ما هو تباين المتغير العشوائي؟ مثال على إيجاد التباين

أنواع التشتت:

التباين الكلييميز تباين خاصية المجتمع بأكمله تحت تأثير كل تلك العوامل التي تسببت في هذا التباين. يتم تحديد هذه القيمة بواسطة الصيغة

أين هو المتوسط ​​الحسابي العام لمجموع السكان قيد الدراسة.

متوسط ​​التباين داخل المجموعةيشير إلى الاختلاف العشوائي الذي قد ينشأ تحت تأثير أي عوامل غير محسوبة والذي لا يعتمد على سمة العامل التي تشكل أساس التجميع. يتم حساب هذا التباين على النحو التالي: أولاً، يتم حساب التباينات للمجموعات الفردية ()، ثم يتم حساب متوسط ​​التباين داخل المجموعة:

حيث n i هو عدد الوحدات في المجموعة

التباين بين المجموعات(تباين وسائل المجموعة) يميز التباين المنهجي، أي. الاختلافات في قيمة الخاصية المدروسة التي تنشأ تحت تأثير علامة العامل التي تشكل أساس التجميع.

أين هي القيمة المتوسطة لمجموعة منفصلة.

ترتبط جميع أنواع التباين الثلاثة ببعضها البعض: التباين الإجمالي يساوي مجموع متوسط ​​التباين داخل المجموعة والتباين بين المجموعة:

ملكيات:

25 المقاييس النسبية للتغير

معامل التذبذب
الانحراف الخطي النسبي
معامل الاختلاف

كوف. منظمة التعاون الإسلامي. يايعكس التقلب النسبي للقيم المتطرفة للخاصية حول المتوسط. Rel. لين. عن. يميز نسبة القيمة المتوسطة لعلامة الانحرافات المطلقة عن القيمة المتوسطة. كوف. التباين هو المقياس الأكثر شيوعًا للتباين المستخدم لتقييم نموذجية المتوسطات.

في الإحصائيات، يعتبر السكان الذين لديهم معامل تباين أكبر من 30-35% غير متجانسين.

انتظام سلسلة التوزيع. لحظات التوزيع. مؤشرات شكل التوزيع

في سلسلة التباين يوجد ارتباط بين الترددات وقيم الخاصية المتغيرة: مع زيادة الخاصية، تزيد قيمة التردد أولاً إلى حد معين ثم تنخفض. تسمى هذه التغييرات أنماط التوزيع.

تمت دراسة شكل التوزيع باستخدام مؤشرات الانحراف والتفرطح. عند حساب هذه المؤشرات، يتم استخدام لحظات التوزيع.

لحظة الترتيب k هي متوسط ​​درجات انحراف القيم المتغيرة لخاصية ما عن قيمة ثابتة معينة. يتم تحديد ترتيب اللحظة بقيمة k. عند تحليل سلسلة التباين، يقتصر الأمر على حساب لحظات الأوامر الأربعة الأولى. عند حساب اللحظات، يمكن استخدام الترددات أو الترددات كأوزان. اعتمادا على اختيار القيمة الثابتة، يتم تمييز اللحظات الأولية والشرطية والمركزية.

مؤشرات نموذج التوزيع:

عدم التماثل(ك) مؤشر يوضح درجة عدم تناسق التوزيع .

لذلك، مع عدم التماثل السلبي (الأيسر). . مع (الجانب الأيمن) عدم التماثل الإيجابي .

يمكن استخدام اللحظات المركزية لحساب عدم التماثل. ثم:

,

حيث μ 3 - اللحظة المركزية من الدرجة الثالثة.

- التفرطح (E ل ) يميز انحدار الرسم البياني للوظيفة مقارنة بالتوزيع الطبيعي بنفس قوة التباين:

,

حيث μ 4 هي اللحظة المركزية للترتيب الرابع.

قانون التوزيع الطبيعي

بالنسبة للتوزيع الطبيعي (التوزيع الغوسي)، تكون دالة التوزيع بالشكل التالي:

التوقع - الانحراف المعياري

التوزيع الطبيعي متماثل ويتميز بالعلاقة التالية: Xav=Me=Mo

التفرطح للتوزيع الطبيعي هو 3، ومعامل الانحراف هو 0.

منحنى التوزيع الطبيعي هو مضلع (خط مستقيم متماثل على شكل جرس)

أنواع التشتتات. قواعد إضافة الفروق. جوهر معامل التحديد التجريبي.

إذا تم تقسيم المجتمع الأصلي إلى مجموعات وفقًا لبعض الخصائص المهمة، فسيتم حساب أنواع التباينات التالية:

التباين الكلي للسكان الأصليين:

حيث هو متوسط ​​القيمة الإجمالية للسكان الأصليين، و هو تكرار السكان الأصليين. يميز التشتت الإجمالي انحراف القيم الفردية للخاصية عن متوسط ​​​​القيمة الإجمالية للسكان الأصليين.

الفروق داخل المجموعة:

حيث j هو رقم المجموعة، هو متوسط ​​القيمة في كل مجموعة j، هو تردد المجموعة j. تميز التباينات داخل المجموعة انحراف القيمة الفردية للسمة في كل مجموعة عن القيمة المتوسطة للمجموعة. من جميع التباينات داخل المجموعة، يتم حساب المتوسط ​​باستخدام الصيغة:، حيث يكون عدد الوحدات في كل مجموعة j.

التباين بين المجموعات:

يميز التشتت بين المجموعات انحراف متوسطات المجموعة عن المتوسط ​​العام للسكان الأصليين.

قاعدة إضافة التباينهو أن التباين الإجمالي للمجتمع الأصلي يجب أن يكون مساوياً لمجموع التباينات بين المجموعة ومتوسط ​​التباينات داخل المجموعة:

معامل التحديد التجريبيتوضح نسبة التباين في الخاصية المدروسة بسبب التباين في خاصية التجميع ويتم حسابها باستخدام الصيغة:

طريقة العد من الصفر الشرطي (طريقة العزوم) لحساب متوسط ​​القيمة والتباين

يعتمد حساب التشتت بطريقة العزوم على استخدام الصيغة وخصائص التشتت 3 و4.

(3. إذا تمت زيادة (إنقاص) جميع قيم السمة (الخيارات) بواسطة رقم ثابت A، فلن يتغير تباين المجتمع الجديد.

4. إذا تمت زيادة (ضرب) جميع قيم السمة (الخيارات) في K مرات، حيث K هو رقم ثابت، فإن تباين المجتمع الجديد سيزيد (ينخفض) بمقدار K 2 مرات.)

نحصل على صيغة لحساب التشتت في سلسلة التباين بفواصل زمنية متساوية باستخدام طريقة اللحظات:

أ - الصفر الشرطي، يساوي الخيار ذو التردد الأقصى (منتصف الفترة ذات التردد الأقصى)

يعتمد حساب القيمة المتوسطة بطريقة اللحظات أيضًا على استخدام خصائص المتوسط.

مفهوم الملاحظة الانتقائية. مراحل دراسة الظواهر الاقتصادية باستخدام طريقة المعاينة

ملاحظة العينة هي ملاحظة لا يتم فيها فحص ودراسة جميع وحدات السكان الأصليين، بل جزء من الوحدات فقط، وتنطبق نتيجة فحص جزء من السكان على كامل السكان الأصليين. يُطلق على السكان الذين يتم اختيار الوحدات منهم لمزيد من الفحص والدراسة عامويتم استدعاء جميع المؤشرات التي تميز هذه الكلية عام.

تسمى الحدود المحتملة لانحرافات قيمة متوسط ​​العينة عن قيمة المتوسط ​​العام خطأ المعاينه.

تسمى مجموعة الوحدات المختارة انتقائيويتم استدعاء جميع المؤشرات التي تميز هذه الكلية انتقائي.

تتضمن عينة البحث المراحل التالية:

خصائص موضوع الدراسة (الظواهر الاقتصادية الجماعية). إذا كان عدد السكان صغيرا، فلا ينصح بأخذ العينات، بل من الضروري إجراء دراسة شاملة؛

حساب حجم العينة. ومن المهم تحديد الحجم الأمثل الذي يسمح بأن يكون خطأ أخذ العينات ضمن النطاق المقبول وبأقل تكلفة؛

اختيار وحدات المراقبة مع مراعاة متطلبات العشوائية والتناسب.

دليل على التمثيل على أساس تقدير الخطأ في أخذ العينات. بالنسبة للعينة العشوائية، يتم حساب الخطأ باستخدام الصيغ. بالنسبة للعينة المستهدفة، يتم تقييم التمثيل باستخدام الأساليب النوعية (المقارنة، التجربة)؛

تحليل عينة السكان. إذا كانت العينة المولدة مستوفية لمتطلبات التمثيلية، فإنه يتم تحليلها باستخدام المؤشرات التحليلية (المتوسط، النسبي، الخ)

إذا تم تقسيم المجتمع إلى مجموعات وفقًا للخاصية التي تتم دراستها، فيمكن حساب أنواع التباين التالية لهذا المجتمع: الإجمالي، المجموعة (داخل المجموعة)، متوسط ​​المجموعة (متوسط ​​​​داخل المجموعة)، بين المجموعات.

في البداية، يقوم بحساب معامل التحديد، الذي يوضح أي جزء من التباين الكلي للسمات قيد الدراسة هو التباين بين المجموعات، أي. بسبب خاصية التجمع:

تميز علاقة الارتباط التجريبية مدى قرب العلاقة بين التجميع (المضروب) وخصائص الأداء.

يمكن أن تأخذ نسبة الارتباط التجريبية القيم من 0 إلى 1.

لتقييم مدى قرب الاتصال على أساس نسبة الارتباط التجريبية، يمكنك استخدام علاقات تشادوك:

مثال 4.تتوفر البيانات التالية عن أداء العمل من قبل منظمات التصميم والمسح بمختلف أشكال الملكية:

يُعرِّف:

1) التباين الكلي.

2) فروق المجموعة.

3) متوسط ​​تباينات المجموعة.

4) التباين بين المجموعات.

5) التباين الإجمالي على أساس قاعدة إضافة التباينات.

6) معامل التحديد ونسبة الارتباط التجريبية.

استخلاص النتائج.

حل:

1. دعونا نحدد متوسط ​​حجم العمل الذي تقوم به المؤسسات ذات شكلين من الملكية:

دعونا نحسب التباين الكلي:

2. تحديد متوسطات المجموعة:

مليون روبل

مليون روبل

تباينات المجموعة:

;

3. احسب متوسط ​​تباينات المجموعة:

4. دعونا نحدد التباين بين المجموعات:

5. احسب التباين الإجمالي بناءً على قاعدة إضافة التباينات:

6. لنحدد معامل التحديد:

.

وبالتالي فإن حجم العمل الذي تقوم به منظمات التصميم والمسح يعتمد بنسبة 22% على شكل ملكية المؤسسات.

يتم حساب نسبة الارتباط التجريبية باستخدام الصيغة

.

تشير قيمة المؤشر المحسوب إلى أن اعتماد حجم العمل على شكل ملكية المؤسسة صغير.

مثال 5.ونتيجة لدراسة الانضباط التكنولوجي لمجالات الإنتاج، تم الحصول على البيانات التالية:

تحديد معامل التحديد

إلى جانب دراسة تباين الخاصية في جميع أنحاء المجتمع ككل، غالبًا ما يكون من الضروري تتبع التغيرات الكمية في الخاصية عبر المجموعات التي ينقسم إليها السكان، وكذلك بين المجموعات. يتم تحقيق دراسة التباين هذه عن طريق حساب وتحليل أنواع مختلفة من التباين.
هناك تباينات إجمالية وداخلية وداخلية.
إجمالي التباين σ 2يقيس تباين السمة في جميع أنحاء المجتمع تحت تأثير جميع العوامل التي تسببت في هذا التباين.

يميز التباين بين المجموعات (δ) التباين المنهجي، أي. الاختلافات في قيمة السمة المدروسة والتي تنشأ تحت تأثير السمة العاملة التي تشكل أساس المجموعة. ويتم حسابها باستخدام الصيغة:
.

التباين داخل المجموعة (σ)يعكس الاختلاف العشوائي، أي. جزء من التباين الذي يحدث تحت تأثير عوامل غير محسوبة ولا يعتمد على سمة العامل التي تشكل أساس المجموعة. يتم حسابه بواسطة الصيغة:
.

متوسط ​​الفروق داخل المجموعة: .

هناك قانون يربط بين 3 أنواع من التشتت. إجمالي التباين يساوي مجموع متوسط ​​التباين داخل المجموعة وبين المجموعة: .
وتسمى هذه النسبة قواعد لإضافة الفروق.

من المؤشرات المستخدمة على نطاق واسع في التحليل نسبة التباين بين المجموعات في التباين الإجمالي. تسمى معامل التحديد التجريبي (η 2): .
يسمى الجذر التربيعي لمعامل التحديد التجريبي نسبة الارتباط التجريبية (η):
.
وهو يصف تأثير الخاصية التي تشكل أساس المجموعة على تباين الخاصية الناتجة. تتراوح نسبة الارتباط التجريبية من 0 إلى 1.
دعونا نوضح استخدامه العملي باستخدام المثال التالي (الجدول 1).

المثال رقم 1. الجدول 1 - إنتاجية العمل لمجموعتين من العمال في إحدى ورش العمل التابعة لشركة NPO "Cyclone"

لنحسب المتوسطات والتباينات الكلية والمجموعة:

يتم عرض البيانات الأولية لحساب متوسط ​​التباين داخل المجموعة وبين المجموعات في الجدول. 2.
الجدول 2
حساب وδ 2 لمجموعتين من العمال.

المجموعات العمالية	عدد العمال، الناس	متوسط، أطفال/وردية	تشتت
الانتهاء من التدريب الفني	5	95	42,0
أولئك الذين لم يكملوا التدريب الفني	5	81	231,2
جميع العمال	10	88	185,6

دعونا نحسب المؤشرات. متوسط ​​الفروق داخل المجموعة:
.
التباين بين المجموعات

التباين الكلي:
وبالتالي فإن نسبة الارتباط التجريبية: .

جنبا إلى جنب مع الاختلاف في الخصائص الكمية، يمكن أيضا ملاحظة الاختلاف في الخصائص النوعية. يتم تحقيق دراسة التباين هذه عن طريق حساب أنواع التباينات التالية:

يتم تحديد تشتت المشاركة داخل المجموعة بواسطة الصيغة

أين ن ط- عدد الوحدات في مجموعات منفصلة.
حصة الخاصية المدروسة في جميع السكان والتي تحددها الصيغة:
وترتبط أنواع التباين الثلاثة ببعضها البعض على النحو التالي:
.

تسمى علاقة التباين هذه بنظرية إضافة تباينات حصة السمة.

إلا أن هذه الخاصية وحدها لا تكفي لدراسة المتغير العشوائي. دعونا نتخيل اثنين من الرماة يطلقون النار على الهدف. أحدهما يطلق النار بدقة ويضرب بالقرب من المنتصف، بينما الآخر... يستمتع فقط ولا يصوب حتى. لكن المضحك هو أنه متوسطوستكون النتيجة بالضبط نفس مطلق النار الأول! يتم توضيح هذا الموقف بشكل تقليدي من خلال المتغيرات العشوائية التالية:

أما التوقع الرياضي "القناص" فهو يساوي "الشخص المثير للاهتمام": - فهو أيضًا صفر!

وبالتالي، هناك حاجة لتحديد مدى ذلك مبعثرالرصاص (قيم متغيرة عشوائية) نسبة إلى مركز الهدف (التوقع الرياضي). حسنا و نثرالمترجمة من اللاتينية ليست طريقة أخرى غير تشتت .

دعونا نرى كيف يتم تحديد هذه الخاصية العددية باستخدام أحد الأمثلة من الجزء الأول من الدرس:

هناك وجدنا توقعًا رياضيًا مخيبًا للآمال لهذه اللعبة، والآن علينا حساب تباينها، والذي يُشار إليه بـخلال .

دعنا نتعرف على مدى "تشتت" المكاسب/الخسائر بالنسبة إلى القيمة المتوسطة. من الواضح أننا بحاجة إلى الحساب لهذا الغرض اختلافاتبين قيم متغيرة عشوائيةوهي توقع رياضي:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

الآن يبدو أنك بحاجة إلى تلخيص النتائج، لكن هذه الطريقة ليست مناسبة - لأن التقلبات إلى اليسار سوف تلغي بعضها البعض مع التقلبات إلى اليمين. لذلك، على سبيل المثال، مطلق النار "الهواة". (المثال أعلاه)الاختلافات ستكون ، وعند إضافتها سيعطون صفرًا، لذلك لن نحصل على أي تقدير لمدى تشتت إطلاق النار.

للتغلب على هذه المشكلة يمكنك التفكير وحداتالاختلافات، ولكن لأسباب فنية ترسخ هذا النهج عندما تم تربيعها. من الأنسب صياغة الحل في جدول:

وهنا يطرح الحساب متوسط ​​الوزنقيمة الانحرافات التربيعية. ما هذا؟ إنها ملكهم القيمة المتوقعة، وهو مقياس للتشتت:

– تعريفالفروق. من التعريف يتضح ذلك على الفور لا يمكن أن يكون التباين سلبيا- خذ ملاحظة للممارسة!

دعونا نتذكر كيفية العثور على القيمة المتوقعة. اضرب الفروق المربعة في الاحتمالات المقابلة (مواصلة الجدول):
- بالمعنى المجازي، هذه هي "قوة الجر"،
وتلخيص النتائج:

ألا تعتقد أنه بالمقارنة مع المكاسب، تبين أن النتيجة كبيرة جدًا؟ هذا صحيح - لقد قمنا بتربيعها، وللعودة إلى أبعاد لعبتنا، نحتاج إلى استخراج الجذر التربيعي. تسمى هذه الكمية الانحراف المعياري ويرمز له بالحرف اليوناني "سيجما":

تسمى هذه القيمة أحيانًا الانحراف المعياري .

ما هو معناها؟ فإذا انحرفنا عن التوقع الرياضي إلى اليسار واليمين بالانحراف المعياري:

- عندها سيتم "تركيز" القيم الأكثر احتمالا للمتغير العشوائي في هذه الفترة. ما نلاحظه في الواقع:

ومع ذلك، يحدث أنه عند تحليل التشتت، يتم العمل دائمًا تقريبًا بمفهوم التشتت. دعونا معرفة ما يعنيه فيما يتعلق بالألعاب. إذا كنا نتحدث في حالة الأسهم عن "دقة" الضربات نسبة إلى مركز الهدف، فإن التشتت هنا يتميز بأمرين:

أولاً، من الواضح أنه مع زيادة الرهانات، يزداد التشتت أيضاً. لذلك، على سبيل المثال، إذا زدنا بمقدار 10 مرات، فإن التوقع الرياضي سيزيد بمقدار 10 مرات، وسيزيد التباين بمقدار 100 مرة (لأن هذه كمية تربيعية). لكن لاحظ أن قواعد اللعبة نفسها لم تتغير! فقط المعدلات تغيرت، تقريبًا، قبل أن نراهن بـ 10 روبل، أصبح الآن 100.

النقطة الثانية الأكثر إثارة للاهتمام هي أن التباين يميز أسلوب اللعب. أصلح رهانات اللعبة عقليًا عند مستوى معين، ودعنا نرى ما هو:

لعبة التباين المنخفض هي لعبة حذرة. يميل اللاعب إلى اختيار المخططات الأكثر موثوقية، حيث لا يخسر/يربح الكثير في وقت واحد. على سبيل المثال، نظام الأحمر/الأسود في لعبة الروليت (انظر المثال 4 من المقال المتغيرات العشوائية) .

لعبة التباين العالي. غالبا ما يتم استدعاؤها مشتتلعبة. هذا هو أسلوب اللعب المغامر أو العدواني، حيث يختار اللاعب مخططات "الأدرينالين". دعونا نتذكر على الأقل "مارتينجال"حيث تكون المبالغ على المحك أكبر من اللعبة "الهادئة" في النقطة السابقة.

الوضع في لعبة البوكر يدل: هناك ما يسمى ضيقاللاعبون الذين يميلون إلى توخي الحذر و"المرتعشين" بشأن أموال الألعاب الخاصة بهم (تمويل). وليس من المستغرب أن لا يتقلب تمويلهم بشكل كبير (تباين منخفض). على العكس من ذلك، إذا كان اللاعب لديه تباين كبير، فهو معتدٍ. غالبًا ما يخاطر ويراهن بمراهنات كبيرة ويمكنه إما كسر بنك ضخم أو خسارة قطع صغيرة.

نفس الشيء يحدث في الفوركس، وهكذا - هناك الكثير من الأمثلة.

علاوة على ذلك، في جميع الأحوال، لا يهم ما إذا كانت اللعبة تُلعب مقابل أجر ضئيل أو آلاف الدولارات. كل مستوى له لاعبين منخفضين وعاليين التشتت. حسنًا، كما نتذكر، متوسط ​​الفوز “مسؤول” القيمة المتوقعة.

ربما لاحظت أن العثور على التباين هو عملية طويلة ومضنية. لكن الرياضيات سخية:

صيغة لإيجاد التباين

هذه الصيغة مشتقة مباشرة من تعريف التباين، وقمنا بوضعها موضع الاستخدام على الفور. سأقوم بنسخ العلامة مع لعبتنا أعلاه:

والتوقع الرياضي الموجود.

دعونا نحسب التباين بالطريقة الثانية. أولاً، دعونا نوجد التوقع الرياضي - مربع المتغير العشوائي. بواسطة تحديد التوقع الرياضي:

في هذه الحالة:

وهكذا، وفقا للصيغة:

كما يقولون، اشعر بالفرق. ومن الناحية العملية، بالطبع، من الأفضل استخدام الصيغة (ما لم يتطلب الشرط خلاف ذلك).

نتقن تقنية الحل والتصميم:

مثال 6

أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري.

تم العثور على هذه المهمة في كل مكان، وكقاعدة عامة، لا معنى لها.
يمكنك أن تتخيل عدة مصابيح كهربائية بأرقام تضيء في مستشفى المجانين مع احتمالات معينة :)

حل: من الملائم تلخيص الحسابات الأساسية في جدول. أولاً، نكتب البيانات الأولية في السطرين العلويين. ثم نقوم بحساب المنتجات، ثم وأخيرا المبالغ في العمود الأيمن:

في الواقع، كل شيء تقريبا جاهز. يوضح السطر الثالث توقعًا رياضيًا جاهزًا: .

نحسب التباين باستخدام الصيغة:

وأخيرا الانحراف المعياري:
- شخصيًا، عادةً ما أقوم بالتقريب إلى منزلتين عشريتين.

يمكن إجراء جميع العمليات الحسابية على الآلة الحاسبة، أو حتى الأفضل – في برنامج Excel:

من الصعب أن تخطئ هنا :)

إجابة:

أولئك الذين يرغبون يمكنهم تبسيط حياتهم بشكل أكبر والاستفادة من خدماتي آلة حاسبة (تجريبي)، والتي لن تحل هذه المشكلة على الفور فحسب، بل ستبنيها أيضًا الرسومات الموضوعية (سوف نصل إلى هناك قريبا). يمكن أن يكون البرنامج تحميل من المكتبة– إذا قمت بتنزيل مادة تعليمية واحدة على الأقل، أو تلقيتها طريق اخر. شكرا لدعم المشروع!

زوجان من المهام لحلها بنفسك:

مثال 7

احسب تباين المتغير العشوائي في المثال السابق حسب التعريف.

ومثال مشابه:

مثال 8

يتم تحديد المتغير العشوائي المنفصل بواسطة قانون التوزيع الخاص به:

نعم، يمكن أن تكون قيم المتغيرات العشوائية كبيرة جدًا (مثال من العمل الحقيقي)وهنا، إذا أمكن، استخدم Excel. كما، بالمناسبة، في المثال 7 - إنه أسرع وأكثر موثوقية وأكثر متعة.

الحلول والأجوبة في أسفل الصفحة.

في ختام الجزء الثاني من الدرس، سننظر إلى مشكلة نموذجية أخرى، يمكن للمرء أن يقول حتى لغزًا صغيرًا:

مثال 9

يمكن للمتغير العشوائي المنفصل أن يأخذ قيمتين فقط: و و. الاحتمال والتوقع الرياضي والتباين معروفان.

حل: لنبدأ باحتمال غير معروف. وبما أن المتغير العشوائي يمكن أن يأخذ قيمتين فقط، فإن مجموع احتمالات الأحداث المقابلة هو:

ومنذ ذلك الحين .

كل ما تبقى هو العثور عليه...، من السهل القول :) ولكن حسنًا، ها نحن ذا. حسب تعريف التوقع الرياضي:
– استبدال الكميات المعروفة :

– ولا يمكن استخلاص أي شيء من هذه المعادلة، باستثناء أنه يمكنك إعادة كتابتها في الاتجاه المعتاد:

أو:

أعتقد أنه يمكنك تخمين الخطوات التالية. دعونا نؤلف ونحل النظام:

الكسور العشرية هي، بطبيعة الحال، وصمة عار كاملة؛ اضرب المعادلتين في 10:

ونقسم على 2 :

هذا أفضل. من المعادلة الأولى نعبر عن:
(هذه هي الطريقة الأسهل)– نعوض في المعادلة الثانية :

نحن نبني تربيعوقم بالتبسيط:

اضرب بـ:

وكانت النتيجة معادلة من الدرجة الثانية، نجد تمييزها:
- عظيم!

ونحصل على حلين:

1) إذا ، الذي - التي ;

2) إذا ، الذي - التي .

يتم استيفاء الشرط بواسطة الزوج الأول من القيم. مع احتمال كبير أن يكون كل شيء صحيحًا، ولكن مع ذلك، دعنا نكتب قانون التوزيع:

وإجراء فحص، أي العثور على التوقع:

المؤشرات العامة الرئيسية للتباين في الإحصائيات هي التشتت والانحرافات المعيارية.

تشتت هذا المتوسط ​​الحسابي الانحرافات التربيعية لكل قيمة مميزة عن المتوسط ​​العام. ويسمى التباين عادة بمتوسط ​​مربع الانحرافات ويرمز له بالرمز  2. اعتماداً على البيانات المصدرية، يمكن حساب التباين باستخدام الوسط الحسابي البسيط أو المرجح:

 التباين غير المرجح (البسيط)؛

 التباين المرجح.

الانحراف المعياري هذه خاصية عامة للأحجام المطلقة الاختلافات علامات في المجموع. ويتم التعبير عنها بنفس وحدات القياس مثل السمة (بالأمتار، الأطنان، النسبة المئوية، الهكتار، وما إلى ذلك).

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين ويرمز له بالرمز :

 الانحراف المعياري غير المرجح؛

 الانحراف المعياري المرجح.

الانحراف المعياري هو مقياس لموثوقية المتوسط. كلما كان الانحراف المعياري أصغر، كلما كان المتوسط ​​الحسابي يعكس إجمالي السكان الممثلين بشكل أفضل.

حساب الانحراف المعياري يسبقه حساب التباين.

يكون الإجراء الخاص بحساب التباين الموزون كما يلي:

1) تحديد الوسط الحسابي المرجح:

2) حساب انحرافات الخيارات عن المتوسط:

3) قم بتربيع انحراف كل خيار عن المتوسط:

4) اضرب مربعات الانحرافات بالأوزان (التكرارات):

5) تلخيص المنتجات الناتجة:

6) يتم تقسيم المبلغ الناتج على مجموع الأوزان:

مثال 2.1

دعونا نحسب الوسط الحسابي المرجح:

يتم عرض قيم الانحرافات عن الوسط ومربعاتها في الجدول. دعونا نحدد التباين:

الانحراف المعياري سيكون مساوياً لـ:

إذا تم تقديم البيانات المصدر في شكل فاصل زمني سلسلة التوزيع ، فأنت بحاجة أولاً إلى تحديد القيمة المنفصلة للسمة، ثم تطبيق الطريقة الموضحة.

مثال 2.2

دعونا نعرض حساب التباين لسلسلة فاصلة باستخدام بيانات حول توزيع المساحة المزروعة في المزرعة الجماعية حسب إنتاجية القمح.

الوسط الحسابي هو:

دعونا نحسب التباين:

6.3. حساب التباين باستخدام صيغة تعتمد على البيانات الفردية

تقنية الحساب الفروق معقدة، ومع وجود قيم كبيرة من الخيارات والترددات يمكن أن تكون مرهقة. يمكن تبسيط الحسابات باستخدام خصائص التشتت.

التشتت لديه الخصائص التالية.

1. إن تقليل أو زيادة الأوزان (الترددات) ذات الخاصية المتغيرة بعدد معين من المرات لا يغير من التشتت.

2. إنقاص أو زيادة كل قيمة للخاصية بنفس المقدار الثابت ألا يغير التشتت.

3. إنقاص أو زيادة كل قيمة للصفة بعدد معين من المرات كعلى التوالي يقلل أو يزيد التباين في ك 2 مرات الانحراف المعياري  في كمرة واحدة.

4. يكون تشتت الخاصية بالنسبة إلى القيمة التعسفية دائمًا أكبر من التشتت بالنسبة إلى المتوسط ​​الحسابي لكل مربع للفرق بين القيم المتوسطة والقيم التعسفية:

لو أ= 0 فنصل إلى المساواة التالية:

أي أن تباين الخاصية يساوي الفرق بين مربع متوسط ​​قيم الخصائص ومربع الوسط.

يمكن استخدام كل خاصية بشكل مستقل أو بالاشتراك مع خصائص أخرى عند حساب التباين.

إجراء حساب التباين بسيط:

1) تحديد المتوسط ​​الحسابي :

2) تربيع الوسط الحسابي :

3) مربع انحراف كل متغير من السلسلة:

X أنا 2 .

4) أوجد مجموع مربعات الخيارات:

5) اقسم مجموع مربعات الخيارات على عددها، أي حدد المربع المتوسط:

6) حدد الفرق بين مربع متوسط ​​الخاصية ومربع المتوسط:

مثال 3.1تتوفر البيانات التالية عن إنتاجية العمال:

لنقم بالحسابات التالية: