بيت الآلات الحاسبة قواعد إضافة صلاحيات ذات أسس مختلفة. قواعد طرح وإضافة القوى

قواعد إضافة صلاحيات ذات أسس مختلفة. قواعد طرح وإضافة القوى

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. الدليل الشامل (2019)

لماذا هناك حاجة إلى درجات؟ أين ستحتاجهم؟ لماذا يجب أن تأخذ الوقت الكافي لدراستها؟

لمعرفة كل شيء عن الدرجات العلمية، وما هي الحاجة إليها، وكيفية استخدام معرفتك في الحياة اليومية، اقرأ هذا المقال.

وبطبيعة الحال، فإن معرفة الدرجات العلمية ستقربك من اجتياز امتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة بنجاح ومن دخول جامعة أحلامك.

لنذهب لنذهب!)

ملاحظة مهمة! إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك، اضغط على CTRL+F5 (في نظام Windows) أو Cmd+R (في نظام Mac).

مستوى اول

الأس هو عملية رياضية مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء باللغة البشرية باستخدام أمثلة بسيطة جدًا. احرص. الأمثلة أولية، ولكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالإضافة.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: نحن ثمانية. كل شخص لديه زجاجتين من الكولا. كم الكولا هناك؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بشكل مختلف: . علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسالى. يلاحظون أولاً بعض الأنماط، ثم يكتشفون طريقة "لعدها" بشكل أسرع. وفي حالتنا، لاحظوا أن كل واحد من الأشخاص الثمانية لديه نفس العدد من زجاجات الكولا، وتوصلوا إلى تقنية تسمى الضرب. أوافق، فهو يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك، لحساب أسرع وأسهل وبدون أخطاء، عليك فقط أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأكثر صعوبة ومع وجود أخطاء! لكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وأخرى أجمل:

ما هي حيل العد الذكية الأخرى التي ابتكرها علماء الرياضيات الكسالى؟ يمين - رفع عدد إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات، يقول علماء الرياضيات أنك بحاجة إلى رفع هذا الرقم إلى القوة الخامسة. على سبيل المثال، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس خمسة يساوي... وهم يحلون مثل هذه المشاكل في رؤوسهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

كل ما عليك فعله هو تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأرقام. صدقني، هذا سيجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة لماذا سميت بالدرجة الثانية؟ مربعالأرقام والثالثة مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ سؤال جيد جدا. الآن سيكون لديك المربعات والمكعبات.

مثال واقعي رقم 1

لنبدأ بالمربع أو القوة الثانية للرقم.

تخيل حوض سباحة مربعًا بقياس متر في متر واحد. حمام السباحة في داشا الخاص بك. الجو حار وأريد حقًا السباحة. لكن...البركة ليس لها قاع! تحتاج إلى تغطية الجزء السفلي من حوض السباحة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ من أجل تحديد ذلك، عليك أن تعرف المنطقة السفلية للمسبح.

يمكنك ببساطة أن تحسب من خلال الإشارة بإصبعك أن قاع حوض السباحة يتكون من مكعبات متر بمتر. إذا كان لديك بلاط بطول متر في متر واحد، فستحتاج إلى قطع. إنه أمر سهل... ولكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ من المرجح أن يكون حجم البلاط سمًا سمًا، وبعد ذلك سيتم تعذيبك عن طريق "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتضاعف. لذلك، على جانب واحد من الجزء السفلي من حوض السباحة، سنضع البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا البلاط. اضرب في وستحصل على البلاط ().

هل لاحظت أنه لتحديد مساحة قاع حوض السباحة قمنا بضرب نفس العدد في نفسه؟ ماذا يعني ذلك؟ وبما أننا نضرب نفس العدد، فيمكننا استخدام تقنية "الضرب الأسي". (بالطبع، عندما يكون لديك رقمين فقط، فلا تزال بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهما، فإن رفعهما إلى قوة يكون أسهل بكثير كما أن هناك أخطاء أقل في العمليات الحسابية (... بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، هذا مهم جدًا).
إذن، ثلاثين مرفوعًا للقوة الثانية سيكون (). أو يمكننا القول أن ثلاثين تربيع سيكون كذلك. بمعنى آخر، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لأي رقم على شكل مربع. والعكس صحيح، إذا رأيت مربعًا، فهو دائمًا القوة الثانية لعدد ما. المربع هو صورة للقوة الثانية للرقم.

مثال واقعي رقم 2

إليك مهمة لك: احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية أو... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج عبارة عن مربع ذو جانب، فيمكنك تربيع ثمانية. سوف تحصل على الخلايا. () لذا؟

مثال واقعي رقم 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة للرقم. نفس المسبح. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا المسبح. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة، يتم قياس الأحجام والسوائل بالمتر المكعب. وهو أمر غير متوقع، أليس كذلك؟) ارسم حوض سباحة: حجم القاع متر وعمق متر، وحاول حساب عدد المكعبات التي يبلغ قياسها مترًا في متر. تتناسب مع حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة... اثنان وعشرون، ثلاثة وعشرون... كم عدد ما حصلت عليه؟ غير ضائع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ لهذا السبب! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم حمام السباحة، تحتاج إلى مضاعفة طوله وعرضه وارتفاعه ببعضها البعض. في حالتنا، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات... أسهل، أليس كذلك؟

تخيل الآن مدى كسل ومكر علماء الرياضيات إذا قاموا بتبسيط هذا الأمر أيضًا. لقد خفضنا كل شيء إلى إجراء واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساوون وأن نفس العدد مضروب في نفسه... ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك الاستفادة من الدرجة. لذا، فإن ما عددته بإصبعك ذات مرة، يقومون به في إجراء واحد: ثلاثة مكعبات يساوي. ويكتب هكذا: .

كل ما تبقى هو تذكر جدول الدرجات. ما لم تكن بالطبع كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت تحب العمل الجاد وارتكاب الأخطاء، فيمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا، لإقناعك أخيرًا بأن الدرجات العلمية تم اختراعها من قبل المنهكين والأشخاص الماكرين لحل مشاكل حياتهم، وليس لخلق مشاكل لك، إليك بعض الأمثلة الأخرى من الحياة.

مثال واقعي رقم 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تجنيه، تكسب مليونًا آخر. أي أن كل مليون لديك يتضاعف في بداية كل عام. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت تجلس الآن وتقوم "بالعد بإصبعك"، فأنت شخص مجتهد للغاية و... غبي. ولكن على الأرجح سوف تعطي إجابة في بضع ثوان، لأنك ذكي! إذًا، في السنة الأولى - اثنان مضروبًا في اثنين... وفي السنة الثانية - ماذا حدث باثنين آخرين، في السنة الثالثة... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرات. إذن اثنان أس خمسة يساوي مليونًا! الآن تخيل أن لديك منافسة والشخص الذي يستطيع العد بشكل أسرع سيحصل على هذه الملايين... من الجدير أن نتذكر قوى الأرقام، ألا تعتقد ذلك؟

مثال واقعي رقم 5

لديك مليون. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تكسبه، تكسب مليونين إضافيين. عظيم أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ دعونا نحسب. السنة الأولى - اضرب ب، ثم النتيجة بأخرى... إنه أمر ممل بالفعل، لأنك فهمت كل شيء بالفعل: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن، إلى القوة الرابعة يساوي مليونًا. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة أس أربعة هو أو.

الآن أنت تعلم أنه من خلال رفع الرقم إلى قوة ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعونا نلقي نظرة أخرى على ما يمكنك فعله بالدرجات العلمية وما تحتاج إلى معرفته عنها.

مصطلحات ومفاهيم... حتى لا نلتبس

لذلك، أولا، دعونا نحدد المفاهيم. ماذا تعتقد، ما هو الأس؟ الأمر بسيط جدًا - إنه الرقم الموجود "في أعلى" قوة الرقم. ليست علمية، ولكنها واضحة وسهلة التذكر.

حسنا، في نفس الوقت، ماذا مثل هذا الأساس درجة؟ والأبسط من ذلك هو الرقم الموجود أدناه في القاعدة.

هنا رسم لحسن التدبير.

حسنًا، بشكل عام، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل... الدرجة ذات الأساس "" والأس "" تقرأ على أنها "إلى الدرجة" وتكتب على النحو التالي:

قوة الرقم مع الأس الطبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأعداد الطبيعية هي تلك الأعداد التي تستخدم في العد عند سرد الأشياء: واحد، اثنان، ثلاثة... عندما نعد الأشياء، لا نقول: "ناقص خمسة"، "ناقص ستة"، "ناقص سبعة". كما أننا لا نقول: «الثلث»، أو «صفر نقطة خمسة». هذه ليست أرقاما طبيعية. ما هي الأرقام في رأيك؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة"، و"ناقص ستة"، و"ناقص سبعة". الأعداد الكلية.بشكل عام، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية، والأرقام المقابلة للأعداد الطبيعية (أي، المأخوذة بعلامة الطرح)، والعدد. من السهل فهم الصفر - فهو يحدث عندما لا يكون هناك شيء. ماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ لكن تم اختراعها في المقام الأول للإشارة إلى الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أرقام عقلانية. كيف نشأت، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين، اكتشف أسلافنا أنهم يفتقرون إلى الأرقام الطبيعية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى ذلك أرقام نسبية... مثير للاهتمام، أليس كذلك؟

هناك أيضًا أرقام غير منطقية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار، إنه كسر عشري لا نهائي. على سبيل المثال، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها، فستحصل على رقم غير نسبي.

ملخص:

دعونا نحدد مفهوم الدرجة التي أسها عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
تربيع الرقم يعني ضربه في نفسه:
تكعيب الرقم يعني ضربه في نفسه ثلاث مرات:

تعريف.رفع العدد إلى قوة طبيعية يعني ضرب العدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجات

ومن أين أتت هذه العقارات؟ سأظهر لك الآن.

دعونا نرى: ما هو و ?

أ-بريوري:

كم عدد المضاعفات الموجودة في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا مضاعفات إلى العوامل، وكانت النتيجة مضاعفات.

لكن بحكم التعريف، هذه قوة عدد ذات أس، أي: وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال: تبسيط التعبير.

حل:

مثال:تبسيط التعبير.

حل:ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب!
ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

2. هذا كل شيء القوة رقم

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي:

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟

ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟

في صلاحيات مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟ مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. ولكن إذا تضاعفنا، فإنه يعمل.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

وإليك الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى، أتمنى أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

مثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة للممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات! نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين.

ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟

دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذا، قمنا بضرب العدد في، وحصلنا على نفس النتيجة - . ما هو الرقم الذي يجب أن تضرب فيه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

دعونا نكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).

من ناحية، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مدى ضرب الصفر في حد ذاته، فستظل تحصل على الصفر، فمن الواضح. لكن من ناحية أخرى، مثل أي عدد أس صفر، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما مدى صحة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التدخل ورفضوا رفع الصفر إلى الأس صفر. وهذا هو، الآن لا يمكننا القسمة على الصفر فحسب، بل نرفعه أيضا إلى قوة الصفر.

هيا لنذهب. بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية والأعداد، تتضمن الأعداد الصحيحة أيضًا أرقامًا سالبة. لفهم ما هي القوة السالبة، دعونا نفعل كما في المرة السابقة: ضرب عدد عادي في نفس الرقم إلى قوة سالبة:

من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:

الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك، دعونا صياغة القاعدة:

الرقم الذي له قوة سالبة هو مقلوب نفس الرقم الذي له قوة موجبة. و لكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنك لا تستطيع القسمة على).

دعونا نلخص:

I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا أسًا سالبًا هو معكوس نفس العدد أسًا موجبًا: .

مهام الحل المستقل:

حسنًا، كالعادة، أمثلة للحلول المستقلة:

تحليل المشاكل للحل المستقل:

أعلم، أعلم أن الأرقام مخيفة، ولكن في امتحان الدولة الموحدة، عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! قم بحل هذه الأمثلة أو تحليل حلولها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.

الآن دعونا نفكر أرقام نسبية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.

لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:

لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":

ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.

أي أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .

لقد أتضح أن. ومن الواضح أن هذه الحالة الخاصة يمكن توسيعها: .

الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

دعونا نتذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو عدد موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص حتى الجذور من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أن هذه الأرقام لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل العدد على شكل كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.

واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، لكن هذين مجرد سجلين مختلفين لنفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة، يمكنك كتابتها. ولكن إذا كتبنا المؤشر بشكل مختلف، فسنقع في مشكلة مرة أخرى: (أي أننا حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.

حتى إذا:

- عدد طبيعي؛
- عدد صحيح؛

أمثلة:

تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:

5 أمثلة للممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء

بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث تكون أعداد صحيحة (أي أن الأرقام غير المنطقية هي جميع الأرقام الحقيقية باستثناء الأرقام العقلانية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛

...العدد إلى القوة صفر- يبدو أن هذا رقم مضروب في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة هي مجرد "رقم فارغ" معين. ، أي رقم؛

...درجة عدد صحيح سلبي- يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يُضرب في نفسه، بل تم تقسيمه.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة لرفع قوة إلى قوة:

انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابة: .

2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تحديد الدرجة

الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:

— قاعدة الدرجة
- الأس.

الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)

رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:

الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

بناء إلى درجة الصفر:

التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنك لا تستطيع القسمة على).

مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

القوة مع الأس العقلاني

- عدد طبيعي؛
- عدد صحيح؛

أمثلة:

خصائص الدرجات

ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

أ-بريوري:

لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:

ولكنها بحكم التعريف هي قوة عدد لها أس، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

حل : .

مثال : تبسيط التعبير.

حل : ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب. ولذلك نجمع بين القوى والقاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعونا نعيد تجميع هذا العمل على النحو التالي:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية.

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأمر فِهرِسدرجات. ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟ في صلاحيات طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟

مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. لكن إذا ضربنا في () نحصل على - .

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. ويمكن صياغة القواعد البسيطة التالية:

حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ وهنا الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا عليك معرفة أيهما أقل: أم؟ وإذا تذكرنا ذلك، يتبين أن ذلك يعني أن الأساس أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة الثانية: النتيجة ستكون سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل أن ننظر إلى القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.

حساب التعبيرات:

حلول :

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات!

نحن نحصل:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فمن الممكن أن تنطبق القاعدة 3. ولكن كيف؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن اتضح مثل هذا:

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين. ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!ولا يمكنك استبداله بتغيير عيب واحد فقط لا نحبه!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

والآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:

حسنًا، الآن دعونا نفتح الأقواس. كم عدد الحروف هناك في المجموع؟ مرات بالمضاعفات - بماذا يذكرك هذا؟ وهذا ليس أكثر من تعريف للعملية عمليه الضرب: لم يكن هناك سوى مضاعفات هناك. وهذا هو، بحكم التعريف، قوة الرقم مع الأس:

مثال:

درجة مع الأس غير عقلاني

بالإضافة إلى معلومات حول درجات المستوى المتوسط، سنقوم بتحليل الدرجة ذات الأس غير العقلاني. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، باستثناء - بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث و هي أعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير النسبية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأعداد النسبية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛ الرقم أس صفر هو كما لو كان رقمًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى عدد معين "رقم فارغ"، أي رقم؛ الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح - يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يتم ضربه في حد ذاته، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). إنه بالأحرى كائن رياضي بحت ابتكره علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا. لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

فماذا نفعل إذا رأينا أسًا غير نسبي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

الإجابات:

دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغ الأساسية

درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:

درجة مع الأس الصحيح

الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

القوة مع الأس العقلاني

الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.

درجة مع الأس غير عقلاني

الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.

خصائص الدرجات

مميزات الدرجات.

تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
الصفر يساوي أي قوة.
أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك الكلمة...

كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.

ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

وبالتوفيق في امتحاناتك!

مستوى اول

الدرجة وخصائصها. الدليل الشامل (2019)

لماذا هناك حاجة إلى درجات؟ أين ستحتاجهم؟ لماذا يجب أن تأخذ الوقت الكافي لدراستها؟

لنذهب لنذهب!)

مستوى اول

الأس هو عملية رياضية مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء باللغة البشرية باستخدام أمثلة بسيطة جدًا. احرص. الأمثلة أولية، ولكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالإضافة.

الآن الضرب.

هنا جدول الضرب. يكرر.

وأخرى أجمل:

ما هي حيل العد الذكية الأخرى التي ابتكرها علماء الرياضيات الكسالى؟ يمين - رفع عدد إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

كل ما عليك فعله هو تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأرقام. صدقني، هذا سيجعل حياتك أسهل بكثير.

مثال واقعي رقم 1

لنبدأ بالمربع أو القوة الثانية للرقم.

مثال واقعي رقم 2

مثال واقعي رقم 3

مثال واقعي رقم 4

مثال واقعي رقم 5

مصطلحات ومفاهيم... حتى لا نلتبس

حسنا، في نفس الوقت، ماذا مثل هذا الأساس درجة؟ والأبسط من ذلك هو الرقم الموجود أدناه في القاعدة.

هنا رسم لحسن التدبير.

قوة الرقم مع الأس الطبيعي

ملخص:

دعونا نحدد مفهوم الدرجة التي أسها عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
تربيع الرقم يعني ضربه في نفسه:
تكعيب الرقم يعني ضربه في نفسه ثلاث مرات:

تعريف.رفع العدد إلى قوة طبيعية يعني ضرب العدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجات

ومن أين أتت هذه العقارات؟ سأظهر لك الآن.

دعونا نرى: ما هو و ?

أ-بريوري:

كم عدد المضاعفات الموجودة في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا مضاعفات إلى العوامل، وكانت النتيجة مضاعفات.

لكن بحكم التعريف، هذه قوة عدد ذات أس، أي: وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال: تبسيط التعبير.

حل:

مثال:تبسيط التعبير.

فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

2. هذا كل شيء القوة رقم

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي:

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟

ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟

دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تستطيع فعلها؟

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

مثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة للممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

ولكن كيف نفعل ذلك؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا:

وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟

دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

دعونا نكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).

من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:

الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك، دعونا صياغة القاعدة:

دعونا نلخص:

I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .

ثالثا. الرقم الذي لا يساوي صفرًا أسًا سالبًا هو معكوس نفس العدد أسًا موجبًا: .

مهام الحل المستقل:

حسنًا، كالعادة، أمثلة للحلول المستقلة:

تحليل المشاكل للحل المستقل:

دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.

الآن دعونا نفكر أرقام نسبية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.

لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:

لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":

ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.

أي أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .

لقد أتضح أن. ومن الواضح أن هذه الحالة الخاصة يمكن توسيعها: .

الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

وهذا يعني أن هذه الأرقام لا يمكن رفعها إلى قوة كسرية ذات مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل العدد على شكل كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.

واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، لكن هذين مجرد سجلين مختلفين لنفس الرقم.

لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.

حتى إذا:

- عدد طبيعي؛
- عدد صحيح؛

أمثلة:

تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:

5 أمثلة للممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء

على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا.

لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات، ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن متأكدون من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة لرفع قوة إلى قوة:

انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

لقد أتضح أن:

إجابة: .

2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

مستوى متقدم

تحديد الدرجة

الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:

— قاعدة الدرجة
- الأس.

الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)

رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:

الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

بناء إلى درجة الصفر:

التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنك لا تستطيع القسمة على).

مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. اذا ثم.

أمثلة:

القوة مع الأس العقلاني

- عدد طبيعي؛
- عدد صحيح؛

أمثلة:

خصائص الدرجات

ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

أ-بريوري:

لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:

ولكنها بحكم التعريف هي قوة عدد لها أس، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

حل : .

مثال : تبسيط التعبير.

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعونا نعيد تجميع هذا العمل على النحو التالي:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة العشرية للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية.

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟

مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. ويمكن صياغة القواعد البسيطة التالية:

حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تستطيع فعلها؟ وهنا الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل أن ننظر إلى القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.

حساب التعبيرات:

حلول :

نحن نحصل:

إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن اتضح مثل هذا:

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

والآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:

مثال:

درجة مع الأس غير عقلاني

فماذا نفعل إذا رأينا أسًا غير نسبي؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه! :)

على سبيل المثال:

تقرر لنفسك:

الإجابات:

دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغ الأساسية

درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:

درجة مع الأس الصحيح

الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

القوة مع الأس العقلاني

الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.

درجة مع الأس غير عقلاني

الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.

خصائص الدرجات

مميزات الدرجات.

تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - الرقم إيجابي.
تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - الرقم سلبي.
الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
الصفر يساوي أي قوة.
أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك الكلمة...

كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.

ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

وبالتوفيق في امتحاناتك!

تقسيم السلطات على نفس القاعدة. الخاصية الأساسية للدرجة، المبنية على خصائص الضرب، يمكن تعميمها على حاصل ضرب ثلاث قوى أو أكثر بنفس الأسس والأسس الطبيعية.

3.a-3 هو a0 = 1، البسط الثاني. في الأمثلة الأكثر تعقيدًا، قد تكون هناك حالات حيث يجب إجراء الضرب والقسمة على قوى ذات أسس مختلفة وأسس مختلفة. الآن دعونا نلقي نظرة عليها باستخدام أمثلة محددة ونحاول إثباتها.

وبذلك أثبتنا أنه عند قسمة قوتين لهما نفس الأساس، يجب طرح أسسهما. بعد تحديد درجة الرقم، فمن المنطقي الحديث عن خصائص الدرجة.

سنقدم هنا إثباتات لجميع خصائص الدرجات، ونوضح أيضًا كيفية استخدام هذه الخصائص عند حل الأمثلة. على سبيل المثال، الخاصية الأساسية للكسر am·an=am+n غالبًا ما تستخدم في الصورة am+n=am·an عند تبسيط التعبيرات. دعونا نعطي مثالا يؤكد الخاصية الرئيسية للدرجة. قبل تقديم إثبات هذه الخاصية، دعونا نناقش معنى الشروط الإضافية في الصياغة.

خواص الدرجات ذات الأسس الطبيعية

تم تقديم الشرط m>n حتى لا نتجاوز الأسس الطبيعية. من المساواة الناتجة am−n·an=am ومن العلاقة بين الضرب والقسمة يترتب على أن am−n هو حاصل قسمة القوى am وan. وهذا يثبت خاصية قوى القسمة ذات الأساس المتماثل. وللتوضيح سنعرض هذه الخاصية بمثال. على سبيل المثال، بالنسبة لأي أعداد طبيعية p وq وr وs، تكون المساواة صحيحة. لمزيد من الوضوح، دعونا نعطي مثالا بأرقام محددة: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

جمع وطرح أحاديات الحد

تشير هذه الحقيقة وخصائص الضرب إلى أن نتيجة ضرب أي عدد من الأعداد الموجبة ستكون أيضًا عددًا موجبًا. من الواضح تمامًا أنه بالنسبة لأي عدد صحيح موجب n مع a=0 فإن درجة a هي صفر. في الواقع، 0n=0·0·…·0=0. على سبيل المثال، 03=0 و0762=0. دعنا ننتقل إلى القواعد السلبية للدرجة. لنبدأ بالحالة التي يكون فيها الأس عددًا زوجيًا، فلنشير إليه على أنه 2 ·m، حيث m هو رقم طبيعي.

دعونا ننتقل إلى إثبات هذه الخاصية. دعونا نثبت أنه بالنسبة لـ m>n و0 يبقى إثبات الجزء الثاني من الخاصية. لذلك، am−an>0 و am>an، وهو ما يحتاج إلى إثبات. إثبات كل من هذه الخصائص ليس بالأمر الصعب، للقيام بذلك يكفي استخدام تعريفات الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة، وكذلك خصائص العمليات مع الأعداد الحقيقية.

إذا كانت p=0، فلدينا (a0)q=1q=1 وa0·q=a0=1، ومن ثم (a0)q=a0·q. باستخدام نفس المبدأ، يمكنك إثبات جميع الخصائص الأخرى للدرجة باستخدام عدد صحيح مكتوب في صورة مساواة. الشروط p 0 في هذه الحالة ستكون معادلة للشروط m 0 على التوالي.

في هذه الحالة، الشرط p>q سيتوافق مع الشرط m1>m2، الذي يتبع قاعدة مقارنة الكسور العادية ذات المقامات نفسها. يمكن إعادة كتابة هذه التباينات في خصائص الجذور وفقًا لذلك كما يلي: و. وتعريف الدرجة ذات الأس العقلاني يسمح لنا بالانتقال إلى عدم المساواة، وبالتالي.

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

يسمى حساب قيمة القوة إجراء الأسي. أي أنه عند حساب قيمة تعبير لا يحتوي على أقواس، قم أولاً بإجراء المرحلة الثالثة، ثم الثانية (الضرب والقسمة)، وأخيراً الأولى (الجمع والطرح). العمليات مع الجذور.

توسيع مفهوم الدرجة. لقد تناولنا حتى الآن الأسس ذات الأسس الطبيعية فقط، ولكن العمليات التي تتم مع الأسس والجذور يمكن أن تؤدي أيضًا إلى الأسس السالبة والصفرية والكسرية. كل هذه الأسس تتطلب تعريفا إضافيا. إذا أردنا أن تكون الصيغة a m: a n=a m - n صالحة لـ m = n، فنحن بحاجة إلى تعريف الدرجة صفر.

ضرب قوى الأعداد التي لها نفس الأسس. بعد ذلك، سنقوم بصياغة نظرية حول تقسيم القوى ذات الأساسات المتماثلة، وحل المسائل التوضيحية، وإثبات النظرية في الحالة العامة. دعونا ننتقل الآن إلى تعريف القوى السلبية. يمكنك التحقق من ذلك بسهولة عن طريق استبدال الصيغة من التعريف بالخصائص المتبقية. لحل هذه المشكلة، تذكر أن: 49 = 7^2، و147 = 7^2 * 3^1. إذا كنت الآن تستخدم خصائص القوى بعناية (عند رفع قوة إلى قوة، فإن الأسس...

أي أنه يتم طرح الأسس فعليًا، ولكن نظرًا لأن الأس له أسًا سالبًا في المقام، فعند طرح ناقص على ناقص فإنه يعطي علامة زائد، ويتم جمع الأسس. دعونا نتذكر ما يسمى وحيدة الحد، وما هي العمليات التي يمكن إجراؤها باستخدام أحادية الحد. تذكر أنه لتبسيط أحادية الحد إلى صيغة قياسية، يجب عليك أولًا الحصول على معامل عددي عن طريق ضرب جميع العوامل العددية، ثم ضرب القوى المقابلة.

الانتقال إلى أساس جديد

وهذا يعني أننا يجب أن نتعلم التمييز بين أحاديات الحد المتشابهة وغير المتشابهة. لنستنتج: أن أحاديات الحد المتشابهة لها نفس جزء الحرف، ويمكن جمع وطرح مثل هذه الأحاديات.

شكرا لك على ملاحظاتك. إذا أعجبك مشروعنا وكنت على استعداد للمساعدة أو المشاركة فيه، فأرسل معلومات حول المشروع إلى أصدقائك وزملائك. قيل في الفيديو السابق أنه في الأمثلة ذات وحيدات الحد لا يمكن أن يكون هناك سوى الضرب: "دعونا نوجد الفرق بين هذه التعبيرات والتعبيرات السابقة.

إن مفهوم أحادية الحد كوحدة رياضية يعني فقط ضرب الأرقام والمتغيرات؛ إذا كانت هناك عمليات أخرى، فلن يعد التعبير أحادي الحد. ولكن في الوقت نفسه، يمكن جمع وطرح وتقسيم أحاديات الحد فيما بينها... اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل طريقة ممكنة. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فإن لها قواعدها الخاصة، والتي تسمى الخصائص الأساسية.

يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي نفس الأسباب. إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل! عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل أساس ووسيطة اللوغاريتم، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.

أي أن خاصية الدرجة الطبيعية n لمنتج عوامل k مكتوبة بالشكل (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. لا توجد قواعد بشأن جمع وطرح القوى ذات الأسس نفسها. أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. 4. اختصر أسس 2a4/5a3 و2/a4 وقم بإحضارهما إلى قاسم مشترك.

درجة ذات أس سلبي. تقسيم السلطات على نفس القاعدة. 4. اختصر أسس 2a4/5a3 و2/a4 وقم بإحضارهما إلى قاسم مشترك. أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. تمتد هذه الخاصية إلى قوة منتج ثلاثة عوامل أو أكثر. لذلك، am−an>0 و am>an، وهو ما يحتاج إلى إثبات. يبقى إثبات آخر الخصائص المدرجة للقوى ذات الأسس الطبيعية.

يرجى ملاحظة أن الخاصية رقم 4، مثل خصائص الدرجات الأخرى، يتم تطبيقها أيضًا بترتيب عكسي. أي أنه لضرب القوى بنفس الأسس، يمكنك ضرب الأساسات، لكن اترك الأسس دون تغيير. يسمى حساب قيمة القوة إجراء الأسي. أي أنه عند حساب قيمة تعبير لا يحتوي على أقواس، قم أولاً بإجراء المرحلة الثالثة، ثم الثانية (الضرب والقسمة)، وأخيراً الأولى (الجمع والطرح).

بعد تحديد درجة الرقم، فمن المنطقي الحديث عن خصائص الدرجة. سنقدم في هذه المقالة الخصائص الأساسية لقوة العدد، مع التطرق إلى جميع الأسس الممكنة. سنقدم هنا إثباتات لجميع خصائص الدرجات، ونوضح أيضًا كيفية استخدام هذه الخصائص عند حل الأمثلة. دعونا نلاحظ على الفور أن جميع عمليات المساواة المكتوبة تكون متطابقة إذا تم استيفاء الشروط المحددة، ويمكن تبديل طرفيها الأيمن والأيسر.

دعونا نعطي مثالا يؤكد الخاصية الرئيسية للدرجة. قبل تقديم إثبات هذه الخاصية، دعونا نناقش معنى الشروط الإضافية في الصياغة. تم تقديم الشرط m>n حتى لا نتجاوز الأسس الطبيعية. الخاصية الرئيسية للكسر تسمح لنا بكتابة المساواة am−n·an=a(m−n)+n=am.

الانتقال إلى أساس جديد

أي أن خاصية الدرجة الطبيعية n لمنتج عوامل k مكتوبة بالشكل (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. وللتوضيح سنعرض هذه الخاصية بمثال. يمكن إجراء الإثبات باستخدام الخاصية السابقة. على سبيل المثال، بالنسبة لأي أعداد طبيعية p وq وr وs، تكون المساواة صحيحة. لمزيد من الوضوح، دعونا نعطي مثالا بأرقام محددة: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

دعونا ننتقل إلى إثبات هذه الخاصية. دعونا نثبت ذلك بالنسبة لـ m>n و0. باستخدام نفس المبدأ، يمكننا إثبات جميع الخصائص الأخرى للدرجة باستخدام عدد صحيح، مكتوب في صورة مساواة. الشروط p 0 في هذه الحالة ستكون معادلة للشروط m 0 على التوالي. في هذه الحالة، الشرط p>q سيتوافق مع الشرط m1>m2، الذي يتبع قاعدة مقارنة الكسور العادية ذات المقامات نفسها.

العمليات مع الجذور. توسيع مفهوم الدرجة. لقد تناولنا حتى الآن الأسس ذات الأسس الطبيعية فقط، ولكن العمليات التي تتم مع الأسس والجذور يمكن أن تؤدي أيضًا إلى الأسس السالبة والصفرية والكسرية. كل هذه الأسس تتطلب تعريفا إضافيا. إذا أردنا أن تكون الصيغة a m: a n=a m - n صالحة لـ m = n، فنحن بحاجة إلى تعريف الدرجة صفر. اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق.

استخراج الأس من اللوغاريتم

إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل! عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل أساس ووسيطة اللوغاريتم، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.

من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات. في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة.

خصائص الدرجات، الصياغات، البراهين، الأمثلة.

يمكن أن يكون الرقم n أي شيء على الإطلاق، لأنه مجرد قيمة لوغاريتمية. وهذا ما يطلق عليه: الهوية اللوغاريتمية الأساسية. مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن. في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم.

أمثلة على حل أمثلة الكسور التي تحتوي على أرقام ذات قوى

تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس a لهذا الأساس نفسه يساوي واحدًا. 1 = 0 هو صفر لوغاريتمي. الأساس a يمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كان الوسيط يحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفر! لأن a0 = 1 هي نتيجة مباشرة للتعريف. هذا كل الخصائص. قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

2.a-4 هو a-2 البسط الأول. وفي هذه الحالة ننصحك بالقيام بما يلي. هذه هي المرحلة الثالثة من العمل. على سبيل المثال، الخاصية الأساسية للكسر am·an=am+n غالبًا ما تستخدم في الصورة am+n=am·an عند تبسيط التعبيرات. الشرط a≠0 ضروري لتجنب القسمة على صفر، حيث أن 0n=0، وعندما تعرفنا على القسمة اتفقنا على أنه لا يمكننا القسمة على صفر. من المساواة الناتجة am−n·an=am ومن العلاقة بين الضرب والقسمة يترتب على أن am−n هو حاصل قسمة القوى am وan. وهذا يثبت خاصية قوى القسمة ذات الأساس المتماثل.

وبالمثل، إذا كانت q=0، فإن (ap)0=1 وap·0=a0=1، ومن ثم (ap)0=ap·0. في الأمثلة الأكثر تعقيدًا، قد تكون هناك حالات حيث يجب إجراء الضرب والقسمة على قوى ذات أسس مختلفة وأسس مختلفة. يمكن إعادة كتابة هذه التباينات في خصائص الجذور وفقًا لذلك كما يلي: و. وتعريف الدرجة ذات الأس العقلاني يسمح لنا بالانتقال إلى عدم المساواة، وبالتالي.

ومن الواضح أنه يمكن إضافة الأعداد ذات القوى مثل الكميات الأخرى وذلك بإضافتها واحدة تلو الأخرى مع علاماتها.

إذن، مجموع أ 3 و ب 2 هو أ 3 + ب 2.
مجموع أ 3 - ب ن و ح 5 - د 4 هو أ 3 - ب ن + ح 5 - د 4.

احتمال القوى المتساوية للمتغيرات المتطابقةيمكن إضافتها أو طرحها.

إذن، مجموع 2a 2 و 3a 2 يساوي 5a 2.

ومن الواضح أيضًا أنه إذا أخذت مربعين أ، أو ثلاثة مربعات أ، أو خمسة مربعات أ.

لكن درجات متغيرات مختلفةو درجات مختلفة متغيرات متطابقة، فيجب تأليفها بإضافتها مع علاماتها.

إذن، مجموع 2 و 3 هو مجموع 2 + أ 3.

من الواضح أن مربع a ومكعب a لا يساوي ضعف مربع a، بل ضعف مكعب a.

مجموع أ 3 ب ن و 3 أ 5 ب 6 هو أ 3 ب ن + 3 أ 5 ب 6.

الطرحوتتم القوى بنفس طريقة الجمع، إلا أنه يجب تغيير علامات المطروح وفقًا لذلك.

أو:
2أ4 - (-6أ4) = 8أ4
3س 2 ب 6 - 4 س 2 ب 6 = -ح 2 ب 6
5(أ - ح) 6 - 2(أ - ح) 6 = 3(أ - ح) 6

مضاعفة القوى

يمكن ضرب الأعداد ذات القوى كغيرها من الكميات، وذلك بكتابتها واحدة تلو الأخرى، مع وجود علامة الضرب بينها أو بدونها.

وبالتالي فإن نتيجة ضرب أ 3 ب ب 2 هي 3 ب 2 أو aaabb.

أو:
س -3 ⋅ أ م = أ م × -3
3أ 6 ص 2 ⋅ (-2س) = -6أ 6 ص 2
أ 2 ب 3 ص 2 ⋅ أ 3 ب 2 ص = أ 2 ب 3 ص 2 أ 3 ب 2 ص

يمكن ترتيب النتيجة في المثال الأخير عن طريق إضافة متغيرات متطابقة.
سيأخذ التعبير الشكل: a 5 b 5 y 3.

من خلال مقارنة عدة أرقام (متغيرات) مع قوى، يمكننا أن نرى أنه إذا تم ضرب أي اثنين منها، فإن النتيجة هي رقم (متغير) له قوة تساوي كميةدرجات المصطلحات.

إذن، أ 2 .أ 3 = أ.أأ = أأأ = أ 5 .

هنا 5 هي قوة نتيجة الضرب، وتساوي 2 + 3، مجموع قوى الحدود.

إذًا، a n .a m = a m+n .

بالنسبة لـ n، يتم أخذ a كعامل عدة مرات مثل قوة n؛

ويتم أخذ m كعامل عدة مرات بقدر ما تساوي الدرجة m؛

لهذا السبب، يمكن ضرب القوى التي لها نفس الأساس عن طريق جمع أسس القوى.

إذن أ 2 .أ 6 = أ 2+6 = أ 8 . و x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

أو:
4أ ن ⋅ 2أ ن = 8أ 2ن
ب 2 ص 3 ⋅ ب 4 ص = ب 6 ص 4
(ب + ح - ص) ن ⋅ (ب + ح - ص) = (ب + ح - ص) ن+1

اضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
الجواب: س 4 - ص 4.
اضرب (س 3 + س - 5) ⋅ (2س 3 + س + 1).

تنطبق هذه القاعدة أيضًا على الأعداد التي لها أسس سلبي.

1. إذن، أ -2 .أ -3 = أ -5 . يمكن كتابة هذا بالشكل (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. أ -ن .أ م = أ م-ن .

إذا تم ضرب أ + ب في أ - ب، ستكون النتيجة أ 2 - ب 2: أي

نتيجة ضرب مجموع رقمين أو الفرق بينهما يساوي مجموع مربعاتهما أو الفرق بينهما.

إذا قمت بضرب مجموع وفرق رقمين مرفوع ل مربع، ستكون النتيجة مساوية لمجموع هذه الأرقام أو الفرق بينها الرابعدرجات.

إذن (أ - ص).(أ + ص) = أ 2 - ص 2.
(أ 2 - ص 2)⋅(أ 2 + ص 2) = أ 4 - ص 4.
(أ 4 - ص 4)⋅(أ 4 + ص 4) = أ 8 - ص 8.

تقسيم الدرجات

يمكن تقسيم الأرقام ذات القوى مثل الأرقام الأخرى، عن طريق الطرح من المقسوم، أو عن طريق وضعها في صورة كسر.

وبالتالي، فإن 3 ب 2 مقسومًا على ب 2 يساوي أ 3.

أو:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

كتابة 5 مقسومًا على 3 تبدو كالتالي $\frac(a^5)(a^3)$. ولكن هذا يساوي 2 . في سلسلة من الأرقام
أ +4، أ +3، أ +2، أ +1، أ 0، أ -1، أ -2، أ -3، أ -4.
يمكن قسمة أي عدد على آخر، وسيكون الأس مساوياً لـ اختلافمؤشرات الأعداد القابلة للقسمة.

عند قسمة الدرجات على نفس الأساس، يتم طرح أسسها..

لذا، ص 3: ص 2 = ص 3-2 = ص 1. أي $\frac(yyy)(yy) = y$.

و n+1:a = a n+1-1 = a n . وهذا يعني أن $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

أو:
ص 2 م: ص م = ص م
8أ ن + م: 4 أ م = 2 أ ن
12(ب + ص) ن: 3(ب + ص) 3 = 4(ب +ص) ن-3

القاعدة تنطبق أيضًا على الأرقام ذات سلبيقيم الدرجات.
نتيجة قسمة -5 على -3 هي -2.
أيضًا، $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(أأ)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 أو $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

من الضروري إتقان الضرب وتقسيم القوى بشكل جيد للغاية، لأن مثل هذه العمليات تستخدم على نطاق واسع في الجبر.

أمثلة على حل أمثلة الكسور التي تحتوي على أرقام ذات قوى

1. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac(5a^4)(3a^2)$ الإجابة: $\frac(5a^2)(3)$.

2. قم بتقليل الأسس بمقدار $\frac(6x^6)(3x^5)$. الإجابة: $\frac(2x)(1)$ أو 2x.

3. اختصر الأسس a 2 /a 3 وa -3 /a -4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
a 2 .a -4 هو -2 البسط الأول.
أ 3 .أ -3 هو 0 = 1، البسط الثاني.
a 3 .a -4 هو a -1 ، البسط المشترك.
بعد التبسيط: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. اختصر الأسس 2a 4 /5a 3 و2 /a 4 وتوصل إلى قاسم مشترك.
الجواب: 2أ 3 /5أ 7 و5أ 5 /5أ 7 أو 2أ 3 /5أ 2 و5/5أ 2.

5. اضرب (أ 3 + ب)/ب 4 في (أ - ب)/3.

6. اضرب (أ 5 + 1)/س 2 في (ب 2 - 1)/(س + أ).

7. اضرب b 4 /a -2 ب h -3 /x و n /y -3 .

8. اقسم 4 /ص 3 على 3 /ص 2 . الجواب: أ/ي.

9. قسّم (ح 3 - 1)/د 4 على (د ن + 1)/س.