ما هو الإجراء لحساب المصفوفة العكسية. العثور على المصفوفة العكسية: ثلاث خوارزميات وأمثلة
يجب أن تكون هناك مصفوفة مربعة من الرتبة n
تسمى المصفوفة A -1 مصفوفة معكوسةبالنسبة للمصفوفة A، إذا كان A*A -1 = E، حيث E هي مصفوفة الهوية من الترتيب n.
مصفوفة الهوية- مثل هذه المصفوفة المربعة التي تكون فيها جميع العناصر الموجودة على طول القطر الرئيسي، والتي تمتد من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلى، واحدة، والباقي أصفار، على سبيل المثال:
مصفوفة معكوسةقد تكون موجودة فقط للمصفوفات المربعةأولئك. لتلك المصفوفات التي يتطابق فيها عدد الصفوف والأعمدة.
نظرية وجود شرط وجود مصفوفة معكوسة
لكي تكون للمصفوفة مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون غير مفردة.
تسمى المصفوفة A = (A1, A2,...A n). غير منحطإذا كانت متجهات الأعمدة مستقلة خطيًا. يُطلق على عدد ناقلات الأعمدة المستقلة خطيًا للمصفوفة اسم رتبة المصفوفة. ولذلك يمكننا القول أنه لكي توجد مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة مساوية لبعدها، أي. ص = ن.
خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية
- اكتب المصفوفة A في الجدول لحل أنظمة المعادلات باستخدام الطريقة الغوسية وقم بتعيين المصفوفة E لها على اليمين (بدلاً من الأطراف اليمنى من المعادلات).
- باستخدام تحويلات جوردان، اختزل المصفوفة A إلى مصفوفة تتكون من أعمدة الوحدة؛ في هذه الحالة، من الضروري تحويل المصفوفة E في نفس الوقت.
- إذا لزم الأمر، قم بإعادة ترتيب الصفوف (المعادلات) في الجدول الأخير بحيث تحصل تحت المصفوفة A من الجدول الأصلي على مصفوفة الهوية E.
- اكتب المصفوفة العكسية A -1 الموجودة في الجدول الأخير أسفل المصفوفة E في الجدول الأصلي.
بالنسبة للمصفوفة A، أوجد المصفوفة العكسية A -1
الحل: نكتب المصفوفة A ونضع مصفوفة الهوية E على اليمين، وباستخدام تحويلات جوردان نختصر المصفوفة A إلى مصفوفة الهوية E. الحسابات موضحة في الجدول 31.1.
دعونا نتحقق من صحة الحسابات عن طريق ضرب المصفوفة الأصلية A والمصفوفة العكسية A -1.
ونتيجة لضرب المصفوفة، تم الحصول على مصفوفة الهوية. ولذلك، تم إجراء الحسابات بشكل صحيح.
إجابة: 
حل المعادلات المصفوفية
يمكن أن تبدو معادلات المصفوفة كما يلي:
الفأس = ب، ها = ب، AXB = ج،
حيث A، B، C هي المصفوفات المحددة، X هي المصفوفة المطلوبة.
يتم حل معادلات المصفوفات عن طريق ضرب المعادلة بالمصفوفات العكسية.
على سبيل المثال، للعثور على مصفوفة من المعادلة، عليك ضرب هذه المعادلة في الطرف الأيسر.
لذلك، لإيجاد حل للمعادلة، عليك إيجاد المصفوفة العكسية وضربها في المصفوفة الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة.
يتم حل المعادلات الأخرى بالمثل.
حل المعادلة AX = B إذا 
حل: بما أن المصفوفة العكسية تساوي (انظر المثال 1)
طريقة المصفوفة في التحليل الاقتصادي
جنبا إلى جنب مع الآخرين، يتم استخدامها أيضا طرق المصفوفة. تعتمد هذه الطرق على الجبر الخطي والمصفوفة المتجهة. وتستخدم هذه الأساليب لأغراض تحليل الظواهر الاقتصادية المعقدة والمتعددة الأبعاد. في أغلب الأحيان، يتم استخدام هذه الأساليب عندما يكون من الضروري إجراء تقييم مقارن لعمل المنظمات وأقسامها الهيكلية.
في عملية تطبيق أساليب تحليل المصفوفة، يمكن تمييز عدة مراحل.
في المرحلة الأولىيتم تشكيل نظام للمؤشرات الاقتصادية وعلى أساسه يتم تجميع مصفوفة البيانات الأولية، وهي عبارة عن جدول تظهر فيه أرقام النظام في صفوفه الفردية (ط = 1،2،....ن)وفي الأعمدة الرأسية - أرقام المؤشرات (ي = 1،2،....م).
في المرحلة الثانيةلكل عمود رأسي، يتم تحديد أكبر قيم المؤشرات المتاحة، والتي يتم أخذها كواحدة.
بعد ذلك، يتم تقسيم جميع المبالغ المنعكسة في هذا العمود على القيمة الأكبر ويتم تشكيل مصفوفة من المعاملات الموحدة.
في المرحلة الثالثةجميع مكونات المصفوفة مربعة. إذا كانت لها أهمية مختلفة، فسيتم تعيين معامل وزن معين لكل مؤشر مصفوفة ك. يتم تحديد قيمة هذا الأخير من خلال رأي الخبراء.
على الأخير، المرحلة الرابعةتم العثور على قيم التصنيف ر ييتم تجميعها حسب زيادتها أو نقصانها.
وينبغي استخدام أساليب المصفوفة الموضحة، على سبيل المثال، في التحليل المقارن لمختلف المشاريع الاستثمارية، وكذلك في تقييم المؤشرات الاقتصادية الأخرى لأنشطة المنظمات.
بالنسبة لأي مصفوفة غير مفردة A، هناك مصفوفة فريدة A -1 من هذا القبيل
أ*أ -1 =أ -1 *أ = ه،
حيث E هي مصفوفة الهوية التي لها نفس رتبة A. وتسمى المصفوفة A -1 معكوس المصفوفة A.
في حالة نسيان شخص ما، في مصفوفة الهوية، باستثناء القطر المملوء بالآحاد، فإن جميع المواضع الأخرى مليئة بالأصفار، مثال لمصفوفة الهوية:
إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة
يتم تعريف المصفوفة العكسية بالصيغة:
حيث Aij - العناصر aij.
أولئك. لحساب المصفوفة العكسية، تحتاج إلى حساب محدد هذه المصفوفة. ثم أوجد المكملات الجبرية لجميع عناصرها وأنشئ منها مصفوفة جديدة. بعد ذلك تحتاج إلى نقل هذه المصفوفة. ونقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة الجديدة على محدد المصفوفة الأصلية.
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.
أوجد A -1 للمصفوفة
الحل: دعونا نوجد A -1 باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة. لقد حددنا A = 2. فلنوجد المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة A. في هذه الحالة، ستكون المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة هي العناصر المقابلة للمصفوفة نفسها، مأخوذة بإشارة وفقًا للصيغة
لدينا أ 11 = 3، أ 12 = -4، أ 21 = -1، أ 22 = 2. نشكل المصفوفة المجاورة
نقوم بنقل المصفوفة A*:
نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:
نحن نحصل:
باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة، أوجد A -1 إذا
الحل: أولا نقوم بحساب تعريف هذه المصفوفة للتأكد من وجود المصفوفة العكسية. لدينا
أضفنا هنا إلى عناصر الصف الثاني عناصر الصف الثالث، مضروبة سابقاً في (-1)، ثم قمنا بتوسيع المحدد للصف الثاني. وبما أن تعريف هذه المصفوفة غير صفر، فإن مصفوفتها العكسية موجودة. لبناء المصفوفة المجاورة، نجد المتممات الجبرية لعناصر هذه المصفوفة. لدينا
وفقا للصيغة
مصفوفة النقل أ*:
ثم حسب الصيغة
إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة التحويلات الأولية
بالإضافة إلى طريقة إيجاد المصفوفة العكسية التي تتبع من الصيغة (طريقة المصفوفة المجاورة)، هناك طريقة لإيجاد المصفوفة العكسية تسمى طريقة التحويلات الأولية.
تحويلات المصفوفة الأولية
تسمى التحويلات التالية تحويلات المصفوفة الأولية:
1) إعادة ترتيب الصفوف (الأعمدة)؛
2) ضرب صف (عمود) برقم غير الصفر؛
3) إضافة إلى عناصر الصف (العمود) العناصر المقابلة لصف (عمود) آخر مضروبة مسبقًا برقم معين.
للعثور على المصفوفة A -1، نقوم بإنشاء مصفوفة مستطيلة B = (A|E) من الرتب (n; 2n)، ونخصص للمصفوفة A على اليمين مصفوفة الهوية E من خلال خط فاصل:
لنلقي نظرة على مثال.
باستخدام طريقة التحويلات الأولية، أوجد A -1 إذا
الحل: نشكل المصفوفة B:
دعونا نشير إلى صفوف المصفوفة B بواسطة α 1، α 2، α 3. دعونا نجري التحويلات التالية على صفوف المصفوفة B.
المصفوفة العكسية لمصفوفة معينة هي مثل هذه المصفوفة، ضرب المصفوفة الأصلية يعطي مصفوفة الهوية: الشرط الإلزامي والكافي لوجود مصفوفة معكوسة هو أن محدد المصفوفة الأصلية هو لا يساوي الصفر (وهذا بدوره يعني أن المصفوفة يجب أن تكون مربعة). إذا كان محدد المصفوفة يساوي الصفر، فإنها تسمى مفردة ومثل هذه المصفوفة ليس لها معكوس. في الرياضيات العليا، تعتبر المصفوفات العكسية مهمة وتستخدم لحل عدد من المسائل. على سبيل المثال، على العثور على المصفوفة العكسيةتم بناء طريقة مصفوفية لحل أنظمة المعادلات. يسمح موقع خدمتنا بذلك حساب المصفوفة العكسية على الانترنتطريقتان: طريقة غاوس-جوردان واستخدام مصفوفة الإضافات الجبرية. يتضمن الأول عددًا كبيرًا من التحولات الأولية داخل المصفوفة، بينما يتضمن الثاني حساب المحددات والإضافات الجبرية لجميع العناصر. لحساب محدد المصفوفة عبر الإنترنت، يمكنك استخدام خدمتنا الأخرى - حساب محدد المصفوفة عبر الإنترنت
.أوجد المصفوفة العكسية للموقع
موقع إلكترونييسمح لك بالعثور على مصفوفة معكوسة على الانترنتسريع ومجاني. يتم إجراء الحسابات على الموقع باستخدام خدمتنا ويتم تقديم النتيجة مع حل مفصل للعثور عليه مصفوفة معكوسة. يقدم الخادم دائمًا إجابة دقيقة وصحيحة فقط. في المهام حسب التعريف مصفوفة معكوسة على الانترنت، فمن الضروري أن المحدد المصفوفاتكان غير الصفر، وإلا موقع إلكترونيسيبلغ عن استحالة العثور على المصفوفة العكسية نظرًا لأن محدد المصفوفة الأصلية يساوي الصفر. مهمة العثور مصفوفة معكوسةوجدت في العديد من فروع الرياضيات، كونها واحدة من المفاهيم الأساسية للجبر وأداة رياضية في المسائل التطبيقية. مستقل تعريف المصفوفة العكسيةيتطلب جهدًا كبيرًا ووقتًا كبيرًا وحسابات وعناية كبيرة لتجنب الأخطاء المطبعية أو الأخطاء الطفيفة في الحسابات. ولذلك خدمتنا إيجاد المصفوفة العكسية على الإنترنتسيجعل مهمتك أسهل بكثير وسيصبح أداة لا غنى عنها لحل المشكلات الرياضية. حتى لو كنت العثور على المصفوفة العكسيةبنفسك، نوصيك بالتحقق من الحل الخاص بك على خادمنا. أدخل المصفوفة الأصلية على موقعنا. احسب المصفوفة العكسية عبر الإنترنت وتحقق من إجابتك. نظامنا لا يرتكب الأخطاء ويكتشف أبدًا مصفوفة معكوسةالبعد المحدد في الوضع متصلفورا! في الموقع موقع إلكترونييُسمح بإدخالات الأحرف في العناصر المصفوفات، في هذه الحالة مصفوفة معكوسة على الانترنتسيتم تقديمها في شكل رمزي عام.
دعونا ننظر في مشكلة تحديد العملية العكسية لضرب المصفوفة.
لتكن A مصفوفة مربعة من الرتبة n. المصفوفة A^(-1) تحقق مع المصفوفة A المعطاة المساواة:
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E،
مُسَمًّى يعكس. تسمى المصفوفة A تفريغ، إذا كان هناك عكس لذلك، وإلا - لا رجعة فيه.
ويترتب على التعريف أنه إذا كانت المصفوفة العكسية A^(-1) موجودة، فهي مربعة بنفس ترتيب A. ومع ذلك، ليس كل مصفوفة مربعة لها معكوس. إذا كان محدد المصفوفة A يساوي الصفر (\det(A)=0)، فلا يوجد معكوس لها. في الواقع، بتطبيق نظرية محدد ضرب المصفوفات لمصفوفة الهوية E=A^(-1)A نحصل على تناقض
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
حيث أن محدد مصفوفة الوحدة يساوي 1. وتبين أن المحدد غير الصفري لمصفوفة مربعة هو الشرط الوحيد لوجود مصفوفة معكوسة. تذكر أن المصفوفة المربعة التي يكون محددها يساوي الصفر تسمى مفردة (مفردة)، وإلا فإنها تسمى غير منحلة (غير مفردة).
النظرية 4.1 حول وجود وتفرد المصفوفة العكسية. مصفوفة مربعة A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix)، الذي محدده غير صفر، لديه مصفوفة معكوسة، وعلاوة على ذلك، واحد فقط:
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n) )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
حيث A^(+) هي المصفوفة المنقولة لمصفوفة مكونة من مكملات جبرية لعناصر المصفوفة A.
تسمى المصفوفة A^(+). مصفوفة مجاورةفيما يتعلق بالمصفوفة A.
في الواقع، المصفوفة \frac(1)(\det(A))\,A^(+)موجود تحت الشرط \det(A)\ne0 . من الضروري إظهار أنه معكوس لـ A، أي. يستوفي شرطين:
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(محاذاة)
دعونا نثبت المساواة الأولى. وفقا للفقرة 4 من الملاحظة 2.3، من خصائص المحدد يتبع ذلك AA^(+)=\det(A)\cdot E. لهذا
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E،
وهو ما يجب إظهاره. وأثبتت المساواة الثانية بطريقة مماثلة. ولذلك، في ظل الشرط \det(A)\ne0، فإن المصفوفة A لها معكوس
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).
سوف نثبت تفرد المصفوفة العكسية بالتناقض. دعونا، بالإضافة إلى المصفوفة A^(-1)، تكون هناك مصفوفة معكوسة أخرى B\,(B\ne A^(-1)) بحيث تكون AB=E. بضرب طرفي هذه المساواة من اليسار بالمصفوفة A^(-1) نحصل عليها \الدعامة السفلية(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. وبالتالي B=A^(-1) ، وهو ما يتعارض مع الافتراض B\ne A^(-1) . ولذلك، فإن المصفوفة العكسية فريدة من نوعها.
ملاحظات 4.1
1. يترتب على التعريف أن المصفوفتين A و A^(-1) تتنقلان.
2. معكوس المصفوفة القطرية غير المفردة هو أيضًا قطري:
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11))),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.
3. معكوس المصفوفة المثلثية السفلية (العلوية) غير المفردة هو المثلث السفلي (العلوي).
4. المصفوفات الأولية لها معكوسات، وهي أيضًا أولية (انظر الفقرة 1 من الملاحظات 1.11).
خصائص المصفوفة العكسية
تتميز عملية قلب المصفوفة بالخصائص التالية:
\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(محاذاة)
إذا كانت العمليات المحددة في المساواة 1-4 منطقية.
دعونا نثبت الخاصية 2: إذا كان المنتج AB لمصفوفات مربعة غير مفردة من نفس الترتيب له مصفوفة معكوسة، إذن (AB)^(-1)=B^(-1)أ^(-1).
في الواقع، محدد حاصل ضرب المصفوفتين AB لا يساوي الصفر، إذًا
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)، أين \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
ولذلك، فإن المصفوفة العكسية (AB)^(-1) موجودة وفريدة من نوعها. دعونا نوضح بالتعريف أن المصفوفة B^(-1)A^(-1) هي معكوس المصفوفة AB. حقًا.
إيجاد المصفوفة العكسية- مشكلة غالباً ما يتم حلها بطريقتين:
- طريقة الإضافات الجبرية، والتي تتطلب إيجاد المحددات ونقل المصفوفات؛
- الطريقة الغوسية لإزالة المجهولات، والتي تتطلب إجراء تحويلات أولية للمصفوفات (إضافة صفوف، ضرب الصفوف بنفس العدد، وما إلى ذلك).
بالنسبة لأولئك الذين لديهم فضول خاص، هناك طرق أخرى، على سبيل المثال، طريقة التحويلات الخطية. سنقوم في هذا الدرس بتحليل الطرق والخوارزميات الثلاثة المذكورة لإيجاد المصفوفة العكسية باستخدام هذه الطرق.
مصفوفة معكوسة أ، تسمى هذه المصفوفة
أ
. (1)
مصفوفة معكوسة ، والتي يجب العثور عليها لمصفوفة مربعة معينة أ، تسمى هذه المصفوفة
المنتج الذي المصفوفات أعلى اليمين توجد مصفوفة الهوية، أي.
. (1)
مصفوفة الهوية هي مصفوفة قطرية تكون فيها جميع العناصر القطرية مساوية لواحد.
نظرية.لكل مصفوفة مربعة غير مفردة (غير منحلة، غير مفردة)، يمكن العثور على مصفوفة معكوسة، وواحدة فقط. بالنسبة لمصفوفة مربعة خاصة (منحلة، مفردة)، فإن المصفوفة العكسية غير موجودة.
تسمى المصفوفة المربعة غير خاص(أو غير منحط, غير المفرد)، إذا كان محدده ليس صفراً، و خاص(أو منحط, صيغة المفرد) إذا كان محدده صفراً.
لا يمكن إيجاد معكوس المصفوفة إلا للمصفوفة المربعة. وبطبيعة الحال، ستكون المصفوفة العكسية أيضًا مربعة وبنفس ترتيب المصفوفة المعطاة. المصفوفة التي يمكن العثور على مصفوفة معكوسة لها تسمى مصفوفة مقلوبة.
ل مصفوفة معكوسة هناك تشبيه ذو صلة بعكس الرقم. لكل رقم أ، لا يساوي الصفر، هناك مثل هذا الرقم بأن العمل أو بيساوي واحد: أب= 1 . رقم بيسمى معكوس الرقم ب. على سبيل المثال، بالنسبة للرقم 7 فإن المقلوب هو 1/7، حيث أن 7*1/7=1.
إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة الإضافات الجبرية (المصفوفة المتحالفة)
لمصفوفة مربعة غير مفردة أالمعكوس هو المصفوفة
أين هو محدد المصفوفة أ، a عبارة عن مصفوفة متحالفة مع المصفوفة أ.
متحالفة مع مصفوفة مربعة أهي مصفوفة من نفس الترتيب، وعناصرها هي المكملات الجبرية للعناصر المقابلة لمحدد المصفوفة المنقولة بالنسبة إلى المصفوفة A. وهكذا، إذا
الذي - التي 
و 
خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة الإضافات الجبرية
1. أوجد محدد هذه المصفوفة أ. إذا كان المحدد يساوي الصفر، يتوقف إيجاد المصفوفة العكسية، لأن المصفوفة فردية ومعكوسها غير موجود.
2. أوجد المصفوفة المنقولة بالنسبة إلى أ.
3. احسب عناصر مصفوفة الاتحاد كمكملات جبرية للماريتز الموجودة في الخطوة 2.
4. تطبيق الصيغة (2): اضرب معكوس محدد المصفوفة أ، إلى مصفوفة الاتحاد الموجودة في الخطوة 4.
5. تحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها في الخطوة 4 عن طريق ضرب هذه المصفوفة أإلى المصفوفة العكسية. إذا كان حاصل ضرب هذه المصفوفات يساوي مصفوفة الوحدة، فقد تم العثور على المصفوفة العكسية بشكل صحيح. وإلا، فابدأ عملية الحل مرة أخرى.
مثال 1.للمصفوفة
العثور على المصفوفة العكسية.
حل. للعثور على المصفوفة العكسية، عليك إيجاد محدد المصفوفة أ. نجد بقاعدة المثلثات :
ولذلك، المصفوفة أ- غير مفرد (غير منحط، غير مفرد) وله عكس.
دعونا نجد مصفوفة متحالفة مع هذه المصفوفة أ.
دعونا نوجد المصفوفة المنقولة بالنسبة للمصفوفة أ:
نحسب عناصر المصفوفة المتحالفة كمكملات جبرية للمصفوفة المنقولة بالنسبة للمصفوفة أ:
لذلك، المصفوفة المتحالفة مع المصفوفة أ، لديه النموذج
تعليق.قد يكون الترتيب الذي يتم به حساب العناصر ونقل المصفوفة مختلفًا. يمكنك أولاً حساب المكملات الجبرية للمصفوفة أ، ثم قم بتبديل المصفوفة التكميلية الجبرية. يجب أن تكون النتيجة نفس عناصر مصفوفة الاتحاد.
وبتطبيق الصيغة (2)، نجد المصفوفة معكوسة للمصفوفة أ:
إيجاد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة الحذف المجهولة الغوسية
الخطوة الأولى للعثور على معكوس المصفوفة باستخدام طريقة الحذف الغوسية هي إسناد المصفوفة أمصفوفة هوية بنفس الترتيب، ويفصل بينها شريط عمودي. سوف نحصل على مصفوفة مزدوجة. دعونا نضرب طرفي هذه المصفوفة ب، ثم نحصل عليها
,
خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية باستخدام طريقة الحذف المجهولة الغوسية
1. إلى المصفوفة أتعيين مصفوفة هوية من نفس الترتيب.
2. قم بتحويل المصفوفة المزدوجة الناتجة بحيث تحصل على مصفوفة وحدة على جانبها الأيسر، ثم على الجانب الأيمن، بدلاً من مصفوفة الهوية، تحصل تلقائيًا على مصفوفة معكوسة. مصفوفة أعلى الجانب الأيسر يتم تحويله إلى مصفوفة الهوية عن طريق تحويلات المصفوفة الأولية.
2. إذا كان في عملية تحويل المصفوفة أفي مصفوفة الهوية سيكون هناك أصفار فقط في أي صف أو في أي عمود، فيكون محدد المصفوفة يساوي صفر، وبالتالي المصفوفة أستكون مفردة، ولا تحتوي على مصفوفة معكوسة. في هذه الحالة، يتوقف تحديد المصفوفة العكسية.
مثال 2.للمصفوفة
العثور على المصفوفة العكسية.
وسوف نقوم بتحويله بحيث نحصل على الجانب الأيسر من مصفوفة الهوية. نبدأ التحول.
نضرب الصف الأول من المصفوفة اليمنى واليسرى في (-3) ونضيفه إلى الصف الثاني، ثم نضرب الصف الأول في (-4) ونضيفه إلى الصف الثالث، ثم نحصل على
.
للتأكد من عدم وجود أرقام كسرية في التحويلات اللاحقة، دعونا أولاً ننشئ وحدة في الصف الثاني على الجانب الأيسر من المصفوفة المزدوجة. للقيام بذلك، اضرب السطر الثاني في 2 واطرح السطر الثالث منه، ثم نحصل عليه
.
لنضيف السطر الأول مع الثاني، ثم نضرب السطر الثاني في (-9) ونضيفه مع السطر الثالث. ثم نحصل
.
ثم اقسم السطر الثالث على 8
.
اضرب السطر الثالث في 2 وأضفه إلى السطر الثاني. اتضح:
.
فلنبدل السطرين الثاني والثالث، ثم أخيرًا نحصل على:
.
نلاحظ أن لدينا في الجانب الأيسر مصفوفة الوحدة، وبالتالي لدينا في الجانب الأيمن مصفوفة معكوسة. هكذا:
.
يمكنك التحقق من صحة الحسابات عن طريق ضرب المصفوفة الأصلية بالمصفوفة العكسية الموجودة:
يجب أن تكون النتيجة مصفوفة معكوسة.
مثال 3.للمصفوفة
العثور على المصفوفة العكسية.
حل. تجميع مصفوفة مزدوجة
وسوف نقوم بتحويله.
نضرب السطر الأول في 3، والثاني في 2، ونطرح من الثاني، ثم نضرب السطر الأول في 5، والثالث في 2 ونطرح من السطر الثالث، فنحصل على
.
نضرب السطر الأول في 2 ونضيفه إلى الثاني، ثم نطرح الثاني من السطر الثالث، فنحصل على
.
نلاحظ أنه في السطر الثالث على الجانب الأيسر، جميع العناصر تساوي صفرًا. ولذلك فإن المصفوفة فردية وليس لها مصفوفة معكوسة. نتوقف عن إيجاد معكوس ماريتز.
