الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي مجموع قواعده. كيفية العثور على خط الوسط شبه منحرف

يسمى الجزء المستقيم الذي يربط بين نقاط المنتصف للجوانب الجانبية لشبه المنحرف خط الوسط لشبه المنحرف. سنخبرك أدناه بكيفية العثور على خط الوسط لشبه المنحرف ومدى ارتباطه بالعناصر الأخرى في هذا الشكل.

نظرية خط الوسط

لنرسم شبه منحرف حيث AD هي القاعدة الأكبر، وBC هي القاعدة الأصغر، وEF هو الخط الأوسط. لنمدد القاعدة AD إلى ما بعد النقطة D. ارسم الخط BF واستمر في رسمه حتى يتقاطع مع استمرار القاعدة AD عند النقطة O. خذ بعين الاعتبار المثلثين ∆BCF و ∆DFO. الزوايا ∟BCF = ∟DFO عمودية. CF = DF، ∟BCF = ∟FDО، لأن مقابل // هيئة الأوراق المالية. ولذلك فإن المثلثات ∆BCF = ∆DFO. ومن هنا فإن الجانبين BF = FO.

الآن فكر في ∆ABO و∆EBF. ∟ABO مشترك في كلا المثلثين. BE/AB = ½ حسب الحالة، BF/BO = ½، حيث أن ∆BCF = ∆DFO. ولذلك فإن المثلثين ABO و EFB متشابهان. وبالتالي فإن نسبة الأطراف EF/AO = ½، وكذلك نسبة الأطراف الأخرى.

نجد EF = ½ AO. يوضح الرسم أن AO = AD + DO. DO = BC كأضلاع لمثلثات متساوية، مما يعني AO = AD + BC. وبالتالي EF = ½ AO = ½ (AD + BC). أولئك. طول الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع القواعد.

هل الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي دائمًا نصف مجموع القاعدتين؟

لنفترض أن هناك حالة خاصة حيث EF ≠ ½ (AD + BC). ثم BC ≠ DO، لذلك، ∆BCF ≠ ∆DCF. لكن هذا مستحيل، لأن بينهما زاويتان وضلعان متساويان. وبالتالي فإن النظرية صحيحة في جميع الظروف.

مشكلة خط الوسط

لنفترض أنه في شبه المنحرف ABCD AD // BC، ∟A = 90°، ∟C = 135°، AB = 2 سم، القطر AC عمودي على الجانب. أوجد خط الوسط لشبه المنحرف EF.

إذا كانت ∟A = 90°، فإن ∟B = 90°، مما يعني أن ∆ABC مستطيل.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° حسب الاتفاقية، لذلك ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

إذا كان قياس زاوية واحدة في مثلث قائم ∆ABC يساوي 45°، فإن الأرجل فيه متساوية: AB = BC = 2 سم.

الوتر AC = √(AB² + BC²) = √8 سم.

دعونا نفكر في ∆ACD. ∟ACD = 90° حسب الحالة. ∟CAD = ∟BCA = 45° هي الزوايا التي تشكلها تقاطع القاعدتين المتوازيتين لشبه المنحرف. وبالتالي، الأرجل AC = CD = √8.

الوتر AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 سم.

خط الوسط لشبه المنحرف EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 سم.

مفهوم خط الوسط شبه المنحرف

أولا، دعونا نتذكر أي نوع من الشكل يسمى شبه منحرف.

التعريف 1

شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين.

في هذه الحالة، تسمى الجوانب المتوازية قاعدتي شبه المنحرف، وتسمى الجوانب غير المتوازية الجوانب الجانبية لشبه المنحرف.

التعريف 2

الخط الأوسط لشبه المنحرف هو الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للجوانب الجانبية لشبه المنحرف.

نظرية خط الوسط شبه المنحرف

الآن نقدم نظرية خط المنتصف لشبه المنحرف ونثبتها باستخدام الطريقة المتجهة.

النظرية 1

الخط الأوسط لشبه المنحرف يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

دليل.

دعونا نحصل على شبه منحرف $ABCD$ مع القواعد $AD\ و\BC$. واجعل $MN$ هو الخط الأوسط لهذا شبه المنحرف (الشكل 1).

الشكل 1. خط الوسط شبه المنحرف

دعونا نثبت أن $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

خذ بعين الاعتبار المتجه $\overrightarrow(MN)$. نستخدم بعد ذلك قاعدة المضلع لإضافة المتجهات. من ناحية، نحصل على ذلك

على الجانب الآخر

دعونا نضيف المساويتين الأخيرتين ونحصل على

نظرًا لأن $M$ و $N$ هما نقطتا المنتصف للجوانب الجانبية لشبه المنحرف، فسيكون لدينا

نحن نحصل:

لذلك

من نفس المساواة (بما أن $\overrightarrow(BC)$ و $\overrightarrow(AD)$ هما اتجاهان مشتركان، وبالتالي، على خط مستقيم) نحصل على $MN||AD$.

لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المسائل المتعلقة بمفهوم الخط الأوسط لشبه المنحرف

مثال 1

الجوانب الجانبية لشبه المنحرف هي $15\ سم$ و $17\ سم$ على التوالي. محيط شبه المنحرف هو $52\cm$. أوجد طول الخط الأوسط لشبه المنحرف.

حل.

دعونا نشير إلى خط الوسط لشبه المنحرف بـ $n$.

مجموع الجوانب يساوي

وبالتالي، بما أن المحيط هو $52\cm$، فإن مجموع القاعدتين يساوي

لذلك، من خلال النظرية 1، نحصل على

إجابة: 10 دولارات\سم$.

مثال 2

يبعد طرفا قطر الدائرة عن مماسها 9$ سم و 5$ سم على التوالي، أوجد قطر هذه الدائرة.

حل.

دعونا نحصل على دائرة مركزها النقطة $O$ وقطرها $AB$. دعونا نرسم المماس $l$ ونبني المسافتين $AD=9\ cm$ و$BC=5\ cm$. لنرسم نصف القطر $OH$ (الشكل 2).

الشكل 2.

نظرًا لأن $AD$ و$BC$ هما المسافتان إلى المماس، فإن $AD\bot l$ و$BC\bot l$ وبما أن $OH$ هو نصف القطر، فإن $OH\bot l$، وبالتالي، $OH |\left|AD\right||BC$. من كل هذا نستنتج أن $ABCD$ هو شبه منحرف، و $OH$ هو خط المنتصف. بواسطة النظرية 1، نحصل على

مفهوم خط الوسط شبه المنحرف

أولا، دعونا نتذكر أي نوع من الشكل يسمى شبه منحرف.

التعريف 1

شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين.

في هذه الحالة، تسمى الجوانب المتوازية قاعدتي شبه المنحرف، وتسمى الجوانب غير المتوازية الجوانب الجانبية لشبه المنحرف.

التعريف 2

الخط الأوسط لشبه المنحرف هو الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للجوانب الجانبية لشبه المنحرف.

نظرية خط الوسط شبه المنحرف

الآن نقدم نظرية خط المنتصف لشبه المنحرف ونثبتها باستخدام الطريقة المتجهة.

النظرية 1

الخط الأوسط لشبه المنحرف يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

دليل.

دعونا نحصل على شبه منحرف $ABCD$ مع القواعد $AD\ و\BC$. واجعل $MN$ هو الخط الأوسط لهذا شبه المنحرف (الشكل 1).

الشكل 1. خط الوسط شبه المنحرف

دعونا نثبت أن $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

خذ بعين الاعتبار المتجه $\overrightarrow(MN)$. نستخدم بعد ذلك قاعدة المضلع لإضافة المتجهات. من ناحية، نحصل على ذلك

على الجانب الآخر

دعونا نضيف المساويتين الأخيرتين ونحصل على

نظرًا لأن $M$ و $N$ هما نقطتا المنتصف للجوانب الجانبية لشبه المنحرف، فسيكون لدينا

نحن نحصل:

لذلك

من نفس المساواة (بما أن $\overrightarrow(BC)$ و $\overrightarrow(AD)$ هما اتجاهان مشتركان، وبالتالي، على خط مستقيم) نحصل على $MN||AD$.

لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المسائل المتعلقة بمفهوم الخط الأوسط لشبه المنحرف

مثال 1

الجوانب الجانبية لشبه المنحرف هي $15\ سم$ و $17\ سم$ على التوالي. محيط شبه المنحرف هو $52\cm$. أوجد طول الخط الأوسط لشبه المنحرف.

حل.

دعونا نشير إلى خط الوسط لشبه المنحرف بـ $n$.

مجموع الجوانب يساوي

وبالتالي، بما أن المحيط هو $52\cm$، فإن مجموع القاعدتين يساوي

لذلك، من خلال النظرية 1، نحصل على

إجابة: 10 دولارات\سم$.

مثال 2

يبعد طرفا قطر الدائرة عن مماسها 9$ سم و 5$ سم على التوالي، أوجد قطر هذه الدائرة.

حل.

دعونا نحصل على دائرة مركزها النقطة $O$ وقطرها $AB$. دعونا نرسم المماس $l$ ونبني المسافتين $AD=9\ cm$ و$BC=5\ cm$. لنرسم نصف القطر $OH$ (الشكل 2).

الشكل 2.

نظرًا لأن $AD$ و$BC$ هما المسافتان إلى المماس، فإن $AD\bot l$ و$BC\bot l$ وبما أن $OH$ هو نصف القطر، فإن $OH\bot l$، وبالتالي، $OH |\left|AD\right||BC$. من كل هذا نستنتج أن $ABCD$ هو شبه منحرف، و $OH$ هو خط المنتصف. بواسطة النظرية 1، نحصل على

العلامة الأولى

لو وجهان وزاوية وجهان وزاوية

العلامة الثانية

لو

العلامة الثالثة

الدائرتان هما متحدة المركز

دليل.

دع A 1 A 2... A n يكون مضلعًا محدبًا، و n >

متوازي الاضلاع

متوازي الاضلاع

خصائص متوازي الأضلاع

• الجانبين المتقابلين متساويان.
• الزوايا المتقابلة متساوية؛

د 1 2 + د 2 2 =2(أ 2 + ب 2).

شبه منحرف

أرجوحة

الأسبابوالأضلاع غير المتوازية - الجانبين. خط الوسط.

شبه منحرف يسمى متساوي الساقين(أو متساوي الساقين

مستطيلي.

خصائص شبه منحرف

علامات شبه منحرف

مستطيل

مستطيل

خصائص المستطيل

• جميع خصائص متوازي الأضلاع.
• الأقطار متساوية.

علامات المستطيل

1. أن تكون إحدى زواياه مستقيمة.

2. أقطارها متساوية.

المعين

الماس

خصائص المعين

• جميع خصائص متوازي الأضلاع.
• الأقطار متعامدة.

علامات الماس

مربع

مربع

خصائص المربع

• جميع زوايا المربع صحيحة؛

علامات المربع

علامات متوازي الأضلاع

خط الوسط

نظرية.

في المثلث القائم، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين.

الوسيط

الوسيطالمثلث هو القطعة التي تربط رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل لهذا المثلث.

الصيغ لمنطقة المعين

S = خطيئة 2 α

صيغ منطقة شبه منحرف

ق = 1(أ + ب) ح

صيغ لمنطقة الدائرة

صيغة قوس الدائرة وطولها

L=2Pr L=Pr /180

العلامة الأولى

لو وجهان وزاويةبينهما مثلث واحد متساوي على التوالي وجهان وزاويةيوجد بينهما مثلث آخر، فهذان المثلثان متطابقان.

العلامة الثانية

لو الجانب والزاويتين المتجاورتينمثلث واحد متساوي على التوالي الجانب والزاويتين المتجاورتينمثلث آخر، فإن هذه المثلثات متطابقة.

العلامة الثالثة

إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد متساوية على التوالي مع ثلاثة أضلاع لمثلث آخر، فإن هذه المثلثات متطابقة.

الدائرة هي شكل يتكون من جميع نقاط المستوى المتساوية البعد عن نقطة معينة.

هذه النقطة (O) تسمى مركز الدائرة.

المسافة (r) من نقطة على الدائرة إلى مركزها تسمى نصف قطر الدائرة.

يُطلق على نصف القطر أيضًا اسم أي قطعة تصل نقطة على الدائرة بمركزها.

الوتر هو القطعة التي تربط نقطتين في الدائرة.

يسمى الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة بالقطر (d=2r).

ظل - يسمى الخط المستقيم (أ) الذي يمر عبر نقطة (أ) من الدائرة المتعامدة مع نصف القطر المرسوم على هذه النقطة.

وفي هذه الحالة تسمى هذه النقطة (أ) من الدائرة بنقطة التماس.

يسمى الجزء من المستوى الذي تحده الدائرة بالدائرة.

القطاع الدائري هو جزء من دائرة تقع داخل الزاوية المركزية المقابلة.

القطعة الدائرية هي جزء مشترك من دائرة ونصف مستوي، تحتوي حدوده على وتر هذه الدائرة.

الدائرتان هما متحدة المركز(أي وجود مركز مشترك) إذا وفقط إذا

قطع مماسات الدائرة المرسومة من نقطة واحدة متساوية وتشكل زوايا متساوية ويمر بها خط مستقيم بهذه النقطة ومركز الدائرة.

مماس الدائرة يكون عموديًا على نصف القطر المرسوم لنقطة التماس.

يسمى الخطان في المستوى متوازيين إذا لم يتقاطعا.

النظرية 1: إذا تقاطع مستقيمان مع قاطع وكانت الزوايا المستقيمة متساوية، فإن المستقيمين متوازيان.

النظرية الثانية: إذا تقاطع خطان مستقيمان مع قاطع، وكان مجموع الزوايا الداخلية من جانب واحد يساوي 180 درجة، فإن الخطوط المستقيمة متوازية.

النظرية 3: إذا تقاطع مستقيمان مع قاطع وكانت الزوايا المتناظرة متساوية، فإن المستقيمين متوازيان:

خطان موازيان لثالث متوازيان.

من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكن رسم خط واحد فقط موازيًا للخط المعطى.

إذا تقاطع مستقيمان متوازيان مع خط ثالث، فإن الزوايا الداخلية المتقاطعة متساوية.

إذا تقاطع خطان متوازيان مع خط ثالث، فإن الزوايا المتناظرة تكون متساوية.

إذا تقاطع مستقيمان متوازيان مع خط ثالث، فإن مجموع الزوايا الداخلية من جانب واحد هو 180 درجة.

نظرية مجموع زوايا المضلع المحدب

في حالة n-gon محدب، يكون مجموع زواياه 180°(n-2).

دليل.

لإثبات نظرية مجموع زوايا المضلع المحدب، نستخدم النظرية المثبتة بالفعل وهي أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة.

دع A 1 A 2... A n يكون مضلعًا محدبًا معينًا، و n > 3. دعونا نرسم جميع أقطار المضلع من الرأس A 1. ونقسمه إلى مثلثات n – 2: Δ A 1 A 2 أ 3, Δ أ 1 أ 3 أ 4, ... , Δ أ 1 أ ن – 1 أ ن . مجموع زوايا المضلع هو مجموع زوايا كل هذه المثلثات. مجموع زوايا كل مثلث هو 180°، وعدد المثلثات هو (ن – 2). وبالتالي فإن مجموع زوايا الشكل n المحدب A 1 A 2... A n يساوي 180° (n – 2).

مجموع زوايا أي مثلث هو 180 درجة.

دليل. خذ بعين الاعتبار المثلث ABC وارسم خطًا موازيًا لـ AC عبر الرأس B (انظر الشكل). لدينا ÐKBM = ÐBAC، نظرًا لأن هذه الزوايا هي زوايا متناظرة تكونت من تقاطع المتوازيين CA وBM مع القاطع AB. الزاويتان ACB وCBM متساويتان أيضًا، نظرًا لأن الزاوية العمودية لـ ÐCBM هي الزاوية المقابلة لـ Ð ACB (هنا القاطع هو CB). وبالتالي، Ð CAB + Ð ACB + Ð ABC = Ð MBK + ÐMBC + Ð ABC = 180°.

ساق المثلث القائم الزاوية المقابلة للزاوية 30 درجة تساوي نصف الوتر

نظرية. الزاوية الخارجية لأي مثلث أكبر من كل زاوية داخلية في مثلث غير مجاورة لها.

متوازي الاضلاع

متوازي الاضلاعهو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

خصائص متوازي الأضلاع

• الجانبين المتقابلين متساويان.
• الزوايا المتقابلة متساوية؛
• يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين عند نقطة التقاطع؛
• مجموع الزوايا المجاورة لجانب واحد هو 180 درجة؛
• مجموع مربعات الأقطار يساوي مجموع مربعات جميع الجوانب:

د 1 2 + د 2 2 =2(أ 2 + ب 2).

شبه منحرف

أرجوحةهو شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان والضلعان الآخران غير متوازيين.

تسمى الجوانب المتوازية لشبه المنحرف الأسبابوالأضلاع غير المتوازية - الجانبين.يسمى الجزء الذي يربط بين منتصف الجانبين خط الوسط.

شبه منحرف يسمى متساوي الساقين(أو متساوي الساقين) إذا كانت أضلاعه متساوية.

يسمى شبه منحرف تكون إحدى زواياه قائمة مستطيلي.

خصائص شبه منحرف

• خط الوسط موازي للقواعد ويساوي نصف مجموعها؛
• إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين، فإن أقطاره متساوية والزوايا عند القاعدة متساوية؛
• إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين، فيمكن وصف دائرة حوله؛
• إذا كان مجموع القواعد يساوي مجموع الجوانب، فيمكن كتابة دائرة فيه.

علامات شبه منحرف

يعتبر الشكل الرباعي شبه منحرف إذا كانت أضلاعه المتوازية غير متساوية

مستطيل

مستطيليسمى متوازي الأضلاع حيث تكون جميع الزوايا قائمة.

خصائص المستطيل

• جميع خصائص متوازي الأضلاع.
• الأقطار متساوية.

علامات المستطيل

متوازي الأضلاع يكون مستطيلاً إذا:

1. أن تكون إحدى زواياه مستقيمة.

2. أقطارها متساوية.

المعين

الماسيسمى متوازي الأضلاع الذي تكون فيه جميع الأضلاع متساوية.

خصائص المعين

• جميع خصائص متوازي الأضلاع.
• الأقطار متعامدة.
• الأقطار هي منصفات زواياه.

علامات الماس

1. يكون متوازي الأضلاع معينًا إذا:

2. ضلعاه المتجاوران متساويان.

3. قطراه متعامدان.

4. أحد القطرين هو منصف زاويته.

مربع

مربعيسمى مستطيلاً جميع أضلاعه متساوية.

خصائص المربع

• جميع زوايا المربع صحيحة؛
• أقطار المربع متساوية ومتعامدة، ونقطة التقاطع تنصف وتنصف زوايا المربع.

علامات المربع

المستطيل هو مربع إذا كان لديه أي خصائص المعين.

علامات متوازي الأضلاع

يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا:

1. أن ضلعيه المتقابلين متساويان ومتوازيان.

2. الجوانب المتقابلة متساوية في الأزواج.

3. الزوايا المتقابلة متساوية في أزواج.

4. يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

خط المنتصف للمثلث هو القطعة التي تصل بين منتصفي ضلعيه.

الخط الأوسط للمثلث الذي يصل بين منتصفي ضلعين معلومين يوازي الضلع الثالث ويساوي نصفه.

خط الوسطشبه المنحرف هو الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف لجوانب شبه المنحرف.

خط الوسط لشبه المنحرف يوازي قاعدتي شبه المنحرف ويساوي نصف مجموعهما.

المحل الهندسي للنقاط التي لها خاصية معينة هو مجموعة جميع النقاط التي لها هذه الخاصية.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الهيئات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.