مستوى اول

المعادلات التربيعية. الدليل الشامل (2019)

في مصطلح "المعادلة التربيعية"، الكلمة الأساسية هي "المعادلة التربيعية". هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي بالضرورة على متغير (نفس x) مربع، ولا ينبغي أن يكون هناك x للقوة الثالثة (أو أكبر).

يأتي حل العديد من المعادلات في حل المعادلات التربيعية.

دعونا نتعلم كيفية تحديد أن هذه معادلة تربيعية وليست معادلة أخرى.

مثال 1.

دعونا نتخلص من المقام ونضرب كل حد في المعادلة

دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونرتب المصطلحات بترتيب تنازلي لقوى X

الآن يمكننا أن نقول بكل ثقة أن هذه المعادلة تربيعية!

مثال 2.

اضرب الجانبين الأيسر والأيمن بـ:

وهذه المعادلة رغم أنها كانت موجودة أصلاً، إلا أنها ليست تربيعية!

مثال 3.

دعونا نضرب كل شيء بـ:

مخيف؟ الدرجة الرابعة والثانية... لكن إذا قمنا بالتعويض سنجد أن لدينا معادلة تربيعية بسيطة:

مثال 4.

يبدو أن هناك، ولكن دعونا نلقي نظرة فاحصة. دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر:

انظر، لقد تم تقليلها - والآن أصبحت معادلة خطية بسيطة!

حاول الآن أن تحدد بنفسك أي من المعادلات التالية تعتبر من الدرجة الثانية وأيها ليست كذلك:

أمثلة:

الإجابات:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. ليست مربعة
4. ليست مربعة
5. ليست مربعة
6. مربع؛
7. ليست مربعة
8. مربع.

يقسم علماء الرياضيات بشكل تقليدي جميع المعادلات التربيعية إلى الأنواع التالية:

• المعادلات التربيعية كاملة- المعادلات التي لا تساوي فيها المعاملات، وكذلك الحد الحر c، الصفر (كما في المثال). بالإضافة إلى ذلك، من بين المعادلات التربيعية الكاملة هناك منح- هذه معادلات يكون فيها المعامل (المعادلة في المثال الأول ليست كاملة فحسب، بل مخفضة أيضًا!)

• المعادلات التربيعية غير الكاملة- المعادلات التي يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:

  إنها غير مكتملة لأنها تفتقد بعض العناصر. لكن المعادلة يجب أن تحتوي دائما على x تربيع!!! وإلا فلن تكون معادلة تربيعية، بل معادلة أخرى.

لماذا توصلوا إلى مثل هذا التقسيم؟ يبدو أن هناك X مربع، حسنا. ويتم تحديد هذا التقسيم بطرق الحل. دعونا ننظر إلى كل واحد منهم بمزيد من التفصيل.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

أولاً، دعونا نركز على حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط بكثير!

هناك أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

1. ، في هذه المعادلة المعامل متساوي.
2. ، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.
3. ، في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

1. أنا. وبما أننا نعرف كيفية أخذ الجذر التربيعي، فلنعبر عنه من هذه المعادلة

يمكن أن يكون التعبير سلبيًا أو إيجابيًا. لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا، لذا: إذا، فالمعادلة ليس لها حلول.

وإذا حدث ذلك، فسنحصل على جذرين. ليست هناك حاجة لحفظ هذه الصيغ. الشيء الرئيسي هو أنك يجب أن تعرف وتتذكر دائمًا أنه لا يمكن أن يكون أقل من ذلك.

دعونا نحاول حل بعض الأمثلة.

مثال 5:

حل المعادلة

الآن كل ما تبقى هو استخراج الجذر من الجانبين الأيسر والأيمن. بعد كل شيء، هل تتذكر كيفية استخراج الجذور؟

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور التي تحمل علامة سلبية !!!

مثال 6:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 7:

حل المعادلة

أوه! لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور!

لمثل هذه المعادلات التي ليس لها جذور، توصل علماء الرياضيات إلى أيقونة خاصة - (مجموعة فارغة). ويمكن كتابة الجواب هكذا:

إجابة:

ومن ثم، فإن هذه المعادلة التربيعية لها جذرين. لا توجد قيود هنا، لأننا لم نستخرج الجذر.
مثال 8:

حل المعادلة

لنخرج العامل المشترك من الأقواس:

هكذا،

هذه المعادلة لها جذرين.

إجابة:

أبسط نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة (على الرغم من أنها كلها بسيطة، أليس كذلك؟). من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

وسنستغني عن الأمثلة هنا.

حل المعادلات التربيعية الكاملة

نذكرك أن المعادلة التربيعية الكاملة هي معادلة من الصيغة حيث

يعد حل المعادلات التربيعية الكاملة أصعب قليلًا (قليلًا) من هذه.

يتذكر، يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

ستساعدك الطرق الأخرى على القيام بذلك بشكل أسرع، لكن إذا كانت لديك مشاكل مع المعادلات التربيعية، أتقن الحل أولًا باستخدام المميز.

1. حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

يعد حل المعادلات التربيعية باستخدام هذه الطريقة أمرًا بسيطًا للغاية، والشيء الرئيسي هو تذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ.

إذا كانت المعادلة لها جذر، وعليك أن تولي اهتمامًا خاصًا لهذه الخطوة. المميز () يخبرنا بعدد جذور المعادلة.

• إذا، فسيتم تقليل الصيغة الموجودة في الخطوة إلى. وبالتالي فإن المعادلة سيكون لها جذر فقط.
• إذا، فلن نتمكن من استخراج جذر المميز في الخطوة. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

دعونا نعود إلى معادلاتنا وننظر إلى بعض الأمثلة.

مثال 9:

حل المعادلة

الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذرين.

الخطوه 3.

إجابة:

مثال 10:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

وهذا يعني أن المعادلة لها جذر واحد.

إجابة:

مثال 11:

حل المعادلة

يتم تقديم المعادلة في شكل قياسي، لذلك الخطوة 1نحن نتخطى.

الخطوة 2.

نجد التمييز:

هذا يعني أننا لن نتمكن من استخراج جذر المميز. لا توجد جذور للمعادلة.

الآن نحن نعرف كيفية كتابة هذه الإجابات بشكل صحيح.

إجابة:لا جذور

2. حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا.

إذا كنت تتذكر، هناك نوع من المعادلة يسمى مخفضة (عندما يكون المعامل a يساوي):

من السهل جدًا حل هذه المعادلات باستخدام نظرية فييتا:

مجموع الجذور منحالمعادلة التربيعية متساوية، وحاصل ضرب الجذور متساوي.

مثال 12:

حل المعادلة

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن .

مجموع جذور المعادلة متساوي، أي. نحصل على المعادلة الأولى:

والمنتج يساوي:

دعونا نؤلف ونحل النظام:

• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

إجابة: ; .

مثال 13:

حل المعادلة

إجابة:

مثال 14:

حل المعادلة

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

إجابة:

المعادلات التربيعية. مستوى متوسط

ما هي المعادلة التربيعية؟

وبعبارة أخرى، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل، حيث - المجهول، - بعض الأرقام، و.

الرقم يسمى الأعلى أو المعامل الأولمعادلة من الدرجة الثانية، - المعامل الثاني، أ - عضو مجاني.

لماذا؟ لأنه إذا أصبحت المعادلة خطية على الفور، لأن سوف تختفي.

وفي هذه الحالة، ويمكن أن يساوي الصفر. في معادلة الكرسي هذه تسمى غير مكتملة. إذا كانت جميع الشروط موجودة، أي أن المعادلة قد اكتملت.

حلول لأنواع مختلفة من المعادلات التربيعية

طرق حل المعادلات التربيعية غير الكاملة:

أولاً، دعونا نلقي نظرة على طرق حل المعادلات التربيعية غير المكتملة - فهي أبسط.

يمكننا التمييز بين أنواع المعادلات التالية:

أولا: في هذه المعادلة المعامل والحد الحر متساويان.

ثانيا. ، في هذه المعادلة المعامل متساوي.

ثالثا. ، في هذه المعادلة يساوي الحد الحر.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحل لكل نوع من هذه الأنواع الفرعية.

من الواضح أن هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط:

لا يمكن أن يكون الرقم المربع سالبًا، لأنه عند ضرب رقمين سالبين أو رقمين موجبين، ستكون النتيجة دائمًا رقمًا موجبًا. لهذا السبب:

إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول؛

إذا كان لدينا جذرين

ليست هناك حاجة لحفظ هذه الصيغ. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو أنه لا يمكن أن يكون أقل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

لا تنس أبدًا الجذور ذات الإشارة السلبية!

لا يمكن أن يكون مربع العدد سالبًا، مما يعني أن المعادلة

لا جذور.

لتدوين باختصار أن المشكلة ليس لها حلول، نستخدم أيقونة المجموعة الفارغة.

إجابة:

إذن، هذه المعادلة لها جذرين: و.

إجابة:

لنخرج العامل المشترك من الأقواس:

يكون حاصل الضرب صفرًا إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. وهذا يعني أن المعادلة لها حل عندما:

إذن، هذه المعادلة التربيعية لها جذرين: و.

مثال:

حل المعادلة.

حل:

دعونا نحلل الجانب الأيسر من المعادلة ونجد الجذور:

إجابة:

طرق حل المعادلات التربيعية الكاملة:

1. التمييز

من السهل حل المعادلات التربيعية بهذه الطريقة، والشيء الرئيسي هو أن تتذكر تسلسل الإجراءات وبعض الصيغ. تذكر أنه يمكن حل أي معادلة تربيعية باستخدام المميز! وحتى غير مكتملة.

هل لاحظت الجذر من المميز في صيغة الجذور؟ ولكن المميز يمكن أن يكون سلبيا. ما يجب القيام به؟ علينا أن نولي اهتمامًا خاصًا للخطوة رقم 2. يخبرنا المميز بعدد جذور المعادلة.

• إذا كانت المعادلة لها جذور:
• إذا كانت المعادلة لها نفس الجذور، وفي الواقع جذر واحد:

  تسمى هذه الجذور بالجذور المزدوجة.

• إذا، فلا يتم استخراج جذر المميز. وهذا يدل على أن المعادلة ليس لها جذور.

لماذا هناك أعداد مختلفة من الجذور ممكنة؟ دعونا ننتقل إلى المعنى الهندسي للمعادلة التربيعية. الرسم البياني للدالة هو القطع المكافئ:

وفي حالة خاصة، وهي معادلة تربيعية، . وهذا يعني أن جذور المعادلة التربيعية هي نقاط التقاطع مع محور الإحداثي السيني (المحور). قد لا يتقاطع القطع المكافئ مع المحور على الإطلاق، أو قد يتقاطع عند نقطة واحدة (عندما يقع رأس القطع المكافئ على المحور) أو نقطتين.

وبالإضافة إلى ذلك، فإن المعامل هو المسؤول عن اتجاه فروع القطع المكافئ. إذا، فإن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى، وإذا، ثم للأسفل.

أمثلة:

حلول:

إجابة:

إجابة: .

إجابة:

وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

إجابة: .

2. نظرية فييتا

من السهل جدًا استخدام نظرية فييتا: ما عليك سوى اختيار زوج من الأرقام التي يساوي منتجها الحد الحر للمعادلة، والمجموع يساوي المعامل الثاني المأخوذ بالعلامة المعاكسة.

من المهم أن نتذكر أن نظرية فييتا لا يمكن تطبيقها إلا في المعادلات التربيعية المخفضة ().

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

مثال 1:

حل المعادلة.

حل:

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نظرية فييتا لأن . معاملات أخرى: ; .

مجموع جذور المعادلة هو:

والمنتج يساوي:

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يكون منتجها متساويًا ونتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ يساوي؛
• و. المبلغ متساوي.

و هي الحل للنظام :

وبالتالي، و هي جذور المعادلة لدينا.

إجابة: ؛ .

المثال رقم 2:

حل:

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تظهر في المنتج، ثم نتحقق مما إذا كان مجموعها متساويًا:

و: يعطون إجمالاً.

و: يعطون إجمالاً. للحصول على ذلك، يكفي ببساطة تغيير علامات الجذور المفترضة: وبعد كل شيء، المنتج.

إجابة:

المثال رقم 3:

حل:

الحد الحر للمعادلة هو سالب، وبالتالي فإن حاصل ضرب الجذور هو عدد سالب. وهذا ممكن فقط إذا كان أحد الجذرين سالبًا والآخر موجبًا. وبالتالي فإن مجموع الجذور يساوي الاختلافات في وحداتهم.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي تعطي حاصل الضرب، والتي يساوي فرقها:

و: فرقهم متساوي - لا يصلح؛

و: - غير مناسب؛

و: - غير مناسب؛

و: - مناسب. كل ما تبقى هو أن نتذكر أن أحد الجذور سلبي. وبما أن مجموعهما يجب أن يكون متساويًا، فإن الجذر ذو المعامل الأصغر يجب أن يكون سالبًا: . نحن نفحص:

إجابة:

المثال رقم 4:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

الحد الحر سالب، وبالتالي يكون حاصل ضرب الجذور سالبًا. وهذا ممكن فقط عندما يكون أحد جذر المعادلة سالبًا والآخر موجبًا.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يكون حاصل ضربها متساويًا، ثم نحدد الجذور التي يجب أن تكون لها علامة سالبة:

من الواضح أن الجذور فقط هي المناسبة للشرط الأول:

إجابة:

المثال رقم 5:

حل المعادلة.

حل:

يتم إعطاء المعادلة التي تعني:

مجموع الجذور سالب، مما يعني أن واحدًا على الأقل من الجذور سالب. لكن بما أن حاصل ضربهما موجب، فهذا يعني أن كلا الجذرين لهما علامة الطرح.

دعونا نختار أزواجًا من الأرقام التي يساوي منتجها:

من الواضح أن الجذور هي الأرقام و.

إجابة:

أوافق، من المريح للغاية التوصل إلى جذور شفويا، بدلا من حساب هذا التمييز السيئ. حاول استخدام نظرية فييتا كلما أمكن ذلك.

لكن نظرية فييتا ضرورية لتسهيل وتسريع العثور على الجذور. لكي تستفيد من استخدامه، يجب عليك جعل الإجراءات تلقائية. ولهذا، حل خمسة أمثلة أخرى. لكن لا تغش: لا يمكنك استخدام أداة التمييز! نظرية فييتا فقط:

حلول لمهام العمل المستقل:

المهمة 1. ((x)^(2))-8x+12=0

وفقا لنظرية فييتا:

كالعادة نبدأ الاختيار بالقطعة:

غير مناسب لأن المبلغ؛

: المبلغ هو فقط ما تحتاجه.

إجابة: ؛ .

المهمة 2.

ومرة أخرى نظرية فييتا المفضلة لدينا: يجب أن يكون المجموع متساويًا، ويجب أن يكون حاصل الضرب متساويًا.

ولكن بما أنه لا بد أن لا يكون، بل نغير علامات الجذور: و(إجمالا).

إجابة: ؛ .

المهمة 3.

همم... أين ذلك؟

تحتاج إلى نقل جميع المصطلحات إلى جزء واحد:

مجموع الجذور يساوي المنتج.

حسنًا، توقف! لم يتم إعطاء المعادلة. لكن نظرية فييتا قابلة للتطبيق فقط في المعادلات المعطاة. لذا عليك أولاً أن تعطي معادلة. إذا لم تتمكن من القيادة، فتخلى عن هذه الفكرة وحلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال التمييز). اسمحوا لي أن أذكرك أن إعطاء معادلة تربيعية يعني جعل المعامل الرئيسي متساويًا:

عظيم. ثم مجموع الجذور يساوي والمنتج.

هنا يكون الاختيار سهلاً مثل قشر الكمثرى: فهو في النهاية رقم أولي (آسف على التكرار).

إجابة: ؛ .

المهمة 4.

العضو الحر سلبي. ما هو المميز في هذا؟ والحقيقة هي أن الجذور سيكون لها علامات مختلفة. والآن، أثناء الاختيار، لا نتحقق من مجموع الجذور، ولكن الفرق في وحداتها: هذا الاختلاف متساوي، ولكن منتج.

إذن، الجذران يساويان و، لكن أحدهما سالب. تخبرنا نظرية فييتا أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، أي. وهذا يعني أن الجذر الأصغر سيكون له ناقص: و، منذ ذلك الحين.

إجابة: ؛ .

المهمة 5.

ما الذى ينبغى عليك فعله اولا؟ هذا صحيح، أعط المعادلة:

مرة أخرى: نختار عوامل العدد، ويجب أن يكون الفرق بينهما مساوياً لـ:

الجذور تساوي و، لكن أحدهما سالب. أيّ؟ يجب أن يكون مجموعهما متساويًا، مما يعني أن الطرح سيكون له جذر أكبر.

إجابة: ؛ .

اسمحوا لي أن ألخص:

1. تُستخدم نظرية فييتا فقط في المعادلات التربيعية المعطاة.
2. باستخدام نظرية فييتا، يمكنك العثور على الجذور عن طريق الاختيار، شفهيًا.
3. إذا لم يتم إعطاء المعادلة أو لم يتم العثور على زوج مناسب من العوامل للمصطلح الحر، فلن تكون هناك جذور كاملة، وتحتاج إلى حلها بطريقة أخرى (على سبيل المثال، من خلال المميز).

3. طريقة اختيار مربع كامل

إذا تم تمثيل جميع الحدود التي تحتوي على المجهول في شكل حدود من صيغ الضرب المختصرة - مربع المجموع أو الفرق - فبعد استبدال المتغيرات، يمكن تقديم المعادلة في شكل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع.

على سبيل المثال:

مثال 1:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

مثال 2:

حل المعادلة: .

حل:

إجابة:

بشكل عام، سيبدو التحول كما يلي:

هذا يعني: .

لا يذكرك بأي شيء؟ هذا شيء تمييزي! وهذا هو بالضبط كيف حصلنا على صيغة التمييز.

المعادلات التربيعية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

معادلة من الدرجة الثانية- هذه معادلة من الشكل حيث - المجهول - معاملات المعادلة التربيعية - الحد الحر.

معادلة تربيعية كاملة- معادلة لا تساوي معاملاتها الصفر.

معادلة تربيعية مخفضة- معادلة فيها المعامل أي : .

معادلة تربيعية غير مكتملة- معادلة يكون فيها المعامل و/أو الحد الحر c مساوياً للصفر:

• إذا كان المعامل تبدو المعادلة كما يلي:
• إذا كان هناك حد حر، فإن المعادلة لها الشكل: ,
• إذا كانت و فإن المعادلة تبدو كالتالي: .

1. خوارزمية حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

1.1. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) نعرب عن المجهول : ,

2) التحقق من علامة التعبير:

• إذا، فإن المعادلة ليس لها حلول،
• إذا كانت المعادلة لها جذرين.

1.2. معادلة تربيعية غير مكتملة من الشكل، حيث:

1) لنخرج العامل المشترك بين القوسين : ,

2) يكون حاصل الضرب صفراً إذا كان أحد العوامل على الأقل يساوي صفراً. وبالتالي فإن المعادلة لها جذرين:

1.3. معادلة تربيعية غير كاملة من الشكل، حيث:

هذه المعادلة دائمًا لها جذر واحد فقط: .

2. خوارزمية حل المعادلات التربيعية الكاملة من حيث الشكل

2.1. الحل باستخدام التمييز

1) لنجعل المعادلة بالشكل القياسي : ,

2) لنحسب المميز باستخدام الصيغة: التي تشير إلى عدد جذور المعادلة:

3) أوجد جذور المعادلة:

• إذا كانت المعادلة لها جذور، والتي تم العثور عليها بالصيغة:
• إذا كانت المعادلة لها جذر، والذي تم العثور عليه بالصيغة:
• إذا، فالمعادلة ليس لها جذور.

2.2. الحل باستخدام نظرية فييتا

مجموع جذور المعادلة التربيعية المختزلة (معادلة الشكل حيث) متساوي، وحاصل ضرب الجذور متساوي، أي. ، أ.

2.3. الحل بطريقة اختيار مربع كامل

إذا كانت المعادلة التربيعية من الصورة لها جذور، فيمكن كتابتها على الصورة: .

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - 499 فرك.

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

قد يبدو هذا الموضوع معقدًا في البداية نظرًا لكثرة الصيغ غير البسيطة. لا تحتوي المعادلات التربيعية نفسها على رموز طويلة فحسب، بل يمكن العثور على الجذور أيضًا من خلال المميز. في المجموع، تم الحصول على ثلاث صيغ جديدة. ليس من السهل أن نتذكر. وهذا ممكن فقط بعد حل مثل هذه المعادلات بشكل متكرر. ثم سيتم تذكر جميع الصيغ من تلقاء نفسها.

نظرة عامة على المعادلة التربيعية

وهنا نقترح تسجيلها الصريح، عندما يتم كتابة الدرجة الأكبر أولا، ثم بالترتيب التنازلي. غالبًا ما تكون هناك مواقف تكون فيها المصطلحات غير متناسقة. ومن الأفضل إعادة كتابة المعادلة بترتيب تنازلي لدرجة المتغير.

دعونا نقدم بعض الرموز. يتم عرضها في الجدول أدناه.

إذا قبلنا هذه الرموز، فسيتم تقليل جميع المعادلات التربيعية إلى الترميز التالي.

علاوة على ذلك، فإن المعامل أ ≠ 0. دع هذه الصيغة يتم تعيينها رقم واحد.

عند إعطاء معادلة، ليس من الواضح عدد الجذور الموجودة في الإجابة. لأن أحد الخيارات الثلاثة ممكن دائمًا:

• سيكون للحل جذرين؛
• الجواب سيكون رقم واحد؛
• المعادلة لن يكون لها جذور على الإطلاق.

وحتى يتم الانتهاء من القرار، من الصعب فهم الخيار الذي سيظهر في حالة معينة.

أنواع تسجيلات المعادلات التربيعية

قد تكون هناك إدخالات مختلفة في المهام. لن تبدو دائمًا مثل صيغة المعادلة التربيعية العامة. في بعض الأحيان سوف تفتقد بعض المصطلحات. ما كتب أعلاه هو المعادلة الكاملة. فإذا أزلت الحد الثاني أو الثالث فيه، تحصل على شيء آخر. وتسمى هذه السجلات أيضًا بالمعادلات التربيعية، ولكنها غير مكتملة.

علاوة على ذلك، فإن المصطلحات ذات المعاملين "b" و"c" فقط هي التي يمكن أن تختفي. الرقم "أ" لا يمكن أن يساوي الصفر تحت أي ظرف من الظروف. لأنه في هذه الحالة تتحول الصيغة إلى معادلة خطية. ستكون صيغ المعادلات غير الكاملة كما يلي:

لذلك، هناك نوعان فقط، بالإضافة إلى المعادلات الكاملة، هناك أيضًا معادلات تربيعية غير مكتملة. دع الصيغة الأولى تكون رقم اثنين، والثانية - ثلاثة.

التمييز واعتماد عدد الجذور على قيمته

يجب أن تعرف هذا الرقم لتتمكن من حساب جذور المعادلة. ويمكن دائمًا حسابها، بغض النظر عن صيغة المعادلة التربيعية. لحساب المميز، عليك استخدام المساواة المكتوبة أدناه، والتي سيكون لها الرقم أربعة.

بعد استبدال قيم المعاملات في هذه الصيغة، يمكنك الحصول على أرقام بعلامات مختلفة. إذا كانت الإجابة بنعم، فإن إجابة المعادلة ستكون جذرين مختلفين. إذا كان الرقم سالبًا، فلن يكون هناك جذور للمعادلة التربيعية. وإذا كانت تساوي صفرًا، فسيكون هناك إجابة واحدة فقط.

كيفية حل معادلة تربيعية كاملة؟

في الواقع، لقد بدأ بالفعل النظر في هذه المسألة. لأنك تحتاج أولاً إلى العثور على المميز. بعد تحديد وجود جذور للمعادلة التربيعية ومعرفة عددها، عليك استخدام صيغ للمتغيرات. إذا كان هناك جذرين، فأنت بحاجة إلى تطبيق الصيغة التالية.

نظرًا لأنه يحتوي على علامة "±"، فسيكون هناك قيمتان. التعبير الموجود تحت علامة الجذر التربيعي هو المميز. ولذلك، يمكن إعادة كتابة الصيغة بشكل مختلف.

الصيغة رقم خمسة. ومن نفس السجل يتضح أنه إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن كلا الجذرين سيأخذان نفس القيم.

إذا لم يتم حل المعادلات التربيعية بعد، فمن الأفضل تدوين قيم جميع المعاملات قبل تطبيق الصيغ التمييزية والمتغيرة. في وقت لاحق هذه اللحظة لن تسبب صعوبات. ولكن في البداية هناك ارتباك.

كيفية حل معادلة تربيعية غير مكتملة؟

كل شيء أبسط بكثير هنا. ليست هناك حاجة حتى لصيغ إضافية. ولن تكون هناك حاجة لتلك التي تم كتابتها بالفعل للمميز والمجهول.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على المعادلة غير المكتملة رقم اثنين. وفي هذه المساواة لا بد من إخراج الكمية المجهولة من الأقواس وحل المعادلة الخطية التي ستبقى بين قوسين. الجواب سيكون له جذرين. فالأول يساوي بالضرورة صفرًا، لأن هناك مضاعفًا يتكون من المتغير نفسه. وسيتم الحصول على الثانية عن طريق حل معادلة خطية.

يتم حل المعادلة غير المكتملة رقم ثلاثة عن طريق نقل الرقم من الجانب الأيسر للمساواة إلى اليمين. ثم عليك أن تقسم على المعامل الذي يواجه المجهول. كل ما تبقى هو استخراج الجذر التربيعي وتذكر كتابته مرتين بعلامات متضادة.

فيما يلي بعض الخطوات التي ستساعدك على تعلم كيفية حل جميع أنواع المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية. سوف يساعدون الطالب على تجنب الأخطاء بسبب عدم الانتباه. يمكن أن تتسبب أوجه القصور هذه في الحصول على درجات سيئة عند دراسة الموضوع الموسع "المعادلات التربيعية (الصف الثامن)". وبعد ذلك، لن يلزم تنفيذ هذه الإجراءات باستمرار. لأن مهارة مستقرة سوف تظهر.

• تحتاج أولاً إلى كتابة المعادلة في الصورة القياسية. وهذا يعني أولاً الحد ذو الدرجة الأكبر للمتغير، ثم - بدون درجة، وأخيرًا - مجرد رقم.

• إذا ظهر ناقص قبل المعامل "أ"، فإنه يمكن أن يعقد العمل للمبتدئين في دراسة المعادلات التربيعية. من الأفضل التخلص منه. ولهذا الغرض، يجب ضرب كل المساواة بـ "-1". وهذا يعني أن جميع المصطلحات سوف تتغير الإشارة إلى العكس.

• يوصى بالتخلص من الكسور بنفس الطريقة. ما عليك سوى ضرب المعادلة في العامل المناسب حتى يتم إلغاء المقامات.

أمثلة

مطلوب حل المعادلات التربيعية التالية:

س 2 − 7س = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

س 2 + 8 + 3س = 0؛

12س + س 2 + 36 = 0;

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2).

المعادلة الأولى: x 2 − 7x = 0. وهي غير كاملة، لذلك تم حلها كما هو موضح في الصيغة الثانية.

وبعد إخراجها من الأقواس يتبين أن: x (x - 7) = 0.

يأخذ الجذر الأول القيمة: x 1 = 0. وسيتم إيجاد الجذر الثاني من المعادلة الخطية: x - 7 = 0. ومن السهل أن ترى أن x 2 = 7.

المعادلة الثانية: 5س2 + 30 = 0. مرة أخرى غير كاملة. فقط يتم حلها كما هو موضح للصيغة الثالثة.

بعد نقل 30 إلى الجانب الأيمن من المعادلة: 5x 2 = 30. الآن أنت بحاجة إلى القسمة على 5. اتضح: x 2 = 6. ستكون الإجابات هي الأرقام: x 1 = √6، x 2 = - √6.

المعادلة الثالثة: 15 − 2x − x 2 = 0. فيما يلي، سيبدأ حل المعادلات التربيعية بإعادة كتابتها في الصورة القياسية: − x 2 − 2x + 15 = 0. حان الوقت الآن لاستخدام الطرف الثاني المفيد وضرب كل شيء في ناقص واحد . اتضح أن x 2 + 2x - 15 = 0. باستخدام الصيغة الرابعة، عليك حساب المميز: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. إنه رقم موجب. مما سبق يتبين أن المعادلة لها جذرين. يجب حسابها باستخدام الصيغة الخامسة. اتضح أن x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. ثم x 1 = 3، x 2 = - 5.

المعادلة الرابعة x 2 + 8 + 3x = 0 يتم تحويلها إلى هذا: x 2 + 3x + 8 = 0. ومميزها يساوي هذه القيمة: -23. وبما أن هذا الرقم سلبي، فإن الإجابة على هذه المهمة ستكون الإدخال التالي: "لا توجد جذور".

يجب إعادة كتابة المعادلة الخامسة 12x + x 2 + 36 = 0 على النحو التالي: x 2 + 12x + 36 = 0. وبعد تطبيق صيغة المميز يتم الحصول على الرقم صفر. وهذا يعني أنه سيكون له جذر واحد، وهو: x = -12/ (2 * 1) = -6.

المعادلة السادسة (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) تتطلب تحويلات، وهي أنك تحتاج إلى إحضار مصطلحات متشابهة، وذلك بفتح الأقواس أولاً. بدل الأول يكون التعبير التالي: x 2 + 2x + 1. وبعد المساواة يظهر هذا المدخل: x 2 + 3x + 2. وبعد حساب الحدود المتشابهة تأخذ المعادلة الشكل: x 2 - س = 0. لقد أصبح غير مكتمل. لقد تمت بالفعل مناقشة شيء مشابه لهذا أعلى قليلاً. جذور هذا ستكون الأرقام 0 و 1.

استمرارًا لموضوع "حل المعادلات"، ستعرفك المادة الموجودة في هذه المقالة على المعادلات التربيعية.

دعونا نلقي نظرة على كل شيء بالتفصيل: جوهر وتدوين المعادلة التربيعية، وتحديد المصطلحات المصاحبة، وتحليل مخطط حل المعادلات غير الكاملة والكاملة، والتعرف على صيغة الجذور والمميز، وإنشاء اتصالات بين الجذور والمعاملات، وبالطبع سنقدم حلاً مرئيًا لأمثلة عملية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

المعادلة التربيعية أنواعها

التعريف 1

معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة مكتوبة ك أ س 2 + ب س + ج = 0، أين س- المتغير، أ، ب و ج- بعض الأرقام، في حين أليس صفراً.

في كثير من الأحيان، تسمى المعادلات التربيعية أيضًا معادلات من الدرجة الثانية، لأن المعادلة التربيعية في جوهرها هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية.

دعونا نعطي مثالا لتوضيح التعريف المحدد: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7، 5 × 2 + 3، 1 × + 0، 11 = 0، إلخ. هذه معادلات تربيعية.

التعريف 2

الأرقام أ، ب و جهي معاملات المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، بينما معامل أويسمى المعامل الأول، أو الأكبر، أو عند x 2، ب - المعامل الثاني، أو المعامل عند س، أ جيسمى عضوا حرا.

على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية 6 × 2 − 2 × − 11 = 0المعامل الرئيسي هو 6، والمعامل الثاني هو − 2 ، والمدة الحرة تساوي − 11 . دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه عندما تكون المعاملات بو/أو c سالبة، ثم يتم استخدام نموذج قصير من النموذج 6 × 2 − 2 × − 11 = 0، لكن لا 6 × 2 + (− 2) × + (− 11) = 0.

دعونا نوضح هذا الجانب أيضًا: إذا كانت المعاملات أو/أو بمتساوي 1 أو − 1 ، فلا يجوز لهم القيام بدور صريح في كتابة المعادلة التربيعية، وهو ما يفسره خصوصيات كتابة المعاملات العددية المشار إليها. على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية ص 2 − ص + 7 = 0المعامل الرئيسي هو 1، والمعامل الثاني هو − 1 .

المعادلات التربيعية المخفضة وغير المخفضة

بناءً على قيمة المعامل الأول، يتم تقسيم المعادلات التربيعية إلى مخفضة وغير مخفضة.

التعريف 3

معادلة تربيعية مخفضةهي معادلة تربيعية حيث المعامل الرئيسي هو 1. بالنسبة للقيم الأخرى للمعامل الرئيسي، تكون المعادلة التربيعية غير مخفضة.

لنعطي أمثلة: المعادلات التربيعية x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 مخفضة، في كل منها المعامل الرئيسي هو 1.

9 × 2 − س − 2 = 0- معادلة تربيعية غير مخفضة، حيث يختلف المعامل الأول عنها 1 .

يمكن تحويل أي معادلة تربيعية غير مختزلة إلى معادلة مختزلة عن طريق قسمة الطرفين على المعامل الأول (التحويل المكافئ). سيكون للمعادلة المحولة نفس جذور المعادلة غير المختزلة المعطاة أو لن يكون لها أيضًا أي جذور على الإطلاق.

سيسمح لنا النظر في مثال محدد بإظهار الانتقال بوضوح من معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مخفضة.

مثال 1

بالنظر إلى المعادلة 6 × 2 + 18 × − 7 = 0 . من الضروري تحويل المعادلة الأصلية إلى الصورة المصغرة.

حل

وفقًا للمخطط أعلاه، نقسم طرفي المعادلة الأصلية على المعامل الرئيسي 6. ثم نحصل على: (6 × 2 + 18 × − 7) : 3 = 0: 3، وهذا هو نفسه: (6 × 2) : 3 + (18 ×) : 3 − 7: 3 = 0ومزيد من: (6: 6) × 2 + (18: 6) × − 7: 6 = 0.من هنا: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0 . وبذلك يتم الحصول على معادلة تعادل المعادلة المعطاة.

إجابة: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0 .

المعادلات التربيعية الكاملة وغير الكاملة

دعنا ننتقل إلى تعريف المعادلة التربيعية. وقد حددنا فيه ذلك أ ≠ 0. شرط مماثل ضروري للمعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0كان على وجه التحديد مربع، منذ في أ = 0يتحول بشكل أساسي إلى معادلة خطية ب س + ج = 0.

في حالة وجود معاملات بو جتساوي الصفر (وهو أمر ممكن فرديًا ومجتمعًا)، تسمى المعادلة التربيعية غير كاملة.

التعريف 4

معادلة تربيعية غير مكتملة- مثل هذه المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0،حيث واحد على الأقل من المعاملات بو ج(أو كليهما) يساوي صفرًا.

معادلة تربيعية كاملة– معادلة تربيعية جميع المعاملات العددية فيها لا تساوي الصفر.

دعونا نناقش سبب تسمية أنواع المعادلات التربيعية بهذه الأسماء بالضبط.

عندما يكون b = 0، تأخذ المعادلة التربيعية الشكل أ س 2 + 0 س + ج = 0، وهو نفس أ س 2 + ج = 0. في ج = 0يتم كتابة المعادلة التربيعية كما أ س 2 + ب س + 0 = 0، وهو ما يعادل أ س 2 + ب س = 0. في ب = 0و ج = 0سوف تأخذ المعادلة الشكل أ × 2 = 0. تختلف المعادلات التي حصلنا عليها عن المعادلة التربيعية الكاملة في أن طرفيها الأيسر لا يحتوي على حد بالمتغير x، أو حد حر، أو كليهما. في الواقع، هذه الحقيقة أعطت الاسم لهذا النوع من المعادلات – غير كاملة.

على سبيل المثال، x 2 + 3 x + 4 = 0 و − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 معادلات تربيعية كاملة؛ س 2 = 0, − 5 × 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – معادلات تربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

التعريف الوارد أعلاه يجعل من الممكن التمييز بين الأنواع التالية من المعادلات التربيعية غير المكتملة:

• أ × 2 = 0، هذه المعادلة تتوافق مع المعاملات ب = 0و ج = 0 ;
• أ · س 2 + ج = 0 عند ب = 0 ;
• أ · س 2 + ب · س = 0 عند ج = 0.

دعونا نفكر بالتسلسل في حل كل نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة.

حل المعادلة أ × 2 =0

وكما ذكر أعلاه، فإن هذه المعادلة تتوافق مع المعاملات بو ج، يساوي الصفر. المعادلة أ × 2 = 0يمكن تحويلها إلى معادلة مكافئة × 2 = 0، والذي نحصل عليه بقسمة طرفي المعادلة الأصلية على الرقم أ، لا يساوي الصفر. الحقيقة الواضحة هي أن جذر المعادلة × 2 = 0هذا صفر لأن 0 2 = 0 . وليس لهذه المعادلة جذور أخرى، وهو ما يمكن تفسيره بخصائص الدرجة: لأي عدد ص،لا يساوي صفرًا، فالمتراجحة صحيحة ص 2 > 0، والذي يتبع ذلك عندما ص ≠ 0المساواة ص 2 = 0لن يتحقق أبدا.

التعريف 5

وبالتالي، بالنسبة للمعادلة التربيعية غير المكتملة a x 2 = 0 هناك جذر فريد س = 0.

مثال 2

على سبيل المثال، دعونا نحل معادلة تربيعية غير كاملة - 3 × 2 = 0. وهو ما يعادل المعادلة × 2 = 0، جذره الوحيد هو س = 0فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد - صفر.

باختصار الحل مكتوب كالتالي:

− 3 × 2 = 0، × 2 = 0، × = 0.

حل المعادلة أ س 2 + ج = 0

التالي في السطر هو حل المعادلات التربيعية غير الكاملة، حيث b = 0, c ≠ 0، أي معادلات من الشكل أ س 2 + ج = 0. لنحول هذه المعادلة عن طريق نقل حد من طرف المعادلة إلى الطرف الآخر، وتغيير الإشارة إلى الطرف المقابل وتقسيم طرفي المعادلة على رقم لا يساوي صفر:

• تحويل جإلى الجانب الأيمن، والذي يعطي المعادلة أ س 2 = - ج;
• قسّم طرفي المعادلة على أ، ننتهي بـ x = - c a .

تحويلاتنا متكافئة، وبالتالي فإن المعادلة الناتجة تعادل أيضًا المعادلة الأصلية، وهذه الحقيقة تجعل من الممكن استخلاص استنتاجات حول جذور المعادلة. من ما هي القيم أو جقيمة التعبير - c a تعتمد على: يمكن أن تحتوي على علامة ناقص (على سبيل المثال، if أ = 1و ج = 2، ثم - ج أ = - 2 1 = - 2) أو علامة الجمع (على سبيل المثال، إذا أ = − 2و ج = 6, إذًا - ج أ = - 6 - 2 = 3); أنها ليست صفر ل ج ≠ 0. دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول المواقف التي - ج أ< 0 и - c a > 0 .

في حالة - ج أ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа صالمساواة p 2 = - c a لا يمكن أن تكون صحيحة.

كل شيء يختلف عندما - c a > 0: تذكر الجذر التربيعي، وسيصبح من الواضح أن جذر المعادلة x 2 = - c a سيكون الرقم - c a، لأن - c a 2 = - c a. ليس من الصعب أن نفهم أن الرقم - - c a هو أيضًا جذر المعادلة x 2 = - c a: بالفعل، - - c a 2 = - c a.

المعادلة لن يكون لها جذور أخرى. يمكننا إثبات ذلك باستخدام طريقة التناقض. في البداية، دعونا نحدد الرموز للجذور الموجودة أعلاه كما يلي: × 1و - × 1. لنفترض أن المعادلة x 2 = - c a لها أيضًا جذر × 2، وهو يختلف عن الجذور × 1و - × 1. ونعلم ذلك بالتعويض في المعادلة سجذورها، نحول المعادلة إلى مساواة عددية عادلة.

ل × 1و - × 1نكتب: x 1 2 = - c a و for × 2- س 2 2 = - ج أ . بناءً على خصائص التساويات العددية، نطرح حدًا واحدًا صحيحًا للمساواة من حد آخر، مما سيعطينا: س 1 2 − س 2 2 = 0. نستخدم خصائص العمليات مع الأرقام لإعادة كتابة المساواة الأخيرة كـ (س 1 − س 2) · (س 1 + س 2) = 0. من المعروف أن حاصل ضرب رقمين يكون صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد الرقمين على الأقل صفرًا. ويترتب على ما سبق ذلك س 1 - س 2 = 0و/أو س 1 + س 2 = 0وهو نفس الشيء × 2 = × 1و/أو س 2 = − س 1. ونشأ تناقض واضح، لأنه تم الاتفاق في البداية على أن جذر المعادلة × 2يختلف عن × 1و - × 1. لذلك أثبتنا أن المعادلة ليس لها جذور غير x = - c a و x = - - c a.

دعونا نلخص جميع الحجج المذكورة أعلاه.

التعريف 6

معادلة تربيعية غير مكتملة أ س 2 + ج = 0يعادل المعادلة x 2 = - c a، والتي:

• لن يكون لها جذور في - ج أ< 0 ;
• سيكون له جذرين x = - c a و x = - - c a لـ - c a > 0.

دعونا نعطي أمثلة على حل المعادلات أ س 2 + ج = 0.

مثال 3

نظرا لمعادلة تربيعية 9 × 2 + 7 = 0.ومن الضروري إيجاد حل.

حل

لننقل الحد الحر إلى الجانب الأيمن من المعادلة، فتأخذ المعادلة الشكل 9 × 2 = − 7.
دعونا نقسم طرفي المعادلة الناتجة على 9 ، وصلنا إلى x 2 = - 7 9 . على الجانب الأيمن نرى رقمًا بعلامة الطرح، مما يعني: المعادلة المعطاة ليس لها جذور. ثم المعادلة التربيعية الأصلية غير الكاملة 9 × 2 + 7 = 0لن يكون لها جذور.

إجابة:المعادلة 9 × 2 + 7 = 0ليس له جذور.

مثال 4

المعادلة تحتاج إلى حل - س 2 + 36 = 0.

حل

لننتقل 36 إلى الجانب الأيمن: - س 2 = − 36.
دعونا نقسم كلا الجزأين على − 1 ، نحن نحصل × 2 = 36. يوجد على الجانب الأيمن عدد موجب، ومنه يمكننا استنتاج ذلك س = 36 أو س = - 36 .
لنستخرج الجذر ونكتب النتيجة النهائية: معادلة تربيعية غير مكتملة - س 2 + 36 = 0له جذوران س=6أو س = − 6.

إجابة: س=6أو س = − 6.

حل المعادلة أ × 2 + ب × = 0

دعونا نحلل النوع الثالث من المعادلات التربيعية غير الكاملة، متى ج = 0. لإيجاد حل لمعادلة تربيعية غير مكتملة أ س 2 + ب س = 0، سوف نستخدم طريقة التحليل. دعونا نحلل كثيرة الحدود الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة، مع إخراج العامل المشترك من الأقواس س. ستتيح هذه الخطوة تحويل المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة إلى ما يعادلها س (أ س + ب) = 0. وهذه المعادلة بدورها تعادل مجموعة من المعادلات س = 0و أ س + ب = 0. المعادلة أ س + ب = 0الخطية وجذرها: س = - ب أ.

التعريف 7

وبالتالي فإن المعادلة التربيعية غير مكتملة أ س 2 + ب س = 0سيكون له جذوران س = 0و س = - ب أ.

دعونا نعزز المادة بمثال.

مثال 5

من الضروري إيجاد حل للمعادلة 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

حل

سوف نخرجها سخارج الأقواس نحصل على المعادلة x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . هذه المعادلة تعادل المعادلات س = 0و 2 3 س - 2 2 7 = 0. الآن عليك حل المعادلة الخطية الناتجة: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

اكتب باختصار حل المعادلة كما يلي:

2 3 × 2 - 2 2 7 س = 0 × 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو س = 3 3 7

إجابة:س = 0، س = 3 3 7.

صيغة التمييز لجذور المعادلة التربيعية

لإيجاد حلول للمعادلات التربيعية، توجد صيغة الجذر:

التعريف 8

س = - ب ± د 2 · أ، أين د = ب 2 − 4 أ ج- ما يسمى بمميز المعادلة التربيعية.

كتابة x = - b ± D 2 · a تعني بشكل أساسي أن x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

سيكون من المفيد أن نفهم كيف تم استخلاص هذه الصيغة وكيفية تطبيقها.

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

دعونا نواجه مهمة حل المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0. دعونا ننفذ عددًا من التحولات المكافئة:

• قسّم طرفي المعادلة على رقم أوبخلاف الصفر نحصل على المعادلة التربيعية التالية: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• لنختار المربع الكامل الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة:
  س 2 + ب أ · س + ج أ = س 2 + 2 · ب 2 · أ · س + ب 2 · أ 2 - ب 2 · أ 2 + ج أ = = س + ب 2 · أ 2 - ب 2 · أ 2 + ج أ
  بعد ذلك، ستأخذ المعادلة الشكل: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• أصبح من الممكن الآن نقل الحدين الأخيرين إلى الجانب الأيمن، مع تغيير الإشارة إلى العكس، وبعد ذلك نحصل على: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• وأخيرا نحول التعبير المكتوب على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة:
  ب 2 · أ 2 - ج أ = ب 2 4 · أ 2 - ج أ = ب 2 4 · أ 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 = ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 .

وهكذا نصل إلى المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ، أي ما يعادل المعادلة الأصلية أ س 2 + ب س + ج = 0.

وقد قمنا بدراسة حل مثل هذه المعادلات في الفقرات السابقة (حل المعادلات التربيعية غير الكاملة). الخبرة المكتسبة بالفعل تجعل من الممكن استخلاص نتيجة فيما يتعلق بجذور المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• مع ب 2 - 4 أ ج 4 أ 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• عندما ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 = 0 تكون المعادلة x + ب 2 · أ 2 = 0، ثم x + ب 2 · أ = 0.

من هنا الجذر الوحيد x = - b 2 · a واضح؛

• بالنسبة لـ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0، سيكون ما يلي صحيحًا: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 أو x = b 2 · a - b 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 وهو نفس x + - ب 2 · أ = ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 أو x = - ب 2 · أ - ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 ، أي. المعادلة لها جذرين.

من الممكن أن نستنتج أن وجود أو عدم وجود جذور المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (وبالتالي المعادلة الأصلية) يعتمد على إشارة التعبير b 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 مكتوب على الجانب الأيمن. وعلامة هذا التعبير تكون بإشارة البسط (المقام). 4 أ 2ستكون دائما موجبة) أي علامة الإعراب ب 2 − 4 أ ج. هذا التعبير ب 2 − 4 أ جتم إعطاء الاسم - يتم تعريف تمييز المعادلة التربيعية والحرف D كتسمية لها. هنا يمكنك كتابة جوهر المميز - بناءً على قيمته وإشارته، يمكنهم استنتاج ما إذا كانت المعادلة التربيعية سيكون لها جذور حقيقية، وإذا كان الأمر كذلك، ما هو عدد الجذور - واحد أو اثنين.

لنعد إلى المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . دعونا نعيد كتابتها باستخدام التمييز: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

دعونا صياغة استنتاجاتنا مرة أخرى:

التعريف 9

• في د< 0 المعادلة ليس لها جذور حقيقية.
• في د = 0المعادلة لها جذر واحد x = - b 2 · a ;
• في د> 0للمعادلة جذرين: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 أو x = - b 2 · a - D 4 · a 2. بناءً على خصائص الجذور، يمكن كتابة هذه الجذور بالشكل: x = - b 2 · a + D 2 · a أو - b 2 · a - D 2 · a. وعندما نفتح الوحدات ونصل الكسور إلى قاسم مشترك، نحصل على: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

لذا، كانت نتيجة تفكيرنا هي اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية:

س = - ب + د 2 أ، س = - ب - د 2 أ، المميز دتحسب بواسطة الصيغة د = ب 2 − 4 أ ج.

تتيح هذه الصيغ تحديد الجذرين الحقيقيين عندما يكون المميز أكبر من الصفر. عندما يكون المميز صفرًا، فإن تطبيق كلتا الصيغتين سيعطي نفس الجذر كحل وحيد للمعادلة التربيعية. في الحالة التي يكون فيها المميز سالبًا، إذا حاولنا استخدام صيغة الجذر التربيعي، فسنواجه الحاجة إلى أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب، الأمر الذي سيأخذنا خارج نطاق الأعداد الحقيقية. في حالة التمييز السلبي، لن يكون للمعادلة التربيعية جذور حقيقية، ولكن من الممكن وجود زوج من الجذور المترافقة المعقدة، ويتم تحديدهما بنفس صيغ الجذر التي حصلنا عليها.

خوارزمية لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ الجذر

من الممكن حل معادلة تربيعية باستخدام صيغة الجذر فورًا، لكن يتم ذلك عادةً عندما يكون من الضروري إيجاد جذور معقدة.

في معظم الحالات، لا يعني ذلك عادةً البحث عن الجذور المعقدة، بل عن الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. فمن الأمثل، قبل استخدام الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية، تحديد المميز أولاً والتأكد من أنه ليس سالبًا (وإلا فسنستنتج أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية)، ثم نبدأ في حساب قيمة الجذور.

المنطق أعلاه يجعل من الممكن صياغة خوارزمية لحل المعادلة التربيعية.

التعريف 10

لحل معادلة تربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، ضروري:

• وفقا للصيغة د = ب 2 − 4 أ جأوجد القيمة المميزة؛
• في د< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• بالنسبة إلى D = 0، أوجد الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة x = - b 2 · a ;
• بالنسبة إلى D > 0، حدد جذرين حقيقيين للمعادلة التربيعية باستخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a.

لاحظ أنه عندما يكون المميز صفرًا، يمكنك استخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a، فستعطي نفس نتيجة الصيغة x = - b 2 · a.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

دعونا نعطي حلول لأمثلة لقيم مختلفة للمميز.

مثال 6

علينا إيجاد جذور المعادلة س 2 + 2 س − 6 = 0.

حل

لنكتب المعاملات العددية للمعادلة التربيعية: أ = 1، ب = 2 و ج = − 6. بعد ذلك، نمضي قدمًا وفقًا للخوارزمية، أي. لنبدأ بحساب المميز، وسنستبدل به المعاملات a، b و جفي صيغة التمييز: د = ب 2 − 4 · أ · ج = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

وبذلك نحصل على D > 0، مما يعني أن المعادلة الأصلية سيكون لها جذرين حقيقيين.
للعثور عليها، نستخدم صيغة الجذر x = - b ± D 2 · a، وبالتعويض عن القيم المقابلة، نحصل على: x = - 2 ± 28 2 · 1. دعونا نبسط التعبير الناتج عن طريق إخراج العامل من علامة الجذر ثم تقليل الكسر:

س = - 2 ± 2 7 2

س = - 2 + 2 7 2 أو س = - 2 - 2 7 2

س = - 1 + 7 أو س = - 1 - 7

إجابة:س = - 1 + 7 ​​​​​​، س = - 1 - 7 .

مثال 7

بحاجة إلى حل معادلة من الدرجة الثانية − 4 × 2 + 28 × − 49 = 0.

حل

دعونا نحدد التمييز: د = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. مع قيمة المميز هذه، سيكون للمعادلة الأصلية جذر واحد فقط، يتم تحديده بواسطة الصيغة x = - b 2 · a.

س = - 28 2 (- 4) س = 3.5

إجابة: س = 3.5.

مثال 8

المعادلة تحتاج إلى حل 5 ص 2 + 6 ص + 2 = 0

حل

المعاملات العددية لهذه المعادلة ستكون: أ = 5، ب = 6، ج = 2. نستخدم هذه القيم لإيجاد المميز: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . المميز المحسوب سالب، لذا فإن المعادلة التربيعية الأصلية ليس لها جذور حقيقية.

في الحالة التي تكون فيها المهمة هي الإشارة إلى جذور معقدة، فإننا نطبق صيغة الجذر، ونقوم بإجراءات ذات أرقام مركبة:

س = - 6 ± - 4 2 5,

س = - 6 + 2 ط 10 أو س = - 6 - 2 ط 10،

x = - 3 5 + 1 5 · i أو x = - 3 5 - 1 5 · i.

إجابة:لا توجد جذور حقيقية. الجذور المركبة هي كما يلي: - 5 3 + 5 1 · i, - 5 3 - 5 1 · i.

في المناهج الدراسية، لا يوجد متطلب قياسي للبحث عن جذور معقدة، لذلك، إذا تم تحديد المميز أثناء الحل على أنه سلبي، فسيتم تدوين الإجابة على الفور بأنه لا توجد جذور حقيقية.

صيغة الجذر للمعاملات الثانية

الصيغة الجذرية x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) تجعل من الممكن الحصول على صيغة أخرى، أكثر إحكاما، مما يسمح للمرء بإيجاد حلول للمعادلات التربيعية بمعامل زوجي لـ x ( أو بمعامل بالشكل 2 · n، على سبيل المثال، 2 3 أو 14 ln 5 = 2 7 ln 5). دعونا نبين كيف يتم اشتقاق هذه الصيغة.

دعونا نواجه مهمة إيجاد حل للمعادلة التربيعية a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . نمضي قدمًا وفقًا للخوارزمية: نحدد المميز D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c)، ثم نستخدم صيغة الجذر:

س = - 2 ن ± د 2 أ، س = - 2 ن ± 4 ن 2 - أ ج 2 أ، س = - 2 ن ± 2 ن 2 - أ ج 2 أ، س = - ن ± ن 2 - أ · ج أ .

دع التعبير n 2 − a · c يُشار إليه بالرمز D 1 (أحيانًا يُشار إليه بـ D "). ثم ستأخذ صيغة جذور المعادلة التربيعية قيد النظر مع المعامل الثاني 2 · n الشكل:

س = - ن ± د 1 أ، حيث د 1 = ن 2 − أ · ج.

من السهل أن نرى أن D = 4 · D 1، أو D 1 = D 4. بمعنى آخر، D 1 هو ربع المميز. من الواضح أن إشارة D 1 هي نفس إشارة D، مما يعني أن إشارة D 1 يمكن أن تكون أيضًا بمثابة مؤشر على وجود أو عدم وجود جذور المعادلة التربيعية.

التعريف 11

وبالتالي، لإيجاد حل لمعادلة من الدرجة الثانية بمعامل ثانٍ قدره 2 ن، من الضروري:

• أوجد د 1 = ن 2 − أ · ج ;
• عند د 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• عندما يكون D 1 = 0، حدد الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة x = - n a;
• بالنسبة لـ D 1 > 0، حدد جذرين حقيقيين باستخدام الصيغة x = - n ± D 1 a.

مثال 9

من الضروري حل المعادلة التربيعية 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

حل

يمكننا تمثيل المعامل الثاني للمعادلة المعطاة بـ 2 · (− 3) . ثم نعيد كتابة المعادلة التربيعية المعطاة على الصورة 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0، حيث a = 5، n = − 3 و c = − 32.

لنحسب الجزء الرابع من المميز: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. القيمة الناتجة موجبة، مما يعني أن المعادلة لها جذرين حقيقيين. دعونا نحددها باستخدام صيغة الجذر المقابلة:

س = - ن ± د 1 أ، س = - - 3 ± 169 5، س = 3 ± 13 5،

س = 3 + 13 5 أو س = 3 - 13 5

س = 3 1 5 أو س = - 2

سيكون من الممكن إجراء العمليات الحسابية باستخدام الصيغة المعتادة لجذور المعادلة التربيعية، ولكن في هذه الحالة سيكون الحل أكثر تعقيدًا.

إجابة: x = 3 1 5 أو x = - 2 .

تبسيط شكل المعادلات التربيعية

في بعض الأحيان يكون من الممكن تحسين شكل المعادلة الأصلية، مما يبسط عملية حساب الجذور.

على سبيل المثال، من الواضح أن المعادلة التربيعية 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 أكثر ملاءمة لحلها من 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

في كثير من الأحيان، يتم تبسيط شكل المعادلة التربيعية عن طريق ضرب أو قسمة طرفيها على عدد معين. على سبيل المثال، أظهرنا أعلاه تمثيلًا مبسطًا للمعادلة 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0، والتي تم الحصول عليها عن طريق قسمة كلا الطرفين على 100.

مثل هذا التحويل ممكن عندما لا تكون معاملات المعادلة التربيعية أرقامًا أولية. ثم نقوم عادة بقسمة طرفي المعادلة على القاسم المشترك الأكبر للقيم المطلقة لمعاملاتها.

على سبيل المثال، نستخدم المعادلة التربيعية 12 × 2 − 42 × + 48 = 0. دعونا نحدد GCD للقيم المطلقة لمعاملاته: GCD (12، 42، 48) = GCD(GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. دعونا نقسم طرفي المعادلة التربيعية الأصلية على 6 ونحصل على المعادلة التربيعية المكافئة 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

من خلال ضرب طرفي المعادلة التربيعية، عادةً ما تتخلص من المعاملات الكسرية. في هذه الحالة، يتم ضربهم بالمضاعف المشترك الأصغر لمقامات معاملاته. على سبيل المثال، إذا كان كل جزء من المعادلة التربيعية 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 مضروبًا في المضاعف المشترك الأصغر (6، 3، 1) = 6، فسيتم كتابته بشكل أبسط x 2 + 4 x − 18 = 0 .

أخيرًا، نلاحظ أننا نتخلص دائمًا تقريبًا من الطرح عند المعامل الأول للمعادلة التربيعية عن طريق تغيير علامات كل حد من المعادلة، وهو ما يتم تحقيقه عن طريق ضرب (أو قسمة) كلا الطرفين على − 1. على سبيل المثال، من المعادلة التربيعية − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0، يمكنك الانتقال إلى نسختها المبسطة 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

العلاقة بين الجذور والمعاملات

صيغة جذور المعادلات التربيعية، المعروفة لنا بالفعل، x = - b ± D 2 · a، تعبر عن جذور المعادلة من خلال معاملاتها العددية. بناءً على هذه الصيغة، لدينا الفرصة لتحديد التبعيات الأخرى بين الجذور والمعاملات.

الصيغ الأكثر شهرة وقابلة للتطبيق هي نظرية فييتا:

س 1 + س 2 = - ب أ و س 2 = ج أ.

على وجه الخصوص، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة، يكون مجموع الجذور هو المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. على سبيل المثال، بالنظر إلى شكل المعادلة التربيعية 3 x 2 − 7 x + 22 = 0، من الممكن أن نحدد على الفور أن مجموع جذورها هو 7 3 وحاصل ضرب الجذور هو 22 3.

يمكنك أيضًا العثور على عدد من الروابط الأخرى بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. على سبيل المثال، يمكن التعبير عن مجموع مربعات جذور المعادلة التربيعية بدلالة المعاملات:

س 1 2 + س 2 2 = (س 1 + س 2) 2 - 2 س 1 × 2 = - ب أ 2 - 2 ج أ = ب 2 أ 2 - 2 ج أ = ب 2 - 2 أ ج أ 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

التمييز هو مصطلح متعدد القيم. سنتحدث في هذه المقالة عن مميز كثيرة الحدود، والذي يسمح لك بتحديد ما إذا كان لكثيرة الحدود المعطاة حلول صحيحة. تم العثور على صيغة كثير الحدود التربيعية في الدورة المدرسية حول الجبر والتحليل. كيفية العثور على التمييز؟ ما هو المطلوب لحل المعادلة؟

تسمى كثيرة الحدود التربيعية أو معادلة الدرجة الثانية i * w ^ 2 + j * w + k يساوي 0، حيث "i" و"j" هما المعاملان الأول والثاني، على التوالي، و"k" ثابت، ويسمى أحيانًا "المصطلح الرافض" و"w" هو متغير. ستكون جذورها جميع قيم المتغير الذي يتحول عنده إلى هوية. يمكن إعادة كتابة هذه المساواة كحاصل ضرب i، (w - w1) و (w - w2) يساوي 0. في هذه الحالة، من الواضح أنه إذا لم يصبح المعامل "i" صفرًا، فإن الدالة على سيصبح الجانب الأيسر صفرًا فقط إذا كانت x تأخذ القيمة w1 أو w2. هذه القيم هي نتيجة ضبط كثير الحدود على الصفر.

للعثور على قيمة المتغير الذي تختفي عنده كثيرة الحدود التربيعية، يتم استخدام بناء مساعد مبني على معاملاته ويسمى المميز. يتم حساب هذا التصميم وفقًا للمعادلة D تساوي j * j - 4 * i * k. لماذا يتم استخدامه؟

1. يخبرنا ما إذا كانت هناك نتائج صحيحة.
2. إنها تساعد في حسابهم.

كيف تظهر هذه القيمة وجود جذور حقيقية:

• إذا كان موجبًا، فيمكن العثور على جذرين في منطقة الأعداد الحقيقية.
• إذا كان المميز صفرًا، فإن الحلين متساويان. يمكننا القول أن هناك حل واحد فقط، وهو من مجال الأعداد الحقيقية.
• إذا كان المميز أقل من الصفر، فإن كثيرة الحدود ليس لها جذور حقيقية.

خيارات الحساب لتأمين المواد

للمجموع (7 * ث ^ 2؛ 3 * ث؛ 1) يساوي 0نحسب D باستخدام الصيغة 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28، نحصل على -19. تشير القيمة المميزة تحت الصفر إلى عدم وجود نتائج على الخط الفعلي.

إذا اعتبرنا 2 * w^2 - 3 * w + 1 يعادل 0، ثم يتم حساب D كـ (-3) مربع مطروحًا منه حاصل ضرب الأرقام (4؛ 2؛ 1) ويساوي 9 - 8، أي 1. تشير القيمة الموجبة إلى نتيجتين على الخط الحقيقي.

إذا أخذنا المجموع (w ^ 2; 2 * w; 1) وساويناه بـ 0، يتم حساب D على أنه اثنان تربيع ناقص حاصل ضرب الأرقام (4؛ 1؛ 1). سيتم تبسيط هذا التعبير إلى 4 - 4 ويصل إلى الصفر. وتبين أن النتائج هي نفسها. إذا نظرت عن كثب إلى هذه الصيغة، فسيصبح من الواضح أن هذا "مربع كامل". وهذا يعني أنه يمكن إعادة كتابة المساواة على الصورة (w + 1) ^ 2 = 0. وأصبح من الواضح أن النتيجة في هذه المسألة هي "-1". في الحالة التي يكون فيها D يساوي 0، يمكن دائمًا طي الجانب الأيسر من المساواة باستخدام صيغة "مربع المجموع".

استخدام المميز في حساب الجذور

لا يوضح هذا البناء المساعد عدد الحلول الحقيقية فحسب، بل يساعد أيضًا في العثور عليها. الصيغة الحسابية العامة لمعادلة الدرجة الثانية هي:

w = (-j +/- d) / (2 * i)، حيث d هو المميز للأس 1/2.

لنفترض أن المميز أقل من الصفر، إذن d وهمي والنتائج خيالية.

D يساوي صفرًا، ثم d يساوي D أس 1/2 يساوي صفرًا أيضًا. الحل: -ي/(2*ط). مرة أخرى بالنظر إلى 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0، نجد نتائج تعادل -2 / (2 * 1) = -1.

لنفترض أن D > 0، فإن d عدد حقيقي، والإجابة هنا تنقسم إلى قسمين: w1 = (-j + d) / (2 * i) وw2 = (-j - d) / (2 * i) ) . كلتا النتيجتين ستكون صالحة. دعونا نلقي نظرة على 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. المميز وd هنا هما واحد. يتبين أن w1 يساوي (3 + 1) مقسومًا على (2*2) أو 1، وw2 يساوي (3 - 1) مقسومًا على 2*2 أو 1/2.

يتم حساب نتيجة مساواة التعبير التربيعي بالصفر وفقًا للخوارزمية:

1. تحديد عدد الحلول الصحيحة.
2. الحساب د = د^(1/2).
3. إيجاد النتيجة حسب الصيغة (-j +/- d) / (2 * i).
4. استبدال النتيجة التي تم الحصول عليها في المساواة الأصلية للتحقق.

بعض الحالات الخاصة

اعتمادا على المعاملات، قد يكون الحل مبسطا إلى حد ما. من الواضح أنه إذا كان معامل المتغير أس الثاني صفرًا، فسيتم الحصول على مساواة خطية. عندما يكون معامل المتغير للأس الأول صفرًا، يكون هناك خياران ممكنان:

1. يتم توسيع كثير الحدود إلى فرق من المربعات عندما يكون الحد الحر سالبًا؛
2. بالنسبة للثابت الإيجابي، لا يمكن إيجاد حلول حقيقية.

إذا كان الحد الحر صفرًا، فستكون الجذور (0; -j)

لكن هناك حالات خاصة أخرى تسهل إيجاد الحل.

تخفيض معادلة الدرجة الثانية

المعطى يسمىمثل هذه المعادلة الثلاثية التربيعية، حيث يكون معامل الحد الرئيسي واحدًا. في هذه الحالة، تنطبق نظرية فييتا، التي تنص على أن مجموع الجذور يساوي معامل المتغير للأس الأول، مضروبًا في -1، والناتج يتوافق مع الثابت "k".

لذلك، w1 + w2 يساوي -j وw1 * w2 يساوي k إذا كان المعامل الأول واحدًا. للتحقق من صحة هذا التمثيل، يمكنك التعبير عن w2 = -j - w1 من الصيغة الأولى واستبدالها في المساواة الثانية w1 * (-j - w1) = k. والنتيجة هي المساواة الأصلية w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

ومن المهم أن نلاحظ، يمكن تحقيق i * w ^ 2 + j * w + k = 0 عن طريق القسمة على "i". ستكون النتيجة: w^2 + j1 * w + k1 = 0، حيث j1 يساوي j/i وk1 يساوي k/i.

دعونا نلقي نظرة على حل 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 مع النتائج w1 = 1 وw2 = 1/2. نحن بحاجة إلى تقسيمها إلى النصف، ونتيجة لذلك w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. دعونا نتحقق من صحة شروط النظرية للنتائج التي تم العثور عليها: 1 + 1/2 = 3/ 2 و 1*1/2 = 1 /2.

وحتى العامل الثاني

إذا كان عامل المتغير للقوة الأولى (j) يقبل القسمة على 2، سيكون من الممكن تبسيط الصيغة والبحث عن حل من خلال ربع المميز D/4 = (j / 2) ^ 2 - i * k. اتضح أن w = (-j +/- d/2) / i، حيث d/2 = D/4 أس 1/2.

إذا كان i = 1، والمعامل j زوجي، فإن الحل سيكون حاصل ضرب -1 ونصف معامل المتغير w، زائد/ناقص جذر مربع هذا النصف ناقص الثابت "k". الصيغة: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

ترتيب تمييزي أعلى

إن مميز ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية الذي تمت مناقشته أعلاه هو الحالة الخاصة الأكثر استخدامًا. في الحالة العامة، مميز كثير الحدود هو مضروبة في مربعات الاختلافات في جذور كثيرة الحدود هذه. ولذلك فإن المميز الذي يساوي الصفر يشير إلى وجود حلين متعددين على الأقل.

خذ بعين الاعتبار i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

لنفترض أن المميز يتجاوز الصفر. وهذا يعني أن هناك ثلاثة جذور في منطقة الأعداد الحقيقية. عند الصفر هناك حلول متعددة. إذا د< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

فيديو

سيخبرك الفيديو الخاص بنا بالتفصيل عن حساب المميز.

لم تحصل على إجابة لسؤالك؟ اقتراح موضوع للمؤلفين.

سنتناول في هذه المقالة حل المعادلات التربيعية غير الكاملة.

لكن أولًا، دعونا نكرر ما يسمى بالمعادلات التربيعية. معادلة من الشكل ax 2 + bx + c = 0، حيث x متغير، والمعاملات a وb وc هي بعض الأرقام، وa ≠ 0 تسمى مربع. وكما نرى فإن معامل x 2 لا يساوي صفر، وبالتالي يمكن أن تكون معاملات x أو الحد الحر مساوية للصفر، وفي هذه الحالة نحصل على معادلة تربيعية غير كاملة.

هناك ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير الكاملة:

1) إذا كان ب = 0، ج ≠ 0، ثم الفأس 2 + ج = 0؛

2) إذا كان ب ≠ 0، ج = 0، ثم الفأس 2 + ب س = 0؛

3) إذا كان ب = 0، ج = 0، فإن الفأس 2 = 0.

• دعونا معرفة كيفية حلها معادلات الشكل الفأس 2 + ج = 0.

لحل المعادلة، ننقل الحد الحر c إلى الجانب الأيمن من المعادلة، فنحصل على

الفأس 2 = -s. بما أن ≠ 0، نقسم طرفي المعادلة على a، ثم x 2 = ‒c/a.

إذا كانت ‒с/а > 0، فإن المعادلة لها جذرين

س = ±√(–ج/أ) .

إذا -ج/أ< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

دعونا نحاول أن نفهم بالأمثلة كيفية حل مثل هذه المعادلات.

مثال 1. حل المعادلة 2س 2 - 32 = 0.

الإجابة: × 1 = - 4، × 2 = 4.

مثال 2. حل المعادلة 2س 2 + 8 = 0.

الجواب: المعادلة ليس لها حلول.

• دعونا معرفة كيفية حلها معادلات من الشكل ax 2 + bx = 0.

لحل المعادلة ax 2 + bx = 0، دعونا نحولها إلى عوامل، أي نخرج x من الأقواس، نحصل على x(ax + b) = 0. الناتج يساوي صفر إذا كان أحد العوامل على الأقل متساويًا إلى الصفر. ثم إما x = 0، أو ax + b = 0. وبحل المعادلة ax + b = 0، نحصل على ax = - b، حيث x = - b/a. المعادلة ذات الصيغة ax 2 + bx = 0 لها دائمًا جذرين x 1 = 0 وx 2 = ‒ b/a. انظر كيف يبدو حل المعادلات من هذا النوع في الرسم التخطيطي.

دعونا نعزز معرفتنا بمثال محدد.

مثال 3. حل المعادلة 3س 2 - 12س = 0.

س(3س - 12) = 0

س= 0 أو 3س – 12 = 0

الإجابة: × 1 = 0، × 2 = 4.

• معادلات النوع الثالث الفأس 2 = 0يتم حلها بكل بساطة.

إذا كان الفأس 2 = 0، فإن x 2 = 0. المعادلة لها جذرين متساويين x 1 = 0، x 2 = 0.

من أجل الوضوح، دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني.

دعونا نتأكد عند حل المثال 4 من أن المعادلات من هذا النوع يمكن حلها بكل بساطة.

مثال 4.حل المعادلة 7×2 = 0.

الجواب: × 1، 2 = 0.

ليس من الواضح دائمًا على الفور نوع المعادلة التربيعية غير الكاملة التي يتعين علينا حلها. النظر في المثال التالي.

مثال 5.حل المعادلة

دعونا نضرب طرفي المعادلة في قاسم مشترك، وهو 30

دعونا نقطعها

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

دعونا نفتح الأقواس

25س 2 + 45 – 24س 2 + 54 = 90.

دعونا نعطي مماثلة

لننقل 99 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين، مع تغيير الإشارة إلى العكس

الجواب: لا جذور.

لقد نظرنا في كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة. آمل ألا تواجه الآن أي صعوبات في مثل هذه المهام. كن حذرا عند تحديد نوع المعادلة التربيعية غير المكتملة، فسوف تنجح.

إذا كانت لديك أسئلة حول هذا الموضوع، قم بالتسجيل في دروسي، وسنحل المشكلات التي تنشأ معًا.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.