بيت غدة درقية إيجاد مساحة الأشكال المختلفة. كيفية حساب مساحة الشكل

إيجاد مساحة الأشكال المختلفة. كيفية حساب مساحة الشكل

ظهرت معرفة كيفية قياس الأرض في العصور القديمة وتبلورت تدريجياً في علم الهندسة. تتم ترجمة هذه الكلمة من اليونانية باسم "مسح الأراضي".

قياس مساحة الجزء المسطح من الأرض طولاً وعرضًا هو المساحة. في الرياضيات، يُشار إليه عادةً بالحرف اللاتيني S (من "المربع" الإنجليزي - "المنطقة"، "المربع") أو الحرف اليوناني σ (سيجما). تشير S إلى مساحة الشكل على المستوى أو مساحة سطح الجسم، وσ هي مساحة المقطع العرضي للسلك في الفيزياء. هذه هي الرموز الرئيسية، على الرغم من أنه قد يكون هناك رموز أخرى، على سبيل المثال، في مجال قوة المواد، A هي مساحة المقطع العرضي للملف الشخصي.

صيغ الحساب

من خلال معرفة مناطق الأشكال البسيطة، يمكنك العثور على معلمات الأشكال الأكثر تعقيدًا.. طور علماء الرياضيات القدماء صيغًا يمكن استخدامها لحسابها بسهولة. هذه الأشكال هي المثلث، الرباعي، المضلع، الدائرة.

للعثور على مساحة شكل مستو معقد، يتم تقسيمه إلى العديد من الأشكال البسيطة مثل المثلثات أو شبه المنحرف أو المستطيلات. ثم، باستخدام الطرق الرياضية، يتم اشتقاق صيغة لمنطقة هذا الشكل. يتم استخدام طريقة مماثلة ليس فقط في الهندسة، ولكن أيضًا في التحليل الرياضي لحساب مساحات الأشكال المحاطة بالمنحنيات.

مثلث

لنبدأ بأبسط شكل - المثلث. فهي مستطيلة ومتساوية الساقين ومتساوية الأضلاع. خذ أي مثلث ABC بأضلاعه AB=a وBC=b وAC=c (∆ ABC). للعثور على مساحتها، دعونا نتذكر نظريات الجيب وجيب التمام المعروفة من دورة الرياضيات المدرسية. وبالتخلي عن جميع الحسابات، نصل إلى الصيغ التالية:

S=√ - صيغة هيرون المعروفة للجميع، حيث p=(a+b+c)/2 هو نصف محيط المثلث؛
S=a h/2، حيث h هو الارتفاع المخفض إلى الجانب a؛
S=a b (sin γ)/2، حيث γ هي الزاوية بين الجانبين a وb؛
S=a b/2، إذا كان ∆ ABC مستطيلًا (هنا a وb عبارة عن أرجل)؛
S=b² (sin (2 β))/2، إذا كان ∆ ABC متساوي الساقين (هنا b هي أحد "الوركين"، β هي الزاوية بين "وركي" المثلث)؛
S=a² √¾، إذا كان ∆ ABC متساوي الأضلاع (هنا a هو أحد أضلاع المثلث).

رباعي الزوايا

ليكن هناك شكل رباعي ABCD مع AB=a، BC=b، CD=c، AD=d. للعثور على المساحة S لمضلع 4 عشوائي، تحتاج إلى تقسيمها قطريًا إلى مثلثين، تكون مساحتهما S1 وS2 غير متساوية في الحالة العامة.

ثم استخدم الصيغ لحسابها وإضافتها، أي S=S1+S2. ومع ذلك، إذا كان 4-gon ينتمي إلى فئة معينة، فيمكن العثور على مساحته باستخدام الصيغ المعروفة مسبقًا:

S=(a+c) h/2=e h، إذا كان الرباعي شبه منحرف (هنا a وc هما القاعدتان، e هو خط الوسط لشبه المنحرف، h هو الارتفاع المنخفض إلى إحدى قاعدتي شبه المنحرف؛
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2، إذا كان ABCD متوازي أضلاع (هنا φ هي الزاوية بين الجانبين a وb، h هو الارتفاع الذي انخفض إلى الجانب a، d1 و d2 قطريان)؛
S=a b=d²/2، إذا كان ABCD مستطيلًا (d قطريًا)؛
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2، إذا كان ABCD معينًا (a هو جانب المعين، φ إحدى زواياه، P هو المحيط)؛
S=a²=P²/16=d²/2 إذا كان ABCD مربعًا.

مضلع

للعثور على مساحة n-gon، يقوم علماء الرياضيات بتقسيمها إلى أبسط أشكال متساوية - المثلثات، وإيجاد مساحة كل منها ثم إضافتها. ولكن إذا كان المضلع ينتمي إلى الفئة العادية، فاستخدم الصيغة:

S=a n h/2=a² n/=P²/، حيث n هو عدد رؤوس (أو جوانب) المضلع، a هو جانب n-gon، P هو محيطه، h هو الارتفاع، أي أ القطعة المرسومة من مركز المضلع إلى أحد أضلاعه بزاوية مقدارها 90 درجة.

دائرة

الدائرة عبارة عن مضلع كامل له عدد لا نهائي من الأضلاع. نحتاج إلى حساب نهاية التعبير الموجود على اليمين في صيغة مساحة المضلع الذي عدد أضلاعه n يميل إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة، سيتحول محيط المضلع إلى طول دائرة نصف قطرها R، والتي ستكون حدود دائرتنا، وسوف تصبح مساوية لـ P=2 π R. استبدل هذا التعبير في الصيغة أعلاه. سوف نحصل على:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

دعونا نجد نهاية هذا التعبير كـ n→∞. للقيام بذلك، نأخذ في الاعتبار أن lim (cos (180°/n)) لـ n→∞ يساوي cos 0°=1 (lim هي علامة النهاية)، وlim = lim لـ n→∞ هو يساوي 1/π (قمنا بتحويل مقياس الدرجة إلى راديان، باستخدام العلاقة π rad=180°، وقمنا بتطبيق أول حد ملحوظ lim (sin x)/x=1 عند x→∞). باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأخير لـ S، نصل إلى الصيغة المعروفة:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

الوحدات

يتم استخدام وحدات القياس النظامية وغير النظامية. تنتمي وحدات النظام إلى SI (النظام الدولي). هذا هو المتر المربع (متر مربع، م²) والوحدات المشتقة منه: مم²، سم²، كم².

بالملليمتر المربع (مم²)، على سبيل المثال، يقيسون مساحة المقطع العرضي للأسلاك في الهندسة الكهربائية، بالسنتيمتر المربع (سم²) - المقطع العرضي للحزمة في الميكانيكا الإنشائية، بالمتر المربع (م²) - في شقة أو منزل بالكيلومترات المربعة (كم²) - في الجغرافيا .

ومع ذلك، في بعض الأحيان يتم استخدام وحدات قياس غير نظامية، مثل: النسج، وar (a)، والهكتار (ha)، والفدان (ac). دعونا نعرض العلاقات التالية:

1 نسج=1 أ=100 م²=0.01 هكتار؛
1 هكتار=100 أ=100 فدان=10000 م²=0.01 كم²=2.471 فدان؛
1 ف = 4046.856 م² = 40.47 ف = 40.47 فدان = 0.405 هكتار.

مساحة الشكل الهندسي- خاصية عددية لشكل هندسي توضح حجم هذا الشكل (جزء من السطح محدود بالكفاف المغلق لهذا الشكل). يتم التعبير عن حجم المنطقة بعدد الوحدات المربعة الموجودة فيها.

صيغ منطقة المثلث

صيغة لمنطقة المثلث جنبا إلى جنب والارتفاع
مساحة المثلثيساوي نصف حاصل ضرب طول أحد أضلاع المثلث وطول الارتفاع المرسوم على هذا الضلع
صيغة مساحة المثلث تعتمد على ثلاثة جوانب ونصف قطر الدائرة المحيطة
صيغة مساحة المثلث تعتمد على ثلاثة جوانب ونصف قطر الدائرة المنقوشة
مساحة المثلثيساوي حاصل ضرب نصف محيط المثلث ونصف قطر الدائرة المحيطية.

صيغ المساحة المربعة

صيغة لمنطقة المربع بطول الجانب
منطقة مربعةيساوي مربع طول ضلعه.
صيغة لمنطقة المربع على طول القطر
منطقة مربعةيساوي نصف مربع طول قطرها.
س= 1 2
2

صيغة مساحة المستطيل

مساحة المستطيل

صيغ منطقة متوازي الأضلاع

صيغة مساحة متوازي الأضلاع تعتمد على طول الضلع والارتفاع
مساحة متوازي الأضلاع
صيغة مساحة متوازي الأضلاع تعتمد على الجانبين والزاوية بينهما
مساحة متوازي الأضلاعيساوي حاصل ضرب أطوال أضلاعه في جيب الزاوية بينهما.
أ ب الخطيئة α

الصيغ لمنطقة المعين

صيغة مساحة المعين بناءً على طول الضلع والارتفاع
مساحة المعينيساوي حاصل ضرب طول ضلعه وطول الارتفاع المنخفض إلى هذا الجانب.
صيغة مساحة المعين بناءً على طول الضلع والزاوية
مساحة المعينيساوي حاصل ضرب مربع طول ضلعه وجيب الزاوية المحصورة بين ضلعي المعين.
صيغة مساحة المعين بناءً على أطوال أقطاره
مساحة المعينيساوي نصف حاصل ضرب أطوال قطريه.

صيغ منطقة شبه منحرف

صيغة هيرون لشبه المنحرف
حيث S هي مساحة شبه المنحرف،
- أطوال قواعد شبه المنحرف،
- أطوال جوانب شبه المنحرف،

إذا كنت تخطط للقيام بالتجديد بنفسك، فسوف تحتاج إلى إجراء تقدير لمواد البناء والتشطيب. للقيام بذلك، سوف تحتاج إلى حساب مساحة الغرفة التي تخطط لتنفيذ أعمال التجديد فيها. المساعد الرئيسي في هذا هو صيغة مطورة خصيصًا. مساحة الغرفة، أي حسابها، ستسمح لك بتوفير الكثير من المال على مواد البناء وتوجيه الموارد المالية المحررة في اتجاه أكثر ملاءمة.

الشكل الهندسي للغرفة

تعتمد صيغة حساب مساحة الغرفة بشكل مباشر على شكلها. الأكثر شيوعا للمباني المحلية هي غرف مستطيلة ومربعة. ومع ذلك، أثناء إعادة التطوير، قد يتم تشويه النموذج القياسي. الغرف هي:

مستطيلي.
مربع.
التكوين المعقد (على سبيل المثال، جولة).
مع المنافذ والإسقاطات.

كل واحد منهم لديه ميزات الحساب الخاصة به، ولكن، كقاعدة عامة، يتم استخدام نفس الصيغة. يمكن حساب مساحة الغرفة بأي شكل وحجم، بطريقة أو بأخرى.

غرفة مستطيلة أو مربعة

لحساب مساحة غرفة مستطيلة أو مربعة، فقط تذكر دروس الهندسة في مدرستك. لذلك، لا ينبغي أن يكون من الصعب عليك تحديد مساحة الغرفة. تبدو صيغة الحساب كما يلي:

غرف S=A*B، حيث

أ هو طول الغرفة

ب هو عرض الغرفة.

لقياس هذه القيم سوف تحتاج إلى شريط قياس عادي. للحصول على الحسابات الأكثر دقة، فمن الضروري قياس الجدار على كلا الجانبين. إذا لم تتفق القيم، خذ متوسط البيانات الناتجة كأساس. ولكن تذكر أن أي حسابات لها أخطاء خاصة بها، لذلك يجب شراء المواد باحتياطي.

غرفة ذات تكوين معقد

إذا كانت غرفتك لا تتناسب مع تعريف "نموذجي"، أي. إذا كان على شكل دائرة، أو مثلث، أو مضلع، فقد تحتاج إلى صيغة مختلفة لإجراء العمليات الحسابية. يمكنك محاولة تقسيم مساحة الغرفة بهذه الخاصية تقريبًا إلى عناصر مستطيلة وإجراء الحسابات باستخدام الطريقة القياسية. إذا لم تتح لك هذه الفرصة، فاستخدم الطرق التالية:

صيغة للعثور على مساحة الدائرة:

غرفة S=π*R 2، حيث

R هو نصف قطر الغرفة

صيغة لإيجاد مساحة المثلث:

غرفة S = √ (P(P - A) × (P - B) × (P - C))، حيث

P هو نصف محيط المثلث.

A، B، C هي أطوال أضلاعه.

وبالتالي P=A+B+C/2

إذا واجهت أي صعوبات أثناء عملية الحساب، فمن الأفضل عدم تعذيب نفسك والاتصال بالمحترفين.

مساحة الغرفة مع الإسقاطات والمنافذ

غالبًا ما تكون الجدران مزينة بعناصر زخرفية على شكل منافذ أو نتوءات مختلفة. كما قد يكون وجودها بسبب الحاجة إلى إخفاء بعض العناصر غير الجمالية في غرفتك. إن وجود حواف أو منافذ على حائطك يعني أنه يجب إجراء الحساب على مراحل. أولئك. أولاً يتم إيجاد مساحة المقطع المسطح من الجدار، ومن ثم تضاف إليه مساحة المحراب أو النتوء.

تم العثور على مساحة الجدار بالصيغة:

جدران S = P x C، حيث

ف - محيط

ج - الارتفاع

تحتاج أيضًا إلى مراعاة وجود النوافذ والأبواب. يجب طرح منطقتهم من القيمة الناتجة.

غرفة ذات سقف متعدد المستويات

السقف متعدد المستويات لا يعقد الحسابات بقدر ما يبدو للوهلة الأولى. إذا كان لديه تصميم بسيط، فيمكن إجراء الحسابات على أساس مبدأ العثور على مساحة الجدران المعقدة بسبب المنافذ والإسقاطات.

ومع ذلك، إذا كان تصميم السقف الخاص بك يحتوي على عناصر مقوسة ومموجة، فمن الأفضل تحديد مساحتها باستخدام مساحة الأرضية. للقيام بذلك تحتاج:

العثور على أبعاد جميع المقاطع المستقيمة من الجدران.
ابحث عن مساحة الأرضية.
اضرب طول وارتفاع المقاطع الرأسية.
اجمع القيمة الناتجة مع مساحة الأرضية.

تعليمات خطوة بخطوة لتحديد العام

مساحة الغرفة

قم بإخلاء الغرفة من الأشياء غير الضرورية. أثناء عملية القياس، ستحتاج إلى حرية الوصول إلى جميع مناطق غرفتك، لذلك عليك التخلص من أي شيء قد يتعارض مع ذلك.
قم بتقسيم الغرفة بصريًا إلى مناطق منتظمة وغير منتظمة الشكل. إذا كانت غرفتك ذات شكل مربع أو مستطيل تمامًا، فيمكنك تخطي هذه الخطوة.
قم بعمل تخطيط عشوائي للغرفة. هذا الرسم ضروري حتى تكون جميع البيانات في متناول اليد دائمًا. كما أنه لن يمنحك الفرصة للارتباك في العديد من القياسات.
يجب أن تؤخذ القياسات عدة مرات. هذه قاعدة مهمة لتجنب الأخطاء في الحسابات. أيضًا، إذا كنت تستخدمه، فتأكد من وضع العارضة بشكل مسطح على سطح الجدار.
أوجد المساحة الإجمالية للغرفة. صيغة المساحة الإجمالية للغرفة هي إيجاد مجموع جميع مساحات الأقسام الفردية للغرفة. أولئك. إجمالي S = جدران S + أرضية S + سقف S

يمكنك العثور على أكثر من 10 صيغ لحساب مساحة المثلث على الإنترنت، ويستخدم الكثير منها في المسائل المتعلقة بأضلاع وزوايا المثلث المعروفة. ومع ذلك، هناك عدد من الأمثلة المعقدة حيث، وفقًا لشروط المهمة، لا يُعرف سوى جانب واحد وزوايا المثلث، أو نصف قطر الدائرة المقيدة أو المنقوشة وخاصية أخرى. في مثل هذه الحالات، لا يمكن تطبيق صيغة بسيطة.

ستسمح لك الصيغ الواردة أدناه بحل 95 بالمائة من المشكلات التي تحتاج فيها إلى إيجاد مساحة المثلث.
دعنا ننتقل إلى النظر في صيغ المنطقة المشتركة.
خذ بعين الاعتبار المثلث الموضح في الشكل أدناه

في الشكل وأدناه في الصيغ، يتم تقديم التسميات الكلاسيكية لجميع خصائصها.
أ، ب، ج – أضلاع المثلث،
R - نصف قطر الدائرة المقيدة،
ص - نصف قطر الدائرة المنقوشة،
h[b],h[a],h[c] – الارتفاعات المرسومة وفقًا للجوانب a,b,c.
ألفا، بيتا، هاما - زوايا قريبة من القمم.

الصيغ الأساسية لمنطقة المثلث

1. المساحة تساوي نصف حاصل ضرب ضلع المثلث والارتفاع المخفض إلى هذا الضلع. في لغة الصيغ يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي

وبالتالي، إذا كان الضلع والارتفاع معروفين، فسيجد كل طالب المساحة.
بالمناسبة، من هذه الصيغة يمكن استخلاص علاقة مفيدة بين الارتفاعات

2. إذا أخذنا في الاعتبار أن ارتفاع المثلث عبر الجانب المجاور يتم التعبير عنه بالاعتماد

ثم تتبع صيغة المنطقة الأولى الصيغة الثانية من نفس النوع

انظر بعناية إلى الصيغ - فهي سهلة التذكر، حيث أن العمل يتضمن وجهين والزاوية بينهما. إذا قمنا بتعيين جوانب وزوايا المثلث بشكل صحيح (كما في الشكل أعلاه)، فسنحصل على الجانبين أ، ب والزاوية متصلة بالثالثةمع (حمة).

3. بالنسبة لزوايا المثلث، العلاقة صحيحة

يتيح لك الاعتماد استخدام الصيغ التالية لمنطقة المثلث في العمليات الحسابية:

أمثلة على هذا الاعتماد نادرة للغاية، ولكن عليك أن تتذكر أن هناك مثل هذه الصيغة.

4. إذا كان الضلع والزاويتان المجاورتان معروفتين، يتم إيجاد المساحة بالصيغة

5. صيغة المساحة من حيث الجانب وظل التمام للزوايا المجاورة هي كما يلي

من خلال إعادة ترتيب الفهارس يمكنك الحصول على تبعيات لأطراف أخرى.

6. يتم استخدام صيغة المساحة أدناه في المسائل عندما يتم تحديد رؤوس المثلث على المستوى بواسطة الإحداثيات. في هذه الحالة، المساحة تساوي نصف المحدد المأخوذ.

7. صيغة هيرونتستخدم في الأمثلة ذات الجوانب المعروفة للمثلث.
أولًا، أوجد نصف محيط المثلث

ثم حدد المساحة باستخدام الصيغة

أو

غالبًا ما يتم استخدامه في كود برامج الآلة الحاسبة.

8. إذا كانت جميع ارتفاعات المثلث معروفة، يتم تحديد المساحة بالصيغة

من الصعب إجراء الحساب باستخدام الآلة الحاسبة، ولكن في حزم MathCad وMathematica وMaple تكون المساحة هي "الزمن الثاني".

9. تستخدم الصيغ التالية نصف القطر المعروف للدوائر المنقوشة والمحددة.

على وجه الخصوص، إذا كان نصف قطر المثلث وأضلاعه أو محيطه معروفين، فسيتم حساب المساحة وفقًا للصيغة

10. في الأمثلة التي يتم فيها إعطاء الجوانب ونصف القطر أو قطر الدائرة المحددة، يتم العثور على المساحة باستخدام الصيغة

11. تحدد الصيغة التالية مساحة المثلث من حيث أضلاع المثلث وزواياه.

وأخيرا - حالات خاصة:
مساحة المثلث الأيمنمع الساقين أ و ب تساوي نصف منتجاتها

صيغة لمنطقة مثلث متساوي الأضلاع (منتظم).=

= ربع حاصل ضرب مربع الضلع وجذر ثلاثة.

لحل المسائل الهندسية، عليك معرفة الصيغ - مثل مساحة المثلث أو مساحة متوازي الأضلاع - بالإضافة إلى التقنيات البسيطة التي سنغطيها.

أولاً، دعونا نتعلم الصيغ الخاصة بمساحات الأشكال. لقد جمعناها خصيصًا في جدول مناسب. طباعة وتعلم وتطبيق!

بالطبع، ليست كل الصيغ الهندسية موجودة في طاولتنا. على سبيل المثال، لحل المشكلات في الهندسة والقياس المجسم في الجزء الثاني من ملف تعريف امتحان الدولة الموحد في الرياضيات، يتم استخدام صيغ أخرى لمنطقة المثلث. سنخبرك بالتأكيد عنهم.

ولكن ماذا لو كنت بحاجة إلى العثور على ليس مساحة شبه منحرف أو مثلث، ولكن مساحة بعض الشكل المعقد؟ هناك طرق عالمية! سنعرض لهم باستخدام أمثلة من بنك مهام FIPI.

1. كيفية العثور على مساحة الشكل غير القياسي؟ على سبيل المثال، رباعي تعسفي؟ تقنية بسيطة - دعنا نقسم هذا الشكل إلى تلك التي نعرف كل شيء عنها، ونجد مساحتها - كمجموع مساحات هذه الأشكال.

قسّم هذا الشكل الرباعي بخط أفقي إلى مثلثين بقاعدة مشتركة تساوي . ارتفاعات هذه المثلثات تساوي و . إذن مساحة الشكل الرباعي تساوي مجموع مساحتي المثلثين: .

إجابة: .

2. في بعض الحالات يمكن تمثيل مساحة الشكل بالفرق بين بعض المساحات.

ليس من السهل حساب ما تساويه قاعدة هذا المثلث وارتفاعه! لكن يمكننا القول إن مساحته تساوي الفرق بين مساحة المربع الذي له ضلع وثلاثة مثلثات قائمة. هل تراهم في الصورة؟ نحن نحصل: .

إجابة: .

3. في بعض الأحيان، تحتاج في إحدى المهام إلى العثور على مساحة ليس الشكل بأكمله، بل جزءًا منه. عادة نتحدث عن مساحة قطاع - جزء من دائرة، أوجد مساحة قطاع من دائرة نصف قطرها طول قوسها يساوي .

في هذه الصورة نرى جزءا من الدائرة. مساحة الدائرة بأكملها تساوي . يبقى معرفة أي جزء من الدائرة تم تصويره. نظرًا لأن طول الدائرة بأكملها يساوي (منذ ذلك الحين)، وطول قوس قطاع معين يساوي، فإن طول القوس أقل بعدة مرات من طول الدائرة بأكملها. الزاوية التي يقع عندها هذا القوس هي أيضًا عامل أقل من دائرة كاملة (أي درجات). وهذا يعني أن مساحة القطاع ستكون أصغر بعدة مرات من مساحة الدائرة بأكملها.

س=	1	2
	2