النتائج الطبيعية من بديهية تعريف الخطوط المتوازية. خصائص الخطوط المتوازية

أولاً، دعونا نلقي نظرة على الفرق بين مفاهيم الإشارة والملكية والبديهية.

التعريف 1

لافتةيسمون حقيقة معينة يمكن من خلالها تحديد حقيقة الحكم على موضوع محل الاهتمام.

مثال 1

تكون الخطوط متوازية إذا كانت أشكالها المستعرضة متساوية في الزوايا العرضية.

التعريف 2

ملكيةيتم صياغته في القضية عندما تكون هناك ثقة في عدالة الحكم.

مثال 2

عندما تكون الخطوط المتوازية متوازية، فإن أشكالها المستعرضة تساوي زوايا عرضية.

التعريف 3

اكسيومويسمون قولاً لا يحتاج إلى برهان ويُقبل كحقيقة بدونه.

ولكل علم مسلمات تقوم عليها الأحكام اللاحقة وبراهينها.

بديهية الخطوط المتوازية

في بعض الأحيان يتم قبول بديهية الخطوط المتوازية كأحد خصائص الخطوط المتوازية، ولكن في نفس الوقت يتم الاعتماد على براهين هندسية أخرى في صحتها.

النظرية 1

من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمكن رسم خط مستقيم واحد فقط على المستوى، والذي سيكون موازيًا للخط المعطى.

البديهية لا تحتاج إلى دليل.

خصائص الخطوط المتوازية

النظرية 2

الملكية1. خاصية العبور للخطوط المتوازية:

عندما يكون أحد الخطين المتوازيين موازيا للثالث، فإن الخط الثاني يكون موازيا له.

الخصائص تتطلب إثباتا.

دليل:

يجب أن يكون هناك خطين متوازيين $a$ و $b$. السطر $c$ موازي للخط $a$. دعونا نتحقق مما إذا كان الخط المستقيم $c$ في هذه الحالة سيكون موازيًا أيضًا للخط المستقيم $b$.

ولإثبات ذلك سنستخدم الفرضية المعاكسة:

لنتخيل أنه من الممكن أن يكون السطر $c$ موازيًا لأحد الخطين، على سبيل المثال، السطر $a$، ويتقاطع مع الخط الآخر، السطر $b$، عند نقطة ما $K$.

نحصل على التناقض وفقا لبديهية الخطوط المتوازية. وينتج عن هذا موقف يتقاطع فيه خطان عند نقطة واحدة، علاوة على ذلك، بالتوازي مع نفس الخط $a$. هذا الوضع مستحيل؛ لذلك لا يمكن أن يتقاطع الخطان $b$ و $c$.

وبذلك ثبت أنه إذا كان أحد الخطين المتوازيين موازياً للخط الثالث، فإن الخط الثاني موازي للخط الثالث.

النظرية 3

الملكية 2.

وإذا تقاطع أحد الخطين المتوازيين مع الثلث، فإن الخط الثاني سوف يتقاطع معه أيضا.

دليل:

يجب أن يكون هناك خطين متوازيين $a$ و $b$. أيضًا، يجب أن يكون هناك خط $c$ يتقاطع مع أحد الخطوط المتوازية، على سبيل المثال، الخط $a$. من الضروري إظهار أن السطر $c$ يتقاطع أيضًا مع السطر الثاني، السطر $b$.

دعونا بناء دليل على التناقض.

لنتخيل أن هذا الخط $c$ لا يتقاطع مع الخط $b$. ثم يمر الخطان $a$ و $c$ بالنقطة $K$، ولا يتقاطعان مع الخط $b$، أي أنهما موازيان له. لكن هذا الوضع يتناقض مع بديهية الخطوط المتوازية. هذا يعني أن الافتراض غير صحيح وأن السطر $c$ سوف يتقاطع مع السطر $b$.

لقد تم إثبات النظرية.

خصائص الزواياوالتي تشكل خطين متوازيين وقاطعًا: الزوايا المتقابلة متساوية،الزوايا المتناظرة متساوية، * مجموع الزوايا أحادية الجانب هو $180^(\circ)$.

مثال 3

معطاة خطين متوازيين وخط ثالث عمودي على أحدهما. أثبت أن هذا الخط عمودي على خط آخر من الخطوط المتوازية.

دليل.

دعونا نحصل على خطوط مستقيمة $a \parallel b$ و $c \perp a$.

نظرًا لأن الخط $c$ يتقاطع مع الخط $a$، فإنه وفقًا لخاصية الخطوط المتوازية، فإنه سيتقاطع أيضًا مع الخط $b$.

القاطع $c$، الذي يتقاطع مع الخطين المتوازيين $a$ و $b$، يشكل زوايا داخلية متساوية تقع بالعرض معهم.

لأن $c \perp a$، فستكون الزوايا $90^(\circ)$.

لذلك، $c \perp b$.

الدليل كامل.

لقد استخدمنا أيضًا بديهيات أخرى، على الرغم من أننا لم نسلط الضوء عليها بشكل خاص. لذلك، قمنا بمقارنة جزأين باستخدام التراكب. إن إمكانية حدوث مثل هذا التداخل تنبع من البديهية "على أي شعاع من بدايته يمكنك الاستغناء عن قطعة مساوية للقطعة المعطاة وقطعة واحدة فقط"

هذه البديهيات لا شك فيها، وبمساعدتها تم إثبات أقوال أخرى. نشأت هذه الطريقة منذ زمن طويل وتم توضيحها في عمل "العناصر" للعالم إقليدس. تُستخدم الآن بعض بديهيات إقليدس - المسلمات في الهندسة، وتسمى الهندسة نفسها، الموضحة في "العناصر"، بالهندسة الإقليدية.

نظريات الزوايا المتكونة من متوازيين ومستعرضين. الشرط هو ما يعطى. الاستنتاج هو ما يحتاج إلى إثبات. النظرية المعكوسة لنظرية معينة هي نظرية يكون فيها الشرط هو نتيجة النظرية المعطاة، والنتيجة هي شرط النظرية المعطاة.

تعليق. إذا تم إثبات نظرية معينة، فإن العبارة العكسية لا تتبع. علاوة على ذلك، فإن العكس ليس صحيحا دائما. على سبيل المثال، "الزوايا الرأسية متساوية". العبارة المعاكسة: "إذا كانت الزوايا متساوية، فهي رأسية" هي بالطبع خاطئة.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

§ 1 بديهية الخطوط المتوازية

دعونا نتعرف على العبارات التي تسمى البديهيات، ونعطي أمثلة على البديهيات، وصياغة بديهية الخطوط المتوازية وننظر في بعض عواقبها.

عند دراسة الأشكال الهندسية وخصائصها، هناك حاجة لإثبات العبارات المختلفة - النظريات. وعند إثباتها، غالبًا ما يعتمدون على نظريات تم إثباتها مسبقًا. السؤال الذي يطرح نفسه: ما هي الأدلة التي تستند إليها النظريات الأولى؟ في الهندسة يتم قبول بعض الافتراضات الأولية، وعلى أساسها يتم إثبات النظريات التالية. تسمى هذه الأحكام الأولية البديهيات. فالبديهية مقبولة بدون برهان. كلمة بديهية تأتي من الكلمة اليونانية "أكسيوس"، والتي تعني "قيمة، جديرة".

نحن بالفعل على دراية ببعض البديهيات. على سبيل المثال، البديهية هي العبارة: من خلال أي نقطتين يمر خط مستقيم، وواحد فقط.

عند مقارنة قطعتين وزاويتين، قمنا بتركيب قطعة واحدة على الأخرى، وقمنا بتركيب الزاوية على الزاوية الأخرى. إن إمكانية فرض مثل هذا تنبع من البديهيات التالية:

· على أي شعاع من بدايته يمكن رسم قطعة مساوية للقطعة المعطاة، وقطعة واحدة فقط؛

· من أي شعاع في اتجاه معين يمكنك تأجيل زاوية مساوية لزاوية معينة غير متطورة، علاوة على ذلك، زاوية واحدة فقط.

الهندسة علم قديم. منذ ما يقرب من ألفي عام، تمت دراسة الهندسة وفقًا للعمل الشهير "العناصر" للعالم اليوناني القديم إقليدس. قام إقليدس أولاً بصياغة نقاط البداية - الافتراضات، ثم، بناءً عليها، من خلال التفكير المنطقي، أثبت عبارات أخرى. الهندسة المقدمة في المبادئ تسمى الهندسة الإقليدية. يوجد في مخطوطات العالم بيان يسمى الافتراض الخامس، والذي اندلع حوله الجدل لفترة طويلة جدًا. لقد حاول العديد من علماء الرياضيات إثبات مسلمة إقليدس الخامسة، وهي: يستمدها من بديهيات أخرى، ولكن في كل مرة كانت البراهين غير مكتملة أو وصلت إلى طريق مسدود. فقط في القرن التاسع عشر تم توضيح أن المسلمة الخامسة لا يمكن إثباتها على أساس البديهيات المتبقية لإقليدس، وهي في حد ذاتها بديهية. لعب عالم الرياضيات الروسي نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي (1792-1856) دورًا كبيرًا في حل هذه المشكلة. لذا فإن المسلمة الخامسة هي بديهية الخطوط المتوازية.

البديهية: من نقطة لا تقع على خط معين يمر خط واحد فقط موازيًا للخط المعطى.

§ 2 نتائج طبيعية من بديهية الخطوط المتوازية

تسمى العبارات المشتقة مباشرة من البديهيات أو النظريات بالنتائج الطبيعية. دعونا نفكر في بعض النتائج الطبيعية من بديهية الخطوط المتوازية.

النتيجة الطبيعية 1. إذا قطع مستقيم أحد الخطين المتوازيين فإنه يتقاطع مع الآخر أيضاً.

معطى: المستقيمان a وb متوازيان، والمستقيم c يتقاطع مع المستقيم a عند النقطة A.

إثبات: الخط ج يتقاطع مع الخط ب.

الدليل: إذا كان المستقيم (ج) لا يتقاطع مع الخط (ب)، فإن الخطين (أ) و(ج) يمران بالنقطة (أ)، الموازيين للمستقيم (ب). لكن هذا يتعارض مع بديهية الخطوط المتوازية: من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمر خط واحد فقط موازي للخط المحدد. وهذا يعني أن الخط ج يتقاطع مع الخط ب.

النتيجة الطبيعية 2. إذا كان المستقيمان موازيين لخط ثالث، فإنهما متوازيان.

معطى: الخطان a و b متوازيان مع الخط c. (أ||ج، ب||ج)

اثبات: المستقيم أ موازي للخط ب.

الدليل: لنفترض أن المستقيمين a وb غير متوازيين، أي. يتقاطعان عند نقطة ما A. ثم يمر الخطان a و b بالنقطة A، الموازيين للخط c. ولكن وفقًا لبديهية الخطوط المتوازية، من خلال نقطة لا تقع على خط معين، يمر عبرها خط مستقيم واحد فقط، موازيًا للخط المحدد. وهذا يعني أن افتراضنا غير صحيح، وبالتالي فإن الخطين a وb متوازيان.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

1. الهندسة. الصفوف 7-9: كتاب مدرسي. للتعليم العام المنظمات / ل.س. أتاناسيان ، ف. بوتوزوف، س. كادومتسيف وآخرون - م: التعليم، 2013. - 383 ص: مريض.
2. جافريلوفا إن.إف. تطورات الدرس في الهندسة الصف 7. - م: "فاكو"، 2004، 288 ص. - (لمساعدة معلم المدرسة).
3. بيليتسكايا أو.في. الهندسة. الصف السابع. الجزء 1. الاختبارات. – ساراتوف: صالة حفلات، 2014. – 64 ص.

الصور المستخدمة:

الشكل 1-2

على سبيل المثال، يتم إعطاء المهمة لرسم خطين متوازيين، وذلك من خلال نقطة معينة م مر واحد على الأقل من الخطوط المستقيمة. وهكذا، من خلال نقطة معينة م رسم خطوط متعامدة بشكل متبادل مينيسوتا و قرص مضغوط . ومن خلال النقطة ن لنرسم خطًا مستقيمًا ثانيًا أ.ب ، يجب أن يكون عموديًا على الخط مينيسوتا .

لنختتم: مستقيم أ.ب عمودي على الخط مينيسوتا ومستقيم قرص مضغوط هو أيضا عمودي على الخط مينيسوتا وبما أن هذه الخطوط موازية لخط واحد، فإن هذا الخط هو نتيجة لذلك قرص مضغوط موازي أ.ب . لذلك، من خلال هذه النقطة م هناك خط مستقيم قرص مضغوط ، وهو موازي للخط أ.ب . دعونا نكتشف: هل من الممكن رسم خط مستقيم آخر عبر هذه النقطة؟ م بحيث يكون موازيا للخط أ.ب ?

هذه العبارة هي إجابة لسؤالنا: من خلال نقطة على المستوى لا تقع على خط معين، يمكنك رسم خط مستقيم واحد فقط، والذي سيكون موازيًا للخط المحدد. مثل هذا الرفض بصيغة مختلفة دون دليل كان مقبولاً في العصور القديمة من قبل العالم إقليدس. ومعلوم أن مثل هذه الأقوال المقبولة دون دليل تسمى بديهيات.

البيان أعلاه يسمى بديهية الخطوط المتوازية. ولهذه البديهية الإقليدية أهمية كبيرة في إثبات العديد من النظريات.

دعونا نفكر في النظرية العكسية. إذا قطع خط مستقيم مستقيمين متوازيين، فإن الزوايا الواقعة بالعرض على المستقيمين المتوازيين تكون متساوية بالتساوي.

أرز. 3

والدليل: افترض ذلك تكييف و في دي هي خطوط متوازية، ثم الخط أ.ب هو خطهم القاطع. نحن بحاجة إلى إثبات ذلك РСАВ =Р АВD .

نحن بحاجة إلى رسم خط مستقيم مثل هذا AC1 ، ل РС1АВ=РАВD . وفقا لبديهية الخطوط المتوازية AC1||VD ، في الحالة التي لدينا تيار متردد||د . وهذا يعني أنه من خلال هذه النقطة أ يمر خطان، وهما موازيان للخط في دي . وهذا يؤدي إلى تناقض مع بديهية الخطوط المتوازية، والتي تعني أن الخط مستقيم AC1 نفذت بشكل غير صحيح.

سيكون صحيحا إذا РСАВ=РАВD . لنستنتج: أنه إذا كان مستقيم معين عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فإنه سيكون عموديًا على الخط الثاني.

اتضح إذا (مينيسوتا)^(قرص مضغوط) و (قرص مضغوط)||(أ ب) ، الذي - التي Р1=Р2=90 درجة . وهذا يعني: (مينيسوتا)^(أب) (رسم بياني 1) .

دعونا نثبت النظرية: إذا كان هناك خطان موازيان للثالث، فسيكونان موازيين للثاني.

أرز. 4

دعها تكون مستقيمة أ بالتوازي مع الخط مع ومستقيم ب أيضا بالتوازي مع الخط مع (الشكل 4 أ) . نحن بحاجة إلى إثبات ذلك أ||ب .

لنفترض أن الخطوط المستقيمة أ و ب ليسا متوازيين، لكنهما يتقاطعان في نقطة ما م (الشكل 4 ب) . وهذا يعني أن هناك خطين مستقيمين أ و ب ، وهي موازية للخط الذي يمر بنقطة واحدة، وهذا تناقض كامل مع بديهية الخطوط المتوازية. لذلك لدينا مباشرة أ و ب موازي.