اكتب معادلة الخط المستقيم بالصورة العامة. المعادلة العامة للخط المستقيم على المستوى

درس من سلسلة "الخوارزميات الهندسية"

مرحبا عزيزي القارئ!

سنبدأ اليوم في تعلم الخوارزميات المتعلقة بالهندسة. والحقيقة هي أن هناك الكثير من مشاكل الأولمبياد في علوم الكمبيوتر المتعلقة بالهندسة الحسابية، وغالبًا ما يسبب حل مثل هذه المشكلات صعوبات.

على مدار عدة دروس، سننظر في عدد من المهام الفرعية الأولية التي يعتمد عليها حل معظم المشكلات في الهندسة الحسابية.

في هذا الدرس سوف نقوم بإنشاء برنامج ل إيجاد معادلة الخط، يمر عبر معين نقطتان. لحل المسائل الهندسية، نحتاج إلى بعض المعرفة بالهندسة الحسابية. وسنخصص جزءًا من الدرس للتعرف عليهم.

رؤى من الهندسة الحسابية

الهندسة الحسابية هي فرع من علوم الكمبيوتر يدرس الخوارزميات لحل المشكلات الهندسية.

يمكن أن تكون البيانات الأولية لمثل هذه المسائل عبارة عن مجموعة من النقاط على المستوى، أو مجموعة من القطاعات، أو مضلع (يتم تحديده، على سبيل المثال، من خلال قائمة رؤوسه بترتيب اتجاه عقارب الساعة)، وما إلى ذلك.

يمكن أن تكون النتيجة إما إجابة لبعض الأسئلة (مثل هل تنتمي نقطة إلى قطعة قطعة، أو هل يتقاطع قطعتان، ...)، أو كائن هندسي ما (على سبيل المثال، أصغر مضلع محدب يربط نقاط معينة، مساحة مضلع، وما إلى ذلك).

سننظر في مشاكل الهندسة الحسابية فقط على المستوى وفي نظام الإحداثيات الديكارتية فقط.

المتجهات والإحداثيات

لتطبيق أساليب الهندسة الحسابية، لا بد من ترجمة الصور الهندسية إلى لغة الأرقام. سنفترض أن المستوى مُعطى لنظام إحداثيات ديكارتي، يُسمى فيه اتجاه الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة موجبًا.

الآن تتلقى الكائنات الهندسية تعبيرًا تحليليًا. لذلك، لتحديد نقطة ما، يكفي الإشارة إلى إحداثياتها: زوج من الأرقام (x؛ y). يمكن تحديد القطعة بتحديد إحداثيات طرفيها، ويمكن تحديد الخط المستقيم بتحديد إحداثيات زوج من نقاطه.

لكن أداتنا الرئيسية لحل المشكلات ستكون المتجهات. ولذلك اسمحوا لي أن أذكر بعض المعلومات عنهم.

القطعة المستقيمة أ.ب، والتي لديها نقطة أتعتبر البداية (نقطة التطبيق)، والنقطة في- النهاية، تسمى المتجه أ.بويُشار إليه إما بحرف صغير غامق، على سبيل المثال أ .

للإشارة إلى طول المتجه (أي طول القطعة المقابلة)، سنستخدم رمز المعامل (على سبيل المثال، ).

سيكون للمتجه التعسفي إحداثيات مساوية للفرق بين الإحداثيات المقابلة لنهايته وبدايته:

,

هنا النقاط أو ب لها إحداثيات على التوالى.

للحسابات سوف نستخدم هذا المفهوم زاوية موجهةأي الزاوية التي تأخذ في الاعتبار الموقع النسبي للمتجهات.

الزاوية الموجهة بين المتجهات أ و ب موجب إذا كان الدوران من المتجه أ إلى المتجه ب يتم إجراؤه في اتجاه إيجابي (عكس اتجاه عقارب الساعة) وسالب في الحالة الأخرى. انظر الشكل 1 أ، الشكل 1 ب. ويقال أيضًا أن هناك زوجًا من المتجهات أ و ب موجهة بشكل إيجابي (سلبي).

وبالتالي، فإن قيمة الزاوية الموجهة تعتمد على الترتيب الذي يتم به إدراج المتجهات ويمكن أن تأخذ القيم في الفاصل الزمني.

تستخدم العديد من المشكلات في الهندسة الحسابية مفهوم نواتج المتجهات (الانحراف أو العددية الكاذبة) للمتجهات.

حاصل ضرب المتجهين a وb هو حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب الزاوية بينهما:

.

المنتج الاتجاهي للمتجهات في الإحداثيات:

التعبير الموجود على اليمين هو محدد من الدرجة الثانية:

على عكس التعريف الوارد في الهندسة التحليلية، فهو عددي.

تحدد علامة منتج المتجه موضع المتجهات بالنسبة لبعضها البعض:

أ و ب موجهة بشكل إيجابي.

إذا كانت القيمة هي زوج من المتجهات أ و ب موجهة سلبا.

الضرب الاتجاهي للمتجهات غير الصفرية يكون صفرًا إذا وفقط إذا كانت على خط مستقيم ( ). وهذا يعني أنهما يقعان على نفس الخط أو على خطوط متوازية.

دعونا نلقي نظرة على بعض المشاكل البسيطة الضرورية عند حل المشكلات الأكثر تعقيدًا.

دعونا نحدد معادلة الخط المستقيم من إحداثيات نقطتين.

معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين مختلفتين تحددهما إحداثياتهما.

لنفترض نقطتين غير متطابقتين على خط مستقيم: بإحداثيات (x1; y1) وبإحداثيات (x2; y2). وبناء على ذلك، فإن المتجه الذي يبدأ عند نقطة وينتهي عند نقطة له إحداثيات (x2-x1، y2-y1). إذا كانت P(x, y) نقطة عشوائية على خطنا، فإن إحداثيات المتجه تساوي (x-x1, y – y1).

باستخدام منتج المتجهات، يمكن كتابة شرط العلاقة الخطية المتداخلة للمتجهات على النحو التالي:

أولئك. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

نعيد كتابة المعادلة الأخيرة على النحو التالي:

الفأس + بواسطة + ج = 0، (1)

ج = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

لذلك يمكن تحديد الخط المستقيم بمعادلة على الصورة (1).

المشكلة 1. يتم إعطاء إحداثيات نقطتين. أوجد تمثيلها في الصورة ax + by + c = 0.

تعلمنا في هذا الدرس بعض المعلومات عن الهندسة الحسابية. لقد حللنا مسألة إيجاد معادلة الخط المستقيم من إحداثيات نقطتين.

في الدرس التالي، سوف نقوم بإنشاء برنامج لإيجاد نقطة تقاطع خطين معطاة في معادلاتنا.

تكشف هذه المقالة عن اشتقاق معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين في نظام إحداثيات مستطيل يقع على مستوى. دعونا نشتق معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين معلومتين في نظام إحداثي مستطيل. سنعرض بوضوح ونحل العديد من الأمثلة المتعلقة بالمادة المشمولة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

قبل الحصول على معادلة خط يمر عبر نقطتين معلومتين، من الضروري الانتباه إلى بعض الحقائق. هناك بديهية تقول أنه من خلال نقطتين متباعدتين على المستوى يمكن رسم خط مستقيم واحد فقط. بمعنى آخر، يتم تحديد نقطتين معلومتين على المستوى بخط مستقيم يمر عبر هاتين النقطتين.

إذا تم تعريف المستوى بواسطة نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي، فإن أي خط مستقيم مصور فيه سوف يتوافق مع معادلة الخط المستقيم على المستوى. هناك أيضًا اتصال مع المتجه الموجه للخط المستقيم، وهذه البيانات كافية لتجميع معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين معلومتين.

دعونا نلقي نظرة على مثال لحل مشكلة مماثلة. من الضروري إنشاء معادلة لخط مستقيم يمر عبر نقطتين متباعدتين M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2)، الموجودتين في نظام الإحداثيات الديكارتية.

في المعادلة الأساسية لخط على مستوى، له الصيغة x - x 1 a x = y - y 1 a y، يتم تحديد نظام إحداثيات مستطيل O x y بخط يتقاطع معه عند نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1, y 1) مع متجه دليل a → = (a x , a y) .

من الضروري إنشاء معادلة قانونية لخط مستقيم أ، والذي سيمر عبر نقطتين بإحداثيات M 1 (x 1، y 1) و M 2 (x 2، y 2).

المستقيم a له متجه اتجاه M 1 M 2 → بإحداثيات (x 2 - x 1, y 2 - y 1)، لأنه يتقاطع مع النقطتين M 1 و M 2. لقد حصلنا على البيانات اللازمة لتحويل المعادلة الأساسية بإحداثيات متجه الاتجاه M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) وإحداثيات النقاط M 1 الواقعة عليها (x 1, y 1) و M 2 (x 2 , y 2) . نحصل على معادلة بالشكل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 أو x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

النظر في الشكل أدناه.

بعد الحسابات، نكتب المعادلات البارامترية لخط على مستوى يمر بنقطتين بإحداثيات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2). نحصل على معادلة بالشكل x = x 1 + (x 2 - x 1) · lect y = y 1 + (y 2 - y 1) · lect أو x = x 2 + (x 2 - x 1) · lect ذ = ص 2 + (ص 2 - ص 1) · .

دعونا نلقي نظرة فاحصة على حل عدة أمثلة.

مثال 1

اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين معطاتين إحداثياتهما M 1 - 5، 2 3، M 2 1، - 1 6.

حل

المعادلة الأساسية للخط المتقاطع عند نقطتين بإحداثيات x 1، y 1 و x 2، y 2 تأخذ الشكل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. وفقا لشروط المسألة، لدينا أن x 1 = - 5، y 1 = 2 3، x 2 = 1، y 2 = - 1 6. من الضروري استبدال القيم العددية في المعادلة x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. من هنا نحصل على أن المعادلة القانونية تأخذ الصيغة x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

الإجابة: س + 5 6 = ص - 2 3 - 5 6.

إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة بنوع مختلف من المعادلات، فيمكنك أولاً الانتقال إلى المعادلة الأساسية، لأنه من الأسهل الانتقال منها إلى أي معادلة أخرى.

مثال 2

قم بتكوين المعادلة العامة لخط مستقيم يمر عبر نقاط ذات إحداثيات M 1 (1, 1) و M 2 (4, 2) في نظام الإحداثيات O x y.

حل

أولاً، عليك كتابة المعادلة الأساسية لخط معين يمر بنقطتين محددتين. حصلنا على معادلة على الصورة x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

لنصل بالمعادلة القانونية إلى الشكل المطلوب، فنحصل على:

س - 1 3 = ص - 1 1 ⇔ 1 س - 1 = 3 ص - 1 ⇔ س - 3 ص + 2 = 0

إجابة:س - 3 ص + 2 = 0 .

تمت مناقشة أمثلة على هذه المهام في الكتب المدرسية أثناء دروس الجبر. اختلفت المسائل المدرسية في أن معادلة الخط المستقيم مع معامل الزاوية معروفة، ولها الصورة y = k x + b. إذا كنت بحاجة إلى العثور على قيمة الميل k والرقم b الذي تحدد المعادلة y = k x + b خطًا في نظام O x y الذي يمر عبر النقطتين M 1 (x 1, y 1) و M 2 ( × 2، ص 2) ، حيث × 1 ≠ × 2. عندما × 1 = × 2 ، فإن المعامل الزاوي يأخذ قيمة اللانهاية، ويتم تعريف الخط المستقيم M 1 M 2 بمعادلة عامة غير كاملة من الشكل x - x 1 = 0 .

لأن النقاط م 1و م 2على خط مستقيم، فإن إحداثياتها تحقق المعادلة y 1 = k x 1 + b و y 2 = k x 2 + b. من الضروري حل نظام المعادلات y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b لـ k وb.

للقيام بذلك نجد k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 أو k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = ص 2 - ص 2 - ص 1 × 2 - س 1 × 2 .

مع هذه القيم k و b تصبح معادلة الخط الذي يمر بالنقطتين المعطاتين y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 أو ص = ص 2 - ص 1 × 2 - س 1 س + ص 2 - ص 2 - ص 1 × 2 - س 1 × 2.

من المستحيل تذكر مثل هذا العدد الهائل من الصيغ مرة واحدة. للقيام بذلك، من الضروري زيادة عدد التكرار في حل المهام.

مثال 3

اكتب معادلة الخط المستقيم بمعامل زاوي يمر عبر نقاط ذات إحداثيات M 2 (2، 1) و y = k x + b.

حل

لحل المشكلة، نستخدم صيغة ذات معامل زاوي بالصيغة y = k x + b. يجب أن يأخذ المعاملان k و b قيمة بحيث تتوافق هذه المعادلة مع خط مستقيم يمر عبر نقطتين بإحداثيات M 1 (- 7, - 5) و M 2 (2, 1).

نقاط م 1و م 2تقع على خط مستقيم، فإن إحداثياتها يجب أن تجعل المعادلة y = k x + b مساواة حقيقية. ومن هذا نحصل على أن - 5 = ك · (- 7) + ب و 1 = ك · 2 + ب. لنجمع المعادلة في النظام - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ونحلها.

عند الاستبدال نحصل على ذلك

5 = ك · - 7 + ب 1 = ك · 2 + ب ⇔ ب = - 5 + 7 ك 2 ك + ب = 1 ⇔ ب = - 5 + 7 ك 2 ك - 5 + 7 ك = 1 ⇔ ⇔ ب = - 5 + 7 ك ك = 3 2 ⇔ ب = - 5 + 7 2 3 ك = 2 3 ⇔ ب = - 3 1 ك = 3 2

الآن يتم استبدال القيم k = 2 3 و b = - 1 3 في المعادلة y = k x + b. نجد أن المعادلة المطلوبة بالمرور بالنقاط المعطاة ستكون معادلة على الصورة y = 2 3 x - 1 3 .

طريقة الحل هذه تحدد مسبقًا إضاعة الكثير من الوقت. هناك طريقة يتم من خلالها حل المهمة في خطوتين حرفيًا.

دعونا نكتب المعادلة القانونية للخط الذي يمر عبر M 2 (2, 1) وM 1 (- 7, - 5)، بالصيغة x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

الآن دعنا ننتقل إلى معادلة الميل. نحصل على ما يلي: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

الإجابة: ص = 2 3 x - 1 3 .

إذا كان هناك في الفضاء ثلاثي الأبعاد نظام إحداثيات مستطيل O x y z مع نقطتين غير متطابقتين مع الإحداثيات M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2)، فإن الخط المستقيم M الذي يمر عبرهم 1 M 2 ، من الضروري الحصول على معادلة هذا الخط.

لدينا تلك المعادلات القانونية من الصيغة x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z والمعادلات البارامترية من الصيغة x = x 1 + a x · lect y = y 1 + a y · lect z = z 1 + a z · lect قادرون على تحديد خط في نظام الإحداثيات O x y z، ويمر عبر نقاط لها إحداثيات (x 1، y 1، z 1) مع متجه الاتجاه a → = (a x، a y، a z).

مستقيم م 1 م 2 له متجه اتجاه بالصيغة M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1)، حيث يمر الخط المستقيم عبر النقطة M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2 , y 2 , z 2)، وبالتالي يمكن أن تكون المعادلة الأساسية على الشكل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 أو x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1، بدوره حدودي x = x 1 + (x 2 - x 1 ) lect y = y 1 + (y 2 - y 1) lect z = z 1 + (z 2 - z 1) lect أو x = x 2 + (x 2 - x 1) lect y = y 2 + (y 2 - ص 1) · л z = z 2 + (z 2 - z 1) · л .

تخيل رسمًا يوضح نقطتين معلومتين في الفضاء ومعادلة خط مستقيم.

مثال 4

اكتب معادلة خط محدد في نظام إحداثي مستطيل O x y z لمساحة ثلاثية الأبعاد، يمر بنقطتين معطاتين بإحداثيات M 1 (2, - 3, 0) و M 2 (1, - 3, - 5).

حل

من الضروري العثور على المعادلة الأساسية. وبما أننا نتحدث عن الفضاء ثلاثي الأبعاد، فهذا يعني أنه عندما يمر خط بنقاط معينة، فإن المعادلة القانونية المطلوبة ستأخذ الشكل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - ض 1 ض 2 - ض 1 .

بالشرط لدينا أن x 1 = 2، y 1 = - 3، z 1 = 0، x 2 = 1، y 2 = - 3، z 2 = - 5. ويترتب على ذلك أن المعادلات اللازمة ستكتب على النحو التالي:

س - 2 1 - 2 = ص - (- 3) - 3 - (- 3) = ض - 0 - 5 - 0 ⇔ س - 2 - 1 = ص + 3 0 = ض - 5

الإجابة: س - 2 - 1 = ص + 0 3 = ض - 5.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

المعادلة العامة للخط المستقيم:

حالات خاصة للمعادلة العامة للخط المستقيم:

و إذا ج= 0، المعادلة (2) سيكون لها الشكل

فأس + بواسطة = 0,

والخط المستقيم الذي تحدده هذه المعادلة يمر بنقطة الأصل، لأن إحداثيات نقطة الأصل هي س = 0, ذ= 0 حقق هذه المعادلة.

ب) إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم (2) ب= 0 فتأخذ المعادلة الشكل

فأس + مع= 0، أو .

المعادلة لا تحتوي على متغير ذوالخط المستقيم الذي تحدده هذه المعادلة يوازي المحور أوي.

ج) إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم (2) أ= 0 فتأخذ هذه المعادلة الشكل

بواسطة + مع= 0، أو؛

المعادلة لا تحتوي على متغير س، والخط المستقيم الذي يحدده موازي للمحور ثور.

يجب أن نتذكر: إذا كان الخط المستقيم موازيًا لبعض محاور الإحداثيات، فلا يوجد في معادلته مصطلح يحتوي على إحداثيات تحمل نفس اسم هذا المحور.

د) متى ج= 0 و أ= 0 المعادلة (2) تأخذ الشكل بواسطة= 0، أو ذ = 0.

هذه هي معادلة المحور ثور.

د) متى ج= 0 و ب= 0 المعادلة (2) ستكتب بالشكل فأس= 0 أو س = 0.

هذه هي معادلة المحور أوي.

الموقع النسبي للخطوط على المستوى. الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى. حالة الخطوط المتوازية. حالة عمودي الخطوط.

ل 1 ل 2 ل 1: أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0
ل 2: أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0

يُطلق على المتجهات S 2 S 1 S 1 و S 2 أدلة لخطوطها.

يتم تحديد الزاوية بين الخطوط المستقيمة l 1 و l 2 بواسطة الزاوية بين متجهات الاتجاه.
النظرية 1: cos الزاوية بين l 1 و l 2 = cos(l 1 ; l 2) =

النظرية 2:لكي يكون الخطان متساويين فمن الضروري والكافي:

النظرية 3:لكي يكون الخطان المستقيمان متعامدين فمن الضروري والكافي:

ل 1 ل 2 ó أ 1 أ 2 + ب 1 ب 2 = 0

معادلة المستوى العام وحالاتها الخاصة. معادلة الطائرة في قطاعات.

معادلة المستوى العام:

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0

حالات خاصة:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – يمر المستوى عبر نقطة الأصل

2. С=0 الفأس+ب+د = 0 – المستوى || أوقية

3. ب=0 الفأس+Cz+d = 0 – المستوى || أوي

4. أ=0 بواسطة+Cz+D = 0 – مستوى || ثور

5. A=0 و D=0 By+Cz = 0 – تمر الطائرة عبر OX

6. B=0 و D=0 Ax+Cz = 0 – تمر الطائرة عبر OY

7. C=0 و D=0 Ax+By = 0 – تمر الطائرة عبر OZ

الموقع النسبي للطائرات والخطوط المستقيمة في الفضاء:

1. الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة في الفضاء هي الزاوية المحصورة بين متجهات اتجاهها.

كوس (ل 1 ; ل 2) = كوس(س 1 ; ق 2) = =

2. يتم تحديد الزاوية بين المستويات من خلال الزاوية بين متجهاتها العادية.

كوس (ل 1 ; ل 2) = كوس(ن 1 ; ن 2) = =

3. يمكن العثور على جيب تمام الزاوية بين الخط والمستوى من خلال جيب الزاوية بين متجه اتجاه الخط والمتجه الطبيعي للمستوى.

4. 2 مستقيم || في الفضاء عندما || أدلة ناقلات

5. طائرتان || متى || ناقلات عادية

6. يتم تقديم مفاهيم عمودي الخطوط والطائرات بالمثل.

السؤال رقم 14

أنواع مختلفة من معادلة الخط المستقيم على المستوى (معادلة الخط المستقيم في المقاطع، مع معامل الزاوية، وما إلى ذلك)

معادلة الخط المستقيم في القطاعات:
لنفترض أنه في المعادلة العامة للخط المستقيم:

1. C = 0 Аh + Ву = 0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل.

2. أ = 0 Vu + C = 0 ص =

3. ب = 0 الفأس + C = 0 س =

4. ب=ج=0 الفأس = 0 × = 0

5. أ=ج=0 Ву = 0 у = 0

معادلة الخط المستقيم مع الميل:

يمكن كتابة أي خط مستقيم لا يساوي محور المرجع (B not = 0) في السطر التالي. استمارة:

k = tanα α – الزاوية بين الخط المستقيم والخط الموجب OX

ب – نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور المرجع أمبير

وثيقة:

الفأس + بواسطة + C = 0

وو= -آه-S |:ب

معادلة الخط المستقيم بناءً على نقطتين:

السؤال رقم 16

الحد المحدود للدالة عند نقطة ما و x→∞

حد النهاية عند x0:

يُطلق على الرقم A حد الدالة y = f(x) لـ x→x 0 إذا كان لأي E > 0 يوجد b > 0 بحيث يكون x ≠x 0 يحقق عدم المساواة |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

يشار إلى الحد بواسطة: = أ

نهاية النهاية عند النقطة +∞:

الرقم A يسمى نهاية الدالة y = f(x) عند x → + ∞ ، إذا كان لأي E > 0 يوجد C > 0 بحيث يكون عدم المساواة لـ x > C |f(x) - A|< Е

يشار إلى الحد بواسطة: = أ

نهاية النهاية عند النقطة -∞:

الرقم A يسمى نهاية الدالة y = f(x) لـ س→-∞،إذا لأي E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

تم العثور على الخط الذي يمر عبر النقطة K(x 0 ; y 0) والموازي للخط y = kx + a بالصيغة:

ص - ص 0 = ك(س - س 0) (1)

حيث k هو ميل الخط

الصيغة البديلة:
الخط الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1 ; y 1) ويوازي الخط Ax+By+C=0 يمثل بالمعادلة

أ(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة K( ;) موازيا للخط المستقيم y = س+ .

المثال رقم 1. اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 0 (-2,1) وفي نفس الوقت:
أ) الموازي للخط المستقيم 2x+3y -7 = 0;
ب) عمودي على الخط المستقيم 2x+3y -7 = 0.
حل . لنتخيل المعادلة مع الميل بالصيغة y = kx + a. للقيام بذلك، انقل جميع القيم باستثناء y إلى الجانب الأيمن: 3y = -2x + 7 . ثم قم بتقسيم الجانب الأيمن على عامل 3. نحصل على: ص = -2/3س + 7/3
لنجد المعادلة NK التي تمر بالنقطة K(-2;1) الموازية للخط المستقيم y = -2 / 3 x + 7 / 3
استبدال x 0 = -2، k = -2 / 3، y 0 = 1 نحصل على:
ص-1 = -2 / 3 (س-(-2))
أو
ص = -2 / 3 س - 1 / 3 أو 3ص + 2س +1 = 0

المثال رقم 2. اكتب معادلة الخط الموازي للمستقيم 2x + 5y = 0 وكوّن مع محاور الإحداثيات مثلثًا مساحته 5.
حل . بما أن الخطوط متوازية، فإن معادلة الخط المطلوب هي 2x + 5y + C = 0. مساحة المثلث القائم الزاوية، حيث a و b هما ساقيه. لنجد نقاط تقاطع الخط المطلوب مع محاور الإحداثيات:
;
.
لذلك، أ(-C/2,0)، ب(0،-C/5). دعنا نستبدلها في صيغة المساحة: . نحصل على حلين: 2x + 5y + 10 = 0 و 2x + 5y – 10 = 0.

المثال رقم 3. اكتب معادلة للمستقيم الذي يمر بالنقطة (-2; 5) ويوازي الخط 5x-7y-4=0.
حل. يمكن تمثيل هذا الخط المستقيم بالمعادلة y = 5 / 7 x - 4 / 7 (هنا = 5 / 7). معادلة الخط المطلوب هي y – 5 = 5 / 7 (x – (-2))، أي. 7(y-5)=5(x+2) أو 5x-7y+45=0 .

المثال رقم 4. بعد حل المثال 3 (A=5، B=-7) باستخدام الصيغة (2)، نجد 5(x+2)-7(y-5)=0.

المثال رقم 5. اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة (-2;5) ويوازي الخط 7x+10=0.
حل. هنا أ=7، ب=0. الصيغة (2) تعطي 7(x+2)=0، أي. س+2=0. الصيغة (1) غير قابلة للتطبيق، حيث لا يمكن حل هذه المعادلة بالنسبة لـ y (هذا الخط المستقيم موازي للمحور الإحداثي).

معادلة الخط على الطائرة.

وكما هو معروف فإن أي نقطة على المستوى يتم تحديدها بإحداثيتين في بعض أنظمة الإحداثيات. يمكن أن تختلف أنظمة الإحداثيات اعتمادًا على اختيار الأساس والأصل.

تعريف. معادلة خطيةتسمى العلاقة y = f(x) بين إحداثيات النقاط التي تشكل هذا الخط.

لاحظ أنه يمكن التعبير عن معادلة الخط بشكل بارامتري، أي أنه يتم التعبير عن كل إحداثي لكل نقطة من خلال بعض المعلمات المستقلة ر.

والمثال النموذجي هو مسار نقطة متحركة. في هذه الحالة، يتم لعب دور المعلمة حسب الوقت.

معادلة الخط المستقيم على المستوى.

تعريف. يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

علاوة على ذلك، فإن الثوابتين A وB لا يساويان الصفر في نفس الوقت، أي. أ 2 + ب 2  0. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى المعادلة العامة للخط المستقيم.

اعتمادًا على قيم الثوابت A وB وC، من الممكن حدوث الحالات الخاصة التالية:

C = 0، A  0، B  0 – يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل

A = 0، B  0، C  0 (بواسطة + C = 0) - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور

B = 0، A  0، C  0 (Ax + C = 0) – خط مستقيم موازٍ لمحور Oy

B = C = 0، A  0 – يتزامن الخط المستقيم مع محور Oy

أ = ج = 0، ب  0 – الخط المستقيم يتطابق مع محور الثور

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، يكون المتجه ذو المكونات (A، B) متعامدًا مع الخط المستقيم المعطى بالمعادلة Ax + By + C = 0.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(1,2) العمودي على المتجه (3, -1).

مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x – y + C = 0. للعثور على المعامل C، نعوض بإحداثيات النقطة المعطاة A في التعبير الناتج.

نحصل على: 3 - 2 + C = 0، وبالتالي C = -1.

المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س – ص – 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دع النقطتين M 1 (x 1، y 1، z 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2) معطاة في الفضاء، فإن معادلة الخط الذي يمر بهذه النقاط هي:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

على المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

إذا كان x 1  x 2 و x = x 1، إذا كان x 1 = x 2.

جزء
= يسمى ك ميلمستقيم.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

إذا تم تخفيض المعادلة العامة للخط المستقيم Ax + By + C = 0 إلى الشكل:

وتعيين
، ثم تسمى المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم مع الميلك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه.

عن طريق القياس مع النقطة التي تعتبر معادلة الخط المستقيم من خلال ناقل عادي، يمكنك إدخال تعريف الخط المستقيم من خلال نقطة ومتجه التوجيه للخط المستقيم.

تعريف. كل ناقل غير الصفر ( 1,  2) التي تحقق عناصرها الشرط A 1 + B 2 = 0 يسمى المتجه الموجه للخط

الفأس + وو + C = 0.

مثال.أوجد معادلة الخط مع متجه الاتجاه (1، -1) ويمر بالنقطة أ(1، 2).

سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: Ax + By + C = 0. ووفقاً للتعريف، يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1أ + (-1)ب = 0، أي أ = ب.

إذن معادلة الخط المستقيم لها الصورة التالية: Ax + Ay + C = 0، أو x + y + C/A = 0.

عند x = 1، y = 2 نحصل على C/A = -3، أي المعادلة المطلوبة:

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С 0، فبالقسمة على –С نحصل على:
أو

، أين

المعنى الهندسي للمعاملات هو المعامل أهي إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع محور الثور و ب– إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور أوي.

مثال.معطاة المعادلة العامة للخط x – y + 1 = 0. أوجد معادلة هذا الخط مقسمة إلى شرائح.

ج = 1،
، أ = -1، ب = 1.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة Ax + By + C = 0 مقسوما على العدد
من اتصل عامل التطبيع، ثم نحصل

xcos + ysin - ع = 0 -

المعادلة العادية للخط.

يجب اختيار الإشارة  لعامل التطبيع بحيث С< 0.

p هو طول العمودي المسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم، و  هي الزاوية التي يشكلها هذا العمود مع الاتجاه الموجب لمحور الثور.

مثال.تم إعطاء المعادلة العامة للخط 12x – 5y – 65 = 0. مطلوب كتابة أنواع مختلفة من المعادلات لهذا الخط.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

المعادلة العادية للخط:

; كوس = 12/13؛ الخطيئة = -5/13؛ ع = 5.

تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في قطاعات، على سبيل المثال، خطوط مستقيمة موازية للمحاور أو تمر بأصل الإحداثيات.

مثال.يقطع الخط المستقيم الأجزاء الموجبة المتساوية على محاور الإحداثيات. اكتب معادلة الخط المستقيم إذا كانت مساحة المثلث المكون من هذه القطع 8 سم2.

معادلة الخط المستقيم هي :
, أ = ب = 1; أب/2 = 8؛ أ = 4؛ -4.

a = -4 غير مناسب حسب ظروف المشكلة.

المجموع:
أو س + ص - 4 = 0.

مثال.اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة A(-2, -3) ونقطة الأصل.

معادلة الخط المستقيم هي :
, حيث x 1 = y 1 = 0; س 2 = -2؛ ص 2 = -3.

الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذه الخطوط على أنها

.

خطان متوازيان إذا كان k 1 = k 2.

يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1/k 2 .

نظرية. الخطوط المباشرة Ax + Wu + C = 0 و A 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A متناسبة 1 =  أ، ب 1 =  ب. إذا أيضاً ج 1 =  ج، ثم تتطابق الخطوط.

تم العثور على إحداثيات نقطة تقاطع خطين كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة معينة

عمودي على هذا الخط.

تعريف. الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1, y 1) وعمودي على الخط المستقيم y = kx + b يمثل بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا تم إعطاء النقطة M(x). 0 ، ذ 0 )، ثم يتم تعريف المسافة إلى الخط المستقيم Аh + Ву + С =0 على أنها

.

دليل. لتكن النقطة M 1 (x 1, y 1) هي قاعدة العمود المسقط من النقطة M إلى الخط المستقيم المعطى. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

يمكن إيجاد الإحداثيات x 1 و y 1 عن طريق حل نظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط الذي يمر بنقطة معينة M 0 عمودي على خط معين.

إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س – س 0) + ب(ص – ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

.

لقد تم إثبات النظرية.

مثال.تحديد الزاوية بين السطور: y = -3x + 7; ص = 2س + 1.

ك 1 = -3؛ ك 2 = 2 تيراغرام =
;  = /4.

مثال.بيّن أن الخطين 3x – 5y + 7 = 0 و 10x + 6y – 3 = 0 متعامدان.

نجد: ك 1 = 3/5، ك 2 = -5/3، ك 1 ك 2 = -1، وبالتالي فإن الخطوط متعامدة.

مثال.فيما يلي رؤوس المثلث A(0; 1)، B(6; 5)، C(12; -1). أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

نجد معادلة الجانب AB:
; 4س = 6ص - 6؛

2س – 3ص + 3 = 0;

معادلة الارتفاع المطلوبة لها الشكل: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b.

ك = . ثم ص =
. لأن ويمر الارتفاع بالنقطة C، فإن إحداثياته ​​تحقق هذه المعادلة:
حيث ب = 17. المجموع:
.

الإجابة: 3س + 2ص - 34 = 0.

الهندسة التحليلية في الفضاء.

معادلة الخط في الفضاء.

معادلة خط في الفضاء بنقطة و

ناقلات الاتجاه

لنأخذ خطًا عشوائيًا ومتجهًا (م، ن، ع)، بالتوازي مع الخط المحدد. المتجه مُسَمًّى ناقل الدليلمستقيم.

على الخط المستقيم نأخذ نقطتين عشوائيتين M 0 (x 0 , y 0 , z 0) و M (x, y, z).

ض

م 1

دعونا نشير إلى ناقلات نصف القطر لهذه النقاط على أنها و ، من الواضح أن - =
.

لأن ثلاثة أبعاد
و على خط مستقيم، فالعلاقة صحيحة
= t، حيث t هي بعض المعلمات.

في المجموع يمكننا أن نكتب: = + ر.

لأن تتحقق هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة على الخط، فتصبح المعادلة الناتجة المعادلة البارامترية للخط.

يمكن تمثيل هذه المعادلة المتجهة في شكل إحداثي:

بتحويل هذا النظام ومساواة قيم المعلمة t نحصل على المعادلات القانونية للخط المستقيم في الفضاء:

.

تعريف. جيب التمام الاتجاهالمباشرة هي جيب تمام الاتجاه للمتجه ، والتي يمكن حسابها باستخدام الصيغ:

;

.

ومن هنا نحصل على: m: n: p = cos : cos : cos.

يتم استدعاء الأرقام m، n، p معاملات الزاويةمستقيم. لأن إذا كان متجهًا غير صفري، فلا يمكن أن تساوي m وn وp صفرًا في نفس الوقت، ولكن يمكن أن يساوي واحد أو اثنين من هذه الأرقام صفرًا. في هذه الحالة، في معادلة الخط، يجب أن تكون البسط المقابلة مساوية للصفر.

معادلة الخط المستقيم في مرور الفضاء

من خلال نقطتين.

إذا قمنا على خط مستقيم في الفضاء بوضع علامة على نقطتين عشوائيتين M 1 (x 1, y 1, z 1) وM 2 (x 2, y 2, z 2)، فإن إحداثيات هذه النقاط يجب أن تحقق معادلة الخط المستقيم حصل أعلاه:

.

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للنقطة M 1 يمكننا أن نكتب:

.

وبحل هذه المعادلات معًا نحصل على:

.

هذه هي معادلة الخط الذي يمر بنقطتين في الفضاء.

المعادلات العامة للخط المستقيم في الفضاء.

يمكن اعتبار معادلة الخط المستقيم بمثابة معادلة خط تقاطع طائرتين.

كما نوقش أعلاه، يمكن تحديد المستوى في شكل متجه بالمعادلة:

+ د = 0، حيث

- الطائرة عادية؛ - نصف القطر هو متجه نقطة عشوائية على المستوى.