يمكن حساب التباين للسمة. الاختلافات المطلقة

نطاق التباين (أو نطاق التباين) -هذا هو الفرق بين الحد الأقصى والحد الأدنى لقيم الخاصية:

في مثالنا، نطاق التباين في إنتاج نوبات العمال هو: في اللواء الأول R = 105-95 = 10 أطفال، في اللواء الثاني R = 125-75 = 50 طفلًا. (5 مرات أكثر). ويشير هذا إلى أن إنتاج اللواء الأول أكثر "استقرارا"، لكن اللواء الثاني لديه احتياطيات أكبر لزيادة الإنتاج، لأن إذا وصل جميع العمال إلى الحد الأقصى من الإنتاج لهذا اللواء، فيمكنه إنتاج 3 * 125 = 375 جزءًا، وفي اللواء الأول فقط 105 * 3 = 315 جزءًا.
إذا كانت القيم المتطرفة للخاصية ليست نموذجية بالنسبة للسكان، فسيتم استخدام النطاقات الربعية أو العشرية. يغطي النطاق الربعي RQ= Q3-Q1 50% من حجم السكان، ويغطي النطاق العشري الأول RD1 = D9-D1 80% من البيانات، ويغطي النطاق العشري الثاني RD2= D8-D2 – 60%.
عيب مؤشر نطاق التباين هو أن قيمته لا تعكس جميع تقلبات السمة.
أبسط مؤشر عام يعكس جميع تقلبات الخاصية هو متوسط ​​الانحراف الخطيوهو الوسط الحسابي للانحرافات المطلقة للخيارات الفردية عن قيمتها المتوسطة:

,
للبيانات المجمعة
,
حيث xi هي قيمة السمة في سلسلة منفصلة أو منتصف الفاصل الزمني في توزيع الفاصل الزمني.
في الصيغ المذكورة أعلاه، يتم أخذ الاختلافات في البسط بشكل معياري، وإلا، وفقًا لخاصية الوسط الحسابي، سيكون البسط دائمًا مساويًا للصفر. ولذلك، نادرا ما يستخدم متوسط ​​الانحراف الخطي في الممارسة الإحصائية، إلا في الحالات التي يكون فيها جمع المؤشرات دون مراعاة الإشارة منطقيا من الناحية الاقتصادية. وبمساعدتها، على سبيل المثال، يتم تحليل تكوين القوى العاملة وربحية الإنتاج وحجم التجارة الخارجية.
تباين السمةهو متوسط ​​مربع الانحرافات عن قيمتها المتوسطة:
تباين بسيط
,
التباين المرجح
.
يمكن تبسيط صيغة حساب التباين:

وبذلك يكون التباين يساوي الفرق بين متوسط ​​مربعات الخيار ومربع متوسط ​​خيار المجتمع:
.
ولكن بسبب جمع مربعات الانحرافات فإن التباين يعطي فكرة مشوهة عن الانحرافات، فيحسب المتوسط ​​على أساسه الانحراف المعياري، والذي يوضح مدى انحراف المتغيرات المحددة للسمة عن متوسط ​​قيمتها. يتم حسابه بأخذ الجذر التربيعي للتباين:
للبيانات غير المجمعة
,
لسلسلة الاختلاف

كلما كانت قيمة التباين والانحراف المعياري أصغر، كلما كان المجتمع أكثر تجانسًا، كلما كانت القيمة المتوسطة أكثر موثوقية (نموذجية).
يُطلق على متوسط ​​الانحراف الخطي والمعياري أرقام مسماة، أي يتم التعبير عنها بوحدات قياس خاصية معينة، وهي متطابقة في المحتوى وقريبة في المعنى.
يوصى بحساب الاختلافات المطلقة باستخدام الجداول.
الجدول 3 - حساب خصائص التباين (باستخدام مثال فترة البيانات الخاصة بمخرجات الوردية لعمال الطاقم)

	عدد العمال	منتصف الفاصل	القيم المحسوبة
المجموع:

متوسط ​​​​إنتاج التحول للعمال:

متوسط ​​الانحراف الخطي:

تباين الإنتاج:

الانحراف المعياري لإنتاج الأفراد العاملين عن متوسط ​​الإنتاج:
.

1 حساب التشتت باستخدام طريقة اللحظات

يتضمن حساب الفروق عمليات حسابية مرهقة (خاصة إذا تم التعبير عن المتوسط ​​كرقم كبير مع عدة منازل عشرية). يمكن تبسيط الحسابات باستخدام صيغة مبسطة وخصائص التشتت.
يتميز التشتت بالخصائص التالية:

1. إذا تم تخفيض أو زيادة جميع قيم الخاصية بنفس القيمة A، فلن ينخفض ​​​​التشتت:

,

، ثم أو
باستخدام خصائص التشتت وتقليل جميع متغيرات المجتمع أولاً بالقيمة A، ثم القسمة على قيمة الفاصل الزمني h، نحصل على صيغة لحساب التشتت في سلسلة التباين بفواصل زمنية متساوية بطريقة:
,
أين يتم حساب التشتت بطريقة العزوم؟
ح – قيمة الفاصل الزمني لسلسلة التغيير؛
- خيار القيم الجديدة (المحولة)؛
A هي قيمة ثابتة، يتم استخدامها كوسط الفاصل الزمني بأعلى تردد؛ أو الخيار ذو التردد الأعلى؛
- مربع لحظة الترتيب الأول؛
- لحظة الترتيب الثاني.
دعونا نحسب التشتت باستخدام طريقة اللحظات بناءً على البيانات المتعلقة بمخرجات التحول لعمال الفريق.
الجدول 4 - حساب التباين باستخدام طريقة العزوم

مجموعات من عمال الإنتاج، أجهزة الكمبيوتر.	عدد العمال	منتصف الفاصل	القيم المحسوبة

إجراء الحساب:

1. نحسب التباين:

2 حساب تباين الخاصية البديلة

ومن بين الخصائص التي تدرسها الإحصائيات، هناك أيضًا تلك التي لها معنيان متنافيان فقط. هذه علامات بديلة. ويتم إعطاؤهما، على التوالي، قيمتين كميتين: الخياران 1 و0. وتكرار الخيار 1، الذي يُشار إليه بالرمز p، هو نسبة الوحدات التي تمتلك هذه الخاصية. الفرق 1-r=q هو تكرار الخيارات 0. وهكذا،

الحادي عشر

الوسط الحسابي للعلامة البديلة
لأن ع+ف=1.

تباين السمات البديلة
، لأن 1-ص=ف
وبالتالي فإن تباين صفة بديلة يساوي حاصل ضرب نسبة الوحدات التي تمتلك هذه الخاصية ونسبة الوحدات التي لا تمتلك هذه الخاصية.
إذا كانت القيم 1 و0 تحدث بشكل متساوٍ في كثير من الأحيان، أي p=q، فإن التباين يصل إلى الحد الأقصى pq=0.25.
يتم استخدام تباين السمة البديلة في استبيانات العينات، على سبيل المثال، جودة المنتج.

3 التباين بين المجموعة. قاعدة إضافة التباين

التشتت، على عكس خصائص التباين الأخرى، هو كمية مضافة. أي في المجموع الذي ينقسم إلى مجموعات حسب خصائص العامل X , تباين الخاصية الناتجة ذيمكن تحليلها إلى التباين داخل كل مجموعة (داخل المجموعات) والتباين بين المجموعات (بين المجموعات). ومن ثم، إلى جانب دراسة تباين السمات في جميع أنحاء المجتمع ككل، يصبح من الممكن دراسة التباين في كل مجموعة، وكذلك بين هذه المجموعات.

التباين الكلييقيس الاختلاف في السمة فيفي مجملها تحت تأثير كافة العوامل المسببة لهذا الاختلاف (الانحرافات). وهو يساوي متوسط ​​​​الانحراف المربع للقيم الفردية للسمة فيمن المتوسط ​​الكلي ويمكن حسابه على أنه تباين بسيط أو مرجح.
التباين بين المجموعاتيميز الاختلاف في السمة الناتجة فيالناجمة عن تأثير علامة العامل Xوالتي شكلت أساس التجمع. وهو يميز تباين متوسطات المجموعة ويساوي متوسط ​​مربع انحرافات متوسطات المجموعة عن المتوسط ​​العام:
,
أين هو الوسط الحسابي للمجموعة i؛
- عدد الوحدات في المجموعة i (تردد المجموعة i)؛
– المتوسط ​​العام للسكان .
التباين داخل المجموعةيعكس التباين العشوائي، أي ذلك الجزء من التباين الناتج عن تأثير العوامل غير المحسوبة ولا يعتمد على سمة العامل التي تشكل أساس التجميع. وهو يميز تباين القيم الفردية بالنسبة لمتوسطات المجموعة ويساوي متوسط ​​​​الانحراف المربع للقيم الفردية للسمة فيضمن مجموعة من الوسط الحسابي لهذه المجموعة (متوسط ​​المجموعة) ويتم حسابه على أنه التباين البسيط أو المرجح لكل مجموعة:
أو ,
أين هو عدد الوحدات في المجموعة
بناءً على التباينات داخل المجموعة لكل مجموعة، يمكن تحديدها المتوسط ​​العام للتباينات داخل المجموعة:
.
تسمى العلاقة بين التشتتات الثلاثة قواعد إضافة الفروق، والتي بموجبها يساوي التباين الإجمالي مجموع التباين بين المجموعة ومتوسط ​​التباينات داخل المجموعة:

مثال. عند دراسة تأثير فئة التعريفة (المؤهل) للعمال على مستوى إنتاجية عملهم، تم الحصول على البيانات التالية.
الجدول 5 - توزيع العمال حسب متوسط ​​الإنتاج في الساعة.

№ ص / ص	عمال الفئة الرابعة				عمال الفئة الخامسة
	انتاج | عامل، أجهزة الكمبيوتر،				انتاج | عامل، أجهزة الكمبيوتر،
1 2 3 4 5 6	7 9 9 10 12 13	7-10=-3 9-10=-1 -1 0 2 3	9 1 1 0 4 9	1 2 3 4	14 14 15 17	14-15=-1 -1 0 2	1 1 0 4

في هذا المثال، يتم تقسيم العمال إلى مجموعتين وفقا لخصائص العامل X– المؤهلات التي تتميز برتبتها. وتختلف السمة الناتجة - الإنتاج - تحت تأثيرها (التباين بين المجموعات) وبسبب عوامل عشوائية أخرى (التباين داخل المجموعة). الهدف هو قياس هذه الاختلافات باستخدام ثلاثة تباينات: الإجمالي، وبين المجموعات، وداخل المجموعات. يوضح معامل التحديد التجريبي نسبة التباين في الخاصية الناتجة فيتحت تأثير علامة العامل X. بقية الاختلاف الكلي فيناجمة عن تغيرات في عوامل أخرى.
في المثال، معامل التحديد التجريبي هو:
أو 66.7%،
وهذا يعني أن 66.7% من التباين في إنتاجية العاملين يرجع إلى اختلاف المؤهلات، و33.3% يرجع إلى تأثير عوامل أخرى.
علاقة الارتباط التجريبيةيوضح العلاقة الوثيقة بين خصائص التجميع والأداء. يتم حسابه على أنه الجذر التربيعي لمعامل التحديد التجريبي:

يمكن لنسبة الارتباط التجريبية، مثل، أن تأخذ قيمًا من 0 إلى 1.
إذا لم يكن هناك اتصال، ثم =0. في هذه الحالة = 0، أي أن متوسطات المجموعة متساوية مع بعضها البعض ولا يوجد اختلاف بين المجموعات. وهذا يعني أن خاصية التجميع - العامل لا تؤثر على تكوين التباين العام.
إذا كان الاتصال فعالا، ثم =1. في هذه الحالة، يكون تباين متوسط ​​المجموعة مساويًا للتباين الإجمالي ()، أي أنه لا يوجد تباين داخل المجموعة. وهذا يعني أن خاصية التجميع تحدد بشكل كامل تباين الخاصية الناتجة قيد الدراسة.
كلما اقتربت قيمة نسبة الارتباط من الوحدة، كلما كانت العلاقة بين الخصائص أقرب وأقرب إلى الاعتماد الوظيفي.
لتقييم نوعي مدى قرب الروابط بين الخصائص، يتم استخدام علاقات تشادوك.

في المثال مما يشير إلى وجود علاقة وثيقة بين إنتاجية العامل ومؤهلاته.

وفقًا لمسح العينة، تم تجميع المودعين وفقًا لحجم ودائعهم في بنك سبيربنك بالمدينة:

يُعرِّف:

1) نطاق الاختلاف؛

2) متوسط ​​حجم الودائع.

3) متوسط ​​الانحراف الخطي.

4) التشتت.

5) الانحراف المعياري.

6) معامل تباين الاشتراكات.

حل:

تحتوي سلسلة التوزيع هذه على فترات زمنية مفتوحة. في مثل هذه المتسلسلة، يُفترض تقليديًا أن تكون قيمة الفاصل الزمني للمجموعة الأولى مساوية لقيمة الفاصل الزمني للمجموعة التالية، وقيمة الفاصل الزمني للمجموعة الأخيرة تساوي قيمة الفاصل الزمني للمجموعة الأخيرة السابق.

قيمة الفترة من المجموعة الثانية تساوي 200، وبالتالي فإن قيمة الفترة من المجموعة الأولى هي أيضا تساوي 200. قيمة الفترة من المجموعة قبل الأخيرة تساوي 200، مما يعني أن الفترة الأخيرة سوف أيضا لها قيمة 200.

1) دعونا نحدد نطاق التباين على أنه الفرق بين أكبر وأصغر قيمة للسمة:

نطاق الاختلاف في حجم الوديعة هو 1000 روبل.

2) سيتم تحديد متوسط ​​حجم المساهمة باستخدام معادلة المتوسط ​​الحسابي المرجح.

دعونا أولاً نحدد القيمة المنفصلة للسمة في كل فترة. للقيام بذلك، باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي البسيط، نوجد نقاط منتصف الفترات.

القيمة المتوسطة للفاصل الزمني الأول ستكون:

والثاني - 500، الخ.

دعنا ندخل نتائج الحساب في الجدول:

مبلغ الإيداع، فرك.	عدد المودعين، و	منتصف الفاصل الزمني، x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
المجموع	400	-	312000

يبلغ متوسط ​​الإيداع في بنك سبيربنك بالمدينة 780 روبل:

3) متوسط ​​الانحراف الخطي هو الوسط الحسابي للانحرافات المطلقة للقيم الفردية للخاصية عن المتوسط ​​الإجمالي:

يكون الإجراء الخاص بحساب متوسط ​​الانحراف الخطي في سلسلة التوزيع الفاصلة كما يلي:

1. يتم حساب الوسط الحسابي المرجح كما هو موضح في الفقرة (2).

2. يتم تحديد الانحرافات المطلقة عن المتوسط:

3. يتم ضرب الانحرافات الناتجة بالترددات:

4. أوجد مجموع الانحرافات الموزونة دون مراعاة العلامة:

5. مجموع الانحرافات المرجحة مقسوم على مجموع الترددات:

من الملائم استخدام جدول بيانات الحساب:

مبلغ الإيداع، فرك.	عدد المودعين، و	منتصف الفاصل الزمني، x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
المجموع	400	-	-	-	81280

متوسط ​​​​الانحراف الخطي لحجم إيداع عملاء سبيربنك هو 203.2 روبل.

4) التشتت هو الوسط الحسابي لمربعات الانحرافات لكل قيمة سمة عن الوسط الحسابي.

يتم حساب التباين في سلسلة التوزيع الفاصلة باستخدام الصيغة:

ويكون إجراء حساب التباين في هذه الحالة كما يلي:

1. تحديد الوسط الحسابي المرجح كما هو موضح في الفقرة (2).

2. ابحث عن الانحرافات عن المتوسط:

3. قم بتربيع انحراف كل خيار عن المتوسط:

4. اضرب مربعات الانحرافات في الأوزان (التكرارات):

5. تلخيص المنتجات الناتجة:

6. يقسم المبلغ الناتج على مجموع الأوزان (التكرارات):

لنضع الحسابات في جدول:

مبلغ الإيداع، فرك.	عدد المودعين، و	منتصف الفاصل الزمني، x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
المجموع	400	-	-	-	23040000

تصف هذه الصفحة مثالًا قياسيًا لإيجاد التباين، ويمكنك أيضًا الاطلاع على المشكلات الأخرى للعثور عليه

مثال 1. تحديد المجموعة ومتوسط ​​المجموعة والتباين الكلي والمجموع

مثال 2. إيجاد التباين ومعامل التباين في جدول التجميع

مثال 3. إيجاد التباين في سلسلة منفصلة

مثال 4. البيانات التالية متاحة لمجموعة مكونة من 20 طالبًا بالمراسلة. من الضروري بناء سلسلة فاصلة لتوزيع الخاصية وحساب متوسط ​​قيمة الخاصية ودراسة تشتتها

دعونا نبني تجميع الفاصل الزمني. دعونا نحدد نطاق الفاصل الزمني باستخدام الصيغة:

حيث X max هي القيمة القصوى لخاصية التجميع؛
X دقيقة - الحد الأدنى لقيمة خاصية التجميع؛
ن – عدد الفواصل الزمنية:

نحن نقبل ن = 5. الخطوة هي: ح = (192 - 159)/ 5 = 6.6

لنقم بإنشاء تجميع بفواصل زمنية

لمزيد من الحسابات، سنقوم ببناء جدول مساعد:

X"i – منتصف الفاصل الزمني. (على سبيل المثال، منتصف الفاصل الزمني 159 – 165.6 = 162.3)

نحدد متوسط ​​طول الطلاب باستخدام صيغة المتوسط ​​الحسابي المرجح:

دعونا نحدد التباين باستخدام الصيغة:

يمكن تحويل الصيغة على النحو التالي:

من هذه الصيغة يتبع ذلك التباين يساوي الفرق بين متوسط ​​مربعات الخيارات والمربع والمتوسط.

التشتت في سلسلة الاختلافمع فترات متساوية باستخدام طريقة اللحظات يمكن حسابها بالطريقة التالية باستخدام خاصية التشتت الثانية (تقسيم جميع الخيارات على قيمة الفاصل الزمني). تحديد التباين، يتم حسابها باستخدام طريقة اللحظات، باستخدام الصيغة التالية أقل شاقة:

حيث i هي قيمة الفاصل الزمني؛
A هو صفر تقليدي، وهو مناسب لاستخدام منتصف الفاصل الزمني بأعلى تردد؛
m1 هو مربع لحظة الترتيب الأول؛
م2 - لحظة الدرجة الثانية

تباين السمات البديلة (إذا كانت هناك تغيرات مميزة في مجتمع إحصائي بحيث لا يوجد سوى خيارين متبادلين فقط، فإن هذا التباين يسمى البديل) يمكن حسابه باستخدام الصيغة:

بالتعويض q = 1- p في صيغة التشتت هذه، نحصل على:

أنواع التباين

التباين الكلييقيس تباين الخاصية بين جميع السكان ككل تحت تأثير جميع العوامل التي تسبب هذا التباين. وهو يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للخاصية x عن القيمة المتوسطة الإجمالية لـ x ويمكن تعريفه على أنه تباين بسيط أو تباين مرجح.

التباين داخل المجموعة يميز الاختلاف العشوائي، أي. جزء من التباين الناتج عن تأثير عوامل غير محسوبة ولا يعتمد على سمة العامل التي تشكل أساس المجموعة. مثل هذا التشتت يساوي متوسط ​​مربع انحرافات القيم الفردية للسمة داخل المجموعة X عن الوسط الحسابي للمجموعة ويمكن حسابه على أنه تشتت بسيط أو تشتت مرجح.

هكذا، مقاييس التباين داخل المجموعةتباين السمة داخل المجموعة ويتم تحديده بواسطة الصيغة:

حيث xi هو متوسط ​​المجموعة؛
ni هو عدد الوحدات في المجموعة.

على سبيل المثال، تظهر التباينات داخل المجموعة التي يجب تحديدها في مهمة دراسة تأثير مؤهلات العمال على مستوى إنتاجية العمل في ورشة العمل اختلافات في الإنتاج في كل مجموعة ناجمة عن جميع العوامل المحتملة (الحالة الفنية للمعدات، وتوافر المعدات). الأدوات والمواد، عمر العمال، كثافة اليد العاملة، وما إلى ذلك.)، باستثناء الاختلافات في فئة المؤهلات (داخل المجموعة، جميع العمال لديهم نفس المؤهلات).

التوقع والتباين هما الخصائص العددية الأكثر استخدامًا للمتغير العشوائي. وهي تصف أهم سمات التوزيع: موضعه ودرجة تشتته. في العديد من المسائل العملية، لا يمكن الحصول على الخاصية الكاملة والشاملة للمتغير العشوائي - قانون التوزيع - على الإطلاق، أو لا تكون هناك حاجة إليها على الإطلاق. وفي هذه الحالات، يقتصر الأمر على وصف تقريبي للمتغير العشوائي باستخدام الخصائص العددية.

غالبًا ما تسمى القيمة المتوقعة ببساطة بالقيمة المتوسطة للمتغير العشوائي. تشتت المتغير العشوائي هو إحدى خصائص التشتت، أي انتشار المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي.

توقع وجود متغير عشوائي منفصل

دعونا نقترب من مفهوم التوقع الرياضي، أولا اعتمادا على التفسير الميكانيكي لتوزيع متغير عشوائي منفصل. دع كتلة الوحدة تتوزع بين نقاط المحور السيني س1 , س 2 , ..., سن، وكل نقطة مادية لها كتلة مقابلة ص1 , ص 2 , ..., صن. مطلوب تحديد نقطة واحدة على محور الإحداثي، والتي تميز موضع نظام النقاط المادية بأكمله، مع مراعاة كتلها. ومن الطبيعي أن يتخذ مركز كتلة نظام النقاط المادية مثل هذه النقطة. هذا هو المتوسط ​​المرجح للمتغير العشوائي X، والتي الإحداثي لكل نقطة سأنايدخل بـ "وزن" يساوي الاحتمال المقابل. متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة Xويسمى توقعاتها الرياضية.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المتقطع هو مجموع حاصل ضرب جميع قيمه الممكنة واحتمالات هذه القيم:

مثال 1.تم تنظيم يانصيب مربح للجانبين. هناك 1000 فوز، منها 400 10 روبل. 300 - 20 روبل لكل منهما. 200 - 100 روبل لكل منهما. و100 - 200 روبل لكل منهما. ما هو متوسط ​​المكاسب للشخص الذي يشتري تذكرة واحدة؟

حل. سنجد متوسط ​​المكاسب إذا قسمنا إجمالي مبلغ المكاسب، وهو 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل، على 1000 (إجمالي مبلغ المكاسب). ثم نحصل على 50000/1000 = 50 روبل. ولكن يمكن تقديم التعبير الخاص بحساب متوسط ​​المكاسب بالشكل التالي:

من ناحية أخرى، في هذه الظروف، يكون حجم الفوز متغيرًا عشوائيًا، والذي يمكن أن يأخذ قيم 10 و20 و100 و200 روبل. مع احتمالات تساوي 0.4، على التوالي؛ 0.3؛ 0.2; 0.1. ولذلك فإن متوسط ​​الربح المتوقع يساوي مجموع منتجات حجم المكاسب واحتمال الحصول عليها.

مثال 2.قرر الناشر نشر كتاب جديد. يخطط لبيع الكتاب مقابل 280 روبل، سيحصل هو نفسه على 200 منها، 50 - مكتبة و 30 - المؤلف. يقدم الجدول معلومات حول تكاليف نشر كتاب واحتمال بيع عدد معين من نسخ الكتاب.

أوجد الربح المتوقع للناشر.

حل. المتغير العشوائي "الربح" يساوي الفرق بين الدخل من المبيعات وتكلفة النفقات. على سبيل المثال، إذا تم بيع 500 نسخة من كتاب، فإن الدخل من البيع هو 200 * 500 = 100000، وتكلفة النشر 225000 روبل. وهكذا يواجه الناشر خسارة قدرها 125000 روبل. ويلخص الجدول التالي القيم المتوقعة للمتغير العشوائي – الربح:

رقم	ربح سأنا	احتمالا صأنا	سأنا صأنا
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
المجموع:		1,00	25000

وهكذا نحصل على التوقع الرياضي لربح الناشر:

.

مثال 3.احتمال الضرب برصاصة واحدة ص= 0.2. تحديد استهلاك المقذوفات التي توفر توقعًا رياضيًا لعدد الضربات يساوي 5.

حل. ومن نفس صيغة التوقع الرياضي التي استخدمناها حتى الآن، نعبر عن ذلك س- استهلاك القشرة:

.

مثال 4.تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي سعدد الضربات بثلاث طلقات، إذا كان احتمال الإصابة بكل طلقة ص = 0,4 .

تلميح: أوجد احتمال قيم المتغيرات العشوائية بواسطة صيغة برنولي .

خصائص التوقع الرياضي

دعونا ننظر في خصائص التوقع الرياضي.

الخاصية 1.التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذا الثابت:

الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي:

الملكية 3.التوقع الرياضي لمجموع (الفرق) للمتغيرات العشوائية يساوي مجموع (الفرق) لتوقعاتها الرياضية:

الخاصية 4.التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية يساوي منتج توقعاتها الرياضية:

العقار 5.إذا كانت جميع قيم المتغير العشوائي Xالنقصان (الزيادة) بنفس العدد معفإن توقعه الرياضي سينخفض ​​(يزيد) بنفس العدد:

عندما لا يمكنك أن تقتصر على التوقعات الرياضية فقط

في معظم الحالات، التوقع الرياضي فقط هو الذي لا يمكنه وصف المتغير العشوائي بشكل كافٍ.

دع المتغيرات العشوائية Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:

معنى X	احتمالا
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

معنى ي	احتمالا
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

التوقعات الرياضية لهذه الكميات هي نفسها - تساوي الصفر:

ومع ذلك، فإن أنماط توزيعها مختلفة. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ فقط القيم التي تختلف قليلاً عن التوقع الرياضي والمتغير العشوائي ييمكن أن تأخذ القيم التي تنحرف بشكل كبير عن التوقعات الرياضية. مثال مشابه: متوسط ​​الأجر لا يجعل من الممكن الحكم على حصة العمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. بمعنى آخر، لا يمكن للمرء أن يحكم من خلال التوقع الرياضي على أي انحرافات محتملة عنه، على الأقل في المتوسط. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على تباين المتغير العشوائي.

تباين المتغير العشوائي المنفصل

التباينالمتغير العشوائي المنفصل Xيسمى التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن التوقع الرياضي:

الانحراف المعياري للمتغير العشوائي Xتسمى القيمة الحسابية للجذر التربيعي لتباينه:

.

مثال 5.حساب التباينات والانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو ي، قوانين التوزيع موضحة في الجداول أعلاه.

حل. التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية Xو يكما هو موضح أعلاه، تساوي الصفر. وفقا لصيغة التشتت في ه(X)=ه(ذ)=0 نحصل على:

ثم الانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو يماكياج

.

وبالتالي، وبنفس التوقعات الرياضية، تم حساب تباين المتغير العشوائي Xصغير جدًا، ولكنه متغير عشوائي ي- بارِز. وهذا نتيجة للاختلافات في توزيعها.

مثال 6.لدى المستثمر 4 مشاريع استثمارية بديلة. ويلخص الجدول الربح المتوقع في هذه المشاريع مع الاحتمالية المقابلة.

مشروع 1	المشروع 2	المشروع 3	المشروع 4
500, ص=1	1000, ص=0,5	500, ص=0,5	500, ص=0,5
	0, ص=0,5	1000, ص=0,25	10500, ص=0,25
		0, ص=0,25	9500, ص=0,25

أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري لكل بديل.

حل. دعونا نبين كيفية حساب هذه القيم للبديل الثالث:

يلخص الجدول القيم الموجودة لجميع البدائل.

جميع البدائل لها نفس التوقعات الرياضية. وهذا يعني أنه على المدى الطويل، سيحصل الجميع على نفس الدخل. يمكن تفسير الانحراف المعياري على أنه مقياس للمخاطر - كلما زاد ارتفاعه، زادت مخاطر الاستثمار. المستثمر الذي لا يريد الكثير من المخاطرة سيختار المشروع 1 لأنه يحتوي على أصغر انحراف معياري (0). إذا كان المستثمر يفضل المخاطرة والعوائد المرتفعة في فترة قصيرة، فإنه سيختار المشروع ذو الانحراف المعياري الأكبر - المشروع 4.

خصائص التشتت

دعونا نقدم خصائص التشتت.

الخاصية 1.تباين القيمة الثابتة هو صفر:

الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التشتت عن طريق تربيعه:

.

الملكية 3.إن تباين المتغير العشوائي يساوي التوقع الرياضي لمربع هذه القيمة، والذي يطرح منه مربع التوقع الرياضي للقيمة نفسها:

,

أين .

الخاصية 4.تباين مجموع (فرق) المتغيرات العشوائية يساوي مجموع (فرق) تبايناتها:

مثال 7.ومن المعروف أن المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط: −3 و 7. بالإضافة إلى ذلك، فإن التوقع الرياضي معروف: ه(X) = 4 . أوجد تباين المتغير العشوائي المنفصل.

حل. دعونا نشير بواسطة صالاحتمالية التي يأخذ بها المتغير العشوائي قيمة س1 = −3 . ثم احتمال القيمة س2 = 7 سيكون 1 - ص. دعونا نشتق معادلة التوقع الرياضي:

ه(X) = س 1 ص + س 2 (1 − ص) = −3ص + 7(1 − ص) = 4 ,

حيث نحصل على الاحتمالات: ص= 0.3 و 1 - ص = 0,7 .

قانون توزيع المتغير العشوائي:

X	−3	7
ص	0,3	0,7

نحسب تباين هذا المتغير العشوائي باستخدام الصيغة من الخاصية 3 للتشتت:

د(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي بنفسك، ثم انظر إلى الحل

مثال 8.المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط. يقبل أكبر القيم 3 باحتمال 0.4. بالإضافة إلى ذلك، يتم معرفة تباين المتغير العشوائي د(X) = 6 . أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.

مثال 9.هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة. يتم سحب 3 كرات من الجرة. عدد الكرات البيضاء بين الكرات المسحوبة هو متغير عشوائي متقطع X. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.

حل. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ القيم 0، 1، 2، 3. ويمكن حساب الاحتمالات المقابلة منها قاعدة الضرب الاحتمالية. قانون توزيع المتغير العشوائي:

X	0	1	2	3
ص	1/30	3/10	1/2	1/6

ومن هنا التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي:

م(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

تباين متغير عشوائي معين هو:

د(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

التوقع والتباين للمتغير العشوائي المستمر

بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، فإن التفسير الميكانيكي للتوقع الرياضي سيحتفظ بنفس المعنى: مركز الكتلة لوحدة الكتلة موزعة بشكل مستمر على المحور السيني مع الكثافة F(س). على عكس المتغير العشوائي المنفصل، الذي تكون دالته وسيطة سأنايتغير فجأة؛ بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، تتغير الوسيطة بشكل مستمر. لكن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر يرتبط أيضًا بمتوسط ​​قيمته.

للعثور على التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي مستمر، تحتاج إلى إيجاد تكاملات محددة . إذا تم إعطاء دالة الكثافة لمتغير عشوائي مستمر، فإنه يدخل مباشرة في التكامل. إذا تم إعطاء دالة التوزيع الاحتمالي، فمن خلال التمييز بينها، تحتاج إلى العثور على دالة الكثافة.

ويسمى المتوسط ​​الحسابي لجميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر به توقع رياضي، يُشار إليه بـ أو .

نظرية الاحتمالات هي فرع خاص من الرياضيات يدرسه فقط طلاب مؤسسات التعليم العالي. هل تحب الحسابات والصيغ؟ ألا تخاف من احتمالات التعرف على التوزيع الطبيعي والانتروبيا الجماعية والتوقعات الرياضية وتشتت متغير عشوائي منفصل؟ ثم سيكون هذا الموضوع مثيرًا للاهتمام بالنسبة لك. دعونا نتعرف على العديد من أهم المفاهيم الأساسية لهذا الفرع من العلوم.

دعونا نتذكر الأساسيات

وحتى لو كنت تتذكر أبسط مفاهيم نظرية الاحتمالات، فلا تهمل الفقرات الأولى من المقال. النقطة المهمة هي أنه بدون فهم واضح للأساسيات، لن تتمكن من العمل مع الصيغ التي تمت مناقشتها أدناه.

لذلك، تحدث بعض الأحداث العشوائية، وبعض التجارب. نتيجة للإجراءات التي نتخذها، يمكننا الحصول على العديد من النتائج - بعضها يحدث في كثير من الأحيان، والبعض الآخر أقل في كثير من الأحيان. احتمالية الحدث هي نسبة عدد النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل من نوع واحد إلى إجمالي عدد النتائج المحتملة. فقط معرفة التعريف الكلاسيكي لهذا المفهوم يمكنك البدء في دراسة التوقع الرياضي وتشتت المتغيرات العشوائية المستمرة.

متوسط

عندما كنت في المدرسة، أثناء دروس الرياضيات، بدأت العمل بالوسط الحسابي. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات، وبالتالي لا يمكن تجاهله. الشيء الرئيسي بالنسبة لنا في الوقت الحالي هو أننا سنواجهه في صيغ التوقع الرياضي وتشتت المتغير العشوائي.

لدينا سلسلة من الأرقام ونريد إيجاد الوسط الحسابي لها. كل ما هو مطلوب منا هو تلخيص كل ما هو متاح وتقسيمه على عدد العناصر في التسلسل. لنحصل على أرقام من 1 إلى 9. مجموع العناصر سيكون 45، وسنقسم هذه القيمة على 9. الإجابة: - 5.

تشتت

من الناحية العلمية، التشتت هو متوسط ​​مربع انحرافات القيم التي تم الحصول عليها للخاصية من الوسط الحسابي. يُشار إليه بحرف لاتيني كبير D. ما هو المطلوب لحسابه؟ لكل عنصر من عناصر المتتابعة، نحسب الفرق بين الرقم الموجود والوسط الحسابي ونقوم بتربيعه. سيكون هناك بالضبط العديد من القيم التي يمكن أن تكون هناك نتائج للحدث الذي نفكر فيه. بعد ذلك، نلخص كل ما تم تلقيه ونقسمه على عدد العناصر في التسلسل. إذا كان لدينا خمس نتائج محتملة، نقسم على خمسة.

يحتوي التشتت أيضًا على خصائص يجب تذكرها لاستخدامها عند حل المشكلات. على سبيل المثال، عند زيادة متغير عشوائي بمقدار X مرة، فإن التباين يزيد بمقدار X مربع مرة (أي X*X). وهي لا تقل أبداً عن الصفر ولا تعتمد على إزاحة القيم لأعلى أو لأسفل بمقادير متساوية. بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للتجارب المستقلة، يكون تباين المجموع مساويًا لمجموع التباينات.

الآن نحن بالتأكيد بحاجة إلى النظر في أمثلة على تباين المتغير العشوائي المنفصل والتوقع الرياضي.

لنفترض أننا أجرينا 21 تجربة وحصلنا على 7 نتائج مختلفة. وقد لاحظنا كل واحد منهم 1، 2، 2، 3، 4، 4 و5 مرات على التوالي. ماذا سيكون التباين؟

أولاً، دعونا نحسب الوسط الحسابي: مجموع العناصر، بالطبع، هو 21. اقسمه على 7، لتحصل على 3. الآن اطرح 3 من كل رقم في التسلسل الأصلي، وقم بتربيع كل قيمة، ثم أضف النتائج معًا. والنتيجة هي 12. والآن كل ما علينا فعله هو قسمة العدد على عدد العناصر، ويبدو أن هذا كل شيء. ولكن هناك صيد! دعونا نناقش ذلك.

الاعتماد على عدد التجارب

اتضح أنه عند حساب التباين، يمكن أن يحتوي المقام على أحد الرقمين: إما N أو N-1. هنا N هو عدد التجارب التي تم إجراؤها أو عدد العناصر في التسلسل (وهو نفس الشيء في الأساس). على ماذا يعتمد هذا؟

إذا كان عدد الاختبارات مقيسًا بالمئات، فيجب أن نضع N في المقام، وإذا كان بالوحدات، فـ N-1. قرر العلماء رسم الحدود بشكل رمزي تمامًا: اليوم يمر عبر الرقم 30. إذا أجرينا أقل من 30 تجربة، فسنقسم المبلغ على N-1، وإذا كان أكثر، ثم على N.

مهمة

لنعد إلى مثالنا لحل مشكلة التباين والتوقع الرياضي. لقد حصلنا على الرقم الوسيط 12، والذي يجب قسمته على N أو N-1. وبما أننا أجرينا 21 تجربة، أي أقل من 30، فسنختار الخيار الثاني. فالجواب هو: التباين هو 12 / 2 = 2.

القيمة المتوقعة

دعنا ننتقل إلى المفهوم الثاني الذي يجب أن نتناوله في هذا المقال. التوقع الرياضي هو نتيجة جمع كل النتائج الممكنة مضروبة في الاحتمالات المقابلة لها. من المهم أن نفهم أن القيمة التي تم الحصول عليها، وكذلك نتيجة حساب التباين، يتم الحصول عليها مرة واحدة فقط للمشكلة بأكملها، بغض النظر عن عدد النتائج التي تؤخذ في الاعتبار فيها.

إن صيغة التوقع الرياضي بسيطة للغاية: نحن نأخذ النتيجة، ونضربها في احتمالها، ونضيف نفس الشيء للنتيجة الثانية والثالثة، وما إلى ذلك. ليس من الصعب حساب كل ما يتعلق بهذا المفهوم. على سبيل المثال، مجموع القيم المتوقعة يساوي القيمة المتوقعة للمجموع. وينطبق الشيء نفسه على العمل. ليست كل كمية في نظرية الاحتمالات تسمح لك بإجراء مثل هذه العمليات البسيطة. لنأخذ المشكلة ونحسب معنى المفهومين اللذين درسناهما في وقت واحد. بالإضافة إلى ذلك، لقد تشتت انتباهنا بالنظرية - فقد حان وقت الممارسة.

مثال آخر

أجرينا 50 تجربة وحصلنا على 10 أنواع من النتائج - أرقام من 0 إلى 9 - تظهر بنسب مئوية مختلفة. وهي على التوالي: 2%، 10%، 4%، 14%، 2%، 18%، 6%، 16%، 10%، 18%. تذكر أنه للحصول على الاحتمالات، تحتاج إلى تقسيم قيم النسبة المئوية على 100. وهكذا نحصل على 0.02؛ 0.1 الخ دعونا نقدم مثالاً لحل مشكلة تباين المتغير العشوائي والتوقع الرياضي.

نحسب الوسط الحسابي باستخدام الصيغة التي نتذكرها من المدرسة الابتدائية: 50/10 = 5.

والآن دعونا نحول الاحتمالات إلى عدد النتائج "بالأجزاء" لتسهيل العد. نحصل على 1، 5، 2، 7، 1، 9، 3، 8، 5 و 9. من كل قيمة تم الحصول عليها، نطرح الوسط الحسابي، وبعد ذلك نقوم بتربيع كل النتائج التي تم الحصول عليها. تعرف على كيفية القيام بذلك باستخدام العنصر الأول كمثال: 1 - 5 = (-4). التالي: (-4) * (-4) = 16. بالنسبة للقيم الأخرى، قم بإجراء هذه العمليات بنفسك. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح، فبعد جمعهم جميعًا، ستحصل على 90.

لنواصل حساب التباين والقيمة المتوقعة بقسمة 90 على N. لماذا نختار N بدلاً من N-1؟ صحيح، لأن عدد التجارب التي تم إجراؤها يتجاوز 30. إذن: 90/10 = 9. لقد حصلنا على التباين. إذا حصلت على رقم مختلف، فلا تيأس. على الأرجح، لقد ارتكبت خطأً بسيطًا في الحسابات. تحقق جيدًا مما كتبته، ومن المحتمل أن يكون كل شيء في مكانه الصحيح.

وأخيرا، تذكر صيغة التوقع الرياضي. لن نقوم بإجراء جميع الحسابات، سنكتب فقط إجابة يمكنك التحقق منها بعد استكمال جميع الإجراءات المطلوبة. وستكون القيمة المتوقعة 5.48. دعونا فقط نتذكر كيفية تنفيذ العمليات، باستخدام العناصر الأولى كمثال: 0*0.02 + 1*0.1... وهكذا. كما ترون، نحن ببساطة نضرب قيمة النتيجة باحتمالها.

انحراف

هناك مفهوم آخر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتشتت والتوقع الرياضي وهو الانحراف المعياري. يُشار إليه إما بالأحرف اللاتينية sd، أو بالحرف اليوناني الصغير "sigma". يوضح هذا المفهوم مدى انحراف القيم في المتوسط ​​عن الميزة المركزية. للعثور على قيمته، تحتاج إلى حساب الجذر التربيعي للتباين.

إذا قمت برسم رسم بياني للتوزيع الطبيعي وأردت رؤية الانحراف التربيعي عليه مباشرة، فيمكن القيام بذلك على عدة مراحل. خذ نصف الصورة إلى يسار أو يمين الوضع (القيمة المركزية)، وارسم عموديًا على المحور الأفقي بحيث تكون مساحات الأشكال الناتجة متساوية. حجم المقطع بين منتصف التوزيع والإسقاط الناتج على المحور الأفقي سيمثل الانحراف المعياري.

برمجة

كما يتبين من أوصاف الصيغ والأمثلة المقدمة، فإن حساب التباين والتوقع الرياضي ليس أبسط إجراء من وجهة نظر حسابية. وحتى لا نضيع الوقت، فمن المنطقي استخدام البرنامج المستخدم في مؤسسات التعليم العالي - ويسمى "R". يحتوي على وظائف تسمح لك بحساب القيم للعديد من المفاهيم من الإحصاء ونظرية الاحتمالات.

على سبيل المثال، يمكنك تحديد متجه للقيم. ويتم ذلك على النحو التالي: ناقلات<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

أخيراً

التشتت والتوقع الرياضي هما من العناصر التي بدونها يصعب حساب أي شيء في المستقبل. في الدورة الرئيسية للمحاضرات في الجامعات، يتم مناقشتها بالفعل في الأشهر الأولى من دراسة الموضوع. وبسبب عدم فهم هذه المفاهيم البسيطة وعدم القدرة على حسابها على وجه التحديد، يبدأ العديد من الطلاب على الفور في التخلف عن البرنامج ثم يحصلون لاحقًا على درجات سيئة في نهاية الجلسة، مما يحرمهم من المنح الدراسية.

تدرب لمدة أسبوع على الأقل، نصف ساعة يوميًا، على حل المهام المشابهة لتلك المقدمة في هذه المقالة. بعد ذلك، في أي اختبار في نظرية الاحتمالات، ستكون قادرًا على التعامل مع الأمثلة دون نصائح وأوراق غش غريبة.