في الحياة، سيتعين علينا في كثير من الأحيان التعامل مع المشكلات الرياضية: في المدرسة، في الجامعة، ثم مساعدة طفلنا في الواجبات المنزلية. سيواجه الأشخاص في بعض المهن الرياضيات بشكل يومي. ولذلك، فمن المفيد حفظ أو تذكر القواعد الرياضية. في هذه المقالة سنلقي نظرة على إحداها: إيجاد جانب المثلث القائم الزاوية.

ما هو المثلث الصحيح

أولاً، دعونا نتذكر ما هو المثلث القائم الزاوية. المثلث القائم هو شكل هندسي مكون من ثلاثة قطع تصل بين نقاط لا تقع على خط مستقيم واحد، وقياس إحدى زوايا هذا الشكل 90 درجة. تسمى الجوانب التي تشكل زاوية قائمة بالساقين، والجانب الذي يقع مقابل الزاوية القائمة يسمى الوتر.

إيجاد ساق المثلث القائم الزاوية

هناك عدة طرق لمعرفة طول الساق. أود أن أفكر فيها بمزيد من التفصيل.

نظرية فيثاغورس لإيجاد جانب المثلث القائم الزاوية

إذا عرفنا طول الوتر والضلع، فيمكننا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس. يبدو الأمر كالتالي: "مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين". الصيغة: c²=a²+b²، حيث c هو الوتر، وa وb هما الساقين. نحول الصيغة ونحصل على: a²=c²-b².

مثال. الوتر 5 سم والساق 3 سم نقوم بتحويل الصيغة: c²=a²+b² → a²=c²-b². بعد ذلك نحل: a²=5²-3²; أ² = 25-9؛ أ²=16; أ=√16; أ = 4 (سم).

النسب المثلثية لإيجاد ساق المثلث القائم الزاوية

يمكنك أيضًا العثور على ساق مجهولة إذا كان أي جانب آخر وأي زاوية حادة في المثلث القائم معروفة. هناك أربعة خيارات للعثور على الساق باستخدام الدوال المثلثية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. سيساعدنا الجدول أدناه في حل المشكلات. دعونا نفكر في هذه الخيارات.

أوجد ساق المثلث القائم باستخدام الجيب

جيب الزاوية (الخطيئة) هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر. الصيغة: sin=a/c، حيث a هو الساق المقابلة للزاوية المعطاة، وc هو الوتر. بعد ذلك، نحول الصيغة ونحصل على: a=sin*c.

مثال. طول الوتر 10 سم، والزاوية A 30 درجة. باستخدام الجدول، نحسب جيب الزاوية A، وهو يساوي 1/2. ثم، باستخدام الصيغة المحولة، نحل: a=sin∠A*c; أ=1/2*10; أ = 5 (سم).

ابحث عن ساق المثلث القائم باستخدام جيب التمام

جيب تمام الزاوية (cos) هو نسبة الساق المجاورة إلى الوتر. الصيغة: cos=b/c، حيث b هو الساق المجاورة لزاوية معينة، وc هو الوتر. دعونا نحول الصيغة ونحصل على: b=cos*c.

مثال. الزاوية A تساوي 60 درجة، والوتر يساوي 10 سم، وباستخدام الجدول نحسب جيب تمام الزاوية A، وهو يساوي 1/2. بعد ذلك نحل: b=cos∠A*c; ب=1/2*10، ب=5 (سم).

أوجد ساق المثلث القائم باستخدام الظل

ظل الزاوية (tg) هو نسبة الجانب المقابل إلى الجانب المجاور. الصيغة: tg=a/b، حيث a هو الضلع المقابل للزاوية، وb هو الضلع المجاور. دعونا نحول الصيغة ونحصل على: a=tg*b.

مثال. الزاوية A تساوي 45 درجة، والوتر يساوي 10 سم، وباستخدام الجدول نحسب ظل الزاوية A، وهو يساوي الحل: a=tg∠A*b; أ=1*10; أ = 10 (سم).

أوجد ساق المثلث القائم باستخدام ظل التمام

زاوية ظل التمام (ctg) هي نسبة الجانب المجاور إلى الجانب المقابل. الصيغة: ctg=b/a، حيث b هو الساق المجاورة للزاوية، والساق المقابلة لها. وبعبارة أخرى، ظل التمام هو "الظل المقلوب". نحصل على: ب=ctg*a.

مثال. الزاوية A قياسها 30 درجة، والضلع المقابل لها 5 سم، ووفقاً للجدول فإن ظل الزاوية A هو √3. نحسب: b=ctg∠A*a; ب=√3*5; ب=5√3 (سم).

الآن أنت تعرف كيفية العثور على ساق في المثلث القائم. كما ترون، ليس الأمر بهذه الصعوبة، والشيء الرئيسي هو أن نتذكر الصيغ.

الأول هو الأجزاء المجاورة للزاوية القائمة، والوتر هو أطول جزء من الشكل ويقع مقابل الزاوية 90 درجة. مثلث فيثاغورس هو المثلث الذي تساوي أضلاعه الأعداد الطبيعية؛ تسمى أطوالها في هذه الحالة "ثلاثية فيثاغورس".

المثلث المصري

ولكي يتعرف الجيل الحالي على الهندسة بالشكل الذي تدرس به في المدرسة الآن، فقد تطورت على مدى عدة قرون. تعتبر النقطة الأساسية هي نظرية فيثاغورس. أضلاع المستطيل معروفة في جميع أنحاء العالم) هي 3، 4، 5.

قليل من الناس لا يعرفون عبارة "بنطال فيثاغورس متساوون في كل الاتجاهات". ومع ذلك، في الواقع تبدو النظرية كما يلي: c 2 (مربع الوتر) = a 2 + b 2 (مجموع مربعات الأرجل).

بين علماء الرياضيات، يسمى المثلث ذو الجوانب 3، 4، 5 (سم، م، إلخ) "المصري". والشيء المثير للاهتمام هو أن ما هو مكتوب في الشكل يساوي واحدًا. نشأ الاسم في حوالي القرن الخامس قبل الميلاد، عندما سافر الفلاسفة اليونانيون إلى مصر.

عند بناء الأهرامات، استخدم المهندسون المعماريون والمساحون النسبة 3:4:5. وتبين أن هذه الهياكل متناسبة وممتعة للنظر وواسعة ونادراً ما تنهار.

من أجل بناء زاوية قائمة، استخدم البناؤون حبلًا مربوطًا به 12 عقدة. في هذه الحالة، ارتفع احتمال بناء مثلث قائم الزاوية إلى 95٪.

علامات المساواة في الأرقام

• تعتبر الزاوية الحادة في المثلث القائم والضلع الطويل، والتي تساوي نفس العناصر في المثلث الثاني، علامة لا جدال فيها على مساواة الأشكال. مع الأخذ بعين الاعتبار مجموع الزوايا، من السهل إثبات أن الزوايا الحادة الثانية متساوية أيضًا. وبذلك تكون المثلثات متطابقة حسب المعيار الثاني.
• عند تركيب شكلين فوق بعضهما البعض، نقوم بتدويرهما بحيث يصبحان، عند دمجهما، مثلثًا واحدًا متساوي الساقين. وفقا لخصائصها، فإن الجوانب، أو بالأحرى الوتر، متساوية، وكذلك الزوايا عند القاعدة، مما يعني أن هذه الأشكال هي نفسها.

بناءً على العلامة الأولى، من السهل جدًا إثبات أن المثلثين متساويان بالفعل، والشيء الرئيسي هو أن الضلعين الأصغر (أي الأرجل) متساويان مع بعضهما البعض.

وستكون المثلثات متطابقة وفقا للمعيار الثاني الذي جوهره تساوي الساق والزاوية الحادة.

خصائص المثلث ذو الزاوية القائمة

الارتفاع الذي يتم خفضه من الزاوية اليمنى يقسم الشكل إلى جزأين متساويين.

يمكن التعرف بسهولة على أضلاع المثلث القائم الزاوية ووسطه من خلال القاعدة: الوسيط الذي يقع على الوتر يساوي نصفه. يمكن العثور عليه من خلال صيغة هيرون ومن خلال العبارة التي تساوي نصف منتج الساقين.

في المثلث القائم تنطبق خصائص الزوايا 30°، 45° و60°.

• بزاوية 30 درجة، يجب أن نتذكر أن الساق المقابلة ستكون مساوية لنصف الجانب الأكبر.
• إذا كانت الزاوية 45 درجة، فإن الزاوية الحادة الثانية تكون أيضًا 45 درجة. وهذا يشير إلى أن المثلث متساوي الساقين وأرجله متماثلة.
• خاصية الزاوية التي قياسها 60 درجة هي أن قياس الزاوية الثالثة هو 30 درجة.

يمكن العثور على المنطقة بسهولة باستخدام إحدى الصيغ الثلاث:

1. من خلال الارتفاع والجانب الذي ينزل عليه؛
2. حسب صيغة هيرون.
3. على الجانبين والزاوية بينهما.

تتلاقى جوانب المثلث القائم الزاوية، أو بالأحرى الأرجل، في ارتفاعين. من أجل العثور على الثالث، من الضروري النظر في المثلث الناتج، ثم باستخدام نظرية فيثاغورس، حساب الطول المطلوب. بالإضافة إلى هذه الصيغة، هناك أيضًا علاقة بين ضعف المساحة وطول الوتر. التعبير الأكثر شيوعًا بين الطلاب هو التعبير الأول، لأنه يتطلب عددًا أقل من العمليات الحسابية.

النظريات المطبقة على المثلث القائم الزاوية

تتضمن هندسة المثلث الأيمن استخدام نظريات مثل:

أطوال الأضلاع (أ، ب، ج) معروفة، استخدم نظرية جيب التمام. تنص على أن مربع طول أي ضلع من الأضلاع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، منه ضعف حاصل ضرب طولي نفس الضلعين في جيب تمام الزاوية بينهما يتم طرحه. يمكنك استخدام هذه النظرية لحساب الزاوية عند أي من القمم، ومن المهم معرفة موقعها بالنسبة إلى الجوانب فقط. على سبيل المثال، للعثور على الزاوية α التي تقع بين الجانبين b وc، يجب كتابة النظرية على النحو التالي: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).

عبر عن جيب تمام الزاوية المطلوبة من الصيغة: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). على جانبي المساواة، قم بتطبيق الوظيفة العكسية لجيب التمام - قوس جيب التمام. يسمح لك باستعادة الزاوية بالدرجات باستخدام قيمة جيب التمام: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). يمكن تبسيط الجانب الأيسر وحساب الزاوية بين الجانبين b وc سوف يأخذ الشكل النهائي: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).

عند إيجاد قيم الزوايا الحادة في مثلث قائم، ليس من الضروري معرفة أطوال جميع الأضلاع، بل يكفي اثنان منها. إذا كان هذان الضلعان ساقين (a وb)، فاقسم طول أحدهما المقابل للزاوية المطلوبة (α) على طول الآخر. بهذه الطريقة ستحصل على قيمة ظل الزاوية المطلوبة tg(α) = a/b، وبتطبيق الدالة العكسية - ظل قوسي - على طرفي المساواة وتبسيط الجانب الأيسر، كما في الخطوة السابقة، اشتقاق الصيغة النهائية: α = القطب الشمالي (أ/ب).

إذا كانت الجوانب المعروفة هي الساق (أ) والوتر (ج)، لحساب الزاوية (β) التي تشكلها هذه الجوانب، استخدم دالة جيب التمام ومعكوسها - جيب التمام القوسي. يتم تحديد جيب التمام بنسبة طول الساق إلى الوتر، ويمكن كتابة الصيغة في شكلها النهائي على النحو التالي: β = arccos(a/c). للحساب من نفس الزاوية الحادة الأولية (α) الواقعة مقابل الساق المعروفة، استخدم نفس العلاقة، مع استبدال أركوسين بأركسين: α = أركسين (أ/ج).

مصادر:

• صيغة المثلث مع 2 الجانبين

نصيحة 2: كيفية العثور على زوايا المثلث بأطوال أضلاعه

هناك عدة خيارات لإيجاد قيم جميع الزوايا في المثلث إذا كانت أطوال زواياها الثلاثة معروفة حفلات. إحدى الطرق هي استخدام صيغتين مختلفتين لحساب المساحة مثلث. لتبسيط العمليات الحسابية، يمكنك أيضًا تطبيق نظرية الجيب ونظرية مجموع الزوايا مثلث.

تعليمات

استخدم، على سبيل المثال، صيغتين لحساب المساحة مثلث، واحدة منها تتضمن ثلاثة فقط من أعماله المعروفة حفلاتق (مالك الحزين)، وفي الآخر - اثنان حفلات s وجيب الزاوية بينهما. استخدام أزواج مختلفة في الصيغة الثانية حفلاتيمكنك تحديد حجم كل زاوية من الزوايا مثلث.

حل المشكلة بشكل عام. تحدد صيغة هيرون المنطقة مثلث، كالجذر التربيعي لمنتج شبه المحيط (نصف الكل حفلات) على الفرق بين نصف المحيط وكل من حفلات. إذا استبدلنا المبلغ حفلات، فيمكن كتابة الصيغة على النحو التالي: S=0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C أخرى حفلاتمنطقة ق مثلثيمكن التعبير عنها بنصف منتج الاثنين حفلاتبواسطة جيب الزاوية بينهما. على سبيل المثال، ل حفلات a وb مع وجود زاوية γ بينهما، يمكن كتابة هذه الصيغة على النحو التالي: S=a∗b∗sin(γ). استبدل الطرف الأيسر من المساواة بصيغة هيرون: 0.25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). اشتق من هذه المساواة صيغة

آلة حاسبة على الانترنت.
حل المثلثات.

حل المثلث هو إيجاد جميع عناصره الستة (أي ثلاثة جوانب وثلاث زوايا) من أي ثلاثة عناصر محددة تحدد المثلث.

يعثر هذا البرنامج الرياضي على الجوانب \(b, c\) والزاوية \(\alpha \) من الجانب المحدد بواسطة المستخدم \(a\) وزاويتين متجاورتين \(\beta \) و \(\gamma \)

لا يقدم البرنامج إجابة للمشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية البحث عن حل.

يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية في المدارس الثانوية عند التحضير للاختبارات والامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، وللآباء والأمهات للتحكم في حل العديد من المشاكل في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك ترغب فقط في إنجاز واجباتك المنزلية في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.

بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال حل المشكلات.

إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الأرقام، فنوصيك بالتعرف عليها.

قواعد إدخال الأرقام

يمكن تحديد الأرقام ليس فقط كأرقام صحيحة، ولكن أيضًا ككسور.
يمكن فصل الأعداد الصحيحة والأجزاء الكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل 2.5 أو 2.5

أدخل الجانب \(\a\) والزاويتين المتجاورتين \(\beta \) و \(\gamma \)

\(أ=\)
\(\بيتا=\)	(على درجات)
\(\جاما=\)	(على درجات)

حل المثلث

تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.

لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...

اذا أنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.

ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:

القليل من النظرية.

نظرية الجيب

نظرية

تتناسب أضلاع المثلث مع جيب الزوايا المتقابلة:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

نظرية جيب التمام

نظرية
دع AB = ج، BC = أ، CA = ب في المثلث ABC. ثم
مربع أحد أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف ناتج هذين الجانبين مضروبًا في جيب تمام الزاوية بينهما.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

حل المثلثات

حل المثلث يعني إيجاد جميع عناصره الستة (أي ثلاثة جوانب وثلاث زوايا) من أي ثلاثة عناصر محددة تحدد المثلث.

دعونا نلقي نظرة على ثلاث مسائل تتضمن حل مثلث. في هذه الحالة، سوف نستخدم الترميز التالي لأضلاع المثلث ABC: AB = c، BC = a، CA = b.

حل المثلث باستخدام ضلعين والزاوية بينهما

بالنظر إلى: \(أ، ب، \الزاوية ج\). ابحث عن \(ج، \الزاوية أ، \الزاوية ب\)

حل
1. باستخدام نظرية جيب التمام نجد \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. باستخدام نظرية جيب التمام، لدينا:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\الزاوية B = 180^\دائرة -\الزاوية A -\الزاوية C\)

حل مثلث بجانبه وزوايا متجاورة

بالنظر إلى: \(أ، \الزاوية ب، \الزاوية ج\). ابحث عن \(\الزاوية A، b، c\)

حل
1. \(\الزاوية A = 180^\circ -\الزاوية B -\الزاوية C\)

2. باستخدام نظرية الجيب، نحسب b وc:
$$ ب = أ \frac(\sin B)(\sin A)، \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

حل المثلث باستخدام ثلاثة جوانب

المعطى: \(أ، ب، ج\). ابحث عن \(\الزاوية أ، \الزاوية ب، \الزاوية ج\)

حل
1. باستخدام نظرية جيب التمام نحصل على:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

باستخدام \(\cos A\) نجد \(\angle A\) باستخدام حاسبة صغيرة أو باستخدام جدول.

2. وبالمثل، نجد الزاوية B.
3. \(\الزاوية C = 180^\circ -\الزاوية A -\الزاوية B\)

حل مثلث باستخدام ضلعين وزاوية مقابلة لضلع معلوم

بالنظر إلى: \(أ، ب، \الزاوية أ\). ابحث عن \(ج، \الزاوية ب، \الزاوية ج\)

حل
1. باستخدام نظرية الجيب نجد \(\sin B\) فنحصل على:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

دعونا نقدم الترميز: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). اعتمادًا على الرقم D، من الممكن حدوث الحالات التالية:
إذا كان D > 1، فهذا المثلث غير موجود، لأن لا يمكن أن يكون \(\sin B\) أكبر من 1
إذا كانت D = 1، فهناك \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
إذا كان D إذا كان D 2. \(\الزاوية C = 180^\دائرة -\الزاوية A -\الزاوية B\)

3. باستخدام نظرية الجيب، نحسب الضلع ج:
$$ ج = أ \frac(\sin C)(\sin A) $$

كتب (كتب مدرسية) ملخصات امتحان الدولة الموحدة واختبارات امتحان الدولة الموحدة الألعاب عبر الإنترنت والألغاز رسم الرسوم البيانية للوظائف قاموس إملائي للغة الروسية قاموس الشباب العامية كتالوج المدارس الروسية كتالوج المؤسسات التعليمية الثانوية في روسيا كتالوج الجامعات الروسية قائمة من المهام