إذا كانت اللوغاريتمات لها أسس مختلفة. صيغ اللوغاريتم. اللوغاريتمات أمثلة الحلول

ومع تطور المجتمع وزيادة تعقيد الإنتاج، تطورت الرياضيات أيضًا. الحركة من البسيط إلى المعقد. ومن المحاسبة العادية باستخدام أسلوب الجمع والطرح مع تكرارهما المتكرر، وصلنا إلى مفهوم الضرب والقسمة. أصبح تقليل عملية الضرب المتكررة هو مفهوم الأسي. تم تجميع الجداول الأولى لاعتماد الأرقام على القاعدة وعدد الأسي في القرن الثامن على يد عالم الرياضيات الهندي فاراسينا. منهم يمكنك حساب وقت حدوث اللوغاريتمات.

رسم تاريخي

كما حفز إحياء أوروبا في القرن السادس عشر تطور الميكانيكا. ت يتطلب كمية كبيرة من الحسابالمتعلقة بضرب وقسمة الأعداد ذات الأرقام المتعددة. كانت الطاولات القديمة ذات خدمة رائعة. لقد جعلوا من الممكن استبدال العمليات المعقدة بعمليات أبسط - الجمع والطرح. وكانت الخطوة الكبيرة إلى الأمام هي عمل عالم الرياضيات مايكل ستيفل، الذي نُشر عام 1544، والذي أدرك فيه فكرة العديد من علماء الرياضيات. هذا جعل من الممكن استخدام الجداول ليس فقط للقوى في شكل أعداد أولية، ولكن أيضًا للقوى العقلانية التعسفية.

في عام 1614، قام الاسكتلندي جون نابير، الذي طور هذه الأفكار، بتقديم المصطلح الجديد "لوغاريتم الرقم" لأول مرة. تم تجميع جداول معقدة جديدة لحساب لوغاريتمات الجيب وجيب التمام، وكذلك الظل. هذا قلل بشكل كبير من عمل علماء الفلك.

بدأت تظهر جداول جديدة استخدمها العلماء بنجاح لمدة ثلاثة قرون. مر وقت طويل قبل أن تكتسب العملية الجديدة في الجبر شكلها النهائي. وتم تعريف اللوغاريتم ودراسة خصائصه.

فقط في القرن العشرين، مع ظهور الآلة الحاسبة والكمبيوتر، تخلت البشرية عن الجداول القديمة التي عملت بنجاح طوال القرن الثالث عشر.

اليوم نسمي لوغاريتم b للأساس a الرقم x الذي يمثل قوة a لتكوين b. يتم كتابة هذا كصيغة: x = log a(b).

على سبيل المثال، سجل 3(9) سيكون مساويًا لـ 2. وهذا واضح إذا اتبعت التعريف. وإذا رفعنا 3 للقوة 2، نحصل على 9.

وبالتالي، فإن التعريف المصاغ يضع قيدًا واحدًا فقط: يجب أن يكون الرقمان a وb حقيقيين.

أنواع اللوغاريتمات

التعريف الكلاسيكي يسمى اللوغاريتم الحقيقي وهو في الواقع الحل للمعادلة a x = b. الخيار أ = 1 هو حدي ولا يهم. تنبيه: 1 إلى أي قوة يساوي 1.

القيمة الحقيقية للوغاريتميتم تعريفه فقط عندما يكون الأساس والوسيطة أكبر من 0، ويجب ألا يساوي الأساس 1.

مكان خاص في مجال الرياضياتلعب اللوغاريتمات، والتي سيتم تسميتها حسب حجم قاعدتها:

القواعد والقيود

الخاصية الأساسية للوغاريتمات هي القاعدة: لوغاريتم المنتج يساوي المجموع اللوغاريتمي. سجل أب = سجل أ (ب) + سجل أ (ع).

كبديل لهذه العبارة سيكون هناك: log c(b/p) = log c(b) - log c(p)، دالة حاصل القسمة تساوي الفرق بين الدوال.

من القاعدتين السابقتين من السهل أن نرى أن: log a(b p) = p * log a(b).

تشمل الخصائص الأخرى ما يلي:

تعليق. ليست هناك حاجة لارتكاب خطأ شائع - لوغاريتم المجموع لا يساوي مجموع اللوغاريتمات.

لعدة قرون، كانت عملية العثور على اللوغاريتم مهمة تستغرق وقتًا طويلاً إلى حد ما. استخدم علماء الرياضيات الصيغة المعروفة للنظرية اللوغاريتمية لتوسع كثيرات الحدود:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n)، حيث n هو عدد طبيعي أكبر من 1، وهو ما يحدد دقة الحساب.

تم حساب اللوغاريتمات ذات القواعد الأخرى باستخدام نظرية الانتقال من قاعدة إلى أخرى وخاصية لوغاريتم المنتج.

نظرًا لأن هذه الطريقة تتطلب عمالة كثيفة جدًا و عند حل المشاكل العمليةمن الصعب تنفيذه، استخدمنا جداول اللوغاريتمات المعدة مسبقًا، مما أدى إلى تسريع العمل بشكل كبير.

في بعض الحالات، تم استخدام الرسوم البيانية اللوغاريتمات المجمعة خصيصا، والتي أعطت دقة أقل، ولكنها سارعت بشكل كبير في البحث عن القيمة المطلوبة. يتيح لك منحنى الدالة y = log a(x)، المبني على عدة نقاط، استخدام مسطرة عادية للعثور على قيمة الدالة عند أي نقطة أخرى. لفترة طويلة، استخدم المهندسون ما يسمى بورق الرسم البياني لهذه الأغراض.

في القرن السابع عشر، ظهرت أول شروط الحوسبة التناظرية المساعدة، والتي اكتسبت شكلاً كاملاً بحلول القرن التاسع عشر. وكان الجهاز الأكثر نجاحا يسمى قاعدة الشريحة. على الرغم من بساطة الجهاز، إلا أن مظهره أدى إلى تسريع عملية جميع الحسابات الهندسية بشكل كبير، ومن الصعب المبالغة في تقدير ذلك. حاليا، عدد قليل من الناس على دراية بهذا الجهاز.

أدى ظهور الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر إلى جعل استخدام أي أجهزة أخرى بلا جدوى.

المعادلات والمتباينات

لحل المعادلات والمتباينات المختلفة باستخدام اللوغاريتمات، يتم استخدام الصيغ التالية:

• الانتقال من قاعدة إلى أخرى: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• نتيجة للخيار السابق: log a(b) = 1 / log b(a).

لحل عدم المساواة من المفيد معرفة:

• لن تكون قيمة اللوغاريتم موجبة إلا إذا كان الأساس والوسيطة أكبر أو أقل من واحد؛ إذا تم انتهاك شرط واحد على الأقل، ستكون قيمة اللوغاريتم سلبية.
• إذا تم تطبيق دالة اللوغاريتم على الجانبين الأيمن والأيسر للمتباينة، وكان أساس اللوغاريتم أكبر من واحد، فسيتم الحفاظ على علامة المتباينة؛ وإلا فإنه يتغير.

مشاكل العينة

دعونا نفكر في عدة خيارات لاستخدام اللوغاريتمات وخصائصها. أمثلة على حل المعادلات:

فكر في خيار وضع اللوغاريتم في قوة:

• المشكلة 3. احسب 25 ^ سجل 5 (3). الحل: في ظروف المشكلة، يكون الإدخال مشابهًا لما يلي (5^2)^log5(3) أو 5^(2 * log 5(3)). لنكتبها بشكل مختلف: 5^log 5(3*2)، أو يمكن كتابة مربع الرقم كوسيطة دالة كمربع الدالة نفسها (5^log 5(3))^2. باستخدام خصائص اللوغاريتمات، هذا التعبير يساوي 3^2. الجواب: نتيجة للحساب نحصل على 9.

الاستخدام العملي

كونها أداة رياضية بحتة، يبدو بعيدًا عن الحياة الواقعية أن اللوغاريتم اكتسب فجأة أهمية كبيرة لوصف الأشياء في العالم الحقيقي. من الصعب العثور على علم لا يتم استخدامه فيه. وهذا لا ينطبق تمامًا على مجالات المعرفة الطبيعية فحسب، بل أيضًا على مجالات المعرفة الإنسانية.

التبعيات اللوغاريتمية

فيما يلي بعض الأمثلة على التبعيات العددية:

الميكانيكا والفيزياء

تاريخيًا، تطورت الميكانيكا والفيزياء دائمًا باستخدام أساليب البحث الرياضي وفي نفس الوقت كانت بمثابة حافز لتطوير الرياضيات، بما في ذلك اللوغاريتمات. إن نظرية معظم قوانين الفيزياء مكتوبة بلغة الرياضيات. دعونا نعطي مثالين فقط لوصف القوانين الفيزيائية باستخدام اللوغاريتم.

يمكن حل مشكلة حساب كمية معقدة مثل سرعة الصاروخ باستخدام صيغة تسيولكوفسكي، التي وضعت الأساس لنظرية استكشاف الفضاء:

V = I * ln (M1/M2)، حيث

• V هي السرعة النهائية للطائرة.
• أنا - دفعة محددة للمحرك.
• م 1 – الكتلة الأولية للصاروخ.
• م2 – الكتلة النهائية .

مثال مهم آخر- يستخدم هذا في صيغة عالم عظيم آخر ماكس بلانك، والتي تعمل على تقييم حالة التوازن في الديناميكا الحرارية.

S = ك * قانون الجنسية (Ω)، حيث

• S - الخاصية الديناميكية الحرارية.
• ك – ثابت بولتزمان.
• Ω هو الوزن الإحصائي للحالات المختلفة.

كيمياء

الأقل وضوحًا هو استخدام الصيغ في الكيمياء التي تحتوي على نسبة اللوغاريتمات. دعونا نعطي مثالين فقط:

• معادلة نيرنست، حالة احتمالية الأكسدة والاختزال للوسط فيما يتعلق بنشاط المواد وثابت التوازن.
• لا يمكن أيضًا حساب ثوابت مثل مؤشر التحلل الذاتي وحموضة المحلول بدون وظيفتنا.

علم النفس والبيولوجيا

وليس من الواضح على الإطلاق ما علاقة علم النفس بالأمر. لقد اتضح أن قوة الإحساس يتم وصفها جيدًا من خلال هذه الوظيفة على أنها النسبة العكسية لقيمة شدة التحفيز إلى قيمة الشدة الأقل.

بعد الأمثلة المذكورة أعلاه، لم يعد من المستغرب أن موضوع اللوغاريتمات يستخدم على نطاق واسع في علم الأحياء. يمكن كتابة مجلدات كاملة عن الأشكال البيولوجية التي تتوافق مع اللوالب اللوغاريتمية.

مناطق أخرى

ويبدو أن وجود العالم مستحيل دون الارتباط بهذه الوظيفة، وهي التي تحكم جميع القوانين. خاصة عندما ترتبط قوانين الطبيعة بالتقدم الهندسي. يجدر بنا أن ننتقل إلى موقع MatProfi، وهناك العديد من هذه الأمثلة في مجالات النشاط التالية:

القائمة يمكن أن تكون لا نهاية لها. بعد أن أتقنت المبادئ الأساسية لهذه الوظيفة، يمكنك الانغماس في عالم الحكمة اللانهائية.

لوغاريتم الرقم b (b > 0) للأساس a (a > 0, a ≠ 1)- الأس الذي يجب رفع الرقم a إليه للحصول على b.

يمكن كتابة اللوغاريتم ذو الأساس 10 لـ b كـ سجل (ب)، واللوغاريتم للأساس e (اللوغاريتم الطبيعي) هو قانون الجنسية (ب).

غالبًا ما يستخدم عند حل المشكلات المتعلقة باللوغاريتمات:

خصائص اللوغاريتمات

هناك أربعة رئيسية خصائص اللوغاريتمات.

دع a > 0، وa ≠ 1، وx > 0، وy > 0.

الخاصية 1. لوغاريتم المنتج

لوغاريتم المنتجيساوي مجموع اللوغاريتمات:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

الخاصية 2. لوغاريتم الحاصل

لوغاريتم الحاصليساوي فرق اللوغاريتمات:

سجل أ (س / ص) = سجل س - سجل ص

الخاصية 3. لوغاريتم القوة

لوغاريتم الدرجةيساوي منتج القوة واللوغاريتم:

إذا كان أساس اللوغاريتم هو الدرجة، فسيتم تطبيق صيغة أخرى:

الخاصية 4. لوغاريتم الجذر

يمكن الحصول على هذه الخاصية من خاصية لوغاريتم القوة، حيث أن الجذر النوني للقوة يساوي قوة 1/n:

صيغة للتحويل من لوغاريتم في قاعدة واحدة إلى لوغاريتم في قاعدة أخرى

تُستخدم هذه الصيغة أيضًا غالبًا عند حل المهام المختلفة على اللوغاريتمات:

حالة خاصة:

مقارنة اللوغاريتمات (عدم المساواة)

لدينا وظيفتان f(x) وg(x) تحت اللوغاريتمات لهما نفس الأساس ويوجد بينهما علامة عدم المساواة:

للمقارنة بينهما، عليك أولاً إلقاء نظرة على قاعدة اللوغاريتمات a:

• إذا كان a > 0، فإن f(x) > g(x) > 0
• إذا 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

كيفية حل المشاكل مع اللوغاريتمات: أمثلة

مشاكل مع اللوغاريتماتالمدرجة في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات للصف 11 في المهمة 5 والمهمة 7، يمكنك العثور على المهام مع الحلول على موقعنا على الإنترنت في الأقسام المناسبة. كما يمكن العثور على المهام ذات اللوغاريتمات في بنك مهام الرياضيات. يمكنك العثور على جميع الأمثلة من خلال البحث في الموقع.

ما هو اللوغاريتم

لطالما اعتبرت اللوغاريتمات موضوعًا صعبًا في دورات الرياضيات المدرسية. هناك العديد من التعريفات المختلفة للوغاريتم، ولكن لسبب ما تستخدم معظم الكتب المدرسية التعريف الأكثر تعقيدًا وغير الناجح منها.

سوف نحدد اللوغاريتم ببساطة ووضوح. للقيام بذلك، دعونا إنشاء جدول:

لذلك، لدينا قوى اثنين.

اللوغاريتمات - الخصائص، الصيغ، كيفية حلها

إذا أخذت الرقم من السطر السفلي، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي سيتعين عليك رفع اثنين إليها للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال، للحصول على 16، عليك رفع اثنين إلى القوة الرابعة. وللحصول على 64، عليك رفع اثنين إلى القوة السادسة. ويمكن ملاحظة ذلك من الجدول.

والآن - في الواقع، تعريف اللوغاريتم:

الأساس a للوسيطة x هو القوة التي يجب رفع الرقم a إليها للحصول على الرقم x.

التعيين: log a x = b، حيث a هي القاعدة، x هي الوسيطة، b هو ما يساوي اللوغاريتم فعليًا.

على سبيل المثال، 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (اللوغاريتم ذو الأساس 2 للرقم 8 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). بنفس النجاح، سجل 2 64 = 6، حيث أن 2 6 = 64.

تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لأساس معين. لذا، دعونا نضيف سطرًا جديدًا إلى جدولنا:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
سجل 2 2 = 1	سجل 2 4 = 2	سجل 2 8 = 3	سجل 2 16 = 4	سجل 2 32 = 5	سجل 2 64 = 6

لسوء الحظ، لا يتم حساب جميع اللوغاريتمات بهذه السهولة. على سبيل المثال، حاول العثور على السجل 2 5. الرقم 5 غير موجود في الجدول، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سيكون في مكان ما في الفاصل الزمني. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

تسمى هذه الأرقام غير عقلانية: يمكن كتابة الأرقام بعد العلامة العشرية إلى ما لا نهاية، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فمن الأفضل ترك الأمر على هذا النحو: سجل 2 5، سجل 3 8، سجل 5 100.

من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم هو تعبير ذو متغيرين (الأساس والوسيطة). في البداية، يخلط الكثير من الناس بين مكان الأساس ومكان الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. يتذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي يجب بناء القاعدة فيها من أجل الحصول على وسيطة. هي القاعدة المرفوعة إلى قوة - وهي مظللة باللون الأحمر في الصورة. اتضح أن القاعدة تكون دائمًا في الأسفل! أخبر طلابي بهذه القاعدة الرائعة في الدرس الأول - ولا ينشأ أي ارتباك.

كيفية حساب اللوغاريتمات

لقد اكتشفنا التعريف - كل ما تبقى هو معرفة كيفية حساب اللوغاريتمات، أي. تخلص من علامة "السجل". في البداية، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبثق من التعريف:

1. يجب أن تكون الحجة والقاعدة دائمًا أكبر من الصفر. يأتي هذا من تعريف الدرجة بواسطة الأس العقلاني، والذي يتم تقليل تعريف اللوغاريتم إليه.
2. يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الواحد، حيث أن الواحد يظل واحدًا بأي درجة. ولهذا السبب، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرتفع الإنسان للحصول على اثنين" لا معنى له. لا يوجد مثل هذه الدرجة!

تسمى هذه القيود نطاق القيم المقبولة(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كما يلي: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم). على سبيل المثال، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1، لأن 0.5 = 2 −1.

ومع ذلك، نحن الآن نفكر فقط في التعبيرات الرقمية، حيث ليس من الضروري معرفة قيمة VA للوغاريتم. لقد تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مؤلفي المهام. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات حيز التنفيذ، ستصبح متطلبات DL إلزامية. بعد كل شيء، قد يحتوي الأساس والحجة على إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.

الآن دعونا نلقي نظرة على المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:

1. عبر عن الأساس a والوسيطة x كقوة بأقل قاعدة ممكنة أكبر من واحد. على طول الطريق، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية؛
2. حل معادلة المتغير b: x = a b ;
3. سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.

هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فسيكون هذا مرئيًا بالفعل في الخطوة الأولى. يعد شرط أن يكون الأساس أكبر من واحد أمرًا مهمًا للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط الحسابات إلى حد كبير. الأمر نفسه ينطبق على الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية، فسيكون هناك عدد أقل من الأخطاء.

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط باستخدام أمثلة محددة:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 5 25

1. دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 5 2 ;

لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
سجل 5 25 = ب ⇒(5 1) ب = 5 2 ⇒5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2;

2. تلقينا الجواب: 2.

مهمة. احسب اللوغاريتم:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 4 64

1. دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة اثنين: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
   سجل 4 64 = ب ⇒(2 2) ب = 2 6 ⇒2 2ب = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ ب = 3;
3. تلقينا الجواب: 3.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 16 1

1. لنتخيل القاعدة والوسيطة كقوة لاثنين: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
   سجل 16 1 = ب ⇒(2 4) ب = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ ب = 0;
3. لقد تلقينا الجواب: 0.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 7 14

1. لنتخيل القاعدة والحجة كقوة لسبعة: 7 = 7 1 ؛ لا يمكن تمثيل 14 كقوة لسبعة، لأن 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يحسب؛
3. الجواب هو لا تغيير: سجل 7 14.

ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف يمكنك التأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ الأمر بسيط جدًا، ما عليك سوى تحليله إلى عوامل أولية. إذا كان للتمدد عاملين مختلفين على الأقل، فإن الرقم ليس قوة محددة.

مهمة. معرفة ما إذا كانت الأرقام هي القوى الدقيقة: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - الدرجة الدقيقة، لأن هناك مضاعف واحد فقط؛
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ليست قوة دقيقة، حيث أن هناك عاملين: 3 و 2؛
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة؛
35 = 7 · 5 - مرة أخرى ليست قوة محددة؛
14 = 7 · 2 - مرة أخرى ليست درجة محددة؛

لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها هي دائمًا قوى دقيقة لذاتها.

اللوغاريتم العشري

بعض اللوغاريتمات شائعة جدًا بحيث يكون لها اسم ورمز خاصان.

الوسيطة x هي اللوغاريتم للأساس 10، أي. القوة التي يجب رفع الرقم 10 إليها للحصول على الرقم x. التسمية: إل جي إكس.

على سبيل المثال، سجل 10 = 1؛ إل جي 100 = 2; إل جي 1000 = 3 - إلخ.

من الآن فصاعدًا، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في كتاب مدرسي، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك، إذا لم تكن على دراية بهذا الترميز، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س

كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على اللوغاريتمات العشرية.

اللوغاريتم الطبيعي

هناك لوغاريتم آخر له تسمية خاصة به. في بعض النواحي، يكون أكثر أهمية من العلامة العشرية. نحن نتحدث عن اللوغاريتم الطبيعي.

الوسيطة x هي اللوغاريتم للأساس e، أي. القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x.

سوف يتساءل الكثير من الناس: ما هو الرقم e؟ هذا رقم غير نسبي، ولا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وكتابتها. سأقدم الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459…

لن نخوض في التفاصيل حول ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = سجل e x

وهكذا ln e = 1؛ لن ه 2 = 2؛ لن ه 16 = 16 - الخ ومن ناحية أخرى، ln 2 هو عدد غير نسبي. بشكل عام، اللوغاريتم الطبيعي لأي رقم نسبي هو غير منطقي. باستثناء واحد بالطبع: ln 1 = 0.

بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.

أنظر أيضا:

اللوغاريتم. خصائص اللوغاريتم (قوة اللوغاريتم).

كيفية تمثيل رقم على شكل لوغاريتم؟

نستخدم تعريف اللوغاريتم.

اللوغاريتم هو الأس الذي يجب رفع الأساس إليه للحصول على الرقم تحت علامة اللوغاريتم.

وبالتالي، لتمثيل رقم معين c باعتباره لوغاريتم للأساس a، تحتاج إلى وضع قوة لها نفس الأساس مثل قاعدة اللوغاريتم تحت علامة اللوغاريتم، وكتابة هذا الرقم c باعتباره الأس:

يمكن تمثيل أي رقم على الإطلاق لوغاريتم - موجب، سالب، عدد صحيح، كسري، عقلاني، غير عقلاني:

لكي لا تخلط بين أ و ج في ظل الظروف العصيبة للاختبار أو الامتحان، يمكنك استخدام قاعدة الحفظ التالية:

ما هو أدناه يهبط، وما هو فوق يرتفع.

على سبيل المثال، تحتاج إلى تمثيل الرقم 2 على هيئة لوغاريتم للأساس 3.

لدينا رقمان - 2 و 3. هذان الرقمان هما الأساس والأس، وسنكتبهما تحت علامة اللوغاريتم. ويبقى تحديد أي من هذه الأرقام يجب كتابته، إلى قاعدة الدرجة، وأي منها يجب كتابته، إلى الأس.

الأساس 3 في تدوين اللوغاريتم موجود في الأسفل، مما يعني أنه عندما نمثل اثنين كوغاريتم للأساس 3، سنكتب أيضًا 3 للأساس.

2 أعلى من الثلاثة. وفي إشارة إلى الدرجة الثانية نكتب فوق الثلاثة، أي كأساس:

اللوغاريتمات. مستوى اول.

اللوغاريتمات

اللوغاريتمرقم موجب، عدد إيجابي بمرتكز على أ، أين أ > 0، أ ≠ 1، يسمى الأس الذي يجب رفع الرقم إليه أ، ليحصل ب.

تعريف اللوغاريتميمكن كتابتها باختصار مثل هذا:

هذه المساواة صالحة ل ب > 0، أ > 0، أ ≠ 1.وعادة ما يطلق عليه الهوية اللوغاريتمية.
تسمى عملية إيجاد لوغاريتم الرقم بواسطة اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتمات:

لوغاريتم المنتج:

لوغاريتم الحاصل:

استبدال قاعدة اللوغاريتم:

لوغاريتم الدرجة:

لوغاريتم الجذر:

اللوغاريتم مع قاعدة الطاقة:

اللوغاريتمات العشرية والطبيعية.

اللوغاريتم العشريالأرقام تسمي لوغاريتم هذا الرقم بالأساس 10 وتكتب   lg ب
اللوغاريتم الطبيعيتسمى الأرقام لوغاريتم هذا الرقم للأساس ه، أين ه- رقم غير منطقي يساوي 2.7 تقريبًا. وفي نفس الوقت يكتبون ln ب.

ملاحظات أخرى على الجبر والهندسة

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

الخصائص الأساسية للوغاريتمات

اللوغاريتمات، مثل أي أرقام، يمكن جمعها وطرحها وتحويلها بكل الطرق. ولكن بما أن اللوغاريتمات ليست أرقامًا عادية تمامًا، فهناك قواعد تسمى هنا الخصائص الرئيسية.

تحتاج بالتأكيد إلى معرفة هذه القواعد - بدونها، لا يمكن حل أي مشكلة لوغاريتمية خطيرة. بالإضافة إلى ذلك، هناك عدد قليل جدًا منهم - يمكنك تعلم كل شيء في يوم واحد. اذا هيا بنا نبدأ.

جمع وطرح اللوغاريتمات

فكر في لوغاريتمين لهما نفس الأساس: log a x وlog a y. ومن ثم يمكن إضافتها وطرحها، و:

1. سجل أ x + سجل ص = سجل أ (س ص)؛
2. سجل أ س - سجل ص = سجل أ (س: ص).

إذن، مجموع اللوغاريتمات يساوي لوغاريتم حاصل الضرب، والفرق يساوي لوغاريتم حاصل القسمة. يرجى ملاحظة: النقطة الأساسية هنا هي أسباب متطابقة. إذا كانت الأسباب مختلفة، فهذه القواعد لا تعمل!

ستساعدك هذه الصيغ في حساب التعبير اللوغاريتمي حتى عندما لا يتم أخذ أجزائه الفردية في الاعتبار (راجع الدرس "ما هو اللوغاريتم"). ألقِ نظرة على الأمثلة وانظر:

سجل 6 4 + سجل 6 9.

بما أن اللوغاريتمات لها نفس الأساس، فإننا نستخدم صيغة الجمع:
سجل 6 4 + سجل 6 9 = سجل 6 (4 9) = سجل 6 36 = 2.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 2 48 − log 2 3.

القواعد هي نفسها، نستخدم صيغة الفرق:
سجل 2 48 - سجل 2 3 = سجل 2 (48: 3) = سجل 2 16 = 4.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 3 135 − log 3 5.

مرة أخرى القواعد هي نفسها، لذلك لدينا:
سجل 3 135 - سجل 3 5 = سجل 3 (135: 5) = سجل 3 27 = 3.

كما ترون، تتكون التعبيرات الأصلية من لوغاريتمات "سيئة"، والتي لا يتم حسابها بشكل منفصل. ولكن بعد التحويلات يتم الحصول على أرقام طبيعية تماما. وتستند العديد من الاختبارات على هذه الحقيقة. نعم، يتم تقديم التعبيرات الشبيهة بالاختبار بكل جدية (أحيانًا بدون أي تغييرات تقريبًا) في امتحان الدولة الموحدة.

استخراج الأس من اللوغاريتم

الآن دعونا نعقد المهمة قليلاً. ماذا لو كانت قاعدة أو وسيطة اللوغاريتم قوة؟ ومن ثم يمكن إخراج أس هذه الدرجة من إشارة اللوغاريتم وفق القواعد التالية:

ومن السهل أن نرى أن القاعدة الأخيرة تتبع القاعدة الأولى والثانية. ولكن من الأفضل أن تتذكرها على أي حال - ففي بعض الحالات سوف تقلل بشكل كبير من حجم العمليات الحسابية.

بالطبع، كل هذه القواعد تكون منطقية إذا تمت ملاحظة ODZ للوغاريتم: a > 0, a ≠ 1, x > 0. وشيء آخر: تعلم كيفية تطبيق جميع الصيغ ليس فقط من اليسار إلى اليمين، ولكن أيضًا العكس. ، أي. يمكنك إدخال الأرقام قبل تسجيل اللوغاريتم في اللوغاريتم نفسه.

كيفية حل اللوغاريتمات

وهذا هو المطلوب في أغلب الأحيان.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 7 49 6 .

دعونا نتخلص من الدرجة في الوسيطة باستخدام الصيغة الأولى:
سجل 7 49 6 = 6 سجل 7 49 = 6 2 = 12

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن المقام يحتوي على لوغاريتم، قاعدته ووسيطه عبارة عن قوى دقيقة: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. لدينا:

أعتقد أن المثال الأخير يتطلب بعض التوضيح. أين ذهبت اللوغاريتمات؟ حتى اللحظة الأخيرة نحن نعمل فقط مع القاسم. لقد قدمنا ​​أساس ووسيطة اللوغاريتم الموجود هناك في شكل قوى وأزلنا الأسس - لقد حصلنا على كسر "من ثلاثة طوابق".

الآن دعونا نلقي نظرة على الكسر الرئيسي. يحتوي البسط والمقام على نفس الرقم: log 2 7. بما أن log 2 7 ≠ 0، يمكننا تبسيط الكسر - سيبقى 2/4 في المقام. ووفقا للقواعد الحسابية، يمكن نقل الأربعة إلى البسط، وهذا ما تم. وكانت النتيجة الجواب: 2.

الانتقال إلى أساس جديد

عند الحديث عن قواعد جمع وطرح اللوغاريتمات، أكدت على وجه التحديد أنها تعمل فقط مع نفس القواعد. وماذا لو كانت الأسباب مختلفة؟ ماذا لو لم تكن صلاحيات محددة لنفس العدد؟

تأتي صيغ الانتقال إلى أساس جديد للإنقاذ. دعونا صياغتها في شكل نظرية:

دع اللوغاريتم يسجل x يعطى. ثم بالنسبة لأي رقم c بحيث يكون c > 0 و c ≠ 1، تكون المساواة صحيحة:

على وجه الخصوص، إذا وضعنا c = x، نحصل على:

ويترتب على الصيغة الثانية أنه يمكن تبديل أساس ووسيطة اللوغاريتم، ولكن في هذه الحالة يتم "قلب" التعبير بأكمله، أي. يظهر اللوغاريتم في المقام.

نادرًا ما توجد هذه الصيغ في التعبيرات العددية العادية. من الممكن تقييم مدى ملاءمتها فقط عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات.

ولكن هناك مشاكل لا يمكن حلها على الإطلاق إلا بالانتقال إلى أساس جديد. دعونا نلقي نظرة على اثنين من هذه:

مهمة. أوجد قيمة التعبير: سجل 5 16 سجل 2 25.

لاحظ أن وسيطات كلا اللوغاريتمات تحتوي على قوى دقيقة. لنأخذ المؤشرات: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; سجل 2 25 = سجل 2 5 2 = 2سجل 2 5;

الآن دعونا "نعكس" اللوغاريتم الثاني:

وبما أن حاصل الضرب لا يتغير عند إعادة ترتيب العوامل، فقد ضربنا أربعة في اثنين بهدوء، ثم تعاملنا مع اللوغاريتمات.

مهمة. أوجد قيمة التعبير: log 9 100 lg 3.

أساس ووسيطة اللوغاريتم الأول هما القوى الدقيقة. دعنا نكتب هذا ونتخلص من المؤشرات:

الآن دعونا نتخلص من اللوغاريتم العشري بالانتقال إلى قاعدة جديدة:

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

في كثير من الأحيان، في عملية الحل، من الضروري تمثيل رقم على هيئة لوغاريتم لقاعدة معينة.

في هذه الحالة، سوف تساعدنا الصيغ التالية:

في الحالة الأولى، يصبح الرقم n هو الأس في الوسيطة. يمكن أن يكون الرقم n أي شيء على الإطلاق، لأنه مجرد قيمة لوغاريتمية.

الصيغة الثانية هي في الواقع تعريف معاد صياغته. وهذا ما يسمى : .

في الواقع، ماذا يحدث إذا تم رفع الرقم b إلى قوة بحيث يعطي الرقم b إلى هذه القوة الرقم a؟ هذا صحيح: النتيجة هي نفس الرقم أ. اقرأ هذه الفقرة بعناية مرة أخرى - كثير من الناس عالقون فيها.

مثل صيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة، تكون الهوية اللوغاريتمية الأساسية في بعض الأحيان هي الحل الوحيد الممكن.

مهمة. ابحث عن معنى العبارة:

لاحظ أن log 25 64 = log 5 8 - ببساطة أخذ المربع من قاعدة اللوغاريتم ووسيطه. مع الأخذ بعين الاعتبار قواعد ضرب القوى ذات الأساس نفسه، نحصل على:

إذا كان أي شخص لا يعرف، كانت هذه مهمة حقيقية من امتحان الدولة الموحدة :)

الوحدة اللوغاريتمية والصفر اللوغاريتمي

في الختام، سأقدم هويتين يصعب وصفهما بالخصائص - بل هما نتيجة لتعريف اللوغاريتم. إنهم يظهرون باستمرار في المشاكل، ومن المدهش أنهم يخلقون مشاكل حتى للطلاب "المتقدمين".

1. سجل أ = 1 هو. تذكر مرة واحدة وإلى الأبد: لوغاريتم أي أساس a لهذا الأساس نفسه يساوي واحدًا.
2. سجل 1 = 0 هو. الأساس a يمكن أن يكون أي شيء، ولكن إذا كان الوسيط يحتوي على واحد، فإن اللوغاريتم يساوي صفر! لأن 0 = 1 هو نتيجة مباشرة للتعريف.

هذا كل الخصائص. تأكد من ممارسة وضعها موضع التنفيذ! قم بتنزيل ورقة الغش في بداية الدرس وطباعتها وحل المشكلات.

يتم إعطاء الخصائص الأساسية للوغاريتم الطبيعي، الرسم البياني، مجال التعريف، مجموعة القيم، الصيغ الأساسية، المشتق، التكامل، توسيع سلسلة القوى وتمثيل الدالة ln x باستخدام الأعداد المركبة.

تعريف

اللوغاريتم الطبيعيهي الدالة ص = لن س، معكوس الأسي، x = e y، وهو اللوغاريتم لأساس الرقم e: ln x = سجل e x.

يستخدم اللوغاريتم الطبيعي على نطاق واسع في الرياضيات لأن مشتقه له أبسط شكل: (ln x)′ = 1/ س.

قائم على تعريفات، أساس اللوغاريتم الطبيعي هو الرقم ه:
ه ≅ 2.718281828459045...;
.

رسم بياني للدالة y = لن س.

رسم بياني للوغاريتم الطبيعي (الدوال y = لن س) يتم الحصول عليها من الرسم البياني الأسي عن طريق انعكاس المرآة بالنسبة للخط المستقيم y = x.

يتم تعريف اللوغاريتم الطبيعي للقيم الموجبة للمتغير x. ويزداد رتابة في مجال تعريفه.

في س → 0 نهاية اللوغاريتم الطبيعي هو ناقص اللانهاية (-∞).

مثل x → + ∞، نهاية اللوغاريتم الطبيعي هي زائد ما لا نهاية (+ ∞). بالنسبة لـ x الكبيرة، يزداد اللوغاريتم ببطء شديد. أي دالة قوة x a ذات أس موجب a تنمو بشكل أسرع من اللوغاريتم.

خصائص اللوغاريتم الطبيعي

مجال التعريف، مجموعة القيم، القيم القصوى، الزيادة، النقصان

اللوغاريتم الطبيعي هو دالة متزايدة بشكل رتيب، لذلك ليس لها نقاط نهاية. يتم عرض الخصائص الرئيسية للوغاريتم الطبيعي في الجدول.

قيم lnx

قانون الجنسية 1 = 0

الصيغ الأساسية للوغاريتمات الطبيعية

الصيغ التالية من تعريف الدالة العكسية:

الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها

صيغة استبدال القاعدة

يمكن التعبير عن أي لوغاريتم بدلالة اللوغاريتمات الطبيعية باستخدام صيغة الاستبدال الأساسية:

يتم عرض أدلة هذه الصيغ في قسم "اللوغاريتم".

وظيفة عكسية

معكوس اللوغاريتم الطبيعي هو الأس.

اذا ثم

اذا ثم.

مشتق ln x

مشتق من اللوغاريتم الطبيعي:
.
مشتق من اللوغاريتم الطبيعي للمعامل x:
.
مشتق من الترتيب ن:
.
اشتقاق الصيغ > > >

أساسي

يتم حساب التكامل عن طريق التكامل بالأجزاء:
.
لذا،

التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة

النظر في وظيفة المتغير المركب z :
.
دعونا نعبر عن المتغير المعقد ضعبر الوحدة النمطية صوالحجة φ :
.
وباستخدام خصائص اللوغاريتم نحصل على:
.
أو
.
لم يتم تعريف الوسيطة φ بشكل فريد. إذا وضعت
، حيث n عدد صحيح،
سيكون نفس الرقم لمختلف n.

ولذلك، فإن اللوغاريتم الطبيعي، كدالة لمتغير معقد، ليس دالة ذات قيمة واحدة.

توسيع سلسلة الطاقة

عندما يحدث التوسع:

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.

لوغاريتم الرقم الموجب b للأساس a (a>0, a لا يساوي 1) هو رقم c بحيث a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

لاحظ أن لوغاريتم الرقم غير الموجب غير محدد. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون أساس اللوغاريتم رقمًا موجبًا لا يساوي 1. فمثلًا، إذا قمنا بتربيع -2، نحصل على الرقم 4، لكن هذا لا يعني أن اللوغاريتم للأساس -2 لـ 4 يساوي 2.

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

سجل أ ب = ب (أ > 0، أ ≠ 1) (2)

من المهم أن يختلف نطاق تعريف الجانبين الأيمن والأيسر لهذه الصيغة. يتم تعريف الجانب الأيسر فقط لـ b>0 وa>0 وa ≠ 1. ويتم تعريف الجانب الأيمن لأي b، ولا يعتمد على a على الإطلاق. وبالتالي، فإن تطبيق "الهوية" اللوغاريتمية الأساسية عند حل المعادلات والمتباينات يمكن أن يؤدي إلى تغيير في OD.

نتيجتان واضحتان لتعريف اللوغاريتم

سجل أ = 1 (أ > 0، أ ≠ 1) (3)
سجل أ 1 = 0 (أ > 0، أ ≠ 1) (4)

وبالفعل، عند رفع العدد أ إلى القوة الأولى نحصل على نفس العدد، وعند رفعه إلى القوة صفر نحصل على واحد.

لوغاريتم المنتج ولوغاريتم الحاصل

سجل أ (ب ج) = سجل أ ب + سجل أ ج (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج > 0) (5)

سجل أ ب ج = سجل أ ب − سجل أ ج (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج > 0) (6)

أود أن أحذر تلاميذ المدارس من استخدام هذه الصيغ بلا تفكير عند حل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. عند استخدامها "من اليسار إلى اليمين"، يضيق ODZ، وعند الانتقال من مجموع أو اختلاف اللوغاريتمات إلى لوغاريتم المنتج أو حاصل القسمة، يتوسع ODZ.

في الواقع، يتم تعريف التعبير log a (f (x) g (x)) في حالتين: عندما تكون كلتا الدالتين موجبتين تمامًا أو عندما يكون كل من f(x) وg(x) أقل من الصفر.

بتحويل هذا التعبير إلى مجموع السجل a f (x) + log a g (x)، فإننا مضطرون إلى قصر أنفسنا فقط على الحالة عندما يكون f(x)>0 و g(x)>0. هناك تضييق في نطاق القيم المقبولة، وهذا غير مقبول بشكل قاطع، لأنه يمكن أن يؤدي إلى فقدان الحلول. توجد مشكلة مماثلة للصيغة (6).

يمكن إخراج الدرجة من علامة اللوغاريتم

سجل أ ب ص = ص سجل أ ب (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0) (7)

ومرة أخرى أود أن أدعو إلى الدقة. خذ بعين الاعتبار المثال التالي:

سجل أ (و (س) 2 = 2 سجل أ و (س)

من الواضح أن الجانب الأيسر من المساواة محدد لجميع قيم f(x) باستثناء الصفر. الجانب الأيمن مخصص فقط لـ f(x)>0! من خلال أخذ الدرجة من اللوغاريتم، نقوم مرة أخرى بتضييق نطاق ODZ. يؤدي الإجراء العكسي إلى توسيع نطاق القيم المقبولة. كل هذه الملاحظات لا تنطبق فقط على القوة رقم ٢، بل أيضًا على أي قوة زوجية.

صيغة للانتقال إلى أساس جديد

سجل أ ب = سجل ج ب سجل ج أ (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0، ج > 0، ج ≠ 1) (8)

هذه الحالة النادرة عندما لا يتغير ODZ أثناء التحويل. إذا اخترت الأساس c بحكمة (إيجابي ولا يساوي 1)، فإن صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة آمنة تمامًا.

إذا اخترنا الرقم b كقاعدة جديدة c، فسنحصل على حالة خاصة مهمة من الصيغة (8):

سجل أ ب = 1 سجل ب أ (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0، ب ≠ 1) (9)

بعض الأمثلة البسيطة مع اللوغاريتمات

مثال 1. احسب: log2 + log50.
حل. log2 + log50 = log100 = 2. استخدمنا صيغة مجموع اللوغاريتمات (5) وتعريف اللوغاريتم العشري.

مثال 2. احسب: lg125/lg5.
حل. log125/log5 = log 5 125 = 3. استخدمنا صيغة الانتقال إلى قاعدة جديدة (8).

جدول الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات

سجل أ ب = ب (أ > 0، أ ≠ 1)

سجل أ = 1 (أ > 0، أ ≠ 1)

سجل أ 1 = 0 (أ > 0، أ ≠ 1)

سجل أ (ب ج) = سجل أ ب + سجل أ ج (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج > 0)

سجل أ ب ج = سجل أ ب − سجل أ ج (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ج > 0)

سجل أ ب ص = ص سجل أ ب (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0)

سجل أ ب = سجل ج ب سجل ج أ (أ > 0، أ ≠ 1، ب > 0، ج > 0، ج ≠ 1)

سجل أ ب = 1 سجل ب أ (أ > 0, أ ≠ 1, ب > 0, ب ≠ 1)

اليوم سنتحدث عنه الصيغ اللوغاريتميةوسوف نعطي الإرشادية أمثلة الحل.

هم أنفسهم يشيرون إلى أنماط الحل وفقًا للخصائص الأساسية للوغاريتمات. قبل تطبيق صيغ اللوغاريتم لحلها، دعونا نذكرك بجميع الخصائص:

الآن، على أساس هذه الصيغ (الخصائص)، سوف نعرض أمثلة على حل اللوغاريتمات.

أمثلة على حل اللوغاريتمات على أساس الصيغ.

اللوغاريتمالرقم الموجب b للأساس a (يُشار إليه بالسجل a b) هو الأس الذي يجب رفع a إليه للحصول على b، مع b > 0، وa > 0، و1.

وفقًا للتعريف، سجل a b = x، وهو ما يعادل a x = b، وبالتالي سجل a a x = x.

اللوغاريتمات، أمثلة:

سجل 2 8 = 3، لأن 2 3 = 8

سجل 7 49 = 2، لأن 7 2 = 49

سجل 5 1/5 = -1، لأن 5 -1 = 1/5

اللوغاريتم العشري- هذا لوغاريتم عادي، قاعدته 10. ويشار إليه بـ lg.

سجل 10 100 = 2، لأن 10 2 = 100

اللوغاريتم الطبيعي- أيضًا لوغاريتم عادي، لوغاريتم، لكن بالأساس e (e = 2.71828... - رقم غير نسبي). يشار إليه باسم ln.

يُنصح بحفظ صيغ أو خصائص اللوغاريتمات، لأننا سنحتاجها لاحقًا عند حل اللوغاريتمات والمعادلات اللوغاريتمية والمتباينات. دعونا نعمل على كل صيغة مرة أخرى مع الأمثلة.

• الهوية اللوغاريتمية الأساسية
  سجل أ ب = ب

  8 2 سجل 8 3 = (8 2 سجل 8 3) 2 = 3 2 = 9

• لوغاريتم المنتج يساوي مجموع اللوغاريتمات
  سجل أ (قبل الميلاد) = سجل أ ب + سجل أ ج

  سجل 3 8.1 + سجل 3 10 = سجل 3 (8.1*10) = سجل 3 81 = 4

• لوغاريتم الحاصل يساوي الفرق بين اللوغاريتمات
  سجل أ (ب / ج) = سجل أ ب - سجل أ ج

  9 سجل 5 50 /9 سجل 5 2 = 9 سجل 5 50- سجل 5 2 = 9 سجل 5 25 = 9 2 = 81

• خصائص قوة الرقم اللوغاريتمي وأساس اللوغاريتم

  أس الرقم اللوغاريتمي سجل a b m = mlog a b

  أس قاعدة اللوغاريتم log a n b =1/n*log a b

  تسجيل الدخول أ ن ب م = م/ن*تسجيل أ ب،

  إذا م = ن، نحصل على سجل أ ن ب ن = سجل أ ب

  سجل 4 9 = سجل 2 2 3 2 = سجل 2 3

• الانتقال إلى أساس جديد
  سجل أ ب = سجل ج ب/سجل ج أ،

  إذا كان ج = ب، نحصل على سجل ب ب = 1

  ثم سجل أ ب = 1/سجل ب أ

  سجل 0.8 3*سجل 3 1.25 = سجل 0.8 3*سجل 0.8 1.25/سجل 0.8 3 = سجل 0.8 1.25 = سجل 4/5 5/4 = -1

كما ترون، صيغ اللوغاريتمات ليست معقدة كما تبدو. والآن، بعد أن نظرنا إلى أمثلة حل اللوغاريتمات، يمكننا الانتقال إلى المعادلات اللوغاريتمية. سننظر في أمثلة حل المعادلات اللوغاريتمية بمزيد من التفصيل في المقالة: "". لا تفوت!

إذا كان لا يزال لديك أسئلة حول الحل، فاكتبها في التعليقات على المقالة.

ملاحظة: قررنا الحصول على فئة مختلفة من التعليم والدراسة في الخارج كخيار.