كيفية حل التقدم 9. المشاركات الموسومة "التقدم الحسابي للصف التاسع". ثالثا. تعلم مواد جديدة

يرتبط فهم العديد من المواضيع في الرياضيات والفيزياء بمعرفة خصائص سلاسل الأعداد. تلاميذ الصف التاسع عند دراسة موضوع "الجبر" يأخذون في الاعتبار أحد تسلسلات الأرقام المهمة - التقدم الحسابي. نقدم لك الصيغ الأساسية للتقدم الحسابي (الصف التاسع)، بالإضافة إلى أمثلة لاستخدامها في حل المشكلات.

التقدم الجبري أو الحسابي

يتم استدعاء سلسلة الأرقام التي سيتم مناقشتها في هذه المقالة بطريقتين مختلفتين، معروضتين في عنوان هذه الفقرة. لذلك، نعني بالتقدم الحسابي في الرياضيات سلسلة أرقام يختلف فيها أي رقمين متجاورين بنفس المقدار، يسمى الفرق. عادة ما يتم الإشارة إلى الأرقام في مثل هذه السلسلة بأحرف ذات مؤشر عدد صحيح أقل، على سبيل المثال، a1، a2، a3 وما إلى ذلك، حيث يشير الفهرس إلى رقم عنصر السلسلة.

مع الأخذ في الاعتبار التعريف أعلاه للتقدم الحسابي، يمكننا كتابة المساواة التالية: a2-a1 =...=an-an-1=d، هنا d هو الفرق في التقدم الجبري وn هو أي عدد صحيح. إذا كان d>0، فيمكننا أن نتوقع أن كل عضو لاحق في السلسلة سيكون أكبر من العضو السابق، وفي هذه الحالة نتحدث عن تقدم متزايد. إذا د

صيغ التقدم الحسابي (الصف التاسع)

سلسلة الأرقام المعنية، نظرًا لأنها مرتبة وتخضع لبعض القوانين الرياضية، لها خاصيتان مهمتان لاستخدامها:

أولاً، بمعرفة رقمين فقط a1 وd، يمكنك العثور على أي عضو في التسلسل. ويتم ذلك باستخدام الصيغة التالية: an = a1+(n-1)*d.

ثانيًا، لحساب مجموع حدود n الأولى، ليس من الضروري جمعها بالترتيب، حيث يمكنك استخدام الصيغة التالية: Sn = n*(an+a1)/2.

من السهل فهم الصيغة الأولى، لأنها نتيجة مباشرة لحقيقة أن كل عضو في السلسلة قيد النظر يختلف عن جاره بنفس الاختلاف.

يمكن الحصول على الصيغة الثانية للتقدم الحسابي من خلال ملاحظة أن المجموع a1+an يتبين أنه معادل للمجموع a2+an-1، a3+an-2، وهكذا. في الواقع، بما أن a2 = d+a1، وan-2 = -2*d+an، وa3 = 2*d+a1، وan-1 = -d+an، فإننا نعوض هذه التعبيرات في المجاميع المقابلة، نجد أن سيكونون هم أنفسهم. يظهر العامل n/2 في الصيغة الثانية (للSn) نظرًا لحقيقة أن المجاميع من النوع ai+1+an-i تكون بالضبط n/2، وهنا i عدد صحيح يتراوح من 0 إلى n/2 - 1.

وفقًا للأدلة التاريخية الباقية، تم الحصول على صيغة مجموع Sn لأول مرة بواسطة كارل غاوس (عالم الرياضيات الألماني الشهير) عندما كلفه معلم مدرسته بمهمة جمع أول 100 رقم.

مثال المشكلة رقم 1: أوجد الفرق

المسائل التي يطرح فيها السؤال على النحو التالي: معرفة صيغ المتتابعة الحسابية، وكيفية العثور على d (d)، هي أبسط ما يمكن أن يكون إلا لهذا الموضوع.

لنعطي مثالا: بالنظر إلى التسلسل العددي -5،-2، 1، 4، ...، من الضروري تحديد اختلافه، أي د.

يمكن القيام بذلك بسهولة قدر الإمكان: عليك أن تأخذ عنصرين وتطرح العنصر الأصغر من العنصر الأكبر. في هذه الحالة لدينا: د = -2 - (-5) = 3.

للتأكد من الإجابة المستلمة، يوصى بالتحقق من الاختلافات المتبقية، لأن التسلسل المقدم قد لا يفي بشرط التقدم الجبري. لدينا: 1-(-2)=3 و4-1=3. تشير هذه البيانات إلى أننا حصلنا على النتيجة الصحيحة (d=3) وأثبتنا أن سلسلة الأرقام في بيان المشكلة تمثل بالفعل تقدمًا جبريًا.

مثال للمسألة رقم 2: أوجد الفرق بمعرفة حدين للتقدم

دعونا نفكر في مشكلة أخرى مثيرة للاهتمام، والتي تسأل عن كيفية العثور على الفرق. في هذه الحالة، يجب استخدام صيغة التقدم الحسابي للحد n. لذا، المهمة: بالنظر إلى الرقمين الأول والخامس من السلسلة التي تتوافق مع جميع خصائص التقدم الجبري، على سبيل المثال، هذه هي الأرقام a1 = 8 وa5 = -10. كيفية العثور على الفرق د؟

يجب أن تبدأ في حل هذه المشكلة عن طريق كتابة صيغة عامة للعنصر n: an = a1+d*(-1+n). الآن يمكنك الذهاب بطريقتين: إما استبدال الأرقام على الفور والعمل معها، أو التعبير عن d، ثم الانتقال إلى a1 وa5 محددين. باستخدام الطريقة الأخيرة نحصل على: a5 = a1+d*(-1+5) أو a5 = 4*d+a1، مما يعني أن d = (a5-a1)/4. يمكنك الآن استبدال البيانات المعروفة من الشرط بأمان والحصول على الإجابة النهائية: d = (-10-8)/4 = -4.5.

لاحظ أنه في هذه الحالة تبين أن فرق التقدم كان سلبيا، أي أن هناك تسلسلا تنازليا للأرقام. ومن الضروري الانتباه إلى هذه الحقيقة عند حل المشكلات حتى لا تخلط بين العلامتين "+" و "-". جميع الصيغ المذكورة أعلاه عالمية، لذا يجب اتباعها دائمًا بغض النظر عن إشارة الأرقام التي يتم بها تنفيذ العمليات.

مثال لحل المشكلة رقم 3: ابحث عن a1 ومعرفة الفرق والعنصر

دعونا نغير بيان المشكلة قليلا. يجب أن يكون هناك رقمان: الفرق d=6 والعنصر التاسع للتقدم a9 = 10. كيف تجد a1؟ تظل صيغ التقدم الحسابي دون تغيير، فلنستخدمها. بالنسبة للرقم a9 لدينا التعبير التالي: a1+d*(9-1) = a9. ومن هنا نحصل بسهولة على العنصر الأول في السلسلة: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

مثال على حل المشكلة رقم 4: ابحث عن a1 مع معرفة عنصرين

هذا الإصدار من المشكلة هو إصدار معقد من الإصدار السابق. الجوهر هو نفسه، من الضروري حساب a1، ولكن الآن الفرق d غير معروف، وبدلاً من ذلك يتم إعطاء عنصر آخر من التقدم.

مثال على هذا النوع من المسائل هو ما يلي: ابحث عن الرقم الأول من التسلسل المعروف بأنه تقدم حسابي وأن عنصريه الخامس عشر والثالث والعشرين هما 7 و12 على التوالي.

ومن الضروري حل هذه المشكلة عن طريق كتابة تعبير للحد النوني لكل عنصر معروف من الشرط، لدينا: a15 = d*(15-1)+a1 و a23 = d*(23-1)+a1. كما ترون، لدينا معادلتان خطيتان يجب حلهما من أجل a1 وd. لنفعل ذلك: نطرح الأولى من المعادلة الثانية، فنحصل على التعبير التالي: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. عند اشتقاق المعادلة الأخيرة تم حذف قيم a1 لأنها تلغى عند طرحها. بتعويض البيانات المعروفة نجد الفرق: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0.625.

يجب استبدال قيمة d في أي صيغة لعنصر معروف للحصول على الحد الأول من التسلسل: a15 = 14*d+a1، ومنها: a1=a15-14*d = 7-14*0.625 = -1.75 .

دعونا نتحقق من النتيجة التي تم الحصول عليها؛ للقيام بذلك، نجد a1 من خلال التعبير الثاني: a23 = d*22+a1 أو a1 = a23-d*22 = 12 - 0.625*22 = -1.75.

مثال على حل المشكلة رقم 5: ابحث عن مجموع العناصر n

كما ترون، حتى هذه اللحظة، تم استخدام صيغة تقدم حسابي واحدة فقط (الصف التاسع) للحل. الآن نقدم مشكلة تتطلب حلولها معرفة الصيغة الثانية، وهي مجموع Sn.

هناك سلسلة الأرقام المرتبة التالية -1,1، -2,1، -3,1،...، تحتاج إلى حساب مجموع عناصرها الـ 11 الأولى.

ومن هذه السلسلة يتضح أنها آخذة في التناقص، وأن a1 = -1.1. فرقها يساوي: d = -2.1 - (-1.1) = -1. الآن دعونا نحدد الحد الحادي عشر: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. بعد الانتهاء من الحسابات التحضيرية، يمكنك استخدام الصيغة المذكورة أعلاه للمبلغ، لدينا: S11 =11*(-1.1 +(-11.1))/2 = -67.1. وبما أن جميع الحدود كانت أرقامًا سالبة، فإن مجموعها له أيضًا العلامة المقابلة.

مثال على حل المشكلة رقم 6: ابحث عن مجموع العناصر من n إلى m

ربما يكون هذا النوع من المشاكل هو الأصعب بالنسبة لمعظم أطفال المدارس. لنعطي مثالا نموذجيا: بالنظر إلى سلسلة من الأرقام 2، 4، 6، 8...، تحتاج إلى إيجاد المجموع من الحد السابع إلى الحد الثالث عشر.

تُستخدم صيغ التقدم الحسابي (الصف 9) تمامًا كما في جميع المسائل السابقة. يوصى بحل هذه المشكلة خطوة بخطوة:

قم أولاً بالعثور على مجموع 13 مصطلحًا باستخدام الصيغة القياسية.

ثم احسب هذا المجموع للعناصر الستة الأولى.

بعد ذلك، اطرح المبلغ الثاني من المبلغ الأول.

دعونا نصل إلى الحل. كما في الحالة السابقة، سنقوم بإجراء الحسابات التحضيرية: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12، a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

لنحسب مجموعين: S13 = 13*(2+26)/2 = 182، S6 = 6*(2+12)/2 = 42. خذ الفرق واحصل على الإجابة المطلوبة: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. لاحظ أنه عند الحصول على هذه القيمة، تم استخدام مجموع 6 عناصر من التقدم كمطروح، حيث تم تضمين الحد السابع في المجموع S7-13.

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

معاينة:

موضوع

المتوالية العددية

هدف :

• تعليم كيفية التعرف على التقدم الحسابي باستخدام تعريفه وعلامته؛
• تعليم كيفية حل المشكلات باستخدام تعريف وعلامة وصيغة للمصطلح العام للتقدم.

أهداف الدرس:

إعطاء تعريف للتقدم الحسابي، وإثبات علامة التقدم الحسابي وتعليم كيفية استخدامها في حل المسائل.

طرق التدريس:

تحديث معرفة الطلاب، والعمل المستقل، والعمل الفردي، وخلق موقف مشكلة.

التقنيات الحديثة:

تكنولوجيا المعلومات والاتصالات، والتعلم القائم على حل المشكلات، والتعلم المتمايز، والتقنيات الموفرة للصحة.

خطة الدرس

	مراحل الدرس.	وقت التنفيذ.
	تنظيم الوقت.	2 دقيقة
	تكرار ما تم تغطيته	5 دقائق
	تعلم مواد جديدة	15 دقيقة
	دقيقة التربية البدنية	3 دقائق
	إكمال المهام المتعلقة بالموضوع	15 دقيقة
	العمل في المنزل	2 دقيقة
	تلخيص	3 دقائق

خلال الفصول الدراسية:

1. في الدرس الأخير تعرفنا على مفهوم "التسلسل".

وسنواصل اليوم دراسة المتتابعات العددية وتحديد بعضها والتعرف على خصائصها وخصائصها.

1. أجب عن الأسئلة: ما هو التسلسل؟

ما هي التسلسلات هناك؟

ما هي الطرق التي يمكنك ضبط التسلسل؟

ما هو التسلسل الرقمي؟

ما هي طرق تحديد التسلسل الرقمي التي تعرفها؟ ما هي الصيغة تسمى المتكررة؟

1. نظرا للتسلسل العددي:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

أوجد نمط كل تسلسل، ثم قم بتسمية الحدود الثلاثة التالية لكل منها.

1. ن = ن -1 +1
2. أ ن = أ ن -1 + 3
3. أ ن = أ ن -1 + (-2)
4. ن = ن -1 + 0.5

أعط صيغة التكرار لكل تسلسل.

شريحة 1

تسمى المتتابعة العددية التي يكون كل عضو فيها ابتداء من الثاني مساوياً للعضو السابق مضافاً إلى نفس الرقم، بالمتتابعة الحسابية.

الرقم d يسمى فرق التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو تسلسل عددي، لذلك يمكن أن يكون متزايدًا أو متناقصًا أو ثابتًا. أعط أمثلة على هذه التسلسلات، وقم بتسمية الفرق بين كل تقدم، واستخلص النتيجة.

دعونا نشتق صيغة الحد العام للتقدم الحسابي.

على السبورة: دع أ 1 هو الحد الأول للتقدم، د هو الفرق، إذن

أ 2 = أ 1 + د

أ 3 =(أ 1 +د)+د=أ 1 +2د

أ 4 =(أ 1 +2د)+د=أ 1 +3د

أ 5 =(أ 1 +3د)+د=أ 1 +4د

أ ن = أ 1 + د (ن-1) - صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي.

حل المشكلة: في المتتابعة الحسابية، الحد الأول هو 5 والفرق هو 4.

أوجد الحد الثاني والعشرين من هذا التقدم.

يقرر الطالب على السبورة: أن =أ 1 +د(ن-1)

أ 22 = أ 1 +21 د=5+21*4=89

دقيقة التربية البدنية.

أستيقظنا.

الأيدي على الحزام. يميل إلى اليسار واليمين (مرتين)؛

الانحناء للأمام والخلف (مرتين) ؛

ارفع يديك للأعلى، خذ نفسًا عميقًا، أنزل يديك للأسفل، ثم قم بالزفير. (2 مرات)

صافحوا أيديهم. شكرًا لك.

جلسنا. دعونا نواصل الدرس.

نحن نحل المسائل باستخدام صيغة الحد العام للتقدم الحسابي.

يُعرض على الطلاب المهام التالية:

1. في المتتابعة الحسابية، الحد الأول هو -2، د=3، أن = 118.

ابحث عن ن.

1. في المتتابعة الحسابية، الحد الأول هو 7، والحد الخامس عشر هو -35. جد الفرق.
2. ومن المعروف أنه في المتوالية الحسابية d=-2، a39=83. أوجد الحد الأول من التقدم.

يتم تقسيم الطلاب إلى مجموعات. يتم إعطاء المهمة لمدة 5 دقائق. بعد ذلك، يقوم الطلاب الثلاثة الأوائل الذين قاموا بحل المسائل بحلها على السبورة. يتم تكرار الحل على الشرائح.

دعونا ننظر في الخصائص المميزة للتقدم الحسابي.

في التقدم الحسابي

أ ن -د=أ (ن-1)

أ ن +د=أ (ن+1)

دعونا نضيف هاتين المتساويتين حدًا تلو الآخر، فنحصل على: 2أن =أ (ن+1) +أ (ن-1)

ا ن =(أ (ن+1) +أ (ن-1 ))/2

وهذا يعني أن كل عضو في المتوالية الحسابية، باستثناء الأول والأخير، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين.

النظرية:

المتتابعة الرقمية هي متوالية حسابية إذا وفقط إذا كان كل عضو من أعضائها، باستثناء الأول (والأخير في حالة المتوالية المحدودة)، يساوي المتوسط ​​الحسابي للأعضاء السابقين واللاحقين (خاصية مميزة للمتتابعة العددية). المتوالية العددية).

فصل: 9

نوع الدرس: درس تعلم مواد جديدة.

الهدف من الدرس: تكوين مفهوم المتتابعة الحسابية كأحد أنواع المتتابعات، واشتقاق صيغة الحد النوني، والتعرف على الخصائص المميزة لأعضاء المتتابعة الحسابية. حل المشاكل.

أهداف الدرس:

• التعليمية- التعريف بمفاهيم التقدم الحسابي. صيغ الحد النوني؛ الخاصية المميزة التي يمتلكها أعضاء التقدم الحسابي.
• التنموية- تطوير القدرة على مقارنة المفاهيم الرياضية، وإيجاد أوجه التشابه والاختلاف، والقدرة على الملاحظة، وملاحظة الأنماط، والتفكير عن طريق القياس؛ - تطوير القدرة على بناء وتفسير نموذج رياضي لبعض المواقف الحقيقية.
• التعليمية- تعزيز الاهتمام بالرياضيات وتطبيقاتها، والنشاط، والقدرة على التواصل، والدفاع عن الرأي بالعقل.

المعدات: كمبيوتر، جهاز عرض متعدد الوسائط، عرض تقديمي (الملحق 1)

الكتب المدرسية: الجبر 9، يو إن ماكاريشيف، إن جي مينديوك، كيه إن نيشكوف، إس بي سوفوروف، حرره إس إيه تيلياكوفسكي، موسكو للكتب المدرسية OJSC، 2010

خطة الدرس:

1. اللحظة التنظيمية، تحديد المهام
2. تحديث المعرفة والعمل الشفهي
3. تعلم مواد جديدة
4. التوحيد الأولي
5. تلخيص الدرس
6. العمل في المنزل

ولزيادة الوضوح وسهولة العمل مع المادة، يكون الدرس مصحوبًا بعرض تقديمي. ومع ذلك، هذا ليس شرطا ويمكن تدريس نفس الدرس في الفصول الدراسية غير المجهزة بمعدات الوسائط المتعددة. ولهذا الغرض يمكن إعداد البيانات اللازمة على السبورة أو على شكل جداول وملصقات.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية، بيان المشكلة.

تحيات.

موضوع درس اليوم هو التقدم الحسابي. في هذا الدرس، سوف نتعلم ما هي المتتابعة الحسابية، وما هو شكلها العام، وسنكتشف كيفية التمييز بين المتوالية الحسابية والمتتابعات الأخرى وحل المسائل التي تستخدم خصائص المتوالية الحسابية.

ثانيا. تحديث المعرفة والعمل الشفهي.

يتم إعطاء التسلسل () بالصيغة: =. ما العدد الذي يمتلكه عضو هذه المتتابعة إذا كان 144؟ 225؟ 100؟ هل الأعداد 48 عضوًا في هذا التسلسل؟ 49؟ 168؟

ومن المعروف عن التسلسل () أن ، . ما هي هذه الطريقة لتحديد تسلسل يسمى؟ أوجد الحدود الأربعة الأولى من هذه المتتابعة.

ومن المعروف عن التسلسل () أن . ما هي هذه الطريقة لتحديد تسلسل يسمى؟ اكتشف إذا؟

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

التقدم هو سلسلة من الكميات، كل منها يعتمد بشكل معين على الكمية السابقة، وهي مشتركة بين التقدم بأكمله. لقد أصبح هذا المصطلح الآن قديمًا إلى حد كبير ولا يوجد إلا في مجموعات من "التقدم الحسابي" و"التقدم الهندسي".

إن مصطلح "التقدم" له أصل لاتيني (التقدم، والذي يعني "المضي قدمًا") وقد قدمه المؤلف الروماني بوثيوس (القرن السادس). في الرياضيات، كان هذا المصطلح يستخدم سابقًا للإشارة إلى أي تسلسل من الأرقام يتم إنشاؤه وفقًا لقانون يسمح باستمرار هذا التسلسل إلى ما لا نهاية في اتجاه واحد. في الوقت الحالي، لا يُستخدم مصطلح "التقدم" بمعناه الواسع في الأصل. احتفظ نوعان مهمان من التقدمات - الحسابية والهندسية - بأسمائهما.

النظر في تسلسل الأرقام:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

ما هو الحد الثالث من المتتابعة الأولى؟ العضو اللاحق؟ العضو السابق؟ ما الفرق بين المصطلحين الثاني والأول؟ العضو الثالث والثاني ؟ الرابع والثالث؟

إذا كانت المتتابعة مبنية وفق نفس القانون، فاستنتج ما الفرق بين الحدين السادس والخامس من المتتابعة الأولى؟ بين السابعة والسادسة؟

قم بتسمية الحدين التاليين من كل تسلسل. لماذا تظن ذلك؟

(إجابات الطلاب)

ما الخاصية المشتركة التي تمتلكها هذه المتتابعات؟ اذكر هذه الخاصية.

(إجابات الطلاب)

تسمى التسلسلات الرقمية التي تحتوي على هذه الخاصية بالتسلسلات الحسابية. ادع الطلاب إلى محاولة صياغة التعريف بأنفسهم.

تعريف المتتابعة الحسابية: المتتابعة الحسابية هي متوالية يكون فيها كل عضو ابتداء من الثاني مساويا للسابق مضافا إلى نفس العدد:

( - التقدم الحسابي، إذا، أين يوجد رقم ما.

رقم د، يُظهر مدى اختلاف العضو التالي في التسلسل عن العضو السابق، ويسمى فرق التقدم: .

دعونا نلقي نظرة على التسلسلات مرة أخرى ونتحدث عن الاختلافات. ما هي الميزات التي يمتلكها كل تسلسل وما هي علاقتها؟

إذا كان الفرق في المتتابعة الحسابية موجباً فإن المتتابعة تتزايد: 2، 6، 10، 14، 18، :. (

إذا كان الفرق في المتتابعة الحسابية سالبًا ( )، فإن المتتالية تتناقص: 11، 8، 5، 2، -1، :. (

إذا كان الفرق صفر () وجميع شروط التقدم تساوي نفس العدد، يسمى التسلسل ثابت: 5، 5، 5، 5، :.

كيفية ضبط التقدم الحسابي؟ دعونا نفكر في المشكلة التالية.

مهمة. كان هناك 50 طنًا من الفحم في المستودع في اليوم الأول. كل يوم لمدة شهر، تصل شاحنة محملة بثلاثة أطنان من الفحم إلى المستودع. ما مقدار الفحم الذي سيكون موجودًا في المستودع في يوم 30، إذا لم يتم استهلاك الفحم من المستودع خلال هذا الوقت.

إذا كتبنا كمية الفحم المخزنة لكل رقم، فسنحصل على تقدم حسابي. كيفية حل هذه المشكلة؟ هل يجب عليك حقًا حساب كمية الفحم في كل يوم من أيام الشهر؟ هل من الممكن الاستغناء عن هذا بطريقة أو بأخرى؟ نلاحظ أنه بحلول اليوم الثلاثين ستصل 29 سيارة بالفحم إلى المستودع. وبالتالي، في اليوم الثلاثين سيكون هناك 50 + 329 = 137 طنًا من الفحم في المستودع.

وبالتالي، بمعرفة الحد الأول فقط من المتوالية الحسابية والفرق، يمكننا إيجاد أي حد من المتتابعة. هل هذا هو الحال دائما؟

دعونا نحلل كيف يعتمد كل حد من المتتابعة على الحد الأول والفرق:

وهكذا حصلنا على صيغة الحد النوني من المتوالية الحسابية.

مثال 1. التسلسل () هو تقدم حسابي. ابحث عما إذا كان و .

دعونا نستخدم صيغة الحد n ,

الجواب: 260.

خذ بعين الاعتبار المشكلة التالية:

وفي المتتابعة الحسابية تم مسح الحدود الزوجية: 3، :، 7، :، 13: هل من الممكن استعادة الأرقام المفقودة؟

من المرجح أن يقوم الطلاب أولاً بحساب الفرق في التقدم ثم العثور على المصطلحات غير المعروفة للتقدم. ثم يمكنك أن تطلب منهم إيجاد العلاقة بين العضو غير المعروف في التسلسل، والعضو السابق والذي يليه.

حل:دعونا نستفيد من حقيقة أنه في التقدم الحسابي يكون الفرق بين الحدود المتجاورة ثابتًا. اسمحوا أن يكون العضو المطلوب في التسلسل. ثم

.

تعليق.هذه الخاصية للتقدم الحسابي هي خاصية مميزة لها. وهذا يعني أنه في أي متوالية حسابية، يكون كل حد، بدءًا من الثاني، مساويًا للوسط الحسابي لكل من السابق واللاحق ( . وعلى العكس من ذلك، فإن أي متتابعة يكون فيها كل حد، بدءًا من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للسابق واللاحق، فهي متوالية حسابية.

رابعا. التوحيد الأولي.

• رقم 575 ب - شفويا
• رقم 576 AVD - شفويا
• رقم 577ب - مستقل مع التحقق

التسلسل (هو تقدم حسابي. ابحث عن إذا و

دعونا نستخدم صيغة الحد n،

الجواب: -24.2.

أوجد الحدين الثالث والعشرين والنوني من المتتابعة الحسابية -8؛ -6.5؛ :

حل:الحد الأول من التقدم الحسابي هو -8. دعونا نوجد الفرق في المتتابعة الحسابية، وللقيام بذلك، علينا طرح السابق من الحد اللاحق في المتتابعة: -6.5-(-8) = 1.5.

دعونا نستخدم صيغة الحد n:

أوجد الحد الأول من المتوالية الحسابية () إذا .

دعونا نتذكر بداية درسنا يا شباب. خلال درس اليوم، هل تمكنت من تعلم شيء جديد أو القيام بأي اكتشافات؟ ما هي أهداف الدرس التي وضعناها لأنفسنا؟ هل تعتقد أننا نجحنا في تحقيق أهدافنا؟

العمل في المنزل.

النقطة 25، رقم 578أ، رقم 580ب، رقم 582، رقم 586أ، رقم 601أ.

مهمة إبداعية للطلاب الأقوياء: إثبات ذلك في التقدم الحسابي لأي أرقام من هذا القبيل ك عقد المساواة و .

شكرا على الدرس يا شباب. لقد قمت بعمل جيد اليوم.

يسمى التسلسل الرقمي، الذي يكون كل عضو فيه، بدءًا من الثاني، مساويًا للرقم السابق المضاف إلى نفس الرقم لتسلسل معين، بالتقدم الحسابي. يتم استدعاء الرقم الذي يضاف إلى الرقم السابق في كل مرة اختلاف التقدم الحسابيويتم تحديده بالحرف د.

إذن، التسلسل الرقمي هو 1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ ... و n سيكون تقدمًا حسابيًا إذا كان a 2 = a 1 + d؛

أ 3 = أ 2 + د؛

يقولون أنه تم تقديم تقدم حسابي بمصطلح مشترك و ن. اكتب: يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن).

يعتبر التقدم الحسابي محددًا إذا كان حده الأول معروفًا أ 1والفرق د.

أمثلة على التقدم الحسابي

مثال 1. 1؛ 3؛ 5؛ 7؛ 9;...هنا أ 1 = 1; د = 2.

مثال 2. 8؛ 5؛ 2؛ -1؛ -4؛ -7؛ -10؛... هنا أ 1 = 8; د =-3.

مثال 3.-16؛ -12؛ -8؛ -4;... هنا أ 1 = -16; د = 4.

لاحظ أن كل حد من حدود المتتابعة، بدءاً من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للحدين المجاورين له.

في 1 مثالالفصل الثاني 3 =(1+5): 2 ; أولئك. أ 2 = (أ 1 + أ 3) : 2؛ العضو الثالث 5 =(3+7): 2;

أي أ 3 = (أ 2 + أ 4) : 2.

وبالتالي فإن الصيغة صالحة:

ولكن، في الواقع، كل عضو في المتوالية الحسابية، بدءًا من الثاني، يساوي الوسط الحسابي ليس فقط للأعضاء المجاورة له، بل أيضًا على مسافة متساويةمن أعضائه، أي.

دعونا ننتقل مثال 2. رقم -1 هو الحد الرابع من المتوالية الحسابية وهو بعيد بنفس القدر عن الحدين الأول والسابع (أ 1 = 8، و7 = -10).

ووفقا للصيغة (**) لدينا:

دعونا نشتق الصيغة ن-الحد الرابع من المتوالية الحسابية.

إذن، نحصل على الحد الثاني من المتوالية الحسابية إذا أضفنا الفرق إلى الأول د; نحصل على الحد الثالث إذا أضفنا الفرق إلى الحد الثاني دأو إضافة اختلافين إلى الفصل الأول د; نحصل على الحد الرابع إذا أضفنا الفرق إلى الحد الثالث دأو أضف ثلاثة اختلافات إلى الأول دوما إلى ذلك وهلم جرا.

لقد خمنت ذلك: أ 2 = أ 1 + د؛

أ 3 = أ 2 + د = أ 1 + 2 د؛

أ 4 = أ 3 + د = أ 1 + 3 د؛

…………………….

أ ن = أ ن-1 + د = أ 1 + (ن-1) د.

الصيغة الناتجة ن = أ 1 + (ن-1) د (***)

مُسَمًّى معادلةنالحد الرابع من المتوالية الحسابية.

الآن دعونا نتحدث عن كيفية العثور على مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي. دعونا نشير إلى هذا المبلغ بـ س ن.

إعادة ترتيب أماكن الحدود لا يغير قيمة المجموع، لذا يمكن كتابته بطريقتين.

س ن= أ 1 + أ 2 + أ 3 + أ 4 + … + أ ن-3 + أ ن-2 + أ ن-1 + أ ن و

س ن =أ ن + أ ن-1 + أ ن-2 + أ ن-3 + …...+ أ 4 + أ 3 + أ 2 + أ 1

دعنا نضيف هاتين المتساويتين مصطلحًا تلو الآخر:

2س ن= (أ 1 + أ ن) + (أ 2 + أ ن-1) + (أ 3 + أ ن-2) + (أ 4 + أ ن-3) + …

القيم الموجودة بين القوسين متساوية مع بعضها البعض، حيث أنها مجموع حدود المتسلسلة المتباعدة بشكل متساوٍ، مما يعني أنه يمكننا كتابة: 2S n = n · (a 1 + a n).

نحصل على الصيغة مبالغ الأولنشروط التقدم الحسابي.

إذا استبدلنا n بالقيمة a 1 + (n-1) d باستخدام الصيغة (***)، نحصل على صيغة أخرى لمجموع القيمة الأولى نشروط التقدم الحسابي.