حاسبة المستنقع باستخدام طريقة المصفوفة العكسية. حل المصفوفات

يجب أن تكون هناك مصفوفة مربعة من الرتبة n

تسمى المصفوفة A -1 مصفوفة معكوسةبالنسبة للمصفوفة A، إذا كان A*A -1 = E، حيث E هي مصفوفة الهوية من الترتيب n.

مصفوفة الهوية- مثل هذه المصفوفة المربعة التي تكون فيها جميع العناصر الموجودة على طول القطر الرئيسي، والتي تمتد من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلى، واحدة، والباقي أصفار، على سبيل المثال:

مصفوفة معكوسةقد تكون موجودة فقط للمصفوفات المربعةأولئك. لتلك المصفوفات التي يتطابق فيها عدد الصفوف والأعمدة.

نظرية وجود شرط وجود مصفوفة معكوسة

لكي تكون للمصفوفة مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون غير مفردة.

تسمى المصفوفة A = (A1, A2,...A n). غير منحطإذا كانت متجهات الأعمدة مستقلة خطيًا. يُطلق على عدد ناقلات الأعمدة المستقلة خطيًا للمصفوفة اسم رتبة المصفوفة. ولذلك يمكننا القول أنه لكي توجد مصفوفة معكوسة، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة مساوية لبعدها، أي. ص = ن.

خوارزمية لإيجاد المصفوفة العكسية

1. اكتب المصفوفة A في الجدول لحل أنظمة المعادلات باستخدام الطريقة الغوسية وقم بتعيين المصفوفة E لها على اليمين (بدلاً من الأطراف اليمنى من المعادلات).
2. باستخدام تحويلات جوردان، اختزل المصفوفة A إلى مصفوفة تتكون من أعمدة الوحدة؛ في هذه الحالة، من الضروري تحويل المصفوفة E في نفس الوقت.
3. إذا لزم الأمر، قم بإعادة ترتيب الصفوف (المعادلات) في الجدول الأخير بحيث تحصل تحت المصفوفة A من الجدول الأصلي على مصفوفة الهوية E.
4. اكتب المصفوفة العكسية A -1 الموجودة في الجدول الأخير أسفل المصفوفة E في الجدول الأصلي.

مثال 1

بالنسبة للمصفوفة A، أوجد المصفوفة العكسية A -1

الحل: نكتب المصفوفة A ونضع مصفوفة الهوية E على اليمين، وباستخدام تحويلات جوردان نختصر المصفوفة A إلى مصفوفة الهوية E. الحسابات موضحة في الجدول 31.1.

دعونا نتحقق من صحة الحسابات عن طريق ضرب المصفوفة الأصلية A والمصفوفة العكسية A -1.

ونتيجة لضرب المصفوفة، تم الحصول على مصفوفة الهوية. ولذلك، تم إجراء الحسابات بشكل صحيح.

إجابة:

حل المعادلات المصفوفية

يمكن أن تبدو معادلات المصفوفة كما يلي:

الفأس = ب، ها = ب، AXB = ج،

حيث A، B، C هي المصفوفات المحددة، X هي المصفوفة المطلوبة.

يتم حل معادلات المصفوفات عن طريق ضرب المعادلة بالمصفوفات العكسية.

على سبيل المثال، للعثور على مصفوفة من المعادلة، عليك ضرب هذه المعادلة في الطرف الأيسر.

لذلك، لإيجاد حل للمعادلة، عليك إيجاد المصفوفة العكسية وضربها في المصفوفة الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة.

يتم حل المعادلات الأخرى بالمثل.

مثال 2

حل المعادلة AX = B إذا

حل: بما أن المصفوفة العكسية تساوي (انظر المثال 1)

طريقة المصفوفة في التحليل الاقتصادي

جنبا إلى جنب مع الآخرين، يتم استخدامها أيضا طرق المصفوفة. تعتمد هذه الطرق على الجبر الخطي والمصفوفة المتجهة. وتستخدم هذه الأساليب لأغراض تحليل الظواهر الاقتصادية المعقدة والمتعددة الأبعاد. في أغلب الأحيان، يتم استخدام هذه الأساليب عندما يكون من الضروري إجراء تقييم مقارن لعمل المنظمات وأقسامها الهيكلية.

في عملية تطبيق أساليب تحليل المصفوفة، يمكن تمييز عدة مراحل.

في المرحلة الأولىيتم تشكيل نظام للمؤشرات الاقتصادية وعلى أساسه يتم تجميع مصفوفة البيانات الأولية، وهي عبارة عن جدول تظهر فيه أرقام النظام في صفوفه الفردية (ط = 1،2،....ن)وفي الأعمدة الرأسية - أرقام المؤشرات (ي = 1،2،....م).

في المرحلة الثانيةلكل عمود رأسي، يتم تحديد أكبر قيم المؤشرات المتاحة، والتي يتم أخذها كواحدة.

بعد ذلك، يتم تقسيم جميع المبالغ المنعكسة في هذا العمود على القيمة الأكبر ويتم تشكيل مصفوفة من المعاملات الموحدة.

في المرحلة الثالثةجميع مكونات المصفوفة مربعة. إذا كانت لها أهمية مختلفة، فسيتم تعيين معامل وزن معين لكل مؤشر مصفوفة ك. يتم تحديد قيمة هذا الأخير من خلال رأي الخبراء.

على الأخير، المرحلة الرابعةتم العثور على قيم التصنيف الملكية الفكريةيتم تجميعها حسب زيادتها أو نقصانها.

وينبغي استخدام أساليب المصفوفة الموضحة، على سبيل المثال، في التحليل المقارن لمختلف المشاريع الاستثمارية، وكذلك في تقييم المؤشرات الاقتصادية الأخرى لأنشطة المنظمات.

الموضوع 2. أنظمة المعادلات الجبرية الخطية.

مفاهيم أساسية.

التعريف 1. نظام مالمعادلات الخطية مع نالمجهول هو نظام من النموذج:

أين والأرقام.

التعريف 2. حل النظام (I) هو مجموعة من المجهولات التي تصبح فيها كل معادلة من هذا النظام هوية.

التعريف 3. يتم استدعاء النظام (I). مشترك، إذا كان لديه حل واحد على الأقل و غير مشترك، إذا لم يكن له حلول. يسمى النظام المشترك تأكيد، إذا كان لديه حل فريد، و غير مؤكدخلاف ذلك.

التعريف 4. معادلة النموذج

مُسَمًّى صفر، والمعادلة من الشكل

مُسَمًّى غير متوافق. من الواضح أن نظام المعادلات الذي يحتوي على معادلة غير متوافقة يكون غير متناسق.

التعريف 5. يتم استدعاء نظامين من المعادلات الخطية مقابل، إذا كان كل حل لنظام ما بمثابة حل لنظام آخر، وبالعكس، كل حل للنظام الثاني هو حل للأول.

تمثيل المصفوفة لنظام المعادلات الخطية.

دعونا نفكر في النظام (I) (انظر الفقرة 1).

دعنا نشير إلى:

مصفوفة معاملات للمجهول

مصفوفة - عمود المصطلحات المجانية

مصفوفة – عمود من المجهول

.

التعريف 1.تسمى المصفوفة المصفوفة الرئيسية للنظام(I)، والمصفوفة هي المصفوفة الموسعة للنظام (I).

من خلال تعريف مساواة المصفوفات، فإن النظام (I) يتوافق مع مساواة المصفوفات:

.

الجانب الأيمن من هذه المساواة من خلال تعريف منتج المصفوفات ( انظر التعريف 3 § 5 الفصل 1) يمكن تحليلها:

، أي.

المساواة (2) مُسَمًّى تدوين المصفوفة للنظام (I).

حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة كرامر.

السماح بالدخول إلى النظام (I) (انظر §1) م = ن، أي. عدد المعادلات يساوي عدد المجهولين، والمصفوفة الرئيسية للنظام غير مفردة، أي. . ثم النظام (I) من §1 لديه حل فريد

حيث Δ = ديت أدعا الرئيسي محدد النظام(أنا)، Δ أنايتم الحصول عليها من المحدد Δ عن طريق الاستبدال أناالعمود الرابع إلى عمود الأعضاء الأحرار في النظام (I).

مثال: حل النظام باستخدام طريقة كرامر:

.

بواسطة الصيغ (3) .

نحسب محددات النظام:

,

,

.

للحصول على المحدد، استبدلنا العمود الأول في المحدد بعمود من الحدود الحرة؛ استبدال العمود الثاني في المحدد بعمود المصطلحات الحرة، نحصل على ؛ بطريقة مماثلة، استبدال العمود الثالث في المحدد بعمود المصطلحات الحرة، نحصل على . حل النظام:

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفة العكسية.

السماح بالدخول إلى النظام (I) (انظر §1) م = نوالمصفوفة الرئيسية للنظام غير مفردة. دعونا نكتب النظام (I) في شكل مصفوفة ( انظر الفقرة 2):

لأن مصفوفة أغير مفرد، فهو يحتوي على مصفوفة معكوسة ( انظر النظرية 1 §6 من الفصل 1). دعونا نضرب طرفي المساواة (2) إلى المصفوفة، ثم

عن طريق تعريف المصفوفة العكسية. من المساواة (3) لدينا

حل النظام باستخدام المصفوفة العكسية

.

دعونا نشير

في المثال (§ 3) قمنا بحساب المحدد، وبالتالي المصفوفة ألديه مصفوفة معكوسة. ثم مفعول به (4) ، أي.

. (5)

لنجد المصفوفة ( انظر §6 الفصل 1)

, , ,

, , ,

,

.

طريقة غاوس.

دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية:

. (أنا)

يشترط إيجاد جميع حلول النظام (I) أو التأكد من عدم تناسق النظام.

التعريف 1.دعونا نسمي التحول الأولي للنظام(ط) أي من الأفعال الثلاثة:

1) شطب المعادلة الصفرية؛

2) إضافة إلى طرفي المعادلة الأجزاء المقابلة من معادلة أخرى مضروبة في الرقم ل؛

3) تبديل الحدود في معادلات النظام بحيث تحتل المجهولات التي لها نفس الأرقام في جميع المعادلات نفس الأماكن، أي. على سبيل المثال، إذا قمنا بتغيير الحدين الثاني والثالث في المعادلة الأولى، فيجب فعل الشيء نفسه في جميع معادلات النظام.

تتمثل طريقة غاوس في حقيقة أن النظام (I) بمساعدة التحولات الأولية يتم اختزاله إلى نظام مكافئ يتم العثور على حله مباشرة أو إثبات عدم قابليته للحل.

كما هو موضح في الفقرة 2، يتم تحديد النظام (I) بشكل فريد من خلال مصفوفته الموسعة وأي تحويل أولي للنظام (I) يتوافق مع تحويل أولي للمصفوفة الموسعة:

.

التحويل 1) يتوافق مع حذف صف الصفر في المصفوفة، التحويل 2) يعادل إضافة صف آخر إلى الصف المقابل للمصفوفة، مضروبًا في الرقم l، التحويل 3) يعادل إعادة ترتيب الأعمدة في المصفوفة.

من السهل أن نرى، على العكس من ذلك، أن كل تحويل أولي للمصفوفة يتوافق مع تحويل أولي للنظام (I). ونظراً لما سبق، بدلاً من العمليات مع النظام (I)، سنعمل مع المصفوفة الموسعة لهذا النظام.

في المصفوفة، يتكون العمود الأول من معاملات × 1العمود الثاني - من معاملات × 2إلخ. إذا تم إعادة ترتيب الأعمدة، فيجب أن يؤخذ في الاعتبار أن هذا الشرط قد تم انتهاكه. على سبيل المثال، إذا قمنا بتبديل العمودين الأول والثاني، فسيحتوي العمود الأول الآن على معاملات × 2وفي العمود الثاني - المعاملات × 1.

سوف نقوم بحل النظام (I) باستخدام الطريقة الغوسية.

1. شطب جميع صفوف الصفر في المصفوفة، إن وجدت (أي شطب جميع المعادلات الصفرية في النظام (I).

2. دعونا نتحقق مما إذا كان هناك صف بين صفوف المصفوفة تكون فيه جميع العناصر باستثناء العنصر الأخير تساوي الصفر (دعنا نسمي هذا الصف غير متسق). من الواضح أن مثل هذا الخط يتوافق مع معادلة غير متناسقة في النظام (I)، وبالتالي فإن النظام (I) ليس لديه حلول وهذا هو المكان الذي تنتهي فيه العملية.

3. ألا تحتوي المصفوفة على صفوف غير متناسقة (النظام (I) لا يحتوي على معادلات غير متناسقة). لو 11 = 0، ثم نجد في الصف الأول بعض العناصر (باستثناء العنصر الأخير) غير الصفر ونعيد ترتيب الأعمدة بحيث لا يوجد صفر في الصف الأول في المركز الأول. سنفترض الآن ذلك (أي أننا سنقوم بتبديل المصطلحات المقابلة في معادلات النظام (I)).

4. اضرب السطر الأول في وأضف النتيجة في السطر الثاني، ثم اضرب السطر الأول في وأضف النتيجة في السطر الثالث، وما إلى ذلك. ومن الواضح أن هذه العملية تعادل القضاء على المجهول × 1من جميع معادلات النظام (I) ما عدا الأولى. في المصفوفة الجديدة نحصل على أصفار في العمود الأول تحت العنصر 11:

.

5. لنقم بشطب جميع صفوف الصفر في المصفوفة، إن وجدت، والتحقق مما إذا كان هناك صف غير متناسق (إذا كان هناك صف واحد، فإن النظام غير متسق وينتهي الحل هناك). دعونا نتحقق مما إذا كان سيكون هناك أ 22 / =0، إذا كانت الإجابة بنعم، فنجد في الصف الثاني عنصرا آخر غير الصفر ونعيد ترتيب الأعمدة بحيث . بعد ذلك، اضرب عناصر الصف الثاني في ونضيف مع العناصر المقابلة للسطر الثالث، ثم - عناصر السطر الثاني ونضيف مع العناصر المقابلة للسطر الرابع، وما إلى ذلك، حتى نحصل على أصفار تحت أ22/

.

الإجراءات المتخذة تعادل القضاء على المجهول × 2من جميع معادلات النظام (I) ما عدا الأولى والثانية. نظرًا لأن عدد الصفوف محدود، فبعد عدد محدود من الخطوات، نحصل على إما أن النظام غير متناسق، أو ينتهي بنا الأمر بمصفوفة خطوة ( انظر التعريف 2 §7 الفصل 1) :

,

دعونا نكتب نظام المعادلات المقابلة للمصفوفة. هذا النظام يعادل النظام (I)

.

من المعادلة الأخيرة نعبر عنها؛ عوض في المعادلة السابقة، أوجد، الخ، حتى نحصل على .

ملاحظة 1.وهكذا، عند حل النظام (I) باستخدام الطريقة الغوسية، نصل إلى إحدى الحالات التالية.

1. النظام (I) غير متناسق.

2. النظام (I) لديه حل فريد إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة يساوي عدد المجهولين ().

3. النظام (I) لديه عدد لا نهائي من الحلول إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة أقل من عدد المجهولات ().

ومن هنا فإن النظرية التالية صحيحة.

نظرية.نظام المعادلات الخطية إما أن يكون غير متناسق، أو لديه حل فريد، أو لديه عدد لا نهائي من الحلول.

أمثلة. حل نظام المعادلات بطريقة غاوس أو إثبات عدم اتساقه:

ب) ;

أ) دعونا نعيد كتابة النظام المعطى بالشكل:

.

لقد قمنا بتبديل المعادلتين الأولى والثانية من النظام الأصلي لتبسيط الحسابات (بدلاً من الكسور، سنتعامل فقط مع الأعداد الصحيحة باستخدام إعادة الترتيب هذه).

لنقم بإنشاء مصفوفة موسعة:

.

لا توجد أية أسطر فارغة؛ لا توجد خطوط غير متوافقة، ; لنستبعد المجهول الأول من جميع معادلات النظام باستثناء الأول. للقيام بذلك، قم بضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة في "-2" وإضافتها إلى العناصر المقابلة لها من الصف الثاني، وهو ما يعادل ضرب المعادلة الأولى في "-2" وإضافتها مع الثاني معادلة. ثم نضرب عناصر السطر الأول في "-3" ونضيفها مع العناصر المقابلة لها في السطر الثالث، أي. اضرب المعادلة الثانية للنظام المعطى بـ "-3" وأضفها إلى المعادلة الثالثة. نحن نحصل

.

المصفوفة تتوافق مع نظام المعادلات). - (انظر التعريف 3§7 من الفصل 1).

(تسمى هذه الطريقة أحيانًا طريقة المصفوفة أو طريقة المصفوفة العكسية) تتطلب التعرف الأولي على مفهوم مثل شكل المصفوفة لتدوين SLAE. تهدف طريقة المصفوفة العكسية إلى حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية التي يختلف فيها محدد مصفوفة النظام عن الصفر. وبطبيعة الحال، يفترض هذا أن مصفوفة النظام مربعة (مفهوم المحدد موجود فقط للمصفوفات المربعة). يمكن التعبير عن جوهر طريقة المصفوفة العكسية في ثلاث نقاط:

1. اكتب ثلاث مصفوفات: مصفوفة النظام $A$، مصفوفة المجهولات $X$، مصفوفة الحدود الحرة $B$.
2. أوجد المصفوفة العكسية $A^(-1)$.
3. باستخدام المساواة $X=A^(-1)\cdot B$، احصل على حل لـ SLAE المحدد.

يمكن كتابة أي SLAE في شكل مصفوفة بالشكل $A\cdot X=B$، حيث $A$ هي مصفوفة النظام، $B$ هي مصفوفة المصطلحات الحرة، $X$ هي مصفوفة المجهولات. دع المصفوفة $A^(-1)$ موجودة. دعونا نضرب طرفي المساواة $A\cdot X=B$ في المصفوفة $A^(-1)$ الموجودة على اليسار:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

بما أن $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ هي مصفوفة الهوية)، تصبح المساواة المذكورة أعلاه:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

بما أن $E\cdot X=X$، إذن:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

المثال رقم 1

قم بحل SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ باستخدام المصفوفة العكسية.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

دعونا نجد المصفوفة العكسية لمصفوفة النظام، أي. دعونا نحسب $A^(-1)$. في المثال رقم 2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

الآن دعونا نستبدل المصفوفات الثلاث ($X$, $A^(-1)$, $B$) في المساواة $X=A^(-1)\cdot B$. ثم نقوم بإجراء ضرب المصفوفات

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

لذلك، حصلنا على المساواة $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( صفيف )\يمين)$. من هذه المساواة لدينا: $x_1=-3$، $x_2=2$.

إجابة: $x_1=-3$، $x_2=2$.

المثال رقم 2

حل SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ باستخدام طريقة المصفوفة العكسية.

دعونا نكتب مصفوفة النظام $A$، ومصفوفة الحدود الحرة $B$، ومصفوفة المجهولات $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

الآن حان دور العثور على المصفوفة العكسية لمصفوفة النظام، أي. ابحث عن $A^(-1)$. في المثال رقم 3 في الصفحة المخصصة لإيجاد المصفوفات العكسية، تم العثور على المصفوفة العكسية بالفعل. دعنا نستخدم النتيجة النهائية ونكتب $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 و 37\نهاية(صفيف)\يمين). $$

الآن دعونا نعوض بالمصفوفات الثلاثة ($X$, $A^(-1)$, $B$) في المساواة $X=A^(-1)\cdot B$، ثم نقوم بإجراء عملية ضرب المصفوفة على الجانب الأيمن من هذه المساواة.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

لذلك، حصلنا على المساواة $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\right)$. من هذه المساواة لدينا: $x_1=0$، $x_2=-4$، $x_3=9$.

طريقة المصفوفة العكسية هي حالة خاصة معادلة المصفوفة

حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة

حل: نكتب النظام على شكل مصفوفة ونجد حل النظام باستخدام الصيغة (انظر الصيغة الأخيرة)

نجد المصفوفة العكسية باستخدام الصيغة:
، أين المصفوفة المنقولة للمكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة.

أولا، دعونا ننظر إلى المحدد:

هنا يتم توسيع المحدد في السطر الأول.

انتباه! إذا، فإن المصفوفة العكسية غير موجودة، ومن المستحيل حل النظام باستخدام طريقة المصفوفة. في هذه الحالة يتم حل النظام من خلال طريقة حذف المجهولات (طريقة غاوسي).

نحن الآن بحاجة إلى حساب 9 قاصرين وكتابتهم في مصفوفة القصر

مرجع:من المفيد معرفة معنى الحروف المزدوجة في الجبر الخطي. الرقم الأول هو رقم السطر الذي يقع فيه العنصر. الرقم الثاني هو رقم العمود الذي يقع فيه العنصر:

أي أن الحرف المزدوج يشير إلى أن العنصر موجود في الصف الأول والعمود الثالث، وعلى سبيل المثال، العنصر موجود في 3 صفوف وعمودين

أثناء الحل، من الأفضل وصف حساب القاصرين بالتفصيل، على الرغم من أنه مع بعض الخبرة يمكنك التعود على حسابهم مع وجود أخطاء شفهيًا.

الترتيب الذي يتم به حساب القاصرين غير مهم على الإطلاق، وهنا قمت بحسابهم من اليسار إلى اليمين سطرًا تلو الآخر. كان من الممكن حساب القاصرين حسب الأعمدة (وهذا أكثر ملاءمة).

هكذا:

- مصفوفة ثانوية من العناصر المقابلة للمصفوفة.

- مصفوفة الإضافات الجبرية.

– مصفوفة منقولة من الإضافات الجبرية.

وأكرر أننا ناقشنا الخطوات التي تم تنفيذها بالتفصيل في الدرس. كيفية العثور على معكوس المصفوفة؟

الآن نكتب المصفوفة العكسية:

لا ينبغي لنا أن ندخلها في المصفوفة تحت أي ظرف من الظروف، وهذا سوف يعقد بشكل خطير المزيد من الحسابات. يجب إجراء القسمة إذا كانت جميع الأرقام الموجودة في المصفوفة قابلة للقسمة على 60 بدون باقي. ولكن في هذه الحالة، من الضروري جدًا إضافة علامة ناقص إلى المصفوفة، بل على العكس من ذلك، ستُسهل المزيد من العمليات الحسابية.

كل ما تبقى هو إجراء ضرب المصفوفات. يمكنك تعلم كيفية ضرب المصفوفات في الفصل. الإجراءات مع المصفوفات. بالمناسبة، يتم تحليل نفس المثال بالضبط هناك.

لاحظ أن القسمة على 60 قد تمت أخيرا.
في بعض الأحيان قد لا ينفصل بشكل كامل، أي. قد يؤدي إلى كسور "سيئة". لقد أخبرتك بالفعل بما يجب عليك فعله في مثل هذه الحالات عندما فحصنا قاعدة كريمر.

إجابة:

مثال 12

حل النظام باستخدام المصفوفة العكسية.

وهذا مثال لحل مستقل (عينة من التصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس).

الطريقة الأكثر عالمية لحل النظام هي طريقة حذف المجهولات (طريقة غاوس). ليس من السهل شرح الخوارزمية بوضوح، لكنني حاولت!

أتمنى لك النجاح!

الإجابات:

مثال 3:

مثال 6:

مثال 8: , . يمكنك عرض أو تنزيل نموذج حل لهذا المثال (الرابط أدناه).

الأمثلة 10، 12:

نواصل النظر في أنظمة المعادلات الخطية. وهذا الدرس هو الثالث في هذا الموضوع. إذا كانت لديك فكرة غامضة عن ماهية نظام المعادلات الخطية بشكل عام، وإذا كنت تشعر بالرغبة في إبريق الشاي، فإنني أوصي بالبدء بالأساسيات في الصفحة التالية، فمن المفيد دراسة الدرس.

الطريقة الغوسية سهلة!لماذا؟ حصل عالم الرياضيات الألماني الشهير يوهان كارل فريدريش غاوس خلال حياته على الاعتراف بأنه أعظم عالم رياضيات في كل العصور، وعبقري، وحتى لقب "ملك الرياضيات". وكل شيء عبقري، كما تعلمون، بسيط!بالمناسبة، لا يحصل المال على المغفلين فحسب، بل على العباقرة أيضًا - كانت صورة غاوس على الأوراق النقدية بقيمة 10 ماركات ألمانية (قبل إدخال اليورو)، ولا يزال غاوس يبتسم بشكل غامض للألمان من طوابع البريد العادية.

طريقة غاوس بسيطة حيث أن معرفة طالب الصف الخامس كافية لإتقانها. يجب أن تعرف كيفية الجمع والضرب!ليس من قبيل الصدفة أن يفكر المعلمون غالبًا في طريقة الاستبعاد المتسلسل للمجهول في مقررات الرياضيات المدرسية الاختيارية. إنها مفارقة، لكن الطلاب يجدون الطريقة الغوسية هي الأكثر صعوبة. لا شيء مفاجئ - الأمر كله يتعلق بالمنهجية، وسأحاول التحدث عن خوارزمية الطريقة بشكل يسهل الوصول إليه.

أولاً، دعونا ننظم القليل من المعرفة حول أنظمة المعادلات الخطية. يمكن لنظام المعادلات الخطية أن:

1) احصل على حل فريد.
2) لديك عدد لا نهائي من الحلول.
3) ليس لديهم حلول (يكون غير مشترك).

طريقة غاوس هي الأداة الأقوى والأكثر عالمية لإيجاد الحل أيأنظمة المعادلات الخطية. كما نتذكر، قاعدة كريمر وطريقة المصفوفةغير مناسبة في الحالات التي يكون فيها النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متناسق. وطريقة الحذف المتسلسل للمجهول على أي حالسوف يقودنا إلى الجواب! في هذا الدرس سنتناول مرة أخرى طريقة غاوس للحالة رقم 1 (الحل الوحيد للنظام)، وخصص مقال لمواقف النقاط رقم 2-3. ألاحظ أن خوارزمية الطريقة نفسها تعمل بنفس الطريقة في الحالات الثلاث.

دعنا نعود إلى أبسط نظام من الدرس كيفية حل نظام المعادلات الخطية؟
وحلها باستخدام طريقة غاوس.

الخطوة الأولى هي الكتابة مصفوفة النظام الموسعة:
. أعتقد أن الجميع يمكنهم أن يروا بأي مبدأ تتم كتابة المعاملات. ليس للخط العمودي داخل المصفوفة أي معنى رياضي - فهو ببساطة يتوسطه خط لسهولة التصميم.

مرجع: أنصحك أن تتذكرشروط الجبر الخطي.مصفوفة النظام هي مصفوفة مكونة فقط من معاملات المجهول، في هذا المثال مصفوفة النظام: . مصفوفة النظام الموسعة – هذه هي نفس مصفوفة النظام بالإضافة إلى عمود من المصطلحات الحرة، في هذه الحالة: . للإيجاز، أي من المصفوفات يمكن أن تسمى ببساطة مصفوفة.

بعد كتابة نظام المصفوفة الموسعة، من الضروري تنفيذ بعض الإجراءات معه، والتي تسمى أيضًا التحولات الأولية.

توجد التحولات الأولية التالية:

1) سلاسلالمصفوفات يمكن إعادة ترتيبهافي بعض الأماكن. على سبيل المثال، في المصفوفة قيد النظر، يمكنك إعادة ترتيب الصفين الأول والثاني دون ألم:

2) إذا كانت هناك (أو ظهرت) صفوف متناسبة (كحالة خاصة - متطابقة) في المصفوفة، فيجب عليك يمسحكل هذه الصفوف من المصفوفة باستثناء واحد. لنأخذ على سبيل المثال المصفوفة . في هذه المصفوفة تكون الصفوف الثلاثة الأخيرة متناسبة، لذا يكفي ترك واحد منها فقط: .

3) إذا ظهر صف صفر في المصفوفة أثناء التحويلات، فيجب أن يكون كذلك يمسح. لن أرسم، بالطبع، خط الصفر هو الخط الذي فيه جميع الأصفار.

4) يمكن أن يكون صف المصفوفة ضرب (قسمة)إلى أي رقم غير صفرية. خذ على سبيل المثال المصفوفة . يُنصح هنا بتقسيم السطر الأول على -3، وضرب السطر الثاني في 2: . هذا الإجراء مفيد جدًا لأنه يبسط المزيد من تحويلات المصفوفة.

5) يسبب هذا التحول معظم الصعوبات، ولكن في الواقع لا يوجد شيء معقد أيضًا. إلى صف من المصفوفة يمكنك أضف سلسلة أخرى مضروبة في رقم، يختلف عن الصفر. دعونا نلقي نظرة على المصفوفة الخاصة بنا من مثال عملي: . أولاً سأصف التحول بتفصيل كبير. اضرب السطر الأول في -2: ، و إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول مضروبًا في -2: . الآن يمكن تقسيم السطر الأول "للخلف" على -2: . كما ترون، السطر الذي تمت إضافته لي – لم يتغير. دائماًيتغير السطر الذي تتم إضافته يوتا.

من الناحية العملية، بالطبع، لا يكتبونها بمثل هذه التفاصيل، لكنهم يكتبونها بإيجاز:

مرة أخرى: إلى السطر الثاني تمت إضافة السطر الأول مضروبًا في -2. عادةً ما يتم ضرب السطر شفهيًا أو في مسودة، حيث تتم عملية الحساب الذهني على النحو التالي:

"أعيد كتابة المصفوفة وأعيد كتابة السطر الأول:"

"العمود الأول. في الأسفل أحتاج إلى الحصول على الصفر. لذلك، أضرب الواحد الموجود في الأعلى بـ –2:، وأضيف الأول إلى السطر الثاني: 2 + (–2) = 0. وأكتب النتيجة في السطر الثاني: »

"الآن العمود الثاني. في الأعلى، أضرب -1 في -2: . أقوم بإضافة الأول إلى السطر الثاني: 1 + 2 = 3. وأكتب النتيجة في السطر الثاني: "

«والطابور الثالث. في الأعلى أضرب -5 في -2: . أقوم بإضافة الأول إلى السطر الثاني: –7 + 10 = 3. أكتب النتيجة في السطر الثاني: »

يرجى فهم هذا المثال بعناية وفهم خوارزمية الحساب التسلسلي، إذا فهمت ذلك، فإن الطريقة الغوسية تكون في جيبك عمليًا. لكن، بالطبع، سنواصل العمل على هذا التحول.

التحولات الأولية لا تغير حل نظام المعادلات

! انتباه:يعتبر التلاعب لا يمكن استخدام، إذا عُرضت عليك مهمة حيث يتم إعطاء المصفوفات "بنفسها". على سبيل المثال، مع "الكلاسيكية" العمليات مع المصفوفاتلا يجوز لك تحت أي ظرف من الظروف إعادة ترتيب أي شيء داخل المصفوفات!

دعونا نعود إلى نظامنا. لقد تم حلها تقريبًا.

دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام، وباستخدام التحويلات الأولية، نختصرها إلى عرض متدرج:

(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. بالمناسبة، لماذا نضرب السطر الأول في -2؟ لكي نحصل على صفر في الأسفل، فهذا يعني التخلص من متغير واحد في السطر الثاني.

(2) قسمة السطر الثاني على 3.

الغرض من التحولات الأولية– تقليل المصفوفة إلى شكل تدريجي: . في تصميم المهمة، يقومون فقط بوضع علامة على "الدرج" بقلم رصاص بسيط، وكذلك وضع دائرة حول الأرقام الموجودة على "الخطوات". إن مصطلح "النظرة المتدرجة" في حد ذاته ليس نظريًا تمامًا، بل يُطلق عليه غالبًا في الأدبيات العلمية والتعليمية عرض شبه منحرفأو عرض الثلاثي.

ونتيجة للتحولات الأولية، حصلنا على مقابلنظام المعادلات الأصلي:

الآن يحتاج النظام إلى "الاسترخاء" في الاتجاه المعاكس - من الأسفل إلى الأعلى، تسمى هذه العملية عكس الطريقة الغوسية.

في المعادلة السفلى لدينا بالفعل نتيجة جاهزة: .

لنفكر في المعادلة الأولى للنظام ونستبدل فيها القيمة المعروفة بالفعل لـ "y":

لنفكر في الموقف الأكثر شيوعًا عندما تتطلب الطريقة الغوسية حل نظام من ثلاث معادلات خطية بثلاثة مجاهيل.

مثال 1

حل نظام المعادلات باستخدام طريقة غاوس:

لنكتب المصفوفة الموسعة للنظام:

الآن سأرسم على الفور النتيجة التي سنصل إليها أثناء الحل:

وأكرر، هدفنا هو تحويل المصفوفة إلى صورة تدريجية باستخدام التحويلات الأولية. من أين أبدا؟

أولاً، انظر إلى الرقم الموجود أعلى اليسار:

ينبغي أن يكون دائما تقريبا هنا وحدة. بشكل عام، -1 (وأحيانًا أرقام أخرى) ستفي بالغرض، ولكن بطريقة ما حدث تقليديًا أن يتم وضع الرقم هناك عادةً. كيفية تنظيم الوحدة؟ نحن ننظر إلى العمود الأول - لدينا وحدة جاهزة! التحويل الأول: تبديل السطرين الأول والثالث:

الآن سيبقى السطر الأول دون تغيير حتى نهاية الحل. الآن بخير.

تم تنظيم الوحدة الموجودة في الزاوية اليسرى العليا. أنت الآن بحاجة إلى الحصول على الأصفار في هذه الأماكن:

نحصل على الأصفار باستخدام التحويل "الصعب". أولا نتعامل مع السطر الثاني (2، -1، 3، 13). ما الذي يجب فعله للحصول على الصفر في المركز الأول؟ بحاجة ل إلى السطر الثاني أضف السطر الأول مضروبًا في -2. ذهنيًا أو على المسودة، اضرب السطر الأول بـ -2: (-2، -4، 2، -18). ونقوم باستمرار بتنفيذ الإضافة (مرة أخرى عقليًا أو على مسودة)، إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول، مضروبًا بالفعل في -2:

نكتب النتيجة في السطر الثاني:

ونتعامل مع السطر الثالث بنفس الطريقة (3، 2، –5، –1). للحصول على صفر في المركز الأول، تحتاج إلى السطر الثالث أضف السطر الأول مضروبًا في -3. ذهنيًا أو على المسودة، اضرب السطر الأول بـ -3: (-3، -6، 3، -27). و إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في -3:

نكتب النتيجة في السطر الثالث:

من الناحية العملية، عادةً ما يتم تنفيذ هذه الإجراءات شفهيًا وتدوينها في خطوة واحدة:

لا حاجة لحساب كل شيء دفعة واحدة وفي نفس الوقت. ترتيب العمليات الحسابية و"كتابة" النتائج ثابتوعادةً ما يكون الأمر على هذا النحو: أولاً نعيد كتابة السطر الأول، وننفخ في أنفسنا ببطء - باستمرار و بانتباه:

وقد ناقشت بالفعل العملية العقلية للحسابات نفسها أعلاه.

في هذا المثال، من السهل القيام بذلك؛ نقسم السطر الثاني على -5 (نظرًا لأن جميع الأرقام هناك قابلة للقسمة على 5 بدون باقي). وفي الوقت نفسه، نقسم السطر الثالث على -2، لأنه كلما كانت الأرقام أصغر، كان الحل أبسط:

في المرحلة النهائية من التحولات الأولية، تحتاج إلى الحصول على صفر آخر هنا:

لهذا إلى السطر الثالث نضيف السطر الثاني مضروبا في -2:

حاول معرفة هذا الإجراء بنفسك - اضرب السطر الثاني عقليًا في -2 وقم بإجراء عملية الإضافة.

الإجراء الأخير الذي يتم تنفيذه هو تصفيفة الشعر الناتجة، وتقسيم السطر الثالث على 3.

ونتيجة للتحولات الأولية، تم الحصول على نظام مكافئ من المعادلات الخطية:

رائع.

والآن يأتي دور عكس الطريقة الغوسية. المعادلات "تسترخي" من الأسفل إلى الأعلى.

في المعادلة الثالثة لدينا بالفعل نتيجة جاهزة:

لننظر إلى المعادلة الثانية : . ومعنى "زيت" معروف بالفعل، وبالتالي:

وأخيرًا المعادلة الأولى: . "Igrek" و"zet" معروفان، إنها مجرد مسألة أشياء صغيرة:

إجابة:

كما سبق أن أشرنا عدة مرات، بالنسبة لأي نظام من المعادلات، من الممكن والضروري التحقق من الحل الذي تم العثور عليه، ولحسن الحظ، فإن هذا سهل وسريع.

مثال 2

هذا مثال لحل مستقل وعينة من التصميم النهائي والإجابة في نهاية الدرس.

تجدر الإشارة إلى أن الخاص بك التقدم في القرارقد لا يتزامن مع عملية اتخاذ القرار، وهذه إحدى سمات طريقة غاوس. ولكن الإجابات يجب أن تكون هي نفسها!

مثال 3

حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية:

نحن ننظر إلى "الخطوة" العلوية اليسرى. ينبغي أن يكون لدينا واحد هناك. المشكلة هي أنه لا توجد وحدات في العمود الأول على الإطلاق، وبالتالي فإن إعادة ترتيب الصفوف لن تحل أي شيء. في مثل هذه الحالات، يجب تنظيم الوحدة باستخدام تحويل أولي. يمكن القيام بذلك عادةً بعدة طرق. فعلت هذا: (1) نضيف إلى السطر الأول السطر الثاني مضروبًا في -1. أي أننا ضربنا السطر الثاني عقليًا في -1 وأضفنا السطرين الأول والثاني، بينما لم يتغير السطر الثاني.

الآن الجزء العلوي الأيسر هو -1، وهو ما يناسبنا تمامًا. يمكن لأي شخص يريد الحصول على +1 إجراء حركة إضافية: اضرب السطر الأول بـ -1 (قم بتغيير علامته).

(2) أضيف السطر الأول مضروبا في 5 إلى السطر الثاني، وأضيف السطر الأول مضروبا في 3 إلى السطر الثالث.

(3) تم ضرب السطر الأول في -1، من حيث المبدأ، وهذا من أجل الجمال. تم أيضًا تغيير علامة السطر الثالث وتم نقلها إلى المركز الثاني، بحيث تكون لدينا في "الخطوة" الثانية الوحدة المطلوبة.

(4) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 2.

(5) السطر الثالث مقسوم على 3.

العلامة السيئة التي تشير إلى خطأ في الحسابات (في حالات نادرة، خطأ مطبعي) هي النتيجة النهائية "السيئة". وهذا يعني أنه إذا حصلنا على شيء مثل أدناه، وبالتالي، إذن بدرجة عالية من الاحتمال يمكننا القول أنه حدث خطأ أثناء التحويلات الأولية.

نحن نشحن بالعكس، ففي تصميم الأمثلة غالبًا لا يعيدون كتابة النظام نفسه، ولكن المعادلات "مأخوذة مباشرة من المصفوفة المعطاة". وأذكرك أن الحركة العكسية تعمل من الأسفل إلى الأعلى:
نعم هذه هدية:

إجابة: .

مثال 4

حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

هذا مثال يمكنك حله بنفسك، فهو أكثر تعقيدًا إلى حد ما. لا بأس إذا كان شخص ما يشعر بالارتباك. الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية الدرس. قد يكون الحل الخاص بك مختلفًا عن الحل الخاص بي.

في الجزء الأخير سنلقي نظرة على بعض ميزات الخوارزمية الغوسية.
الميزة الأولى هي أنه في بعض الأحيان تكون بعض المتغيرات مفقودة من معادلات النظام، على سبيل المثال:

كيفية كتابة مصفوفة النظام الموسعة بشكل صحيح؟ لقد تحدثت بالفعل عن هذه النقطة في الفصل. حكم كريمر. طريقة المصفوفة. في المصفوفة الموسعة للنظام، نضع أصفارًا بدلاً من المتغيرات المفقودة:

بالمناسبة، هذا مثال سهل إلى حد ما، حيث أن العمود الأول يحتوي بالفعل على صفر واحد، وهناك عدد أقل من التحويلات الأولية التي يجب تنفيذها.

الميزة الثانية هي هذه. في جميع الأمثلة التي تم النظر فيها، وضعنا إما -1 أو +1 على "الخطوات". هل يمكن أن يكون هناك أرقام أخرى هناك؟ في بعض الحالات يمكنهم ذلك. النظر في النظام: .

هنا في "الخطوة" العلوية اليسرى لدينا اثنان. ولكننا نلاحظ أن جميع الأرقام الموجودة في العمود الأول قابلة للقسمة على 2 بدون باقي - والآخر اثنان وستة. والاثنان في أعلى اليسار سوف يناسبنا! في الخطوة الأولى، تحتاج إلى إجراء التحويلات التالية: إضافة السطر الأول مضروبًا في -1 إلى السطر الثاني؛ إلى السطر الثالث أضف السطر الأول مضروبًا في -3. بهذه الطريقة سنحصل على الأصفار المطلوبة في العمود الأول.

أو مثال تقليدي آخر: . هنا يناسبنا أيضًا الثلاثة في "الخطوة" الثانية، نظرًا لأن 12 (المكان الذي نحتاج فيه للحصول على الصفر) قابل للقسمة على 3 بدون باقي. من الضروري إجراء التحويل التالي: إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث، مضروبًا في -4، ونتيجة لذلك سيتم الحصول على الصفر الذي نحتاجه.

طريقة غاوس عالمية، ولكن هناك خصوصية واحدة. يمكنك أن تتعلم بثقة كيفية حل الأنظمة باستخدام طرق أخرى (طريقة كرامر، طريقة المصفوفة) حرفيًا في المرة الأولى - فهي تحتوي على خوارزمية صارمة للغاية. ولكن لكي تشعر بالثقة في الطريقة الغوسية، يجب عليك "الدخول في أسنانك" وحل ما لا يقل عن 5-10 أنظمة. لذلك، في البداية قد يكون هناك ارتباك وأخطاء في الحسابات، ولا يوجد شيء غير عادي أو مأساوي في هذا الأمر.

طقس خريفي ممطر خارج النافذة.... لذلك لكل من يريد مثالًا أكثر تعقيدًا ليحله بنفسه:

مثال 5

حل نظام من أربع معادلات خطية ذات أربعة مجاهيل باستخدام طريقة غاوس.

مثل هذه المهمة ليست نادرة جدًا في الممارسة العملية. أعتقد أنه حتى إبريق الشاي الذي درس هذه الصفحة بدقة سوف يفهم خوارزمية حل مثل هذا النظام بشكل حدسي. في الأساس، كل شيء هو نفسه - هناك المزيد من الإجراءات.

تتم مناقشة الحالات التي لا يوجد فيها حلول للنظام (غير متناسق) أو لديه عدد لا نهائي من الحلول في الدرس الأنظمة والأنظمة غير المتوافقة مع الحل المشترك. هناك يمكنك إصلاح الخوارزمية المدروسة للطريقة الغوسية.

أتمنى لك النجاح!

الحلول والأجوبة:

مثال 2: دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية.

التحولات الأولية التي تم إجراؤها:
(1) أضيف السطر الأول إلى السطر الثاني مضروبا في -2. تمت إضافة السطر الأول إلى السطر الثالث مضروبًا في -1.انتباه! هنا قد تنجذب إلى طرح الأول من السطر الثالث، وأنا أوصي بشدة بعدم طرحه - فخطر الخطأ يزيد بشكل كبير. فقط قم بطيها!
(2) تم تغيير إشارة السطر الثاني ( مضروبة في -1 ). تم تبديل السطر الثاني والثالث.ملحوظة ، أنه في "الخطوات" نحن راضون ليس فقط عن واحدة، ولكن أيضًا عن -1، وهو أكثر ملاءمة.
(3) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 5.
(4) تم تغيير إشارة السطر الثاني ( مضروبة في -1 ). تم تقسيم السطر الثالث على 14.

يعكس:


إجابة: .

مثال 4: لنكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية:

التحويلات التي تم تنفيذها:
(١) أضيف سطر ثاني إلى السطر الأول. وهكذا يتم تنظيم الوحدة المطلوبة في "الخطوة" العلوية اليسرى.
(2) أضيف السطر الأول مضروبا في 7 إلى السطر الثاني، وأضيف السطر الأول مضروبا في 6 إلى السطر الثالث.

مع "الخطوة" الثانية، يصبح كل شيء أسوأ ، "المرشحون" لذلك هم الرقمان 17 و 23، ونحتاج إما إلى واحد أو -1. تهدف التحويلات (3) و (4) إلى الحصول على الوحدة المطلوبة

(3) تم إضافة السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في -1.
(4) تم إضافة السطر الثالث إلى السطر الثاني مضروبا في -3.
تم استلام العنصر المطلوب في الخطوة الثانية. .
(5) أضيف السطر الثاني إلى السطر الثالث مضروبا في 6.
(6) تم ضرب السطر الثاني في -1، وتم تقسيم السطر الثالث على -83.ومن الواضح أن المستوى يتم تعريفه بشكل فريد من خلال ثلاث نقاط مختلفة لا تقع على نفس الخط. لذلك، تحظى تسميات الطائرات المكونة من ثلاثة أحرف بشعبية كبيرة - من خلال النقاط التي تنتمي إليها، على سبيل المثال، ؛ .إذا كان الأعضاء مجانيين

المعادلات بشكل عام، والمعادلات الجبرية الخطية وأنظمتها، وكذلك طرق حلها، تحتل مكانة خاصة في الرياضيات، النظرية والتطبيقية.

ويرجع ذلك إلى حقيقة أن الغالبية العظمى من المشاكل المادية والاقتصادية والتقنية وحتى التربوية يمكن وصفها وحلها باستخدام مجموعة متنوعة من المعادلات وأنظمتها. في الآونة الأخيرة، اكتسبت النمذجة الرياضية شعبية خاصة بين الباحثين والعلماء والممارسين في جميع المجالات الدراسية تقريبا، وهو ما يفسر بمزاياها الواضحة مقارنة بالطرق الأخرى المعروفة والمثبتة لدراسة الأشياء ذات الطبيعة المختلفة، على وجه الخصوص، ما يسمى المعقدة أنظمة. هناك مجموعة كبيرة ومتنوعة من التعريفات المختلفة للنموذج الرياضي التي قدمها العلماء في أوقات مختلفة، ولكن في رأينا، الأكثر نجاحًا هو البيان التالي. النموذج الرياضي هو فكرة يتم التعبير عنها بواسطة معادلة. وبالتالي فإن القدرة على تكوين وحل المعادلات وأنظمتها هي سمة أساسية للمتخصص الحديث.

لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية، الطرق الأكثر استخدامًا هي طريقة كرامر وجوردان غاوس وطريقة المصفوفة.

طريقة حل المصفوفات هي طريقة لحل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية ذات محدد غير صفري باستخدام مصفوفة معكوسة.

إذا كتبنا معاملات الكميات المجهولة xi في المصفوفة A، وقمنا بجمع الكميات غير المعروفة في عمود المتجه X، والمصطلحات الحرة في عمود المتجه B، فيمكن كتابة نظام المعادلات الجبرية الخطية في صورة معادلة المصفوفة التالية A · X = B، والتي لها حل فريد فقط عندما لا يساوي محدد المصفوفة A الصفر. في هذه الحالة، يمكن إيجاد حل نظام المعادلات بالطريقة التالية X = أ-1 · ب، أين أ-1 هي المصفوفة العكسية.

طريقة حل المصفوفة هي كما يلي.

دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية مع نمجهول:

ويمكن إعادة كتابتها في شكل مصفوفة: فأس = ب، أين أ- المصفوفة الرئيسية للنظام، بو X- أعمدة المصطلحات والحلول المجانية للنظام على التوالي:

دعونا نضرب معادلة المصفوفة هذه من اليسار بـ أ-1 - مصفوفة معكوسة للمصفوفة أ: أ -1 (فأس) = أ -1 ب

لأن أ -1 أ = ه، نحن نحصل X= أ -1 ب. سيعطي الجانب الأيمن من هذه المعادلة عمود الحل للنظام الأصلي. شرط تطبيق هذه الطريقة (وكذلك الوجود العام لحل لنظام غير متجانس من المعادلات الخطية مع عدد المعادلات يساوي عدد المجهولين) هو عدم انحطاط المصفوفة أ. والشرط الضروري والكافي لذلك هو أن محدد المصفوفة لا يساوي الصفر أ:det أ≠ 0.

لنظام متجانس من المعادلات الخطية، أي عندما يكون المتجه ب = 0 بل القاعدة المعاكسة: النظام فأس = 0 له حل غير تافه (أي غير صفري) فقط إذا كان det أ= 0. يسمى هذا الارتباط بين حلول الأنظمة المتجانسة وغير المتجانسة للمعادلات الخطية ببديل فريدهولم.

مثال حلول لنظام غير متجانس من المعادلات الجبرية الخطية.

دعونا نتأكد من أن محدد المصفوفة المكونة من معاملات المجهولات لنظام المعادلات الجبرية الخطية لا يساوي الصفر.

والخطوة التالية هي حساب المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة المكونة من معاملات المجهولات. ستكون هناك حاجة إليها للعثور على المصفوفة العكسية.