المعادلات الأسية. حالات أكثر صعوبة. حل عدم المساواة الأسية: الطرق الأساسية

حيث يمكن أن يكون دور $b$ رقمًا عاديًا، أو ربما شيئًا أكثر صرامة. أمثلة؟ نعم من فضلك:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ رباعي ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(خ)). \\\النهاية(محاذاة)\]

أعتقد أن المعنى واضح: هناك دالة أسية $((a)^(x))$، تتم مقارنتها بشيء ما، ثم يُطلب منها العثور على $x$. في الحالات السريرية بشكل خاص، بدلاً من المتغير $x$، يمكنهم وضع بعض الوظائف $f\left(x \right)$ وبالتالي تعقيد عدم المساواة قليلاً. :)

وبطبيعة الحال، في بعض الحالات، قد تبدو فجوة التفاوت أكثر خطورة. على سبيل المثال:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

أو حتى هذا:

بشكل عام، يمكن أن يكون تعقيد هذه المتباينات مختلفًا تمامًا، لكنها في النهاية لا تزال تتلخص في بناء بسيط $((a)^(x)) \gt b$. وسنتعامل بطريقة أو بأخرى مع مثل هذا التصميم (في الحالات السريرية بشكل خاص، عندما لا يتبادر إلى الذهن أي شيء، ستساعدنا اللوغاريتمات). لذلك، الآن سوف نتعلم كيفية حل مثل هذه الإنشاءات البسيطة.

حل أبسط المتباينات الأسية

دعونا نلقي نظرة على شيء بسيط للغاية. على سبيل المثال، هنا هو:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

من الواضح أنه يمكن إعادة كتابة الرقم الموجود على اليمين كقوة لاثنين: $4=((2)^(2))$. وبالتالي، تتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية في شكل مناسب للغاية:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

والآن تتلهف الأيدي على "شطب" التعادلات الموجودة في قواعد الدرجات للحصول على الإجابة $x \gt 2$. لكن قبل أن نشطب أي شيء، دعونا نتذكر قوة الاثنين:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

كما ترون، كلما زاد الرقم في الأس، كلما زاد رقم الإخراج. "شكرا كاب!" سوف يصرخ أحد الطلاب. هل يحدث بشكل مختلف؟ لسوء الحظ، يحدث ذلك. على سبيل المثال:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ يمين))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

هنا أيضًا كل شيء منطقي: كلما زادت الدرجة، زاد عدد مرات ضرب الرقم 0.5 في نفسه (أي أنه مقسم إلى النصف). وبذلك يتناقص تسلسل الأرقام الناتج، ويكون الفرق بين التسلسل الأول والثاني في القاعدة فقط:

• إذا كان أساس الدرجة $a \gt 1$، فمع نمو الأس $n$، سينمو الرقم $((a)^(n))$ أيضًا؛
• على العكس من ذلك، إذا كان $0 \lt a \lt 1$، فمع نمو الأس $n$، سينخفض ​​الرقم $((a)^(n))$.

بتلخيص هذه الحقائق، نحصل على العبارة الأكثر أهمية، والتي يعتمد عليها الحل الكامل للمتباينات الأسية:

إذا كان $a \gt 1$، فإن عدم المساواة $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ يعادل عدم المساواة $x \gt n$. إذا $0 \lt a \lt 1$، فإن عدم المساواة $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ يعادل عدم المساواة $x \lt n$.

بمعنى آخر، إذا كانت القاعدة أكبر من واحد، فيمكنك ببساطة إزالتها - لن تتغير علامة المتباينة. وإذا كان الأساس أقل من واحد، فيمكن إزالته أيضًا، ولكن يجب أيضًا تغيير علامة المتباينة.

لاحظ أننا لم نأخذ في الاعتبار الخيارين $a=1$ و$a\le 0$. لأنه في هذه الحالات هناك عدم يقين. لنفترض كيفية حل عدم المساواة في النموذج $((1)^(x)) \gt 3$؟ واحد لأي قوة سيعطي واحدًا مرة أخرى - لن نحصل أبدًا على ثلاثة أو أكثر. أولئك. لا توجد حلول.

مع القواعد السلبية، بل هو أكثر إثارة للاهتمام. خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، عدم المساواة التالية:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

للوهلة الأولى، كل شيء بسيط:

يمين؟ لكن لا! يكفي استبدال عددين زوجيين وعددين فرديين بدلاً من $x$ للتأكد من أن الحل خاطئ. إلق نظرة:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

كما ترون، فإن العلامات تتناوب. ولكن لا تزال هناك درجات كسرية وقصدير آخر. كيف، على سبيل المثال، يمكنك ترتيب العد $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (ناقص اثنين مرفوعًا إلى جذر سبعة)؟ مستحيل!

لذلك، من أجل التحديد، نفترض أنه في جميع المتباينات الأسية (والمعادلات بالمناسبة أيضًا) $1\ne a \gt 0$. وبعد ذلك يتم حل كل شيء بكل بساطة:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(محاذاة) \يمين.\]

بشكل عام، تذكر مرة أخرى القاعدة الأساسية: إذا كان الأساس في المعادلة الأسية أكبر من واحد، فيمكنك ببساطة إزالته؛ وإذا كانت القاعدة أقل من واحد، فيمكن إزالتها أيضًا، لكن هذا سيغير علامة المتباينة.

أمثلة الحل

لذا، فكر في بعض المتباينات الأسية البسيطة:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\النهاية(محاذاة)\]

المهمة الأساسية هي نفسها في جميع الحالات: تقليل المتباينات إلى أبسط صورة $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. وهذا ما سنفعله الآن مع كل متباينة، وفي نفس الوقت سنكرر خصائص القوى والدالة الأسية. إذا هيا بنا!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

ما الذي يمكن القيام به هنا؟ حسنا، على اليسار لدينا بالفعل تعبير توضيحي - لا شيء يحتاج إلى التغيير. ولكن على اليمين هناك نوع من حماقة: الكسر، وحتى الجذر في المقام!

ومع ذلك، تذكر قواعد التعامل مع الكسور والقوى:

\[\begin(align) & \frac(1)(((أ)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\النهاية(محاذاة)\]

ماذا يعني ذلك؟ أولًا، يمكننا بسهولة التخلص من الكسر بتحويله إلى أس سالب. وثانيًا، نظرًا لأن المقام هو الجذر، فسيكون من الجيد تحويله إلى درجة - هذه المرة باستخدام أس كسري.

دعونا نطبق هذه الإجراءات بالتسلسل على الجانب الأيمن من المتراجحة ونرى ما سيحدث:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=(\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \يمين))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \يمين)))=((2)^ (-\frac(1)(3))))\]

لا تنس أنه عند رفع درجة إلى قوة، تتم إضافة أسس هذه الدرجات. وبشكل عام، عند العمل مع المعادلات الأسية والمتباينات، من الضروري للغاية معرفة أبسط قواعد التعامل مع القوى على الأقل:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\النهاية(محاذاة)\]

في الواقع، قمنا للتو بتطبيق القاعدة الأخيرة. وبالتالي، سيتم إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ فارك (1)(3))))\]

الآن نتخلص من الشيطان في القاعدة. بما أن 2 > 1، تظل علامة المتباينة كما هي:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right). \\\end(align)\]

هذا هو الحل كله! الصعوبة الرئيسية ليست على الإطلاق في الدالة الأسية، ولكن في التحويل الكفء للتعبير الأصلي: تحتاج إلى إحضاره بعناية وبأسرع ما يمكن إلى أبسط أشكاله.

النظر في عدم المساواة الثانية:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

لا بأس. نحن هنا ننتظر الكسور العشرية. كما قلت عدة مرات، في أي تعبيرات ذات قوى، يجب عليك التخلص من الكسور العشرية - غالبًا ما تكون هذه هي الطريقة الوحيدة لرؤية حل سريع وسهل. إليك ما سنتخلص منه:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ صحيح))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\النهاية(محاذاة)\]

أمامنا مرة أخرى أبسط عدم المساواة، وحتى مع الأساس 1/10، أي. أقل من واحد. حسنًا، نزيل القواعد، ونغير الإشارة في نفس الوقت من "أقل" إلى "أكبر"، ونحصل على:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& س \lt -1. \\\النهاية(محاذاة)\]

لقد حصلنا على الإجابة النهائية: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. يرجى ملاحظة أن الإجابة هي المجموعة تمامًا، ولا يتم بأي حال من الأحوال بناء النموذج $x \lt -1$. لأن مثل هذا البناء رسميًا ليس مجموعة على الإطلاق، ولكنه عدم مساواة فيما يتعلق بالمتغير $x$. نعم، الأمر بسيط للغاية، لكنه ليس الجواب!

ملاحظة مهمة. يمكن حل هذه المتباينة بطريقة أخرى، وذلك عن طريق اختزال كلا الجزأين إلى قوة ذات قاعدة أكبر من واحد. إلق نظرة:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

بعد هذا التحول، نحصل مرة أخرى على عدم المساواة الأسية، ولكن مع قاعدة 10 > 1. وهذا يعني أنه يمكنك ببساطة شطب العشرة - لن تتغير علامة عدم المساواة. نحن نحصل:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & س \lt -1. \\\النهاية(محاذاة)\]

كما ترون، الجواب هو نفسه تماما. في الوقت نفسه، أنقذنا أنفسنا من الحاجة إلى تغيير العلامة وتذكر بعض القواعد بشكل عام هناك. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

ومع ذلك، لا تدع ذلك يخيفك. وأيًا كان ما تحتويه المؤشرات، فإن تقنية حل عدم المساواة نفسها تظل كما هي. لذلك نلاحظ أولا أن 16 = 2 4 . دعونا نعيد كتابة المتباينة الأصلية مع أخذ هذه الحقيقة بعين الاعتبار:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

مرحا! لقد حصلنا على عدم المساواة المربعة المعتادة! لم تتغير العلامة في أي مكان، لأن القاعدة هي شيطان - رقم أكبر من واحد.

دالة الأصفار على خط الأعداد

نقوم بترتيب علامات الدالة $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - من الواضح أن الرسم البياني الخاص بها سيكون عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى، لذلك سيكون هناك "إيجابيات" " على الجوانب. نحن مهتمون بالمنطقة التي تكون فيها الدالة أقل من الصفر، أي. $x\in \left(2;5 \right)$ هو الحل للمسألة الأصلية.

أخيرًا، لننظر إلى متباينة أخرى:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

مرة أخرى، نرى دالة أسية بها كسر عشري في الأساس. دعونا نحول هذا الكسر إلى كسر عادي:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

في هذه الحالة، استفدنا من الملاحظة التي تم الإدلاء بها سابقًا - فقد قمنا بتقليل القاعدة إلى الرقم 5\u003e 1 من أجل تبسيط قرارنا الإضافي. دعونا نفعل الشيء نفسه مع الجانب الأيمن:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ صحيح))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

دعونا نعيد كتابة المتباينة الأصلية، مع الأخذ في الاعتبار كلا التحويلين:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \يمين)))\ge ((5)^(-2))\]

القاعدتان على الجانبين واحدة وأكبر من واحد. لا توجد مصطلحات أخرى على اليمين واليسار، لذلك نحن فقط "نشطب" الخمسات ونحصل على تعبير بسيط للغاية:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(محاذاة)\]

هذا هو المكان الذي عليك أن تكون حذرا. يحب العديد من الطلاب أن يأخذوا ببساطة الجذر التربيعي لطرفي المتراجحة ويكتبوا شيئًا مثل $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. لا ينبغي عليك فعل هذا أبدًا، نظرًا لأن جذر المربع الدقيق هو المعامل، وليس المتغير الأصلي بأي حال من الأحوال:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| س\يمين|\]

ومع ذلك، فإن العمل مع الوحدات ليس تجربة ممتعة للغاية، أليس كذلك؟ لذلك لن نعمل. بدلًا من ذلك، نقوم ببساطة بنقل جميع الحدود إلى اليسار وحل المتباينة المعتادة باستخدام طريقة الفاصل الزمني:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(محاذاة)$

مرة أخرى، نحتفل بالنقاط التي تم الحصول عليها على خط الأعداد وننظر إلى العلامات:

وبما أننا كنا نحل متباينة غير صارمة، فإن جميع النقاط على التمثيل البياني مظللة. لذلك، ستكون الإجابة: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ليس فاصلًا زمنيًا، بل قطعة.

بشكل عام، أود أن أشير إلى أنه لا يوجد شيء معقد في عدم المساواة الأسية. يتلخص معنى جميع التحولات التي أجريناها اليوم في خوارزمية بسيطة:

• ابحث عن القاعدة التي سنخفض إليها جميع الدرجات؛
• قم بإجراء التحويلات بعناية للحصول على متباينة بالشكل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. بالطبع، بدلاً من المتغيرين $x$ و $n$، يمكن أن يكون هناك وظائف أكثر تعقيدًا، لكن هذا لا يغير المعنى؛
• شطب أساسات الدرجات. في هذه الحالة، قد تتغير علامة المتباينة إذا كان الأساس $a \lt 1$.

في الواقع، هذه خوارزمية عالمية لحل جميع حالات عدم المساواة هذه. وكل شيء آخر سيتم إخبارك به حول هذا الموضوع هو مجرد حيل وحيل محددة لتبسيط عملية التحويل وتسريعها. إليك إحدى تلك الحيل التي سنتحدث عنها الآن. :)

طريقة الترشيد

لننظر إلى مجموعة أخرى من عدم المساواة:

\[\begin(align) & ((\text()\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text()\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \يمين))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

حسنًا، ما الذي يميزهم؟ كما أنها خفيفة الوزن. على الرغم من التوقف! هل يتم رفع pi إلى قوة؟ أي نوع من الهراء؟

وكيفية رفع الرقم $2\sqrt(3)-3$ إلى قوة؟ أو $3-2\sqrt(2)$؟ من الواضح أن جامعي المشاكل شربوا الكثير من "الزعرور" قبل الجلوس للعمل. :)

في الواقع، لا حرج في هذه المهام. اسمحوا لي أن أذكرك: الدالة الأسية هي تعبير بالصيغة $((a)^(x))$، حيث الأساس $a$ هو أي رقم موجب، باستثناء رقم واحد. الرقم π موجب - ونحن نعرف هذا بالفعل. الأرقام $2\sqrt(3)-3$ و $3-2\sqrt(2)$ هي أيضًا أرقام موجبة - وهذا من السهل رؤيته إذا قارناها بالصفر.

اتضح أن كل هذه التفاوتات "المرعبة" لا تختلف عن تلك البسيطة التي نوقشت أعلاه؟ ويفعلون ذلك بنفس الطريقة؟ نعم، صحيح تماما. ومع ذلك، باستخدام مثالهم، أود أن أفكر في خدعة واحدة توفر الكثير من الوقت في العمل المستقل والامتحانات. دعونا نتحدث عن الترشيد. لذا انتبه:

أي متباينة أسية بالشكل $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ تعادل المتباينة $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ صحيح) \gt 0 $.

هذه هي الطريقة بأكملها :) هل تعتقد أنه سيكون هناك نوع من اللعبة القادمة؟ لا شيء من هذا القبيل! ولكن هذه الحقيقة البسيطة، المكتوبة حرفيا في سطر واحد، سوف تبسط عملنا إلى حد كبير. إلق نظرة:

\[\begin(matrix) ((\text()\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text()\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\!\pi\!\!\text() -1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

هنا لا مزيد من الوظائف الأسية! وليس عليك أن تتذكر ما إذا كانت العلامة تغيرت أم لا. لكن تظهر مشكلة جديدة: ماذا تفعل بالمضاعف \[\left(\text()\!\!\pi\!\!\text() -1 \right)\]؟ نحن لا نعرف ما هي القيمة الدقيقة لـ pi. ومع ذلك، يبدو أن القبطان يلمح إلى ما هو واضح:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text()\approx 3,14... \gt 3\Rightarrow \text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

بشكل عام، القيمة الدقيقة لـ π لا تزعجنا كثيرًا - من المهم فقط أن نفهم أنه على أية حال $\text( )\!\!\pi\!\!\text() -1 \gt 2 $، ر.ه. هو ثابت موجب، ويمكننا قسمة طرفي المتراجحة عليه:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text()\!\! \pi\!\!\text() -1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

كما ترون، عند نقطة معينة، كان علينا القسمة على سالب واحد، وتغيرت علامة المتباينة. في النهاية، قمت بتوسيع ثلاثية الحدود المربعة وفقًا لنظرية فييتا - من الواضح أن الجذور تساوي $((x)_(1))=5$ و $((x)_(2))=- 1$. ثم يتم حل كل شيء بالطريقة الكلاسيكية للفترات:

تم ثقب جميع النقاط لأن المتراجحة الأصلية صارمة. نحن مهتمون بالمنطقة ذات القيم السالبة، لذا فإن الإجابة هي $x\in \left(-1;5 \right)$. هذا هو الحل .:)

دعنا ننتقل إلى المهمة التالية:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

كل شيء بسيط هنا، لأن هناك وحدة على اليمين. ونتذكر أن الوحدة هي أي عدد مرفوع للأس صفر. حتى لو كان هذا الرقم تعبيرًا غير منطقي، فإن الوقوف عند القاعدة على اليسار:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \يمين))^(0)); \\\النهاية(محاذاة)\]

لذلك دعونا عقلانية:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

يبقى فقط للتعامل مع العلامات. المضاعف $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ لا يحتوي على المتغير $x$ - إنه مجرد ثابت، ونحن بحاجة إلى معرفة علامته. للقيام بذلك، لاحظ ما يلي:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \يمين)=0 \\\end(مصفوفة)\]

وتبين أن العامل الثاني ليس مجرد ثابت، بل هو ثابت سلبي! وعند القسمة عليها تتغير إشارة المتباينة الأصلية إلى العكس:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

الآن أصبح كل شيء واضحًا تمامًا. جذور ثلاثية الحدود المربعة على اليمين هي $((x)_(1))=0$ و$((x)_(2))=2$. نضع علامة عليها على خط الأعداد وننظر إلى علامات الدالة $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

نحن مهتمون بالفواصل الزمنية المميزة بعلامة الجمع. يبقى فقط لكتابة الجواب:

دعنا ننتقل إلى المثال التالي:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ صحيح))^(16-x))\]

حسنًا، كل شيء واضح تمامًا هنا: القواعد هي قوى لها نفس العدد. لذلك سأكتب كل شيء باختصار:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \السهم السفلي \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ يسار(16-س\يمين))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

كما ترون، أثناء عملية التحويلات، كان علينا الضرب في عدد سالب، فتغيرت علامة المتباينة. في النهاية، قمت مرة أخرى بتطبيق نظرية فييتا لتحليل ثلاثية الحدود المربعة. ونتيجة لذلك، ستكون الإجابة على النحو التالي: $x\in \left(-8;4 \right)$ - يمكن لأولئك الذين يرغبون التحقق من ذلك عن طريق رسم خط أرقام وتحديد النقاط وعلامات العد. في غضون ذلك، سننتقل إلى المتباينة الأخيرة من "المجموعة":

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

كما ترون، يوجد في القاعدة مرة أخرى رقم غير نسبي، وعلى اليمين مرة أخرى توجد وحدة. لذلك، نعيد كتابة المتباينة الأسية على النحو التالي:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ صحيح))^(0))\]

دعونا عقلانية:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

ومع ذلك، فمن الواضح تمامًا أن $1-\sqrt(2) \lt 0$، نظرًا لأن $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. ولذلك، فإن العامل الثاني هو أيضًا ثابت سلبي، يمكن من خلاله تقسيم كلا جزأي المتراجحة:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\النهاية(مصفوفة)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

التغيير إلى قاعدة أخرى

هناك مشكلة منفصلة في حل المتباينات الأسية وهي البحث عن الأساس "الصحيح". لسوء الحظ، للوهلة الأولى في المهمة، ليس من الواضح دائما ما يجب اتخاذه كأساس، وما يجب القيام به كدرجة لهذا الأساس.

لكن لا تقلق: لا توجد تقنيات سحرية و"سرية" هنا. في الرياضيات، أي مهارة لا يمكن خوارزميتها يمكن تطويرها بسهولة من خلال الممارسة. ولكن لهذا سيتعين عليك حل المشكلات بمستويات مختلفة من التعقيد. على سبيل المثال، هذه هي:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ النهاية (محاذاة)\]

صعب؟ مخيف؟ نعم، إنه أسهل من الدجاجة على الأسفلت! دعونا نحاول. أولا: عدم المساواة:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

حسنًا، أعتقد أن كل شيء واضح هنا:

نعيد كتابة المتباينة الأصلية، ونختصر كل شيء إلى الأساس "اثنين":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \يمين)\cdot \left(2-1 \يمين) \lt 0\]

نعم، نعم، لقد فهمت بشكل صحيح: لقد قمت للتو بتطبيق طريقة الترشيد الموضحة أعلاه. الآن نحن بحاجة إلى العمل بعناية: لقد حصلنا على متباينة كسرية عقلانية (هذه هي التي تحتوي على متغير في المقام)، لذلك قبل مساواة شيء ما بالصفر، تحتاج إلى تقليل كل شيء إلى مقام مشترك والتخلص من العامل الثابت .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

الآن نستخدم طريقة الفاصل القياسي. أصفار البسط: $x=\pm 4$. يذهب المقام إلى الصفر فقط عندما يكون $x=0$. في المجمل، هناك ثلاث نقاط يجب تحديدها على خط الأعداد (جميع النقاط مثقوبة، لأن علامة المتباينة صارمة). نحن نحصل:

كما قد تتخيل، فإن التظليل يمثل الفواصل الزمنية التي يأخذ فيها التعبير الموجود على اليسار قيمًا سالبة. لذلك، ستدخل فترتان في الإجابة النهائية مرة واحدة:

لم يتم تضمين نهايات الفترات في الإجابة لأن المتباينة الأصلية كانت صارمة. ليس هناك حاجة لمزيد من التحقق من صحة هذه الإجابة. وفي هذا الصدد، تكون المتباينات الأسية أبسط بكثير من المتباينات اللوغاريتمية: فلا يوجد DPV، ولا قيود، وما إلى ذلك.

دعنا ننتقل إلى المهمة التالية:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

لا توجد مشاكل هنا أيضًا، لأننا نعلم بالفعل أن $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$، لذا يمكن إعادة كتابة المتباينة بأكملها على النحو التالي:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\يسار(-2\يمين)\يمين. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

يرجى ملاحظة: في السطر الثالث، قررت عدم إضاعة الوقت في تفاهات وتقسيم كل شيء على الفور على (−2). ذهب مينول إلى الشريحة الأولى (الآن هناك إيجابيات في كل مكان)، وتم تقليل التعادل بمضاعف ثابت. هذا هو بالضبط ما يجب عليك فعله عند إجراء حسابات حقيقية للعمل المستقل والتحكم - لا تحتاج إلى رسم كل إجراء وتحول مباشرة.

بعد ذلك، يأتي دور الطريقة المألوفة للفواصل الزمنية. أصفار البسط: لكن لا يوجد. لأن المميز سيكون سلبيا. وفي المقابل، يتم تعيين المقام على الصفر فقط عندما يكون $x=0$ — تمامًا مثل المرة السابقة. حسنًا، من الواضح أن الكسر سيأخذ قيمًا موجبة على يمين $x=0$، وقيمًا سالبة على اليسار. وبما أننا مهتمون فقط بالقيم السالبة، فإن الإجابة النهائية هي $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

وما الذي يجب فعله بالكسور العشرية في المتباينات الأسية؟ هذا صحيح: تخلص منهم بتحويلهم إلى أشياء عادية. نحن هنا نترجم:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ فارك (25)(4) \يمين))^(x)). \\\النهاية(محاذاة)\]

حسنًا، ما الذي حصلنا عليه في أسس الدوال الأسية؟ وحصلنا على رقمين متبادلين:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ يمين))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ اليسار(\frac(4)(25) \اليمين))^(-x))\]

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \يمين))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\النهاية(محاذاة)\]

بالطبع، عند ضرب القوى بنفس الأساس، تتضاعف مؤشراتها، وهو ما حدث في السطر الثاني. بالإضافة إلى ذلك، قمنا بتمثيل الوحدة الموجودة على اليمين، أيضًا كقوة في الأساس 4/25. يبقى فقط للتبرير:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

لاحظ أن $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$، أي. أما العامل الثاني فهو ثابت سالب، وعند القسمة عليه تتغير إشارة المتباينة:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right). \\\end(align)\]

أخيرًا، المتباينة الأخيرة من "المجموعة" الحالية:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

من حيث المبدأ، فكرة الحل هنا واضحة أيضًا: يجب تقليل جميع الدوال الأسية التي تشكل المتراجحة إلى الأساس "3". ولكن لهذا عليك أن تتلاعب قليلاً بالجذور والدرجات:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\رباعية 81=((3)^(4)). \\\النهاية(محاذاة)\]

بالنظر إلى هذه الحقائق، يمكن إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \يمين))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\النهاية(محاذاة)\]

انتبه إلى السطرين الثاني والثالث من العمليات الحسابية: قبل القيام بأي شيء يتعلق بالمتباينة، تأكد من إحضاره إلى النموذج الذي تحدثنا عنه منذ بداية الدرس: $((a)^(x)) \lt ( (أ)^(ن))$. طالما أن لديك مضاعفات يسارية أو يمينية، وثوابت إضافية، وما إلى ذلك، ولا يمكن إجراء أي ترشيد أو "شطب" للأسباب! لقد تم تنفيذ عدد لا يحصى من المهام بشكل خاطئ بسبب سوء فهم هذه الحقيقة البسيطة. أنا شخصياً ألاحظ هذه المشكلة باستمرار مع طلابي عندما بدأنا للتو في تحليل عدم المساواة الأسية واللوغاريتمية.

لكن العودة إلى مهمتنا. دعونا نحاول هذه المرة الاستغناء عن الترشيد. نتذكر: قاعدة الدرجة أكبر من واحد، لذلك يمكن ببساطة شطب الثلاثيات - لن تتغير علامة عدم المساواة. نحن نحصل:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12؛ \\ & x \lt 3. \\\end(محاذاة)\]

هذا كل شئ. الإجابة النهائية: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

تسليط الضوء على تعبير مستقر واستبدال متغير

في الختام، أقترح حل أربع متباينات أسية أخرى، والتي تعتبر بالفعل صعبة للغاية بالنسبة للطلاب غير المستعدين. للتعامل معهم، عليك أن تتذكر قواعد العمل بالدرجات. وعلى وجه الخصوص، وضع العوامل المشتركة بين قوسين.

لكن الشيء الأكثر أهمية هو أن تتعلم كيف تفهم: ما الذي يمكن وضعه بين قوسين بالضبط. يسمى هذا التعبير مستقرًا - يمكن الإشارة إليه بمتغير جديد وبالتالي التخلص من الدالة الأسية. لذلك، دعونا ننظر إلى المهام:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

لنبدأ بالسطر الأول. نكتب هذا عدم المساواة بشكل منفصل:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

لاحظ أن $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$، لذلك يمكن للجانب الأيمن إعادة الكتابة:

لاحظ أنه لا توجد دوال أسية أخرى باستثناء $((5)^(x+1))$ في المتراجحة. وبشكل عام، المتغير $x$ لا يظهر في أي مكان آخر، لذلك دعونا نقدم متغيرًا جديدًا: $((5)^(x+1))=t$. نحصل على البناء التالي:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(محاذاة)\]

نعود إلى المتغير الأصلي ($t=((5)^(x+1))$)، وفي نفس الوقت نتذكر أن 1=5 0 . لدينا:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا هو الحل كله! الإجابة: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. دعنا ننتقل إلى عدم المساواة الثانية:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

كل شيء هو نفسه هنا. لاحظ أن $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . ثم يمكن إعادة كتابة الجانب الأيسر:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \يمين. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\النهاية(محاذاة)\]

هذا هو تقريبًا ما تحتاجه لاتخاذ قرار بشأن السيطرة الحقيقية والعمل المستقل.

حسنًا، دعونا نجرب شيئًا أكثر صعوبة. على سبيل المثال، هنا عدم المساواة:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

ماهي المشكلة هنا؟ بادئ ذي بدء، أسس الدوال الأسية على اليسار مختلفة: 5 و 25. ومع ذلك، 25 \u003d 5 2، لذلك يمكن تحويل الحد الأول:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(محاذاة )\]

كما ترون، في البداية أحضرنا كل شيء إلى نفس الأساس، ثم لاحظنا أن الحد الأول يمكن اختزاله بسهولة إلى الثاني - يكفي فقط توسيع الأس. يمكننا الآن إدخال متغير جديد بأمان: $((5)^(2x+2))=t$، وستتم إعادة كتابة المتراجحة بأكملها على النحو التالي:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(محاذاة)\]

مرة أخرى، لا مشكلة! الإجابة النهائية: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. ننتقل إلى المتباينة النهائية في درس اليوم:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

أول شيء يجب الانتباه إليه بالطبع هو الكسر العشري في أساس الدرجة الأولى. من الضروري التخلص منه، وفي الوقت نفسه إحضار جميع الدوال الأسية إلى نفس الأساس - الرقم "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \يمين))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\السهم الأيمن ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

عظيم، لقد اتخذنا الخطوة الأولى - كل شيء أدى إلى نفس الأساس. الآن نحن بحاجة إلى تسليط الضوء على التعبير المستقر. لاحظ أن $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. إذا أدخلنا متغيرًا جديدًا $((2)^(4x+6))=t$، فيمكن إعادة كتابة المتباينة الأصلية على النحو التالي:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\النهاية(محاذاة)\]

وبطبيعة الحال، قد يطرح السؤال: كيف اكتشفنا أن 256 = 2 8 ؟ لسوء الحظ، هنا تحتاج فقط إلى معرفة قوى الاثنين (وفي نفس الوقت قوى الثلاثة والخمسة). حسنًا، أو اقسم 256 على 2 (يمكنك القسمة، نظرًا لأن 256 رقم زوجي) حتى نحصل على النتيجة. سيبدو شيئا من هذا القبيل:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(محاذاة )\]

وينطبق الشيء نفسه على الثلاثة (الأرقام 9 و 27 و 81 و 243 هي قواها)، ومع السبعة (الأرقام 49 و 343 سيكون من الجيد أيضًا أن نتذكرها). حسنًا، الخمسة لديهم أيضًا درجات "جميلة" تحتاج إلى معرفتها:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\النهاية(محاذاة)\]

بالطبع، كل هذه الأرقام، إذا رغبت في ذلك، يمكن استعادتها في العقل، وذلك ببساطة عن طريق ضربها في بعضها البعض على التوالي. ومع ذلك، عندما يتعين عليك حل العديد من المتباينات الأسية، وكل واحدة تالية تكون أكثر صعوبة من السابقة، فإن آخر شيء تريد التفكير فيه هو قوى بعض الأرقام هناك. وبهذا المعنى، تكون هذه المسائل أكثر تعقيدًا من المتباينات "الكلاسيكية"، التي يتم حلها بطريقة الفترات.

في هذا الدرس، سوف نتناول حل المعادلات الأسية الأكثر تعقيدًا، ونذكر الأحكام النظرية الرئيسية المتعلقة بالدالة الأسية.

1. تعريف وخصائص الدالة الأسية، تقنية لحل أبسط المعادلات الأسية

تذكر التعريف والخصائص الرئيسية للدالة الأسية. على الخصائص يعتمد حل جميع المعادلات والمتباينات الأسية.

الدالة الأسيةهي دالة في النموذج، حيث الأساس هو الدرجة وهنا x متغير مستقل، وسيطة؛ ذ - المتغير التابع، وظيفة.

أرز. 1. رسم بياني للدالة الأسية

يوضح الرسم البياني أسًا متزايدًا ومتناقصًا، موضحًا الدالة الأسية عند قاعدة أكبر من واحد وأقل من واحد، ولكن أكبر من الصفر، على التوالي.

كلا المنحنيين يمران بالنقطة (0;1)

خصائص الدالة الأسية:

اِختِصاص: ؛

مدى من القيم: ؛

الدالة رتيبة، تزيد بقدر، وتنقص بقدر.

تأخذ الدالة الرتيبة كل قيمة من قيمها بقيمة واحدة للوسيطة.

عندما تزيد الوسيطة من ناقص إلى زائد ما لا نهاية، تزيد الدالة من صفر، شاملاً، إلى زائد ما لا نهاية. على العكس من ذلك، عندما تزيد الوسيطة من ناقص إلى زائد ما لا نهاية، تنخفض الدالة من ما لا نهاية إلى صفر، ضمنا.

2. حل المعادلات الأسية النموذجية

تذكر كيفية حل أبسط المعادلات الأسية. يعتمد حلهم على رتابة الدالة الأسية. يتم اختزال جميع المعادلات الأسية المعقدة تقريبًا إلى مثل هذه المعادلات.

إن مساواة الأسس ذات الأساس المتساوي ترجع إلى خاصية الدالة الأسية، وهي رتابة الدالة.

طريقة الحل:

مساواة أساس الدرجات؛

مساواة الأسس.

دعنا ننتقل إلى المعادلات الأسية الأكثر تعقيدًا، وهدفنا هو تقليل كل منها إلى أبسطها.

دعونا نتخلص من الجذر الموجود على الجانب الأيسر ونخفض الدرجات إلى نفس القاعدة:

من أجل اختزال معادلة أسية معقدة إلى معادلة بسيطة، غالبًا ما يتم استخدام تغيير المتغيرات.

لنستخدم خاصية الدرجة:

نقدم بديلا. دعونا إذن . مع هذا الاستبدال، من الواضح أن y تأخذ قيمًا موجبة تمامًا. نحن نحصل:

نضرب المعادلة الناتجة في اثنين وننقل جميع الحدود إلى الجانب الأيسر:

الجذر الأول لا يفي بالفاصل الزمني لقيم y، لذا نتخلص منه. نحن نحصل:

لنصل الدرجات إلى نفس المؤشر:

نقدم بديلاً:

دع ثم . مع هذا الاستبدال، من الواضح أن y تأخذ قيمًا موجبة تمامًا. نحن نحصل:

نحن نعرف كيفية حل المعادلات التربيعية المتشابهة، نكتب الجواب:

للتأكد من العثور على الجذور بشكل صحيح، يمكنك التحقق وفقًا لنظرية فييتا، أي العثور على مجموع الجذور وحاصل ضربها والتحقق من المعاملات المقابلة للمعادلة.

نحن نحصل:

3. تقنية حل المعادلات الأسية المتجانسة من الدرجة الثانية

دعونا ندرس النوع المهم التالي من المعادلات الأسية:

تسمى المعادلات من هذا النوع متجانسة من الدرجة الثانية بالنسبة للدالتين f و g. يوجد على جانبها الأيسر ثلاثية حدود مربعة بالنسبة إلى f مع المعلمة g أو ثلاثية مربعة بالنسبة إلى g مع المعلمة f.

طريقة الحل:

يمكن حل هذه المعادلة كمعادلة تربيعية، لكن من الأسهل حلها بالعكس. ينبغي النظر في حالتين:

في الحالة الأولى نحصل على

وفي الحالة الثانية يحق لنا القسمة على أعلى درجة ونحصل على:

يجب عليك إدخال تغيير في المتغيرات، نحصل على معادلة تربيعية لـ y:

لاحظ أن الدالتين f وg يمكن أن تكونا عشوائيتين، لكننا مهتمون بالحالة التي تكون فيها هذه الدوال أسية.

4. أمثلة على حل المعادلات المتجانسة

دعنا ننقل جميع الحدود إلى الجانب الأيسر من المعادلة:

نظرًا لأن الدوال الأسية تكتسب قيمًا موجبة تمامًا، فيحق لنا أن نقسم المعادلة فورًا على ، دون النظر إلى الحالة عندما:

نحن نحصل:

نقدم بديلاً: (حسب خصائص الدالة الأسية)

حصلنا على معادلة تربيعية:

نحدد الجذور وفقًا لنظرية فييتا:

الجذر الأول لا يحقق الفاصل الزمني لقيم y، نتخلص منه ونحصل على:

دعونا نستخدم خصائص الدرجة ونختصر جميع الدرجات إلى أسس بسيطة:

من السهل ملاحظة الدالتين f وg:

نظرًا لأن الدوال الأسية تكتسب قيمًا موجبة تمامًا، فيحق لنا أن نقسم المعادلة فورًا على ، دون النظر إلى الحالة التي تكون فيها .