التباين المتبقي. التباين والانحراف المعياري في MS EXCEL
التباين (التشتت) للمتغير العشوائي هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي:
لحساب التباين، يمكنك استخدام صيغة معدلة قليلاً
لأن م (س)، 2 و 
- القيم الثابتة. هكذا،
4.2.2. خصائص التشتت
الخاصية 1.تباين القيمة الثابتة هو صفر. في الواقع، بحكم التعريف
الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التشتت عن طريق تربيعه.
دليل
توسيط المتغير العشوائي هو انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي:
تحتوي الكمية المركزية على خاصيتين مناسبتين للتحويل:
الملكية 3.إذا كانت المتغيرات العشوائية X و يمستقلة إذن
دليل. دعونا نشير 
. ثم.
وفي الفصل الثاني نظرا لاستقلالية المتغيرات العشوائية وخصائص المتغيرات العشوائية المتمركزة
مثال 4.5.لو أو ب- الثوابت، ثم د (أX+ب)=
د(أ×)+د(ب)=
.
4.2.3. الانحراف المعياري
التشتت، كخاصية لانتشار المتغير العشوائي، له عيب واحد. إذا، على سبيل المثال، X- خطأ القياس له بعد مم، فإن التشتت له البعد 
. لذلك، غالبًا ما يفضلون استخدام خاصية مبعثرة أخرى - الانحراف المعياري
، وهو ما يساوي الجذر التربيعي للتباين
الانحراف المعياري له نفس البعد مثل المتغير العشوائي نفسه.
مثال 4.6.تباين عدد تكرارات الحدث في تصميم تجربة مستقلة
أنتجت نالتجارب المستقلة واحتمال وقوع حدث في كل تجربة هو ر. دعونا نعبر، كما في السابق، عن عدد مرات حدوث الحدث Xمن خلال عدد تكرارات الحدث في التجارب الفردية:
وبما أن التجارب مستقلة، فإن المتغيرات العشوائية المرتبطة بالتجارب 
مستقل. وبسبب الاستقلال 
لدينا
لكن كل من المتغيرات العشوائية له قانون توزيع (مثال 3.2)
|
| ||
و 
(المثال 4.4). لذلك، من خلال تعريف التباين:
أين س=1- ص.
ونتيجة لذلك لدينا 
,
الانحراف المعياري لعدد تكرارات الحدث نالتجارب المستقلة متساوية 
.
4.3. لحظات المتغيرات العشوائية
بالإضافة إلى تلك التي تم بحثها بالفعل، فإن المتغيرات العشوائية لها العديد من الخصائص العددية الأخرى.
لحظة البداية
ك X
(
) يسمى التوقع الرياضي ك-القوة لهذا المتغير العشوائي.
لحظة مركزية كالمتغير العشوائي من الرتبة الرابعة Xيسمى التوقع الرياضي ك-القوة العشرية للكمية المركزية المقابلة.
من السهل أن نرى أن العزم المركزي من الدرجة الأولى يساوي دائمًا الصفر، والعزم المركزي من الدرجة الثانية يساوي التشتت، حيث أن .
تعطي العزم المركزي من الدرجة الثالثة فكرة عن عدم تناسق توزيع المتغير العشوائي. نادرًا ما يتم استخدام لحظات الترتيب الأعلى من الثانية نسبيًا، لذلك سنقتصر على المفاهيم نفسها فقط.
4.4. أمثلة على إيجاد قوانين التوزيع
دعونا نفكر في أمثلة لإيجاد قوانين توزيع المتغيرات العشوائية وخصائصها العددية.
مثال 4.7.
ضع قانوناً لتوزيع عدد الضربات على الهدف بثلاث طلقات على الهدف، إذا كان احتمال الإصابة بكل طلقة هو 0.4. أوجد الدالة التكاملية F(X)للتوزيع الناتج لمتغير عشوائي منفصل Xورسم رسم بياني لها. أوجد القيمة المتوقعة م(X)
، التباين د(X)
والانحراف المعياري 
(X) متغير عشوائي X.
حل
1) المتغير العشوائي المنفصل X– عدد الضربات على الهدف بثلاث طلقات – يمكن أن يأخذ أربع قيم : 0, 1, 2, 3 . تم العثور على احتمال قبول كل واحد منهم باستخدام صيغة برنولي مع: ن=3,ص=0,4,س=1- ص=0.6 و م=0, 1, 2, 3:
دعونا نحصل على احتمالات القيم المحتملة X:;
دعونا نؤلف قانون توزيع المتغير العشوائي المطلوب X:
التحكم: 0.216+0.432+0.288+0.064=1.
لنقم بإنشاء مضلع توزيع للمتغير العشوائي الناتج X. للقيام بذلك، في نظام الإحداثيات المستطيل، نحدد النقاط (0؛ 0.216)، (1؛ 0.432)، (2؛ 0.288)، (3؛ 0.064). دعونا نربط هذه النقاط بقطع مستقيمة، والخط المتقطع الناتج هو مضلع التوزيع المطلوب (الشكل 4.1).
2) إذا س 
0 إذن F(X)=0. في الواقع، بالنسبة للقيم الأقل من الصفر، فإن القيمة Xلم يقبل. لذلك للجميع X
0 باستخدام التعريف F(X)، نحن نحصل F(X)=ص(X<
س)
=0 (كاحتمال وقوع حدث مستحيل).
إذا 0 
، الذي - التي F(X)
=0.216. في الواقع، في هذه الحالة F(X)=ص(X<
س)
=
=ص(-
<
X 
0)+
ص(0<
X<
س)
=0,216+0=0,216.
فإذا أخذنا مثلاً X=0.2 إذن F(0,2)=ص(X<0,2) . ولكن احتمال وقوع حدث X<0,2 равна 0,216, так как случайная величинаXفي حالة واحدة فقط تأخذ قيمة أقل من 0.2، وهي 0 مع احتمال 0.216.
إذا 1 
، الذي - التي
حقًا، Xيمكن أن تأخذ القيمة 0 باحتمال 0.216 والقيمة 1 باحتمال 0.432؛ ولذلك فإن أحد هذه المعاني مهما كان، Xيمكن قبوله (وفقًا لنظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة) باحتمال 0.648.
إذا 2 
، إذن، بحجة مماثلة، نحصل على F(X)=0.216+0.432 + + 0.288=0.936. في الواقع، دعونا، على سبيل المثال، X=3. ثم F(3)=ص(X<3)
يعبر عن احتمالية وقوع حدث ما X<3 –
стрелок сделает меньше трех попаданий,
т.е. ноль, один или два. Применяя теорему
сложения вероятностей, получим указанное
значение функцииF(X).
لو س> 3 ثم F(X)=0.216+0.432+0.288+0.064=1. وبالفعل الحدث X
موثوقة واحتمالها يساوي واحد، و X> 3 - مستحيل. معتبرا أن
F(X)=ص(X<
س)
=ص(X 
3)
+
ص(3<
X<
س)
، نحصل على النتيجة المشار إليها.
وبذلك يتم الحصول على دالة التوزيع التكاملي المطلوبة للمتغير العشوائي X:
F(س)
=
الرسم البياني الذي يظهر في الشكل. 4.2.
3) التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المتقطع يساوي مجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة Xعلى احتمالاتهم:
م (س)=0=1,2.
أي أنه في المتوسط هناك إصابة واحدة على الهدف بثلاث طلقات.
يمكن حساب التباين من تعريف التباين د(X)=
م(X-
م(X))
أو استخدم الصيغة د(X)=
م(X 
مما يؤدي إلى الهدف بشكل أسرع.
لنكتب قانون توزيع المتغير العشوائي X 
:
دعونا نجد التوقع الرياضي ل X
:
م(X 
)
= 04
= 2,16.
دعونا نحسب التباين المطلوب:
د(X)
=
م(X 
)
– (م(X))
= 2,16 – (1,2)
= 0,72.
نجد الانحراف المعياري باستخدام الصيغة
(X)
=
= 0,848.
فاصلة ( م-
;
م+
) = (1.2-0.85; 1.2+0.85) = (0.35; 2.05) – الفاصل الزمني للقيم الأكثر احتمالا للمتغير العشوائي X، فهو يحتوي على القيمتين 1 و 2.
مثال 4.8.
نظرا لدالة التوزيع التفاضلي (دالة الكثافة) لمتغير عشوائي مستمر X:
F(س)
=
1) تحديد المعلمة الثابتة أ.
2) أوجد الدالة التكاملية F(س) .
3) بناء الرسوم البيانية الوظيفية F(س) و F(س) .
4) أوجد الاحتمال بطريقتين ف (0.5<
X 
1,5)
و ص(1,5<
X<3,5)
.
5). أوجد القيمة المتوقعة م (س)، التباين د(X)والانحراف المعياري 
متغير عشوائي X.
حل
1) الوظيفة التفاضلية حسب الخاصية F(س)
يجب أن تستوفي الشرط 
.
دعونا نحسب هذا التكامل غير الصحيح لهذه الوظيفة F(س) :
وبالتعويض بهذه النتيجة في الطرف الأيسر من المساواة، نحصل على ذلك أ=1. في حالة F(س)
استبدل المعلمة أبنسبة 1: 
2) العثور على F(س) دعونا نستخدم الصيغة
.
إذا س 
، الذي - التي 
، لذلك، 
إذا 1 
الذي - التي
إذا كان x > 2، إذن
إذن الدالة التكاملية المطلوبة F(س) لديه النموذج:
3) دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف F(س) و F(س) (الشكل 4.3 و4.4).
4) احتمال وقوع متغير عشوائي في فترة زمنية معينة (أ،ب)
تحسب بواسطة الصيغة 
، إذا كانت الوظيفة معروفة F(س),
ووفقا للصيغة ص(أ
<
X
<
ب)
=
F(ب)
–
F(أ),
إذا كانت الوظيفة معروفة
F(س).
سوف نجد 
باستخدام صيغتين ومقارنة النتائج. بالشرط أ = 0.5؛ب=1,5;
وظيفة F(X)
المحدد في النقطة 1). وبالتالي فإن الاحتمال المطلوب حسب الصيغة يساوي:
ويمكن حساب نفس الاحتمال باستخدام الصيغة ب) من خلال الزيادة التي تم الحصول عليها في الخطوة 2). وظيفة متكاملة F(س) في هذه الفترة:
لأن F(0,5)=0.
وبالمثل نجد 
لأن F(3,5)=1.
5) إيجاد التوقع الرياضي م (س)دعونا نستخدم الصيغة 
وظيفة F(س)
المعطاة في حل النقطة 1)، فهي تساوي الصفر خارج الفترة (1،2]:
تباين المتغير العشوائي المستمر د(X)يتم تحديدها بالمساواة
أو ما يعادلها من المساواة
.
ل 
العثور على د(X)
دعونا نستخدم الصيغة الأخيرة ونأخذ في الاعتبار جميع القيم الممكنة F(س)
تنتمي إلى الفاصل الزمني (1،2]:
الانحراف المعياري 
=
=0,276.
الفاصل الزمني للقيم الأكثر احتمالا للمتغير العشوائي Xيساوي
(م- 
،م+ 
)
= (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).
خطوات
حساب تباين العينة
-
سجل قيم العينة.في معظم الحالات، لا يتمكن الإحصائيون من الوصول إلا إلى عينات من مجموعات سكانية محددة. على سبيل المثال، كقاعدة عامة، لا يقوم الإحصائيون بتحليل تكلفة الحفاظ على إجمالي جميع السيارات في روسيا - فهم يقومون بتحليل عينة عشوائية من عدة آلاف من السيارات. ستساعد هذه العينة في تحديد متوسط \u200b\u200bتكلفة السيارة، ولكن على الأرجح، ستكون القيمة الناتجة بعيدة عن القيمة الحقيقية.
- على سبيل المثال، دعونا نحلل عدد الكعك الذي تم بيعه في مقهى على مدار 6 أيام، بترتيب عشوائي. تبدو العينة كما يلي: 17، 15، 23، 7، 9، 13. هذه عينة وليست مجموعة سكانية، لأنه ليس لدينا بيانات عن الكعك المباع لكل يوم يكون فيه المقهى مفتوحًا.
- إذا تم إعطاؤك مجتمعًا بدلاً من عينة من القيم، فانتقل إلى القسم التالي.
-
اكتب صيغة لحساب تباين العينة.التشتت هو مقياس لانتشار قيم كمية معينة. كلما اقتربت قيمة التباين من الصفر، كلما اقتربت القيم من تجميعها معًا. عند العمل مع عينة من القيم، استخدم الصيغة التالية لحساب التباين:
- ق 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(س ط (\displaystyle x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2))] / (ن - 1)
- ق 2 (\displaystyle s^(2))- هذا هو التشتت. يتم قياس التشتت بالوحدات المربعة.
- س ط (\displaystyle x_(i))- كل قيمة في العينة.
- س ط (\displaystyle x_(i))تحتاج إلى طرح x̅، وتربيعها، ثم إضافة النتائج.
- x̅ – متوسط العينة (متوسط العينة).
- ن – عدد القيم في العينة.
-
حساب متوسط العينة.ويشار إليه بـ x̅. يتم حساب متوسط العينة كوسيلة حسابية بسيطة: قم بجمع كافة القيم الموجودة في العينة، ثم قسمة النتيجة على عدد القيم الموجودة في العينة.
- في مثالنا، أضف القيم الموجودة في العينة: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
الآن قم بتقسيم النتيجة على عدد القيم في العينة (في مثالنا هناك 6): 84 ÷ 6 = 14.
متوسط العينة x̅ = 14. - متوسط العينة هو القيمة المركزية التي تتوزع حولها القيم في العينة. إذا كانت القيم الموجودة في مجموعة العينة حول متوسط العينة، فإن التباين صغير؛ وإلا فإن التباين كبير.
- في مثالنا، أضف القيم الموجودة في العينة: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
-
اطرح متوسط العينة من كل قيمة في العينة.الآن احسب الفرق س ط (\displaystyle x_(i))- س̅، أين س ط (\displaystyle x_(i))- كل قيمة في العينة. تشير كل نتيجة يتم الحصول عليها إلى درجة انحراف قيمة معينة عن متوسط العينة، أي مدى بعد هذه القيمة عن متوسط العينة.
- في مثالنا:
× 1 (\displaystyle x_(1))- س = 17 - 14 = 3
× 2 (\displaystyle x_(2))- س̅ = 15 - 14 = 1
× 3 (\displaystyle x_(3))- س = 23 - 14 = 9
× 4 (\displaystyle x_(4))- س̅ = 7 - 14 = -7
× 5 (\displaystyle x_(5))- س̅ = 9 - 14 = -5
× 6 (\displaystyle x_(6))- س̅ = 13 - 14 = -1 - من السهل التحقق من صحة النتائج التي تم الحصول عليها، حيث يجب أن يكون مجموعها يساوي الصفر. ويرتبط ذلك بتعريف المتوسط، حيث أن القيم السالبة (المسافات من المتوسط إلى القيم الأصغر) تقابلها تماما القيم الموجبة (المسافات من المتوسط إلى القيم الأكبر).
- في مثالنا:
-
كما ذكر أعلاه، مجموع الاختلافات س ط (\displaystyle x_(i))- x̅ يجب أن تساوي الصفر. وهذا يعني أن متوسط التباين يكون دائمًا صفرًا، وهو ما لا يعطي أي فكرة عن انتشار قيم كمية معينة. لحل هذه المشكلة، قم بتربيع كل اختلاف س ط (\displaystyle x_(i))- س̅. سيؤدي هذا إلى حصولك على أرقام موجبة فقط، والتي لن يصل مجموعها إلى 0 أبدًا.
- في مثالنا:
(× 1 (\displaystyle x_(1))-x̅) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
(x 2 (\displaystyle (x_(2))-x̅) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
9 2 = 81
(-7) 2 = 49
(-5) 2 = 25
(-1) 2 = 1 - لقد وجدت مربع الفرق - x̅) 2 (\displaystyle ^(2))لكل قيمة في العينة
- في مثالنا:
-
احسب مجموع مربعات الاختلافات.بمعنى، ابحث عن ذلك الجزء من الصيغة المكتوب بهذا الشكل: ∑[( س ط (\displaystyle x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2))]. هنا الإشارة Σ تعني مجموع الفروق المربعة لكل قيمة س ط (\displaystyle x_(i))في العينة. لقد وجدت بالفعل الاختلافات التربيعية (س ط (\displaystyle (x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2))لكل قيمة س ط (\displaystyle x_(i))في العينة؛ الآن فقط أضف هذه المربعات.
- في مثالنا: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .
-
اقسم النتيجة على n - 1، حيث n هو عدد القيم في العينة.منذ بعض الوقت، لحساب تباين العينة، قام الإحصائيون ببساطة بتقسيم النتيجة على n؛ في هذه الحالة سوف تحصل على متوسط التباين التربيعي، وهو مثالي لوصف التباين في عينة معينة. لكن تذكر أن أي عينة لا تمثل سوى جزء صغير من مجموعة القيم. إذا أخذت عينة أخرى وأجريت نفس الحسابات، فسوف تحصل على نتيجة مختلفة. كما اتضح، فإن القسمة على n - 1 (بدلاً من n فقط) تعطي تقديرًا أكثر دقة لتباين السكان، وهو ما يهمك. أصبح القسمة على n – 1 أمرًا شائعًا، لذا تم تضمينه في صيغة حساب تباين العينة.
- في مثالنا، تتضمن العينة 6 قيم، أي n = 6.
تباين العينة = ث 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2
- في مثالنا، تتضمن العينة 6 قيم، أي n = 6.
-
الفرق بين التباين والانحراف المعياري.لاحظ أن الصيغة تحتوي على أس، لذلك يتم قياس التشتت بوحدات مربعة من القيمة التي يتم تحليلها. في بعض الأحيان يكون من الصعب جدًا تشغيل مثل هذا الحجم؛ في مثل هذه الحالات، استخدم الانحراف المعياري، الذي يساوي الجذر التربيعي للتباين. ولهذا السبب يشار إلى تباين العينة على أنه ق 2 (\displaystyle s^(2))، والانحراف المعياري للعينة كما هو س (\displaystyle s).
- في مثالنا، الانحراف المعياري للعينة هو: s = √33.2 = 5.76.
حساب التباين السكاني
-
تحليل مجموعة من القيم.تتضمن المجموعة جميع قيم الكمية قيد النظر. على سبيل المثال، إذا كنت تدرس عمر سكان منطقة لينينغراد، فإن المجموع يشمل عمر جميع سكان هذه المنطقة. عند العمل مع السكان، يوصى بإنشاء جدول وإدخال القيم السكانية فيه. خذ بعين الاعتبار المثال التالي:
- يوجد في غرفة معينة 6 أحواض سمك. يحتوي كل حوض أسماك على العدد التالي من الأسماك:
× 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
× 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
× 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
× 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
× 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
× 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)
- يوجد في غرفة معينة 6 أحواض سمك. يحتوي كل حوض أسماك على العدد التالي من الأسماك:
-
اكتب صيغة لحساب التباين السكاني.وبما أن السكان يشمل جميع قيم كمية معينة، فإن الصيغة أدناه تسمح لك بالحصول على القيمة الدقيقة لتباين السكان. لتمييز التباين السكاني عن تباين العينة (وهو مجرد تقدير)، يستخدم الإحصائيون متغيرات مختلفة:
- σ 2 (\displaystyle ^(2)) = (∑(س ط (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/ن
- σ 2 (\displaystyle ^(2))- التشتت السكاني (اقرأ باسم "مربع سيجما"). يتم قياس التشتت بالوحدات المربعة.
- س ط (\displaystyle x_(i))- كل قيمة في مجملها.
- Σ – علامة المجموع. أي من كل قيمة س ط (\displaystyle x_(i))تحتاج إلى طرح μ وتربيعها ثم إضافة النتائج.
- μ - متوسط عدد السكان.
- ن – عدد القيم في السكان.
-
احسب متوسط عدد السكان.عند العمل مع مجتمع ما، يُشار إلى متوسطه بـ μ (mu). يتم حساب المتوسط السكاني كوسيلة حسابية بسيطة: قم بجمع جميع القيم في المجتمع، ثم قسمة النتيجة على عدد القيم في المجتمع.
- ضع في اعتبارك أن المتوسطات لا يتم حسابها دائمًا على أنها المتوسط الحسابي.
- في مثالنا، يعني عدد السكان: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5
-
اطرح متوسط عدد السكان من كل قيمة في عدد السكان.كلما اقتربت قيمة الفرق من الصفر، كلما اقتربت القيمة المحددة من متوسط المجتمع. أوجد الفرق بين كل قيمة في المجتمع ووسطها، وستحصل على فكرة أولية عن توزيع القيم.
- في مثالنا:
× 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
× 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
× 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10.5 = -2.5
× 4 (\displaystyle x_(4))- μ = 12 - 10.5 = 1.5
× 5 (\displaystyle x_(5))- μ = 15 - 10.5 = 4.5
× 6 (\displaystyle x_(6))- μ = 18 - 10.5 = 7.5
- في مثالنا:
-
مربع كل نتيجة تم الحصول عليها.ستكون قيم الفرق إيجابية وسلبية؛ إذا تم رسم هذه القيم على خط الأعداد، فسوف تقع على يمين ويسار متوسط المجتمع. هذا ليس جيدًا لحساب التباين لأن الأرقام الموجبة والسالبة تلغي بعضها البعض. لذا، قم بتربيع كل فرق للحصول على أرقام موجبة حصريًا.
- في مثالنا:
(س ط (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))لكل قيمة سكانية (من i = 1 إلى i = 6):
(-5,5)2 (\displaystyle ^(2)) = 30,25
(-5,5)2 (\displaystyle ^(2))، أين س ن (\displaystyle x_(n))- القيمة الأخيرة في عدد السكان. - لحساب القيمة المتوسطة للنتائج التي تم الحصول عليها، تحتاج إلى إيجاد مجموعها وتقسيمه على n :(( × 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (× 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (س ن (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)))/ن
- الآن لنكتب الشرح أعلاه باستخدام المتغيرات: (∑( س ط (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n واحصل على صيغة لحساب التباين السكاني.
- في مثالنا:
نظرية الاحتمالات هي فرع خاص من الرياضيات يدرسه فقط طلاب مؤسسات التعليم العالي. هل تحب الحسابات والصيغ؟ ألا تخاف من احتمالات التعرف على التوزيع الطبيعي والانتروبيا الجماعية والتوقعات الرياضية وتشتت متغير عشوائي منفصل؟ ثم سيكون هذا الموضوع مثيرًا للاهتمام بالنسبة لك. دعونا نتعرف على العديد من أهم المفاهيم الأساسية لهذا الفرع من العلوم.
دعونا نتذكر الأساسيات
وحتى لو كنت تتذكر أبسط مفاهيم نظرية الاحتمالات، فلا تهمل الفقرات الأولى من المقال. النقطة المهمة هي أنه بدون فهم واضح للأساسيات، لن تتمكن من العمل مع الصيغ التي تمت مناقشتها أدناه.
لذلك، تحدث بعض الأحداث العشوائية، وبعض التجارب. نتيجة للإجراءات التي نتخذها، يمكننا الحصول على العديد من النتائج - بعضها يحدث في كثير من الأحيان، والبعض الآخر أقل في كثير من الأحيان. احتمالية الحدث هي نسبة عدد النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل من نوع واحد إلى إجمالي عدد النتائج المحتملة. فقط معرفة التعريف الكلاسيكي لهذا المفهوم يمكنك البدء في دراسة التوقع الرياضي وتشتت المتغيرات العشوائية المستمرة.
متوسط
عندما كنت في المدرسة، أثناء دروس الرياضيات، بدأت العمل بالوسط الحسابي. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات، وبالتالي لا يمكن تجاهله. الشيء الرئيسي بالنسبة لنا في الوقت الحالي هو أننا سنواجهه في صيغ التوقع الرياضي وتشتت المتغير العشوائي.
لدينا سلسلة من الأرقام ونريد إيجاد الوسط الحسابي لها. كل ما هو مطلوب منا هو تلخيص كل ما هو متاح وتقسيمه على عدد العناصر في التسلسل. لنحصل على أرقام من 1 إلى 9. مجموع العناصر سيكون 45، وسنقسم هذه القيمة على 9. الإجابة: - 5.
تشتت
من الناحية العلمية، التشتت هو متوسط مربع انحرافات القيم التي تم الحصول عليها للخاصية من الوسط الحسابي. يُشار إليه بحرف لاتيني كبير D. ما هو المطلوب لحسابه؟ لكل عنصر من عناصر المتتابعة، نحسب الفرق بين الرقم الموجود والوسط الحسابي ونقوم بتربيعه. سيكون هناك بالضبط العديد من القيم التي يمكن أن تكون هناك نتائج للحدث الذي نفكر فيه. بعد ذلك، نلخص كل ما تم الحصول عليه ونقسمه على عدد العناصر في التسلسل. إذا كان لدينا خمس نتائج محتملة، نقسم على خمسة.
يحتوي التشتت أيضًا على خصائص يجب تذكرها لاستخدامها عند حل المشكلات. على سبيل المثال، عند زيادة متغير عشوائي بمقدار X مرة، فإن التباين يزيد بمقدار X مربع مرة (أي X*X). وهي لا تقل أبداً عن الصفر ولا تعتمد على إزاحة القيم لأعلى أو لأسفل بمقادير متساوية. بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للتجارب المستقلة، يكون تباين المجموع مساويًا لمجموع التباينات.
الآن نحن بالتأكيد بحاجة إلى النظر في أمثلة على تباين المتغير العشوائي المنفصل والتوقع الرياضي.
لنفترض أننا أجرينا 21 تجربة وحصلنا على 7 نتائج مختلفة. وقد لاحظنا كل واحد منهم 1، 2، 2، 3، 4، 4 و5 مرات على التوالي. ماذا سيكون التباين؟
أولاً، دعونا نحسب الوسط الحسابي: مجموع العناصر، بالطبع، هو 21. اقسمه على 7، لتحصل على 3. الآن اطرح 3 من كل رقم في التسلسل الأصلي، وقم بتربيع كل قيمة، ثم أضف النتائج معًا. والنتيجة هي 12. والآن كل ما علينا فعله هو قسمة العدد على عدد العناصر، ويبدو أن هذا كل شيء. ولكن هناك صيد! دعونا نناقش ذلك.
الاعتماد على عدد التجارب
اتضح أنه عند حساب التباين، يمكن أن يحتوي المقام على أحد الرقمين: إما N أو N-1. هنا N هو عدد التجارب التي تم إجراؤها أو عدد العناصر في التسلسل (وهو نفس الشيء في الأساس). على ماذا يعتمد هذا؟
إذا كان عدد الاختبارات مقيسًا بالمئات، فيجب أن نضع N في المقام، وإذا كان بالوحدات، فـ N-1. قرر العلماء رسم الحدود بشكل رمزي تمامًا: اليوم يمر عبر الرقم 30. إذا أجرينا أقل من 30 تجربة، فسنقسم المبلغ على N-1، وإذا كان أكثر، ثم على N.
مهمة
لنعد إلى مثالنا لحل مشكلة التباين والتوقع الرياضي. لقد حصلنا على الرقم الوسيط 12، والذي يجب قسمته على N أو N-1. وبما أننا أجرينا 21 تجربة، أي أقل من 30، فسنختار الخيار الثاني. فالجواب هو: التباين هو 12 / 2 = 2.
القيمة المتوقعة
دعنا ننتقل إلى المفهوم الثاني الذي يجب أن نتناوله في هذا المقال. التوقع الرياضي هو نتيجة جمع كل النتائج الممكنة مضروبة في الاحتمالات المقابلة لها. من المهم أن نفهم أن القيمة التي تم الحصول عليها، وكذلك نتيجة حساب التباين، يتم الحصول عليها مرة واحدة فقط للمشكلة بأكملها، بغض النظر عن عدد النتائج التي يتم أخذها في الاعتبار فيها.
إن صيغة التوقع الرياضي بسيطة للغاية: نحن نأخذ النتيجة، ونضربها في احتمالها، ونضيف نفس الشيء للنتيجة الثانية والثالثة، وما إلى ذلك. ليس من الصعب حساب كل ما يتعلق بهذا المفهوم. على سبيل المثال، مجموع القيم المتوقعة يساوي القيمة المتوقعة للمجموع. وينطبق الشيء نفسه على العمل. ليست كل كمية في نظرية الاحتمالات تسمح لك بإجراء مثل هذه العمليات البسيطة. لنأخذ المشكلة ونحسب معنى المفهومين اللذين درسناهما في وقت واحد. بالإضافة إلى ذلك، لقد تشتت انتباهنا بالنظرية - فقد حان وقت الممارسة.
مثال آخر
أجرينا 50 تجربة وحصلنا على 10 أنواع من النتائج - أرقام من 0 إلى 9 - تظهر بنسب مئوية مختلفة. وهي على التوالي: 2%، 10%، 4%، 14%، 2%، 18%، 6%، 16%، 10%، 18%. تذكر أنه للحصول على الاحتمالات، تحتاج إلى تقسيم قيم النسبة المئوية على 100. وهكذا نحصل على 0.02؛ 0.1 الخ دعونا نقدم مثالاً لحل مشكلة تباين المتغير العشوائي والتوقع الرياضي.
نحسب الوسط الحسابي باستخدام الصيغة التي نتذكرها من المدرسة الابتدائية: 50/10 = 5.
والآن دعونا نحول الاحتمالات إلى عدد النتائج "بالأجزاء" لتسهيل العد. نحصل على 1، 5، 2، 7، 1، 9، 3، 8، 5 و 9. من كل قيمة تم الحصول عليها، نطرح الوسط الحسابي، وبعد ذلك نقوم بتربيع كل النتائج التي تم الحصول عليها. تعرف على كيفية القيام بذلك باستخدام العنصر الأول كمثال: 1 - 5 = (-4). التالي: (-4) * (-4) = 16. بالنسبة للقيم الأخرى، قم بإجراء هذه العمليات بنفسك. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح، فبعد جمعهم جميعًا، ستحصل على 90.
لنواصل حساب التباين والقيمة المتوقعة بقسمة 90 على N. لماذا نختار N بدلاً من N-1؟ صحيح، لأن عدد التجارب التي تم إجراؤها يتجاوز 30. إذن: 90/10 = 9. لقد حصلنا على التباين. إذا حصلت على رقم مختلف، فلا تيأس. على الأرجح، لقد ارتكبت خطأً بسيطًا في الحسابات. تحقق جيدًا مما كتبته، ومن المحتمل أن يكون كل شيء في مكانه الصحيح.
وأخيرا، تذكر صيغة التوقع الرياضي. لن نقوم بإجراء جميع الحسابات، سنكتب فقط إجابة يمكنك التحقق منها بعد استكمال جميع الإجراءات المطلوبة. وستكون القيمة المتوقعة 5.48. دعونا فقط نتذكر كيفية تنفيذ العمليات، باستخدام العناصر الأولى كمثال: 0*0.02 + 1*0.1... وهكذا. كما ترون، نحن ببساطة نضرب قيمة النتيجة باحتمالها.
انحراف
هناك مفهوم آخر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتشتت والتوقع الرياضي وهو الانحراف المعياري. يُشار إليه إما بالأحرف اللاتينية sd، أو بالحرف اليوناني الصغير "sigma". يوضح هذا المفهوم مدى انحراف القيم في المتوسط عن الميزة المركزية. للعثور على قيمته، تحتاج إلى حساب الجذر التربيعي للتباين.
إذا قمت برسم رسم بياني للتوزيع الطبيعي وأردت رؤية الانحراف التربيعي عليه مباشرة، فيمكن القيام بذلك على عدة مراحل. خذ نصف الصورة إلى يسار أو يمين الوضع (القيمة المركزية)، وارسم عموديًا على المحور الأفقي بحيث تكون مساحات الأشكال الناتجة متساوية. حجم المقطع بين منتصف التوزيع والإسقاط الناتج على المحور الأفقي سيمثل الانحراف المعياري.
برمجة
كما يتبين من أوصاف الصيغ والأمثلة المقدمة، فإن حساب التباين والتوقع الرياضي ليس أبسط إجراء من وجهة نظر حسابية. وحتى لا نضيع الوقت، فمن المنطقي استخدام البرنامج المستخدم في مؤسسات التعليم العالي - ويسمى "R". يحتوي على وظائف تسمح لك بحساب القيم للعديد من المفاهيم من الإحصاء ونظرية الاحتمالات.
على سبيل المثال، يمكنك تحديد متجه للقيم. ويتم ذلك على النحو التالي: ناقلات<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
أخيراً
التشتت والتوقع الرياضي هما من العناصر التي بدونها يصعب حساب أي شيء في المستقبل. في الدورة الرئيسية للمحاضرات في الجامعات، يتم مناقشتها بالفعل في الأشهر الأولى من دراسة الموضوع. وبسبب عدم فهم هذه المفاهيم البسيطة وعدم القدرة على حسابها على وجه التحديد، يبدأ العديد من الطلاب على الفور في التخلف عن البرنامج ثم يحصلون لاحقًا على درجات سيئة في نهاية الجلسة، مما يحرمهم من المنح الدراسية.
تدرب لمدة أسبوع على الأقل، نصف ساعة يوميًا، على حل المهام المشابهة لتلك المقدمة في هذه المقالة. بعد ذلك، في أي اختبار في نظرية الاحتمالات، ستكون قادرًا على التعامل مع الأمثلة دون نصائح وأوراق غش غريبة.
التوقع والتباين هما الخصائص العددية الأكثر استخدامًا للمتغير العشوائي. وهي تصف أهم سمات التوزيع: موضعه ودرجة تشتته. في العديد من المسائل العملية، لا يمكن الحصول على الخاصية الكاملة والشاملة للمتغير العشوائي - قانون التوزيع - على الإطلاق، أو لا تكون هناك حاجة إليها على الإطلاق. وفي هذه الحالات، يقتصر الأمر على وصف تقريبي للمتغير العشوائي باستخدام الخصائص العددية.
غالبًا ما تسمى القيمة المتوقعة ببساطة بالقيمة المتوسطة للمتغير العشوائي. تشتت المتغير العشوائي هو إحدى خصائص التشتت، أي انتشار المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي.
توقع وجود متغير عشوائي منفصل
دعونا نقترب من مفهوم التوقع الرياضي، أولا اعتمادا على التفسير الميكانيكي لتوزيع متغير عشوائي منفصل. دع كتلة الوحدة تتوزع بين نقاط المحور السيني س1 , س 2 , ..., سن، وكل نقطة مادية لها كتلة مقابلة ص1 , ص 2 , ..., صن. مطلوب تحديد نقطة واحدة على محور الإحداثي، والتي تميز موضع نظام النقاط المادية بأكمله، مع مراعاة كتلها. ومن الطبيعي أن يتخذ مركز كتلة نظام النقاط المادية مثل هذه النقطة. هذا هو المتوسط المرجح للمتغير العشوائي X، والتي الإحداثي لكل نقطة سأنايدخل بـ "وزن" يساوي الاحتمال المقابل. متوسط قيمة المتغير العشوائي الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة Xويسمى توقعاتها الرياضية.
التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المتقطع هو مجموع حاصل ضرب جميع قيمه الممكنة واحتمالات هذه القيم:
مثال 1.تم تنظيم يانصيب مربح للجانبين. هناك 1000 فوز، منها 400 10 روبل. 300 - 20 روبل لكل منهما. 200 - 100 روبل لكل منهما. و100 - 200 روبل لكل منهما. ما هو متوسط المكاسب للشخص الذي يشتري تذكرة واحدة؟
حل. سنجد متوسط المكاسب إذا قسمنا إجمالي مبلغ المكاسب، وهو 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل، على 1000 (إجمالي مبلغ المكاسب). ثم نحصل على 50000/1000 = 50 روبل. ولكن يمكن تقديم التعبير الخاص بحساب متوسط المكاسب بالشكل التالي:
من ناحية أخرى، في هذه الظروف، يكون حجم الفوز متغيرًا عشوائيًا، والذي يمكن أن يأخذ قيم 10 و20 و100 و200 روبل. مع احتمالات تساوي 0.4، على التوالي؛ 0.3؛ 0.2; 0.1. ولذلك فإن متوسط الربح المتوقع يساوي مجموع منتجات حجم المكاسب واحتمال الحصول عليها.
مثال 2.قرر الناشر نشر كتاب جديد. يخطط لبيع الكتاب مقابل 280 روبل، سيحصل هو نفسه على 200 منها، 50 - مكتبة و 30 - المؤلف. يقدم الجدول معلومات حول تكاليف نشر كتاب واحتمال بيع عدد معين من نسخ الكتاب.
أوجد الربح المتوقع للناشر.
حل. المتغير العشوائي "الربح" يساوي الفرق بين الدخل من المبيعات وتكلفة التكاليف. على سبيل المثال، إذا تم بيع 500 نسخة من كتاب، فإن الدخل من البيع يكون 200 * 500 = 100000، وتكلفة النشر 225000 روبل. وهكذا يواجه الناشر خسارة قدرها 125000 روبل. ويلخص الجدول التالي القيم المتوقعة للمتغير العشوائي – الربح:
| رقم | ربح سأنا | احتمالا صأنا | سأنا صأنا |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| المجموع: | 1,00 | 25000 |
وهكذا نحصل على التوقع الرياضي لربح الناشر:
.
مثال 3.احتمال الضرب برصاصة واحدة ص= 0.2. تحديد استهلاك المقذوفات التي توفر توقعًا رياضيًا لعدد الضربات يساوي 5.
حل. ومن نفس صيغة التوقع الرياضي التي استخدمناها حتى الآن، نعبر عن ذلك س- استهلاك القشرة:
.
مثال 4.تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي سعدد الضربات بثلاث طلقات، إذا كان احتمال الإصابة بكل طلقة ص = 0,4 .
تلميح: أوجد احتمال قيم المتغيرات العشوائية بواسطة صيغة برنولي .
خصائص التوقع الرياضي
دعونا ننظر في خصائص التوقع الرياضي.
الخاصية 1.التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذا الثابت:
الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي:
الملكية 3.التوقع الرياضي لمجموع (الفرق) للمتغيرات العشوائية يساوي مجموع (الفرق) لتوقعاتها الرياضية:
الخاصية 4.التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية يساوي منتج توقعاتها الرياضية:
العقار 5.إذا كانت جميع قيم المتغير العشوائي Xالنقصان (الزيادة) بنفس العدد معفإن توقعه الرياضي سينخفض (يزيد) بنفس العدد:
عندما لا يمكنك أن تقتصر على التوقعات الرياضية فقط
في معظم الحالات، التوقع الرياضي فقط هو الذي لا يمكنه وصف المتغير العشوائي بشكل كافٍ.
دع المتغيرات العشوائية Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:
| معنى X | احتمالا |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| معنى ي | احتمالا |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
التوقعات الرياضية لهذه الكميات هي نفسها - تساوي الصفر:
ومع ذلك، فإن أنماط توزيعها مختلفة. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ فقط القيم التي تختلف قليلاً عن التوقع الرياضي والمتغير العشوائي ييمكن أن تأخذ القيم التي تنحرف بشكل كبير عن التوقعات الرياضية. مثال مشابه: متوسط الأجر لا يجعل من الممكن الحكم على حصة العمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. بمعنى آخر، لا يمكن للمرء أن يحكم من خلال التوقع الرياضي على أي انحرافات محتملة عنه، على الأقل في المتوسط. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على تباين المتغير العشوائي.
تباين المتغير العشوائي المنفصل
التباينالمتغير العشوائي المنفصل Xيسمى التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن التوقع الرياضي :
الانحراف المعياري للمتغير العشوائي Xتسمى القيمة الحسابية للجذر التربيعي لتباينه:
.
مثال 5.حساب التباينات والانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو ي، قوانين التوزيع موضحة في الجداول أعلاه.
حل. التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية Xو يكما هو موضح أعلاه، تساوي الصفر. وفقا لصيغة التشتت في ه(X)=ه(ذ)=0 نحصل على:
ثم الانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو يماكياج
.
وبالتالي، وبنفس التوقعات الرياضية، تم حساب تباين المتغير العشوائي Xصغير جدًا، ولكنه متغير عشوائي ي- بارِز. وهذا نتيجة للاختلافات في توزيعها.
مثال 6.لدى المستثمر 4 مشاريع استثمارية بديلة. ويلخص الجدول الربح المتوقع في هذه المشاريع مع الاحتمالية المقابلة.
| مشروع 1 | المشروع 2 | المشروع 3 | المشروع 4 |
| 500, ص=1 | 1000, ص=0,5 | 500, ص=0,5 | 500, ص=0,5 |
| 0, ص=0,5 | 1000, ص=0,25 | 10500, ص=0,25 | |
| 0, ص=0,25 | 9500, ص=0,25 |
أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري لكل بديل.
حل. دعونا نبين كيفية حساب هذه القيم للبديل الثالث:
يلخص الجدول القيم الموجودة لجميع البدائل.
جميع البدائل لها نفس التوقعات الرياضية. وهذا يعني أنه على المدى الطويل، سيحصل الجميع على نفس الدخل. يمكن تفسير الانحراف المعياري على أنه مقياس للمخاطر - كلما زاد ارتفاعه، زادت مخاطر الاستثمار. المستثمر الذي لا يريد الكثير من المخاطرة سيختار المشروع 1 لأنه يحتوي على أصغر انحراف معياري (0). إذا كان المستثمر يفضل المخاطرة والعوائد العالية في فترة قصيرة، فإنه سيختار المشروع ذو الانحراف المعياري الأكبر - المشروع 4.
خصائص التشتت
دعونا نقدم خصائص التشتت.
الخاصية 1.تباين القيمة الثابتة هو صفر:
الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التشتت عن طريق تربيعه:
.
الملكية 3.إن تباين المتغير العشوائي يساوي التوقع الرياضي لمربع هذه القيمة، والذي يطرح منه مربع التوقع الرياضي للقيمة نفسها:
,
أين 
.
الخاصية 4.تباين مجموع (فرق) المتغيرات العشوائية يساوي مجموع (فرق) تبايناتها:
مثال 7.ومن المعروف أن المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط: −3 و 7. بالإضافة إلى ذلك، فإن التوقع الرياضي معروف: ه(X) = 4 . أوجد تباين المتغير العشوائي المنفصل.
حل. دعونا نشير بواسطة صالاحتمالية التي يأخذ بها المتغير العشوائي قيمة س1 = −3 . ثم احتمال القيمة س2 = 7 سيكون 1 - ص. دعونا نشتق معادلة التوقع الرياضي:
ه(X) = س 1 ص + س 2 (1 − ص) = −3ص + 7(1 − ص) = 4 ,
حيث نحصل على الاحتمالات: ص= 0.3 و 1 - ص = 0,7 .
قانون توزيع المتغير العشوائي:
| X | −3 | 7 |
| ص | 0,3 | 0,7 |
نحسب تباين هذا المتغير العشوائي باستخدام الصيغة من الخاصية 3 للتشتت:
د(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي بنفسك، ثم انظر إلى الحل
مثال 8.المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط. يقبل أكبر القيم 3 باحتمال 0.4. بالإضافة إلى ذلك، يتم معرفة تباين المتغير العشوائي د(X) = 6 . أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.
مثال 9.هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة. يتم سحب 3 كرات من الجرة. عدد الكرات البيضاء بين الكرات المسحوبة هو متغير عشوائي متقطع X. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.
حل. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ القيم 0، 1، 2، 3. ويمكن حساب الاحتمالات المقابلة منها قاعدة الضرب الاحتمالية. قانون توزيع المتغير العشوائي:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ص | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
ومن هنا التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي:
م(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
تباين متغير عشوائي معين هو:
د(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
التوقع والتباين للمتغير العشوائي المستمر
بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، فإن التفسير الميكانيكي للتوقع الرياضي سيحتفظ بنفس المعنى: مركز الكتلة لوحدة الكتلة موزعة بشكل مستمر على المحور السيني مع الكثافة F(س). على عكس المتغير العشوائي المنفصل، الذي تكون دالته وسيطة سأنايتغير فجأة؛ بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، تتغير الوسيطة بشكل مستمر. لكن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر يرتبط أيضًا بمتوسط قيمته.
للعثور على التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي مستمر، تحتاج إلى إيجاد تكاملات محددة . إذا تم إعطاء دالة الكثافة لمتغير عشوائي مستمر، فإنه يدخل مباشرة في التكامل. إذا تم إعطاء دالة التوزيع الاحتمالي، فمن خلال التمييز بينها، تحتاج إلى العثور على دالة الكثافة.
ويسمى المتوسط الحسابي لجميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر به توقع رياضي، يُشار إليه بـ أو .
من بين العديد من المؤشرات المستخدمة في الإحصاء، من الضروري تسليط الضوء على حساب التباين. تجدر الإشارة إلى أن إجراء هذا الحساب يدويًا يعد مهمة شاقة إلى حد ما. ولحسن الحظ، يحتوي برنامج Excel على وظائف تسمح لك بأتمتة إجراء الحساب. دعنا نتعرف على الخوارزمية الخاصة بالعمل مع هذه الأدوات.
التشتت هو مؤشر للتباين، وهو متوسط مربع الانحرافات عن التوقع الرياضي. وبالتالي فهو يعبر عن انتشار الأرقام حول القيمة المتوسطة. يمكن إجراء حساب التباين لكل من عامة السكان والعينة.
الطريقة الأولى: الحساب على أساس عدد السكان
لحساب هذا المؤشر في Excel لعامة السكان، استخدم الدالة ديسب.ز. بناء جملة هذا التعبير كما يلي:
DISP.G(Number1;Number2;…)
في المجمل، يمكن استخدام من 1 إلى 255 وسيطة. يمكن أن تكون الوسائط إما قيمًا رقمية أو مراجع للخلايا الموجودة فيها.
دعونا نرى كيفية حساب هذه القيمة لنطاق يحتوي على بيانات رقمية.
الطريقة الثانية: الحساب حسب العينة
على عكس حساب القيمة على أساس عدد السكان، عند حساب العينة، لا يشير المقام إلى العدد الإجمالي للأرقام، بل يشير إلى رقم واحد أقل. ويتم ذلك لغرض تصحيح الخطأ. يأخذ Excel هذا الفارق الدقيق في الاعتبار في وظيفة خاصة مصممة لهذا النوع من الحسابات - DISP.V. يتم تمثيل بناء الجملة الخاص به بالصيغة التالية:
DISP.B(Number1;Number2;...)
يمكن أيضًا أن يتراوح عدد الوسائط، كما في الوظيفة السابقة، من 1 إلى 255.
كما ترون، يمكن لبرنامج Excel تسهيل حساب التباين إلى حد كبير. ويمكن حساب هذه الإحصائية عن طريق التطبيق، سواء من المجتمع أو من العينة. في هذه الحالة، تتلخص جميع إجراءات المستخدم في تحديد نطاق الأرقام المراد معالجتها، ويقوم برنامج Excel بالعمل الرئيسي بنفسه. وبطبيعة الحال، سيوفر هذا قدرا كبيرا من وقت المستخدم.
