الزاوية بين الخطوط المستقيمة. إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة

تعليمات

ملحوظة

دورة دالة الظل المثلثية تساوي 180 درجة، مما يعني أن زوايا ميل الخطوط المستقيمة لا يمكن أن تتجاوز هذه القيمة بالقيمة المطلقة.

نصائح مفيدة

إذا كانت المعاملات الزاوية متساوية، فإن الزاوية بين هذه الخطوط هي 0، لأن هذه الخطوط إما متطابقة أو متوازية.

لتحديد قيمة الزاوية بين الخطوط المتقاطعة، من الضروري نقل كلا الخطين (أو أحدهما) إلى موضع جديد باستخدام طريقة الترجمة المتوازية حتى يتقاطعا. بعد ذلك، يجب أن تجد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة الناتجة.

سوف تحتاج

• المسطرة، المثلث القائم، قلم الرصاص، المنقلة.

تعليمات

لذلك، دع المتجه V = (a، b، c) والمستوى A x + B y + C z = 0، حيث A وB وC هي إحداثيات N العادية. ثم جيب تمام الزاوية α بين المتجهين V و N يساوي: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

لحساب الزاوية بالدرجات أو الراديان، تحتاج إلى حساب الدالة العكسية لجيب التمام من التعبير الناتج، أي. قوس جيب التمام:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

مثال: تجد ركنبين المتجه(5، -3، 8) و طائرة، تعطى بالمعادلة العامة 2 x - 5 y + 3 z = 0. الحل: اكتب إحداثيات المتجه العمودي للمستوى N = (2, -5, 3). عوّض بكل القيم المعروفة في الصيغة المعطاة: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

فيديو حول الموضوع

الخط المستقيم الذي له نقطة مشتركة مع الدائرة هو مماس للدائرة. ميزة أخرى للظل هي أنه دائمًا متعامد مع نصف القطر المرسوم على نقطة الاتصال، أي أن المماس ونصف القطر يشكلان خطًا مستقيمًا ركن. إذا تم رسم مماسين للدائرة AB وAC من نقطة واحدة A، فإنهما متساويان دائمًا. تحديد الزاوية بين الظلال ( ركن ABC) باستخدام نظرية فيثاغورس.

تعليمات

لتحديد الزاوية، تحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة OB وOS ومسافة نقطة بداية المماس من مركز الدائرة - O. لذا، الزاويتان ABO وACO متساويتان، ونصف القطر OB هو، على سبيل المثال، 10 سم، والمسافة إلى مركز الدائرة AO هي 15 سم، حدد طول المماس باستخدام الصيغة وفقًا لنظرية فيثاغورس: AB = الجذر التربيعي لـ AO2 – OB2 أو 152 – 102 = 225 – 100 = 125؛

أوه-أوه-أوه-أوه... حسنًا، الأمر صعب، كما لو كان يقرأ جملة لنفسه =) لكن الاسترخاء سيساعد لاحقًا، خاصة وأنني اشتريت اليوم الملحقات المناسبة. لذلك، دعونا ننتقل إلى القسم الأول، وآمل أنه بنهاية المقال سأحافظ على مزاج مبهج.

الموضع النسبي لخطين مستقيمين

هذا هو الحال عندما يغني الجمهور في جوقة. يمكن لخطين مستقيمين:

1) المباراة؛

2) تكون متوازية : ;

3) أو تتقاطع في نقطة واحدة : .

مساعدة للدمى : من فضلك تذكر علامة التقاطع الرياضية، سوف تظهر في كثير من الأحيان. الترميز يعني أن الخط يتقاطع مع الخط عند النقطة .

كيفية تحديد الموضع النسبي لخطين؟

لنبدأ بالحالة الأولى:

يتطابق الخطان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما المقابلة متناسبةأي أن هناك رقم "لامدا" بحيث يتم استيفاء المساواة

لنفكر في الخطوط المستقيمة وننشئ ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة: . ويترتب على كل معادلة أن هذه الخطوط متطابقة.

وبالفعل، إذا كانت جميع معاملات المعادلة اضرب بـ -1 (علامات التغيير)، وجميع معاملات المعادلة وبقطع 2 تحصل على نفس المعادلة: .

الحالة الثانية عندما يكون المستقيمان متوازيين:

يكون الخطان متوازيين إذا وفقط إذا كانت معاملات متغيراتهما متناسبة: ، لكن.

على سبيل المثال، النظر في خطين مستقيمين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات:

ومع ذلك، فمن الواضح تماما أن.

والحالة الثالثة عندما تتقاطع الخطوط:

يتقاطع خطان إذا وفقط إذا كانت معاملات المتغيرات الخاصة بهما غير متناسبةأي أنه لا توجد قيمة لـ "لامدا" بحيث يتم استيفاء المساواة

لذلك، بالنسبة للخطوط المستقيمة، سنقوم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى ينتج ذلك، ومن المعادلة الثانية: مما يعني النظام غير متناسق(لا توجد حلول). وبالتالي فإن معاملات المتغيرات ليست متناسبة.

الخلاصة: الخطوط متقاطعة

في المسائل العملية، يمكنك استخدام مخطط الحل الذي تمت مناقشته للتو. بالمناسبة، إنه يذكرنا جدًا بخوارزمية فحص المتجهات بحثًا عن العلاقة الخطية المتداخلة، والتي نظرنا إليها في الفصل مفهوم الاعتماد الخطي (في) على المتجهات. أساس المتجهات. ولكن هناك عبوة أكثر تحضرا:

مثال 1

معرفة الموقع النسبي للخطوط:

حلبناءً على دراسة توجيه متجهات الخطوط المستقيمة:

أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط: .

مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم وأن الخطوط متقاطعة.

فقط في حالة، سأضع حجرًا عليه علامات عند مفترق الطرق:

يقفز الباقون فوق الحجر ويتبعون مباشرة إلى كاششي الخالد =)

ب) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط:

الخطوط لها نفس متجه الاتجاه، مما يعني أنها إما متوازية أو متطابقة. ليست هناك حاجة لحساب المحدد هنا.

ومن الواضح أن معاملات المجهولين متناسبة، و.

دعونا نعرف ما إذا كانت المساواة صحيحة:

هكذا،

ج) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات:
وبالتالي فإن متجهات الاتجاه تكون على خط واحد. الخطوط إما متوازية أو متطابقة.

من السهل رؤية معامل التناسب "لامدا" مباشرة من نسبة متجهات الاتجاه الخطية المتداخلة. ومع ذلك، يمكن العثور عليه أيضًا من خلال معاملات المعادلات نفسها: .

الآن دعونا معرفة ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا الحدين المجانيين صفر، لذلك:

القيمة الناتجة تلبي هذه المعادلة (أي رقم بشكل عام يرضيها).

وهكذا تتطابق الخطوط.

إجابة:

ستتعلم قريبًا جدًا (أو حتى تعلمت بالفعل) حل المشكلة التي تمت مناقشتها لفظيًا حرفيًا في غضون ثوانٍ. في هذا الصدد، لا أرى أي فائدة من تقديم أي شيء لحل مستقل، فمن الأفضل وضع لبنة مهمة أخرى في الأساس الهندسي:

كيفية بناء خط موازي لخط معين؟

لجهل هذه المهمة البسيطة، يعاقب السارق العندليب بشدة.

مثال 2

يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة المستقيم الموازي الذي يمر بالنقطة.

حل: نرمز إلى السطر المجهول بالحرف . ماذا تقول الحالة عنها؟ يمر الخط المستقيم عبر هذه النقطة. وإذا كانت الخطوط متوازية، فمن الواضح أن متجه الاتجاه للخط المستقيم "tse" مناسب أيضًا لبناء الخط المستقيم "de".

نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:

إجابة:

يبدو المثال الهندسي بسيطًا:

يتكون الاختبار التحليلي من الخطوات التالية:

1) نتحقق من أن الخطوط لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط بشكل صحيح، فإن المتجهات ستكون على خط واحد).

2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

في معظم الحالات، يمكن إجراء الاختبارات التحليلية بسهولة عن طريق الفم. انظروا إلى المعادلتين، والعديد منكم سيحدد بسرعة توازي الخطين دون أي رسم.

أمثلة على الحلول المستقلة اليوم ستكون إبداعية. لأنه لا يزال يتعين عليك التنافس مع بابا ياجا، وهي، كما تعلمون، من محبي جميع أنواع الألغاز.

مثال 3

اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة موازية للخط إذا

هناك طريقة عقلانية وغير عقلانية لحلها. أقصر طريق هو في نهاية الدرس.

لقد عملنا قليلاً مع الخطوط المتوازية وسنعود إليها لاحقاً. إن حالة الخطوط المتطابقة ليست ذات أهمية كبيرة، لذلك دعونا نفكر في مشكلة مألوفة لك جدًا من المنهج الدراسي:

كيفية العثور على نقطة تقاطع خطين؟

إذا كان مستقيما تتقاطع عند نقطة فإن إحداثياتها هي الحل أنظمة المعادلات الخطية

كيفية العثور على نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.

ها أنت ذا المعنى الهندسي لنظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين- هذان خطان متقاطعان (في أغلب الأحيان) على المستوى.

مثال 4

العثور على نقطة تقاطع الخطوط

حل: هناك طريقتان للحل - رسومية وتحليلية.

الطريقة الرسومية هي ببساطة رسم الخطوط المعطاة ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم:

وهنا وجهة نظرنا: . للتحقق من ذلك، يجب عليك استبدال إحداثياته ​​في كل معادلة للخط، حيث يجب أن تتناسب هناك وهناك. بمعنى آخر، إحداثيات النقطة هي حل للنظام. في الأساس، نظرنا إلى حل رسومي أنظمة المعادلات الخطيةمع معادلتين، مجهولين.

الطريقة الرسومية بالطبع ليست سيئة، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع يقررون بهذه الطريقة، النقطة المهمة هي أن إنشاء رسم صحيح ودقيق سيستغرق وقتًا. بالإضافة إلى ذلك، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط المستقيمة، وقد تكون نقطة التقاطع نفسها موجودة في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.

ولذلك فمن الأفضل البحث عن نقطة التقاطع باستخدام الطريقة التحليلية. دعونا نحل النظام:

لحل النظام، تم استخدام طريقة جمع المعادلات حداً تلو الآخر. لتطوير المهارات ذات الصلة، خذ درسًا كيفية حل نظام المعادلات؟

إجابة:

التحقق تافه - إحداثيات نقطة التقاطع يجب أن تلبي كل معادلة في النظام.

مثال 5

أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا كانا متقاطعين.

هذا مثال لك لحله بنفسك. من الملائم تقسيم المهمة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى أنه من الضروري:
1) أكتب معادلة الخط المستقيم .
2) أكتب معادلة الخط المستقيم .
3) معرفة الموقع النسبي للخطوط.
4) إذا تقاطع المستقيمان فأوجد نقطة التقاطع.

يعد تطوير خوارزمية الإجراء نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية، وسأركز بشكل متكرر على هذا الأمر.

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس:

ولم يتم ارتداء حتى زوج من الأحذية قبل أن نصل إلى القسم الثاني من الدرس:

خطوط متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.
الزاوية بين الخطوط المستقيمة

لنبدأ بمهمة نموذجية ومهمة جدًا. في الجزء الأول، تعلمنا كيفية بناء خط مستقيم موازٍ لهذا الخط، والآن سيتحول الكوخ الموجود على أرجل الدجاج إلى 90 درجة:

كيفية بناء خط عمودي على واحد معين؟

مثال 6

يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة عمودية على الخط الذي يمر بالنقطة.

حل: بالشرط المعروف أن . سيكون من الجيد العثور على المتجه الموجه للخط. بما أن الخطوط متعامدة، فالخدعة بسيطة:

من المعادلة نقوم "بإزالة" المتجه العادي: والذي سيكون المتجه الموجه للخط المستقيم.

لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

إجابة:

دعونا نوسع الرسم الهندسي:

هممممم... سماء برتقالية، بحر برتقالي، جمل برتقالي.

التحقق التحليلي من الحل:

1) نخرج متجهات الاتجاه من المعادلات وبالمساعدة المنتج العددي للمتجهاتنصل إلى استنتاج مفاده أن الخطوط المتعامدة بالفعل: .

بالمناسبة، يمكنك استخدام المتجهات العادية، بل إنه أسهل.

2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة .

ومرة أخرى، من السهل إجراء الاختبار شفويا.

مثال 7

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين المتعامدين إذا كانت المعادلة معروفة والفترة.

هذا مثال لك لحله بنفسك. هناك العديد من الإجراءات في المشكلة، لذلك من الملائم صياغة الحل نقطة تلو الأخرى.

رحلتنا المثيرة مستمرة:

المسافة من نقطة إلى خط

أمامنا شريط مستقيم من النهر ومهمتنا هي الوصول إليه بأقصر طريق. لا توجد عقبات، والطريق الأمثل هو التحرك على طول الخط العمودي. أي أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول القطعة المتعامدة.

يُشار إلى المسافة في الهندسة تقليديًا بالحرف اليوناني "rho"، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "em" إلى الخط المستقيم "de".

المسافة من نقطة إلى خط يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة

مثال 8

أوجد المسافة من نقطة إلى خط

حل: كل ​​ما عليك فعله هو استبدال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء الحسابات:

إجابة:

لنقم بالرسم:

المسافة التي تم العثور عليها من النقطة إلى الخط هي بالضبط طول القطعة الحمراء. إذا قمت برسم رسم على ورق مربعات بمقياس وحدة واحدة. = 1 سم (خليتان)، فيمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.

لنفكر في مهمة أخرى بناءً على نفس الرسم:

وتتمثل المهمة في العثور على إحداثيات نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للخط المستقيم . أقترح تنفيذ الخطوات بنفسك، ولكنني سألخص خوارزمية الحل بنتائج متوسطة:

1) ابحث عن مستقيم عمودي على الخط.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطين: .

تتم مناقشة كلا الإجراءين بالتفصيل في هذا الدرس.

3) النقطة هي منتصف القطعة . نحن نعرف إحداثيات الوسط وأحد الأطراف. بواسطة صيغ إحداثيات نقطة المنتصف للقطعةنجد .

وستكون فكرة جيدة أن نتأكد من أن المسافة أيضًا تساوي 2.2 وحدة.

قد تنشأ صعوبات في العمليات الحسابية هنا، ولكن الآلة الحاسبة الدقيقة هي مساعدة كبيرة في البرج، مما يسمح لك بحساب الكسور العادية. لقد نصحتك مرات عديدة وسوف أوصيك مرة أخرى.

كيفية العثور على المسافة بين خطين متوازيين؟

مثال 9

العثور على المسافة بين خطين متوازيين

وهذا مثال آخر عليك أن تقرره بنفسك. سأعطيك تلميحًا بسيطًا: هناك طرق عديدة لحل هذه المشكلة. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك، أعتقد أن براعتك كانت متطورة بشكل جيد.

الزاوية بين خطين مستقيمين

كل زاوية هي عضادة:


في الهندسة، تعتبر الزاوية الواقعة بين خطين مستقيمين هي الزاوية الأصغر، والتي يتبع منها تلقائيًا أنها لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل، الزاوية المشار إليها بالقوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. وجاره "الأخضر" أو موجهة بشكل معاكسزاوية "التوت".

إذا كانت الخطوط متعامدة، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع هي الزاوية بينهما.

كيف تختلف الزوايا؟ توجيه. أولاً، الاتجاه الذي يتم فيه "تمرير" الزاوية مهم بشكل أساسي. ثانياً، يتم كتابة الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة الطرح، على سبيل المثال if .

لماذا قلت لك هذا؟ يبدو أنه يمكننا التعامل مع المفهوم المعتاد للزاوية. والحقيقة هي أن الصيغ التي سنجد بها الزوايا يمكن أن تؤدي بسهولة إلى نتيجة سلبية، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية التي تحمل علامة الطرح ليست أسوأ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. في الرسم، بالنسبة للزاوية السلبية، تأكد من الإشارة إلى اتجاهها بسهم (في اتجاه عقارب الساعة).

كيفية العثور على الزاوية بين خطين مستقيمين؟هناك صيغتان للعمل:

مثال 10

أوجد الزاوية بين الخطوط

حلو الطريقة الأولى

لنفكر في خطين مستقيمين تحددهما المعادلات بشكل عام:

إذا كان مستقيما ليس عموديا، الذي - التي الموجهةيمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

دعونا نولي اهتماما وثيقا للمقام - هذا هو بالضبط المنتج العدديتوجيه ناقلات الخطوط المستقيمة:

إذا كان مقام الصيغة يصبح صفرًا، وستكون المتجهات متعامدة والخطوط متعامدة. ولهذا السبب تم التحفظ على عدم تعامد الخطوط المستقيمة في الصياغة.

بناءً على ما سبق، من المناسب صياغة الحل في خطوتين:

1) لنحسب المنتج العددي لمتجهات الاتجاه للخطوط:
مما يعني أن الخطوط ليست متعامدة.

2) أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة باستخدام الصيغة:

باستخدام الدالة العكسية، من السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة، نستخدم غرابة ظل القطب الشمالي (انظر. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية):

إجابة:

في إجابتك، نشير إلى القيمة الدقيقة، بالإضافة إلى القيمة التقريبية (ويفضل أن تكون بالدرجات والراديان)، والتي يتم حسابها باستخدام الآلة الحاسبة.

حسنا، ناقص، ناقص، ليس مشكلة كبيرة. هنا رسم توضيحي هندسي:

ليس من المستغرب أن تكون الزاوية ذات اتجاه سلبي، لأنه في بيان المشكلة، الرقم الأول هو خط مستقيم وبدأ "فك" الزاوية به على وجه التحديد.

إذا كنت تريد حقًا الحصول على زاوية موجبة، فأنت بحاجة إلى تبديل الخطوط، أي أخذ المعاملات من المعادلة الثانية ، وخذ المعاملات من المعادلة الأولى. باختصار، عليك أن تبدأ مباشرة .

دع الخطوط المستقيمة تعطى في الفضاء لو م. من خلال نقطة ما من الفضاء نرسم خطوطًا مستقيمة ل 1 || لو م 1 || م(الشكل 138).

لاحظ أنه يمكن اختيار النقطة A بشكل تعسفي، وعلى وجه الخصوص، يمكن أن تقع على أحد هذه الخطوط. إذا كان مستقيما لو متتقاطع، فيمكن اعتبار A كنقطة تقاطع هذه الخطوط ( ل 1 = لو م 1 = م).

الزاوية بين الخطوط غير المتوازية لو مهي قيمة أصغر الزوايا المتجاورة التي تكونت من تقاطع الخطوط ل 1 و م 1 (ل 1 || ل, م 1 || م). تعتبر الزاوية بين الخطوط المتوازية مساوية للصفر.

الزاوية بين الخطوط المستقيمة لو ميُشار إليه بـ \(\widehat((l;m))\). ويترتب على التعريف أنه إذا قيس بالدرجات فهو صفر درجة < \(\واسعة((ل;م)) \) < 90 درجة، وإذا كان بالراديان، فهو 0 < \(\واسعة((ل;م)) \) < π / 2 .

مهمة.نظرا لمكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (الشكل 139).

أوجد الزاوية بين الخطين المستقيمين AB و DC 1.

معبر الخطوط المستقيمة AB و DC 1. بما أن الخط المستقيم DC يوازي الخط المستقيم AB، فإن الزاوية بين الخطين المستقيمين AB وDC 1، وفقًا للتعريف، تساوي \(\widehat(C_(1)DC)\).

لذلك، \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

مباشر لو موتسمى عمودي، إذا \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. على سبيل المثال، في مكعب

حساب الزاوية بين الخطوط المستقيمة.

يتم حل مشكلة حساب الزاوية بين خطين مستقيمين في الفضاء بنفس الطريقة كما في المستوى. دعونا نشير بـ φ إلى حجم الزاوية بين السطور ل 1 و ل 2، ومن خلال ψ - حجم الزاوية بين متجهات الاتجاه أ و ب هذه الخطوط المستقيمة.

ثم إذا

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (الشكل 206.6)، ثم φ = 180° - ψ. من الواضح أنه في كلتا الحالتين المساواة cos φ = |cos ψ| صحيحة. وفقًا للصيغة (جيب تمام الزاوية بين المتجهات غير الصفرية a و b يساوي المنتج القياسي لهذه المتجهات مقسومًا على منتج أطوالها) لدينا

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

لذلك،

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

دع الخطوط تُعطى بواسطة معادلاتها الأساسية

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; و \؛\؛ \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

ثم يتم تحديد الزاوية φ بين السطور باستخدام الصيغة

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

إذا تم إعطاء أحد الخطين (أو كليهما) بواسطة معادلات غير قانونية، لحساب الزاوية، فأنت بحاجة إلى العثور على إحداثيات متجهات الاتجاه لهذه الخطوط، ثم استخدم الصيغة (1).

مهمة 1.حساب الزاوية بين الخطوط

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;و\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة لها إحداثيات:

أ = (-√2 ; √2 ; -2), ب = (√3 ; √3 ; √6 ).

باستخدام الصيغة (1) نجد

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

وبالتالي فإن الزاوية بين هذين الخطين هي 60 درجة.

المهمة 2.حساب الزاوية بين الخطوط

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) و \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(الحالات) $$

خلف ناقل الدليل أ في السطر الأول، نأخذ حاصل الضرب المتجه للمتجهات العادية ن 1 = (3؛ 0؛ -12) و ن 2 = (1؛ 1؛ -3) مستويات تحدد هذا الخط. باستخدام الصيغة \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) نحصل على

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

وبالمثل، نجد متجه الاتجاه للخط المستقيم الثاني:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

لكن باستخدام الصيغة (1) نحسب جيب تمام الزاوية المطلوبة:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

وبالتالي فإن الزاوية بين هذين الخطين هي 90 درجة.

المهمة 3.في الهرم الثلاثي MABC، تكون الحواف MA وMB وMC متعامدة بشكل متبادل (الشكل 207)؛

أطوالها هي 4، 3، 6 على التوالي. النقطة D هي المنتصف [MA]. أوجد الزاوية φ بين الخطين CA وDB.

دع CA وDB هما متجها الاتجاه للخطوط المستقيمة CA وDB.

لنأخذ النقطة M كأصل الإحداثيات. حسب شرط المعادلة لدينا A (4؛ 0؛ 0)، B(0؛ 0؛ 3)، C(0؛ 6؛ 0)، D (2؛ 0؛ 0). ولذلك \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0)، \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). لنستخدم الصيغة (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) ))$$

وباستخدام جدول جيب التمام نجد أن الزاوية بين الخطين المستقيمين CA وDB تبلغ حوالي 72 درجة.

دع الخطين المستقيمين l و m على المستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية يُعطى من خلال المعادلات العامة: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0، m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

المتجهات العادية لهذه الخطوط: = (A 1 , B 1) – إلى الخط l,

= (أ2 ، ب2) – إلى السطر م.

دع j تكون الزاوية بين الخطين l و m.

بما أن الزوايا ذات الجوانب المتعامدة إما متساوية أو مجموعها p، إذن أي أن cos j = .

لذلك، أثبتنا النظرية التالية.

نظرية.لتكن j هي الزاوية بين خطين على المستوى، ولتحدد هذه الخطوط في نظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلات العامة A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 و A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. ثم cos j = .

تمارين.

1) اشتق صيغة لحساب الزاوية بين الخطوط المستقيمة إذا:

(1) تم تحديد كلا الخطين حدوديا؛ (2) يتم إعطاء كلا الخطين بواسطة المعادلات القانونية؛ (3) يتم تحديد خط واحد بارامتريًا، ويتم تحديد الخط الآخر بواسطة معادلة عامة؛ (4) يتم إعطاء كلا الخطين بمعادلة ذات معامل زاوي.

2) افترض أن j هي الزاوية بين خطين مستقيمين على المستوى، ودع هذه الخطوط المستقيمة محددة في نظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلتين y = k 1 x + b 1 و y =k 2 x + b 2 .

ثم تان ي = .

3) استكشف الموضع النسبي لخطين مستقيمين، المعطاة بواسطة المعادلات العامة في نظام الإحداثيات الديكارتية، واملأ الجدول:

المسافة من نقطة إلى خط مستقيم على المستوى.

دع الخط المستقيم l على المستوى في نظام الإحداثيات الديكارتية يُعطى بواسطة المعادلة العامة Ax + By + C = 0. دعونا نجد المسافة من النقطة M(x 0 , y 0) إلى الخط المستقيم l.

المسافة من النقطة M إلى الخط المستقيم l هي طول HM المتعامد (H О l، HM ^ l).

المتجه والمتجه العادي للخط l على خط واحد، لذلك | | = | | | | و | | = .

دع إحداثيات النقطة H هي (x,y).

بما أن النقطة H تنتمي إلى الخط l، فإن Ax + By + C = 0 (*).

إحداثيات المتجهات و: = (x 0 - x، y 0 - y)، = (A، B).

| | = = =

(C = -الفأس - بواسطة، انظر (*))

نظرية.دع الخط المستقيم l محدد في نظام الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلة العامة Ax + By + C = 0. ثم يتم حساب المسافة من النقطة M(x 0 , y 0) إلى هذا الخط المستقيم بالصيغة: r ( م ؛ ل) = .

تمارين.

1) اشتق صيغة لحساب المسافة من نقطة إلى خط إذا: (1) تم إعطاء الخط بارامتريًا؛ (2) يتم إعطاء الخط للمعادلات القانونية؛ (3) يتم إعطاء الخط المستقيم بمعادلة ذات معامل زاوي.

2) اكتب معادلة دائرة مماسة للخط 3x – y = 0، مركزها عند النقطة Q(-2,4).

3) اكتب معادلات الخطوط التي تقسم الزوايا المتكونة من تقاطع الخطين 2x + y - 1 = 0 و x + y + 1 = 0 إلى النصف.

§ 27. التعريف التحليلي للطائرة في الفضاء

تعريف. المتجه الطبيعي للطائرةسوف نسمي المتجه غير الصفري، الذي يكون أي ممثل له متعامدًا على مستوى معين.

تعليق.من الواضح أنه إذا كان ممثل واحد على الأقل من المتجه عموديًا على المستوى، فإن جميع الممثلين الآخرين للمتجه يكونون متعامدين مع هذا المستوى.

دعونا نعطي نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء.

لنفترض أن المستوى = (A, B, C) - المتجه الطبيعي لهذا المستوى، النقطة M (x 0 , y 0 , z 0) تنتمي إلى المستوى a.

بالنسبة لأي نقطة N(x, y, z) من المستوى a، تكون المتجهات متعامدة، أي أن منتجها القياسي يساوي الصفر: = 0. دعونا نكتب المساواة الأخيرة في الإحداثيات: A(x - x 0) ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

دع -Ax 0 - بواسطة 0 - Cz 0 = D، ثم Ax + By + Cz + D = 0.

لنأخذ نقطة K (x, y) بحيث Ax + By + Cz + D = 0. وبما أن D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0، إذن أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + ج(ض - ض 0) = 0.بما أن إحداثيات القطعة الموجهة = (x - x 0, y - y 0, z - z 0)، فإن المساواة الأخيرة تعني أن ^، وبالتالي، K О a.

وبذلك أثبتنا النظرية التالية:

نظرية.يمكن تحديد أي مستوى في الفضاء في نظام الإحداثيات الديكارتية بمعادلة على الشكل Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0)، حيث (A، B، C) هي إحداثيات المتجه الطبيعي لهذه الطائرة.

والعكس صحيح أيضا.

نظرية.أي معادلة من الشكل Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) في نظام الإحداثيات الديكارتية تحدد مستوى معين، و (A، B، C) هي إحداثيات المستوى الطبيعي ناقلات لهذه الطائرة.

دليل.

خذ نقطة M (x 0 , y 0 , z 0) بحيث يكون Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 والمتجه = (A, B, C) ( ≠ q).

يمر مستوى (واحد فقط) عبر النقطة M المتعامدة مع المتجه. وفقا للنظرية السابقة، يتم الحصول على هذا المستوى من خلال المعادلة Ax + By + Cz + D = 0.

تعريف.تسمى معادلة على الصورة Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) معادلة المستوى العام.

مثال.

لنكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط M (0,2,4)، N (1،-1،0) و K (-1،0،5).

1. أوجد إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى (MNK). بما أن المنتج المتجه ´ متعامد مع المتجهات غير الخطية، فإن المتجه يكون على خط واحد ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11، 3، -5).

إذن، باعتباره المتجه العادي نأخذ المتجه = (-11، 3، -5).

2. دعونا الآن نستخدم نتائج النظرية الأولى:

معادلة هذا المستوى A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0، حيث (A, B, C) هي إحداثيات المتجه العادي، (x 0 , y 0 , z 0) – إحداثيات نقطة تقع في المستوى (على سبيل المثال، النقطة M).

11(س - 0) + 3(ص - 2) - 5(ض - 4) = 0

11س + 3ص – 5ض + 14 = 0

الإجابة: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

تمارين.

1) اكتب معادلة المستوى إذا

(1) يمر المستوى عبر النقطة M (-2,3,0) الموازية للمستوى 3x + y + z = 0؛

(2) يحتوي المستوى على المحور (Ox) وهو متعامد مع المستوى x + 2y - 5z + 7 = 0.

2) اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقاط الثلاث المعطاة.

§ 28. التعريف التحليلي لنصف المساحة*

تعليق*. دع بعض الطائرة تكون ثابتة. تحت نصف المساحةسوف نفهم مجموعة النقاط الواقعة على أحد جانبي مستوى معين، أي أن نقطتين تقعان في نفس نصف المساحة إذا كانت القطعة التي تربطهما لا تتقاطع مع المستوى المحدد. تسمى هذه الطائرة حدود هذا النصف الفضاء. سيتم استدعاء اتحاد هذه الطائرة ونصف الفضاء نصف مساحة مغلقة.

دع نظام الإحداثيات الديكارتية يكون ثابتًا في الفضاء.

نظرية.دع المستوى a يُعطى بالمعادلة العامة Ax + By + Cz + D = 0. ثم يُعطى أحد نصفي المساحة اللذين يقسم إليهما المستوى a الفضاء بالمتباينة Ax + By + Cz + D > 0 ، ونصف المساحة الثاني يُعطى بالمتباينة Ax + By + Cz + D< 0.

دليل.

دعونا نرسم المتجه العادي = (A, B, C) إلى المستوى a من النقطة M (x 0 , y 0 , z 0) الواقعة على هذا المستوى: = , M О a, MN ^ a. يقسم المستوى الفضاء إلى نصفين: ب 1 و ب 2. ومن الواضح أن النقطة N تنتمي إلى أحد هذه المساحات النصفية. وبدون فقدان العمومية، سنفترض أن N О b 1 .

دعونا نثبت أن نصف المساحة b 1 يتم تعريفه من خلال عدم المساواة Ax + By + Cz + D > 0.

1) خذ نقطة K(x,y,z) في نصف المساحة b 1 . الزاوية Ð NMK هي الزاوية بين المتجهات و- الحادة، وبالتالي فإن المنتج القياسي لهذه المتجهات يكون موجبًا: > 0. دعونا نكتب هذه المتباينة بالإحداثيات: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0، أي Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

بما أن M О b 1، فإن Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0، وبالتالي -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. وبالتالي، يمكن كتابة المتباينة الأخيرة على النحو التالي: Ax + By + تشيكوسلوفاكيا + د > 0.

2) خذ النقطة L(x,y) بحيث يكون Ax + By + Cz + D > 0.

دعونا نعيد كتابة المتراجحة عن طريق استبدال D بـ (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (بما أن M О b 1، ثم Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + ب(ص - ص 0) + ج(ض - ض 0) > 0.

المتجه ذو الإحداثيات (x - x 0,y - y 0, z - z 0) هو متجه، وبالتالي فإن التعبير A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) يمكن فهمها على أنها منتج عددي للمتجهات و. بما أن حاصل الضرب العددي للمتجهات موجب، فإن الزاوية بينهما حادة والنقطة L О b 1 .

وبالمثل، يمكننا إثبات أن نصف المساحة b 2 يُعطى من خلال المتراجحة Ax + By + Cz + D< 0.

ملحوظات.

1) من الواضح أن البرهان المذكور أعلاه لا يعتمد على اختيار النقطة M في المستوى a.

2) من الواضح أنه يمكن تعريف نفس نصف المساحة من خلال متباينات مختلفة.

والعكس صحيح أيضا.

نظرية.أي متباينة خطية بالشكل Ax + By + Cz + D > 0 (أو Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

دليل.

المعادلة Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) في الفضاء تحدد مستوى معين a (انظر § ...). كما ثبت في النظرية السابقة، فإن أحد نصفي المساحة اللذين يقسم إليهما المستوى المساحة يُعطى بالمتراجحة Ax Ax + By + Cz + D > 0.

ملحوظات.

1) من الواضح أنه يمكن تعريف نصف الفضاء المغلق من خلال متباينة خطية غير صارمة، وأي متباينة خطية غير صارمة في نظام الإحداثيات الديكارتية تحدد نصف فضاء مغلق.

2) يمكن تعريف أي متعدد السطوح المحدب على أنه تقاطع مساحات نصف مغلقة (حدودها عبارة عن مستويات تحتوي على وجوه متعدد السطوح) ، أي من الناحية التحليلية - من خلال نظام من عدم المساواة الخطية غير الصارمة.

تمارين.

1) إثبات النظريتين المقدمتين لنظام الإحداثيات التقاربي التعسفي.

2) هل العكس صحيح، أي نظام من المتباينات الخطية غير الصارمة يحدد مضلعًا محدبًا؟

يمارس.

1) تحقق من المواقع النسبية لمستويين محددين بواسطة المعادلات العامة في نظام الإحداثيات الديكارتية واملأ الجدول.

هذه المادة مخصصة لمفهوم مثل الزاوية بين خطين متقاطعين. في الفقرة الأولى سنشرح ماهيتها ونعرضها بالصور التوضيحية. ثم سننظر إلى الطرق التي يمكنك من خلالها العثور على جيب التمام وجيب التمام لهذه الزاوية والزاوية نفسها (سننظر بشكل منفصل في الحالات ذات المستوى والفضاء ثلاثي الأبعاد)، وسنقدم الصيغ اللازمة ونعرض الأمثلة بالضبط كيف يتم استخدامها في الممارسة العملية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

لكي نفهم ما هي الزاوية التي تتكون عند تقاطع خطين، علينا أن نتذكر تعريف الزاوية والعمودية ونقطة التقاطع.

التعريف 1

نسمي الخطين المتقاطعين إذا كان لهما نقطة مشتركة واحدة. وتسمى هذه النقطة نقطة تقاطع خطين.

ويقسم كل خط مستقيم بنقطة تقاطع إلى أشعة. كلا الخطين المستقيمين يشكلان أربع زوايا، اثنتان منها عموديتان، واثنتان متجاورتان. فإذا عرفنا قياس إحداها، فيمكننا تحديد الباقي.

لنفترض أننا نعرف أن إحدى الزوايا تساوي α. في هذه الحالة، الزاوية الرأسية بالنسبة لها ستكون أيضًا مساوية لـ α. للعثور على الزوايا المتبقية، علينا حساب الفرق 180 درجة - α. إذا كانت α تساوي 90 درجة، فستكون جميع الزوايا قائمة. تسمى الخطوط المتقاطعة بزوايا قائمة عموديًا (تم تخصيص مقالة منفصلة لمفهوم العمودي).

نلقي نظرة على الصورة:

دعنا ننتقل إلى صياغة التعريف الرئيسي.

التعريف 2

الزاوية التي تتكون من خطين متقاطعين هي قياس أصغر الزوايا الأربع التي تشكل هذين الخطين.

ويجب استخلاص نتيجة مهمة من التعريف: حجم الزاوية في هذه الحالة سيتم التعبير عنه بأي رقم حقيقي في الفترة (0، 90).إذا كان الخطان متعامدين فإن الزاوية بينهما ستكون في كل الأحوال يساوي 90 درجة.

تعد القدرة على إيجاد قياس الزاوية بين خطين متقاطعين مفيدة في حل العديد من المشكلات العملية. يمكن اختيار طريقة الحل من بين عدة خيارات.

في البداية، يمكننا أن نأخذ الطرق الهندسية. إذا كنا نعرف شيئًا عن الزوايا المتتامة، فيمكننا ربطها بالزاوية التي نحتاجها باستخدام خصائص الأشكال المتساوية أو المتشابهة. على سبيل المثال، إذا كنا نعرف أضلاع مثلث ونحتاج إلى حساب الزاوية بين الخطوط التي تقع عليها هذه الأضلاع، فإن نظرية جيب التمام مناسبة لحلنا. إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية في حالتنا، فسنحتاج أيضًا لإجراء العمليات الحسابية إلى معرفة جيب الزاوية وجيب التمام وظلها.

تعد طريقة الإحداثيات أيضًا ملائمة جدًا لحل المشكلات من هذا النوع. دعونا نشرح كيفية استخدامه بشكل صحيح.

لدينا نظام إحداثيات مستطيل (ديكارتي) O x y، حيث يتم إعطاء خطين مستقيمين. دعنا نشير إليهم بالحرفين a و b. يمكن وصف الخطوط المستقيمة باستخدام بعض المعادلات. الخطوط الأصلية لها نقطة تقاطع M. كيفية تحديد الزاوية المطلوبة (دعنا نشير إليها α) بين هذه الخطوط المستقيمة؟

لنبدأ بصياغة المبدأ الأساسي لإيجاد زاوية في ظل ظروف معينة.

نحن نعلم أن مفهوم الخط المستقيم يرتبط ارتباطًا وثيقًا بمفاهيم مثل متجه الاتجاه والمتجه العادي. إذا كانت لدينا معادلة خط معين، فيمكننا أخذ إحداثيات هذه المتجهات منه. يمكننا فعل ذلك مع خطين متقاطعين في وقت واحد.

يمكن إيجاد الزاوية المقابلة لمستقيمين متقاطعين باستخدام:

• الزاوية بين متجهات الاتجاه؛
• الزاوية بين المتجهات العادية؛
• الزاوية بين المتجه الطبيعي لأحد الخطوط ومتجه الاتجاه للخط الآخر.

الآن دعونا نلقي نظرة على كل طريقة على حدة.

1. لنفترض أن لدينا خط أ مع متجه اتجاه a → = (a x, a y) وخط b مع متجه اتجاه b → (b x, b y). لنرسم الآن المتجهين a → وb → من نقطة التقاطع. بعد ذلك سنرى أن كل منهما يقع على خط مستقيم خاص به. ثم لدينا أربعة خيارات لترتيبها النسبي. انظر الرسم التوضيحي:

إذا كانت الزاوية بين متجهين ليست منفرجة، فستكون هي الزاوية التي نحتاجها بين الخطين المتقاطعين a وb. إذا كانت منفرجة، فإن الزاوية المطلوبة ستكون مساوية للزاوية المجاورة للزاوية a →، b → ^. وبالتالي، α = a → , b → ^ إذا a → , b → ^ ≥ 90 ° و α = 180 ° - a → , b → ^ إذا a → , b → ^ > 90 ° .

بناءً على حقيقة أن جيب تمام الزوايا المتساوية متساوي، يمكننا إعادة كتابة المساواة الناتجة على النحو التالي: cos α = cos a →, b → ^, if a →, b → ^ ≥ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →، b → ^ = - cos a →، b → ^، إذا a →، b → ^ > 90 درجة.

وفي الحالة الثانية، تم استخدام صيغ التخفيض. هكذا،

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

لنكتب الصيغة الأخيرة بالكلمات:

التعريف 3

سيكون جيب تمام الزاوية المتكونة من خطين مستقيمين متقاطعين مساوياً لمعامل جيب تمام الزاوية بين متجهات اتجاهها.

الصيغة العامة لصيغة جيب تمام الزاوية بين متجهين a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) تبدو كما يلي:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

ومنه يمكننا استخلاص صيغة جيب التمام للزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين محددين:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

ومن ثم يمكن إيجاد الزاوية نفسها باستخدام الصيغة التالية:

α = أ ص ج كوس أ س ب س + أ ص + ب ذ أ س 2 + أ ص 2 ب س 2 + ب ص 2

هنا a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y) هما متجها الاتجاه للخطوط المعطاة.

دعونا نعطي مثالا على حل المشكلة.

مثال 1

في نظام الإحداثيات المستطيل على المستوى، يتم إعطاء خطين متقاطعين a و b. يمكن وصفها بالمعادلات البارامترية x = 1 + 4 · lect y = 2 + lect lect ∈ R و x 5 = y - 6 - 3. احسب الزاوية بين هذه الخطوط.

حل

لدينا معادلة بارامترية في حالتنا، وهو ما يعني أنه بالنسبة لهذا الخط، يمكننا كتابة إحداثيات متجه اتجاهه على الفور. للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى أخذ قيم المعاملات للمعلمة، أي. الخط المستقيم x = 1 + 4 · lecty y = 2 + lect lect ∈ R سيكون له متجه اتجاه a → = (4, 1).

يتم وصف السطر الثاني باستخدام المعادلة الأساسية x 5 = y - 6 - 3. هنا يمكننا أخذ الإحداثيات من المقامات. وبالتالي، فإن هذا الخط له متجه اتجاه b → = (5 , - 3) .

بعد ذلك، ننتقل مباشرة إلى إيجاد الزاوية. للقيام بذلك، ببساطة قم باستبدال الإحداثيات الموجودة للمتجهين في الصيغة أعلاه α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 . نحصل على ما يلي:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °

إجابة: هذه الخطوط المستقيمة تشكل زاوية قياسها 45 درجة.

يمكننا حل مسألة مماثلة بإيجاد الزاوية بين المتجهات العادية. إذا كان لدينا خط a بمتجه عادي n a → = (n a x , n a y) وخط b بمتجه عادي n b → = (n b x , n b y)، فإن الزاوية بينهما ستكون مساوية للزاوية بين n a → و n b → أو الزاوية التي ستكون مجاورة لـ n a →، n b → ^. هذه الطريقة موضحة في الصورة :

تبدو الصيغ لحساب جيب تمام الزاوية بين الخطوط المتقاطعة وهذه الزاوية نفسها باستخدام إحداثيات المتجهات العادية كما يلي:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

هنا n a → و n b → تشير إلى المتجهات العادية لخطين محددين.

مثال 2

في نظام الإحداثيات المستطيل، يتم إعطاء خطين مستقيمين باستخدام المعادلتين 3 x + 5 y - 30 = 0 و x + 4 y - 17 = 0. أوجد جيب التمام وجيب التمام للزاوية بينهما ومقدار هذه الزاوية نفسها.

حل

يتم تحديد الخطوط الأصلية باستخدام معادلات الخطوط العادية من النموذج A x + B y + C = 0. نشير إلى المتجه الطبيعي كـ n → = (A، B). لنجد إحداثيات المتجه الطبيعي الأول لسطر واحد ونكتبها: n a → = (3, 5) . بالنسبة للسطر الثاني x + 4 y - 17 = 0، سيكون للمتجه العادي إحداثيات n b → = (1, 4). الآن دعونا نضيف القيم التي تم الحصول عليها إلى الصيغة ونحسب الإجمالي:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

إذا كنا نعرف جيب تمام الزاوية، فيمكننا حساب جيبها باستخدام الهوية المثلثية الأساسية. بما أن الزاوية α التي تتكون من الخطوط المستقيمة ليست منفرجة، إذن sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

في هذه الحالة، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.

الإجابة: cos α = 23 2 34، sin α = 7 2 34، α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

دعونا نحلل الحالة الأخيرة - إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة إذا كنا نعرف إحداثيات متجه الاتجاه لأحد الخطوط المستقيمة والمتجه العمودي للآخر.

لنفترض أن الخط المستقيم a له متجه اتجاه a → = (a x , a y) والخط المستقيم b له متجه عادي n b → = (n b x , n b y) . علينا أن نبعد هذه المتجهات عن نقطة التقاطع ونفكر في جميع الخيارات المتعلقة بمواضعها النسبية. انظر في الصورة:

إذا كانت الزاوية بين المتجهات المعطاة لا تزيد عن 90 درجة، فقد اتضح أنها ستكمل الزاوية بين a وb إلى الزاوية القائمة.

أ → , ن ب → ^ = 90 درجة - α إذا أ → , ن ب → ^ ≥ 90 درجة .

وإذا كانت أقل من 90 درجة نحصل على ما يلي:

أ → ، ن ب → ^ > 90 درجة ، ثم أ → ، ن ب → ^ = 90 درجة + α

باستخدام قاعدة مساواة جيب التمام للزوايا المتساوية نكتب:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α لـ a → , n b → ^ ≥ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α لـ a → , n b → ^ > 90 ° .

هكذا،

الخطيئة α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≥ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , أ → , ن ب → ^ > 0 - جتا أ → , ن ب → ^ , أ → , ن ب → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

دعونا صياغة الاستنتاج.

التعريف 4

للعثور على جيب الزاوية بين خطين متقاطعين على المستوى، تحتاج إلى حساب معامل جيب التمام للزاوية بين متجه الاتجاه للخط الأول والمتجه العادي للثاني.

دعونا نكتب الصيغ اللازمة. إيجاد جيب الزاوية:

الخطيئة α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

إيجاد الزاوية نفسها:

α = أ ص ج خطيئة = أ س ن ب س + أ ذ ن ب ص أ س 2 + أ ص 2 ن ب س 2 + ن ب ص 2

هنا a → هو متجه الاتجاه للخط الأول، و n b → هو المتجه الطبيعي للخط الثاني.

مثال 3

يتم إعطاء خطين متقاطعين بواسطة المعادلتين x - 5 = y - 6 3 و x + 4 y - 17 = 0. أوجد زاوية التقاطع.

حل

نحن نأخذ إحداثيات الدليل والمتجه الطبيعي من المعادلات المعطاة. اتضح أن → = (- 5، 3) و n → ب = (1، 4). نأخذ الصيغة α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 ونحسب:

α = أ r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

يرجى ملاحظة أننا أخذنا المعادلات من المشكلة السابقة وحصلنا على نفس النتيجة بالضبط، ولكن بطريقة مختلفة.

إجابة:α = أ r c sin 7 2 34

دعونا نقدم طريقة أخرى لإيجاد الزاوية المطلوبة باستخدام المعاملات الزاوية لخطوط مستقيمة معينة.

لدينا خط a، والذي تم تعريفه في نظام إحداثي مستطيل باستخدام المعادلة y = k 1 x + b 1، وخط b، تم تعريفه على أنه y = k 2 x + b 2. هذه معادلات للخطوط ذات المنحدرات. لإيجاد زاوية التقاطع نستخدم الصيغة:

α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1، حيث k 1 و k 2 هما ميلا المستقيمين المعينين. للحصول على هذا السجل، تم استخدام صيغ لتحديد الزاوية من خلال إحداثيات المتجهات العادية.

مثال 4

هناك خطان متقاطعان في المستوى، من خلال المعادلتين y = - 3 5 x + 6 و y = - 1 4 x + 17 4. احسب قيمة زاوية التقاطع.

حل

المعاملات الزاوية لخطوطنا تساوي k 1 = - 3 5 و k 2 = - 1 4. لنضيفها إلى الصيغة α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 ونحسب:

α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34

إجابة:α = أ r c cos 23 2 34

في استنتاجات هذه الفقرة، تجدر الإشارة إلى أن صيغ إيجاد الزاوية المذكورة هنا لا يجب حفظها عن ظهر قلب. للقيام بذلك، يكفي معرفة إحداثيات الأدلة و/أو المتجهات العادية لخطوط معينة والقدرة على تحديدها باستخدام أنواع مختلفة من المعادلات. ولكن من الأفضل أن تتذكر أو تكتب الصيغ الخاصة بحساب جيب تمام الزاوية.

كيفية حساب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة في الفضاء

يمكن اختزال حساب هذه الزاوية في حساب إحداثيات متجهات الاتجاه وتحديد حجم الزاوية التي تشكلها هذه المتجهات. لمثل هذه الأمثلة، يتم استخدام نفس المنطق الذي قدمناه من قبل.

لنفترض أن لدينا نظام إحداثيات مستطيل يقع في مساحة ثلاثية الأبعاد. يحتوي على خطين مستقيمين a وb مع نقطة تقاطعهما M. لحساب إحداثيات متجهات الاتجاه، علينا معرفة معادلات هذه الخطوط. دعونا نشير إلى متجهات الاتجاه a → = (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) . لحساب جيب تمام الزاوية بينهما، نستخدم الصيغة:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

للعثور على الزاوية نفسها، نحتاج إلى هذه الصيغة:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

مثال 5

لدينا خط محدد في فضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام المعادلة x 1 = y - 3 = z + 3 - 2. ومن المعروف أنه يتقاطع مع المحور O z. احسب زاوية التقاطع وجيب تمام تلك الزاوية.

حل

دعونا نشير إلى الزاوية التي يجب حسابها بالحرف α. دعونا نكتب إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم الأول – a → = (1, - 3, - 2) . بالنسبة للمحور المطبق، يمكننا أن نأخذ المتجه الإحداثي k → = (0، 0، 1) كدليل. لقد تلقينا البيانات اللازمة ويمكننا إضافتها إلى الصيغة المطلوبة:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

ونتيجة لذلك، وجدنا أن الزاوية التي نحتاجها ستكون مساوية لـ r c cos 1 2 = 45 °.

إجابة: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter