذه الحالة نسير بالطريقة المألوفة - نأتي بالمعادلة إلى صيغة ماتانوف المبهجة:

- وظيفة نصف الدائرة العلوي؛
- وظيفة نصف الدائرة السفلية.

ومن ثم نجد القيم المطلوبة يميز, دمجوالقيام بأشياء جيدة أخرى.

المقال بالطبع للإشارة فقط، لكن كيف يمكنك العيش في العالم بدون حب؟ مهمة إبداعية لحل مستقل

مثال 2

قم بتكوين المعادلة القانونية للقطع الناقص إذا كانت إحدى بؤرته ومحوره شبه الأصغر معروفة (المركز عند نقطة الأصل). ابحث عن القمم والنقاط الإضافية وارسم خطًا في الرسم. حساب الانحراف.

الحل والرسم في نهاية الدرس

دعونا نضيف الإجراء:

تدوير وبالتوازي ترجمة القطع الناقص

دعنا نعود إلى المعادلة القانونية للقطع الناقص، أي إلى الحالة التي عذب سرها العقول الفضولية منذ أول ذكر لهذا المنحنى. لذلك نظرنا إلى القطع الناقص ولكن أليس من الممكن عمليا تحقيق المعادلة ؟ بعد كل شيء، يبدو هنا أنه شكل بيضاوي أيضًا!

هذا النوع من المعادلات نادر، لكنه موجود. وهو في الواقع يحدد الشكل الناقص. دعونا نزيل الغموض:

نتيجة للبناء، تم الحصول على القطع الناقص الأصلي لدينا، بتدوير 90 درجة. إنه، - هذا دخول غير قانونيالشكل البيضاوي . سِجِلّ!- المعادلة لا يحدد أي قطع ناقص آخر، حيث لا توجد نقاط (بؤر) على المحور تلبي تعريف القطع الناقص.

القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، وهو مجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين محددتين F_1، وF_2 هي قيمة ثابتة (2a)، أكبر من المسافة (2c) بين هاتين النقطتين المعطاتين (الشكل 3.36، أ). ويعبر هذا التعريف الهندسي الخاصية البؤرية للقطع الناقص.

الخاصية البؤرية للقطع الناقص

تسمى النقطتان F_1 وF_2 بؤرتي القطع الناقص، والمسافة بينهما 2c=F_1F_2 هي الطول البؤري، والوسط O للقطعة F_1F_2 هو مركز القطع الناقص، والرقم 2a هو طول المحور الرئيسي للقطع الناقص. القطع الناقص (وبالتالي فإن الرقم أ هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص). يُطلق على المقطعين F_1M وF_2M اللذين يربطان النقطة M من الشكل الناقص مع بؤرتهما اسم نصف القطر البؤري للنقطة M. الجزء الذي يربط بين نقطتين من القطع الناقص يسمى وتر القطع الناقص.

النسبة e=\frac(c)(a) تسمى الانحراف المركزي للقطع الناقص. من التعريف (2a>2c) يترتب على ذلك أن 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

التعريف الهندسي للقطع الناقص، معبرًا عن خاصيته البؤرية، يعادل تعريفه التحليلي - الخط المعطى بواسطة المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

في الواقع، دعونا نقدم نظام إحداثيات مستطيل (الشكل 3.36ج). نحن نأخذ المركز O للقطع الناقص باعتباره أصل نظام الإحداثيات؛ نأخذ الخط المستقيم الذي يمر عبر البؤرتين (المحور البؤري أو المحور الأول للقطع الناقص) كمحور الإحداثي السيني (الاتجاه الموجب عليه من النقطة F_1 إلى النقطة F_2)؛ لنأخذ خطًا مستقيمًا متعامدًا مع المحور البؤري ويمر عبر مركز القطع الناقص (المحور الثاني للقطع الناقص) باعتباره المحور الإحداثي (يتم اختيار الاتجاه على المحور الإحداثي بحيث يكون نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي صحيحًا) .

لنقم بإنشاء معادلة للقطع الناقص باستخدام تعريفه الهندسي، الذي يعبر عن الخاصية البؤرية. في نظام الإحداثيات المحدد، نحدد إحداثيات البؤر F_1(-ج,0),~F_2(ج,0). بالنسبة لنقطة عشوائية M(x,y) تنتمي إلى القطع الناقص، لدينا:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

وبكتابة هذه المساواة بالصورة الإحداثية نحصل على:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

ننقل الجذر الثاني إلى الجانب الأيمن ونربع طرفي المعادلة ونأتي بحدود متشابهة:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

بالقسمة على 4، نقوم بتربيع طرفي المعادلة:

أ^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=أ^2(أ^2-ج^2).

وقد عين ب=\sqrt(a^2-c^2)>0، نحن نحصل ب^2x^2+أ^2y^2=أ^2ب^2. بقسمة الطرفين على a^2b^2\ne0، نصل إلى المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

ولذلك، فإن نظام الإحداثيات المختار هو نظام أساسي.

إذا تطابقت بؤرتا القطع الناقص، فإن القطع الناقص هو دائرة (الشكل 3.36،6)، حيث أن a=b. في هذه الحالة، أي نظام إحداثي مستطيل له نقطة الأصل سيكون نظامًا أساسيًا O\equiv F_1\equiv F_2والمعادلة x^2+y^2=a^2 هي معادلة دائرة مركزها النقطة O ونصف قطرها يساوي a.

من خلال إجراء الاستدلال بترتيب عكسي، يمكن إثبات أن جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها المعادلة (3.49)، وهي فقط، تنتمي إلى موضع النقاط الذي يسمى القطع الناقص. وبعبارة أخرى، فإن التعريف التحليلي للقطع الناقص يعادل تعريفه الهندسي، الذي يعبر عن الخاصية البؤرية للقطع الناقص.

الخاصية التوجيهية للقطع الناقص

إن توجيهات القطع الناقص عبارة عن خطين مستقيمين موازيين للمحور الإحداثي لنظام الإحداثيات المتعارف عليه على نفس المسافة \frac(a^2)(c) منه. عند c=0، عندما يكون القطع الناقص عبارة عن دائرة، لا توجد دلائل (يمكننا أن نفترض أن الدلائل موجودة عند اللانهاية).

القطع الناقص مع الانحراف 0 موضع النقاط في المستوى، حيث تكون نسبة المسافة إلى نقطة معينة F (البؤرة) إلى المسافة إلى خط مستقيم معين d (الدليل) الذي لا يمر عبر نقطة معينة ثابتة وتساوي الانحراف المركزي ه ( الخاصية التوجيهية للقطع الناقص). هنا F و d هما إحدى بؤرتي القطع الناقص وأحد توجيهاته، وتقع على جانب واحد من المحور الإحداثي لنظام الإحداثيات الكنسي، أي. F_1,d_1 أو F_2,d_2 .

في الواقع، على سبيل المثال، بالنسبة للتركيز F_2 والموجه d_2 (الشكل 3.37،6) الشرط \frac(r_2)(\rho_2)=eيمكن كتابتها بالشكل الإحداثي:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

التخلص من اللاعقلانية والاستبدال e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2نصل إلى معادلة القطع الناقص الأساسية (3.49). يمكن تنفيذ تفكير مماثل للتركيز F_1 والمخرج d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية

معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية F_1r\varphi (الشكل 3.37، c و3.37 (2)) لها الشكل

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

حيث p=\frac(b^2)(a) هي المعلمة البؤرية للقطع الناقص.

في الواقع، دعونا نختار البؤرة اليسرى F_1 للقطع الناقص كقطب لنظام الإحداثيات القطبية، والشعاع F_1F_2 كمحور قطبي (الشكل 3.37، ج). ثم بالنسبة للنقطة الاختيارية M(r,\varphi)، وفقًا للتعريف الهندسي (الخاصية البؤرية) للقطع الناقص، لدينا r+MF_2=2a. نعبر عن المسافة بين النقطتين M(r,\varphi) وF_2(2c,0) (انظر):

\begin(محاذاة)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(محاذاة)

وبالتالي، في الصيغة الإحداثية، تكون معادلة القطع الناقص F_1M+F_2M=2a هي الصيغة

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

نعزل الجذر ونربع طرفي المعادلة ونقسمه على 4 ونقدم مصطلحات مماثلة:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

عبر عن نصف القطر القطبي r وقم بالاستبدال ه=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

المعنى الهندسي للمعاملات في معادلة القطع الناقص

دعونا نجد نقاط تقاطع القطع الناقص (انظر الشكل 3.37 أ) مع محاور الإحداثيات (رؤوس القطع الناقص). بالتعويض y=0 في المعادلة، نجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع محور الإحداثي السيني (مع المحور البؤري): x=\pm a. ولذلك، فإن طول قطعة المحور البؤري الموجودة داخل القطع الناقص يساوي 2a. هذا الجزء، كما ذكرنا أعلاه، يسمى المحور الرئيسي للقطع الناقص، والرقم a هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص. بالتعويض x=0، نحصل على y=\pm b. ولذلك فإن طول قطعة المحور الثاني للقطع الناقص الموجودة داخل القطع الناقص يساوي 2b. يُسمى هذا الجزء بالمحور الأصغر للقطع الناقص، والرقم b هو المحور شبه الأصغر للقطع الناقص.

حقًا، ب=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a، ويتم الحصول على المساواة b=a فقط في الحالة c=0، عندما يكون القطع الناقص دائرة. سلوك k=\frac(b)(a)\leqslant1تسمى نسبة ضغط القطع الناقص.

ملاحظات 3.9

1. الخطوط المستقيمة x=\pm a,~y=\pm b تحد من المستطيل الرئيسي على المستوى الإحداثي، الذي يوجد بداخله شكل بيضاوي (انظر الشكل 3.37، أ).

2. يمكن تعريف القطع الناقص بأنه موضع النقاط الذي يتم الحصول عليه عن طريق ضغط الدائرة إلى قطرها.

في الواقع، لتكن معادلة الدائرة في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي x^2+y^2=a^2. عند ضغطها على المحور السيني بمعامل 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

باستبدال الدائرتين x=x" و y=\frac(1)(k)y" في المعادلة، نحصل على معادلة إحداثيات الصورة M"(x",y") للنقطة M(x,y) ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

منذ b=k\cdot a . هذه هي المعادلة القانونية للقطع الناقص.

3. المحاور الإحداثية (نظام الإحداثيات القانوني) هي محاور تناظر القطع الناقص (وتسمى المحاور الرئيسية للقطع الناقص)، ومركزها هو مركز التناظر.

في الواقع، إذا كانت النقطة M(x,y) تنتمي إلى القطع الناقص. ثم النقطتان M"(x,-y) وM""(-x,y)، المتناظرتان للنقطة M بالنسبة إلى محاور الإحداثيات، تنتميان أيضًا إلى نفس القطع الناقص.

4. من معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(انظر الشكل 3.37، ج)، تم توضيح المعنى الهندسي للمعلمة البؤرية - وهذا هو نصف طول وتر القطع الناقص الذي يمر عبر تركيزه المتعامد مع المحور البؤري (r=p عند \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. الانحراف المركزي يميز شكل القطع الناقص، أي الفرق بين القطع الناقص والدائرة. كلما زاد حجم e، زاد استطالة القطع الناقص، وكلما اقتربت e من الصفر، كلما اقترب القطع الناقص من الدائرة (الشكل 3.38 أ). في الواقع، مع الأخذ في الاعتبار أن e=\frac(c)(a) و c^2=a^2-b^2 ، نحصل على

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

حيث k هي نسبة ضغط القطع الناقص، 0

6. المعادلة \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1في أ

7. المعادلة \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bيحدد القطع الناقص بمركزه عند النقطة O"(x_0,y_0)، ومحاورها موازية لمحاور الإحداثيات (الشكل 3.38، ج). يتم تقليل هذه المعادلة إلى المعادلة الأساسية باستخدام الترجمة المتوازية (3.36).

عندما a=b=R المعادلة (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2يصف دائرة نصف قطرها R ومركزها عند النقطة O"(x_0,y_0) .

المعادلة البارامترية للقطع الناقص

المعادلة البارامترية للقطع الناقصفي نظام الإحداثيات الكنسي له النموذج

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

وفي الواقع، بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (3.49)، نصل إلى الهوية المثلثية الرئيسية \cos^2t+\sin^2t=1.

مثال 3.20.ارسم شكلًا ناقصًا \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1في نظام الإحداثيات الكنسي أوكسي. أوجد أنصاف المحاور، البعد البؤري، الانحراف المركزي، نسبة الضغط، المعلمة البؤرية، معادلات الدليل.

حل.بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة الأساسية، نحدد أنصاف المحاور: أ=2 - محور شبه رئيسي، ب=1 - محور شبه ثانوي للقطع الناقص. نقوم ببناء المستطيل الرئيسي بأضلاعه 2a=4,~2b=2 مع مركزه عند نقطة الأصل (الشكل 3.39). بالنظر إلى تماثل القطع الناقص، فإننا ندخله في المستطيل الرئيسي. إذا لزم الأمر، حدد إحداثيات بعض نقاط القطع الناقص. على سبيل المثال، بالتعويض x=1 في معادلة القطع الناقص، نحصل على

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ رباعي y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

ولذلك، نقاط مع الإحداثيات \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\يمين)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\يمين)- تنتمي إلى القطع الناقص.

حساب نسبة الضغط ك=\فارك(ب)(أ)=\فارك(1)(2); البعد البؤري 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); الانحراف e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); المعلمة البؤرية ع=\فارك(ب^2)(أ)=\فارك(1^2)(2)=\فارك(1)(2). نحن نؤلف معادلات الدليل: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

تعريف. القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، ومجموع مسافات كل منها من نقطتين معينتين في هذا المستوى، تسمى البؤر، هو قيمة ثابتة (شريطة أن تكون هذه القيمة أكبر من المسافة بين البؤرتين) .

دعونا نشير إلى البؤر بالمسافة بينهما - بالقيمة الثابتة التي تساوي مجموع المسافات من كل نقطة من القطع الناقص إلى البؤر بواسطة (بالشرط).

لنقم ببناء نظام إحداثيات ديكارتي بحيث تكون البؤر على محور الإحداثيات، ويتزامن أصل الإحداثيات مع منتصف المقطع (الشكل 44). ثم سيكون للبؤر الإحداثيات التالية: التركيز الأيسر والتركيز الأيمن. دعونا نشتق معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات الذي اخترناه. لهذا الغرض، النظر في نقطة تعسفية من القطع الناقص. حسب تعريف القطع الناقص، فإن مجموع المسافات من هذه النقطة إلى البؤر يساوي:

باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين، نحصل على ذلك

لتبسيط هذه المعادلة نكتبها على الصورة

ثم بتربيع طرفي المعادلة، نحصل على

أو بعد التبسيط الواضح:

الآن نقوم بتربيع طرفي المعادلة مرة أخرى، وبعد ذلك لدينا:

أو بعد تحولات متطابقة:

لأنه، وفقًا للشرط الوارد في تعريف القطع الناقص، يكون الرقم موجبًا. دعونا نقدم التدوين

عندها ستأخذ المعادلة الشكل التالي:

وبتعريف القطع الناقص، فإن إحداثيات أي نقطة من نقاطه تحقق المعادلة (26). لكن المعادلة (29) هي نتيجة للمعادلة (26). وبالتالي، فهو محقق أيضًا بإحداثيات أي نقطة من القطع الناقص.

يمكن إثبات أن إحداثيات النقاط التي لا تقع على القطع الناقص لا تحقق المعادلة (29). وبالتالي فإن المعادلة (29) هي معادلة القطع الناقص. وتسمى المعادلة القانونية للقطع الناقص.

دعونا نحدد شكل القطع الناقص باستخدام معادلته الأساسية.

أولًا، دعونا ننتبه إلى حقيقة أن هذه المعادلة تحتوي فقط على قوى x وy. وهذا يعني أنه إذا كانت أي نقطة تنتمي إلى القطع الناقص، فإنها تحتوي أيضًا على نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة لمحور الإحداثي، ونقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للمحور الإحداثي. وبالتالي، فإن القطع الناقص له محوران متعامدان من التماثل، والذي يتطابق في نظام الإحداثيات الذي اخترناه مع محاور الإحداثيات. ومن الآن فصاعدا سنسمي محاور تماثل القطع الناقص محاور القطع الناقص، ونقطة تقاطعهما مركز القطع الناقص. يسمى المحور الذي تقع عليه بؤر القطع الناقص (في هذه الحالة محور الإحداثي) بالمحور البؤري.

دعونا أولاً نحدد شكل القطع الناقص في الربع الأول. للقيام بذلك، دعونا نحل المعادلة (28) لـ y:

من الواضح أنه هنا، حيث أن y تأخذ قيمًا خيالية. كلما زادت من 0 إلى a، تنخفض y من b إلى 0. سيكون جزء القطع الناقص الموجود في الربع الأول عبارة عن قوس يحده النقاط B (0؛ b) ويقع على محاور الإحداثيات (الشكل 45). وباستخدام تماثل القطع الناقص، نصل إلى نتيجة مفادها أن القطع الناقص له الشكل الموضح في الشكل. 45.

تسمى نقاط تقاطع القطع الناقص مع المحاور رؤوس القطع الناقص. ويترتب على تماثل القطع الناقص أنه بالإضافة إلى القمم، يحتوي القطع الناقص على رأسين آخرين (انظر الشكل 45).

تسمى الأجزاء والرؤوس المقابلة للقطع الناقص، وكذلك أطوالها، بالمحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص، على التوالي. يُطلق على الرقمين a وb أنصاف المحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص، على التوالي.

تسمى نسبة نصف المسافة بين البؤرتين إلى المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص انحراف القطع الناقص وعادة ما يشار إليها بالحرف:

بما أن الانحراف المركزي للقطع الناقص أقل من الوحدة: الانحراف المركزي يميز شكل القطع الناقص. في الواقع، من الصيغة (28) يترتب على ذلك أنه كلما كان انحراف القطع الناقص أصغر، قل اختلاف محوره شبه الأصغر ب عن المحور شبه الرئيسي أ، أي كلما كان القطع الناقص أقل استطالة (على طول المحور البؤري).

في الحالة المقيدة، تكون النتيجة دائرة نصف قطرها a: أو . في الوقت نفسه، يبدو أن بؤر القطع الناقص تندمج عند نقطة واحدة - مركز الدائرة. انحراف الدائرة هو صفر:

يمكن إنشاء الاتصال بين القطع الناقص والدائرة من وجهة نظر أخرى. دعونا نبين أن القطع الناقص مع نصف المحاور a و b يمكن اعتباره إسقاطًا لدائرة نصف قطرها a.

دعونا نفكر في طائرتين P و Q، تشكلان فيما بينهما مثل هذه الزاوية a، والتي (الشكل 46). دعونا نبني نظام إحداثيات في المستوى P، وفي المستوى Q نظام أوكسي ذو الأصل المشترك O ومحور الإحداثي المشترك الذي يتزامن مع خط تقاطع المستويات. خذ بعين الاعتبار دائرة في المستوى P

مع مركز عند نقطة الأصل ونصف قطر يساوي أ. فليكن نقطة مختارة بشكل تعسفي على الدائرة، وليكن إسقاطها على المستوى Q، وليكن إسقاط النقطة M على محور الثور. دعونا نبين أن النقطة تقع على شكل بيضاوي ذي نصفي المحورين a وb.

التعريف 7.1.تسمى مجموعة جميع النقاط على المستوى التي يكون مجموع المسافات إلى نقطتين ثابتتين F 1 و F 2 قيمة ثابتة معينة الشكل البيضاوي.

تعريف القطع الناقص يعطي الطريقة التالية لبنائه الهندسي. نثبت النقطتين F 1 و F 2 على المستوى، ونشير إلى قيمة ثابتة غير سالبة بمقدار 2a. دع المسافة بين النقطتين F 1 و F 2 تكون 2c. لنتخيل أن خيطًا غير قابل للتمديد بطول 2 أ تم تثبيته عند النقطتين F 1 و F 2، على سبيل المثال، باستخدام إبرتين. ومن الواضح أن هذا ممكن فقط بالنسبة لـ ≥ c. بعد سحب الخيط بقلم رصاص، ارسم خطًا سيكون شكلًا بيضاويًا (الشكل 7.1).

لذلك، المجموعة الموصوفة ليست فارغة إذا كانت a ≥ c. عندما يكون a = c، يكون القطع الناقص قطعة ذات نهايتين F 1 وF 2، وعندما يكون c = 0، أي. إذا تطابقت النقاط الثابتة المحددة في تعريف القطع الناقص، فهو دائرة نصف قطرها أ. وبتجاهل هذه الحالات المتدهورة، سنفترض أيضًا، كقاعدة عامة، أن a > c > 0.

تسمى النقطتان الثابتتان F 1 و F 2 في التعريف 7.1 للقطع الناقص (انظر الشكل 7.1) بؤر القطع الناقص، المسافة بينهما، يشار إليها بـ 2C، - البعد البؤري، والقطاعات F 1 M و F 2 M التي تربط نقطة عشوائية M على القطع الناقص مع بؤرتها هي نصف القطر البؤري.

يتم تحديد شكل القطع الناقص بالكامل من خلال البعد البؤري |F 1 F 2 | = 2c والمعلمة a، وموضعها على المستوى - زوج من النقطتين F 1 و F 2.

يترتب على تعريف القطع الناقص أنه متماثل بالنسبة للخط الذي يمر عبر البؤرتين F 1 و F 2، وكذلك بالنسبة للخط الذي يقسم القطعة F 1 F 2 إلى النصف ويكون متعامدا معها (الشكل 7.2، أ). تسمى هذه الخطوط محاور القطع الناقص. النقطة O من تقاطعهما هي مركز تناظر القطع الناقص، وتسمى مركز القطع الناقصونقاط تقاطع القطع الناقص مع محاور التماثل (النقاط A و B و C و D في الشكل 7.2، أ) - رؤوس القطع الناقص.

الرقم أ يسمى نصف المحور الرئيسي للقطع الناقص, و ب = √(أ 2 - ج 2) - ه محور صغير. من السهل أن نرى أنه بالنسبة لـ c > 0، فإن المحور شبه الرئيسي a يساوي المسافة من مركز القطع الناقص إلى رؤوسه التي تقع على نفس المحور مع بؤرتي القطع الناقص (الرؤوس A وB) في الشكل 7.2، أ)، والمحور شبه الأصغر ب يساوي المسافة من القطع الناقص المركزي إلى قمتيه الآخرين (القمم C و D في الشكل 7.2، أ).

معادلة القطع الناقص.دعونا نفكر في شكل بيضاوي على المستوى مع التركيز على النقطتين F 1 وF 2، المحور الرئيسي 2أ. دع 2c هو البعد البؤري، 2c = |F 1 F 2 |

دعونا نختار نظام إحداثيات مستطيل أوكسي على المستوى بحيث يتطابق أصله مع مركز القطع الناقص، وتكون بؤرته على المحور السيني(الشكل 7.2، ب). يسمى نظام الإحداثيات هذا العنوان الأساسيللقطع الناقص في السؤال، والمتغيرات المقابلة هي العنوان الأساسي.

في نظام الإحداثيات المحدد، يكون للبؤر إحداثيات F 1 (c; 0)، F 2 (-c; 0). باستخدام صيغة المسافة بين النقاط، نكتب الشرط |F 1 M| + |ف2م| = 2 أ في الإحداثيات:

√((س - ج) 2 + ص 2) + √((س + ج) 2 + ص 2) = 2أ. (7.2)

هذه المعادلة غير ملائمة لأنها تحتوي على جذرين تربيعيين. لذلك دعونا تحويله. دعونا ننقل الجذر الثاني في المعادلة (7.2) إلى الجانب الأيمن ونقوم بتربيعه:

(س - ج) 2 + ص 2 = 4أ 2 - 4أ√((س + ج) 2 + ص 2) + (س + ج) 2 + ص 2.

بعد فتح القوسين وإحضار مصطلحات مماثلة، نحصل على

√((س + ج) 2 + ص 2) = أ + εx

حيث ε = ج/أ. نكرر عملية التربيع لإزالة الجذر الثاني: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2، أو مع مراعاة قيمة المعلمة المدخلة ε، (a 2 - c 2 ) × 2 / أ 2 + ص 2 = أ 2 - ج 2. بما أن أ 2 - ج 2 = ب 2 > 0 إذن

س 2 /أ 2 + ص 2 /ب 2 = 1، أ > ب > 0. (7.4)

يتم تحقيق المعادلة (7.4) بإحداثيات جميع النقاط الواقعة على القطع الناقص. ولكن عند اشتقاق هذه المعادلة، تم استخدام تحويلات غير متكافئة للمعادلة الأصلية (7.2) - مربعان يزيلان الجذور التربيعية. تربيع المعادلة هو تحويل مكافئ إذا كان لدى كلا الطرفين كميات بنفس الإشارة، لكننا لم نتحقق من ذلك في تحويلاتنا.

يمكننا تجنب التحقق من تكافؤ التحويلات إذا أخذنا في الاعتبار ما يلي. زوج من النقاط F 1 و F 2، |F 1 F 2 | = 2c، على المستوى يحدد عائلة من الأشكال الناقص مع بؤر عند هذه النقاط. تنتمي كل نقطة من المستوى، باستثناء نقاط القطعة F 1 F 2، إلى شكل بيضاوي من العائلة المشار إليها. في هذه الحالة، لا يتقاطع أي شكلين بيضاويين، نظرًا لأن مجموع نصف القطر البؤري يحدد بشكل فريد شكلًا ناقصًا محددًا. لذلك، فإن عائلة القطع الناقص الموصوفة بدون تقاطعات تغطي المستوى بأكمله، باستثناء نقاط القطعة F 1 F 2. دعونا نفكر في مجموعة من النقاط التي تلبي إحداثياتها المعادلة (7.4) بقيمة معينة للمعلمة أ. هل يمكن توزيع هذه المجموعة بين عدة علامات حذف؟ تنتمي بعض نقاط المجموعة إلى شكل بيضاوي ذو محور نصف رئيسي أ. يجب أن تكون هناك نقطة في هذه المجموعة تقع على شكل بيضاوي ذي محور نصف رئيسي أ. ثم إحداثيات هذه النقطة تخضع للمعادلة

أولئك. المعادلتان (7.4) و (7.5) لهما حلول مشتركة. ومع ذلك، فمن السهل التحقق من أن النظام

لـ ㉠ a ليس لها حلول. للقيام بذلك، يكفي استبعاد، على سبيل المثال، س من المعادلة الأولى:

والتي بعد التحولات تؤدي إلى المعادلة

والتي لا يوجد لها حلول لـ ㉠ a، منذ . لذا، (7.4) هي معادلة القطع الناقص مع المحور شبه الرئيسي a > 0 والمحور شبه الأصغر b =√(a 2 - c 2) > 0. ويسمى معادلة القطع الناقص الأساسية.

عرض القطع الناقص.الطريقة الهندسية لبناء القطع الناقص التي تمت مناقشتها أعلاه تعطي فكرة كافية عن مظهر القطع الناقص. ولكن يمكن أيضًا دراسة شكل القطع الناقص باستخدام معادلته الأساسية (7.4). على سبيل المثال، يمكنك، بافتراض y ≥ 0، التعبير عن y من خلال x: y = b√(1 - x 2 /a 2)، وبعد دراسة هذه الوظيفة، قم ببناء الرسم البياني الخاص بها. هناك طريقة أخرى لبناء القطع الناقص. يتم وصف دائرة نصف قطرها أ ومركزها عند أصل نظام الإحداثيات القانوني للقطع الناقص (7.4) بالمعادلة x 2 + y 2 = a 2. إذا تم ضغطه بمعامل a/b > 1 على طول المحور ص، ثم تحصل على منحنى موصوف بالمعادلة x 2 + (ya/b) 2 = a 2، أي قطع ناقص.

ملاحظة 7.1.إذا تم ضغط نفس الدائرة بعامل أ/ب

القطع الناقص الانحراف. تسمى نسبة البعد البؤري للقطع الناقص إلى محوره الرئيسي غريب الأطوار من القطع الناقصويشار إليه بـ ε. لقطع ناقص معين

المعادلة الأساسية (7.4)، ε = 2c/2a = c/a. إذا كانت المعلمات a و b في (7.4) مرتبطة بعدم المساواة a

عندما يكون c = 0، عندما يتحول القطع الناقص إلى دائرة، و ε = 0. وفي حالات أخرى، 0

المعادلة (7.3) تعادل المعادلة (7.4) حيث أن المعادلتين (7.4) و (7.2) متكافئتان. ولذلك فإن معادلة القطع الناقص هي أيضاً (7.3). بالإضافة إلى ذلك، العلاقة (7.3) مثيرة للاهتمام لأنها تعطي صيغة بسيطة خالية من الجذور للطول |F 2 M| أحد أنصاف الأقطار البؤرية للنقطة M(x; y) للقطع الناقص: |F 2 M| = أ + εx.

يمكن الحصول على صيغة مماثلة لنصف القطر البؤري الثاني من اعتبارات التماثل أو من خلال تكرار الحسابات التي، قبل تربيع المعادلة (7.2)، يتم نقل الجذر الأول إلى الجانب الأيمن، وليس الثاني. لذلك، بالنسبة لأي نقطة M(x; y) على القطع الناقص (انظر الشكل 7.2)

|ف 1 م | = أ - εx، |F 2 M| = أ + εx، (7.6)

وكل واحدة من هذه المعادلات هي معادلة قطع ناقص.

مثال 7.1.دعونا نجد المعادلة الأساسية للقطع الناقص مع المحور شبه الرئيسي 5 والانحراف المركزي 0.8 ونبنيها.

وبمعرفة المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص a = 5 والانحراف المركزي ε = 0.8، سنجد محوره شبه الأصغر b. بما أن b = √(a 2 - c 2) وc = εa = 4، فإن b = √(5 2 - 4 2) = 3. لذا فإن المعادلة الأساسية لها الصيغة x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. لبناء شكل بيضاوي، من المناسب رسم مستطيل بمركزه عند أصل نظام الإحداثيات الكنسي، وتكون جوانبه موازية لمحاور تماثل القطع الناقص ومتساوية مع المحاور المقابلة لها (الشكل 1). 7.4). يتقاطع هذا المستطيل مع

محاور القطع الناقص عند رؤوسه A(-5; 0)، B(5; 0)، C(0; -3)، D(0; 3)، والقطع الناقص نفسه منقوش فيه. في التين. يُظهر الشكل 7.4 أيضًا البؤر F 1.2 (±4; 0) للقطع الناقص.

الخصائص الهندسية للقطع الناقص.دعونا نعيد كتابة المعادلة الأولى في (7.6) بالشكل |F 1 M| = (أ/ε - س)ε. لاحظ أن القيمة a/ε - x لـ a > c هي قيمة موجبة، لأن التركيز F 1 لا ينتمي إلى القطع الناقص. تمثل هذه القيمة المسافة إلى الخط العمودي d: x = a/ε من النقطة M(x; y) الواقعة على يسار هذا الخط. يمكن كتابة معادلة القطع الناقص كما

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

وهذا يعني أن هذا القطع الناقص يتكون من تلك النقاط M(x; y) من المستوى الذي تكون فيه نسبة طول نصف القطر البؤري F 1 M إلى المسافة إلى الخط المستقيم d قيمة ثابتة تساوي ε (الشكل 1). 7.5).

الخط المستقيم d له "مزدوج" - الخط العمودي المستقيم d، المتماثل مع d بالنسبة إلى مركز القطع الناقص، والذي يتم الحصول عليه بواسطة المعادلة x = -a/ε. فيما يتعلق بـ d، يتم وصف القطع الناقص في بنفس الطريقة فيما يتعلق د. يتم استدعاء كلا الخطين d و d". أدلة القطع الناقص. تكون توجيهات القطع الناقص متعامدة مع محور تماثل القطع الناقص الذي تقع عليه بؤرته، وتكون متباعدة عن مركز القطع الناقص على مسافة a/ε = a 2 /c (انظر الشكل 7.5).

تسمى المسافة p من الدليل إلى البؤرة الأقرب إليه المعلمة البؤرية للقطع الناقص. هذه المعلمة تساوي

ع = أ/ε - ج = (أ 2 - ج 2)/ج = ب 2 /ج

يحتوي القطع الناقص على خاصية هندسية مهمة أخرى: نصف القطر البؤري F 1 M و F 2 M يشكلان زوايا متساوية مع مماس القطع الناقص عند النقطة M (الشكل 7.6).

هذه الخاصية لها معنى مادي واضح. إذا تم وضع مصدر الضوء عند التركيز F 1، فإن الشعاع الخارج من هذا التركيز، بعد الانعكاس من القطع الناقص، سوف يسير على طول نصف القطر البؤري الثاني، لأنه بعد الانعكاس سيكون في نفس زاوية المنحنى كما كان قبل الانعكاس. وبالتالي فإن جميع الأشعة الخارجة من البؤرة F 1 ستتركز في البؤرة الثانية F 2، والعكس صحيح. وبناء على هذا التفسير تسمى هذه الخاصية الخاصية البصرية للقطع الناقص.