بيت غدة درقية مثال على بناء القطع الناقص المعطى بواسطة المعادلة. بناء تعريف خاصية القطع الناقص

مثال على بناء القطع الناقص المعطى بواسطة المعادلة. بناء تعريف خاصية القطع الناقص

القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، وهو مجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين محددتين F_1، وF_2 هي قيمة ثابتة (2a)، أكبر من المسافة (2c) بين هاتين النقطتين المعطاتين (الشكل 3.36، أ). ويعبر هذا التعريف الهندسي الخاصية البؤرية للقطع الناقص.

الخاصية البؤرية للقطع الناقص

تسمى النقطتان F_1 وF_2 بؤرتي القطع الناقص، والمسافة بينهما 2c=F_1F_2 هي الطول البؤري، والوسط O للقطعة F_1F_2 هو مركز القطع الناقص، والرقم 2a هو طول المحور الرئيسي للقطع الناقص. القطع الناقص (وبالتالي فإن الرقم أ هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص). يُطلق على المقطعين F_1M وF_2M اللذين يربطان النقطة M من الشكل الناقص مع بؤرتهما اسم نصف القطر البؤري للنقطة M. الجزء الذي يربط بين نقطتين من القطع الناقص يسمى وتر القطع الناقص.

النسبة e=\frac(c)(a) تسمى الانحراف المركزي للقطع الناقص. من التعريف (2a>2c) يترتب على ذلك أن 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

التعريف الهندسي للقطع الناقص، معبرًا عن خاصيته البؤرية، يعادل تعريفه التحليلي - الخط المعطى بواسطة المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

في الواقع، دعونا نقدم نظام إحداثيات مستطيل (الشكل 3.36ج). نحن نأخذ المركز O للقطع الناقص باعتباره أصل نظام الإحداثيات؛ نأخذ الخط المستقيم الذي يمر عبر البؤرتين (المحور البؤري أو المحور الأول للقطع الناقص) كمحور الإحداثي السيني (الاتجاه الموجب عليه من النقطة F_1 إلى النقطة F_2)؛ لنأخذ خطًا مستقيمًا متعامدًا مع المحور البؤري ويمر عبر مركز القطع الناقص (المحور الثاني للقطع الناقص) باعتباره المحور الإحداثي (يتم اختيار الاتجاه على المحور الإحداثي بحيث يكون نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي صحيحًا) .

لنقم بإنشاء معادلة للقطع الناقص باستخدام تعريفه الهندسي، الذي يعبر عن الخاصية البؤرية. في نظام الإحداثيات المحدد، نحدد إحداثيات البؤر F_1(-ج,0),~F_2(ج,0). بالنسبة لنقطة عشوائية M(x,y) تنتمي إلى القطع الناقص، لدينا:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

وبكتابة هذه المساواة بالصورة الإحداثية نحصل على:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

ننقل الجذر الثاني إلى الجانب الأيمن ونربع طرفي المعادلة ونأتي بحدود متشابهة:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

بالقسمة على 4، نقوم بتربيع طرفي المعادلة:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=أ^2(أ^2-ج^2).

وقد عين ب=\sqrt(a^2-c^2)>0، نحن نحصل ب^2x^2+أ^2y^2=أ^2ب^2. بقسمة الطرفين على a^2b^2\ne0، نصل إلى المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

ولذلك، فإن نظام الإحداثيات المختار هو نظام أساسي.

إذا تطابقت بؤرتا القطع الناقص، فإن القطع الناقص هو دائرة (الشكل 3.36،6)، حيث أن a=b. في هذه الحالة، أي نظام إحداثي مستطيل له نقطة الأصل سيكون نظامًا أساسيًا O\equiv F_1\equiv F_2والمعادلة x^2+y^2=a^2 هي معادلة دائرة مركزها النقطة O ونصف قطرها يساوي a.

من خلال إجراء الاستدلال بترتيب عكسي، يمكن إثبات أن جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها المعادلة (3.49)، وهي فقط، تنتمي إلى موضع النقاط الذي يسمى القطع الناقص. وبعبارة أخرى، فإن التعريف التحليلي للقطع الناقص يعادل تعريفه الهندسي، الذي يعبر عن الخاصية البؤرية للقطع الناقص.

الخاصية التوجيهية للقطع الناقص

إن أدلة القطع الناقص عبارة عن خطين مستقيمين موازيين للمحور الإحداثي لنظام الإحداثيات المتعارف عليه على نفس المسافة \frac(a^2)(c) منه. عند c=0، عندما يكون القطع الناقص عبارة عن دائرة، لا توجد دلائل (يمكننا أن نفترض أن الدلائل موجودة عند اللانهاية).

القطع الناقص مع الانحراف 0 موضع النقاط في المستوى، حيث تكون نسبة المسافة إلى نقطة معينة F (البؤرة) إلى المسافة إلى خط مستقيم معين d (الدليل) الذي لا يمر عبر نقطة معينة ثابتة وتساوي الانحراف المركزي ه ( الخاصية التوجيهية للقطع الناقص). هنا F و d هما إحدى بؤرتي القطع الناقص وأحد توجيهاته، وتقع على جانب واحد من المحور الإحداثي لنظام الإحداثيات الكنسي، أي. F_1,d_1 أو F_2,d_2 .

في الواقع، على سبيل المثال، بالنسبة للتركيز F_2 والموجه d_2 (الشكل 3.37،6) الشرط \frac(r_2)(\rho_2)=eيمكن كتابتها بالشكل الإحداثي:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

التخلص من اللاعقلانية والاستبدال e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2نصل إلى معادلة القطع الناقص الأساسية (3.49). يمكن تنفيذ تفكير مماثل للتركيز F_1 والمخرج d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية

معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية F_1r\varphi (الشكل 3.37، c و3.37 (2)) لها الشكل

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

حيث p=\frac(b^2)(a) هي المعلمة البؤرية للقطع الناقص.

في الواقع، دعونا نختار التركيز الأيسر F_1 للقطع الناقص كقطب لنظام الإحداثيات القطبية، والشعاع F_1F_2 كمحور قطبي (الشكل 3.37، ج). ثم بالنسبة للنقطة الاختيارية M(r,\varphi)، وفقًا للتعريف الهندسي (الخاصية البؤرية) للقطع الناقص، لدينا r+MF_2=2a. نعبر عن المسافة بين النقطتين M(r,\varphi) وF_2(2c,0) (انظر الفقرة 2 من الملاحظات 2.8):

\begin(محاذاة)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(محاذاة)

لذلك، في الصيغة الإحداثية، تكون معادلة القطع الناقص F_1M+F_2M=2a هي الصيغة

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

نعزل الجذر ونربع طرفي المعادلة ونقسمه على 4 ونقدم مصطلحات مماثلة:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

عبر عن نصف القطر القطبي r وقم بالاستبدال ه=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

المعنى الهندسي للمعاملات في معادلة القطع الناقص

دعونا نجد نقاط تقاطع القطع الناقص (انظر الشكل 3.37 أ) مع محاور الإحداثيات (رؤوس القطع الناقص). بالتعويض y=0 في المعادلة، نجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع محور الإحداثي السيني (مع المحور البؤري): x=\pm a. ولذلك، فإن طول قطعة المحور البؤري الموجودة داخل القطع الناقص يساوي 2a. هذا الجزء، كما ذكرنا أعلاه، يسمى المحور الرئيسي للقطع الناقص، والرقم a هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص. بالتعويض x=0، نحصل على y=\pm b. ولذلك فإن طول قطعة المحور الثاني للقطع الناقص الموجودة داخل القطع الناقص يساوي 2b. يُسمى هذا الجزء بالمحور الأصغر للقطع الناقص، والرقم b هو المحور شبه الأصغر للقطع الناقص.

حقًا، ب=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a، ويتم الحصول على المساواة b=a فقط في الحالة c=0، عندما يكون القطع الناقص دائرة. سلوك k=\frac(b)(a)\leqslant1تسمى نسبة ضغط القطع الناقص.

ملاحظات 3.9

1. الخطوط المستقيمة x=\pm a,~y=\pm b تحد من المستطيل الرئيسي على المستوى الإحداثي، الذي يوجد بداخله شكل بيضاوي (انظر الشكل 3.37، أ).

2. يمكن تعريف القطع الناقص بأنه موضع النقاط الذي يتم الحصول عليه عن طريق ضغط الدائرة إلى قطرها.

في الواقع، لتكن معادلة الدائرة في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي x^2+y^2=a^2. عند ضغطها على المحور السيني بمعامل 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

باستبدال الدائرتين x=x" و y=\frac(1)(k)y" في المعادلة، نحصل على معادلة إحداثيات الصورة M"(x",y") للنقطة M(x,y) ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

منذ b=k\cdot a . هذه هي المعادلة القانونية للقطع الناقص.

3. المحاور الإحداثية (نظام الإحداثيات القانوني) هي محاور تناظر القطع الناقص (وتسمى المحاور الرئيسية للقطع الناقص)، ومركزها هو مركز التناظر.

في الواقع، إذا كانت النقطة M(x,y) تنتمي إلى القطع الناقص. ثم النقطتان M"(x,-y) وM""(-x,y)، المتناظرتان للنقطة M بالنسبة إلى محاور الإحداثيات، تنتميان أيضًا إلى نفس القطع الناقص.

4. من معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(انظر الشكل 3.37، ج)، تم توضيح المعنى الهندسي للمعلمة البؤرية - وهذا هو نصف طول وتر القطع الناقص الذي يمر عبر تركيزه بشكل عمودي على المحور البؤري ( r = p في \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. الانحراف المركزي يميز شكل القطع الناقص، أي الفرق بين القطع الناقص والدائرة. كلما زاد حجم e، زاد استطالة القطع الناقص، وكلما اقتربت e من الصفر، كلما اقترب القطع الناقص من الدائرة (الشكل 3.38 أ). في الواقع، مع الأخذ في الاعتبار أن e=\frac(c)(a) و c^2=a^2-b^2 ، نحصل على

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

حيث k هي نسبة ضغط القطع الناقص، 0

6. المعادلة \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1في أ

7. المعادلة \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bيحدد القطع الناقص بمركزه عند النقطة O"(x_0,y_0)، ومحاورها موازية لمحاور الإحداثيات (الشكل 3.38، ج). يتم تقليل هذه المعادلة إلى المعادلة الأساسية باستخدام الترجمة المتوازية (3.36).

عندما a=b=R المعادلة (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2يصف دائرة نصف قطرها R ومركزها عند النقطة O"(x_0,y_0) .

المعادلة البارامترية للقطع الناقص

المعادلة البارامترية للقطع الناقصفي نظام الإحداثيات الكنسي له النموذج

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

في الواقع، باستبدال هذه التعبيرات في المعادلة (3.49)، نصل إلى الهوية المثلثية الرئيسية \cos^2t+\sin^2t=1 .

مثال 3.20.ارسم شكلًا ناقصًا \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1في نظام الإحداثيات الكنسي أوكسي. أوجد أنصاف المحاور، البعد البؤري، الانحراف المركزي، نسبة الضغط، المعلمة البؤرية، معادلات الدليل.

حل.بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة الأساسية، نحدد أنصاف المحاور: أ=2 - محور شبه رئيسي، ب=1 - محور شبه ثانوي للقطع الناقص. نقوم ببناء المستطيل الرئيسي بأضلاعه 2a=4,~2b=2 مع مركزه عند نقطة الأصل (الشكل 3.39). بالنظر إلى تماثل القطع الناقص، فإننا ندخله في المستطيل الرئيسي. إذا لزم الأمر، حدد إحداثيات بعض نقاط القطع الناقص. على سبيل المثال، بالتعويض x=1 في معادلة القطع الناقص، نحصل على

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ رباعي y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

ولذلك، نقاط مع الإحداثيات \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\يمين)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\يمين)- تنتمي إلى القطع الناقص.

حساب نسبة الضغط ك=\فارك(ب)(أ)=\فارك(1)(2); البعد البؤري 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); الانحراف e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); المعلمة البؤرية ع=\فارك(ب^2)(أ)=\فارك(1^2)(2)=\فارك(1)(2). نحن نؤلف معادلات الدليل: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).
تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!
تعريف. القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، ومجموع مسافات كل منها من نقطتين معينتين في هذا المستوى، تسمى البؤر، هو قيمة ثابتة (شريطة أن تكون هذه القيمة أكبر من المسافة بين البؤرتين) .
دعونا نشير إلى البؤر بالمسافة بينهما - بالقيمة الثابتة التي تساوي مجموع المسافات من كل نقطة من القطع الناقص إلى البؤر بواسطة (بالشرط).
لنقم ببناء نظام إحداثيات ديكارتي بحيث تكون البؤر على محور الإحداثيات، ويتزامن أصل الإحداثيات مع منتصف المقطع (الشكل 44). ثم سيكون للبؤر الإحداثيات التالية: التركيز الأيسر والتركيز الأيمن. دعونا نشتق معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات الذي اخترناه. لهذا الغرض، النظر في نقطة تعسفية من القطع الناقص. حسب تعريف القطع الناقص، فإن مجموع المسافات من هذه النقطة إلى البؤر يساوي:
باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين، نحصل على ذلك

لتبسيط هذه المعادلة نكتبها على الصورة
ثم بتربيع طرفي المعادلة، نحصل على
أو بعد التبسيط الواضح:
الآن نقوم بتربيع طرفي المعادلة مرة أخرى، وبعد ذلك لدينا:
أو بعد تحولات متطابقة:
لأنه، وفقًا للشرط الوارد في تعريف القطع الناقص، يكون الرقم موجبًا. دعونا نقدم التدوين
عندها ستأخذ المعادلة الشكل التالي:
وبتعريف القطع الناقص، فإن إحداثيات أي نقطة من نقاطه تحقق المعادلة (26). لكن المعادلة (29) هي نتيجة للمعادلة (26). وبالتالي، فهو محقق أيضًا بإحداثيات أي نقطة من القطع الناقص.
يمكن إثبات أن إحداثيات النقاط التي لا تقع على القطع الناقص لا تحقق المعادلة (29). وبالتالي فإن المعادلة (29) هي معادلة القطع الناقص. وتسمى المعادلة القانونية للقطع الناقص.
دعونا نحدد شكل القطع الناقص باستخدام معادلته الأساسية.
أولًا، دعونا ننتبه إلى حقيقة أن هذه المعادلة تحتوي فقط على قوى x وy. وهذا يعني أنه إذا كانت أي نقطة تنتمي إلى القطع الناقص، فإنها تحتوي أيضًا على نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة لمحور الإحداثي، ونقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للمحور الإحداثي. وبالتالي، فإن القطع الناقص له محوران متعامدان من التماثل، والذي يتطابق في نظام الإحداثيات الذي اخترناه مع محاور الإحداثيات. ومن الآن فصاعدا سنسمي محاور تماثل القطع الناقص محاور القطع الناقص، ونقطة تقاطعهما مركز القطع الناقص. يسمى المحور الذي تقع عليه بؤر القطع الناقص (في هذه الحالة محور الإحداثي) بالمحور البؤري.

دعونا أولاً نحدد شكل القطع الناقص في الربع الأول. للقيام بذلك، دعونا نحل المعادلة (28) لـ y:
من الواضح أنه هنا، حيث أن y تأخذ قيمًا خيالية. كلما زادت من 0 إلى a، تنخفض y من b إلى 0. سيكون جزء القطع الناقص الموجود في الربع الأول عبارة عن قوس يحده النقاط B (0؛ b) ويقع على محاور الإحداثيات (الشكل 45). وباستخدام تماثل القطع الناقص، نصل إلى نتيجة مفادها أن القطع الناقص له الشكل الموضح في الشكل. 45.
تسمى نقاط تقاطع القطع الناقص مع المحاور رؤوس القطع الناقص. ويترتب على تماثل القطع الناقص أنه بالإضافة إلى القمم، يحتوي القطع الناقص على رأسين آخرين (انظر الشكل 45).
تسمى الأجزاء والرؤوس المقابلة للقطع الناقص، وكذلك أطوالها، بالمحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص، على التوالي. يُطلق على الرقمين a وb أنصاف المحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص، على التوالي.
تسمى نسبة نصف المسافة بين البؤرتين إلى المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص انحراف القطع الناقص وعادة ما يشار إليها بالحرف:
بما أن الانحراف المركزي للقطع الناقص أقل من الوحدة: الانحراف المركزي يميز شكل القطع الناقص. في الواقع، من الصيغة (28) يترتب على ذلك أنه كلما كان انحراف القطع الناقص أصغر، قل اختلاف محوره شبه الأصغر ب عن المحور شبه الرئيسي أ، أي كلما كان القطع الناقص أقل استطالة (على طول المحور البؤري).
في الحالة المقيدة، تكون النتيجة دائرة نصف قطرها a: أو . في الوقت نفسه، يبدو أن بؤر القطع الناقص تندمج عند نقطة واحدة - مركز الدائرة. انحراف الدائرة هو صفر:
يمكن إنشاء الاتصال بين القطع الناقص والدائرة من وجهة نظر أخرى. دعونا نبين أن القطع الناقص مع نصف المحاور a و b يمكن اعتباره إسقاطًا لدائرة نصف قطرها a.

دعونا نفكر في طائرتين P و Q، تشكلان فيما بينهما مثل هذه الزاوية a، والتي (الشكل 46). دعونا نبني نظام إحداثيات في المستوى P، وفي المستوى Q نظام أوكسي ذو الأصل المشترك O ومحور الإحداثي المشترك الذي يتزامن مع خط تقاطع المستويات. خذ بعين الاعتبار دائرة في المستوى P
مع مركز عند نقطة الأصل ونصف قطر يساوي أ. فليكن نقطة مختارة بشكل تعسفي على الدائرة، وليكن إسقاطها على المستوى Q، وليكن إسقاط النقطة M على محور الثور. دعونا نبين أن النقطة تقع على شكل بيضاوي ذي نصفي المحورين a وb.

11.1. مفاهيم أساسية

لنفكر في الخطوط المحددة بمعادلات الدرجة الثانية بالنسبة للإحداثيات الحالية

معاملات المعادلة هي أرقام حقيقية، لكن واحدًا على الأقل من الأرقام A أو B أو C ليس صفرًا. تسمى هذه الخطوط خطوط (منحنيات) من الدرجة الثانية. أدناه سنوضح أن المعادلة (11.1) تحدد الدائرة أو القطع الناقص أو القطع الزائد أو القطع المكافئ على المستوى. قبل الانتقال إلى هذه العبارة، دعونا ندرس خصائص المنحنيات المذكورة.

11.2. دائرة

أبسط منحنى من الدرجة الثانية هو الدائرة. تذكر أن الدائرة التي نصف قطرها R ومركزها عند نقطة ما هي مجموعة جميع النقاط M للمستوى التي تحقق الشرط. دع نقطة في نظام إحداثيات مستطيل لها إحداثيات x 0 و y 0 و - نقطة عشوائية على الدائرة (انظر الشكل 48).

ثم من الشرط نحصل على المعادلة

(11.2)

تتحقق المعادلة (11.2) بإحداثيات أي نقطة على دائرة معينة ولا تتحقق بإحداثيات أي نقطة غير واقعة على الدائرة.

تسمى المعادلة (11.2). المعادلة القانونية للدائرة

على وجه الخصوص، الإعداد و ، نحصل على معادلة الدائرة التي مركزها عند نقطة الأصل .

معادلة الدائرة (11.2) بعد التحويلات البسيطة سوف تأخذ الشكل . عند مقارنة هذه المعادلة بالمعادلة العامة (11.1) لمنحنى من الدرجة الثانية، فمن السهل ملاحظة توافر شرطين لمعادلة الدائرة:

1) معاملات x 2 و y 2 متساوية؛

2) لا يوجد عضو يحتوي على المنتج xy للإحداثيات الحالية.

دعونا ننظر في المشكلة العكسية. وبوضع القيم في المعادلة (11.1) نحصل عليها

دعونا نحول هذه المعادلة:

(11.4)

ويترتب على ذلك أن المعادلة (11.3) تحدد دائرة تحت الشرط . مركزها عند النقطة ، ونصف القطر

.

لو ، فإن المعادلة (11.3) لها الشكل

.

يتم استيفاءها بإحداثيات نقطة واحدة . في هذه الحالة يقولون: "لقد تحولت الدائرة إلى نقطة" (نصف قطرها صفر).

لو فإن المعادلة (11.4)، وبالتالي المعادلة المكافئة (11.3)، لن تحدد أي خط، لأن الطرف الأيمن من المعادلة (11.4) سالب، واليسرى ليس سالباً (قل: "دائرة وهمية").

11.3. الشكل البيضاوي

معادلة القطع الناقص الكنسي

الشكل البيضاوي هي مجموعة جميع نقاط المستوى، ومجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين معينتين من هذا المستوى، تسمى الخدع ، هي قيمة ثابتة أكبر من المسافة بين البؤرتين.

دعونا نشير إلى التركيز بواسطة ف 1و ف 2، المسافة بينهما 2 جومجموع المسافات من نقطة تعسفية للقطع الناقص إلى البؤر - في 2 أ(انظر الشكل 49). حسب التعريف 2 أ > 2ج، أي. أ > ج.

لاشتقاق معادلة القطع الناقص، نختار نظام الإحداثيات بحيث تكون البؤرتان ف 1و ف 2تقع على المحور، وتزامن الأصل مع منتصف القطعة ف 1 ف 2. ثم سيكون للبؤر الإحداثيات التالية: و .

اسمحوا أن تكون نقطة التعسفي من القطع الناقص. ثم، وفقا لتعريف القطع الناقص، أي.

هذه، في جوهرها، هي معادلة القطع الناقص.

لنحول المعادلة (11.5) إلى صورة أبسط كما يلي:

لأن أ>مع، الذي - التي . هيا نضع

(11.6)

ثم المعادلة الأخيرة سوف تأخذ الشكل أو

(11.7)

ويمكن إثبات أن المعادلة (11.7) تعادل المعادلة الأصلية. تسمى معادلة القطع الناقص الأساسية .

القطع الناقص هو منحنى من الدرجة الثانية.

دراسة شكل القطع الناقص باستخدام معادلته

دعونا نحدد شكل القطع الناقص باستخدام معادلته الأساسية.

1. المعادلة (11.7) تحتوي على x وy فقط في قوى زوجية، فإذا كانت نقطة تنتمي إلى شكل بيضاوي، فإن النقطتين،، تنتميان إليها أيضًا. ويترتب على ذلك أن القطع الناقص متماثل بالنسبة للمحاور، وكذلك بالنسبة للنقطة التي تسمى مركز القطع الناقص.

2. أوجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاور الإحداثيات. بوضع ، نجد نقطتين و حيث يتقاطع المحور مع القطع الناقص (انظر الشكل 50). وبتعويض المعادلة (11.7) نجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع المحور: و . نقاط أ 1 , أ2 , ب 1, ب 2وتسمى رؤوس القطع الناقص. شرائح أ 1 أ2و ب1 ب2وكذلك أطوالها 2 أو 2 بيتم استدعاؤها وفقا لذلك المحاور الكبرى والصغرىالشكل البيضاوي. أعداد أو بتسمى الكبيرة والصغيرة على التوالي مهاوي المحورالشكل البيضاوي.

3. من المعادلة (11.7) يترتب على أن كل حد في الطرف الأيسر لا يزيد عن واحد، أي. عدم المساواة و أو و تحدث. وبالتالي فإن جميع نقاط القطع الناقص تقع داخل المستطيل الذي تشكله الخطوط المستقيمة.

4. في المعادلة (11.7) مجموع الحدود غير السالبة ويساوي واحدا. وبالتالي، كلما زاد أحد الحدود، نقص الآخر، أي إذا زاد نقص، والعكس صحيح.

ويترتب على ما سبق أن القطع الناقص له الشكل الموضح في الشكل. 50 (منحنى مغلق بيضاوي).

مزيد من المعلومات حول القطع الناقص

يعتمد شكل القطع الناقص على النسبة. عندما يتحول القطع الناقص إلى دائرة، فإن معادلة القطع الناقص (11.7) تأخذ الشكل . غالبًا ما تستخدم النسبة لوصف شكل القطع الناقص. تسمى نسبة نصف المسافة بين البؤرتين إلى المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص الانحراف المركزي للقطع الناقص، ويُشار إلى o6o بالحرف ε ("epsilon"):

مع 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

وهذا يدل على أنه كلما كان انحراف القطع الناقص أصغر، كلما كان القطع الناقص أقل تسطيحًا؛ إذا وضعنا ε = 0، فإن القطع الناقص يتحول إلى دائرة.

دع M(x;y) تكون نقطة تعسفية للقطع الناقص مع البؤرتين F 1 وF 2 (انظر الشكل 51). تسمى أطوال القطع F 1 M = r 1 و F 2 M = r 2 نصف القطر البؤري للنقطة M. بوضوح،

الصيغ تحمل

يتم استدعاء الخطوط المباشرة

نظرية 11.1.إذا كانت المسافة من نقطة تعسفية في القطع الناقص إلى بعض البؤرة، d هي المسافة من نفس النقطة إلى الدليل المقابل لهذا التركيز، فإن النسبة هي قيمة ثابتة تساوي انحراف القطع الناقص:

ومن المساواة (11.6) يترتب على ذلك. إذا، فإن المعادلة (11.7) تحدد القطع الناقص، الذي يقع محوره الرئيسي على محور Oy، والمحور الأصغر على محور الثور (انظر الشكل 52). بؤر مثل هذا القطع الناقص هي في نقاط وأين .

11.4. القطع الزائد

معادلة القطع الزائد الكنسي

مقارنة مبالغ فيها هي مجموعة جميع نقاط المستوى، ومعامل الفرق في المسافات من كل منها إلى نقطتين معلومتين من هذا المستوى، تسمى الخدع ، هي قيمة ثابتة أقل من المسافة بين البؤرتين.

دعونا نشير إلى التركيز بواسطة ف 1و ف 2المسافة بينهما هي 2 ثانيةومعامل الفرق في المسافات من كل نقطة من القطع الزائد إلى البؤر 2 أ. أ-بريوري 2 أ < 2 ثانية، أي. أ < ج.

لاشتقاق معادلة القطع الزائد، نختار نظام الإحداثيات بحيث تكون البؤرتان ف 1و ف 2تقع على المحور، وتزامن الأصل مع منتصف القطعة ف 1 ف 2(انظر الشكل 53). ثم سيكون للبؤر إحداثيات و

اسمحوا أن تكون نقطة تعسفية من القطع الزائد. ثم حسب تعريف القطع الزائد أو أي بعد التبسيط كما حدث عند اشتقاق معادلة القطع الناقص نحصل على معادلة القطع الزائد الكنسي

(11.9)

(11.10)

القطع الزائد هو خط من الدرجة الثانية.

دراسة شكل القطع الزائد باستخدام معادلته

دعونا نحدد شكل القطع الزائد باستخدام معادلته الكونية.

1. المعادلة (11.9) تحتوي على x وy فقط في قوى زوجية. وبالتالي فإن القطع الزائد يكون متماثلاً حول المحاور و كذلك حول النقطة التي تسمى مركز القطع الزائد.

2. أوجد نقاط تقاطع القطع الزائد مع محاور الإحداثيات. وبتعويض المعادلة (11.9) نجد نقطتي تقاطع القطع الزائد مع المحور: و. وبوضع (11.9) نحصل على وهذا لا يمكن أن يكون. لذلك، القطع الزائد لا يتقاطع مع محور أوي.

يتم استدعاء النقاط قمم القطع الزائد، والجزء

المحور الحقيقي ، القطعة المستقيمة - نصف المحور الحقيقي مقارنة مبالغ فيها.

يسمى الجزء الذي يربط النقاط محور وهمي رقم ب - نصف محور وهمي . مستطيل ذو جوانب 2 أو 2بمُسَمًّى المستطيل الأساسي للقطع الزائد .

3. من المعادلة (11.9) يترتب على أن الحد الأدنى لا يقل عن واحد أي ذلك أو . وهذا يعني أن نقاط القطع الزائد تقع على يمين السطر (الفرع الأيمن من القطع الزائد) وعلى يسار السطر (الفرع الأيسر من القطع الزائد).

4. يتضح من المعادلة (11.9) للقطع الزائد أنه إذا زاد فإنه يزيد. وينبع هذا من حقيقة أن الفرق يحتفظ بقيمة ثابتة تساوي واحدًا.

ويترتب على ما سبق أن القطع الزائد له الشكل الموضح في الشكل 54 (منحنى يتكون من فرعين غير محدودين).

الخطوط المقاربة للقطع الزائد

يسمى الخط المستقيم L بالخط المقارب لمنحنى غير محدود K إذا كانت المسافة d من النقطة M للمنحنى K إلى هذا الخط المستقيم تميل إلى الصفر عندما تكون مسافة النقطة M على طول المنحنى K من الأصل غير محدودة. يقدم الشكل 55 توضيحًا لمفهوم الخط المقارب: الخط المستقيم L هو خط مقارب للمنحنى K.

دعونا نبين أن القطع الزائد له خطان مقاربان:

(11.11)

نظرًا لأن الخطوط المستقيمة (11.11) والقطع الزائد (11.9) متماثلتان فيما يتعلق بمحاور الإحداثيات، فيكفي النظر فقط إلى نقاط الخطوط المشار إليها الموجودة في الربع الأول.

لنأخذ نقطة N على خط مستقيم لها نفس الإحداثي السيني x مثل النقطة الموجودة على القطع الزائد (انظر الشكل 56)، وأوجد الفرق ΜΝ بين إحداثيات الخط المستقيم وفرع القطع الزائد:

كما ترون، مع زيادة x، يزداد مقام الكسر؛ البسط هو قيمة ثابتة. وبالتالي طول المقطع ΜΝ يميل إلى الصفر. وبما أن MΝ أكبر من المسافة d من النقطة M إلى الخط، فإن d يميل إلى الصفر. إذن، الخطوط هي الخطوط المقاربة للقطع الزائد (11.9).

عند إنشاء القطع الزائد (11.9) ، يُنصح أولاً ببناء المستطيل الرئيسي للقطع الزائد (انظر الشكل 57) ، ورسم خطوط مستقيمة تمر عبر القمم المقابلة لهذا المستطيل - الخطوط المقاربة للقطع الزائد ووضع علامة على القمم و ، من المبالغة.

معادلة القطع الزائد متساوي الأضلاع.

الخطوط المقاربة هي محاور الإحداثيات

يسمى القطع الزائد (11.9) متساوي الأضلاع إذا كانت أنصاف محاوره تساوي (). معادلتها الكنسية

(11.12)

الخطوط المقاربة للقطع الزائد متساوي الأضلاع لها معادلات، وبالتالي فهي منصفات للزوايا الإحداثية.

لنفكر في معادلة هذا القطع الزائد في نظام إحداثي جديد (انظر الشكل 58)، تم الحصول عليه من النظام القديم عن طريق تدوير محاور الإحداثيات بزاوية. نستخدم الصيغ لتدوير محاور الإحداثيات:

نعوض بقيمتي x و y في المعادلة (11.12):

معادلة القطع الزائد متساوي الأضلاع، والتي يكون فيها محورا Ox وOy خطين مقاربين، سيكون لها الشكل .

مزيد من المعلومات حول المبالغة

الانحراف القطع الزائد (11.9) هو نسبة المسافة بين البؤرتين إلى قيمة المحور الحقيقي للقطع الزائد، ويُشار إليه بـ ε:

نظرًا لأنه بالنسبة للقطع الزائد، فإن انحراف القطع الزائد أكبر من واحد: . الانحراف يميز شكل القطع الزائد. وبالفعل من المساواة (11.10) يترتب على ذلك أي. و .

من هذا يمكن أن نرى أنه كلما كان انحراف القطع الزائد أصغر، كلما كانت نسبة أنصاف محاوره أصغر، وبالتالي كلما زاد استطالة مستطيله الرئيسي.

الانحراف المركزي للقطع الزائد متساوي الأضلاع هو . حقًا،

نصف القطر البؤري و بالنسبة لنقاط الفرع الأيمن، يكون للقطع الزائد الشكل و، وبالنسبة للفرع الأيسر - و .

تسمى الخطوط المباشرة توجيهات القطع الزائد. بما أن القطع الزائد ε > 1، إذن . هذا يعني أن الدليل الأيمن يقع بين المركز والرأس الأيمن للقطع الزائد، واليسار - بين المركز والرأس الأيسر.

إن أدلة القطع الزائد لها نفس خاصية أدلة القطع الناقص.

المنحنى الذي تحدده المعادلة هو أيضًا قطع زائد، حيث يقع المحور الحقيقي 2b على المحور Oy، والمحور التخيلي 2 أ- على محور الثور. ويظهر في الشكل 59 كخط منقط.

من الواضح أن القطع الزائدة لها خطوط مقاربة مشتركة. تسمى هذه القطع الزائدة بالمرافقة.

11.5. القطع المكافئ

معادلة القطع المكافئ الكنسي

القطع المكافئ هو مجموعة جميع نقاط المستوى، كل منها على مسافة متساوية من نقطة معينة تسمى البؤرة، وخط معين يسمى الدليل. المسافة من التركيز F إلى الدليل تسمى معلمة القطع المكافئ ويشار إليها بـ p (p > 0).

لاشتقاق معادلة القطع المكافئ نختار النظام الإحداثي Oxy بحيث يمر محور الثور بالبؤرة F عمودياً على الدليل في الاتجاه من الدليل إلى F، ويكون أصل الإحداثيات O في المنتصف بين الدليل التركيز والدليل (انظر الشكل 60). في النظام المختار، التركيز F له إحداثيات، ومعادلة الدليل لها الشكل أو.
1. في المعادلة (11.13) يظهر المتغير y بدرجة زوجية، مما يعني أن القطع المكافئ متماثل حول محور الثور؛ محور الثور هو محور تناظر القطع المكافئ.

2. منذ ρ > 0، يتبع من (11.13) أن . وبالتالي، يقع القطع المكافئ على يمين محور أوي.

3. عندما يكون لدينا y = 0. لذلك، يمر القطع المكافئ عبر نقطة الأصل.

4. مع زيادة x إلى أجل غير مسمى، تزداد الوحدة y أيضًا إلى أجل غير مسمى. القطع المكافئ له الشكل (الشكل) الموضح في الشكل 61. النقطة O(0; 0) تسمى قمة القطع المكافئ، والقطعة FM = r تسمى نصف القطر البؤري للنقطة M.

المعادلات ، ، ( ع > 0) قم أيضًا بتعريف القطع المكافئة، وهي موضحة في الشكل 62

من السهل إظهار أن الرسم البياني لثلاثية الحدود التربيعية، حيث B وC عبارة عن أرقام حقيقية، هو قطع مكافئ بمعنى تعريفه المذكور أعلاه.

11.6. المعادلة العامة لخطوط الدرجة الثانية

معادلات منحنيات الدرجة الثانية ذات محاور التماثل الموازية لمحاور الإحداثيات

دعونا أولاً نوجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه عند النقطة التي تكون محاور تناظرها موازية لمحوري الإحداثيات Ox وOy وأنصاف المحاور متساوية على التوالي أو ب. دعونا نضع في وسط القطع الناقص O 1 بداية نظام إحداثي جديد، محاوره وأنصاف محاوره أو ب(انظر الشكل 64):

وأخيرًا، القطع المكافئة الموضحة في الشكل 65 لها معادلات مقابلة.

المعادلة

يمكن كتابة معادلات القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ ومعادلة الدائرة بعد التحويلات (بين قوسين مفتوحين، نقل جميع حدود المعادلة إلى جانب واحد، إحضار حدود متشابهة، إدخال رموز جديدة للمعاملات) باستخدام معادلة واحدة من استمارة

حيث لا يساوي المعاملان A وC الصفر في نفس الوقت.

والسؤال الذي يطرح نفسه: هل كل معادلة على الشكل (11.14) تحدد أحد المنحنيات (دائرة، قطع ناقص، قطع زائد، قطع مكافئ) من الدرجة الثانية؟ يتم إعطاء الجواب من خلال النظرية التالية.

نظرية 11.2. تحدد المعادلة (11.14) دائمًا: إما دائرة (لـ A = C)، أو قطع ناقص (لـ A C > 0)، أو قطع زائد (لـ A C)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

معادلة عامة من الدرجة الثانية

لننظر الآن إلى معادلة عامة من الدرجة الثانية ذات مجهولين:

وتختلف عن المعادلة (11.14) بوجود حد حاصل ضرب الإحداثيات (B¹ 0). ومن الممكن، عن طريق تدوير محاور الإحداثيات بزاوية a، تحويل هذه المعادلة بحيث يغيب الحد الذي حاصل ضرب الإحداثيات.

استخدام صيغ دوران المحور

لنعبر عن الإحداثيات القديمة بدلالة الإحداثيات الجديدة:

دعونا نختار الزاوية a بحيث يصبح معامل x" · y" صفراً، أي بحيث تصبح المساواة

وبالتالي، عندما يتم تدوير المحاور بزاوية a التي تحقق الشرط (11.17)، يتم تقليل المعادلة (11.15) إلى المعادلة (11.14).

خاتمة: المعادلة العامة من الدرجة الثانية (11.15) تحدد على المستوى (باستثناء حالات الانحطاط والاضمحلال) المنحنيات التالية: الدائرة، القطع الناقص، القطع الزائد، القطع المكافئ.

ملحوظة: إذا كانت A = C فإن المعادلة (11.17) تصبح بلا معنى. في هذه الحالة، cos2α = 0 (انظر (11.16)) ثم 2α = 90°، أي α = 45°. لذلك، عندما يكون A = C، يجب تدوير نظام الإحداثيات بمقدار 45 درجة.

منحنيات الدرجة الثانيةعلى المستوى عبارة عن خطوط محددة بمعادلات ينسق فيها المتغير سو ذموجودة في الدرجة الثانية . وتشمل هذه القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

الشكل العام لمعادلة منحنى الرتبة الثانية هو كما يلي:

أين أ، ب، ج، د، ه، و- الأرقام وواحد على الأقل من المعاملات أ، ب، جلا يساوي الصفر.

عند حل المسائل ذات المنحنيات من الدرجة الثانية، غالبًا ما يتم أخذ المعادلات الأساسية للقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ في الاعتبار. من السهل الانتقال إليها من المعادلات العامة، وسيتم تخصيص المثال الأول لمشاكل القطع الناقص لهذا الغرض.

القطع الناقص الذي تعطى بواسطة المعادلة الأساسية

تعريف القطع الناقص.القطع الناقص هو مجموعة جميع نقاط المستوى التي يكون فيها مجموع المسافات إلى النقاط التي تسمى البؤر قيمة ثابتة أكبر من المسافة بين البؤرتين.

يتم الإشارة إلى التركيز كما في الشكل أدناه.

المعادلة القانونية للقطع الناقص لها الشكل:

أين أو ب (أ > ب) - أطوال أنصاف المحاور، أي نصف أطوال الأجزاء المقطوعة بالقطع الناقص على محاور الإحداثيات.

الخط المستقيم الذي يمر عبر بؤرتي القطع الناقص هو محور تماثله. محور التماثل الآخر للقطع الناقص هو الخط المستقيم الذي يمر عبر منتصف القطعة المتعامدة مع هذه القطعة. نقطة عنتقاطع هذه الخطوط بمثابة مركز التماثل للقطع الناقص أو ببساطة مركز القطع الناقص.

يتقاطع محور الإحداثي السيني للقطع الناقص عند النقاط ( أ, عن) و (- أ, عن)، والمحور الإحداثي بالنقاط ( ب, عن) و (- ب, عن). وتسمى هذه النقاط الأربع رؤوس القطع الناقص. يُطلق على الجزء الواقع بين رؤوس القطع الناقص على المحور السيني اسم المحور الرئيسي، وعلى المحور الإحداثي - المحور الأصغر. تسمى أجزاءها من أعلى إلى مركز القطع الناقص أنصاف المحاور.

لو أ = بفعندئذ تأخذ معادلة القطع الناقص الشكل . هذه هي معادلة الدائرة التي نصف قطرها أوالدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص. يمكن الحصول على القطع الناقص من دائرة نصف القطر أ، إذا قمت بضغطه أ/بمرات على طول المحور أوي .

مثال 1.تحقق مما إذا كان الخط المعطى بواسطة معادلة عامة ، الشكل البيضاوي.

حل. نقوم بتحويل المعادلة العامة. نستخدم نقل الحد الحر إلى الجانب الأيمن، وتقسيم المعادلة حدًا تلو الآخر على نفس العدد واختزال الكسور:

إجابة. المعادلة التي تم الحصول عليها نتيجة للتحولات هي المعادلة القانونية للقطع الناقص. لذلك، هذا الخط هو القطع الناقص.

مثال 2.قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كان أنصاف محاوره 5 و 4 على التوالي.

حل. نحن ننظر إلى صيغة المعادلة الأساسية للقطع الناقص والبديل: المحور شبه الرئيسي هو أ= 5، المحور شبه الأصغر هو ب= 4 . نحصل على المعادلة القانونية للقطع الناقص:

النقاط و ، المشار إليها باللون الأخضر على المحور الرئيسي، حيث

وتسمى الخدع.

مُسَمًّى الانحرافالشكل البيضاوي.

سلوك ب/أيميز "تفلطح" القطع الناقص. كلما كانت هذه النسبة أصغر، كلما زاد استطالة القطع الناقص على طول المحور الرئيسي. ومع ذلك، يتم التعبير عن درجة استطالة القطع الناقص في كثير من الأحيان من خلال الانحراف، والتي تم ذكر الصيغة أعلاه. بالنسبة للأشكال الناقصية المختلفة، يختلف الانحراف من 0 إلى 1، ويظل دائمًا أقل من الوحدة.

مثال 3.قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كانت المسافة بين البؤرتين 8 والمحور الرئيسي 10.

حل. دعونا نتوصل إلى بعض الاستنتاجات البسيطة:

وإذا كان المحور الأكبر يساوي 10، فإن نصفه، أي نصف المحور أ = 5 ,

إذا كانت المسافة بين البؤرتين 8 فالرقم جالإحداثيات البؤرية تساوي 4.

نعوض ونحسب:

والنتيجة هي المعادلة القانونية للقطع الناقص:

مثال 4.قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كان محوره الرئيسي 26 وانحرافه هو .

حل. وكما يلي من حجم المحور الرئيسي ومعادلة الانحراف، فإن المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص أ= 13. من معادلة الانحراف نعبر عن الرقم ج، اللازمة لحساب طول شبه المحور الصغير:

.

نحسب مربع طول شبه المحور الأصغر:

نحن نؤلف المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

مثال 5.تحديد بؤر القطع الناقص المعطاة بالمعادلة القانونية.

حل. ابحث عن الرقم ج، الذي يحدد الإحداثيات الأولى لبؤر القطع الناقص:

.

نحصل على بؤرة القطع الناقص:

مثال 6.تقع بؤر القطع الناقص على المحور ثوربشكل متناظر حول الأصل. قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا:

1) المسافة بين البؤرتين 30 والمحور الأكبر 34

2) المحور الأصغر 24 وأحد البؤر عند النقطة (-5; 0)

3) الانحراف المركزي، وأحد البؤرتين عند النقطة (6؛ 0)

دعونا نواصل حل مشاكل القطع الناقص معًا

إذا كانت نقطة عشوائية من القطع الناقص (المشار إليها باللون الأخضر في الجزء العلوي الأيمن من القطع الناقص في الرسم) وهي المسافة إلى هذه النقطة من البؤر، فإن صيغ المسافات هي كما يلي:

لكل نقطة تنتمي إلى القطع الناقص، يكون مجموع المسافات من البؤر قيمة ثابتة تساوي 2 أ.

الخطوط المحددة بالمعادلات

وتسمى ناظراتالقطع الناقص (في الرسم توجد خطوط حمراء على طول الحواف).

من المعادلتين أعلاه يترتب على ذلك بالنسبة لأي نقطة من القطع الناقص

,

أين و هي مسافات هذه النقطة إلى الدلائل و .

مثال 7.نظرا للقطع الناقص. اكتب معادلة لمبادئها.

حل. ننظر إلى معادلة الدليل ونجد أننا بحاجة إلى إيجاد الانحراف المركزي للقطع الناقص، أي. لدينا كافة البيانات لهذا الغرض. نحسب:

.

نحصل على معادلة توجيهات القطع الناقص:

مثال 8.قم بتكوين المعادلة الأساسية للقطع الناقص إذا كانت بؤرته نقاطًا ومبادئه خطوطًا.

محاضرات في الجبر والهندسة. الفصل الدراسي 1.
المحاضرة 15. القطع الناقص.
الفصل 15. القطع الناقص.
البند 1. التعاريف الأساسية.
تعريف. القطع الناقص هو GMT للمستوى، ومجموع المسافات إلى نقطتين ثابتتين في المستوى، تسمى البؤرتين، هو قيمة ثابتة.
تعريف. تسمى المسافة من النقطة العشوائية M من المستوى إلى بؤرة القطع الناقص نصف القطر البؤري للنقطة M.
التسميات:
- بؤر القطع الناقص،
- نصف القطر البؤري للنقطة M.
حسب تعريف القطع الناقص، النقطة M هي نقطة القطع الناقص إذا وفقط إذا
- قيمة ثابتة. يُشار إلى هذا الثابت عادةً بالرمز 2a:
. (1)
لاحظ أن
.
حسب تعريف القطع الناقص، فإن بؤرته عبارة عن نقاط ثابتة، وبالتالي فإن المسافة بينهما هي أيضًا قيمة ثابتة لقطع ناقص معين.
تعريف. المسافة بين بؤرتي الشكل الناقص تسمى البعد البؤري.
تعيين:
.
من مثلث
يتبع ذلك
، أي.
.
دعونا نشير بواسطة ب إلى الرقم الذي يساوي
، أي.
. (2)
تعريف. سلوك
(3)
يسمى الانحراف المركزي للقطع الناقص.
دعونا نقدم نظامًا إحداثيًا على هذا المستوى، والذي سنسميه النظام الأساسي للقطع الناقص.
تعريف. يسمى المحور الذي تقع عليه بؤر القطع الناقص بالمحور البؤري.
لنقم بإنشاء PDSC أساسي للقطع الناقص، انظر الشكل 2.
نختار المحور البؤري كمحور الإحداثي، ونرسم المحور الإحداثي عبر منتصف القطعة
عمودي على المحور البؤري.
ثم البؤر لها إحداثيات
,
.
البند 2. المعادلة الكنسية للقطع الناقص.
نظرية. في نظام الإحداثيات المتعارف عليه للقطع الناقص، تكون معادلة القطع الناقص بالشكل:
. (4)
دليل. نقوم بتنفيذ الإثبات على مرحلتين. في المرحلة الأولى، سنثبت أن إحداثيات أي نقطة تقع على القطع الناقص تحقق المعادلة (4). في المرحلة الثانية سنثبت أن أي حل للمعادلة (4) يعطي إحداثيات نقطة تقع على القطع الناقص. من هنا سيتبع أن المعادلة (4) يتم تحقيقها بواسطة تلك النقاط فقط من المستوى الإحداثي التي تقع على القطع الناقص. ومن هذا ومن تعريف معادلة المنحنى يتبين أن المعادلة (4) هي معادلة القطع الناقص.
1) اجعل النقطة M(x, y) نقطة من القطع الناقص، أي. مجموع نصف القطر البؤري هو 2a:
.
دعونا نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي ونستخدم هذه الصيغة للعثور على نصف القطر البؤري لنقطة معينة M:
,
، من حيث نحصل على:
دعنا ننقل جذرًا واحدًا إلى الجانب الأيمن من المساواة ونقوم بتربيعه:
بالتصغير نحصل على:
نقدم مثيلاتها ونخفضها بمقدار 4 ونزيل الجذر:
.
التربيع
افتح الأقواس واختصرها
:
حيث نحصل على:
وباستخدام المساواة (2) نحصل على:
.
قسمة المساواة الأخيرة على
نحصل على المساواة (4) الخ.
2) دع الآن زوجًا من الأرقام (x، y) يحقق المعادلة (4) ودع M(x، y) تكون النقطة المقابلة على المستوى الإحداثي Oxy.
ثم من (4) يأتي ما يلي:
.
نستبدل هذه المساواة في التعبير عن نصف القطر البؤري للنقطة M:
.
استخدمنا هنا المساواة (2) و (3).
هكذا،
. على نفس المنوال،
.
والآن لاحظ أنه من المساواة (4) يتبع ذلك
أو
إلخ.
، فإن عدم المساواة يلي:
.
ومن هنا يتبع ذلك بدوره
أو
و
,
. (5)
ومن التساوي (5) ينتج ذلك
، أي. النقطة M(x,y) هي نقطة القطع الناقص، وما إلى ذلك.
لقد تم إثبات النظرية.
تعريف. المعادلة (4) تسمى المعادلة القانونية للقطع الناقص.
تعريف. تسمى محاور الإحداثيات الأساسية للقطع الناقص بالمحاور الرئيسية للقطع الناقص.
تعريف. يُطلق على أصل نظام الإحداثيات القانوني للقطع الناقص مركز القطع الناقص.
البند 3. خصائص القطع الناقص.
نظرية. (خصائص القطع الناقص.)
1. في نظام الإحداثيات المتعارف عليه للقطع الناقص، كل شيء
نقاط القطع الناقص تقع في المستطيل
,
.
2. النقاط تكمن
3. القطع الناقص هو منحنى متماثل بالنسبة إلى
محاورهم الرئيسية.
4. مركز القطع الناقص هو مركز التماثل.
دليل. 1، 2) يتبع مباشرة من المعادلة القانونية للقطع الناقص.
3, 4) اجعل M(x, y) نقطة عشوائية في القطع الناقص. ثم تحقق إحداثياتها المعادلة (4). لكن إحداثيات النقاط تحقق أيضًا المعادلة (4)، وبالتالي فهي نقاط القطع الناقص، والتي تتبع منها بيانات النظرية.
لقد تم إثبات النظرية.
تعريف. الكمية 2a تسمى المحور الرئيسي للقطع الناقص، والكمية a تسمى المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص.
تعريف. الكمية 2b تسمى المحور الأصغر للقطع الناقص، والكمية b تسمى المحور شبه الأصغر للقطع الناقص.
تعريف. تسمى نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاوره الرئيسية رؤوس القطع الناقص.
تعليق. يمكن بناء القطع الناقص على النحو التالي. على المستوى، "ندق مسمارًا في نقاط التركيز" ونربطها بطول الخيط
. ثم نأخذ قلم رصاص ونستخدمه لشد الخيط. ثم نقوم بتحريك قلم الرصاص على طول المستوى، مع التأكد من أن الخيط مشدود.
من تعريف الانحراف يتبع ذلك
دعونا نثبت الرقم أ ونوجه الرقم ج إلى الصفر. ثم في
,
و
. في الحد الذي نحصل عليه
أو
- معادلة الدائرة.
دعونا الآن نوجه
. ثم
,
ونلاحظ أن القطع الناقص في النهاية يتحول إلى قطعة مستقيمة
في تدوين الشكل 3.
البند 4. المعادلات البارامترية للقطع الناقص.
نظرية. يترك
- الأعداد الحقيقية التعسفية. ثم نظام المعادلات
,
(6)
هي معادلات حدودية للقطع الناقص في نظام الإحداثيات المتعارف عليه للقطع الناقص.
دليل. ويكفي إثبات أن نظام المعادلات (6) يعادل المعادلة (4) أي. لديهم نفس مجموعة الحلول.
1) ليكن (x, y) حلاً اعتباطيًا للنظام (6). قسّم المعادلة الأولى على أ، والثانية على ب، وقم بتربيع المعادلتين وأضف:
.
أولئك. أي حل (x، y) للنظام (6) يحقق المعادلة (4).
2) بالعكس ليكن الزوج (x,y) حلاً للمعادلة (4) أي.
.
ومن هذه المساواة يترتب على النقطة ذات الإحداثيات
تقع على دائرة وحدة نصف القطر ومركزها نقطة الأصل، أي. هي نقطة على دائرة مثلثية تقابلها زاوية معينة
:
من تعريف الجيب وجيب التمام يتبع ذلك مباشرة
,
، أين
، ويترتب على ذلك أن الزوج (x، y) هو حل للنظام (6)، الخ.
لقد تم إثبات النظرية.
تعليق. يمكن الحصول على القطع الناقص نتيجة "الضغط" الموحد لدائرة نصف قطرها a باتجاه محور الإحداثي السيني.
يترك
- معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل. "ضغط" الدائرة على محور الإحداثي ليس أكثر من تحويل للمستوى الإحداثي يتم وفقًا للقاعدة التالية. لكل نقطة M(x,y) نربط نقطة على نفس المستوى
، أين
,
- نسبة الضغط.
مع هذا التحويل، "تنتقل" كل نقطة في الدائرة إلى نقطة أخرى على المستوى، والتي لها نفس الإحداثي الإحداثي، ولكن بإحداثيات أصغر. دعنا نعبر عن الإحداثي القديم لنقطة ما من خلال الإحداثي الجديد:
واستبدال الدوائر في المعادلة:
.
ومن هنا نحصل على:
. (7)
ويترتب على ذلك أنه إذا كانت النقطة M(x، y) تقع على الدائرة قبل تحويل "الضغط" ، أي. حققت إحداثياتها معادلة الدائرة، ثم بعد تحويل "الضغط" "تحولت" هذه النقطة إلى نقطة
، التي تحقق إحداثياتها معادلة القطع الناقص (7). إذا أردنا الحصول على معادلة القطع الناقص مع المحور شبه الأصغر، فإننا نحتاج إلى أخذ عامل الضغط
.
البند 5. الظل إلى القطع الناقص.
نظرية. يترك
- النقطة التعسفية للقطع الناقص
.
ثم معادلة المماس لهذا القطع الناقص عند النقطة
لديه النموذج:
. (8)
دليل. يكفي النظر في الحالة التي تقع فيها نقطة التماس في الربع الأول أو الثاني من المستوى الإحداثي:
. معادلة القطع الناقص في النصف العلوي من المستوى لها الشكل:
. (9)
دعونا نستخدم معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة
عند هذه النقطة
:
أين
- قيمة مشتق دالة معينة عند نقطة ما
. يمكن اعتبار القطع الناقص في الربع الأول بمثابة رسم بياني للدالة (8). لنجد مشتقتها وقيمتها عند نقطة التماس:
,
. هنا استفدنا من حقيقة أن نقطة الظل
هي نقطة من القطع الناقص وبالتالي فإن إحداثياتها تلبي معادلة القطع الناقص (9)، أي.
.
نعوض بالقيمة الموجودة للمشتق في معادلة الظل (10):
,
حيث نحصل على:
هذا يعني:
دعونا نقسم هذه المساواة على
:
.
يبقى أن نلاحظ ذلك
، لأن نقطة
ينتمي إلى القطع الناقص وإحداثياته تحقق معادلته.
يتم إثبات معادلة الظل (8) بطريقة مماثلة عند نقطة التماس الواقعة في الربع الثالث أو الرابع من المستوى الإحداثي.
وأخيرًا، يمكننا بسهولة التحقق من أن المعادلة (8) تعطي معادلة الظل عند النقاط
,
:
أو
، و
أو
.
لقد تم إثبات النظرية.
البند 6. خاصية مرآة القطع الناقص.
نظرية. المماس للقطع الناقص له زوايا متساوية مع نصف القطر البؤري لنقطة التماس.
يترك
- نقطة الاتصال،
,
- نصف القطر البؤري لنقطة الظل، P وQ - إسقاطات البؤر على المماس المرسوم على القطع الناقص عند هذه النقطة
.
تنص النظرية على ذلك
. (11)
يمكن تفسير هذه المساواة على أنها تساوي زوايا السقوط وانعكاس شعاع الضوء من القطع الناقص المنطلق من بؤرته. تسمى هذه الخاصية خاصية المرآة للقطع الناقص:
شعاع الضوء المنطلق من بؤرة القطع الناقص، بعد انعكاسه من مرآة القطع الناقص، يمر عبر بؤرة أخرى للقطع الناقص.
إثبات النظرية. لإثبات تساوي الزوايا (11)، نثبت تشابه المثلثات
و
، فيها الأطراف
و
سوف تكون مماثلة. وبما أن المثلثين قائما الزاوية، فهذا يكفي لإثبات المساواة

شارك على الشبكات الاجتماعية: