الأول هو الأجزاء المجاورة للزاوية القائمة، والوتر هو أطول جزء من الشكل ويقع مقابل الزاوية 90 درجة. مثلث فيثاغورس هو المثلث الذي تساوي أضلاعه الأعداد الطبيعية؛ تسمى أطوالها في هذه الحالة "ثلاثية فيثاغورس".

المثلث المصري

ولكي يتعرف الجيل الحالي على الهندسة بالشكل الذي تدرس به في المدرسة الآن، فقد تطورت على مدى عدة قرون. تعتبر النقطة الأساسية هي نظرية فيثاغورس. أضلاع المستطيل معروفة في جميع أنحاء العالم) هي 3، 4، 5.

قليل من الناس لا يعرفون عبارة "بنطال فيثاغورس متساوون في كل الاتجاهات". ومع ذلك، في الواقع تبدو النظرية كما يلي: c 2 (مربع الوتر) = a 2 + b 2 (مجموع مربعات الأرجل).

بين علماء الرياضيات، يسمى المثلث ذو الجوانب 3، 4، 5 (سم، م، إلخ) "المصري". والشيء المثير للاهتمام هو أن ما هو مكتوب في الشكل يساوي واحدًا. نشأ الاسم في حوالي القرن الخامس قبل الميلاد، عندما سافر الفلاسفة اليونانيون إلى مصر.

عند بناء الأهرامات، استخدم المهندسون المعماريون والمساحون النسبة 3:4:5. وتبين أن هذه الهياكل متناسبة وممتعة للنظر وواسعة ونادراً ما تنهار.

من أجل بناء زاوية قائمة، استخدم البناؤون حبلًا مربوطًا به 12 عقدة. في هذه الحالة، ارتفع احتمال بناء مثلث قائم الزاوية إلى 95٪.

علامات المساواة في الأرقام

• تعتبر الزاوية الحادة في المثلث القائم والضلع الطويل، والتي تساوي نفس العناصر في المثلث الثاني، علامة لا جدال فيها على مساواة الأشكال. مع الأخذ بعين الاعتبار مجموع الزوايا، من السهل إثبات أن الزوايا الحادة الثانية متساوية أيضًا. وبذلك تكون المثلثات متطابقة حسب المعيار الثاني.
• عند تركيب شكلين فوق بعضهما البعض، نقوم بتدويرهما بحيث يصبحان، عند دمجهما، مثلثًا واحدًا متساوي الساقين. وفقا لخصائصها، فإن الجوانب، أو بالأحرى الوتر، متساوية، وكذلك الزوايا عند القاعدة، مما يعني أن هذه الأشكال هي نفسها.

بناءً على العلامة الأولى، من السهل جدًا إثبات أن المثلثين متساويان بالفعل، والشيء الرئيسي هو أن الضلعين الأصغر (أي الأرجل) متساويان مع بعضهما البعض.

وستكون المثلثات متطابقة وفقا للمعيار الثاني الذي جوهره تساوي الساق والزاوية الحادة.

خصائص المثلث ذو الزاوية القائمة

الارتفاع الذي يتم خفضه من الزاوية اليمنى يقسم الشكل إلى جزأين متساويين.

يمكن التعرف بسهولة على أضلاع المثلث القائم الزاوية ووسطه من خلال القاعدة: الوسيط الذي يقع على الوتر يساوي نصفه. يمكن العثور عليه من خلال صيغة هيرون ومن خلال العبارة التي تساوي نصف منتج الساقين.

في المثلث القائم تنطبق خصائص الزوايا 30°، 45° و60°.

• بزاوية 30 درجة، يجب أن نتذكر أن الساق المقابلة ستكون مساوية لنصف الجانب الأكبر.
• إذا كانت الزاوية 45 درجة، فإن الزاوية الحادة الثانية تكون أيضًا 45 درجة. وهذا يشير إلى أن المثلث متساوي الساقين وأرجله متماثلة.
• خاصية الزاوية التي قياسها 60 درجة هي أن قياس الزاوية الثالثة هو 30 درجة.

يمكن العثور على المنطقة بسهولة باستخدام إحدى الصيغ الثلاث:

1. من خلال الارتفاع والجانب الذي ينزل عليه؛
2. حسب صيغة هيرون.
3. على الجانبين والزاوية بينهما.

تتلاقى جوانب المثلث القائم الزاوية، أو بالأحرى الأرجل، في ارتفاعين. من أجل العثور على الثالث، من الضروري النظر في المثلث الناتج، ثم باستخدام نظرية فيثاغورس، حساب الطول المطلوب. بالإضافة إلى هذه الصيغة، هناك أيضًا علاقة بين ضعف المساحة وطول الوتر. التعبير الأكثر شيوعًا بين الطلاب هو التعبير الأول، لأنه يتطلب عددًا أقل من العمليات الحسابية.

النظريات المطبقة على المثلث القائم الزاوية

تتضمن هندسة المثلث الأيمن استخدام نظريات مثل:

في الحياة، سيتعين علينا في كثير من الأحيان التعامل مع المشكلات الرياضية: في المدرسة، في الجامعة، ثم مساعدة طفلنا في الواجبات المنزلية. سيواجه الأشخاص في بعض المهن الرياضيات بشكل يومي. ولذلك، فمن المفيد حفظ أو تذكر القواعد الرياضية. في هذه المقالة سنلقي نظرة على إحداها: إيجاد جانب المثلث القائم الزاوية.

ما هو المثلث الصحيح

أولاً، دعونا نتذكر ما هو المثلث القائم الزاوية. المثلث القائم هو شكل هندسي مكون من ثلاثة قطع تصل بين نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد، وقياس إحدى زوايا هذا الشكل 90 درجة. تسمى الجوانب التي تشكل زاوية قائمة بالساقين، والجانب الذي يقع مقابل الزاوية القائمة يسمى الوتر.

إيجاد ساق المثلث القائم الزاوية

هناك عدة طرق لمعرفة طول الساق. أود أن أفكر فيها بمزيد من التفصيل.

نظرية فيثاغورس لإيجاد جانب المثلث القائم الزاوية

إذا عرفنا طول الوتر والضلع، فيمكننا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. يبدو الأمر كالتالي: "مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين". الصيغة: c²=a²+b²، حيث c هو الوتر، وa وb هما الساقين. نحول الصيغة ونحصل على: a²=c²-b².

مثال. الوتر 5 سم والساق 3 سم نقوم بتحويل الصيغة: c²=a²+b² → a²=c²-b². بعد ذلك نحل: a²=5²-3²; أ² = 25-9؛ أ²=16; أ=√16; أ = 4 (سم).

النسب المثلثية لإيجاد ساق المثلث القائم الزاوية

يمكنك أيضًا العثور على ساق مجهولة إذا كان أي جانب آخر وأي زاوية حادة في المثلث القائم معروفة. هناك أربعة خيارات للعثور على الساق باستخدام الدوال المثلثية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. سيساعدنا الجدول أدناه في حل المشكلات. دعونا نفكر في هذه الخيارات.

أوجد ساق المثلث القائم باستخدام الجيب

جيب الزاوية (الخطيئة) هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر. الصيغة: sin=a/c، حيث a هو الساق المقابلة للزاوية المعطاة، وc هو الوتر. بعد ذلك، نحول الصيغة ونحصل على: a=sin*c.

مثال. طول الوتر 10 سم، والزاوية A 30 درجة. باستخدام الجدول، نحسب جيب الزاوية A، وهو يساوي 1/2. ثم، باستخدام الصيغة المحولة، نحل: a=sin∠A*c; أ=1/2*10; أ = 5 (سم).

ابحث عن ساق المثلث القائم باستخدام جيب التمام

جيب تمام الزاوية (cos) هو نسبة الساق المجاورة إلى الوتر. الصيغة: cos=b/c، حيث b هو الساق المجاورة لزاوية معينة، وc هو الوتر. دعونا نحول الصيغة ونحصل على: b=cos*c.

مثال. الزاوية A تساوي 60 درجة، والوتر يساوي 10 سم، وباستخدام الجدول نحسب جيب تمام الزاوية A، وهو يساوي 1/2. بعد ذلك نحل: b=cos∠A*c; ب=1/2*10، ب=5 (سم).

أوجد ساق المثلث القائم باستخدام الظل

ظل الزاوية (tg) هو نسبة الجانب المقابل إلى الجانب المجاور. الصيغة: tg=a/b، حيث a هو الضلع المقابل للزاوية، وb هو الضلع المجاور. دعونا نحول الصيغة ونحصل على: a=tg*b.

مثال. الزاوية A تساوي 45 درجة، والوتر يساوي 10 سم، وباستخدام الجدول نحسب ظل الزاوية A، وهو يساوي الحل: a=tg∠A*b; أ=1*10; أ = 10 (سم).

أوجد ساق المثلث القائم باستخدام ظل التمام

زاوية ظل التمام (ctg) هي نسبة الجانب المجاور إلى الجانب المقابل. الصيغة: ctg=b/a، حيث b هو الساق المجاورة للزاوية، والساق المقابلة لها. وبعبارة أخرى، ظل التمام هو "الظل المقلوب". نحصل على: ب=ctg*a.

مثال. الزاوية A قياسها 30 درجة، والضلع المقابل لها 5 سم، ووفقاً للجدول فإن ظل الزاوية A هو √3. نحسب: b=ctg∠A*a; ب=√3*5; ب=5√3 (سم).

الآن أنت تعرف كيفية العثور على ساق في المثلث القائم. كما ترون، ليس الأمر بهذه الصعوبة، والشيء الرئيسي هو أن نتذكر الصيغ.

المثلث هو مضلع بدائي يحده مستوى بثلاث نقاط وثلاثة أجزاء تربط هذه النقاط في أزواج. الزوايا في المثلث حادة، منفرجة، و قائمة. مجموع زوايا المثلث متصلة وقياسها 180 درجة.

سوف تحتاج

• المعرفة الأساسية بالهندسة وعلم المثلثات.

تعليمات

1. دعونا نرمز إلى أطوال أضلاع المثلث بـ a=2، b=3، c=4، وزواياه بـ u، v، w، وكل زاوية منها تقع مقابل أحد الأضلاع. وفقًا لنظرية جيب التمام، فإن مربع طول أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي أطوال الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب هذين الجانبين وجيب تمام الزاوية بينهما. أي أن أ^2 = ب^2 + ج^2 – 2bc*cos(u). لنعوض بأطوال الأضلاع في هذا التعبير ونحصل على: 4 = 9 + 16 – 24cos(u).

2. دعونا نعبر عن cos(u) من المساواة الناتجة. نحصل على ما يلي: cos(u) = 7/8. بعد ذلك سوف نجد الزاوية الفعلية u. للقيام بذلك، دعونا نحسب arccos(7/8). أي أن الزاوية u = arccos(7/8).

3. وبالمثل، عند التعبير عن الأضلاع الأخرى بدلالة الأضلاع الأخرى، فإننا نوجد الزوايا المتبقية.

ملحوظة!
لا يمكن أن تتجاوز قيمة الزاوية الواحدة 180 درجة. لا يمكن أن تحتوي علامة arccos() على رقم أكبر من 1 وأصغر من -1.

نصائح مفيدة
من أجل اكتشاف الزوايا الثلاث، ليس من الضروري التعبير عن الجوانب الثلاثة، يُسمح باكتشاف زاويتين فقط، ويتم الحصول على الثالثة عن طريق طرح قيمة الزاويتين المتبقيتين من 180 درجة. ويترتب على ذلك أن مجموع زوايا المثلث متصلة وتساوي 180 درجة.

يتضح من اسم المثلث "القائم" أن إحدى زواياه تبلغ 90 درجة. ويمكن اكتشاف الزوايا المتبقية من خلال تذكر النظريات البسيطة وخصائص المثلثات.

سوف تحتاج

• جدول الجيب وجيب التمام، جدول براديس

تعليمات

1. دعونا نرمز إلى زوايا المثلث بالأحرف A وB وC، كما هو موضح في الشكل. زاوية BAC تساوي 90 درجة، ويتم الإشارة إلى الزاويتين الأخريين بالحرفين α و β. نرمز إلى أرجل المثلث بالحرفين a وb، والوتر بالحرف c.

2. ثم sinα = b/c، وcosα = a/c. وبالمثل بالنسبة للزاوية الحادة الثانية للمثلث: sinβ = a/c، وcosβ = b/c. اعتمادًا على الجوانب التي نعرفها، نحسب جيب التمام أو جيب التمام من الزوايا وننظر إلى جدول Bradis لقيم α و β.

3. بعد اكتشاف إحدى الزوايا، يمكنك أن تتذكر أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 درجة. وهذا يعني أن مجموع α و β يساوي 180 درجة - 90 درجة = 90 درجة. وبعد حساب قيمة α من الجداول، يمكننا استخدام الصيغة التالية للعثور على β: β = 90 درجة - α

4. إذا كان أحد أضلاع المثلث غير مألوف، فإننا نطبق نظرية فيثاغورس: a²+b²=c². دعونا نستنتج منه التعبير عن الجانب غير المألوف من خلال الضلعين الآخرين ونعوضه في الصيغة لإيجاد جيب أو جيب تمام إحدى الزوايا.

نصيحة 2: كيفية العثور على الوتر في مثلث قائم الزاوية

الوتر هو ضلع المثلث القائم الذي يقع مقابل الزاوية القائمة. الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية. تسمى الجوانب المتبقية في المثلث الأيمن بالأرجل.

سوف تحتاج

• المعرفة الأساسية للهندسة.

تعليمات

1. مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين. وهذا هو، من أجل العثور على مربع طول الوتر، تحتاج إلى تربيع طول الساقين وإضافته.

2. طول الوتر يساوي الجذر التربيعي لمربع طوله. ولإيجاد طوله، نأخذ الجذر التربيعي لعدد يساوي مجموع مربعي أرجله. سيكون الرقم الناتج هو طول الوتر.

فيديو حول الموضوع

ملحوظة!
طول الوتر صحيح، لذلك عند استخراج الجذر، يجب أن يكون التعبير الجذري أكبر من الصفر.

نصائح مفيدة
في المثلث القائم متساوي الساقين، يمكن حساب طول الوتر عن طريق ضرب الساق في جذر 2.

نصيحة 3: كيفية اكتشاف الزاوية الحادة في المثلث القائم

مباشرة فحميربما يكون المثلث أحد أشهر الأشكال الهندسية من الناحية التاريخية. "بنطلون" فيثاغورس لا يمكنه منافسة إلا "يوريكا!" أرخميدس.

سوف تحتاج

• - رسم مثلث؛
• - مسطرة؛
• - منقلة

تعليمات

1. كالعادة يتم تحديد رؤوس زوايا المثلث بأحرف لاتينية كبيرة (A، B، C)، والأضلاع المقابلة بأحرف لاتينية صغيرة (a، b، c) أو بأسماء رؤوس المثلث تشكيل هذا الجانب (AC، BC، AB).

2. مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة. بشكل مستطيل مثلثزاوية واحدة (مستقيمة) ستكون دائمًا 90 درجة، والباقي حاد، أي. أقل من 90 درجة على طول الطريق. من أجل تحديد ما هي الزاوية في مستطيل مثلثمستقيم، استخدم المسطرة لقياس أضلاع المثلث وتحديد أكبرها. ويسمى الوتر (AB) ويقع مقابل الزاوية القائمة (C). يشكل الجانبان المتبقيان زاوية قائمة ويطلق عليهما الأرجل (AC، BC).

3. بمجرد تحديد الزاوية الحادة، يمكنك إما قياس الزاوية باستخدام المنقلة أو حسابها باستخدام الصيغ الرياضية.

4. من أجل تحديد حجم الزاوية بدعم المنقلة، قم بمحاذاة قمة رأسها (دعنا نشير إليها بالحرف A) مع علامة خاصة على المسطرة في وسط المنقلة، ويجب أن يتطابق ساق AC مع الجزء العلوي منها حافة. ضع علامة على الجزء نصف الدائري من المنقلة على النقطة التي يمر من خلالها الوتر AB. القيمة عند هذه النقطة تتوافق مع الزاوية بالدرجات. إذا كانت هناك قيمتان مشار إليهما على المنقلة، فبالنسبة للزاوية الحادة، عليك اختيار القيمة الأصغر، لزاوية منفرجة - الأكبر.

6. ابحث عن القيمة الناتجة في جداول Bradis المرجعية وحدد الزاوية التي تتوافق معها القيمة الرقمية الناتجة. استخدمت جداتنا هذه الطريقة.

7. في الوقت الحاضر، يكفي أن تأخذ آلة حاسبة مع وظيفة لحساب الصيغ المثلثية. لنفترض أن الآلة الحاسبة المدمجة في Windows. قم بتشغيل تطبيق "الآلة الحاسبة"، في عنصر القائمة "عرض"، حدد عنصر "الهندسة". احسب جيب الزاوية المطلوبة، مثلاً sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

8. قم بتبديل الآلة الحاسبة إلى وضع الدوال العكسية من خلال النقر على زر INV الموجود على شاشة الآلة الحاسبة، ثم انقر على الزر لحساب دالة قوس الجيب (المشار إليها على الشاشة بالخطيئة للقوة الأولى ناقص). سيظهر نقش آخر في نافذة الحساب: asind (0.5) = 30. أي. الزاوية المطلوبة هي 30 درجة.

نصيحة 4: كيفية اكتشاف الجانب المجهول في المثلث

لا تعتمد طريقة حساب الجانب المجهول للمثلث على ظروف المهمة فحسب، بل تعتمد أيضًا على سبب القيام بذلك. هناك مشكلة مماثلة لا يواجهها تلاميذ المدارس في دروس الهندسة فحسب، بل يواجهها أيضًا المهندسون العاملون في مختلف الصناعات ومصممي الديكور الداخلي والقواطع وممثلي العديد من المهن الأخرى. قد تختلف دقة الحسابات لأغراض مختلفة، لكن قاعدتها تظل كما هي في كتاب المشكلات المدرسية.

سوف تحتاج

• - مثلث ذو معلمات معينة؛
• - آلة حاسبة؛
• - قلم؛
• - قلم؛
• – منقلة
• - ورق؛
• – جهاز كمبيوتر مزود ببرنامج أوتوكاد.
• - نظريات الجيب وجيب التمام.

تعليمات

1. ارسم مثلثًا يتوافق مع شروط المهمة. يمكن بناء المثلث على ثلاثة أضلاع، ضلعين والزاوية بينهما، أو ضلع وزاويتين متجاورتين. أطروحة العمل في دفتر الملاحظات وعلى الكمبيوتر في برنامج أوتوكاد متطابقة في هذا الصدد. لذلك يجب أن تشير المهمة بدقة إلى أبعاد جانب واحد أو جانبين وزاوية واحدة أو زاويتين.

2. عند البناء على جانبين وزاوية، ارسم قطعة على الورقة تساوي الجانب الأمامي. بمساعدة المنقلة، ضع هذه الزاوية جانبًا وارسم زاوية ثانية جانب، مع وضع الحجم المحدد في الحالة جانبًا. إذا كان لديك ضلع واحد وزاويتان متجاورتان، فارسم أولاً جانب، ثم من طرفي القطعة الناتجة، ضع الزوايا جانبًا وارسم الجانبين الآخرين. قم بتسمية المثلث ABC.

3. في برنامج AutoCAD، يشعر الجميع براحة أكبر في إنشاء مثلث غير منتظم بمساعدة أداة "القطعة". سوف تكتشف ذلك من خلال علامة التبويب الرئيسية، مفضلاً نافذة الرسم. حدد إحداثيات الجانب الذي تعرفه، ثم النقطة الأخيرة للقطعة الثانية المحددة.

4. تحديد نوع المثلث. إذا كان مستطيلًا، فسيتم حساب الضلع غير المألوف باستخدام نظرية فيثاغورس. الوتر يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي الساقين، أي c=?a2+b2. وعليه، فإن كل ساق منهما ستكون مساوية للجذر التربيعي للفرق بين مربعي الوتر والرجل الشهيرة: a=?c2-b2.

5. لحساب الضلع المجهول لمثلث له ضلع وزاويتان متجاورتان، استخدم قانون الجيب. الجانب أ هو إثم؟ كما أن الجانب ب هو إثم؟. ؟ و؟ في هذه الحالة - زوايا متقابلة. الزاوية التي لم تحددها شروط المشكلة يمكن اكتشافها من خلال تذكر أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث هو 180 درجة. اطرح منه مجموع الزاويتين اللتين تعرفهما. يكتشف مجهوللك جانبب- حل النسبة بالطريقة المعتادة، وهي ضرب المشهور جانبوعلى الذنب؟ وتقسيم هذا المنتج على الإثم؟. تحصل على الصيغة b=a*sin?/sin?.

6. إذا كنت تعرف الجانبين أ و ب والزاوية؟ بينهما، استخدم قانون جيب التمام. الجانب غير المألوف c سيكون مساويًا للجذر التربيعي لمجموع مربعي الجانبين الآخرين، مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب نفس الجانبين، مضروبًا في جيب تمام الزاوية بينهما. أي أن c=?a2+b2-2ab*cos?.

فيديو حول الموضوع

نصيحة 5: كيفية حساب الزاوية في المثلث القائم

مباشرة فحمييتكون المثلث من زاويتين حادتين، يعتمد حجمهما على أطوال أضلاعهما، بالإضافة إلى زاوية واحدة قيمتها ثابتة دائمًا وهي 90 درجة. يمكنك حساب حجم الزاوية الحادة بالدرجات باستخدام الدوال المثلثية أو نظرية مجموع الزوايا عند رؤوس المثلث في الفضاء الإقليدي.

تعليمات

1. استخدم الدوال المثلثية إذا كانت شروط المشكلة تعطي أبعاد أضلاع المثلث فقط. لنفترض أنه من طول ساقين (جوانب قصيرة مجاورة لزاوية قائمة)، يمكنك حساب كل من الزاويتين الحادتين. يمكن إيجاد ظل تلك الزاوية (؟)، المجاورة للضلع A، بقسمة طول الضلع المقابل (الضلع B) على طول الضلع A: tan(?) = B/A. وبمعرفة المماس، يمكنك حساب الزاوية المقابلة بالدرجات. لهذا الغرض، يتم توفير الدالة قوس الظل: ؟ = arctg(tg(?)) = arctg(B/A).

2. باستخدام نفس الصيغة، يمكنك العثور على قيمة زاوية حادة أخرى تقع في الجهة المقابلة للساق A. ما عليك سوى تغيير تسميات الجوانب. لكن يمكنك القيام بذلك بالعكس، وذلك بمساعدة زوج آخر من الدوال المثلثية - ظل التمام وظل التمام القوسي. يتم تحديد ظل التمام للزاوية b بقسمة طول الساق المجاورة A على طول الساق المقابلة B: tan(?) = A/B. وسيساعدك ظل التمام القوسي على استخراج قيمة الزاوية بالدرجات من القيمة التي تم الحصول عليها: ؟ = arсctg(сtg(?)) = arсctg(А/В).

3. إذا تم إعطاء طول أحد الأرجل (A) والوتر (C) في الظروف الأولية، فعند حساب الزوايا، استخدم الوظائف العكسية للجيب وجيب التمام - arcsine وarcosine. جيب الزاوية الحادة؟ تساوي نسبة طول الساق المقابلة B إلى طول الوتر C: sin(?) = B/C. وهذا يعني أنه لحساب قيمة هذه الزاوية بالدرجات، استخدم الصيغة التالية: ؟ = أركسين (V/C).

4. ماذا عن جيب تمام الزاوية؟ يتم تحديدها بنسبة طول الساق A المجاورة لقمة المثلث هذه إلى طول الوتر C. وهذا يعني أنه لحساب الزاوية بالدرجات، قياسًا على الصيغة السابقة، تحتاج إلى استخدام المساواة التالية : ؟ = أركوس (أ/ج).

5. إن نظرية مجموع زوايا المثلث تجعل من غير الضروري استخدام الدوال المثلثية إذا كانت ظروف المشكلة تعطي قيمة إحدى الزوايا الحادة. في هذه الحالة، لحساب الزاوية المجهولة (؟)، اطرح بسهولة من 180 درجة قيم زاويتين معروفتين - اليمنى (90 درجة) والحادة (؟): ؟ = 180° – 90° – ؟ = 90° – ؟.

ملحوظة!
الارتفاع h يقسم المثلث ABC إلى مثلثين قائمين مماثلين له. هنا تظهر علامة تشابه المثلثات في ثلاث زوايا.

أطوال الأضلاع (أ، ب، ج) معروفة، استخدم نظرية جيب التمام. تنص على أن مربع طول أي ضلع من الأضلاع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، منه ضعف حاصل ضرب طولي نفس الضلعين في جيب تمام الزاوية بينهما يتم طرحه. يمكنك استخدام هذه النظرية لحساب الزاوية عند أي من القمم، ومن المهم معرفة موقعها بالنسبة إلى الجوانب فقط. على سبيل المثال، للعثور على الزاوية α التي تقع بين الجانبين b وc، يجب كتابة النظرية على النحو التالي: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

عبر عن جيب تمام الزاوية المطلوبة من الصيغة: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). على جانبي المساواة، قم بتطبيق الوظيفة العكسية لجيب التمام - قوس جيب التمام. يسمح لك باستعادة الزاوية بالدرجات باستخدام قيمة جيب التمام: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). يمكن تبسيط الجانب الأيسر وحساب الزاوية بين الجانبين b وc سوف يأخذ الشكل النهائي: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

عند إيجاد قيم الزوايا الحادة في مثلث قائم، ليس من الضروري معرفة أطوال جميع الأضلاع، بل يكفي اثنان منها. إذا كان هذان الضلعان ساقين (a وb)، فاقسم طول أحدهما المقابل للزاوية المطلوبة (α) على طول الآخر. بهذه الطريقة ستحصل على قيمة ظل الزاوية المطلوبة tg(α) = a/b، وبتطبيق الدالة العكسية - ظل قوسي - على طرفي المساواة وتبسيط الجانب الأيسر، كما في الخطوة السابقة، اشتقاق الصيغة النهائية: α = القطب الشمالي (أ/ب).

إذا كانت الجوانب المعروفة هي الساق (أ) والوتر (ج)، لحساب الزاوية (β) التي تشكلها هذه الجوانب، استخدم دالة جيب التمام ومعكوسها - جيب التمام القوسي. يتم تحديد جيب التمام بنسبة طول الساق إلى الوتر، ويمكن كتابة الصيغة في شكلها النهائي على النحو التالي: β = arccos(a/c). للحساب من نفس الزاوية الحادة الأولية (α) الواقعة مقابل الساق المعروفة، استخدم نفس العلاقة، مع استبدال أركوسين بأركسين: α = أركسين (أ/ج).

مصادر:

• صيغة المثلث مع 2 الجانبين

نصيحة 2: كيفية العثور على زوايا المثلث بأطوال أضلاعه

هناك عدة خيارات لإيجاد قيم جميع الزوايا في المثلث إذا كانت أطوال زواياها الثلاثة معروفة حفلات. إحدى الطرق هي استخدام صيغتين مختلفتين لحساب المساحة مثلث. لتبسيط العمليات الحسابية، يمكنك أيضًا تطبيق نظرية الجيب ونظرية مجموع الزوايا مثلث.

تعليمات

استخدم، على سبيل المثال، صيغتين لحساب المساحة مثلث، واحدة منها تتضمن ثلاثة فقط من أعماله المعروفة حفلاتق (هيرون)، وفي الآخر - اثنان حفلات s وجيب الزاوية بينهما. استخدام أزواج مختلفة في الصيغة الثانية حفلاتيمكنك تحديد حجم كل زاوية من الزوايا مثلث.

حل المشكلة بشكل عام. تحدد صيغة هيرون المنطقة مثلث، كالجذر التربيعي لمنتج شبه المحيط (نصف الكل حفلات) على الفرق بين نصف المحيط وكل من حفلات. إذا استبدلنا المبلغ حفلات، فيمكن كتابة الصيغة على النحو التالي: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C أخرى حفلاتمنطقة ق مثلثيمكن التعبير عنها بنصف منتج الاثنين حفلاتبواسطة جيب الزاوية بينهما. على سبيل المثال، ل حفلات a وb مع وجود زاوية γ بينهما، يمكن كتابة هذه الصيغة على النحو التالي: S=a∗b∗sin(γ). استبدل الطرف الأيسر من المساواة بصيغة هيرون: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). اشتق من هذه المساواة صيغة