مستوى اول

هرم. الدليل المرئي (2019)

ما هو الهرم؟

كيف تبدو؟

ترى: في أسفل الهرم (يقولون) في القاعدة") بعض المضلعات، وجميع رؤوس هذا المضلع متصلة بنقطة ما في الفضاء (تسمى هذه النقطة "" قمة الرأس»).

هذا الهيكل كله لا يزال لديه وجوه جانبية, الأضلاع الجانبيةو أضلاع القاعدة. مرة أخرى، دعونا نرسم هرما مع كل هذه الأسماء:

قد تبدو بعض الأهرامات غريبة جدًا، لكنها لا تزال أهرامات.

هنا، على سبيل المثال، هو "منحرف" تماما هرم.

والمزيد عن الأسماء: إذا كان هناك مثلث في قاعدة الهرم، فإن الهرم يسمى مثلثًا، وإذا كان رباعيًا، فرباعي الزوايا، وإذا كان مئويًا، ف... خمن بنفسك .

وفي الوقت نفسه، النقطة التي سقط فيها ارتفاع، مُسَمًّى قاعدة الارتفاع. يرجى ملاحظة أنه في الأهرامات "الملتوية". ارتفاعوربما ينتهي بهم الأمر خارج الهرم. مثله:

ولا حرج في ذلك. يبدو وكأنه مثلث منفرج.

الهرم الصحيح .

الكثير من الكلمات المعقدة؟ دعونا نفك الشفرة: "في القاعدة - صحيح" - هذا أمر مفهوم. الآن دعونا نتذكر أن المضلع المنتظم له مركز - نقطة تمثل مركز و و .

حسنًا، عبارة "يتم إسقاط الجزء العلوي في وسط القاعدة" تعني أن قاعدة الارتفاع تقع تمامًا في وسط القاعدة. انظروا كيف تبدو ناعمة ولطيفة الهرم المنتظم.

سداسي الشكل: يوجد في القاعدة مسدس منتظم، يتم إسقاط قمة الرأس في وسط القاعدة.

رباعي الزوايا: القاعدة مربعة، والقمة بارزة إلى نقطة تقاطع أقطار هذا المربع.

الثلاثي: يوجد في القاعدة مثلث منتظم، ويتم إسقاط الرأس عند نقطة تقاطع الارتفاعات (وهي أيضًا متوسطات ومنصفات) لهذا المثلث.

جداً خصائص هامة للهرم العادي:

في الهرم الأيمن

• جميع الحواف الجانبية متساوية.
• جميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين وجميع هذه المثلثات متساوية.

حجم الهرم

الصيغة الرئيسية لحجم الهرم:

من أين أتت بالضبط؟ الأمر ليس بهذه البساطة، وفي البداية عليك فقط أن تتذكر أن الهرم والمخروط لهما حجم في الصيغة، لكن الأسطوانة ليس كذلك.

الآن دعونا نحسب حجم الأهرامات الأكثر شهرة.

اجعل جانب القاعدة متساويًا والحافة الجانبية متساوية. نحن بحاجة للعثور على و.

هذه هي مساحة المثلث المنتظم.

دعونا نتذكر كيف نبحث عن هذه المنطقة. نستخدم صيغة المنطقة:

بالنسبة لنا، "" هي هذه، و "" هي أيضًا هذه، إيه.

الآن دعونا نجده.

وفقا لنظرية فيثاغورس ل

ماهو الفرق؟ هذا هو محيط دائرة نصف قطرها لأن هرمصحيحوبالتالي المركز.

منذ - نقطة تقاطع المتوسطات أيضًا.

(نظرية فيثاغورس ل)

لنعوض بها في صيغة .

ودعنا نعوض بكل شيء في صيغة الحجم:

انتباه:إذا كان لديك رباعي وجوه منتظم (على سبيل المثال)، فستظهر الصيغة كما يلي:

اجعل جانب القاعدة متساويًا والحافة الجانبية متساوية.

ليست هناك حاجة للنظر هنا؛ بعد كل شيء، القاعدة هي مربع، وبالتالي.

سوف نجد ذلك. وفقا لنظرية فيثاغورس ل

هل نعلم؟ بالكاد. ينظر:

(لقد رأينا هذا من خلال النظر إليه).

استبدل في الصيغة بـ:

والآن نعوض في صيغة الحجم.

اجعل جانب القاعدة متساويًا والحافة الجانبية.

كيف تجد؟ انظر، الشكل السداسي يتكون من ستة مثلثات منتظمة متطابقة تمامًا. لقد بحثنا بالفعل عن مساحة مثلث منتظم عند حساب حجم الهرم الثلاثي المنتظم، وهنا نستخدم الصيغة التي وجدناها.

الآن دعونا نجد (ذلك).

وفقا لنظرية فيثاغورس ل

ولكن ماذا يهم؟ الأمر بسيط لأن (والجميع أيضًا) على حق.

دعونا نستبدل:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

هرم. باختصار عن الأشياء الرئيسية

الهرم هو متعدد السطوح يتكون من أي مضلع مسطح ()، نقطة لا تقع في مستوى القاعدة (أعلى الهرم) وجميع الأجزاء التي تربط قمة الهرم بنقاط القاعدة (الحواف الجانبية).

سقوط عمودي من أعلى الهرم إلى مستوى القاعدة.

الهرم الصحيح- هرم يقع فيه مضلع منتظم عند قاعدته، وتبرز قمة الهرم في وسط القاعدة.

خاصية الهرم المنتظم :

• في الهرم المنتظم، جميع الحواف الجانبية متساوية.
• جميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين وجميع هذه المثلثات متساوية.

فرضية:ونحن نعتقد أن كمال شكل الهرم يرجع إلى القوانين الرياضية الكامنة في شكله.

هدف:بعد دراسة الهرم كجسم هندسي، اشرح كمال شكله.

مهام:

1. إعطاء تعريف رياضي للهرم.

2. دراسة الهرم كجسم هندسي.

3. فهم المعرفة الرياضية التي أدخلها المصريون في أهراماتهم.

أسئلة خاصة:

1. ما هو الهرم كجسم هندسي؟

2. كيف يمكن تفسير الشكل الفريد للهرم من وجهة نظر رياضية؟

3. ما الذي يفسر العجائب الهندسية للهرم؟

4. ما الذي يفسر كمال شكل الهرم؟

تعريف الهرم.

هرم (من الأهرامات اليونانية، الجنرال بيرادوس) - متعدد السطوح قاعدته مضلع، والوجوه المتبقية عبارة عن مثلثات لها قمة مشتركة (رسم). بناءً على عدد زوايا القاعدة، يتم تصنيف الأهرامات إلى مثلثة، ورباعية الزوايا، وما إلى ذلك.

هرم - هيكل ضخم له شكل هندسي هرمي (أحيانًا يكون أيضًا متدرجًا أو على شكل برج). الأهرامات هي الاسم الذي يطلق على المقابر العملاقة للفراعنة المصريين القدماء في الألفية الثالثة والثانية قبل الميلاد. هـ ، بالإضافة إلى قواعد المعبد الأمريكي القديم (في المكسيك وغواتيمالا وهندوراس وبيرو) المرتبطة بالطوائف الكونية.

ومن الممكن أن تكون الكلمة اليونانية "هرم" مشتقة من التعبير المصري per-em-us، أي من مصطلح يعني ارتفاع الهرم. يعتقد عالم المصريات الروسي المتميز ف. ستروف أن الكلمة اليونانية "puram...j" تأتي من الكلمة المصرية القديمة "p"-mr".

من التاريخ. بعد دراسة المواد الموجودة في الكتاب المدرسي "الهندسة" لمؤلفي أتاناسيان. بوتوزوف وآخرون، تعلمنا أن: متعدد السطوح يتكون من n-gon A1A2A3... An وn مثلثات PA1A2، PA2A3، ...، PAnA1 يسمى هرمًا. المضلع A1A2A3...An هو قاعدة الهرم، والمثلثات PA1A2، PA2A3،...، PAnA1 هي الوجوه الجانبية للهرم، P هي قمة الهرم، الأجزاء PA1، PA2،...، PAn هي الحواف الجانبية.

ومع ذلك، فإن هذا التعريف للهرم لم يكن موجودا دائما. على سبيل المثال، يعرف عالم الرياضيات اليوناني القديم، مؤلف الأطروحات النظرية التي وصلت إلينا في الرياضيات، إقليدس، الهرم بأنه شكل صلب محدود بمستويات تتقارب من مستوى واحد إلى نقطة واحدة.

لكن هذا التعريف تم انتقاده بالفعل في العصور القديمة. لذلك اقترح هيرون التعريف التالي للهرم: “هو شكل محدد بمثلثات متقاربة في نقطة واحدة وقاعدته مضلع”.

توصلت مجموعتنا، بعد مقارنة هذه التعريفات، إلى استنتاج مفاده أنه ليس لديهم صياغة واضحة لمفهوم "الأساس".

قمنا بدراسة هذه التعاريف فوجدنا تعريف أدريان ماري ليجيندر الذي عرف الهرم في عام 1794 في كتابه "عناصر الهندسة" على النحو التالي: "الهرم هو شكل مصمت يتكون من مثلثات تتقارب عند نقطة واحدة وتنتهي على جوانب مختلفة من الشكل". قاعدة مسطحة."

ويبدو لنا أن التعريف الأخير يعطي فكرة واضحة عن الهرم، إذ يتحدث عن أن القاعدة مسطحة. ظهر تعريف آخر للهرم في كتاب مدرسي من القرن التاسع عشر: "الهرم هو زاوية صلبة تتقاطع مع مستوى".

الهرم كجسم هندسي.

الذي - التي. الهرم هو متعدد السطوح، أحد وجوهه (قاعدته) مضلع، أما الوجوه المتبقية (أضلاعه) فهي مثلثات لها قمة واحدة مشتركة (قمة الهرم).

يسمى العمود العمودي المرسوم من قمة الهرم على مستوى القاعدة ارتفاعحالأهرامات.

بالإضافة إلى الهرم التعسفي، هناك الهرم الصحيحفي قاعدته مضلع منتظم و الهرم المقطوع.

في الشكل يوجد هرم PABCD، ABCD هي قاعدته، PO هو ارتفاعه.

المساحة الإجمالية الهرم هو مجموع مساحات جميع وجوهه.

كامل = Sside + Smain،أين جانب– مجموع مساحات الوجوه الجانبية .

حجم الهرم تم العثور عليه بواسطة الصيغة:

V=1/3Sbas. ح، حيث سباس. - منطقة قاعدة، ح- ارتفاع.

محور الهرم المنتظم هو الخط المستقيم الذي يحتوي على ارتفاعه.
Apothem ST هو ارتفاع الوجه الجانبي للهرم العادي.

يتم التعبير عن مساحة الوجه الجانبي للهرم العادي على النحو التالي: الجانب. =1/2ف ح، حيث P هو محيط القاعدة، ح- ارتفاع الوجه الجانبي (عامة الهرم العادي). إذا كان الهرم يتقاطع مع المستوى A’B’C’D’، موازياً للقاعدة، فإن:

1) يتم تقسيم الأضلاع الجانبية والارتفاع بواسطة هذا المستوى إلى أجزاء متناسبة؛

2) في المقطع العرضي يتم الحصول على المضلع A’B’C’D’، على غرار القاعدة؛

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

قواعد الهرم المقطوع- المضلعات المتشابهة ABCD وA`B`C`D`، الوجوه الجانبية هي شبه منحرف.

ارتفاعالهرم المقطوع - المسافة بين القواعد.

حجم مقطوعتم العثور على الهرم بالصيغة:

الخامس = 1/3 ح(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع العادي يتم التعبير عنها على النحو التالي: Sside = ½(P+P') ح، حيث P و P’ هي محيطات القواعد، ح- ارتفاع الوجه الجانبي (قياس بيرامي منتظم مقطوع

أقسام الهرم.

تكون أقسام الهرم التي تمر بها المستويات التي تمر عبر قمته مثلثات.

يسمى الجزء الذي يمر عبر حافتين جانبيتين غير متجاورتين للهرم قسم قطري.

وإذا مر المقطع بنقطة من الحافة الجانبية وجانب القاعدة، فإن أثره إلى مستوى قاعدة الهرم يكون هذا الجانب.

مقطع يمر بنقطة تقع على وجه الهرم وتتبع مقطع معين على مستوى القاعدة، فيتم البناء على النحو التالي:

· العثور على نقطة تقاطع مستوى الوجه المعطى وأثر قسم الهرم وتعيينها.

· إنشاء خط مستقيم يمر عبر نقطة معينة ونقطة التقاطع الناتجة.

· كرري هذه الخطوات للوجوه التالية.

والتي تتوافق مع نسبة أرجل المثلث القائم الزاوية 4:3. وتتوافق هذه النسبة بين الأرجل مع المثلث القائم المعروف الذي تبلغ أضلاعه 3:4:5، والذي يسمى بالمثلث "الكامل" أو "المقدس" أو "المصري". ووفقا للمؤرخين، فإن المثلث "المصري" أعطى معنى سحريا. كتب بلوتارخ أن المصريين قارنوا طبيعة الكون بالمثلث "المقدس". لقد شبهوا رمزيًا الساق العمودية بالزوج، والقاعدة بالزوجة، والوتر بالمولود من كليهما.

بالنسبة للمثلث 3:4:5، المساواة صحيحة: 32 + 42 = 52، وهو ما يعبر عن نظرية فيثاغورس. أليست هذه هي النظرية التي أراد الكهنة المصريون تكريسها بإقامة هرم على أساس المثلث 3:4:5؟ ومن الصعب العثور على مثال أكثر نجاحا لتوضيح نظرية فيثاغورس، التي كانت معروفة لدى المصريين قبل وقت طويل من اكتشاف فيثاغورس لها.

وهكذا، سعى مبدعو الأهرامات المصرية اللامعون إلى إذهال المتحدرين البعيدين بعمق معرفتهم، وحققوا ذلك باختيار المثلث القائم "الذهبي" باعتباره "الفكرة الهندسية الرئيسية" لهرم خوفو، و"المقدس" أو "مصري" لهرم خفرع المثلث.

في كثير من الأحيان، يستخدم العلماء في أبحاثهم خصائص الأهرامات بنسب النسبة الذهبية.

يقدم القاموس الموسوعي الرياضي التعريف التالي للقسم الذهبي - وهو تقسيم توافقي، تقسيم في النسب القصوى والمتوسطة - تقسيم القطعة AB إلى جزأين بحيث يكون الجزء الأكبر منها AC هو المتوسط ​​المتناسب بين القطعة بأكملها AB وجزئه الأصغر NE.

التحديد الجبري للقسم الذهبي للقطعة أ ب = أيتم تقليله إلى حل المعادلة a: x = x: (a – x)، والتي x تساوي تقريبًا 0.62a. يمكن التعبير عن النسبة x على شكل كسور 2/3، 3/5، 5/8، 8/13، 13/21...= 0.618، حيث 2، 3، 5، 8، 13، 21 هي أرقام فيبوناتشي.

يتم تنفيذ البناء الهندسي للقسم الذهبي للقطعة AB على النحو التالي: عند النقطة B، تتم استعادة العمودي على AB، ويتم وضع القطعة BE = 1/2 AB عليها، ويتم توصيل A و E، و DE = يتم تسريح BE، وأخيرًا، AC = AD، ثم يتم تحقيق المساواة AB: CB = 2:3.

غالبًا ما تستخدم النسبة الذهبية في الأعمال الفنية والهندسة المعمارية وتوجد في الطبيعة. ومن الأمثلة الحية على ذلك نحت أبولو بلفيدير والبارثينون. أثناء بناء البارثينون تم استخدام نسبة ارتفاع المبنى إلى طوله وهذه النسبة هي 0.618. توفر الكائنات من حولنا أيضًا أمثلة على النسبة الذهبية، على سبيل المثال، تحتوي أغلفة العديد من الكتب على نسبة عرض إلى طول قريبة من 0.618. بالنظر إلى ترتيب الأوراق على الجذع المشترك للنباتات، يمكنك ملاحظة أنه بين كل زوجين من الأوراق يقع الثالث عند النسبة الذهبية (الشرائح). كل واحد منا "يحمل" النسبة الذهبية معنا "في أيدينا" - هذه هي نسبة كتائب الأصابع.

بفضل اكتشاف العديد من البرديات الرياضية، تعلم علماء المصريات شيئًا عن أنظمة الحساب والقياس المصرية القديمة. تم حل المهام الواردة فيها من قبل الكتبة. واحدة من أشهرها هي بردية ريند الرياضية. من خلال دراسة هذه المشكلات، تعلم علماء المصريات كيف تعامل المصريون القدماء مع الكميات المختلفة التي نشأت عند حساب مقاييس الوزن والطول والحجم، والتي غالبًا ما تتضمن الكسور، وكذلك كيفية تعاملهم مع الزوايا.

استخدم المصريون القدماء طريقة لحساب الزوايا بناءً على نسبة الارتفاع إلى قاعدة المثلث القائم الزاوية. وأعربوا عن أي زاوية في لغة التدرج. تم التعبير عن تدرج المنحدر كنسبة عددية صحيحة تسمى "seced". في كتابه الرياضيات في عصر الفراعنة، يشرح ريتشارد بيلنز: "إن خط الهرم المنتظم هو ميل أي من الوجوه المثلثة الأربعة إلى مستوى القاعدة، ويقاس بالعدد n من الوحدات الأفقية لكل وحدة ارتفاع رأسية . وبالتالي، فإن وحدة القياس هذه تعادل ظل التمام الحديث لزاوية الميل. ولذلك فإن الكلمة المصرية "seced" مرتبطة بكلمتنا الحديثة "gradient".

المفتاح الرقمي للأهرامات يكمن في نسبة ارتفاعها إلى القاعدة. من الناحية العملية، هذه هي أسهل طريقة لجعل القوالب ضرورية للتحقق باستمرار من زاوية الميل الصحيحة طوال عملية بناء الهرم.

سيكون من دواعي سرور علماء المصريات إقناعنا بأن كل فرعون يتوق للتعبير عن شخصيته الفردية، ومن هنا الاختلافات في زوايا الميل لكل هرم. ولكن يمكن أن يكون هناك سبب آخر. ربما أرادوا جميعًا تجسيد ارتباطات رمزية مختلفة، مخبأة بنسب مختلفة. إلا أن زاوية هرم خفرع (على أساس المثلث (3:4:5) تظهر في المسائل الثلاث التي قدمتها الأهرامات في بردية ريند الرياضية). ولذلك كان هذا الموقف معروفاً لدى المصريين القدماء.

لكي نكون منصفين لعلماء المصريات الذين يزعمون أن المصريين القدماء لم يكونوا على علم بالمثلث 3:4:5، لم يتم ذكر طول الوتر 5 مطلقًا. لكن المسائل الرياضية المتعلقة بالأهرامات يتم حلها دائمًا على أساس الزاوية المنفصلة - نسبة الارتفاع إلى القاعدة. وبما أنه لم يتم ذكر طول الوتر مطلقًا، فقد تم استنتاج أن المصريين لم يحسبوا أبدًا طول الضلع الثالث.

إن نسب الارتفاع إلى القاعدة المستخدمة في أهرامات الجيزة كانت معروفة بلا شك لدى المصريين القدماء. من الممكن أن يتم اختيار هذه العلاقات لكل هرم بشكل تعسفي. إلا أن هذا يتناقض مع الأهمية التي توليها رمزية الأرقام في جميع أنواع الفنون التشكيلية المصرية. ومن المحتمل جدًا أن تكون مثل هذه العلاقات مهمة لأنها عبرت عن أفكار دينية محددة. بمعنى آخر، خضع مجمع الجيزة بأكمله لتصميم متماسك مصمم ليعكس موضوعًا إلهيًا معينًا. وهذا من شأنه أن يفسر سبب اختيار المصممين لزوايا مختلفة للأهرامات الثلاثة.

في لغز أوريون، قدم بوفال وجيلبرت أدلة مقنعة تربط أهرامات الجيزة بكوكبة أوريون، وتحديدا مع نجوم حزام أوريون، ونفس الكوكبة موجودة في أسطورة إيزيس وأوزوريس، وهناك سبب للنظر يمثل كل هرم أحد الآلهة الثلاثة الرئيسية - أوزوريس وإيزيس وحورس.

المعجزات "الهندسية".

بين أهرامات مصر العظيمة، تحتل مكانا خاصا الهرم الأكبر للفرعون خوفو (خوفو). قبل أن نبدأ في تحليل شكل وحجم هرم خوفو، يجب أن نتذكر نظام القياسات الذي استخدمه المصريون. كان لدى المصريين ثلاث وحدات طول: "الذراع" (466 ملم)، والتي كانت تساوي سبع "كف" (66.5 ملم)، والتي بدورها كانت تساوي أربعة "أصابع" (16.6 ملم).

دعونا نحلل أبعاد هرم خوفو (الشكل 2)، متبعين الحجج الواردة في الكتاب الرائع للعالم الأوكراني نيكولاي فاسيوتنسكي "النسبة الذهبية" (1990).

ويتفق أغلب الباحثين على أن طول ضلع قاعدة الهرم مثلا فرنك غينييساوي ل= 233.16 م، وهذه القيمة تقابل تقريبًا 500 "مرفقًا". سيحدث الامتثال الكامل لـ 500 "مرفقًا" إذا كان طول "المرفق" يساوي 0.4663 مترًا.

ارتفاع الهرم ( ح) ويقدرها الباحثون بتفاوتات من 146.6 إلى 148.2 م، وبحسب الارتفاع المقبول للهرم تتغير جميع علاقات عناصره الهندسية. ما سبب اختلاف تقديرات ارتفاع الهرم؟ والحقيقة هي أن هرم خوفو مقطوع بالمعنى الدقيق للكلمة. يبلغ حجم منصته العلوية اليوم حوالي 10 × 10 م، ولكن قبل قرن من الزمان كان 6 × 6 م، ومن الواضح أن الجزء العلوي من الهرم قد تم تفكيكه، وهو لا يتوافق مع الجزء الأصلي.

عند تقييم ارتفاع الهرم، من الضروري أن تأخذ في الاعتبار عامل مادي مثل "مشروع" الهيكل. وعلى مدى فترة طويلة من الزمن، وتحت تأثير الضغط الهائل (الذي يصل إلى 500 طن لكل 1 م2 من السطح السفلي)، انخفض ارتفاع الهرم مقارنة بارتفاعه الأصلي.

ما هو الارتفاع الأصلي للهرم؟ يمكن إعادة إنشاء هذا الارتفاع من خلال إيجاد "الفكرة الهندسية" الأساسية للهرم.

الشكل 2.

في عام 1837، قام العقيد الإنجليزي ج. وايز بقياس زاوية ميل وجوه الهرم: وتبين أنها متساوية أ= 51°51". ولا تزال هذه القيمة معترف بها من قبل معظم الباحثين اليوم. قيمة الزاوية المحددة تتوافق مع المماس (tg أ) ، يساوي 1.27306. تتوافق هذه القيمة مع نسبة ارتفاع الهرم تكييفإلى نصف قاعدته سي.بي.(الشكل 2)، هذا هو مكيف الهواء / سي.بي. = ح / (ل / 2) = 2ح / ل.

وهنا كانت المفاجأة الكبرى للباحثين!.png" width="25" height="24">= 1.272 مقارنة هذه القيمة بقيمة tg أ= 1.27306 فنرى أن هذه القيم متقاربة جداً من بعضها البعض. إذا أخذنا الزاوية أ= 51°50"، أي تقليلها بمقدار دقيقة قوسية واحدة فقط، ثم القيمة أسيصبح مساوياً لـ 1.272، أي أنه سيتزامن مع القيمة. وتجدر الإشارة إلى أنه في عام 1840م كرر وايز قياساته وأوضح أن قيمة الزاوية أ=51°50".

قادت هذه القياسات الباحثين إلى الفرضية التالية المثيرة للاهتمام: المثلث ACB لهرم خوفو يعتمد على العلاقة AC / سي.بي. = = 1,272!

فكر الآن في المثلث القائم اي بي سي، فيه نسبة الساقين مكيف الهواء / سي.بي.= (الشكل 2). إذا الآن أطوال جوانب المستطيل اي بي سييعين بواسطة س, ذ, ض، وتأخذ في الاعتبار أيضًا أن النسبة ذ/س= ، إذن وفقًا لنظرية فيثاغورس، الطول ضيمكن حسابها باستخدام الصيغة:

إذا قبلنا س = 1, ذ= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

الشكل 3.المثلث الأيمن "الذهبي".

مثلث قائم الزاوية حيث ترتبط الجوانب كما ر:الذهبي" المثلث الأيمن.

بعد ذلك، إذا أخذنا كأساس الفرضية القائلة بأن "الفكرة الهندسية" الرئيسية لهرم خوفو هي مثلث قائم "ذهبي"، فمن هنا يمكننا بسهولة حساب ارتفاع "التصميم" لهرم خوفو. وهو يساوي:

ح = (L/2) ´ = 148.28 م.

دعونا الآن نستنتج بعض العلاقات الأخرى لهرم خوفو، والتي تنبع من الفرضية "الذهبية". وعلى وجه الخصوص، سنجد نسبة المساحة الخارجية للهرم إلى مساحة قاعدته. للقيام بذلك، نأخذ طول الساق سي.بي.لكل وحدة، أي: سي.بي.= 1. ولكن بعد ذلك طول ضلع قاعدة الهرم فرنك غيني= 2، ومساحة القاعدة ه و ز حسوف تكون متساوية سيفغ = 4.

دعونا الآن نحسب مساحة الوجه الجانبي لهرم خوفو SD. لأن الارتفاع أ.بمثلث AEFيساوي رفتكون مساحة الوجه الجانبي مساوية SD = ر. إذن المساحة الإجمالية للأوجه الجانبية الأربعة للهرم ستكون 4 رونسبة المساحة الخارجية الكلية للهرم إلى مساحة القاعدة ستكون مساوية للنسبة الذهبية! هذا ما هو عليه - اللغز الهندسي الرئيسي لهرم خوفو!

تتضمن مجموعة "المعجزات الهندسية" لهرم خوفو خصائص حقيقية وبعيدة الاحتمال للعلاقات بين الأبعاد المختلفة في الهرم.

كقاعدة عامة، يتم الحصول عليها بحثًا عن "ثوابت" معينة، على وجه الخصوص، الرقم "pi" (رقم لودولفو)، الذي يساوي 3.14159...؛ قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية "e" (رقم نيبيروفو)، تساوي 2.71828...؛ الرقم "F" رقم "القسم الذهبي" يساوي مثلا 0.618...إلخ.

يمكنك تسمية، على سبيل المثال: 1) خاصية هيرودوت: (الارتفاع)2 = 0.5 فن. أساسي × أبوثيم؛ 2) ملكية V. السعر: الارتفاع: 0.5 فن. القاعدة = الجذر التربيعي لـ "F"؛ 3) خاصية M. Eist: محيط القاعدة: 2 الارتفاع = "Pi"؛ في تفسير مختلف - 2 ملعقة كبيرة. أساسي : الارتفاع = "بي"؛ 4) خاصية G. Edge: نصف قطر الدائرة المنقوشة: 0.5 فن. أساسي = "و"؛ 5) ملكية K. Kleppisch: (الفن الرئيسي.)2: 2(الفن الرئيسي × أبوثيم) = (الفن الرئيسي. دبليو أبوثيما) = 2(الفن الرئيسي × أبوثيم) : ((2 فن .قاعدة X أبوثيم) + (قاعدة فنية)2). إلخ. يمكنك التوصل إلى العديد من هذه الخصائص، خاصة إذا قمت بتوصيل هرمين متجاورين. على سبيل المثال، في "خصائص أ. عارفييف" يمكن الإشارة إلى أن الفرق في حجم هرم خوفو وهرم خفرع يساوي ضعف حجم هرم ميكرين...

العديد من النقاط المثيرة للاهتمام، لا سيما فيما يتعلق ببناء الأهرامات وفقًا لـ "النسبة الذهبية"، مذكورة في كتب د. هامبيدج "التناظر الديناميكي في الهندسة المعمارية" وM. Gick "جماليات التناسب في الطبيعة والفن". دعونا نتذكر أن "النسبة الذهبية" هي تقسيم قطعة ما بحيث يكون الجزء A أكبر بعدة مرات من الجزء B، وكم مرة يكون A أصغر من الجزء بأكمله A + B. النسبة A/B يساوي الرقم "F" == 1.618 .. ويُشار إلى استخدام "النسبة الذهبية" ليس فقط في الأهرامات الفردية، ولكن أيضًا في مجمع الأهرامات بالجيزة بأكمله.

لكن الشيء الأكثر فضولًا هو أن نفس هرم خوفو "لا يمكن" أن يحتوي على الكثير من الخصائص الرائعة. إذا أخذنا خاصية معينة واحدة تلو الأخرى، فيمكن "ملاءمتها"، لكن جميعها لا تتناسب في وقت واحد - فهي لا تتطابق، بل تتعارض مع بعضها البعض. لذلك، على سبيل المثال، عند التحقق من جميع الخصائص، نأخذ في البداية نفس الجانب من قاعدة الهرم (233 م)، فإن ارتفاعات الأهرامات ذات الخصائص المختلفة ستكون مختلفة أيضًا. بمعنى آخر، هناك "عائلة" معينة من الأهرامات تشبه خوفو ظاهريًا، لكن لها خصائص مختلفة. لاحظ أنه لا يوجد شيء معجزة بشكل خاص في الخصائص "الهندسية" - فالكثير ينشأ تلقائيًا بحتًا، من خصائص الشكل نفسه. لا ينبغي اعتبار "المعجزة" إلا شيئًا كان من الواضح أنه مستحيل بالنسبة للمصريين القدماء. ويشمل ذلك على وجه الخصوص المعجزات «الكونية»، التي تتم فيها مقارنة قياسات هرم خوفو أو مجمع الهرم بالجيزة مع بعض القياسات الفلكية ويشار إلى الأرقام «الزوجية»: أقل بمليون مرة، وأقل بمليار مرة، و قريباً. دعونا نفكر في بعض العلاقات "الكونية".

إحدى العبارات هي: "إذا قسمت جانب قاعدة الهرم على طول السنة بالضبط، فستحصل على 10 أجزاء من المليون من محور الأرض". احسب: قسّم 233 على 365، نحصل على 0.638. يبلغ نصف قطر الأرض 6378 كم.

بيان آخر هو في الواقع عكس البيان السابق. أشار F. Noetling إلى أنه إذا استخدمنا "الذراع المصري" الذي اخترعه هو نفسه، فإن جانب الهرم سوف يتوافق مع "المدة الأكثر دقة للسنة الشمسية، معبرًا عنها بأقرب مليار من اليوم" - 365.540. 903.777.

بيان بي سميث: "ارتفاع الهرم هو بالضبط جزء من مليار من المسافة من الأرض إلى الشمس". على الرغم من أن الارتفاع المأخوذ عادة هو 146.6 مترًا، فقد اعتبره سميث 148.2 مترًا، ووفقًا لقياسات الرادار الحديثة، فإن المحور شبه الرئيسي لمدار الأرض هو 149,597,870 + 1.6 كيلومتر. هذه هي متوسط ​​المسافة من الأرض إلى الشمس، ولكن عند الحضيض تكون أقل بمقدار 5,000,000 كيلومتر عنها عند الأوج.

بيان أخير مثير للاهتمام:

"كيف يمكن أن نفسر أن كتل أهرامات خوفو وخفرع وميكيرينوس مرتبطة ببعضها البعض، مثل كتل الكواكب الأرض والزهرة والمريخ؟" دعونا نحسب. كتل الأهرامات الثلاثة هي: خفرع – 0.835؛ خوفو - 1000؛ ميكرين - 0.0915. نسب كتل الكواكب الثلاثة: الزهرة - 0.815؛ الأرض - 1000؛ المريخ - 0.108.

لذلك، على الرغم من الشكوك، نلاحظ الانسجام المعروف لبناء البيانات: 1) ارتفاع الهرم، مثل خط "الذهاب إلى الفضاء"، يتوافق مع المسافة من الأرض إلى الشمس؛ 2) جانب قاعدة الهرم، الأقرب "إلى الركيزة"، أي إلى الأرض، هو المسؤول عن نصف قطر الأرض ودوران الأرض؛ 3) تتوافق أحجام الهرم (قراءة - كتلة) مع نسبة كتل الكواكب الأقرب إلى الأرض. ويمكن تتبع "شفرة" مماثلة، على سبيل المثال، في لغة النحل التي حللها كارل فون فريش. ومع ذلك، فإننا سوف نمتنع عن التعليق على هذا الأمر في الوقت الراهن.

شكل الهرم

الشكل الرباعي السطوح الشهير للأهرامات لم ينشأ على الفور. قام السكيثيون بدفن المدافن على شكل تلال ترابية. بنى المصريون "تلال" من الحجر - الأهرامات. حدث ذلك لأول مرة بعد توحيد مصر العليا والسفلى، في القرن الثامن والعشرين قبل الميلاد، عندما واجه مؤسس الأسرة الثالثة الفرعون زوسر (زوسر) مهمة تعزيز وحدة البلاد.

وهنا، وفقا للمؤرخين، لعب "المفهوم الجديد لتأليه" الملك دورا مهما في تعزيز السلطة المركزية. على الرغم من أن المدافن الملكية كانت تتميز بروعة أكبر، إلا أنها من حيث المبدأ لم تختلف عن مقابر نبلاء البلاط، بل كانت نفس الهياكل - المصاطب. فوق الحجرة التي بها التابوت الذي يحتوي على المومياء، تم صب تلة مستطيلة من الحجارة الصغيرة، حيث تم بعد ذلك وضع مبنى صغير مصنوع من كتل حجرية كبيرة - "المصطبة" (باللغة العربية - "مقعد"). أقام الفرعون زوسر الهرم الأول في موقع مصطبة سلفه سانخت. وكانت متدرجة وكانت بمثابة مرحلة انتقالية مرئية من شكل معماري إلى آخر، من المصطبة إلى الهرم.

وبهذه الطريقة، "قام" الحكيم والمعماري إمحوتب، الذي اعتبر فيما بعد ساحرًا وعرفه اليونانيون بالإله أسكليبيوس، "برفع" الفرعون. كان الأمر كما لو أن ستة مصاطب أقيمت على التوالي. علاوة على ذلك، احتل الهرم الأول مساحة 1125 × 115 مترًا، ويقدر ارتفاعه بـ 66 مترًا (وفقًا للمعايير المصرية – 1000 “نخلة”). في البداية، خطط المهندس المعماري لبناء مصطبة، ولكن ليست مستطيلة، ولكن مربعة الشكل. تم توسيعه لاحقًا، ولكن بما أن الامتداد أصبح أقل، فقد بدا أن هناك خطوتين.

هذا الوضع لم يرضي المهندس المعماري، وعلى المنصة العلوية للمصطبة الضخمة المسطحة، وضع إمحوتب ثلاثة آخرين، يتناقصون تدريجياً نحو الأعلى. وكان القبر يقع تحت الهرم.

هناك العديد من الأهرامات المتدرجة معروفة، ولكن في وقت لاحق انتقل البناة إلى بناء أهرامات رباعية السطوح مألوفة لنا أكثر. ولكن لماذا ليست مثلثة أو مثمنة على سبيل المثال؟ الإجابة غير المباشرة تأتي من حقيقة أن جميع الأهرامات تقريبًا موجهة بشكل مثالي على طول الاتجاهات الأساسية الأربعة، وبالتالي لها أربعة جوانب. بالإضافة إلى ذلك، كان الهرم عبارة عن "بيت"، وهو عبارة عن هيكل غرفة دفن رباعية الزوايا.

ولكن ما الذي يحدد زاوية ميل الوجوه؟ وفي كتاب "مبدأ النسب" خصص لذلك فصلا كاملا: "ما الذي يمكن أن يحدد زوايا ميل الأهرامات". ويشار على وجه الخصوص إلى أن “الصورة التي تنجذب إليها أهرامات الدولة القديمة العظيمة هي مثلث ذو زاوية قائمة في قمته.

وهو في الفضاء شبه مجسم مجسم: هرم تكون فيه حواف القاعدة وجوانبها متساوية، وتكون الحواف مثلثات متساوية الأضلاع." وقد وردت اعتبارات معينة حول هذا الموضوع في كتب هامبيدج وجيك وآخرين.

ما فائدة الزاوية شبه المجسمة؟ وفقا لأوصاف علماء الآثار والمؤرخين، انهارت بعض الأهرامات تحت ثقلها. ما كان مطلوبًا هو "زاوية المتانة"، وهي الزاوية الأكثر موثوقية من حيث الطاقة. من الناحية التجريبية البحتة، يمكن أخذ هذه الزاوية من الزاوية الرأسية في كومة من الرمال الجافة المتفتتة. ولكن للحصول على بيانات دقيقة، تحتاج إلى استخدام نموذج. بأخذ أربع كرات ثابتة بقوة، تحتاج إلى وضع كرة خامسة عليها وقياس زوايا الميل. ومع ذلك، من الممكن أن ترتكب خطأ هنا، لذا فإن الحساب النظري يساعد: يجب عليك توصيل مراكز الكرات بخطوط (عقليًا). ستكون القاعدة عبارة عن مربع طول ضلعه يساوي ضعف نصف القطر. سيكون المربع مجرد قاعدة للهرم، وسيكون طول حوافه أيضًا مساويًا لضعف نصف القطر.

وبالتالي، فإن تعبئة الكرات بشكل متقارب مثل 1:4 ستعطينا شكلًا شبه مجسمًا منتظمًا.

ومع ذلك، لماذا العديد من الأهرامات، تنجذب إلى شكل مماثل، ومع ذلك لا تحتفظ به؟ ربما تكون الأهرامات قديمة. خلافاً للقول المشهور:

"كل شيء في العالم يخاف من الوقت، والوقت يخاف من الأهرامات،" يجب أن تتقادم مباني الأهرامات، ولا يمكن ويجب أن تحدث فيها عمليات التجوية الخارجية فحسب، بل أيضًا عمليات "الانكماش" الداخلي التي منها قد تصبح الأهرامات أقل. الانكماش ممكن أيضًا لأنه، كما كشف عمل د. دافيدوفيتس، استخدم المصريون القدماء تقنية صنع الكتل من رقائق الجير، وبعبارة أخرى، من "الخرسانة". إنها عمليات مماثلة على وجه التحديد يمكن أن تفسر سبب تدمير هرم ميدوم الواقع على بعد 50 كم جنوب القاهرة. عمره 4600 سنة، أبعاد القاعدة 146×146 م، الارتفاع 118 م. زاماروفسكي: "لماذا هو مشوه إلى هذا الحد؟ إن الإشارات المعتادة إلى الآثار المدمرة للزمن و"استخدام الحجر في المباني الأخرى" ليست مناسبة هنا.

بعد كل شيء، ظلت معظم كتله وألواحه المواجهة في مكانها حتى يومنا هذا، في حالة خراب عند سفحه." وكما سنرى، فإن عددًا من الأحكام تجعلنا نعتقد أن هرم خوفو الشهير "ذبل" أيضًا. على أية حال، في جميع الصور القديمة الأهرامات مدببة ...

من الممكن أيضًا أن يكون شكل الأهرامات قد تم إنشاؤه عن طريق التقليد: بعض العينات الطبيعية، "الكمال المعجزة"، على سبيل المثال، بعض البلورات على شكل مجسم ثماني.

بلورات مماثلة يمكن أن تكون بلورات الماس والذهب. يعد عدد كبير من الميزات "المتداخلة" نموذجيًا لمفاهيم مثل الفرعون والشمس والذهب والماس. في كل مكان - نبيل، لامع (لامع)، عظيم، لا تشوبه شائبة، وما إلى ذلك. أوجه التشابه ليست عرضية.

ومن المعروف أن عبادة الشمس شكلت جزءًا مهمًا من ديانة مصر القديمة. "بغض النظر عن كيفية ترجمة اسم أعظم الأهرامات،" يشير أحد الكتيبات الحديثة، "سماء خوفو" أو "خوفو نحو السماء"، فهو يعني أن الملك هو الشمس". وإذا كان خوفو، في تألق قوته، يتخيل نفسه الشمس الثانية، فإن ابنه جدف رع أصبح أول ملوك مصر الذي أطلق على نفسه اسم "ابن رع" أي ابن الشمس. وكان يرمز للشمس عند جميع الشعوب تقريباً بـ "المعدن الشمسي"، أي الذهب. "قرص كبير من الذهب اللامع" - هكذا أطلق المصريون على ضوء النهار لدينا. عرف المصريون الذهب جيدًا، فقد عرفوا أشكاله الأصلية، حيث يمكن أن تظهر بلورات الذهب على شكل مجسمات مثمنة.

"حجر الشمس" - الماس - مثير للاهتمام هنا أيضًا باعتباره "عينة من الأشكال". اسم الماسة جاء على وجه التحديد من العالم العربي، "الماس" - الأصعب والأكثر صلابة وغير قابل للتدمير. عرف المصريون القدماء الماس وخصائصه جيدًا. وفقا لبعض المؤلفين، حتى أنهم استخدموا أنابيب برونزية مع قواطع الماس للحفر.

في الوقت الحاضر، المورد الرئيسي للماس هو جنوب أفريقيا، ولكن غرب أفريقيا غنية أيضا بالماس. حتى أن أراضي جمهورية مالي تسمى "أرض الماس". وفي الوقت نفسه، تعيش قبيلة الدوجون في أراضي مالي، ويعلق عليها مؤيدو فرضية الزيارة القديمة آمالًا كثيرة (انظر أدناه). ولا يمكن أن يكون الماس هو السبب وراء اتصالات المصريين القدماء بهذه المنطقة. ومع ذلك، بطريقة أو بأخرى، من الممكن أنه من خلال نسخ المجسمات الثماني لبلورات الماس والذهب على وجه التحديد، قام المصريون القدماء بتأليه الفراعنة، "غير قابلين للتدمير" مثل الماس و"اللامعين" مثل الذهب، أبناء الشمس، لا يمكن مقارنتهم إلا لأروع إبداعات الطبيعة.

خاتمة:

وبعد دراسة الهرم كجسم هندسي، والتعرف على عناصره وخصائصه، اقتنعنا بصحة الرأي حول جمال شكل الهرم.

نتيجة لأبحاثنا، توصلنا إلى استنتاج مفاده أن المصريين، بعد أن جمعوا المعرفة الرياضية الأكثر قيمة، يجسدونها في الهرم. لذلك فإن الهرم هو حقًا الخلق الأمثل للطبيعة والإنسان.

فهرس

"الهندسة: كتاب مدرسي. للصفوف 7 – 9 . تعليم عام المؤسسات وغيرها - الطبعة التاسعة - م: التربية، 1999

تاريخ الرياضيات في المدرسة، م: "Prosveshchenie"، 1982.

الهندسة 10-11، م: التنوير، 2000

بيتر تومبكينز "أسرار الهرم الأكبر لخوفو"، م: "تسينتروبوليجراف"، 2005.

موارد الإنترنت

http://veka-i-mig. *****/

http://تامبوف. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

هرم. الهرم المقطوع

هرمهو متعدد الوجوه، أحد وجوهه مضلع ( قاعدة )، وجميع الوجوه الأخرى هي مثلثات ذات قمة مشتركة ( وجوه جانبية ) (الشكل 15). الهرم يسمى صحيح إذا كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا وكان الجزء العلوي من الهرم بارزًا في وسط القاعدة (الشكل 16). يسمى الهرم الثلاثي الذي تكون جميع أضلاعه متساوية رباعي الاسطح .

الضلع الجانبيالهرم هو جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة ارتفاع الهرم هو المسافة من قمته إلى مستوى القاعدة. جميع الحواف الجانبية للهرم المنتظم متساوية مع بعضها البعض، وجميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين. يسمى ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم المرسوم من رأسه apothem . قسم قطري ويسمى جزء من الهرم بمرور مستوى على حافتين جانبيتين لا تنتميان إلى وجه واحد.

مساحة السطح الجانبيةالهرم هو مجموع مساحات كل الوجوه الجانبية. المساحة الإجمالية يسمى مجموع مساحات جميع الوجوه الجانبية والقاعدة.

نظريات

1. إذا كانت جميع الحواف الجانبية في الهرم مائلة بالتساوي على مستوى القاعدة، فإن قمة الهرم تبرز في وسط الدائرة المحددة بالقرب من القاعدة.

2. إذا كانت جميع الحواف الجانبية للهرم متساوية في الطول، فإن قمة الهرم تبرز في وسط دائرة محيطة بالقرب من القاعدة.

3. إذا كانت جميع وجوه الهرم مائلة بشكل متساوٍ على مستوى القاعدة، فإن قمة الهرم تبرز في وسط الدائرة المنقوشة في القاعدة.

لحساب حجم الهرم الاختياري، الصيغة الصحيحة هي:

أين الخامس- مقدار؛

قاعدة S- منطقة قاعدة؛

ح– ارتفاع الهرم .

بالنسبة للهرم المنتظم، الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة؛

ح أ- apothem.

ح- ارتفاع؛

س كامل

الجانب S

قاعدة S- منطقة قاعدة؛

الخامس– حجم الهرم المنتظم .

الهرم المقطوعيسمى جزء الهرم المحصور بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم (الشكل 17). الهرم المقطوع المنتظم يسمى جزء الهرم المنتظم المحصور بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم.

الأسبابالهرم المقطوع - مضلعات متشابهة. وجوه جانبية - شبه منحرف. ارتفاع الهرم المقطوع هو المسافة بين قاعدته. قطري الهرم المقطوع هو الجزء الذي يربط رؤوسه التي لا تقع على نفس الوجه. قسم قطري هو مقطع من هرم مبتور بمستوى يمر بحافتين جانبيتين لا تنتميان إلى وجه واحد.

بالنسبة للهرم المقطوع، تكون الصيغ التالية صالحة:

(4)

أين س 1 , س 2- مناطق القواعد العلوية والسفلية؛

س كامل- المساحة الإجمالية؛

الجانب S- مساحة السطح الجانبية؛

ح- ارتفاع؛

الخامس– حجم الهرم المقطوع.

بالنسبة للهرم المقطوع المنتظم، تكون الصيغة صحيحة:

أين ص 1 , ص 2 – محيط القواعد؛

ح أ- قياس الهرم المقطوع المنتظم.

مثال 1.في الهرم الثلاثي المنتظم، تكون الزاوية ثنائية السطوح عند القاعدة 60 درجة. أوجد ظل زاوية ميل الحافة الجانبية لمستوى القاعدة.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 18).

الهرم منتظم، مما يعني أنه يوجد في قاعدته مثلث متساوي الأضلاع وجميع أضلاعه مثلثات متساوية الساقين. زاوية ثنائي السطوح عند القاعدة هي زاوية ميل الوجه الجانبي للهرم إلى مستوى القاعدة. الزاوية الخطية هي الزاوية أبين عموديين : الخ يتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في مركز المثلث (مركز الدائرة المحيطة والدائرة المنقوشة للمثلث اي بي سي). زاوية ميل الحافة الجانبية (على سبيل المثال إس بي.) هي الزاوية بين الحافة نفسها وإسقاطها على مستوى القاعدة. للضلع إس بي.هذه الزاوية ستكون الزاوية إس بي دي. للعثور على الظل تحتاج إلى معرفة الساقين لذاو أو.ب.. دع طول الجزء دينار بحرينييساوي 3 أ. نقطة عنالقطعة المستقيمة دينار بحرينيوينقسم إلى أجزاء: ومن نجد لذا: منها نجد:

إجابة:

مثال 2.أوجد حجم هرم رباعي الزوايا منتظم إذا كانت أقطار قاعدتيه متساوية سم وسم، وارتفاعه ٤ سم.

حل.لإيجاد حجم الهرم المقطوع نستخدم الصيغة (4). للعثور على مساحة القواعد، عليك إيجاد جوانب مربعات القاعدة، مع معرفة أقطارها. أضلاع القاعدتين تساوي 2 سم و 8 سم على التوالي، وهذا يعني مساحة القاعدتين وبتعويض جميع البيانات في الصيغة، نحسب حجم الهرم المقطوع:

إجابة: 112 سم3.

مثال 3.أوجد مساحة الوجه الجانبي لهرم مثلث منتظم مقطوع، طول أضلاع قاعدتيه ١٠ سم، ٤ سم، وارتفاع الهرم ٢ سم.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 19).

الوجه الجانبي لهذا الهرم هو شبه منحرف متساوي الساقين. لحساب مساحة شبه منحرف، عليك أن تعرف القاعدة والارتفاع. يتم إعطاء القواعد حسب الشرط، ويبقى الارتفاع فقط غير معروف. سوف نجدها من أين أ 1 هعمودي من نقطة أ 1 على مستوى القاعدة السفلية، أ 1 د- عمودي من أ 1 لكل تكييف. أ 1 ه= 2 سم، لأن هذا هو ارتفاع الهرم. لايجاد ديلنقم بعمل رسم إضافي يوضح المنظر العلوي (الشكل 20). نقطة عن– إسقاط مراكز القواعد العلوية والسفلية. منذ (انظر الشكل 20) ومن ناحية أخرى نعم- نصف القطر المدرج في الدائرة و أوم- نصف القطر المدرج في دائرة:

عضو الكنيست = دي.

وفقا لنظرية فيثاغورس من

منطقة الوجه الجانبية:

إجابة:

مثال 4.في قاعدة الهرم يوجد شبه منحرف متساوي الساقين، قاعدته أو ب (أ> ب). يشكل كل وجه جانبي زاوية مساوية لمستوى قاعدة الهرم ي. أوجد المساحة الكلية للهرم.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 21). المساحة الكلية للهرم سابكديساوي مجموع المساحات ومساحة شبه المنحرف ا ب ت ث.

دعونا نستخدم العبارة القائلة بأنه إذا كانت جميع أوجه الهرم متساوية في الميل على مستوى القاعدة، فإن الرأس يسقط في وسط الدائرة المنقوشة في القاعدة. نقطة عن- الإسقاط الرأسي سفي قاعدة الهرم. مثلث الاحمقهو الإسقاط المتعامد للمثلث لجنة التنمية المستدامةإلى مستوى القاعدة. باستخدام نظرية منطقة الإسقاط المتعامد لشكل مستو، نحصل على:

وكذلك يعني وهكذا تم اختصار المشكلة إلى إيجاد مساحة شبه المنحرف ا ب ت ث. لنرسم شبه منحرف ا ب ت ثبشكل منفصل (الشكل 22). نقطة عن- مركز الدائرة المرسومة على شكل شبه منحرف.

بما أنه يمكن إدراج دائرة في شبه منحرف، إذن أو من نظرية فيثاغورس لدينا

مفهوم الهرم

التعريف 1

يسمى الشكل الهندسي الذي يتكون من مضلع ونقطة غير موجودة في المستوى الذي يحتوي على هذا المضلع، والمتصل بجميع رؤوس المضلع، بالهرم (الشكل 1).

المضلع الذي يتكون منه الهرم يسمى قاعدة الهرم، والمثلثات الناتجة عند اتصالها بنقطة هي الأوجه الجانبية للهرم، وأضلاع المثلثات هي أضلاع الهرم، والنقطة المشتركة لجميع المثلثات هي قمة الهرم.

أنواع الأهرامات

اعتمادا على عدد الزوايا في قاعدة الهرم، يمكن أن يطلق عليه الثلاثي، الرباعي، وما إلى ذلك (الشكل 2).

الشكل 2.

نوع آخر من الهرم هو الهرم العادي.

دعونا نقدم ونثبت خاصية الهرم المنتظم.

النظرية 1

جميع الوجوه الجانبية للهرم المنتظم هي مثلثات متساوية الساقين ومتساوية فيما بينها.

دليل.

خذ بعين الاعتبار هرمًا منتظمًا $n-$gonal مع قمة $S$ للارتفاع $h=SO$. دعونا نرسم دائرة حول القاعدة (الشكل 4).

الشكل 4.

خذ بعين الاعتبار المثلث $SOA$. وفقا لنظرية فيثاغورس، نحصل على

من الواضح أنه سيتم تعريف أي حافة جانبية بهذه الطريقة. وبالتالي فإن جميع الحواف الجانبية متساوية مع بعضها البعض، أي أن جميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين. دعونا نثبت أنهم متساوون مع بعضهم البعض. وبما أن القاعدة مضلع منتظم، فإن قواعد جميع الوجوه الجانبية متساوية مع بعضها البعض. وبالتالي، فإن جميع الوجوه الجانبية متساوية وفقًا للمعيار الثالث لمساواة المثلثات.

لقد تم إثبات النظرية.

دعونا الآن نقدم التعريف التالي المتعلق بمفهوم الهرم المنتظم.

التعريف 3

قياس الهرم المنتظم هو ارتفاع وجهه الجانبي.

من الواضح، وفقًا للنظرية الأولى، أن جميع القياسات متساوية مع بعضها البعض.

النظرية 2

يتم تحديد مساحة السطح الجانبية للهرم العادي على أنها حاصل ضرب نصف محيط القاعدة والارتفاع.

دليل.

دعونا نشير إلى جانب قاعدة الهرم $n-$gonal بـ $a$، والارتفاع بـ $d$. وبالتالي فإن مساحة الوجه الجانبي تساوي

وبما أنه وفقًا للنظرية 1، فإن جميع الجوانب متساوية

لقد تم إثبات النظرية.

نوع آخر من الهرم هو الهرم المقطوع.

التعريف 4

إذا تم رسم مستوى موازٍ لقاعدته من خلال هرم عادي، فإن الشكل المتكون بين هذا المستوى ومستوى القاعدة يسمى الهرم المقطوع (الشكل 5).

الشكل 5. الهرم المقطوع

الوجوه الجانبية للهرم المقطوع هي شبه منحرف.

النظرية 3

يتم تحديد المساحة السطحية الجانبية للهرم المقطوع المنتظم على أنها حاصل ضرب مجموع أنصاف محيطات القواعد والارتفاع.

دليل.

دعونا نشير إلى جوانب قاعدتي الهرم $n-$gonal بـ $a\ و\b$، على التوالي، والارتفاع بـ $d$. وبالتالي فإن مساحة الوجه الجانبي تساوي

وبما أن جميع الأطراف متساوية، إذن

لقد تم إثبات النظرية.

مهمة عينة

مثال 1

أوجد مساحة السطح الجانبي للهرم الثلاثي المقطوع إذا تم الحصول عليه من هرم منتظم قاعدته 4 وعظمته 5 عن طريق قطع مستوى يمر عبر خط الوسط للأوجه الجانبية.

حل.

وباستخدام نظرية خط المنتصف نجد أن القاعدة العليا للهرم المقطوع تساوي $4\cdot \frac(1)(2)=2$، والقياس يساوي $5\cdot \frac(1)(2) =2.5$.

ثم، من خلال النظرية 3، نحصل على

حيث يكون أحد الأضلاع الجانبية متعامدًا مع القاعدة.

في هذه الحالة، ستكون هذه الحافة هي ارتفاع الهرم.

خصائص الهرم.

1. عندما تكون جميع الحواف الجانبية بنفس الحجم، عندها:

• فمن السهل وصف دائرة بالقرب من قاعدة الهرم، وسيتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في وسط هذه الدائرة؛
• تشكل الأضلاع الجانبية زوايا متساوية مع مستوى القاعدة؛
• علاوة على ذلك، فإن العكس صحيح أيضًا، أي. عندما تشكل الأضلاع الجانبية زوايا متساوية مع مستوى القاعدة، أو عندما يمكن رسم دائرة حول قاعدة الهرم وسيتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في وسط هذه الدائرة، فهذا يعني أن جميع الحواف الجانبية الهرم بنفس الحجم.

2. عندما تكون للأوجه الجانبية زاوية ميل على مستوى القاعدة بنفس القيمة فإن:

• فمن السهل وصف دائرة بالقرب من قاعدة الهرم، وسيتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في وسط هذه الدائرة؛
• ارتفاعات الوجوه الجانبية متساوية في الطول.
• مساحة السطح الجانبي تساوي ½ منتج محيط القاعدة وارتفاع الوجه الجانبي.

3. يمكن وصف الكرة حول الهرم إذا كان في قاعدة الهرم مضلع يمكن وصف الدائرة حوله (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة هو نقطة تقاطع المستويات التي تمر عبر منتصف حواف الهرم المتعامدة معها. من هذه النظرية نستنتج أنه يمكن وصف الكرة حول أي مثلث وحول أي هرم منتظم؛

4. يمكن إدراج كرة في الهرم إذا تقاطعت المستويات المنصفه للزوايا ثنائية السطوح الداخلية للهرم عند النقطة الأولى (شرط ضروري وكاف). ستصبح هذه النقطة مركز الكرة.

5. يتم كتابة المخروط في الهرم عندما تتطابق رؤوسه، ويتم كتابة قاعدة المخروط في قاعدة الهرم. في هذه الحالة، من الممكن تركيب مخروط في الهرم فقط إذا كانت أحجام الهرم متساوية (شرط ضروري وكافي)؛

6. يوصف المخروط بالقرب من الهرم إذا تطابقت رؤوسهما، ويوصف قاعدة المخروط بالقرب من قاعدة الهرم. في هذه الحالة، من الممكن وصف مخروط بالقرب من الهرم فقط إذا كانت جميع الحواف الجانبية للهرم لها نفس القيم (شرط ضروري وكاف). ارتفاعات هذه المخاريط والأهرامات هي نفسها.

7. تندرج الأسطوانة في الهرم إذا تطابقت إحدى قاعدتها مع دائرة منقوشة في قسم الهرم بمستوى موازي للقاعدة، وتكون القاعدة الثانية تابعة لقاعدة الهرم.

8. سيتم وصف الاسطوانة بالقرب من الهرم عندما تنتمي قمة الهرم إلى إحدى قواعده، وسيتم وصف القاعدة الثانية للأسطوانة بالقرب من قاعدة الهرم. في هذه الحالة، من الممكن وصف أسطوانة بالقرب من الهرم فقط إذا كانت قاعدة الهرم عبارة عن مضلع منقوش (شرط ضروري وكاف).

صيغ لتحديد حجم ومساحة الهرم المستطيل.

الخامس- حجم الهرم،

س- مساحة قاعدة الهرم،

ح- ارتفاع الهرم،

بينالي الشارقة- مساحة السطح الجانبي للهرم،

أ- أبوثيم (يجب عدم الخلط بينه وبين α ) الأهرامات،

ص- محيط قاعدة الهرم،

ن- عدد أضلاع قاعدة الهرم،

ب- طول الحافة الجانبية للهرم،

α - الزاوية المسطحة عند قمة الهرم .