المثلث متساوي الساقين إذا كان لديه. مثلث متساوي الساقين. نظرية مفصلة مع الأمثلة

يتم التعبير عن خصائص المثلث متساوي الساقين من خلال النظريات التالية.

النظرية 1. في المثلث متساوي الساقين، زوايا القاعدة متساوية.

النظرية 2. في المثلث متساوي الساقين، المنصف المرسوم على القاعدة هو الوسط والارتفاع.

النظرية 3. في المثلث متساوي الساقين، الوسيط المرسوم على القاعدة هو المنصف والارتفاع.

النظرية 4. في مثلث متساوي الساقين، الارتفاع المرسوم إلى القاعدة هو المنصف والوسيط.

دعونا نثبت إحداها، على سبيل المثال النظرية 2.5.

دليل. دعونا نفكر في مثلث متساوي الساقين ABC وقاعدته BC ونثبت أن ∠ B = ∠ C. دع AD يكون منصف المثلث ABC (الشكل 1). المثلثان ABD وACD متساويان حسب علامة تساوي المثلثات الأولى (AB = AC حسب الشرط، AD ضلع مشترك، ∠ 1 = ∠ 2، حيث أن AD منصف). ويترتب على تساوي هذه المثلثات أن ∠ B = ∠ C. تم إثبات النظرية.

باستخدام النظرية 1، يتم إنشاء النظرية التالية.

النظرية 5. المعيار الثالث لمساواة المثلثات. إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة أضلاع لمثلث آخر، فإن هذه المثلثات تكون متطابقة (الشكل 2).

تعليق. الجمل الواردة في المثالين 1 و 2 تعبر عن خصائص المنصف العمودي للقطعة. ويترتب على هذه المقترحات أن تتقاطع المنصفات المتعامدة على جوانب المثلث عند نقطة واحدة.

مثال 1.أثبت أن نقطة في المستوى متساوية البعد من طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي على هذه القطعة.

حل. لتكن النقطة M على مسافة متساوية من طرفي القطعة AB (الشكل 3)، أي AM = BM.

ثم Δ AMV متساوي الساقين. لنرسم خطًا مستقيمًا p عبر النقطة M ونقطة المنتصف O للقطعة AB. من خلال البناء، فإن القطعة MO هي متوسط ​​المثلث المتساوي الساقين AMB، وبالتالي (النظرية 3)، والارتفاع، أي الخط المستقيم MO، هو المنصف العمودي على القطعة AB.

مثال 2.أثبت أن كل نقطة من المنصف العمودي على القطعة تكون متساوية البعد عن طرفيها.

حل. دع p يكون المنصف العمودي للقطعة AB والنقطة O هي نقطة المنتصف للقطعة AB (انظر الشكل 3).

النظر في نقطة تعسفية M تقع على الخط المستقيم ص. دعونا نرسم القطع AM وBM. المثلثان AOM وBOM متساويان، نظرًا لأن زواياهما عند الرأس O صحيحة، والساق OM شائعة، والساق OA تساوي الساق OB حسب الشرط. ومن تساوي المثلثين AOM وBOM يترتب على ذلك أن AM = BM.

مثال 3.في المثلث ABC (انظر الشكل 4) AB = 10 سم، BC = 9 سم، AC = 7 سم؛ في المثلث DEF DE = 7 سم، EF = 10 سم، FD = 9 سم.

قارن بين المثلثين ABC و DEF. أوجد الزوايا المتساوية المتناظرة.

حل. وهذه المثلثات متساوية حسب المعيار الثالث. في المقابل، الزوايا المتساوية: A وE (تقعان على ضلعين متساويين BC وFD)، B وF (تقعان على ضلعين متساويين AC وDE)، C وD (تقعان على ضلعين متساويين AB وEF).

مثال 4.في الشكل 5، AB = DC، BC = AD، ∠B = 100°.

أوجد الزاوية د.

حل. خذ بعين الاعتبار المثلثين ABC وADC. وهي متساوية حسب المعيار الثالث (AB = DC، BC = AD حسب الحالة والجانب AC شائع). ويترتب على تساوي هذه المثلثات أن ∠ B = ∠ D، لكن الزاوية B تساوي 100 درجة، مما يعني أن الزاوية D تساوي 100 درجة.

مثال 5.في مثلث متساوي الساقين ABC وقاعدته AC، تكون الزاوية الخارجية عند الرأس C 123 درجة. أوجد حجم الزاوية ABC. اكتب إجابتك بالدرجات.

حل الفيديو.

يتناول هذا الدرس موضوع "المثلث متساوي الساقين وخصائصه". سوف تتعلم كيف تبدو متساوي الساقين والمثلثات متساوية الأضلاع وكيف تتميز. إثبات نظرية تساوي الزوايا عند قاعدة مثلث متساوي الساقين. ضع في اعتبارك أيضًا نظرية المنصف (الوسيط والارتفاع) المرسوم على قاعدة مثلث متساوي الساقين. في نهاية الدرس، ستحل مسألتين باستخدام تعريف المثلث المتساوي الساقين وخصائصه.

تعريف:متساوي الساقينيسمى المثلث الذي ضلعاه متساويان.

أرز. 1. مثلث متساوي الساقين

AB = AC - الجوانب. قبل الميلاد - الأساس.

مساحة المثلث متساوي الساقين تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته وارتفاعه.

تعريف:متساوي الاضلاعيسمى المثلث الذي تكون فيه أضلاعه الثلاثة متساوية.

أرز. 2. مثلث متساوي الأضلاع

أ ب = ق = سا.

النظرية 1:في المثلث المتساوي الساقين، زوايا القاعدة متساوية.

منح:أب = أس.

يثبت:∠ب =∠ج.

أرز. 3. الرسم للنظرية

دليل:المثلث ABC = المثلث ACB حسب الإشارة الأولى (ضلعان متساويان والزاوية بينهما). ويترتب على تساوي المثلثات أن جميع العناصر المتناظرة متساوية. وهذا يعني أن ∠B = ∠C، وهو ما يجب إثباته.

النظرية 2:في مثلث متساوي الساقين منصفتعادل إلى القاعدة الوسيطو ارتفاع.

منح: AB = AC، ∠1 = ∠2.

يثبت:ВD = DC، AD عمودي على BC.

أرز. 4. الرسم للنظرية 2

دليل:مثلث ADB = مثلث ADC حسب الإشارة الأولى (AD - عام، AB = AC حسب الشرط، ∠BAD = ∠DAC). ويترتب على تساوي المثلثات أن جميع العناصر المتناظرة متساوية. BD = DC لأنهما متقابلان بزوايا متساوية. إذن AD هو الوسيط. وأيضًا ∠3 = ∠4، حيث أنهما يقعان على ضلعين متساويين. ولكن، إلى جانب ذلك، فهي متساوية في المجموع. ولذلك، ∠3 = ∠4 = . وهذا يعني أن AD هو ارتفاع المثلث، وهو ما أردنا إثباته.

في الحالة الوحيدة أ = ب = . في هذه الحالة، يسمى الخطان AC و BD متعامدين.

بما أن المنصف والارتفاع والوسيط هم نفس القطعة، فإن العبارات التالية صحيحة أيضًا:

ارتفاع المثلث المتساوي الساقين المرسوم إلى القاعدة هو المتوسط ​​والمنصف.

متوسط ​​المثلث متساوي الساقين المرسوم على القاعدة هو الارتفاع والمنصف.

مثال 1:في المثلث المتساوي الساقين، قاعدته نصف طول ضلعه، ومحيطه 50 سم، أوجد أضلاع المثلث.

منح: AB = AC، BC = AC. ف = 50 سم.

يجد:قبل الميلاد، AC، AB.

حل:

أرز. 5. الرسم على سبيل المثال 1

دعونا نشير إلى الأساس BC على أنه a، ثم AB = AC = 2a.

2أ + 2أ + أ = 50.

5أ = 50، أ = 10.

إجابة: BC = 10 سم، AC = AB = 20 سم.

مثال 2:أثبت أن جميع الزوايا في المثلث متساوي الأضلاع متساوية.

منح:أ ب = ق = سا.

يثبت:∠أ = ∠ب = ∠ج.

دليل:

أرز. 6. الرسم على سبيل المثال

∠B = ∠C، بما أن AB = AC، و∠A = ∠B، بما أن AC = BC.

لذلك، ∠A = ∠B = ∠C، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

إجابة:ثبت.

في درس اليوم تناولنا المثلث متساوي الساقين ودرسنا خصائصه الأساسية. في الدرس التالي سوف نقوم بحل المسائل المتعلقة بموضوع المثلثات المتساوية الساقين، حول حساب مساحة المثلث المتساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع.

1. ألكساندروف أ.د.، فيرنر أ.ل.، ريجيك ف.آي. وغيرها الهندسة 7. - م: التربية.
2. أتاناسيان إل إس، بوتوزوف في إف، كادومتسيف إس بي. وغيرها الهندسة 7. الطبعة الخامسة. - م: التنوير.
3. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوفا ف.ف. الهندسة 7 / ف.ف. بوتوزوف، س. كادومتسيف ، ف. براسولوفا، أد. سادوفنيتشيغو ف. - م: التربية، 2010.

1. قواميس وموسوعات عن الأكاديمي ().
2. مهرجان الأفكار التربوية "الدرس المفتوح" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. رقم 29. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوفا ف.ف. الهندسة 7 / ف.ف. بوتوزوف، س. كادومتسيف ، ف. براسولوفا، أد. سادوفنيتشيغو ف. - م: التربية، 2010.

2. محيط المثلث المتساوي الساقين 35 سم، وقاعدته أصغر من ضلعه بثلاث مرات. العثور على جوانب المثلث.

3. بالنظر إلى: AB = BC. أثبت أن ∠1 = ∠2.

4. محيط المثلث المتساوي الساقين 20 سم، وطول أحد أضلاعه ضعف طول الآخر. العثور على جوانب المثلث. كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المشكلة؟

مثلث متساوي الساقين- هذا مثلث، حيث يكون الضلعان متساويان في الطول. تسمى الجوانب المتساوية بالجانبي، والأخير يسمى القاعدة. أ-بريوري، مثلث منتظمهو أيضا متساوي الساقين، ولكن العكس غير صحيح.

ملكيات

• الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية في المثلث متساوي الساقين متساوية مع بعضها البعض. متساوية أيضا منصفات , الوسطاءو مرتفعاتمأخوذة من هذه الزوايا.
• يتطابق المنصف والوسيط والارتفاع والمنصف العمودي المرسوم على القاعدة مع بعضهما البعض. المراكز منقوشةو الموصوفةالدوائر تقع على هذا الخط.
• الزوايا المتقابلة لجوانب متساوية تكون دائمًا حار(يتبع من مساواتهم).

يترك أ- طول ضلعين متساويين في مثلث متساوي الساقين، ب- طول الضلع الثالث، α و β - الزوايا المقابلة، ر- نصف القطر دائرة محيطية , ص- نصف القطر منقوشة.

يمكن العثور على الجوانب على النحو التالي:

يمكن التعبير عن الزوايا بالطرق التالية:

محيطيمكن حساب المثلث متساوي الساقين بإحدى الطرق التالية:

مربعيمكن حساب المثلث بإحدى الطرق التالية:

(صيغة هيرون).

علامات

• زاويتان في المثلث متساويتان.
• الارتفاع يتزامن مع المتوسط.
• الارتفاع يتزامن مع المنصف.
• يتزامن المنصف مع الوسيط.
• الارتفاعان متساويان.
• المتوسطان متساويان.
• منصفان متساويان ( نظرية شتاينر ليموس).

أنظر أيضا

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

انظر ما هو "مثلث متساوي الساقين" في القواميس الأخرى:

مثلث متساوي الساقين، مثلث له ضلعان متساويان في الطول؛ الزوايا في هذه الجوانب متساوية أيضًا. القاموس الموسوعي العلمي والتقني

و (بسيط) مثلث، مثلث، يا رجل. 1. شكل هندسي يحده ثلاثة خطوط متقاطعة تشكل ثلاث زوايا داخلية (حصيرة). مثلث منفرج الزاوية. مثلث حاد الزوايا. مثلث قائم.… … قاموس أوشاكوف التوضيحي

ISOSceles, aya, oe: مثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان. | اسم متساوي الساقين، والأنثى قاموس أوزيغوف التوضيحي. إس.آي. أوزيجوف ، إن يو. شفيدوفا. 1949 1992… قاموس أوزيجوف التوضيحي

مثلث- ▲ مضلع بثلاث زوايا، مثلث، أبسط مضلع؛ يتم تعريفه بثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط. الثلاثي. زاوية حادة. حادة الزاوية. المثلث الأيمن: الساق. الوتر. مثلث متساوي الساقين. ▼…… القاموس الإيديوغرافي للغة الروسية

مثلث- TRIANGLE1، a، m ماذا أو مع def. جسم على شكل شكل هندسي يحده ثلاثة خطوط متقاطعة تشكل ثلاث زوايا داخلية. قامت بفرز رسائل زوجها، مثلثات صفراء من الأمام. المثلث 2، أ، ​​م... ... القاموس التوضيحي للأسماء الروسية

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر المثلث (المعاني). المثلث (في الفضاء الإقليدي) هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أجزاء تربط ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم. ثلاث نقاط،... ... ويكيبيديا

مثلث (مضلع)- المثلثات: 1 ـ حادة ومستطيلة ومنفرجة. 2 منتظم (متساوي الأضلاع) ومتساوي الساقين؛ 3 منصفات 4 متوسطات ومركز الثقل؛ 5 ارتفاعات؛ 6 مركز تقويم العظام؛ 7 خط وسط. المثلث، مضلع له ثلاثة أضلاع. أحيانا تحت... ... القاموس الموسوعي المصور

القاموس الموسوعي

مثلث- أ؛ م 1) أ) شكل هندسي محدد بثلاثة خطوط متقاطعة تشكل ثلاث زوايا داخلية. مستطيل، مثلث متساوي الساقين. احسب مساحة المثلث . ب) أوت. ماذا أو مع مواطنة. شخصية أو كائن من هذا الشكل ... ... قاموس العديد من التعبيرات

أ؛ م 1. شكل هندسي يحده ثلاثة خطوط متقاطعة تشكل ثلاث زوايا داخلية. مستطيل متساوي الساقين ر احسب مساحة المثلث. // ماذا أو مع مواطنة. شخصية أو كائن من هذا الشكل. ت. الأسطح. ت…… القاموس الموسوعي