القيمة المطلقة للرقم. تفسير غير علمي لسبب الحاجة إليه. معامل الرقم (القيمة المطلقة للرقم)، التعاريف، الأمثلة، الخصائص تعريف معامل خصائص الرقم الحقيقي

أولاً نحدد علامة التعبير ضمن علامة الوحدة، ثم نقوم بتوسيع الوحدة:

• إذا كانت قيمة التعبير أكبر من الصفر، فإننا ببساطة نزيلها من تحت علامة المعامل،
• فإذا كان التعبير أقل من الصفر، فإننا نقوم بإزالته من تحت علامة المعامل، مع تغيير الإشارة، كما فعلنا سابقًا في الأمثلة.

حسنًا، هل نحاول؟ دعونا نقيم:

(نسيت، كرر.)

إذا كان الأمر كذلك، ما هي العلامة التي لديها؟ حسنا بالطبع، !

وبالتالي، نقوم بتوسيع علامة الوحدة عن طريق تغيير علامة التعبير:

فهمتها؟ ثم جرب ذلك بنفسك:

الإجابات:

ما هي الخصائص الأخرى التي تمتلكها الوحدة؟

إذا أردنا ضرب الأرقام الموجودة داخل علامة المقياس، فيمكننا بسهولة ضرب معاملات هذه الأرقام!!!

من الناحية الرياضية، معامل ضرب الأرقام يساوي منتج معاملات هذه الأرقام.

على سبيل المثال:

ماذا لو أردنا تقسيم رقمين (تعبيرات) تحت علامة المعامل؟

نعم، نفس الشيء كما هو الحال مع الضرب! دعنا نقسمه إلى رقمين منفصلين (تعبيرات) تحت علامة المعامل:

بشرط أن (بما أنه لا يمكنك القسمة على صفر).

يجدر بنا أن نتذكر خاصية أخرى للوحدة:

يكون معامل مجموع الأرقام دائمًا أقل من أو يساوي مجموع معاملات هذه الأرقام:

لماذا هذا؟ كل شيء بسيط جدا!

وكما نتذكر، يكون المقياس موجبًا دائمًا. ولكن تحت علامة المعامل يمكن أن يكون هناك أي رقم: موجب وسالب. لنفترض أن الأرقام وكلاهما إيجابي. عندها سيكون التعبير الأيسر مساوياً للتعبير الأيمن.

لنلقي نظرة على مثال:

إذا كان تحت علامة المعامل رقم واحد سالب والآخر موجب، سيكون التعبير الأيسر دائمًا أقل من التعبير الأيمن:

يبدو كل شيء واضحًا مع هذه الخاصية، فلنلقِ نظرة على بعض الخصائص المفيدة للوحدة.

ماذا لو كان لدينا هذا التعبير:

ماذا يمكننا أن نفعل بهذا التعبير؟ قيمة x غير معروفة لنا، لكننا نعرف بالفعل ماذا يعني ذلك.

الرقم أكبر من الصفر، مما يعني أنه يمكنك ببساطة كتابة:

لذلك نأتي إلى خاصية أخرى، والتي يمكن تمثيلها بشكل عام على النحو التالي:

ماذا يساوي هذا التعبير:

لذا، علينا تحديد الإشارة الموجودة أسفل المقياس. هل من الضروري تحديد علامة هنا؟

بالطبع لا، إذا كنت تتذكر أن أي رقم مربع يكون دائمًا أكبر من الصفر! إذا كنت لا تتذكر، راجع الموضوع. فماذا يحدث؟ إليك ما يلي:

عظيم، أليس كذلك؟ مريحة للغاية. والآن مثال محدد لتعزيز:

حسنا، لماذا الشكوك؟ دعونا نتصرف بجرأة!

هل اكتشفت كل ذلك؟ ثم المضي قدما وممارسة مع الأمثلة!

1. أوجد قيمة التعبير if.

2. ما هي الأرقام التي لها نفس المعامل؟

3. ابحث عن معنى التعبيرات:

إذا لم يكن كل شيء واضحًا بعد وكانت هناك صعوبات في الحلول، فلنكتشف ذلك:

الحل 1:

لذا، دعونا نعوض بالقيم في التعبير

الحل 2:

كما نتذكر، الأعداد المتضادة متساوية في المقياس. وهذا يعني أن قيمة المعامل تساوي رقمين: و.

الحل 3:

أ)
ب)
الخامس)
ز)

هل قبضت على كل شيء؟ ثم حان الوقت للانتقال إلى شيء أكثر تعقيدًا!

دعونا نحاول تبسيط التعبير

حل:

لذا، نتذكر أن قيمة المقياس لا يمكن أن تكون أقل من صفر. إذا كانت علامة المعامل تحتوي على رقم موجب، يمكننا ببساطة تجاهل الإشارة: معامل الرقم سيكون مساويًا لهذا الرقم.

لكن إذا كان هناك رقم سالب تحت علامة المعامل، فإن قيمة المعامل تساوي الرقم المقابل (أي الرقم المأخوذ بعلامة "-").

للعثور على معامل أي تعبير، عليك أولًا معرفة ما إذا كان يأخذ قيمة موجبة أم سالبة.

اتضح أن قيمة التعبير الأول ضمن الوحدة النمطية.

ومن ثم، فإن التعبير الموجود أسفل علامة المقياس يكون سالبًا. التعبير الثاني تحت علامة المقياس يكون دائمًا موجبًا، لأننا نجمع عددين موجبين.

إذن، قيمة التعبير الأول تحت علامة المعامل سالبة، والثانية موجبة:

وهذا يعني أنه عند فك علامة المعامل للتعبير الأول، يجب أن نأخذ هذا التعبير بعلامة "-". مثله:

في الحالة الثانية، نتجاهل ببساطة علامة المعامل:

دعونا نبسط هذا التعبير في مجمله:

وحدة العدد وخصائصه (تعريفات وبراهين دقيقة)

تعريف:

المعامل (القيمة المطلقة) للرقم هو الرقم نفسه، إذا، والرقم، إذا:

على سبيل المثال:

مثال:

تبسيط التعبير.

حل:

الخصائص الأساسية للوحدة

للجميع:

مثال:

إثبات الملكية رقم 5.

دليل:

لنفترض أن هناك مثل هذا

لنقم بتربيع الجانبين الأيسر والأيمن من المتراجحة (يمكن القيام بذلك، حيث أن كلا طرفي المتراجحة دائمًا غير سالب):

وهذا يتناقض مع تعريف الوحدة النمطية.

وبالتالي، فإن مثل هؤلاء الأشخاص غير موجودين، مما يعني أن عدم المساواة ينطبق على الجميع

أمثلة للحلول المستقلة:

1) إثبات الملكية رقم 6.

2) تبسيط التعبير.

الإجابات:

1) لنستخدم الخاصية رقم 3: ومنذ ذلك الحين

للتبسيط، تحتاج إلى توسيع الوحدات. ولتوسيع الوحدات، تحتاج إلى معرفة ما إذا كانت التعبيرات الموجودة ضمن الوحدة إيجابية أم سلبية؟

أ. دعونا نقارن الأرقام و و:

ب. الآن دعونا نقارن:

نضيف قيم الوحدات:

القيمة المطلقة للرقم. باختصار عن الشيء الرئيسي.

المعامل (القيمة المطلقة) للرقم هو الرقم نفسه، إذا، والرقم، إذا:

خصائص الوحدة:

1. معامل الرقم هو رقم غير سالب: ;
2. وحدات الأعداد المتقابلة متساوية: ;
3. معامل حاصل ضرب رقمين (أو أكثر) يساوي حاصل ضرب معاملاتهم: ;
4. معامل حاصل عددين يساوي حاصل قسمة معاملاتهما: ;
5. يكون معامل مجموع الأرقام دائمًا أقل من أو يساوي مجموع معاملات هذه الأرقام: ;
6. يمكن إخراج المضاعف الإيجابي الثابت من علامة المعامل: at؛

الجموع. العمليات على المجموعات مجموعات الأرقام

الفصل الثالث. التسلسلات الرقمية

لم يتم إعطاء تعريف المجموعة. هذا المفهوم أساسي وغير قابل للتعريف. ترجع الحاجة إلى مثل هذه المفاهيم إلى حقيقة أن أي مفهوم يتم تعريفه من خلال مفهوم آخر تم تقديمه مسبقًا، والذي بدوره يتم تعريفه من خلال مفهوم تم تقديمه مسبقًا. ومن الواضح أننا لا نستطيع أن نستمر في هذه العملية إلى ما لا نهاية، لذا يتعين علينا أن نقدم مفهوماً غير قابل للتحديد. في المدرسة، كانت هذه المفاهيم، بالإضافة إلى مفهوم المجموعة، مفاهيم النقطة والخط والمستوى. تم شرح مفهوم المجموعة بالأمثلة. تعتبر المجموعة معطاة إذا تم تحديد العناصر التي تتكون منها.

على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية ن ={1;2;…;ن؛…)، مجموعة من أ= (2;5;7)، مجموعة معطلاب مجموعة FMO-11، إلخ.

حقيقة أن الرقم 2 ينتمي إلى المجموعة أ، يتم كتابته باختصار على النحو التالي: ، وحقيقة أن الجدول لا ينتمي إلى المجموعة أ، على النحو التالي: الجدول، أو، على سبيل المثال، .

تعريف 1. يتم استدعاء المجموعة أخير إذا كانت مكونة من عدد محدود من العناصر. تسمى المجموعة غير المنتهية بلا نهاية . تسمى المجموعة التي لا تحتوي على عنصر واحد فارغ ويشار إليه بالرمز ø.

يمكن تعريف المجموعة المحدودة من خلال سرد جميع عناصرها. على سبيل المثال، يتم تقديم مجموعة طلاب مجموعة FMO-11 من خلال قائمة في المجلة، المجموعة أيتم تقديمها من خلال سرد جميع عناصرها - الأرقام 2 و 5 و 7. المجموعة نالأعداد الطبيعية - لا حصر لها.

تعريف 2. يتم استدعاء المجموعات متساوي إذا كانت تتكون من نفس العناصر.

على سبيل المثال، المجموعات متساوية أ= (2;5;7) و في= (5;7;2). جميع المجموعات الفارغة متساوية مع بعضها البعض.

تعريف 3. يتم استدعاء المجموعة مجموعة فرعية (أو جزء ) لمجموعة إذا كان من حقيقة أن العنصر يتبع ما يلي: . ويكتب هكذا: .

على سبيل المثال، . المجموعة الفارغة هي جزء من أي مجموعة.

يمكن أن تكون المجموعات أيضًا لا تضاهى. هذه هي، على سبيل المثال، مجموعات أو معنظرًا لأن أيًا من هذه المجموعات لا يمثل مجموعة فرعية من مجموعة أخرى.

تعريف 4. منظمة مجموعتين وتسمى المجموعة ه، تتكون من جميع عناصر المجموعات ومنها فقط: .

على سبيل المثال، إذا، .

تعريف 5. بالعبور مجموعات ويسمى مجموعة ه, تتكون من جميع العناصر المشتركة للمجموعات و : .

على سبيل المثال، بالنسبة للمجموعات المذكورة أعلاه و .

ينطبق التعريفان 4 و5 على أي عدد محدود من المجموعات. على سبيل المثال، حيث. وباستخدام طريقة الاستقراء الرياضي، يمكن توسيع هذه التعريفات إلى عدد لا نهائي من المجموعات.

تعريف 6. بالفارق مجموعات ومجموعة جميع عناصر المجموعة التي لا تنتمي إلى المجموعة تسمى: .

على سبيل المثال، (1;2;3;4)(4;5;6)=(1;2;3), ن = ø.

في التحليل الرياضي سوف نتعامل بشكل رئيسي مع المجموعات

أرقام حقيقية. من دورة الرياضيات المدرسية نعرف مجموعات الأعداد الطبيعية ن ={1;2;…;ن؛…)، الأعداد الصحيحة، الأعداد النسبية ، أرقام غير منطقية أنا. ومن المعروف أيضًا أن مجموعة الأعداد الحقيقية كلها ر = . في الرياضيات العليا هناك نظريات صارمة حول الأعداد الحقيقية، على سبيل المثال، نظرية ديديكيند (1831-1916، عالم رياضيات ألماني)، والتي يتم الحصول منها على خصائص المجموعة رالأعداد الحقيقية، والتي سنستخدمها فيما يلي: الترتيب من حيث الحجم، والكثافة، والكثافة المعززة، والاستمرارية (أو الاكتمال).

الطلب حسب الحجم المحدد ر: لأي رقمين حقيقيين وعلاقة واحدة فقط تحمل: .

ضبط الكثافة ر: بين أي عددين حقيقيين مختلفين يوجد عدد حقيقي.

مجموعة محسنة من الكثافة ر: بين أي عددين حقيقيين مختلفين يوجد عدد نسبي.

استمرارية (اكتمال) المجموعة ر: بالنسبة لأي نظام من الأجزاء المتداخلة، يوجد رقم واحد على الأقل ينتمي إلى جميع أجزاء هذا النظام. إذا كانت أطوال المقاطع المتداخلة تميل إلى الصفر، فهناك نقطة واحدة تنتمي إلى كل هذه المقاطع. وتسمى هذه الخاصية أيضًا مبدأ كانتور للقطاعات المتداخلة(جورج كانتور (1845-1918)، عالم رياضيات ألماني).

في التعريف البديهي لمجموعة الأعداد الحقيقية، يتم تضمين خصائص الترتيب حسب الحجم والاستمرارية (الاكتمال) في عدد البديهيات.

يتم تمثيل الأعداد الحقيقية، كما هو معروف، بنقاط على خط الأعداد، وكل رقم حقيقي يقابل نقطة واحدة على خط الأعداد، والعكس صحيح، فكل نقطة على خط الأعداد لا يقابلها إلا رقم حقيقي واحد. كما يقولون، تم إنشاء تطابق واحد لواحد بين مجموعة النقاط على خط الأعداد ومجموعة الأعداد الحقيقية.

بعض المجموعات الرقمية الخاصة معروفة أيضًا من دورة الرياضيات المدرسية: - الفاصل الزمني (الفاصل المفتوح)، - القطعة (الفاصل الزمني المغلق)، = - نصف الفترات (مفتوحة على اليمين واليسار، على التوالي)، - خط الأعداد بأكمله، - الأشعة. وفي ما يلي سنحتاج أيضًا إلى مفهوم جوار نقطة ما.

تعريف 7. إذا أ- بعض الأعداد الحقيقية، - أي عدد حقيقي موجب، تسمى الفترة - المناطق المحيطة نقاط أ. نقطة أمُسَمًّى مركز الحي، والرقم هو نصف القطر حيّ. المجموعة تسمى مثقوب - جوار نقطة أ.

تعريف 8. الكثير هيتم استدعاء الأعداد الحقيقية يحدها فوق (على التوالى، يحدها أدناه )، إذا كان هناك رقم م، بحيث يكون هناك عدم مساواة (على التوالي). رقم ممُسَمًّى قمة (على التوالى، قاع ) حدود (أو وجه) المجموعة ه. مجموعة من همُسَمًّى محدود ، إذا كانت هناك أرقام، بحيث يكون هناك عدم مساواة مزدوجة لأي رقم.

على سبيل المثال، مجموعة الكسور الصحيحة يحدها من الأعلى الرقم 1، المجموعة نالأعداد الطبيعية يحدها أدناه الرقم 1، المجموعة محدودة بسبب .

لاحظ أنه إذا م- الحد الأعلى لمجموعة رقمية غير فارغة يحدها من الأعلى ه، ثم أي عدد أكبر م، سيكون أيضًا الحد الأعلى له، أي، ههناك عدد لا حصر له من الحدود العليا. من جميع الحدود العليا للمجموعة هما هو الأكثر أهمية هو الحد الأعلى الأصغر.

§ 1 معامل العدد الحقيقي

في هذا الدرس سوف ندرس مفهوم "المقياس" لأي عدد حقيقي.

دعونا نكتب خصائص معامل العدد الحقيقي:

§ 2 حل المعادلات

باستخدام المعنى الهندسي لمعامل العدد الحقيقي، نحل عدة معادلات.

وبالتالي، فإن المعادلة لها جذران: -1 و3.

وبالتالي، فإن المعادلة لها جذرين: -3 و3.

في الممارسة العملية، يتم استخدام خصائص مختلفة من الوحدات.

لننظر إلى هذا في المثال 2:

وهكذا قمت في هذا الدرس بدراسة مفهوم "معامل العدد الحقيقي" وخصائصه الأساسية ومعناه الهندسي. لقد قمنا أيضًا بحل العديد من المسائل النموذجية باستخدام الخصائص والتمثيل الهندسي لمعامل العدد الحقيقي.

قائمة الأدبيات المستخدمة:

1. موردكوفيتش أ.ج. "الجبر" الصف الثامن. الساعة الثانية ظهرا الجزء الأول كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية / أ.ج. موردكوفيتش. – الطبعة التاسعة، المنقحة. – م: منيموسين، 2007. – 215 ص: مريض.
2. موردكوفيتش أ.ج. "الجبر" الصف الثامن. الساعة الثانية ظهرا الجزء الثاني كتاب المشكلات للمؤسسات التعليمية / أ.ج. موردكوفيتش، ت.ن. ميشوستينا، إي. تولشينسكايا.. – الطبعة الثامنة. – م.: منيموسين، 2006. – 239 ص.
3. الجبر. الصف 8. اختبارات لطلاب المؤسسات التعليمية في لوس أنجلوس الكسندروف، أد. اي جي. موردكوفيتش الطبعة الثانية، تمحى. - م: منيموسين، 2009. - 40 ص.
4. الجبر. الصف 8. العمل المستقل لطلاب المؤسسات التعليمية: إلى الكتاب المدرسي من تأليف أ.ج. موردكوفيتش، L.A. الكسندروف، أد. اي جي. موردكوفيتش، الطبعة التاسعة، مُحيت. - م: منيموسين، 2013. - 112 ص.

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتما بهذا العمل، يرجى تحميل النسخة الكاملة.

الأهداف:

المعدات: جهاز عرض، شاشة، كمبيوتر شخصي، عرض الوسائط المتعددة

خلال الفصول الدراسية

1. اللحظة التنظيمية.

2. تحديث معارف الطلاب.

2.1. الإجابة على أسئلة الطلاب حول الواجبات المنزلية.

2.2. حل لغز الكلمات المتقاطعة (تكرار المادة النظرية) (الشريحة 2):

1. مجموعة من الرموز الرياضية التي تعبر عن شيء ما

إفادة. ( معادلة.)

الكسور العشرية غير الدورية اللانهائية. ( غير منطقيأعداد)

رقم أو مجموعة أرقام مكررة في عدد عشري لا نهاية له. ( فترة.)

الأرقام المستخدمة لحساب الأشياء. ( طبيعيأعداد.)

الكسور الدورية العشرية اللانهائية. (عاقِلأعداد .)

أرقام نسبية + أرقام غير منطقية = ؟ (صالحأعداد .)

– بعد حل لغز الكلمات المتقاطعة، اقرأ اسم موضوع درس اليوم في العمود الرأسي المظلل. (الشريحتان 3، 4)

3. شرح موضوع جديد.

3.1. – يا رفاق، لقد تعرفتم بالفعل على مفهوم الوحدة النمطية، واستخدمتم الترميز | أ| . في السابق، كنا نتحدث فقط عن الأعداد النسبية. والآن علينا أن نقدم مفهوم المقياس لأي عدد حقيقي.

كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة واحدة على خط الأعداد، وعلى العكس من ذلك، كل نقطة على خط الأعداد تتوافق مع رقم حقيقي واحد. يتم الحفاظ على جميع الخصائص الأساسية للعمليات على الأعداد النسبية بالنسبة للأعداد الحقيقية.

تم تقديم مفهوم معامل العدد الحقيقي. (الشريحة 5).

تعريف. معامل العدد الحقيقي غير السالب ساتصل بهذا الرقم نفسه: | س| = س; معامل العدد الحقيقي السلبي Xاتصل بالرقم المقابل: | س| = – س .

– اكتب موضوع الدرس وتعريف الوحدة في دفاتر ملاحظاتك:

في الممارسة العملية، مختلفة خصائص الوحدة، على سبيل المثال. (الشريحة 6) :

أكمل شفهيًا رقم 16.3 (أ، ب) – 16.5 (أ، ب) لتطبيق تعريف وخصائص الوحدة. (الشريحة 7) .

3.4. لأي عدد حقيقي Xيمكن حسابها | س| ، أي. يمكننا التحدث عن الوظيفة ذ = |س| .

المهمة 1. إنشاء رسم بياني وسرد خصائص الوظيفة ذ = |س| (الشريحتان 8، 9).

يقوم أحد الطلاب على السبورة برسم دالة بيانيًا

رسم بياني 1.

يتم سرد الخصائص من قبل الطلاب. (الشريحة 10)

1) مجال التعريف – (- ∞; + ∞) .

2) ص = 0 عند س = 0؛ ص > 0 عند س< 0 и x > 0.

3) الوظيفة مستمرة.

4) y naim = 0 لـ x = 0، y naib غير موجود.

5) الوظيفة محدودة من الأسفل وليست محدودة من الأعلى.

6) تقل الدالة على الشعاع (- ∞; 0) وتزيد على الشعاع )