كيفية العثور على الرقم n في التقدم الهندسي. مقام التقدم الهندسي: الصيغ والخصائص. مجموع التقدم الهندسي المحدود
دعونا نفكر في سلسلة معينة.
7 28 112 448 1792...
ومن الواضح تمامًا أن قيمة أي عنصر من عناصره أكبر بأربع مرات تمامًا من العنصر السابق. هذا يعني أن هذه السلسلة عبارة عن تقدم.
التقدم الهندسي هو تسلسل لا نهائي من الأرقام، السمة الرئيسية له هي أن الرقم التالي يتم الحصول عليه من الرقم السابق عن طريق الضرب برقم محدد. يتم التعبير عن ذلك من خلال الصيغة التالية.
a z +1 =a z ·q، حيث z هو رقم العنصر المحدد.
وفقا لذلك، ض ∈ ن.
الفترة التي يتم فيها دراسة التقدم الهندسي في المدرسة هي الصف التاسع. ستساعدك الأمثلة على فهم المفهوم:
0.25 0.125 0.0625...
وبناء على هذه الصيغة يمكن إيجاد مقام التقدم على النحو التالي:
لا يمكن أن يكون q أو b z صفرًا. كما أن كل عنصر من عناصر التقدم يجب ألا يساوي الصفر.
وفقًا لذلك، لمعرفة الرقم التالي في السلسلة، عليك ضرب الرقم الأخير بـ q.
لتعيين هذا التقدم، يجب عليك تحديد العنصر الأول والمقام. بعد ذلك، من الممكن العثور على أي من الحدود اللاحقة ومجموعها.
أصناف
اعتمادًا على q وa 1، ينقسم هذا التقدم إلى عدة أنواع:
- إذا كان كل من 1 و q أكبر من واحد، فإن هذا التسلسل هو تقدم هندسي يتزايد مع كل عنصر لاحق. ويرد أدناه مثال على ذلك.
مثال: أ 1 =3، ف=2 - كلا المعلمتين أكبر من واحد.
ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:
3 6 12 24 48 ...
- إذا |ف| أقل من واحد، أي أن الضرب به يعادل القسمة، فإن المتوالية ذات الشروط المماثلة تكون متوالية هندسية تناقصية. ويرد أدناه مثال على ذلك.
مثال: أ 1 =6، ف=1/3 - أ 1 أكبر من واحد، ف أقل.
ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:
6 2 2/3 ... - أي عنصر أكبر بثلاث مرات من العنصر الذي يليه.
- علامة بالتناوب. إذا س<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
مثال: أ 1 = -3، ف = -2 - كلا المعلمتين أقل من الصفر.
ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:
3, 6, -12, 24,...
الصيغ
هناك العديد من الصيغ للاستخدام المريح للتقدم الهندسي:
- صيغة المصطلح Z. يسمح لك بحساب عنصر تحت رقم محدد دون حساب الأرقام السابقة.
مثال:س = 3, أ 1 = 4. مطلوب حساب العنصر الرابع من التقدم.
حل:أ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- مجموع العناصر الأولى التي تساوي كميتها ض. يسمح لك بحساب مجموع كل عناصر التسلسل حتىأ ضشامل.
منذ (1-س) في المقام، ثم (1 - ف)≠ 0، وبالتالي فإن q لا تساوي 1.
ملاحظة: إذا كانت q=1، فسيكون التقدم عبارة عن سلسلة من الأرقام المتكررة بلا حدود.
مجموع التقدم الهندسي، أمثلة:أ 1 = 2, س= -2. احسب S5.
حل:س 5 = 22- الحساب باستخدام الصيغة.
- المبلغ إذا |س| < 1 и если z стремится к бесконечности.
مثال:أ 1 = 2 , س= 0.5. العثور على المبلغ.
حل:س ض = 2 · = 4
س ض = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
بعض الخصائص:
- خاصية مميزة. إذا كان الشرط التالي يعمل لأيض، فإن سلسلة الأرقام المعطاة هي تقدم هندسي:
أ ض 2 = أ ض -1 · أض+1
- أيضًا، يمكن العثور على مربع أي رقم في متوالية هندسية عن طريق إضافة مربعي أي رقمين آخرين في سلسلة معينة، إذا كانا على مسافة متساوية من هذا العنصر.
أ ض 2 = أ ض - ر 2 + أ ض + ر 2 ، أينر- المسافة بين هذه الأرقام.
- عناصرتختلف في سمرة واحدة.
- وتشكل لوغاريتمات عناصر التقدم أيضًا تقدمًا، ولكنها حسابية، أي أن كل منها أكبر من السابق برقم معين.
أمثلة على بعض المشاكل الكلاسيكية
لفهم ما هو التقدم الهندسي بشكل أفضل، يمكن أن تساعد الأمثلة مع الحلول للفئة 9.
- شروط:أ 1 = 3, أ 3 = 48. البحثس.
الحل: كل عنصر لاحق أكبر من العنصر الذي قبلهس مرة واحدة.من الضروري التعبير عن بعض العناصر بدلالة عناصر أخرى باستخدام المقام.
لذلك،أ 3 = س 2 · أ 1
عند الاستبدالس= 4
- شروط:أ 2 = 6, أ 3 = 12. احسب S 6.
حل:للقيام بذلك، ما عليك سوى العثور على q، العنصر الأول واستبداله في الصيغة.
أ 3 = س· أ 2 ، لذلك،س= 2
أ 2 = ف · أ 1،لهذا أ 1 = 3
س6= 189
- · أ 1 = 10, س= -2. ابحث عن العنصر الرابع للتقدم.
الحل: للقيام بذلك يكفي التعبير عن العنصر الرابع من خلال الأول ومن خلال المقام.
أ 4 = س 3· أ 1 = -80
مثال تطبيقى:
- قام أحد عملاء البنك بإيداع مبلغ قدره 10000 روبل، وبموجب شروطه، سيضيف العميل كل عام 6٪ منه إلى المبلغ الأصلي. كم سيكون المبلغ في الحساب بعد 4 سنوات؟
الحل: المبلغ الأولي هو 10 آلاف روبل. وهذا يعني أنه بعد سنة من الاستثمار سيكون لدى الحساب مبلغ يساوي 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06
وعليه فإن المبلغ الموجود في الحساب بعد سنة أخرى سيتم التعبير عنه على النحو التالي:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
أي أن المبلغ يزيد كل عام بمقدار 1.06 مرة. وهذا يعني أنه للعثور على مبلغ الأموال في الحساب بعد 4 سنوات، يكفي العثور على العنصر الرابع من التقدم، والذي يعطى بالعنصر الأول يساوي 10 آلاف والمقام يساوي 1.06.
س = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
أمثلة على مسائل حساب المجموع:
يستخدم التقدم الهندسي في مختلف المشاكل. يمكن إعطاء مثال للعثور على المبلغ على النحو التالي:
أ 1 = 4, س= 2، احسبس 5.
الحل: جميع البيانات اللازمة للحساب معروفة، ما عليك سوى استبدالها في الصيغة.
س 5 = 124
- أ 2 = 6, أ 3 = 18. احسب مجموع العناصر الستة الأولى.
حل:
في جيوم. التقدم، كل عنصر تالٍ أكبر بمقدار q من العنصر السابق، أي لحساب المجموع الذي تحتاج إلى معرفة العنصرأ 1 والقاسمس.
أ 2 · س = أ 3
س = 3
وبالمثل، تحتاج إلى العثور عليهاأ 1 ، معرفةأ 2 وس.
أ 1 · س = أ 2
أ 1 =2
س 6 = 728.
>>الرياضيات: التقدم الهندسي
ولتسهيل على القارئ، تم بناء هذه الفقرة بالضبط وفق نفس الخطة التي اتبعناها في الفقرة السابقة.
1. المفاهيم الأساسية.
تعريف.التسلسل العددي الذي تختلف جميع أعضائه عن 0 ويتم الحصول على كل عضو منه ابتداء من الثاني من العضو السابق بضربه في نفس الرقم يسمى متوالية هندسية. في هذه الحالة، يسمى الرقم 5 مقام التقدم الهندسي.
وبالتالي، فإن التقدم الهندسي هو تسلسل عددي (b n) يتم تحديده بشكل متكرر من خلال العلاقات
هل من الممكن النظر إلى تسلسل رقمي وتحديد ما إذا كان تقدمًا هندسيًا؟ يستطيع. إذا كنت مقتنعًا بأن نسبة أي عضو في المتتابعة إلى العضو السابق ثابتة، فهذا يعني أن لديك تقدمًا هندسيًا.
مثال 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
ب 1 = 1، ف = 3.
مثال 2.
هذا هو التقدم الهندسي الذي
مثال 3.
هذا هو التقدم الهندسي الذي
مثال 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
هذا متوالية هندسية حيث b 1 - 8، q = 1.
لاحظ أن هذا التسلسل هو أيضًا تقدم حسابي (انظر المثال 3 من الفقرة 15).
مثال 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
هذه متوالية هندسية يكون فيها b 1 = 2، q = -1.
من الواضح أن المتوالية الهندسية تكون تسلسلاً متزايدًا إذا كان b 1 > 0، q > 1 (انظر المثال 1)، ويكون تسلسلًا تنازليًا إذا كان b 1 > 0، 0< q < 1 (см. пример 2).
للإشارة إلى أن التسلسل (b n) عبارة عن تقدم هندسي، يكون الترميز التالي مناسبًا في بعض الأحيان:
يحل الرمز محل عبارة "التقدم الهندسي".
دعونا نلاحظ خاصية غريبة وفي نفس الوقت واضحة تمامًا للتقدم الهندسي:
إذا كان التسلسل 
هو متوالية هندسية، ثم تسلسل المربعات، أي. 
هو تقدم هندسي.
وفي المتوالية الهندسية الثانية، الحد الأول يساوي ويساوي q 2.
إذا تجاهلنا في متوالية هندسية كل الحدود التي تلي b n، فسنحصل على متوالية هندسية محدودة 
وفي فقرات أخرى من هذا القسم سننظر في أهم خصائص التقدم الهندسي.
2. صيغة الحد التاسع من المتوالية الهندسية.
النظر في التقدم الهندسي 
القاسم ف. لدينا:
ليس من الصعب تخمين أن المساواة صحيحة لأي رقم
هذه هي صيغة الحد n من المتوالية الهندسية.
تعليق.
إذا كنت قد قرأت الملاحظة المهمة من الفقرة السابقة وفهمتها، فحاول إثبات الصيغة (1) باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي، تمامًا كما حدث مع صيغة الحد النوني من المتوالية الحسابية.
دعونا نعيد كتابة صيغة الحد n من المتتابعة الهندسية
وأدخل الترميز: نحصل على y = mq 2، أو بمزيد من التفصيل، 
الوسيطة x موجودة في الأس، لذلك تسمى هذه الدالة بالدالة الأسية. هذا يعني أنه يمكن اعتبار المتتابعة الهندسية بمثابة دالة أسية محددة في المجموعة N من الأعداد الطبيعية. في التين. يوضح 96 أ الرسم البياني للوظيفة في الشكل. 966 - الرسم البياني الوظيفي 
في كلتا الحالتين، لدينا نقاط معزولة (مع الإحداثيات x = 1، x = 2، x = 3، وما إلى ذلك) تقع على منحنى معين (كلا الشكلين يظهران نفس المنحنى، ولكن موقعهما مختلفان ومصوران بمقاييس مختلفة). ويسمى هذا المنحنى المنحنى الأسي. ستتم مناقشة المزيد من التفاصيل حول الدالة الأسية ورسمها البياني في دورة الجبر للصف الحادي عشر.
دعنا نعود إلى الأمثلة 1-5 من الفقرة السابقة.
1) 1، 3، 9، 27، 81،... . هذه متوالية هندسية حيث b 1 = 1، q = 3. لننشئ صيغة الحد n 
2) 
هذا هو التقدم الهندسي الذي دعونا ننشئ له صيغة للحد n 
هذا هو التقدم الهندسي الذي 
دعونا ننشئ صيغة الحد n 
4) 8، 8، 8، ...، 8، ... . هذه متوالية هندسية حيث b 1 = 8، q = 1. لننشئ صيغة الحد n 
5) 2، -2، 2، -2، 2، -2،.... هذه متوالية هندسية يكون فيها b 1 = 2، q = -1. دعونا ننشئ صيغة الحد n 
مثال 6.
نظرا للتقدم الهندسي
وفي جميع الأحوال يعتمد الحل على صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية
أ) بوضع n = 6 في صيغة الحد n من المتوالية الهندسية نحصل على ذلك
ب) لدينا
بما أن 512 = 2 9، نحصل على n - 1 = 9، n = 10.
د) لدينا
مثال 7.
الفرق بين الحدين السابع والخامس من المتتابعة الهندسية هو 48، ومجموع الحدين الخامس والسادس من المتتابعة الهندسية هو أيضًا 48. أوجد الحد الثاني عشر من هذه المتتابعة.
المرحلة الأولى.رسم نموذج رياضي .
ويمكن كتابة شروط المشكلة بإيجاز على النحو التالي:
باستخدام صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية نحصل على:
ثم يمكن كتابة الشرط الثاني للمسألة (ب 7 - ب 5 = 48) بالشكل
يمكن كتابة الشرط الثالث للمسألة (ب5 + ب6=48) بالشكل
ونتيجة لذلك، نحصل على نظام من معادلتين مع متغيرين ب 1 و ف:
والذي، بالإضافة إلى الشرط 1) المكتوب أعلاه، يمثل نموذجًا رياضيًا للمشكلة.
المرحلة الثانية.
العمل مع النموذج المترجم. وبمساواة الطرفين الأيسرين لمعادلتي النظام نحصل على:
(قسمنا طرفي المعادلة على التعبير غير الصفري ب 1 ف 4).
من المعادلة ف 2 - ف - 2 = 0 نجد ف 1 = 2، ف 2 = -1. بتعويض القيمة q = 2 في المعادلة الثانية للنظام نحصل على 
بتعويض القيمة q = -1 في المعادلة الثانية للنظام، نحصل على b 1 1 0 = 48؛ هذه المعادلة ليس لها حلول.
إذن، b 1 =1، q = 2 - هذا الزوج هو الحل لنظام المعادلات المترجم.
الآن يمكننا كتابة المتوالية الهندسية التي تمت مناقشتها في المسألة: 1، 2، 4، 8، 16، 32، ... .
المرحلة الثالثة.
الإجابة على سؤال المشكلة. تحتاج إلى حساب ب 12. لدينا
الجواب: ب 12 = 2048.
3. صيغة لمجموع حدود التقدم الهندسي المحدود.
دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا
دعونا نشير بـ S n إلى مجموع مصطلحاته، أي.
دعونا نشتق صيغة للعثور على هذا المبلغ.
لنبدأ بأبسط حالة، عندما q = 1. ثم التقدم الهندسي b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn يتكون من أرقام n تساوي b 1 ، أي. يبدو التقدم مثل ب 1، ب 2، ب 3، ...، ب 4. مجموع هذه الأرقام هو ملحوظة 1.
دعونا الآن q = 1 للعثور على S n، نطبق تقنية مصطنعة: نقوم بإجراء بعض التحويلات للتعبير S n q. لدينا:
عند إجراء التحويلات، استخدمنا أولاً تعريف التقدم الهندسي، والذي بموجبه (انظر السطر الثالث من الاستدلال)؛ ثانياً: أضافوا وطرحوا، ولهذا لم يتغير معنى التعبير بالطبع (انظر السطر الرابع من الاستدلال)؛ ثالثًا، استخدمنا صيغة الحد النوني من المتوالية الهندسية:
من الصيغة (1) نجد:
هذه هي صيغة مجموع الحدود n للتقدم الهندسي (في الحالة التي تكون فيها q = 1).
مثال 8.
نظرا لتقدم هندسي محدود
أ) مجموع شروط التقدم؛ ب) مجموع مربعات حدوده.
ب) أعلاه (انظر ص 132) سبق أن لاحظنا أنه إذا تم تربيع جميع حدود المتوالية الهندسية، فسنحصل على متوالية هندسية مع الحد الأول b 2 والمقام q 2. ثم سيتم حساب مجموع الحدود الستة للتقدم الجديد بواسطة
مثال 9.
أوجد الحد الثامن من المتوالية الهندسية التي لها
في الواقع، لقد أثبتنا النظرية التالية.
المتوالية الرقمية هي متوالية هندسية إذا وفقط إذا كان مربع كل حد من حدودها، باستثناء النظرية الأولى (والأخيرة، في حالة المتتابعة المحدودة)، يساوي حاصل ضرب الحدين السابق واللاحق ( خاصية مميزة للتقدم الهندسي).
22.09.2018 22:00يعد التقدم الهندسي، إلى جانب التقدم الحسابي، سلسلة أرقام مهمة يتم دراستها في دورة الجبر المدرسية في الصف التاسع. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على مقام المتوالية الهندسية وكيف تؤثر قيمته على خصائصه.
تعريف التقدم الهندسي
أولاً، دعونا نعطي تعريفًا لسلسلة الأرقام هذه. المتوالية الهندسية عبارة عن سلسلة من الأعداد النسبية التي يتم تشكيلها عن طريق ضرب عنصرها الأول بالتتابع في رقم ثابت يسمى المقام.
على سبيل المثال، الأرقام في المتسلسلة 3، 6، 12، 24، ... هي متوالية هندسية، لأنك إذا ضربت 3 (العنصر الأول) في 2، تحصل على 6. وإذا ضربت 6 في 2، تحصل على 12، وهكذا.
عادةً ما يُشار إلى أعضاء التسلسل قيد النظر بالرمز ai، حيث i عبارة عن عدد صحيح يشير إلى رقم العنصر في السلسلة.
يمكن كتابة التعريف أعلاه للتقدم باللغة الرياضية على النحو التالي: an = bn-1 * a1، حيث b هو المقام. من السهل التحقق من هذه الصيغة: إذا كان n = 1، فإن b1-1 = 1، وسنحصل على a1 = a1. إذا كان n = 2، فإن an = b * a1، ونأتي مرة أخرى إلى تعريف سلسلة الأرقام المعنية. يمكن الاستمرار في التفكير المماثل للقيم الكبيرة لـ n.
مقام التقدم الهندسي
يحدد الرقم b تمامًا الحرف الذي ستحتوي عليه سلسلة الأرقام بأكملها. يمكن أن يكون المقام b موجبًا أو سالبًا أو أكبر من أو أقل من واحد. جميع الخيارات المذكورة أعلاه تؤدي إلى تسلسلات مختلفة:
- ب > 1. هناك سلسلة متزايدة من الأعداد النسبية. على سبيل المثال، 1، 2، 4، 8، ... إذا كان العنصر a1 سالبًا، فإن التسلسل بأكمله سيزيد فقط من حيث القيمة المطلقة، ولكنه سيتناقص اعتمادًا على إشارة الأرقام.
- ب = 1. في كثير من الأحيان لا تسمى هذه الحالة بالتقدم، حيث توجد سلسلة عادية من الأرقام المنطقية المتطابقة. على سبيل المثال، -4، -4، -4.
صيغة المبلغ
قبل الانتقال إلى النظر في مشاكل محددة باستخدام قاسم نوع التقدم قيد النظر، ينبغي إعطاء صيغة مهمة لمجموع عناصره الأولى. تبدو الصيغة كما يلي: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
يمكنك الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت تفكر في التسلسل العودي لشروط التقدم. لاحظ أيضًا أنه في الصيغة أعلاه يكفي معرفة العنصر الأول والمقام فقط للعثور على مجموع عدد عشوائي من المصطلحات.
تسلسل تنازلي لا نهاية له
وقد تقدم شرح أعلاه لما هو عليه. الآن، بعد أن عرفنا صيغة Sn، فلنطبقها على سلسلة الأعداد هذه. حيث أن أي رقم لا يتجاوز معامله 1 يميل إلى الصفر عند رفعه إلى قوى كبيرة، أي b∞ => 0 إذا -1
نظرًا لأن الفرق (1 - ب) سيكون دائمًا موجبًا، بغض النظر عن قيمة المقام، فإن إشارة مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي S∞ يتم تحديدها بشكل فريد من خلال إشارة عنصرها الأول a1.
الآن دعونا نلقي نظرة على العديد من المشاكل حيث سنوضح كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة على أرقام محددة.
المهمة رقم 1. حساب عناصر التقدم والمجموع غير المعروفة
بالنظر إلى تقدم هندسي، فإن مقام التقدم هو 2، وعنصره الأول هو 3. ما الذي يساوي حديه السابع والعاشر، وما هو مجموع عناصره السبعة الأولية؟
حالة المشكلة بسيطة للغاية وتتضمن الاستخدام المباشر للصيغ المذكورة أعلاه. لذا، لحساب رقم العنصر n، نستخدم التعبير an = bn-1 * a1. بالنسبة للعنصر السابع لدينا: a7 = b6 * a1، وبالتعويض عن البيانات المعروفة، نحصل على: a7 = 26 * 3 = 192. ونفعل الشيء نفسه بالنسبة للحد العاشر: a10 = 29 * 3 = 1536.
دعونا نستخدم الصيغة المعروفة للمجموع ونحدد هذه القيمة للعناصر السبعة الأولى في السلسلة. لدينا: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
المشكلة رقم 2. تحديد مجموع العناصر التعسفية للتقدم
دع -2 يساوي مقام التقدم الهندسي bn-1 * 4، حيث n عدد صحيح. من الضروري تحديد المجموع من العنصر الخامس إلى العنصر العاشر من هذه السلسلة ضمناً.
لا يمكن حل المشكلة المطروحة مباشرة باستخدام الصيغ المعروفة. يمكن حلها باستخدام طريقتين مختلفتين. ولإكتمال عرض الموضوع نقدم كلا الأمرين.
الطريقة الأولى: الفكرة بسيطة: تحتاج إلى حساب المجموعين المتقابلين للحدين الأولين، ثم طرح الآخر من أحدهما. نحسب المبلغ الأصغر: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. الآن نحسب المجموع الأكبر: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. لاحظ أنه في التعبير الأخير تم جمع 4 حدود فقط، حيث تم تضمين الحد الخامس بالفعل في المبلغ الذي يجب حسابه وفقًا لشروط المشكلة. أخيرًا، نأخذ الفرق: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
الطريقة الثانية: قبل استبدال الأرقام والعد، يمكنك الحصول على صيغة للمجموع بين حدي m وn للسلسلة المعنية. نحن نفعل نفس الشيء تمامًا كما في الطريقة الأولى، فقط نعمل أولاً مع التمثيل الرمزي للمبلغ. لدينا: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . يمكنك استبدال الأرقام المعروفة في التعبير الناتج وحساب النتيجة النهائية: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
المشكلة رقم 3. ما هو القاسم؟
لنفترض أن a1 = 2، أوجد مقام المتتابعة الهندسية، على أن يكون مجموعها اللانهائي 3، ومن المعلوم أن هذه سلسلة متناقصة من الأعداد.
بناءً على ظروف المشكلة، ليس من الصعب تخمين الصيغة التي يجب استخدامها لحلها. وبطبيعة الحال، لمجموع التقدم يتناقص بلا حدود. لدينا: S∞ = a1 / (1 - ب). من حيث نعبر عن المقام: b = 1 - a1 / S∞. يبقى استبدال القيم المعروفة والحصول على الرقم المطلوب: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 أو -0.333(3). يمكننا التحقق من هذه النتيجة نوعيًا إذا تذكرنا أنه بالنسبة لهذا النوع من التسلسل، يجب ألا يتجاوز المعامل b 1. كما يمكن أن يرى، |-1 / 3|
المهمة رقم 4. استعادة سلسلة من الأرقام
لنفترض عنصرين من سلسلة أرقام، على سبيل المثال، الخامس يساوي 30 والعاشر يساوي 60. ومن الضروري إعادة بناء السلسلة بأكملها من هذه البيانات، مع العلم أنها تلبي خصائص التقدم الهندسي.
لحل المشكلة، يجب عليك أولاً كتابة التعبير المقابل لكل مصطلح معروف. لدينا: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. الآن نقسم التعبير الثاني على الأول، نحصل على: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. من هنا نحدد المقام بأخذ الجذر الخامس لنسبة الحدود المعروفة من بيان المشكلة، ب = 1.148698. نعوض الرقم الناتج في أحد تعبيرات العنصر المعروف فنحصل على: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
وبذلك وجدنا مقام المتوالية bn، والمتتالية الهندسية bn-1 * 17.2304966 = an، حيث b = 1.148698.
أين يتم استخدام التقدم الهندسي؟
ولو لم يكن هناك تطبيق عملي لهذه السلسلة العددية، لاختزلت دراستها إلى مجرد اهتمام نظري بحت. ولكن مثل هذا التطبيق موجود.
فيما يلي الأمثلة الثلاثة الأكثر شهرة:
- تم حل مفارقة زينو، حيث لا يستطيع أخيل الذكي اللحاق بالسلحفاة البطيئة، باستخدام مفهوم تسلسل الأرقام المتناقص بشكل لا نهائي.
- إذا وضعت حبات القمح على كل مربع من رقعة الشطرنج بحيث تضع حبة واحدة في المربع الأول، وفي الثاني - 2، وفي الثالث - 3، وهكذا، فستحتاج إلى ملء جميع مربعات اللوحة 18446744073709551615 حبة!
- في لعبة "برج هانوي" لنقل الأقراص من قضيب إلى آخر، من الضروري إجراء عمليات 2n - 1، أي أن عددها ينمو بشكل كبير مع عدد الأقراص المستخدمة.
شارع كييفيان، 16 0016 أرمينيا، يريفان +374 11 233 255
لذلك، دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:
يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا، هناك). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا معرفة أي منها هو الأول، وأيها هو الثاني، وهكذا حتى الرقم الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على التسلسل الرقمي:
تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.
على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:
الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم رقم) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحمل الرقم يسمى العضو n في التسلسل.
عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .
في حالتنا هذه:
أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي الحسابية والهندسية. وفي هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - المتوالية الهندسية.
لماذا هناك حاجة للتقدم الهندسي وتاريخه؟
حتى في العصور القديمة، كان عالم الرياضيات الإيطالي الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) يتعامل مع الاحتياجات العملية للتجارة. كانت على الراهب مهمة تحديد ما هو أقل عدد من الأوزان التي يمكن استخدامها لوزن منتج ما؟ يثبت فيبوناتشي في أعماله أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذه واحدة من المواقف الأولى التي كان على الناس فيها التعامل مع تقدم هندسي، والذي ربما سمعت عنه بالفعل ولديك على الأقل فهم عام له. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟
حاليًا، في ممارسة الحياة، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك، عندما يتم استحقاق مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. وبعبارة أخرى، إذا قمت بوضع المال على وديعة لأجل في بنك الادخار، فبعد عام سوف تزيد الوديعة بالمبلغ الأصلي، أي. المبلغ الجديد سيكون مساوياً للمساهمة مضروبة في. وفي عام آخر سيزيد هذا المبلغ بمقدار، أي. سيتم مضاعفة المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف موقف مماثل في مشاكل حساب ما يسمى الفائدة المركبة– يتم أخذ النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود في الحساب مع مراعاة الفوائد السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.
هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها تطبيق التقدم الهندسي. فمثلاً انتشار الأنفلونزا: شخص أصاب شخص آخر، وهم بدورهم نقلوا العدوى لشخص آخر، وبالتالي تكون الموجة الثانية من العدوى لشخص، وهم بدورهم يصيبون آخر... وهكذا.. .
بالمناسبة، الهرم المالي، نفس MMM، هو حساب بسيط وجاف يعتمد على خصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا معرفة ذلك.
المتوالية الهندسية.
لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:
ستجيب على الفور بأن هذا أمر سهل وأن اسم هذا التسلسل هو مع اختلاف أعضائه. وماذا عن هذا:
إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم اللاحق، سترى أنه في كل مرة تحصل على فرق جديد (وهكذا)، ولكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - كل رقم لاحق أكبر مرات من الرقم السابق!
يسمى هذا النوع من التسلسل الرقمي المتوالية الهندسيةويتم تعيينه.
المتوالية الهندسية () عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي يسبقه مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
القيود أن الحد الأول () ليس متساويا وليس عشوائيا. لنفترض أنه لا يوجد شيء، ولا يزال الحد الأول متساويًا، وq تساوي، امممم.. فليكن، فيتبين:
توافق على أن هذا لم يعد تقدمًا.
كما تفهم، سنحصل على نفس النتائج إذا كان هناك أي رقم غير الصفر، أ. في هذه الحالات، لن يكون هناك أي تقدم، حيث أن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما كلها أصفار، أو رقم واحد، وكل الباقي سيكون أصفارًا.
الآن دعونا نتحدث بمزيد من التفصيل عن مقام التقدم الهندسي، أي o.
دعونا نكرر: - هذا هو الرقم كم مرة يتغير كل مصطلح لاحق؟المتوالية الهندسية.
ماذا تعتقد أنه يمكن أن يكون؟ هذا صحيح، إيجابي وسلبي، ولكن ليس الصفر (تحدثنا عن هذا أعلى قليلا).
لنفترض أن حالتنا إيجابية. دعونا في حالتنا، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟ يمكنك الإجابة بسهولة على ذلك:
صحيح. وفقًا لذلك، إذا كانت جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - فهي إيجابية.
ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟
هذه قصة مختلفة تماما
حاول حساب شروط هذا التقدم. كم لم تحصل عليه؟ أملك. وبالتالي، إذا، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي إذا رأيت تقدماً بعلامات متناوبة لأعضائه فإن مقامه سالب. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة على اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
الآن دعونا نتدرب قليلًا: حاول تحديد أي تسلسل رقمي يمثل تقدمًا هندسيًا وأيها يمثل تقدمًا حسابيًا:
فهمتها؟ دعونا نقارن إجاباتنا:
- التقدم الهندسي - 3، 6.
- التقدم الحسابي - 2، 4.
- إنها ليست متتابعة حسابية أو هندسية - 1، 5، 7.
دعنا نعود إلى تقدمنا الأخير ونحاول العثور على العضو الخاص به، تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي. كما كنت قد خمنت، هناك طريقتان للعثور عليه.
نحن نضرب كل حد على التوالي.
لذا، فإن الحد العاشر للتقدم الهندسي الموصوف يساوي.
كما خمنت بالفعل، الآن سوف تستمد بنفسك صيغة ستساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل قمت بالفعل بتطويره بنفسك، مع وصف كيفية العثور على العضو رقم خطوة بخطوة؟ إذا كان الأمر كذلك، فتحقق من صحة تفكيرك.
ولنوضح ذلك بمثال إيجاد الحد العاشر لهذا التقدم:
بعبارة أخرى:
أوجد قيمة حد المتوالية الهندسية المعطاة بنفسك.
حدث؟ دعونا نقارن إجاباتنا:
يرجى ملاحظة أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما قمنا بضربنا بالتتابع في كل حد سابق من المتوالية الهندسية.
دعونا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فلنضعها بشكل عام ونحصل على:
الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الإيجابية والسلبية. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط التقدم الهندسي بالشروط التالية: أ.
هل حسبت؟ دعونا نقارن النتائج:
توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على مصطلح التقدم بنفس طريقة العثور على مصطلح، ومع ذلك، هناك احتمال لحساب غير صحيح. وإذا وجدنا بالفعل الحد العاشر للتقدم الهندسي، فما الذي يمكن أن يكون أبسط من استخدام الجزء "المقطوع" من الصيغة.
تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.
تحدثنا مؤخرًا عن حقيقة أنه يمكن أن يكون أكبر أو أقل من الصفر، إلا أن هناك قيمًا خاصة تسمى المتوالية الهندسية يتناقص بلا حدود.
لماذا تعتقد أن هذا الاسم أعطى؟
أولاً، دعونا نكتب بعض التقدم الهندسي المكون من الحدود.
فلنقول إذن:
نرى أن كل حد لاحق أقل من الذي قبله بعامل، ولكن هل سيكون هناك أي رقم؟ سوف تجيب على الفور بـ "لا". وهذا هو السبب في أنه يتناقص بلا حدود - فهو يتناقص ويتناقص، لكنه لا يصبح صفرًا أبدًا.
لكي نفهم بوضوح كيف يبدو هذا بصريًا، دعونا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذا، في حالتنا، تأخذ الصيغة الشكل التالي:
في الرسوم البيانية اعتدنا على رسم الاعتماد عليها، لذلك:
لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول أظهرنا اعتماد قيمة عضو في متوالية هندسية على رقمه الترتيبي، وفي الإدخال الثاني أخذنا ببساطة قيمة عضو في متوالية هندسية على أنها ، وتم تعيين الرقم الترتيبي ليس كـ، بل كـ. كل ما يتعين علينا القيام به هو بناء رسم بياني.
دعونا نرى ما حصل. هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:
هل ترى؟ تتناقص الدالة، وتميل إلى الصفر، ولكنها لا تتعداها أبدًا، لذا فهي تتناقص إلى ما لا نهاية. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني، وفي نفس الوقت ما الإحداثيات والمعنى:
حاول أن ترسم رسمًا بيانيًا للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان حده الأول متساويًا أيضًا. تحليل ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق لدينا؟
هل تستطيع فعلها؟ هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:
الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع التقدم الهندسي: أنت تعرف ما هو، وتعرف كيفية العثور على مصطلحه، وتعرف أيضًا ما هو التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي، دعنا ننتقل إلى خاصيته الرئيسية.
خاصية التقدم الهندسي.
هل تتذكر خاصية شروط التقدم الحسابي؟ نعم، نعم، كيفية العثور على قيمة عدد معين من التقدم عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لشروط هذا التقدم. هل تذكر؟ هذا:
الآن نحن نواجه نفس السؤال تمامًا فيما يتعلق بشروط التقدم الهندسي. لاستخلاص مثل هذه الصيغة، لنبدأ بالرسم والتفكير. سترى أن الأمر سهل جدًا، وإذا نسيت، يمكنك إخراجه بنفسك.
لنأخذ متوالية هندسية بسيطة أخرى، والتي نعرفها و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي الأمر سهل وبسيط، ولكن ماذا عن هنا؟ في الواقع، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى كتابة كل قيمة تُعطى لنا وفقًا للصيغة.
قد تسأل ماذا يجب أن نفعل حيال ذلك الآن؟ نعم، بسيط جدا. أولاً، دعونا نصور هذه الصيغ في صورة ونحاول إجراء عمليات معالجة مختلفة بها للوصول إلى القيمة.
دعونا نلخص الأرقام المعطاة لنا، ودعونا نركز فقط على التعبير عنها من خلال الصيغة. علينا إيجاد القيمة الموضحة باللون البرتقالي، مع معرفة الحدود المجاورة لها. دعونا نحاول القيام بإجراءات مختلفة معهم، ونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.
إضافة.
دعونا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:
من هذا التعبير، كما ترون، لا يمكننا التعبير عنه بأي شكل من الأشكال، لذلك، سنحاول خيار آخر - الطرح.
الطرح.
وكما ترى، لا يمكننا التعبير عن ذلك أيضًا، لذا دعونا نحاول ضرب هذه المقادير في بعضها البعض.
عمليه الضرب.
انظر الآن بعناية إلى ما لدينا من خلال ضرب شروط التقدم الهندسي المعطاة لنا مقارنة بما يجب العثور عليه:
خمن ما أتحدث عنه؟ بشكل صحيح، للعثور علينا نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لأرقام التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب مضروبًا في بعضها البعض:
ها أنت ذا. لقد استمدت بنفسك خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة بشكل عام. حدث؟
نسيت الشرط ل؟ فكر في سبب أهميته، على سبيل المثال، حاول حسابه بنفسك. ماذا سيحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح، محض هراء لأن الصيغة تبدو كما يلي:
وبناء على ذلك، لا ننسى هذا القيد.
الآن دعونا نحسب ما يساويه
اجابة صحيحة - ! إذا لم تنس القيمة الثانية المحتملة أثناء الحساب، فأنت رائع ويمكنك الانتقال فورًا إلى التدريب، وإذا نسيت، فاقرأ ما تمت مناقشته أدناه وانتبه إلى سبب وجوب كتابة كلا الجذرين في إجابة.
لنرسم كلا من التقدمين الهندسيين لدينا - أحدهما بقيمة والآخر بقيمة ونتحقق مما إذا كان لكل منهما الحق في الوجود:
من أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا، من الضروري معرفة ما إذا كانت جميع حدوده المعطاة هي نفسها؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.
ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن علامة المصطلح الذي تبحث عنه تعتمد على ما إذا كانت إيجابية أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ما هو، علينا كتابة الإجابتين بعلامة موجب وسالب.
الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت صيغة خاصية التقدم الهندسي، ابحث عن ومعرفة و
قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:
ما رأيك، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم شروط التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال، نحن بحاجة إلى العثور على، وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي استنتجناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة، مع وصف ما تتكون منه كل قيمة، كما فعلت عندما استنتجت الصيغة في الأصل.
على ماذا حصلت؟
الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبالمقابل:
من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الدول المجاورةمع الشروط المطلوبة للتقدم الهندسي، ولكن أيضًا مع على مسافة متساويةمن ما يبحث عنه الأعضاء.
وبالتالي، فإن صيغتنا الأولية تأخذ الشكل:
أي أننا إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى، فإننا نقول الآن إنه يمكن أن يساوي أي عدد طبيعي أصغر منه. الشيء الرئيسي هو أنه هو نفسه لكلا الرقمين المحددين.
تدرب على أمثلة محددة، فقط كن حذرًا للغاية!
- ، . يجد.
- ، . يجد.
- ، . يجد.
مقرر؟ أتمنى أن تكون منتبهًا للغاية وأن تلاحظ وجود مشكلة صغيرة.
دعونا نقارن النتائج.
في الحالتين الأوليين، نطبق الصيغة المذكورة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:
وفي الحالة الثالثة، وبعد الفحص الدقيق للأرقام التسلسلية للأرقام المعطاة لنا، نفهم أنها ليست على مسافة متساوية من الرقم الذي نبحث عنه: فهو الرقم السابق، ولكنه محذوف في موضع، لذا فهو ليس من الممكن تطبيق الصيغة.
كيف حلها؟ انها في الواقع ليست صعبة كما يبدو! دعونا نكتب مما يتكون كل رقم مُعطى لنا والرقم الذي نبحث عنه.
لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا القيام به معهم؟ أقترح التقسيم على. نحن نحصل:
نستبدل بياناتنا في الصيغة:
الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها هي - لهذا نحتاج إلى أخذ الجذر التكعيبي للرقم الناتج.
الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ذلك، ولكن علينا العثور عليه، وهو بدوره يساوي:
وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:
جوابنا: .
حاول حل مشكلة أخرى مماثلة بنفسك:
منح: ،
يجد:
كم لم تحصل عليه؟ أملك - .
كما ترون، في الأساس تحتاج تذكر صيغة واحدة فقط- . ويمكنك سحب الباقي بنفسك دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك، ما عليك سوى كتابة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق وكتابة ما يساويه كل رقم من أرقامه، وفقًا للصيغة الموضحة أعلاه.
مجموع شروط التقدم الهندسي.
الآن دعونا نلقي نظرة على الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع حدود التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:
لاشتقاق صيغة مجموع حدود المتتابعة الهندسية المحدودة، اضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه في. نحن نحصل:
انظر بعناية: ما هو الشيء المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح، الأعضاء المشتركون مثلاً، وهكذا، باستثناء العضو الأول والأخير. دعونا نحاول طرح الأول من المعادلة الثانية. على ماذا حصلت؟
الآن عبر عن حد التقدم الهندسي من خلال الصيغة واستبدل التعبير الناتج في الصيغة الأخيرة:
قم بتجميع التعبير. يجب ان تحصل على:
كل ما يتعين علينا القيام به هو التعبير عن:
وفقا لذلك، في هذه الحالة.
ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل بعد ذلك؟ تخيل تقدمًا هندسيًا عند. كيف تبدو؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة صحيحة، لذا ستبدو الصيغة كما يلي:
هناك العديد من الأساطير حول التقدم الحسابي والهندسي. واحد منهم هو أسطورة ست، خالق الشطرنج.
يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المناصب الممكنة فيها. بعد أن علم أن أحد رعاياه اخترعها، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. استدعى المخترع إلى نفسه وأمره أن يطلب منه كل ما يريد، ووعد بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.
طلب سيتا وقتًا للتفكير، وعندما ظهر سيتا أمام الملك في اليوم التالي، فاجأ الملك بالتواضع غير المسبوق في طلبه. طلب أن يعطي حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وحبة قمح للمربع الثاني، وحبة قمح للمربع الثالث، وحبة قمح للربع، الخ.
فغضب الملك وطرد سيث قائلاً إن طلب الخادم لا يليق بكرم الملك، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبوبه مقابل كل مربعات اللوح.
والآن السؤال: باستخدام صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يحصل عليها سيث؟
لنبدأ بالتفكير. وبما أن سيث، بحسب الشرط، طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وللثاني، والثالث، والرابع، وما إلى ذلك، فإننا نرى أن المشكلة تتعلق بمتتابعة هندسية. ماذا يساوي في هذه الحالة؟
يمين.
مجموع مربعات رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات، وكل ما تبقى هو إدخالها في الصيغة وإجراء الحساب.
لتخيل "مقياس" رقم معين على الأقل تقريبًا، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:
بالطبع، إذا كنت تريد، يمكنك استخدام آلة حاسبة وحساب الرقم الذي ستحصل عليه في النهاية، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتعين عليك أن تصدق كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
إنه:
كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.
أوه) إذا كنت تريد أن تتخيل ضخامة هذا العدد، فقم بتقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
إذا كان ارتفاع الحظيرة م وعرضها م، فيجب أن يمتد طولها لمسافة كيلومتر، أي. ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.
لو كان الملك قويا في الرياضيات، لكان بإمكانه أن يدعو العالم نفسه إلى عد الحبوب، لأنه لكي يعد مليون حبة، فإنه سيحتاج إلى يوم على الأقل من العد الدؤوب، ونظرا لأنه من الضروري عد الكوينتيليونات، فإن الحبوب يجب أن يحسب طوال حياته.
والآن دعونا نحل مسألة بسيطة تتضمن مجموع حدود المتوالية الهندسية.
أصيب طالب في الصف 5A فاسيا بالأنفلونزا، لكنه يواصل الذهاب إلى المدرسة. كل يوم، يصيب فاسيا شخصين، اللذين بدورهما يصيبان شخصين آخرين، وهكذا. لا يوجد سوى الناس في الفصل. في كم يومًا سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟
لذلك، فإن المصطلح الأول للتقدم الهندسي هو فاسيا، أي شخص. أما الفصل الرابع من المتوالية الهندسية فهو الشخصان اللذان نقل إليهما العدوى في أول يوم من وصوله. المجموع الإجمالي لشروط التقدم يساوي عدد طلاب 5A. وعليه فإننا نتحدث عن تقدم يتم فيه:
لنستبدل بياناتنا في صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية:
سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تصدق الصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "عدوى" الطلاب بنفسك. حدث؟ انظروا كيف يبدو بالنسبة لي:
احسب بنفسك عدد الأيام التي سيستغرقها الطلاب ليصابوا بالأنفلونزا إذا أصاب كل منهم شخصًا واحدًا، وكان هناك شخص واحد فقط في الفصل.
ما القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأ يمرض بعد يوم واحد.
كما ترون، فإن هذه المهمة والرسم الخاص بها يشبهان الهرم، حيث "تجلب" كل مهمة لاحقة أشخاصًا جددًا. ومع ذلك، عاجلا أم آجلا، تأتي لحظة عندما لا يستطيع الأخير جذب أي شخص. في حالتنا، إذا تخيلنا أن الفصل معزول، فإن الشخص يغلق السلسلة (). وبالتالي، إذا كان الشخص متورطا في الهرم المالي، حيث تم إعطاء المال إذا أحضرت مشاركين آخرين، فإن الشخص (أو بشكل عام) لن يحضر أي شخص، وبالتالي، سيخسر كل ما استثمره في هذا الاحتيال المالي.
كل ما قيل أعلاه يشير إلى تقدم هندسي متناقص أو متزايد، ولكن، كما تتذكر، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بلا حدود. كيفية حساب مجموع أعضائها؟ ولماذا يتميز هذا النوع من التقدم بخصائص معينة؟ دعونا معرفة ذلك معا.
لذا، أولاً، دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على هذا الرسم للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:
الآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي، المشتقة قبل قليل:
أو
ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح، الرسم البياني يوضح أنه يميل إلى الصفر. وهذا يعني أنه سيكون متساويًا تقريبًا، على التوالي، عند حساب التعبير الذي سنحصل عليه تقريبًا. وفي هذا الصدد، نعتقد أنه عند حساب مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، يمكن إهمال هذه القوس، لأنها ستكون متساوية.
- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.
مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع لانهائيعدد من أعضاء.
إذا تم تحديد رقم محدد n، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حدود n، حتى لو كان أو.
الآن دعونا نتدرب.
- أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي باستخدام و.
- أوجد مجموع حدود المتتابعة الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي باستخدام و.
أتمنى أن تكون حذراً للغاية. دعونا نقارن إجاباتنا:
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي، وحان الوقت للانتقال من النظرية إلى التطبيق. مشاكل التقدم الهندسي الأكثر شيوعًا التي تمت مواجهتها في الاختبار هي مشاكل حساب الفائدة المركبة. هؤلاء هم الذين سنتحدث عنهم.
مسائل في حساب الفائدة المركبة.
ربما تكون قد سمعت عما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ماذا يعني ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك، لأنه بمجرد أن تفهم العملية نفسها، ستفهم على الفور ما علاقة التقدم الهندسي بها.
نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك شروطًا مختلفة للودائع: هذا هو المصطلح والخدمات الإضافية والفائدة بطريقتين مختلفتين لحسابها - بسيطة ومعقدة.
مع مصلحة بسيطةكل شيء أكثر أو أقل وضوحًا: يتم استحقاق الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. وهذا هو، إذا قلنا أننا نقوم بإيداع 100 روبل لمدة عام، فسيتم إضافتها فقط في نهاية العام. وفقا لذلك، بحلول نهاية الإيداع، سوف نتلقى روبل.
الفائدة المركبة- هذا هو الخيار الذي يحدث فيه رسملة الفائدة، أي. إضافتها إلى مبلغ الوديعة وحساب الدخل اللاحق ليس من المبلغ الأولي، ولكن من مبلغ الوديعة المتراكمة. الكتابة بالأحرف الكبيرة لا تحدث بشكل مستمر، ولكن مع بعض التكرار. كقاعدة عامة، تكون هذه الفترات متساوية وغالبا ما تستخدم البنوك شهرا أو ربع أو سنة.
لنفترض أننا نقوم بإيداع نفس الروبل سنويًا، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نفعل؟
هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك خطوة بخطوة.
أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر، من المفترض أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من الروبل الخاص بنا بالإضافة إلى الفائدة عليه، وهو:
يوافق؟
يمكننا إخراجها من الأقواس ثم نحصل على:
موافق، هذه الصيغة تشبه بالفعل ما كتبناه في البداية. كل ما تبقى هو معرفة النسب المئوية
في بيان المشكلة قيل لنا عن المعدلات السنوية. كما تعلم، نحن لا نضرب في - بل نقوم بتحويل النسب المئوية إلى كسور عشرية، أي:
يمين؟ الآن قد تسأل، من أين جاء الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: بيان المشكلة يقول عنه سنويالفائدة التي تتراكم شهريا. كما تعلمون، في غضون عام من الأشهر، سيخصم البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:
أدركت ذلك؟ حاول الآن أن تكتب كيف سيبدو هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة يتم حسابها يوميًا.
هل تستطيع فعلها؟ دعونا نقارن النتائج:
أحسنت! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا في الشهر الثاني، مع مراعاة تراكم الفائدة على مبلغ الإيداع المتراكم.
وهنا ما حصلت عليه:
أو بمعنى آخر:
أعتقد أنك لاحظت بالفعل وجود نمط وشاهدت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سوف يساويه عضوه، أو بمعنى آخر، ما هو المبلغ الذي سنحصل عليه في نهاية الشهر.
فعل؟ دعونا تحقق!
كما ترون، إذا قمت بوضع المال في البنك لمدة عام بسعر فائدة بسيط، فسوف تتلقى روبل، وإذا بسعر فائدة مركب، فستحصل على روبل. الفائدة صغيرة، ولكن هذا يحدث فقط خلال السنة الخامسة، ولكن الرسملة لفترة أطول تكون أكثر ربحية:
دعونا نلقي نظرة على نوع آخر من المسائل التي تتضمن الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. إذن المهمة:
بدأت شركة زفيزدا الاستثمار في الصناعة عام 2000 برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2001 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. ما هو مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة "زفيزدا" في نهاية عام 2003 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
رأس مال شركة زفيزدا عام 2000.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2001.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2002.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2003.
أو يمكننا أن نكتب باختصار:
بالنسبة لحالتنا:
2000، 2001، 2002 و 2003.
على التوالى:
روبل
يرجى ملاحظة أنه في هذه المسألة ليس لدينا قسمة على أو على، حيث أن النسبة تعطى سنويا ويتم حسابها سنويا. وهذا هو، عند قراءة مسألة الفائدة المركبة، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة وفي أي فترة يتم حسابها، وعندها فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.
تمرين.
- أوجد حد المتوالية الهندسية إذا كان معروفا ذلك و
- أوجد مجموع الحدود الأولى للمتتابعة الهندسية إذا علمت ذلك، و
- بدأت شركة MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003، برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2004 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. بدأت شركة MSK Cash Flows الاستثمار في هذه الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار، وبدأت في تحقيق أرباح في عام 2006 بمبلغ. بكم دولار يزيد رأس مال إحدى الشركات على الأخرى في نهاية عام 2007 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
الإجابات:
- نظرًا لأن بيان المشكلة لا ينص على أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب العثور على مجموع عدد محدد من حدوده، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
شركة إم دي إم كابيتال:2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
- يزيد بنسبة 100٪ أي مرتين.
على التوالى:
روبل
شركة إم إس كيه للتدفقات النقدية:2005، 2006، 2007.
- يزيد، أي بالأوقات.
على التوالى:
روبل
روبل
دعونا نلخص.
1) المتوالية الهندسية ( ) عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
2) معادلة حدود المتوالية الهندسية هي .
3) يمكن أن تأخذ أي قيم باستثناء و.
- إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - هم إيجابية;
- إذا، ثم كل الشروط اللاحقة للتقدم علامات بديلة
- متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.
4) ، في - خاصية التقدم الهندسي (المصطلحات المجاورة)
أو
، عند (مصطلحات متساوية البعد)
وعندما تجده، لا تنس ذلك يجب أن يكون هناك إجابتين.
على سبيل المثال،
5) يتم حساب مجموع شروط التقدم الهندسي بالصيغة:
أو
أو
مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد مجموع عدد لا نهائي من الحدود.
6) يتم أيضًا حساب مسائل الفائدة المركبة باستخدام صيغة الحد الرابع من التقدم الهندسي، بشرط عدم سحب الأموال من التداول:
المتوالية الهندسية. باختصار عن الأشياء الرئيسية
المتوالية الهندسية( ) هي متوالية عددية حدها الأول يختلف عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.
مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.
- إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس الإشارة - فهي إيجابية؛
- إذا، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم يتبادلون العلامات؛
- متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.
معادلة شروط التقدم الهندسي - .
مجموع شروط التقدم الهندسيتحسب بواسطة الصيغة:
أو
إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي، فعندئذ:
المقالات 2/3 المتبقية متاحة فقط للطلاب الأذكياء!
كن طالبًا في YouClever،
الاستعداد لامتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بسعر "فنجان قهوة شهريًا"،
واحصل أيضًا على وصول غير محدود إلى الكتاب المدرسي "YouClever"، وبرنامج الإعداد "100gia" (المصنف)، واختبار الدولة الموحدة التجريبي غير المحدود واختبار الدولة الموحدة، و6000 مشكلة مع تحليل الحلول، وخدمات YouClever و100gia الأخرى.
