يسمى نظام المعادلات الخطية إذا محددًا. حل أنظمة المعادلات الخطية. أنظمة غير متوافقة. أنظمة مع الحل العام. حلول خاصة

ومع ذلك، في الممارسة العملية هناك حالتان أخريان منتشرتان على نطاق واسع:

- النظام غير متناسق (ليس له حلول)؛
– النظام متسق وله عدد لا نهائي من الحلول.

ملحوظة : يشير مصطلح "الاتساق" إلى أن النظام لديه على الأقل بعض الحلول. في عدد من المشاكل، من الضروري أولا فحص النظام من أجل التوافق، وكيفية القيام بذلك، راجع المقالة رتبة المصفوفات.

بالنسبة لهذه الأنظمة، يتم استخدام طرق الحل الأكثر عالمية - طريقة غاوسية. في الواقع، ستؤدي الطريقة "المدرسة" أيضًا إلى الإجابة، ولكن من المعتاد في الرياضيات العليا استخدام الطريقة الغوسية للتخلص المتسلسل من المجهول. أولئك الذين ليسوا على دراية بخوارزمية الطريقة الغوسية، يرجى دراسة الدرس أولاً طريقة غاوس للدمى.

تحويلات المصفوفة الأولية نفسها هي نفسها تمامًا، سيكون الفرق في نهاية الحل. أولاً، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة عندما لا يكون لدى النظام حلول (غير متناسقة).

مثال 1

ما الذي يلفت انتباهك على الفور حول هذا النظام؟ عدد المعادلات أقل من عدد المتغيرات. إذا كان عدد المعادلات أقل من عدد المتغيراتيمكننا أن نقول على الفور أن النظام إما غير متناسق أو لديه عدد لا نهائي من الحلول. وكل ما تبقى هو معرفة ذلك.

بداية الحل عادية تمامًا - نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية:

(1) في الخطوة العلوية اليسرى نحتاج إلى الحصول على +1 أو -1. لا توجد مثل هذه الأرقام في العمود الأول، لذا فإن إعادة ترتيب الصفوف لن يعطي أي شيء. يجب على الوحدة أن تنظم نفسها، ويمكن القيام بذلك بعدة طرق. فعلت هذا: نضيف إلى السطر الأول السطر الثالث، مضروبًا في -1.

(2) الآن نحصل على صفرين في العمود الأول. إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول مضروبًا في 3. وإلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في 5.

(3) بعد اكتمال التحويل، يُنصح دائمًا بمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط السلاسل الناتجة؟ يستطيع. نقسم السطر الثاني على 2، وفي نفس الوقت نحصل على -1 المطلوب في الخطوة الثانية. اقسم السطر الثالث على -3.

(٤) أضف السطر الثاني إلى السطر الثالث.

ربما لاحظ الجميع الخط السيئ الناتج عن التحولات الأولية: . ومن الواضح أن هذا لا يمكن أن يكون كذلك. في الواقع، دعونا نعيد كتابة المصفوفة الناتجة العودة إلى نظام المعادلات الخطية:

إذا تم الحصول، نتيجة للتحويلات الأولية، على سلسلة من النموذج، حيث يوجد رقم غير الصفر، فإن النظام غير متناسق (ليس له حلول).

كيف تكتب نهاية المهمة؟ لنرسم بالطباشير الأبيض: "نتيجة للتحولات الأولية، يتم الحصول على سلسلة من النموذج حيث" ونعطي الإجابة: النظام ليس لديه حلول (غير متناسق).

إذا كان من الضروري، وفقًا للشرط، البحث في النظام من أجل التوافق، فمن الضروري إضفاء الطابع الرسمي على الحل بأسلوب أكثر صلابة باستخدام المفهوم رتبة المصفوفة ونظرية كرونيكر-كابيلي.

يرجى ملاحظة أنه لا يوجد أي عكس للخوارزمية الغوسية هنا - لا توجد حلول ولا يوجد شيء يمكن العثور عليه.

مثال 2

حل نظام المعادلات الخطية

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. أذكرك مرة أخرى أن الحل الخاص بك قد يختلف عن الحل الذي قدمته، فالخوارزمية الغوسية لا تتمتع بـ "صلابة" قوية.

ميزة فنية أخرى للحل: يمكن إيقاف التحولات الأولية ذات مرة، بمجرد سطر مثل ، أين . لنفكر في مثال شرطي: لنفترض أنه بعد التحويل الأول تم الحصول على المصفوفة . لم يتم تخفيض المصفوفة بعد إلى شكل المستوى، ولكن ليست هناك حاجة لمزيد من التحولات الأولية، حيث ظهر خط من النموذج، حيث . يجب إعطاء الإجابة على الفور بأن النظام غير متوافق.

عندما لا يكون هناك حلول لنظام المعادلات الخطية، فهذه هدية تقريبًا، نظرًا لحقيقة أنه يتم الحصول على حل قصير، أحيانًا حرفيًا في 2-3 خطوات.

لكن كل شيء في هذا العالم متوازن، والمشكلة التي يكون للنظام فيها عدد لا نهائي من الحلول هي مشكلة أطول.

مثال 3

حل نظام المعادلات الخطية

هناك 4 معادلات و4 مجاهيل، وبالتالي يمكن للنظام أن يكون له حل واحد، أو ليس له حلول، أو أن يكون له عدد لا نهائي من الحلول. مهما كان الأمر، فإن الطريقة الغوسية ستقودنا على أية حال إلى الإجابة. هذا هو تنوعها.

البداية قياسية مرة أخرى. دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية:

هذا كل شيء، وكنت خائفا.

(1) يرجى ملاحظة أن جميع الأرقام الموجودة في العمود الأول قابلة للقسمة على 2، لذا فإن الرقم 2 مناسب في الخطوة العلوية اليسرى. إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول مضروبًا في -4. إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في -2. إلى السطر الرابع نضيف السطر الأول مضروبًا في -1.

انتباه!قد ينجذب الكثيرون إلى السطر الرابع طرح او خصمالسطر الأول. من الممكن القيام بذلك، ولكن ليس من الضروري، تظهر التجربة أن احتمال الخطأ في الحسابات يزيد عدة مرات. فقط أضف: إلى السطر الرابع أضف السطر الأول مضروبًا في –1 – بالضبط!

(2) الأسطر الثلاثة الأخيرة متناسبة، ويمكن حذف اثنين منها.

هنا مرة أخرى نحتاج أن نظهر زيادة الاهتمامولكن هل الخطوط متناسبة حقًا؟ لكي تكون في الجانب الآمن (خاصة بالنسبة لإبريق الشاي)، سيكون من الجيد ضرب السطر الثاني في -1، وتقسيم السطر الرابع على 2، مما ينتج عنه ثلاثة أسطر متطابقة. وفقط بعد ذلك قم بإزالة اثنين منهم.

نتيجة للتحولات الأولية، يتم تقليل المصفوفة الموسعة للنظام إلى شكل تدريجي:

عند كتابة مهمة في دفتر ملاحظات، يُنصح بتدوين نفس الملاحظات بالقلم الرصاص من أجل الوضوح.

دعونا نعيد كتابة نظام المعادلات المقابل:

لا توجد رائحة حل واحد "عادي" للنظام هنا. لا يوجد خط سيء سواء. وهذا يعني أن هذه هي الحالة الثالثة المتبقية - فالنظام لديه عدد لا نهائي من الحلول. في بعض الأحيان، حسب الشرط، من الضروري التحقق من توافق النظام (أي إثبات وجود حل على الإطلاق)، يمكنك أن تقرأ عن ذلك في الفقرة الأخيرة من المقال كيفية العثور على رتبة المصفوفة؟لكن الآن دعونا نتناول الأساسيات:

تتم كتابة مجموعة لا حصر لها من الحلول للنظام لفترة وجيزة في شكل ما يسمى الحل العام للنظام .

نجد الحل العام للنظام باستخدام معكوس الطريقة الغوسية.

أولا نحن بحاجة إلى تحديد ما هي المتغيرات لدينا أساسي، وما المتغيرات حر. ليس عليك أن تزعج نفسك بمصطلحات الجبر الخطي، فقط تذكر أن هناك مثل هذه المصطلحات المتغيرات الأساسيةو المتغيرات الحرة.

المتغيرات الأساسية دائمًا "تجلس" بشكل صارم على خطوات المصفوفة.
في هذا المثال، المتغيرات الأساسية هي و

المتغيرات الحرة هي كل شيء متبقيالمتغيرات التي لم تتلق خطوة. في حالتنا هناك اثنان منهم: - المتغيرات الحرة.

الآن أنت بحاجة الجميع المتغيرات الأساسيةيعبر فقط من خلال المتغيرات الحرة.

يعمل عكس الخوارزمية الغوسية تقليديًا من الأسفل إلى الأعلى.
ومن المعادلة الثانية للنظام نعبر عن المتغير الأساسي :

انظر الآن إلى المعادلة الأولى: . أولاً نستبدل التعبير الموجود به:

ويبقى التعبير عن المتغير الأساسي بدلالة المتغيرات الحرة:

وفي النهاية حصلنا على ما نحتاجه.. الجميعيتم التعبير عن المتغيرات الأساسية ( و ) فقط من خلالالمتغيرات الحرة:

في الواقع الحل العام جاهز:

كيف تكتب الحل العام بشكل صحيح؟
تتم كتابة المتغيرات الحرة في الحل العام "بنفسها" وبشكل صارم في أماكنها. وفي هذه الحالة يجب كتابة المتغيرات الحرة في الموضعين الثاني والرابع:
.

التعبيرات الناتجة للمتغيرات الأساسية ومن الواضح أنه يجب كتابته في المركزين الأول والثالث:

إعطاء المتغيرات الحرة القيم التعسفية، يمكنك العثور على عدد لا نهائي من الأشياء حلول خاصة. القيم الأكثر شيوعًا هي الأصفار، نظرًا لأن الحل المعين هو الأسهل في الحصول عليه. دعنا نعوض في الحل العام:

– الحل الخاص .

الزوج الجميل الآخر هو الآحاد، فلنعوض بهما في الحل العام:

- حل خاص آخر.

من السهل أن نرى أن نظام المعادلات موجود العديد من الحلول لا حصر لها(نظرًا لأنه يمكننا إعطاء متغيرات مجانية أيقيم)

كليجب أن يرضي الحل المعين لكلمعادلة النظام. هذا هو الأساس للتحقق "السريع" من صحة الحل. خذ على سبيل المثال حلاً معينًا واستبدله في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام الأصلي:

كل شيء يجب أن يأتي معا. ومع أي حل معين تتلقاه، يجب أن يتفق الجميع أيضًا.

ولكن، بالمعنى الدقيق للكلمة، التحقق من حل معين يكون خادعًا في بعض الأحيان، أي. قد يكون هناك حل معين يرضي كل معادلة من معادلة النظام، ولكن تم العثور على الحل العام نفسه بشكل غير صحيح.

ولذلك، فإن التحقق من الحل العام أكثر شمولاً وموثوقية. كيفية التحقق من الحل العام الناتج ?

إنها ليست صعبة، ولكنها مملة للغاية. نحن بحاجة إلى اتخاذ التعبيرات أساسيالمتغيرات في هذه الحالة و، واستبدلهما في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام.

إلى الجانب الأيسر من المعادلة الأولى للنظام:

إلى الجانب الأيسر من المعادلة الثانية للنظام:


يتم الحصول على الجانب الأيمن من المعادلة الأصلية.

مثال 4

حل النظام باستخدام الطريقة الغوسية. أوجد الحل العام وحلين خاصين. تحقق من الحل العام.

هذا مثال لك لحله بنفسك. هنا، بالمناسبة، مرة أخرى، عدد المعادلات أقل من عدد المجهولين، مما يعني أنه من الواضح على الفور أن النظام إما أن يكون غير متسق أو لديه عدد لا حصر له من الحلول. ما هو المهم في عملية اتخاذ القرار نفسها؟ الاهتمام، والاهتمام مرة أخرى. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

وبعض الأمثلة الأخرى لتعزيز المادة

مثال 5

حل نظام المعادلات الخطية. إذا كان النظام يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول، فابحث عن حلين محددين وتحقق من الحل العام

حل: دعنا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام ونحولها إلى شكل تدريجي باستخدام التحويلات الأولية:

(١) أضف السطر الأول إلى السطر الثاني. إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في 2. إلى السطر الرابع نضيف السطر الأول مضروبًا في 3.
(2) نضيف إلى السطر الثالث السطر الثاني مضروبًا في -5. إلى السطر الرابع نضيف السطر الثاني مضروبًا في -7.
(3) السطر الثالث والرابع متماثلان، نحذف أحدهما.

هذا هو مثل هذا الجمال:

المتغيرات الأساسية تقع على الخطوات، وبالتالي - المتغيرات الأساسية.
يوجد متغير حر واحد فقط لم يحصل على خطوة:

يعكس:
دعنا نعبر عن المتغيرات الأساسية من خلال متغير حر:
من المعادلة الثالثة :

لنفكر في المعادلة الثانية ونستبدل التعبير الموجود بها:

لننظر إلى المعادلة الأولى ونستبدل التعبيرات الموجودة بها:

نعم، الآلة الحاسبة التي تحسب الكسور العادية لا تزال مريحة.

إذن الحل العام هو:

مرة أخرى، كيف أصبح الأمر؟ ويحتل المتغير الحر وحده المركز الرابع الصحيح. كما أخذت التعبيرات الناتجة للمتغيرات الأساسية أماكنها الترتيبية.

دعونا نتحقق على الفور من الحل العام. الوظيفة مخصصة للسود، لكنني قمت بها بالفعل، لذا احصل عليها =)

نعوض بثلاثة أبطال , , في الجانب الأيسر من كل معادلة في النظام:

تم الحصول على الأطراف اليمنى المقابلة للمعادلات، وبالتالي تم العثور على الحل العام بشكل صحيح.

الآن من الحل العام الموجود نحصل على حلين معينين. المتغير الحر الوحيد هنا هو الشيف. لا حاجة لرف عقلك.

فليكن بعد ذلك – الحل الخاص .
فليكن إذن حلاً محددًا آخر.

إجابة: القرار المشترك: ,الحلول الخاصة: , .

لم يكن علي أن أتذكر السود... ...لأن كل أنواع الدوافع السادية خطرت في ذهني وتذكرت برنامج الفوتوشوب الشهير الذي كان فيه رجال كو كلوكس كلانس يرتدون أردية بيضاء يركضون عبر الملعب خلف لاعب كرة قدم أسود. أجلس وأبتسم بهدوء. أنت تعرف مدى تشتيت الانتباه ...

الكثير من الرياضيات ضارة، لذلك مثال أخير مماثل لحلها بنفسك.

مثال 6

أوجد الحل العام لنظام المعادلات الخطية.

لقد قمت بالفعل بفحص الحل العام، ويمكن الوثوق بالإجابة. قد يختلف حلك عن حلّي، الشيء الرئيسي هو أن الحلول العامة تتطابق.

ربما لاحظ الكثير من الناس لحظة غير سارة في الحلول: في كثير من الأحيان، خلال المسار العكسي للطريقة الغوسية، كان علينا العبث بالكسور العادية. من الناحية العملية، هذا هو الحال بالفعل، فالحالات التي لا توجد فيها كسور هي أقل شيوعًا. كن مستعدًا ذهنيًا، والأهم من ذلك، فنيًا.

سأتناول بعض ميزات الحل التي لم يتم العثور عليها في الأمثلة التي تم حلها.

الحل العام للنظام قد يتضمن في بعض الأحيان ثابت (أو ثوابت)، على سبيل المثال: . هنا أحد المتغيرات الأساسية يساوي رقمًا ثابتًا: . لا يوجد شيء غريب في هذا، فهو يحدث. من الواضح، في هذه الحالة، أن أي حل محدد سيحتوي على خمسة في الموضع الأول.

نادرا، ولكن هناك أنظمة فيها عدد المعادلات أكبر من عدد المتغيرات. تعمل الطريقة الغوسية في أشد الظروف قسوة، وينبغي للمرء أن يقلل بهدوء المصفوفة الموسعة للنظام إلى شكل تدريجي باستخدام خوارزمية قياسية. قد يكون مثل هذا النظام غير متسق، وقد يكون له عدد لا نهائي من الحلول، ومن الغريب أنه قد يكون له حل واحد.

القسم 5. عناصر الجبر الخطي

أنظمة المعادلات الخطية

مفاهيم أساسية

نظام المعادلات الجبرية الخطية،تحتوي تالمعادلات و صالمجهولون يسمى نظام النموذج

أين الأرقام أ اي جاي , أنا=
, ي=وتسمى معاملاتالأنظمة والأرقام ب أنا - أعضاء أحرار.أرقام يمكن العثور عليها X ص .

من الملائم كتابة مثل هذا النظام في شكل مضغوط شكل مصفوفة
.

هنا A هي مصفوفة معاملات النظام، تسمى المصفوفة الرئيسية:

,

– ناقل العمود للمجهول X ي , - ناقل العمود للمصطلحات المجانية ب أنا .

موسعمصفوفة النظام تسمى المصفوفة نظام يكمله عمود من الأعضاء الأحرار

.

بالقراريسمى النظام صقيم غير معروفة X 1 =ج 1 ، اكس 2 =ج 2 ، ...، اكس ص =ج ص , عند الاستبدال، تتحول جميع معادلات النظام إلى معادلات حقيقية. يمكن كتابة أي حل للنظام كمصفوفة عمود .

يسمى نظام المعادلات مشترك، إذا كان لديه حل واحد على الأقل، و غير مشترك، إذا لم يكن لها حل واحد.

يسمى النظام المشترك تأكيد، إذا كان لديه حل فريد، و غير مؤكد، إذا كان له أكثر من حل. وفي الحالة الأخيرة، يتم استدعاء كل من حلولها حل خاصأنظمة. مجموعة كل الحلول الخاصة تسمى الحل العام.

حل النظام –وهذا يعني معرفة ما إذا كان متوافقًا أم غير متوافق. إذا كان النظام متسقًا، فابحث عن الحل العام له.

ويطلق على النظامين مقابل(مكافئ) إذا كان لديهم نفس الحل العام. بمعنى آخر، تكون الأنظمة متكافئة إذا كان كل حل لأحدها هو حل للآخر، والعكس صحيح.

يتم الحصول على أنظمة مكافئة، على وجه الخصوص، عندما التحولات الأوليةالنظام، بشرط أن تتم التحويلات فقط على صفوف المصفوفة.

يسمى نظام المعادلات الخطية متجانس، إذا كانت جميع الشروط المجانية تساوي صفرًا:

النظام المتجانس دائمًا ما يكون ثابتًا، منذ ذلك الحين X 1 =س 2 =…=س ص =0 هو الحل للنظام. ويسمى هذا الحل صفرأو تافه.

حل أنظمة المعادلات الخطية

دع النظام التعسفي يعطى تالمعادلات الخطية مع صمجهول

النظرية 1(كرونيكر كابيلي). يكون نظام المعادلات الجبرية الخطية ثابتًا إذا وفقط إذا كانت رتبة المصفوفة الموسعة مساوية لرتبة المصفوفة الرئيسية.

النظرية 2.إذا كانت رتبة النظام المشترك تساوي عدد المجهولات فإن النظام له حل فريد.

النظرية 3.إذا كانت رتبة النظام الثابت أقل من عدد المجهولات فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.

مثال فحص النظام للتوافق

حل.
,ص(أ)=1;
, ص()=2,
.

هكذا، ص(أ) ص()، وبالتالي فإن النظام غير متناسق.

حل الأنظمة غير المنحلة للمعادلات الخطية. صيغ كريمر

دع النظام يعطى صالمعادلات الخطية مع صمجهول

أو في شكل مصفوفة A∙X=B.

المصفوفة الرئيسية A لمثل هذا النظام هي مربعة. يسمى محدد هذه المصفوفة محدد النظام. إذا كان محدد النظام يختلف عن الصفر، يتم استدعاء النظام غير منحط.

دعونا نجد حلاً لنظام المعادلات هذا في حالة ∆0. بضرب طرفي المعادلة A∙X=B على اليسار في المصفوفة A  1، نحصل على A  1 ∙ A∙X= A  1 ∙B. بما أن A  1 ∙ A=E و E∙X=X، فإن X= A  1 ∙ B. تسمى هذه الطريقة لحل النظام مصفوفة.

من طريقة المصفوفة يتبع صيغ كريمر
، حيث ∆ هو المحدد للمصفوفة الرئيسية للنظام، و ∆ أناهو المحدد الذي تم الحصول عليه من المحدد ∆ بالاستبدال أناالعمود العاشر من المعاملات هو عمود من المصطلحات الحرة.

مثال حل النظام

حل.
، 70،
,
. وسائل، X 1 =، اكس 2 =
.

حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام طريقة غاوس

تتكون الطريقة الغوسية من الحذف المتسلسل للمجهول.

دعونا نعطي نظام المعادلات

تتكون عملية الحل الغوسي من مرحلتين. في المرحلة الأولى (الحركة المباشرة)، يتم إحضار النظام إلى خطوة بخطوة(بخاصة، الثلاثي) عقل.

أين ك≥ ن، أ ثانيا  0, أنا= . احتمال أ ثانياوتسمى رئيسيعناصر النظام.

وفي المرحلة الثانية (العكوسية) يتم تحديد المجهولات بشكل تسلسلي من هذا النظام المتدرج.

ملحوظات:

إذا تبين أن النظام التدريجي هو الثلاثي، أي. ك= ن، فالنظام الأصلي لديه حل فريد. من المعادلة الأخيرة نجد X ص , من المعادلة قبل الأخيرة نجد X ص  1 , وبعد ذلك، بالذهاب إلى أعلى النظام، سنجد جميع الأشياء المجهولة الأخرى.

في الممارسة العملية، يكون العمل مع المصفوفة الممتدة للنظام أكثر ملاءمة، وإجراء جميع التحولات الأولية على صفوفه. ومن المريح أن المعامل أ 11 كان يساوي 1 (أعد ترتيب المعادلات أو قسم على أ 11 1).

مثال حل النظام باستخدام الطريقة الغوسية

حل. نتيجة للتحولات الأولية على المصفوفة الموسعة للنظام

~
~
~

~

تم تخفيض النظام الأصلي إلى نظام تدريجي:

وبالتالي فإن الحل العام للنظام هو: س 2 =5 س 4  13 س 3  3; س 1 =5 س 4  8 س 3  1.

فإذا وضعنا مثلا X 3 =س 4 =0, ثم سنجد أحد الحلول الخاصة بهذا النظام X 1 =  1، س 2 =  3، س 3 =0، س 4 =0.

أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة

دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية المتجانسة

من الواضح أن النظام المتجانس دائمًا ما يكون ثابتًا، وله حل صفري (تافه).

النظرية 4.لكي يكون لنظام المعادلات المتجانسة حل غير الصفر، من الضروري والكافي أن تكون رتبة مصفوفته الرئيسية أقل من عدد المجهولات، أي. ص< ن.

النظرية 5.من أجل نظام متجانس صالمعادلات الخطية مع صالمجهولات لها حل غير الصفر، فمن الضروري والكافي أن يكون محدد مصفوفتها الرئيسية مساوياً للصفر، أي. ∆=0.

إذا كان النظام يحتوي على حلول غير الصفر، فإن ∆=0.

مثال حل النظام

حل.
,ص(أ)=2
, ن = 3.لأن ص< ن, ومن ثم يكون لدى النظام عدد لا نهائي من الحلول.

,
. إنه، X 1 ==2x 3 ، اكس 2 ==3x 3 - قرار مشترك.

وضع X 3 =0, نحصل على حل واحد معين: X 1 =0، س 2 =0، س 3 =0. وضع X 3 =1, نحصل على الحل الثاني المحدد: X 1 =2، س 2 =3، س 3 =1 إلخ.

أسئلة للسيطرة

ما هو نظام المعادلات الجبرية الخطية؟

اشرح المفاهيم التالية: المعامل، الحد الوهمي، المصفوفات الأساسية والموسعة.

ما هي أنواع أنظمة المعادلات الخطية؟ اذكر نظرية كرونكر-كابيلي (حول توافق نظام المعادلات الخطية).

قائمة وشرح طرق حل أنظمة المعادلات الخطية.

تعريف.نظام متتم كتابة المعادلات ذات المجهول n بشكل عام على النحو التالي:

أين آي جيهي المعاملات، و ب ط- دائم.

حلول النظام هي نالأرقام التي، عند استبدالها في النظام، تحول كل من معادلاته إلى هوية.

تعريف.إذا كان للنظام حل واحد على الأقل، فإنه يسمى مشترك. إذا لم يكن للنظام حل واحد، فإنه يسمى غير متناسق.

تعريف.يسمى النظام محددًا إذا كان له حل واحد فقط ويسمى غير محدد إذا كان له أكثر من حل.

تعريف.لنظام المعادلات الخطية المصفوفة

أ = ويسمى مصفوفة النظام، والمصفوفة

أ * = تسمى المصفوفة الموسعة للنظام

تعريف.لو ب 1 , ب 2 , …,ب م = 0، ثم يسمى النظام متجانس. تعليق.النظام المتجانس يكون دائمًا متسقًا، لأنه دائما لديه الحل صفر.

التحولات الأولية للأنظمة.

1. إضافة إلى طرفي معادلة واحدة الأجزاء المقابلة من الأخرى مضروبة في نفس العدد، لا يساوي صفراً.

2. إعادة ترتيب المعادلات.

3. الإزالة من معادلات النظام التي هي هويات للجميع X.

صيغ كريمر.

تنطبق هذه الطريقة أيضًا فقط في حالة أنظمة المعادلات الخطية، حيث يتطابق عدد المتغيرات مع عدد المعادلات.

نظرية.نظام المعادلات n مع المجهولين

إذا كان محدد مصفوفة النظام لا يساوي الصفر، فإن النظام لديه حل فريد ويتم إيجاد هذا الحل باستخدام الصيغ: س ط =أين د = ديت أ، أ د طهو محدد المصفوفة التي تم الحصول عليها من مصفوفة النظام عن طريق استبدال العمود أناعمود من الأعضاء الأحرار ب ط.

د ط =

مثال.أوجد حل نظام المعادلات:

د = = 5(4 - 9) + (2 - 12) - (3 - 8) = -25 - 10 + 5 = -30؛

د 1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

د 2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

د 3 = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

ملاحظة 1.إذا كان النظام متجانسا، أي. ب ط = 0، فبالنسبة لـ D¹0، يكون لدى النظام حل صفري فريد س 1 = س 2 = … = س ن = 0.

ملاحظة 2.في د = 0النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.

طريقة المصفوفة العكسية.

تنطبق طريقة المصفوفة على حل أنظمة المعادلات حيث يكون عدد المعادلات مساوياً لعدد المجهولين.

دع نظام المعادلات يعطى: لنقم بإنشاء المصفوفات:

أ= - مصفوفة المعاملات للمتغيرات أو مصفوفة النظام؛

ب = - مصفوفة - عمود المصطلحات الحرة؛

X = - المصفوفة - عمود المجهول.

ومن ثم يمكن كتابة نظام المعادلات: أ×س = ب.دعونا نضرب طرفي المساواة من اليسار في أ -1: أ -1 ×أ×س = أ -1 ×ب، لأن أ -1 ×أ = ه،الذي - التي E×X = أ -1 ×ب، فإن الصيغة التالية صالحة:

X = أ -1 × ب

وبالتالي، لتطبيق هذه الطريقة فمن الضروري العثور عليها مصفوفة معكوسة.

مثال.حل نظام المعادلات:

س =، ب =، أ =

لنجد المصفوفة العكسية A -1.

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30≠0 ⇒ المصفوفة العكسية موجودة.

م11 = ; م21 = ; م31 = ;

م 12 = م 22 = م 32 =

م13 = م23 = م33=

أ -1 = ;

دعونا تحقق:

أ×أ -1 =
= ه.

العثور على مصفوفة X

X = = أ -1 ب = × = .

حصلنا على حلول النظام: س =1; ص = 2؛ ض = 3.

4. طريقة غاوس.

دع النظام يعطى مالمعادلات الخطية مع نمجهول:

على افتراض أن المعامل في النظام أ 11 يختلف عن الصفر (إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن المعادلة ذات معامل غير الصفر عند س 1). نقوم بتحويل النظام على النحو التالي: ترك المعادلة الأولى دون تغيير، واستبعاد المجهول من جميع المعادلات الأخرى س 1 باستخدام التحويلات المكافئة بالطريقة الموضحة أعلاه.

في النظام الناتج

,

بافتراض أنه (الذي يمكن الحصول عليه دائمًا عن طريق إعادة ترتيب المعادلات أو الحدود داخل المعادلات)، نترك المعادلتين الأوليين للنظام دون تغيير، ومن المعادلات المتبقية، باستخدام المعادلة الثانية، نحذف المجهول بمساعدة التحويلات الأولية س 2. في النظام المستلم حديثا

بشرط أن نترك المعادلات الثلاث الأولى دون تغيير، ومن جميع المعادلات الأخرى، باستخدام المعادلة الثالثة، نحذف المجهول عن طريق التحويلات الأولية س 3 .

تستمر هذه العملية حتى تحدث إحدى الحالات الثلاث المحتملة:

1) إذا وصلنا نتيجة لذلك إلى نظام، تحتوي إحدى معادلاته على معاملات صفرية لجميع المجهولين وحد حر غير صفري، فإن النظام الأصلي غير متسق؛

2) إذا حصلنا، نتيجة للتحولات، على نظام بمصفوفة ثلاثية من المعاملات، فإن النظام ثابت ومحدد؛

3) إذا تم الحصول على نظام متدرج من المعاملات (ولم يتم استيفاء شرط النقطة 1)، فإن النظام متسق وغير محدد.

النظر في النظام المربع : (1)

هذا النظام لديه معامل أ 11 يختلف عن الصفر. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط، فمن أجل الحصول عليه، سيكون من الضروري إعادة ترتيب المعادلات، بحيث نضع أولاً المعادلة التي معاملها عند س 1 لا يساوي الصفر.

سنقوم بإجراء تحويلات النظام التالية:

1) بسبب أ 11 ¹0، نترك المعادلة الأولى دون تغيير؛

2) بدلاً من المعادلة الثانية نكتب المعادلة التي نحصل عليها إذا طرحنا الأولى مضروبة في 4 من المعادلة الثانية؛

3) بدلا من المعادلة الثالثة نكتب الفرق بين الثالثة والأولى مضروبا في 3؛

4) بدلا من المعادلة الرابعة نكتب الفرق بين الرابعة والأولى مضروبا في 5.

النظام الجديد الناتج يعادل النظام الأصلي ومعاملاته صفر في جميع المعادلات باستثناء المعادلة الأولى. س 1 (كان هذا هو الغرض من التحولات 1 - 4): (2)

بالنسبة للتحويل المذكور أعلاه ولجميع التحويلات الإضافية، لا ينبغي عليك إعادة كتابة النظام بأكمله بالكامل، كما حدث للتو. يمكن تمثيل النظام الأصلي كمصفوفة

. (3)

تم استدعاء المصفوفة (3). مصفوفة موسعةلنظام المعادلات الأصلي. إذا قمنا بإزالة عمود الحدود الحرة من المصفوفة الموسعة، فسنحصل على مصفوفة معامل النظام، والذي يُطلق عليه أحيانًا ببساطة مصفوفة النظام.

النظام (2) يتوافق مع المصفوفة الموسعة

.

دعونا نحول هذه المصفوفة على النحو التالي:

1) سنترك السطرين الأولين دون تغيير، منذ العنصر أ 22 ليس صفرًا؛

2) بدل السطر الثالث نكتب الفرق بين السطر الثاني وضعف الثالث؛

3) نستبدل السطر الرابع بالفرق بين السطر الثاني مضاعفا والسطر الرابع مضروبا في 5.

والنتيجة هي مصفوفة المقابلة لنظام غير معروف س 1 يستثنى من جميع المعادلات ما عدا الأولى والمجهول س 2- من جميع المعادلات ما عدا الأولى والثانية:

.

الآن دعونا نستبعد المجهول س 3 من المعادلة الرابعة. للقيام بذلك، نقوم بتحويل المصفوفة الأخيرة على النحو التالي:

1) سنترك الأسطر الثلاثة الأولى دون تغيير منذ ذلك الحين أ 33¹0;

2) نستبدل السطر الرابع بالفرق بين الثالث مضروبا في 39 والرابع: .

المصفوفة الناتجة تتوافق مع النظام

. (4)

من المعادلة الأخيرة لهذا النظام نحصل عليها س 4 = 2. بالتعويض بهذه القيمة في المعادلة الثالثة نحصل على س 3 = 3. الآن من المعادلة الثانية يتبع ذلك س 2 = 1، ومن الأول - س 1 = -1. من الواضح أن الحل الناتج فريد من نوعه (حيث يتم تحديد القيمة بالطريقة الوحيدة س 4 ثم س 3، الخ).

تعريف:لنستدعي مصفوفة مربعة تحتوي على أرقام غير صفرية على القطر الرئيسي وأصفار أسفل القطر الرئيسي، مصفوفة ثلاثية.

مصفوفة المعاملات للنظام (4) هي مصفوفة ثلاثية.

تعليق:إذا كان من الممكن، باستخدام التحويلات الأولية، اختزال مصفوفة المعاملات لنظام مربع إلى مصفوفة ثلاثية، فإن النظام يكون ثابتًا ومحددًا.

دعونا ننظر إلى مثال آخر: . (5)

دعونا نجري التحولات التالية للمصفوفة الموسعة للنظام:

1) اترك السطر الأول دون تغيير؛

2) بدلاً من السطر الثاني، اكتب الفرق بين السطر الثاني وضاعف الأول؛

3) بدل السطر الثالث نكتب الفرق بين السطر الثالث وثلاثة أضعاف الأول؛

4) يستبدل السطر الرابع بالفرق بين الرابع والأول؛

5) نستبدل السطر الخامس بفارق السطر الخامس ونضاعف الأول.

ونتيجة للتحولات نحصل على المصفوفة

.

مع ترك الصفين الأولين من هذه المصفوفة دون تغيير، نقوم بتحويلها إلى الشكل التالي عن طريق التحويلات الأولية:

.

إذا الآن، باتباع طريقة غاوس، والتي تسمى أيضًا طريقة الحذف المتسلسل للمجهول، باستخدام السطر الثالث نأتي بالمعاملات س 3 في الصفين الرابع والخامس ثم بعد قسمة جميع عناصر الصف الثاني على 5 وقسمة جميع عناصر الصف الثالث على 2 نحصل على المصفوفة

.

يتوافق كل صف من الصفين الأخيرين من هذه المصفوفة مع المعادلة 0 س 1 +0س 2 +0س 3 +0س 4 +0س 5 = 0. يتم تحقيق هذه المعادلة بأي مجموعة من الأرقام س 1 ,س 2، ¼، س 5 ويجب إزالتها من النظام. وبالتالي، فإن النظام الذي يحتوي على المصفوفة الموسعة التي تم الحصول عليها للتو يعادل النظام الذي يحتوي على مصفوفة موسعة من النموذج

. (6)

الصف الأخير من هذه المصفوفة يتوافق مع المعادلة
س 3 – 2س 4 + 3س 5 = -4. إذا كان غير معروف س 4 و س 5 إعطاء قيم تعسفية: س 4 = ج1; س 5 = ج2ثم من المعادلة الأخيرة للنظام المقابل للمصفوفة (6) نحصل عليها س 3 = –4 + 2ج1 – 3ج2. استبدال التعبيرات س 3 ,س 4 و س 5 في المعادلة الثانية من نفس النظام، نحصل على س 2 = –3 + 2ج1 – 2ج2. الآن من المعادلة الأولى يمكننا الحصول عليها س 1 = 4 – ج1+ ج2. يتم تقديم الحل النهائي للنظام في النموذج .

النظر في مصفوفة مستطيلة أ، الذي عدد الأعمدة مأكثر من عدد الأسطر ن. مثل هذه المصفوفة ألنتصل صعدت.

ومن الواضح أن المصفوفة (6) هي مصفوفة خطوة.

إذا، عند تطبيق تحويلات مكافئة على نظام المعادلات، يتم تقليل معادلة واحدة على الأقل إلى النموذج

0س 1 + 0س 2 + ¼0 س ن = ب ي (ب ي ¹ 0),

فإن النظام غير متوافق أو متناقض، لأنه لا توجد مجموعة واحدة من الأرقام س 1 , س 2، ¼، س نلا يفي بهذه المعادلة.

إذا، عند تحويل المصفوفة الموسعة للنظام، يتم تقليل مصفوفة المعاملات إلى شكل تدريجي ولم يتبين أن النظام غير متسق، فإن النظام متسق وغير محدد، أي أنه لديه العديد من الحلول لا حصر لها.

وفي النظام الأخير، يمكن الحصول على جميع الحلول عن طريق تعيين قيم عددية محددة للمعلمات ج1و ج2.

تعريف:تسمى تلك المتغيرات التي تكون معاملاتها على القطر الرئيسي لمصفوفة الخطوة (وهذا يعني أن هذه المعاملات تختلف عن الصفر) باسم o رئيسي. في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، هذه هي الأشياء المجهولة س 1 , س 2 , س 3. يتم استدعاء المتغيرات المتبقية غير الأساسية.في المثال أعلاه، هذه هي المتغيرات س 4 و س 5 . يمكن إعطاء المتغيرات غير الأولية أي قيم أو التعبير عنها من خلال المعلمات، كما حدث في المثال الأخير.

يتم التعبير عن المتغيرات الأساسية بشكل فريد من خلال المتغيرات غير الأساسية.

تعريف:إذا أعطيت المتغيرات غير الرئيسية قيم عددية محددة وتم التعبير عن المتغيرات الرئيسية من خلالها، فيسمى الحل الناتج حل خاص.

تعريف:إذا تم التعبير عن المتغيرات غير الأساسية من حيث المعلمات، فسيتم الحصول على الحل، وهو ما يسمى الحل العام.

تعريف:إذا أعطيت جميع المتغيرات الثانوية قيم صفر، فسيتم استدعاء الحل الناتج أساسي.

تعليق:يمكن في بعض الأحيان اختزال نفس النظام إلى مجموعات مختلفة من المتغيرات الأساسية. لذلك، على سبيل المثال، يمكنك تبديل العمودين الثالث والرابع في المصفوفة (6). ثم ستكون المتغيرات الرئيسية س 1 , س 2 ,س 4، وغير الرئيسية - س 3 و س 5 .

تعريف:إذا تم الحصول على مجموعتين مختلفتين من المتغيرات الأساسية باستخدام طرق مختلفة لإيجاد حل لنفس النظام، فإن هذه المجموعات تحتوي بالضرورة على نفس العدد من المتغيرات، تسمى رتبة النظام.

لنفكر في نظام آخر لديه عدد لا نهائي من الحلول: .

دعونا نحول المصفوفة الموسعة للنظام باستخدام الطريقة الغوسية:

.

كما ترون، لم نحصل على مصفوفة خطوة، ولكن يمكن تحويل المصفوفة الأخيرة عن طريق تبديل العمودين الثالث والرابع: .

هذه المصفوفة صعدت بالفعل. يحتوي النظام المقابل على متغيرين غير أساسيين - س 3 , س 5 وثلاثة رئيسية - س 1 , س 2 , س 4 . يتم تقديم حل النظام الأصلي في النموذج التالي:

فيما يلي مثال لنظام ليس له حل:

.

لنقم بتحويل مصفوفة النظام باستخدام الطريقة الغوسية:

.

الصف الأخير من المصفوفة الأخيرة يتوافق مع المعادلة غير القابلة للحل 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1. وبالتالي فإن النظام الأصلي غير متسق.

محاضرة رقم 3.

الموضوع: المتجهات. العددية والمتجهة والمنتج المختلط للمتجهات

1. مفهوم المتجه. العلاقة الخطية المتداخلة والتعامد والمستوى المشترك للمتجهات.

2. العملية الخطية على المتجهات.

3. المنتج النقطي للمتجهات وتطبيقاته

4. المنتج المتقاطع للمتجهات وتطبيقاته

5. المنتج المختلط للنواقل وتطبيقاته

1. مفهوم المتجه: الخطية المتداخلة، والتعامد، والمستوى المشترك للمتجهات.

تعريف:المتجه هو قطعة موجهة بنقطة بداية A ونقطة نهاية B.

تعيين: , ,

تعريف:طول أو معامل المتجه هو رقم يساوي طول القطعة AB التي تمثل المتجه.

تعريف:يسمى المتجه صفراً إذا تطابقت بداية المتجه ونهايته.

تعريف:يسمى ناقل طول الوحدة بالوحدة. تعريف:تسمى المتجهات خطية متداخلة إذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية ( || ).

تعليق:

1. يمكن توجيه المتجهات الخطية بشكل متطابق أو معاكس.

2. يعتبر المتجه الصفري على خط مستقيم مع أي متجه.

تعريف:يقال أن المتجهين متساويان إذا كانا على خط مستقيم

لها نفس الاتجاهات ولها نفس الأطوال ( = )

نظام المعادلات الخطية م مع المجهول نيسمى نظام النموذج

أين آي جيو ب ط (أنا=1,…,م; ب=1,…,ن) هي بعض الأرقام المعروفة، و × 1،…،x ن- مجهول. في تعيين المعاملات آي جيالفهرس الأول أنايدل على رقم المعادلة، والثانية ي- عدد المجهول الذي يقف عنده هذا المعامل.

سنكتب معاملات المجهول على شكل مصفوفة ، والذي سنتصل به مصفوفة النظام.

الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلات هي ب 1،…،ب موتسمى أعضاء أحرار.

الكلية نأعداد ج 1 ,…,ج نمُسَمًّى قرارلنظام معين، إذا أصبحت كل معادلة في النظام متساوية بعد استبدال الأرقام فيها ج 1 ,…,ج نبدلاً من المجهول المقابل × 1،…،x ن.

ستكون مهمتنا إيجاد حلول للنظام. في هذه الحالة، قد تنشأ ثلاث حالات:

يسمى نظام المعادلات الخطية الذي له حل واحد على الأقل مشترك. خلاف ذلك، أي. إذا كان النظام ليس لديه حلول، ثم يتم استدعاؤه غير مشترك.

دعونا نفكر في طرق إيجاد حلول للنظام.

طريقة المصفوفة لحل أنظمة المعادلات الخطية

تتيح المصفوفات إمكانية كتابة نظام من المعادلات الخطية بإيجاز. دعونا نعطي نظامًا من 3 معادلات مع ثلاثة مجهولين:

النظر في مصفوفة النظام وأعمدة المصفوفات ذات المصطلحات غير المعروفة والحرة

دعونا نجد العمل

أولئك. ونتيجة للمنتج نحصل على الأطراف اليسرى من معادلات هذا النظام. وبعد ذلك، باستخدام تعريف مساواة المصفوفات، يمكن كتابة هذا النظام على الصورة

أو أقصر أ∙س = ب.

وهنا المصفوفات أو بومن المعروف، والمصفوفة Xمجهول. من الضروري العثور عليه، لأنه... وعناصره هي الحل لهذا النظام. تسمى هذه المعادلة معادلة المصفوفة.

دع محدد المصفوفة يختلف عن الصفر | أ| ≠ 0. ثم يتم حل معادلة المصفوفة على النحو التالي. اضرب طرفي المعادلة على اليسار بالمصفوفة أ-1، معكوس المصفوفة أ: . بسبب ال أ -1 أ = هو ه∙س = س، ثم نحصل على حل لمعادلة المصفوفة في النموذج س = أ -1 ب .

لاحظ أنه بما أنه لا يمكن العثور على المصفوفة العكسية إلا للمصفوفات المربعة، فإن طريقة المصفوفة يمكنها فقط حل تلك الأنظمة التي فيها عدد المعادلات يتزامن مع عدد المجهولين. ومع ذلك، فإن تسجيل المصفوفة للنظام ممكن أيضًا في الحالة التي يكون فيها عدد المعادلات غير مساوي لعدد المجهولين، ثم المصفوفة ألن تكون مربعة وبالتالي من المستحيل إيجاد حل للنظام في الشكل س = أ -1 ب.

أمثلة.حل أنظمة المعادلات.

قاعدة كريمر

النظر في نظام من ثلاث معادلات خطية مع ثلاثة مجهولين:

محدد من الدرجة الثالثة يتوافق مع مصفوفة النظام، أي. تتكون من معاملات للمجهول،

مُسَمًّى محدد النظام.

لنقم بتكوين ثلاثة محددات أخرى على النحو التالي: استبدل الأعمدة 1 و2 و3 في المحدد D بالتسلسل بعمود من المصطلحات الحرة

ومن ثم يمكننا إثبات النتيجة التالية.

نظرية (قاعدة كرامر).إذا كان محدد النظام Δ ≠ 0، فإن النظام قيد النظر له حل واحد فقط، و

دليل. لذلك، دعونا نفكر في نظام مكون من 3 معادلات مع ثلاثة مجهولين. دعونا نضرب المعادلة الأولى للنظام بالمكمل الجبري أ 11عنصر 11المعادلة الثانية - على أ 21والثالث - على أ 31:

دعونا نضيف هذه المعادلات:

دعونا نلقي نظرة على كل من الأقواس والجانب الأيمن من هذه المعادلة. بواسطة نظرية توسيع المحدد في عناصر العمود الأول

وبالمثل، يمكن أن يظهر أن و .

وأخيرا، فمن السهل أن نلاحظ ذلك

وبذلك نحصل على المساواة: .

لذلك، .

يتم اشتقاق المساواة والمساواة بالمثل، والتي يتبعها بيان النظرية.

وهكذا نلاحظ أنه إذا كان محدد النظام Δ ≠ 0 فإن النظام له حل فريد والعكس صحيح. إذا كانت محددات النظام تساوي الصفر، فإن النظام إما أن يكون له عدد لا نهائي من الحلول أو ليس له حلول، أي. غير متوافق.

أمثلة.حل نظام المعادلات

طريقة غاوس

يمكن استخدام الطرق التي تمت مناقشتها سابقًا لحل تلك الأنظمة التي يتزامن فيها عدد المعادلات مع عدد المجهولين، ويجب أن يكون محدد النظام مختلفًا عن الصفر. تعتبر طريقة غاوس أكثر عالمية ومناسبة للأنظمة التي تحتوي على أي عدد من المعادلات. وهو يتألف من الحذف المستمر للمجهول من معادلات النظام.

النظر مرة أخرى في نظام من ثلاث معادلات مع ثلاثة مجهولين:

.

سنترك المعادلة الأولى دون تغيير، ومن الثانية والثالثة سنستبعد المصطلحات التي تحتوي على × 1. للقيام بذلك، قم بتقسيم المعادلة الثانية على أ 21 واضرب بـ - أ 11 ثم أضفه إلى المعادلة الأولى. وبالمثل، نقسم المعادلة الثالثة على أ 31 واضرب بـ - أ 11، ثم أضيفه مع الأول. ونتيجة لذلك، فإن النظام الأصلي سوف يأخذ الشكل:

الآن من المعادلة الأخيرة نحذف المصطلح الذي يحتوي على × 2. للقيام بذلك، قم بتقسيم المعادلة الثالثة على، والضرب في، وإضافة مع الثانية. ثم سيكون لدينا نظام المعادلات:

من هنا، من المعادلة الأخيرة يسهل العثور عليها × 3ثم من المعادلة الثانية × 2وأخيرا، من الأول - × 1.

عند استخدام طريقة غاوس، يمكن تبديل المعادلات إذا لزم الأمر.

في كثير من الأحيان، بدلاً من كتابة نظام جديد من المعادلات، يقتصرون على كتابة المصفوفة الموسعة للنظام:

ثم قم بإحضاره إلى شكل مثلث أو قطري باستخدام التحويلات الأولية.

ل التحولات الأوليةتتضمن المصفوفات التحولات التالية:

1. إعادة ترتيب الصفوف أو الأعمدة؛
2. ضرب سلسلة برقم غير الصفر؛
3. إضافة خطوط أخرى إلى سطر واحد.

أمثلة:حل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة غاوس.

وبالتالي فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.

الرياضيات العليا »أنظمة المعادلات الجبرية الخطية» المصطلحات الأساسية. نموذج تسجيل المصفوفة.

نظام المعادلات الجبرية الخطية. الشروط الأساسية. نموذج تسجيل المصفوفة.

1. تعريف نظام المعادلات الجبرية الخطية. حل النظام. تصنيف الأنظمة.
2. شكل مصفوفة لأنظمة كتابة المعادلات الجبرية الخطية.

تعريف نظام المعادلات الجبرية الخطية. حل النظام. تصنيف الأنظمة.

تحت نظام المعادلات الجبرية الخطية(SLAE) تعني النظام

\begin(معادلة) \left \( \begin(محاذاة) & a_(11)x_1+a_(12)x_2+a_(13)x_3+\ldots+a_(1n)x_n=b_1;\\ & a_(21) x_1+a_(22)x_2+a_(23)x_3+\ldots+a_(2n)x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ ldots \\ & a_(m1)x_1+a_(m2)x_2+a_(m3)x_3+\ldots+a_(mn)x_n=b_m. \end(محاذاة) \right. \end(معادلة)

يتم استدعاء المعلمات $a_(ij)$ ($i=\overline(1,m)$, $j=\overline(1,n)$) معاملاتو $b_i$ ($i=\overline(1,m)$) - أعضاء أحرار SLAU. في بعض الأحيان، للتأكيد على عدد المعادلات والمجاهول، يقولون "$m\times n$ نظام المعادلات الخطية"، مما يشير إلى أن SLAE يحتوي على معادلات $m$ ومجهولات $n$.

إذا كانت جميع المصطلحات المجانية $b_i=0$ ($i=\overline(1,m)$)، فسيتم استدعاء SLAE متجانس. إذا كان هناك عضو واحد على الأقل غير صفري بين الأعضاء الأحرار، فسيتم استدعاء SLAE غير متجانسة.

عن طريق حل SLAU(1) استدعاء أي مجموعة مرتبة من الأرقام ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$) إذا تم استبدال عناصر هذه المجموعة بترتيب معين للمجهول $x_1,x_2,\ldots,x_n$, تحويل كل معادلة من SLAE إلى الهوية.

أي SLAE متجانس لديه حل واحد على الأقل: صفر(في مصطلحات أخرى - تافهة)، أي. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

إذا كان SLAE (1) يحتوي على حل واحد على الأقل، فسيتم استدعاؤه مشترك، إذا لم تكن هناك حلول - غير مشترك. إذا كان لـ SLAE المشترك حل واحد بالضبط، فسيتم استدعاؤه تأكيد، إذا كان هناك مجموعة لا حصر لها من الحلول - غير مؤكد.

المثال رقم 1

دعونا نفكر في SLAE

\begin(معادلة) \left \( \begin(محاذاة) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5= 0. \\ \end (محاذاة) \يمين. \end(معادلة)

لدينا نظام من المعادلات الجبرية الخطية التي تحتوي على معادلات $3$ ومجهولات $5$: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. يمكننا القول أنه تم تقديم نظام مكون من $3\×5$ من المعادلات الخطية.

معاملات النظام (2) هي الأعداد الموجودة أمام المجهول. على سبيل المثال، في المعادلة الأولى هذه الأرقام هي: $3,-4,1,7,-1$. يتم تمثيل الأعضاء الأحرار في النظام بالأرقام $11,-65.0$. وبما أنه يوجد بين الحدود الحرة واحد على الأقل لا يساوي الصفر، فإن SLAE (2) غير متجانس.

تعتبر المجموعة المطلوبة $(4;-11;5;-7;1)$ حلاً لاتفاقية مستوى الخدمة هذه. من السهل التحقق من ذلك إذا قمت باستبدال $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ في معادلات النظام المعطى:

\begin(محاذاة) & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5 =2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot ( -7)-6\cdot 1=0. \\ \end(محاذاة)

وبطبيعة الحال، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو ما إذا كان الحل المثبت هو الحل الوحيد. سيتم تناول مسألة عدد حلول SLAE في الموضوع المقابل.

المثال رقم 2

دعونا نفكر في SLAE

\begin(equation) \left \( \begin(aligned) & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0; \\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0. \end(محاذاة) \right. \end(معادلة)

النظام (3) عبارة عن SLAE يحتوي على معادلات $5$ ومجهولات $3$: $x_1,x_2,x_3$. وبما أن جميع الحدود الحرة لهذا النظام تساوي الصفر، فإن SLAE (3) متجانس. من السهل التحقق من أن المجموعة $(0;0;0)$ هي حل لمستوى مستوى الخدمة المحدد. بالتعويض $x_1=0, x_2=0,x_3=0$، على سبيل المثال، في المعادلة الأولى للنظام (3)، نحصل على المساواة الصحيحة: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0 -0=0$ . ويتم الاستبدال في معادلات أخرى بالمثل.

شكل مصفوفة لأنظمة كتابة المعادلات الجبرية الخطية.

يمكن ربط عدة مصفوفات بكل SLAE؛ علاوة على ذلك، يمكن كتابة SLAE نفسها في شكل معادلة مصفوفية. بالنسبة لـ SLAE (1)، ضع في اعتبارك المصفوفات التالية:

يتم استدعاء المصفوفة $A$ مصفوفة النظام. تمثل عناصر هذه المصفوفة معاملات SLAE معينة.

يتم استدعاء المصفوفة $\widetilde(A)$ نظام المصفوفة الموسعة. يتم الحصول عليها عن طريق إضافة عمود يحتوي على مصطلحات مجانية $b_1,b_2,…,b_m$ إلى مصفوفة النظام. عادةً ما يتم فصل هذا العمود بخط عمودي من أجل الوضوح.

يتم استدعاء مصفوفة العمود $B$ مصفوفة الأعضاء الأحرار، ومصفوفة العمود $X$ هي مصفوفة المجهول.

باستخدام الترميز المقدم أعلاه، يمكن كتابة SLAE (1) في شكل معادلة مصفوفية: $A\cdot X=B$.

ملحوظة

يمكن كتابة المصفوفات المرتبطة بالنظام بطرق مختلفة: كل شيء يعتمد على ترتيب المتغيرات والمعادلات الخاصة بـ SLAE قيد النظر. ولكن على أية حال، فإن ترتيب المجهولات في كل معادلة لمستوى مستوى الخدمة المعين يجب أن يكون هو نفسه (انظر المثال رقم 4).

المثال رقم 3

اكتب SLAE $ \left \( \begin(aligned) & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end(محاذاة) \right.$ في شكل مصفوفة وحدد المصفوفة الموسعة للنظام.

لدينا أربعة مجهولات، والتي تظهر في كل معادلة بالترتيب التالي: $x_1,x_2,x_3,x_4$. مصفوفة المجهول ستكون: $\left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right)$.

يتم التعبير عن الحدود الحرة لهذا النظام بالأرقام $-5,0,-11$، وبالتالي فإن مصفوفة الحدود الحرة لها الشكل: $B=\left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array )\right)$.

دعنا ننتقل إلى تجميع مصفوفة النظام. سيحتوي الصف الأول من هذه المصفوفة على معاملات المعادلة الأولى: $2.3,-5.1$.

في السطر الثاني نكتب معاملات المعادلة الثانية: $4.0,-1.0$. يجب الأخذ بعين الاعتبار أن معاملات النظام للمتغيرين $x_2$ و $x_4$ في المعادلة الثانية تساوي صفر (لأن هذه المتغيرات غائبة في المعادلة الثانية).

في الصف الثالث من مصفوفة النظام نكتب معاملات المعادلة الثالثة: $0,14,8,1$. وفي هذه الحالة نأخذ بعين الاعتبار أن معامل المتغير $x_1$ يساوي صفر (هذا المتغير غائب في المعادلة الثالثة). ستبدو مصفوفة النظام كما يلي:

$$ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) $$

ولجعل العلاقة بين مصفوفة النظام والنظام نفسه أكثر وضوحًا، سأكتب بجوار SLAE المحدد ومصفوفة النظام الخاصة به:

في شكل مصفوفة، سيكون SLAE المحدد على الشكل $A\cdot X=B$. في الإدخال الموسع:

$$ \left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end(array) \right) \cdot \left(\begin(array) (c) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) -5 \\ 0 \\ -11 \end(array) \right) $$

دعونا نكتب المصفوفة الموسعة للنظام. للقيام بذلك، إلى مصفوفة النظام $ A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \ end(array ) \right) $ أضف عمود المصطلحات المجانية (أي $-5,0,-11$). نحصل على: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (cccc|c) 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end(array) \right) $.

المثال رقم 4

اكتب SLAE $ \left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=- 4 .\end(aligned)\right.$ في شكل مصفوفة وحدد المصفوفة الموسعة للنظام.

كما ترون، فإن ترتيب المجهول في معادلات SLAE مختلف. على سبيل المثال، في المعادلة الثانية الترتيب هو: $a,y,c$، أما في المعادلة الثالثة: $c,y,a$. قبل كتابة SLAEs في شكل مصفوفة، يجب أن يكون ترتيب المتغيرات في جميع المعادلات هو نفسه.

يمكن ترتيب المتغيرات في معادلات SLAE معينة بطرق مختلفة (عدد الطرق لترتيب ثلاثة متغيرات سيكون $3!=6$). سألقي نظرة على طريقتين لترتيب المجهولين.

الطريقة رقم 1

دعونا نقدم الترتيب التالي: $c,y,a$. دعونا نعيد كتابة النظام، ونرتب المجهولات بالترتيب المطلوب: $\left \(\begin(aligned) & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a= 25; \\ & -c+5a=-4.\end(محاذاة)\right.$

للتوضيح، سأكتب SLAE بهذا النموذج: $\left \(\begin(aligned) & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\ cdot y+ 2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4 . \ end(محاذاة)\right.$

مصفوفة النظام لها الشكل: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \ نهاية (مصفوفة)\يمين)$. مصفوفة المصطلحات المجانية: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. عند كتابة مصفوفة المجهولات، تذكر ترتيب المجهولات: $X=\left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right)$. لذا، فإن صيغة المصفوفة لكتابة SLAE المعطاة هي كما يلي: $A\cdot X=B$. موسع:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) c \\ y \\ a \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

المصفوفة الموسعة للنظام هي: $\left(\begin(array) (ccc|c) 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end(array) \right) $.

الطريقة رقم 2

دعونا نقدم الترتيب التالي: $a,c,y$. دعونا نعيد كتابة النظام، ونرتب المجهولات بالترتيب المطلوب: $\left \( \begin(aligned) & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y =25; \\&5a-c=-4.\end(محاذاة)\right.$

للتوضيح، سأكتب SLAE بهذا النموذج: $\left \( \begin(aligned) & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\ cdot c+ 4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4 . \ end(محاذاة)\right.$

مصفوفة النظام لها الشكل: $ A=\left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \ نهاية (مصفوفة) \يمين)$. مصفوفة المصطلحات المجانية: $B=\left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right)$. عند كتابة مصفوفة المجهولات، تذكر ترتيب المجهولات: $X=\left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right)$. لذا، فإن صيغة المصفوفة لكتابة SLAE المعطاة هي كما يلي: $A\cdot X=B$. موسع:

$$ \left(\begin(array) (ccc) 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end(array) \right) \ cdot \left(\begin(array) (c) a \\ c \\ y \end(array) \right) = \left(\begin(array) (c) 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end(array) \right) $$

المصفوفة الموسعة للنظام هي: $\left(\begin(array) (ccc|c) 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & ​​- 1 & 0 & -4 \end(array) \right) $.

كما ترون، فإن تغيير ترتيب المجهول يعادل إعادة ترتيب أعمدة مصفوفة النظام. ولكن مهما كان ترتيب ترتيب المجهولات هذا، فإنه يجب أن يتطابق في جميع معادلات SLAE معينة.

المعادلات الخطية

المعادلات الخطية- موضوع رياضي بسيط نسبيًا، وغالبًا ما يوجد في مهام الجبر.

أنظمة المعادلات الجبرية الخطية: المفاهيم الأساسية والأنواع

دعونا معرفة ما هو وكيف يتم حل المعادلات الخطية.

عادة، معادلة خط مستقيمهي معادلة من الشكل ax + c = 0، حيث a وc أرقام عشوائية أو معاملات، وx عدد غير معروف.

على سبيل المثال، المعادلة الخطية ستكون:

حل المعادلات الخطية.

كيفية حل المعادلات الخطية؟

حل المعادلات الخطية ليس بالأمر الصعب على الإطلاق. للقيام بذلك، استخدم تقنية رياضية مثل تحول الهوية. دعونا معرفة ما هو عليه.

مثال على المعادلة الخطية وحلها.

دع الفأس + ج = 10، حيث أ = 4، ج = 2.

وبذلك نحصل على المعادلة 4س + 2 = 10.

ولحلها بشكل أسهل وأسرع، سنستخدم الطريقة الأولى لتحويل الهوية - أي سننقل جميع الأرقام إلى الجانب الأيمن من المعادلة، ونترك المجهول 4x على الجانب الأيسر.

سوف يتحول:

وبالتالي، فإن المعادلة تتلخص في مشكلة بسيطة جدًا للمبتدئين. كل ما تبقى هو استخدام الطريقة الثانية للتحويل المتطابق - ترك x على الجانب الأيسر من المعادلة ونقل الأرقام إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:

فحص:

4س + 2 = 10، حيث س = 2.

الجواب صحيح.

الرسم البياني للمعادلة الخطية.

عند حل المعادلات الخطية في متغيرين، غالبًا ما يتم استخدام طريقة الرسوم البيانية. والحقيقة هي أن المعادلة من الشكل ax + y + c = 0، كقاعدة عامة، لديها العديد من الحلول الممكنة، لأن العديد من الأرقام تتناسب مع المتغيرات، وفي جميع الحالات تظل المعادلة صحيحة.

ولذلك، لتسهيل المهمة، يتم رسم معادلة خطية.

لبناء ذلك، يكفي أن تأخذ زوجًا واحدًا من القيم المتغيرة - وتضع علامة عليها بنقاط على المستوى الإحداثي، وترسم خطًا مستقيمًا من خلالها. جميع النقاط الموجودة على هذا الخط ستكون متغيرات للمتغيرات في المعادلة.

التعبيرات، تحويل التعبير

إجراءات تنفيذ الإجراءات والقواعد والأمثلة.

قد تحتوي التعبيرات الرقمية والأبجدية والتعبيرات ذات المتغيرات في تدوينها على علامات لعمليات حسابية مختلفة. عند تحويل التعبيرات وحساب قيم التعبيرات يتم تنفيذ الإجراءات بترتيب معين، بمعنى آخر، يجب مراعاة ترتيب الإجراءات.

في هذه المقالة، سنكتشف الإجراءات التي يجب تنفيذها أولاً، وأي الإجراءات بعدها. لنبدأ بأبسط الحالات، عندما يحتوي التعبير فقط على أرقام أو متغيرات متصلة بعلامات الجمع والطرح والضرب والقسمة. بعد ذلك، سنشرح ترتيب الإجراءات الذي يجب اتباعه في التعبيرات التي بين قوسين. أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات التي تحتوي على القوى والجذور والدوال الأخرى.

أولًا الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح

توفر المدرسة ما يلي قاعدة تحدد الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات التي لا تحتوي على أقواس:

• يتم تنفيذ الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين ،
• علاوة على ذلك، يتم إجراء الضرب والقسمة أولاً، ومن ثم الجمع والطرح.

يُنظر إلى القاعدة المعلنة بشكل طبيعي تمامًا. يتم تفسير تنفيذ الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين من خلال حقيقة أنه من المعتاد بالنسبة لنا الاحتفاظ بالسجلات من اليسار إلى اليمين. وحقيقة أن الضرب والقسمة يتمان قبل الجمع والطرح يفسرها المعنى الذي تحمله هذه الأفعال.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لكيفية تطبيق هذه القاعدة. على سبيل المثال، سنأخذ أبسط التعبيرات الرقمية حتى لا تشتت انتباهنا بالحسابات، ولكن للتركيز بشكل خاص على ترتيب الإجراءات.

اتبع الخطوات 7−3+6.

التعبير الأصلي لا يحتوي على أقواس، ولا يحتوي على ضرب أو قسمة. لذلك، يجب علينا تنفيذ جميع الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين، أي أننا أولاً نطرح 3 من 7، نحصل على 4، وبعد ذلك نضيف 6 إلى الفرق الناتج وهو 4، نحصل على 10.

باختصار، يمكن كتابة الحل على النحو التالي: 7−3+6=4+6=10.

وضح ترتيب الإجراءات في التعبير ٦:٢·٨:٣.

للإجابة على سؤال المشكلة، دعنا ننتقل إلى القاعدة التي تشير إلى ترتيب تنفيذ الإجراءات في التعبيرات التي لا تحتوي على أقواس. يحتوي التعبير الأصلي فقط على عمليات الضرب والقسمة، وبحسب القاعدة يجب إجراؤها بالترتيب من اليسار إلى اليمين.

أولًا نقسم 6 على 2، ثم نضرب هذا الناتج في 8، ثم نقسم الناتج في النهاية على 3.

مفاهيم أساسية. أنظمة المعادلات الخطية

احسب قيمة التعبير 17−5·6:3−2+4:2.

أولاً، دعونا نحدد الترتيب الذي يجب تنفيذ الإجراءات في التعبير الأصلي. أنه يحتوي على كل من الضرب والقسمة والجمع والطرح.

أولاً، من اليسار إلى اليمين، عليك إجراء الضرب والقسمة. لذلك نضرب 5 في 6، نحصل على 30، ونقسم هذا الرقم على 3، نحصل على 10. الآن نقسم 4 على 2، نحصل على 2. نستبدل القيمة التي تم العثور عليها 10 في التعبير الأصلي بدلاً من 5 6:3، وبدلاً من 4:2 - القيمة 2، لدينا 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

لم يعد التعبير الناتج يحتوي على الضرب والقسمة، لذلك يبقى تنفيذ الإجراءات المتبقية بالترتيب من اليسار إلى اليمين: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

17−5·6:3−2+4:2=7.

في البداية، من أجل عدم الخلط بين الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات عند حساب قيمة التعبير، من المناسب وضع أرقام فوق علامات الإجراء التي تتوافق مع الترتيب الذي يتم تنفيذها به. بالنسبة للمثال السابق سيبدو كما يلي: .

يجب اتباع نفس ترتيب العمليات - أولًا الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح - عند التعامل مع تعبيرات الحروف.

أعلى الصفحة

إجراءات المرحلتين الأولى والثانية

يوجد في بعض كتب الرياضيات تقسيم العمليات الحسابية إلى عمليات المرحلتين الأولى والثانية. دعونا معرفة ذلك.

في هذه الشروط، سيتم كتابة القاعدة من الفقرة السابقة، والتي تحدد ترتيب تنفيذ الإجراءات، على النحو التالي: إذا كان التعبير لا يحتوي على قوسين، فبالترتيب من اليسار إلى اليمين، أولا إجراءات المرحلة الثانية ( وتتم عمليات الضرب والقسمة، ثم إجراءات المرحلة الأولى (الجمع والطرح).

أعلى الصفحة

ترتيب العمليات الحسابية في التعبيرات بين قوسين

غالبًا ما تحتوي التعبيرات على أقواس للإشارة إلى الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات. في هذه الحالة قاعدة تحدد ترتيب تنفيذ الإجراءات في التعبيرات بين قوسين، يتم صياغتها على النحو التالي: أولاً، يتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين القوسين، في حين يتم تنفيذ الضرب والقسمة أيضًا بالترتيب من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع والطرح.

لذا فإن التعبيرات الموجودة بين القوسين تعتبر مكونات للتعبير الأصلي، وهي تحتفظ بترتيب الأفعال المعروف لدينا بالفعل. دعونا نلقي نظرة على حلول الأمثلة لمزيد من الوضوح.

اتبع هذه الخطوات 5+(7−2·3)·(6−4):2.

يحتوي التعبير على أقواس، لذا فلنقم أولاً بتنفيذ الإجراءات الموجودة في التعبيرات الموجودة بين هذه الأقواس. لنبدأ بالتعبير 7−2·3. يجب عليك فيها إجراء الضرب أولاً، وبعدها فقط الطرح، لدينا 7−2·3=7−6=1. دعنا ننتقل إلى التعبير الثاني بين قوسين 6−4. هناك إجراء واحد فقط هنا - الطرح، نقوم به 6−4 = 2.

نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. في التعبير الناتج، نقوم أولاً بإجراء الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين، ثم الطرح، فنحصل على 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. عند هذه النقطة، تكون جميع الإجراءات قد اكتملت، والتزمنا بالترتيب التالي لتنفيذها: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

دعونا نكتب حلًا قصيرًا: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

يحدث أن يحتوي التعبير على أقواس داخل قوسين. ليست هناك حاجة للخوف من هذا، ما عليك سوى تطبيق القاعدة المعلنة باستمرار لتنفيذ الإجراءات في التعبيرات ذات الأقواس. دعونا نعرض حل المثال.

قم بإجراء العمليات في التعبير 4+(3+1+4·(2+3)).

هذا تعبير بين قوسين، مما يعني أن تنفيذ الإجراءات يجب أن يبدأ بالتعبير الموجود بين قوسين، أي بـ 3+1+4·(2+3).

يحتوي هذا التعبير أيضًا على أقواس، لذا يجب عليك تنفيذ الإجراءات الموجودة فيها أولاً. لنفعل هذا: 2+3=5. بالتعويض بالقيمة التي وجدناها، نحصل على 3+1+4·5. في هذا التعبير، نقوم أولًا بعملية الضرب، ثم الجمع، لدينا 3+1+4·5=3+1+20=24. القيمة الأولية، بعد استبدال هذه القيمة، تأخذ النموذج 4+24، وكل ما تبقى هو إكمال الإجراءات: 4+24=28.

4+(3+1+4·(2+3))=28.

بشكل عام، عندما يحتوي التعبير على أقواس داخل أقواس، يكون من المناسب غالبًا تنفيذ إجراءات بدءًا من الأقواس الداخلية والانتقال إلى الأقواس الخارجية.

على سبيل المثال، لنفترض أننا بحاجة إلى تنفيذ الإجراءات في التعبير (4+(4+(4−6:2))−1)−1. أولاً، نقوم بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين الأقواس الداخلية، حيث أن 4−6:2=4−3=1، ثم بعد ذلك سيأخذ التعبير الأصلي الشكل (4+(4+1)−1)−1. ننفذ الإجراء مرة أخرى بين الأقواس الداخلية، بما أن 4+1=5، نصل إلى التعبير التالي (4+5−1)−1. نقوم مرة أخرى بتنفيذ الإجراءات بين قوسين: 4+5−1=8، ونصل إلى الفرق 8−1، وهو ما يساوي 7.

أعلى الصفحة

ترتيب العمليات في التعبيرات ذات الجذور والقوى واللوغاريتمات والدوال الأخرى

إذا كان التعبير يشمل القوى والجذور واللوغاريتمات والجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، بالإضافة إلى دوال أخرى، فسيتم حساب قيمها قبل تنفيذ الإجراءات الأخرى، والقواعد من الفقرات السابقة التي تحدد ترتيب الإجراءات هي تؤخذ بعين الاعتبار أيضا. بمعنى آخر، يمكن اعتبار الأشياء المدرجة، بشكل تقريبي، محاطة بأقواس، ونحن نعلم أن الإجراءات الموجودة بين قوسين يتم تنفيذها أولاً.

دعونا نلقي نظرة على حلول الأمثلة.

قم بإجراء العمليات في التعبير (3+1)·2+6 2:3−7.

يحتوي هذا التعبير على قوة 6 2، ويجب حساب قيمتها قبل تنفيذ الإجراءات الأخرى. لذلك، نقوم بإجراء عملية الأس: 6 2 =36. نعوض بهذه القيمة في التعبير الأصلي، وسيأخذ الشكل (3+1)·2+36:3−7.

ثم يصبح كل شيء واضحًا: نقوم بتنفيذ الإجراءات بين قوسين، وبعد ذلك يتبقى لدينا تعبير بدون أقواس، حيث نقوم أولاً بالضرب والقسمة بالترتيب من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع والطرح. لدينا (3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13.

(3+1)·2+6 2:3−7=13.

يمكنك رؤية أمثلة أخرى، بما في ذلك أكثر تعقيدًا، لتنفيذ الإجراءات في التعبيرات ذات الجذور والقوى وما إلى ذلك، في المقالة حساب قيم التعبيرات.

أعلى الصفحة

أعمال المرحلة الأولىتسمى الجمع والطرح، وتسمى الضرب والقسمة إجراءات المرحلة الثانية.

• الرياضيات: الكتاب المدرسي للصف الخامس. تعليم عام المؤسسات / N. Ya.Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. – الطبعة الحادية والعشرون، محذوفة. - م: منيموسين، 2007. - 280 ص: مريض. ردمك 5-346-00699-0.

اكتب نظام المعادلات الجبرية الخطية بشكل عام

ما يسمى حل SLAE؟

حل نظام المعادلات هو مجموعة من الأرقام n،

عند استبدال هذا في النظام، تتحول كل معادلة إلى هوية.

ما هو النظام الذي يسمى مشترك (غير متوافق)؟

يسمى نظام المعادلات متسقًا إذا كان له حل واحد على الأقل.

يسمى النظام غير متناسق إذا لم يكن له حلول.

ما هو النظام الذي يسمى محدد (غير محدد)؟

يقال إن النظام المتسق محدد إذا كان له حل فريد.

ويقال إن النظام المتسق غير مؤكد إذا كان له أكثر من حل واحد.

شكل مصفوفة لكتابة نظام المعادلات

رتبة نظام المتجهات

تسمى رتبة نظام المتجهات الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا.

رتبة المصفوفة وطرق العثور عليها

رتبة المصفوفة- أعلى الرتب الصغرى لهذه المصفوفة والتي يختلف محددها عن الصفر.

الطريقة الأولى وهي طريقة الحواف وهي كالتالي:

إذا كان جميع القاصرين من الدرجة الأولى، أي. عناصر المصفوفة تساوي الصفر، ثم r=0.

إذا كان واحد على الأقل من العناصر الثانوية من الدرجة الأولى لا يساوي الصفر، وجميع العناصر الثانوية من الدرجة الثانية تساوي صفرًا، فإن r = 1.

إذا كانت الدرجة الثانية الثانوية مختلفة عن الصفر، فإننا ندرس الثانوية الثالثة. بهذه الطريقة، نجد الرتبة الثانوية k ونتحقق مما إذا كانت الرتب الثانوية k+1 تساوي الصفر.

إذا كانت جميع العناصر الثانوية من الرتبة k+1 تساوي صفرًا، فإن رتبة المصفوفة تساوي الرقم k. عادة ما يتم العثور على مثل هذه القاصرين من الرتبة k+1 عن طريق "حواف" القاصر من الرتبة k.

الطريقة الثانية لتحديد رتبة المصفوفة هي تطبيق التحويلات الأولية للمصفوفة عند رفعها إلى الشكل القطري. رتبة هذه المصفوفة تساوي عدد العناصر القطرية غير الصفرية.

الحل العام لنظام غير متجانس من المعادلات الخطية وخصائصه.

الخاصية 1.مجموع أي حل لنظام المعادلات الخطية وأي حل للنظام المتجانس المقابل له هو حل لنظام المعادلات الخطية.

الملكية 2.

أنظمة المعادلات الخطية: المفاهيم الأساسية

الفرق بين أي حلين لنظام غير متجانس من المعادلات الخطية هو حل للنظام المتجانس المقابل.

طريقة غاوس لحل SLAEs

التبعية:

1) يتم تجميع مصفوفة موسعة لنظام المعادلة

2) باستخدام التحويلات الأولية، يتم تقليل المصفوفة إلى شكل تدريجي

3) يتم تحديد رتبة المصفوفة الموسعة للنظام ورتبة مصفوفة النظام ويتم إبرام ميثاق التوافق أو عدم التوافق للنظام

4) في حالة التوافق يتم كتابة نظام المعادلات المكافئ

5) تم إيجاد حل النظام . يتم التعبير عن المتغيرات الرئيسية من خلال الحرة

نظرية كرونيكر كابيلي

كرونيكر - نظرية كابيلي- معيار التوافق لنظام المعادلات الجبرية الخطية:

يكون نظام المعادلات الجبرية الخطية متسقًا إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفته الرئيسية تساوي رتبة مصفوفته الموسعة، ويكون للنظام حلًا فريدًا إذا كانت الرتبة تساوي عدد المجهولين، و عدد لا نهائي من الحلول إذا كانت رتبتها أقل من عدد المجهولات.

لكي يكون النظام الخطي متسقا، من الضروري والكافي أن تكون رتبة المصفوفة الموسعة لهذا النظام مساوية لرتبة مصفوفته الرئيسية.

متى لا يكون للنظام حل، أو متى يكون له حل واحد، أو يكون له حلول متعددة؟

إذا كان عدد معادلات النظام يساوي عدد المتغيرات المجهولة ومحدد مصفوفته الرئيسية لا يساوي الصفر، فإن مثل هذه الأنظمة من المعادلات لها حل فريد، وفي حالة النظام المتجانس جميعها المتغيرات غير المعروفة تساوي الصفر.

يسمى نظام المعادلات الخطية الذي له حل واحد على الأقل بالتزامن. خلاف ذلك، أي. إذا لم يكن لدى النظام حلول، فإنه يسمى غير متناسق.

تسمى المعادلات الخطية متوافقة إذا كان لها حل واحد على الأقل، وغير متسقة إذا لم يكن هناك حلول. في المثال 14 النظام متسق، والعمود هو الحل الخاص به:

يمكن كتابة هذا الحل بدون مصفوفات: x = 2, y = 1.

سنسمي نظام المعادلات غير محدد إذا كان له أكثر من حل واحد، ونسميه محددًا إذا كان هناك حل واحد فقط.

مثال 15. النظام غير مؤكد. على سبيل المثال، ... هي حلولها. ويمكن للقارئ أن يجد العديد من الحلول الأخرى لهذا النظام.

صيغ تربط إحداثيات المتجهات في القواعد القديمة والجديدة

دعونا نتعلم كيفية حل أنظمة المعادلات الخطية أولاً في حالة معينة. سوف نسمي نظام المعادلات AX = B Cramer إذا كانت مصفوفته الرئيسية A مربعة وغير متدهورة. بمعنى آخر، في نظام كرامر يتطابق عدد المجهولات مع عدد المعادلات و |A| = 0.

النظرية 6 (قاعدة كرامر). يحتوي نظام كرامر للمعادلات الخطية على حل فريد من خلال الصيغ:

حيث Δ = |أ| هو محدد المصفوفة الرئيسية، Δi هو المحدد الذي تم الحصول عليه من A عن طريق استبدال العمود i بعمود من المصطلحات الحرة.

سوف نقوم بالبرهان على n = 3، لأنه في الحالة العامة يكون المنطق مشابهًا.

إذن لدينا نظام كرامر:

لنفترض أولاً أن هناك حلاً للنظام، أي أنه موجود

دعونا نضرب الأول. المساواة على المكمل الجبري للعنصر aii، المساواة الثانية على A2i، الثالثة على A3i وإضافة المساواة الناتجة:

نظام المعادلات الخطية ~ حل النظام ~ الأنظمة المتسقة وغير المتوافقة ~ النظام المتجانس ~ توافق النظام المتجانس ~ رتبة مصفوفة النظام ~ شرط التوافق غير البديهي ~ نظام الحلول الأساسي. الحل العام ~ التحقيق في نظام متجانس

النظر في النظام مالمعادلات الجبرية الخطية فيما يتعلق نمجهول
س 1 , س 2 , …, س ن :

بالقراريسمى النظام مجموعة نقيم غير معروفة

x 1 =x’ 1, x 2 =x’ 2, …, x n =x’ n,

عند الاستبدال، تتحول جميع معادلات النظام إلى متطابقات.

يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية على شكل مصفوفة:

أين أ- مصفوفة النظام، ب- الجزء الأيمن، س- الحل المطلوب، ص - مصفوفة موسعةالأنظمة:

.

يسمى النظام الذي يحتوي على حل واحد على الأقل مشترك; نظام ليس له حل واحد غير متوافق.

النظام المتجانس للمعادلات الخطية هو النظام الذي يساوي جانبه الأيمن صفرًا:

عرض المصفوفة لنظام متجانس: الفأس = 0.

النظام المتجانس يكون دائمًا متسقًا، حيث أن أي نظام خطي متجانس له حل واحد على الأقل:

س 1 =0، × 2 =0، …، س ن =0.

إذا كان للنظام المتجانس حل فريد، فإن هذا الحل الفريد يكون صفرًا، ويتم استدعاء النظام مشترك تافهة.إذا كان النظام المتجانس له أكثر من حل فمن بينهم حلول غير الصفر، وفي هذه الحالة يسمى النظام مشترك غير تافه.

وقد ثبت ذلك عندما م = نلتوافق النظام غير تافهة ضرورية وكافيةبحيث يكون محدد مصفوفة النظام يساوي الصفر.

مثال 1. التوافق غير البديهي لنظام متجانس من المعادلات الخطية مع مصفوفة مربعة.

وبتطبيق خوارزمية الحذف الغوسية على مصفوفة النظام، فإننا نقوم بتقليل مصفوفة النظام إلى شكل تدريجي

.

رقم صتسمى الصفوف غير الصفرية في شكل مصفوفة رتبة المصفوفة,دل
ص = RG (أ)أو ص = آر جي (أ).

البيان التالي هو الصحيح.

نظام المعادلات الجبرية الخطية

لكي يكون النظام المتجانس متسقًا بشكل غير تافه، من الضروري والكافي أن تكون الرتبة صكانت مصفوفة النظام أقل من عدد المجهولين ن.

مثال 2. التوافق غير البديهي لنظام متجانس مكون من ثلاث معادلات خطية مع أربع معادلات غير معروفة.

إذا كان النظام المتجانس غير متسق بشكل تافه، فإنه يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول، والجمع الخطي لأي حلول للنظام هو أيضًا حله.
لقد ثبت أنه من بين مجموعة لا حصر لها من الحلول لنظام متجانس يمكن تحديدها بدقة ن-رحلول مستقلة خطيا.
الكلية ن-رتسمى الحلول المستقلة خطيا لنظام متجانس النظام الأساسي للحلول.يتم التعبير عن أي حل للنظام خطيًا من خلال النظام الأساسي. وهكذا إذا كانت الرتبة صالمصفوفات أنظام خطي متجانس الفأس = 0عدد أقل من المجهول نوالمتجهات
ه 1 , ه 2 , …, ه ن-رتشكيل نظامها الأساسي للحلول ( Ae i =0، i=1،2، …، n-r)، ثم أي حل سأنظمة الفأس = 0يمكن كتابتها في النموذج

س=ج 1 ه 1 + ج 2 ه 2 + … + ج ن-ر ه-ن-ر ,

أين ج 1 , ج 2 , …, ج ن-ر- الثوابت التعسفية. يسمى التعبير الكتابي القرار العامنظام متجانس .

بحث

النظام المتجانس يعني تحديد ما إذا كان متسقًا بشكل غير تافه، وإذا كان الأمر كذلك، فابحث عن النظام الأساسي للحلول واكتب تعبيرًا عن الحل العام للنظام.

دعونا ندرس نظامًا متجانسًا باستخدام الطريقة الغوسية.

مصفوفة النظام المتجانس قيد الدراسة ورتبتها ص< n .

يتم تقليل هذه المصفوفة عن طريق الحذف الغوسي إلى الشكل التدريجي

.

النظام المكافئ المقابل له النموذج

من هنا يسهل الحصول على تعبيرات للمتغيرات س 1 , س 2 , …, س صخلال س ص+1 , س ص+2 , …, س ن. المتغيرات
س 1 , س 2 , …, س صمُسَمًّى المتغيرات الأساسيةوالمتغيرات س ص+1 , س ص+2 , …, س ن - المتغيرات الحرة.

نقل المتغيرات الحرة إلى الجانب الأيمن، نحصل على الصيغ

التي تحدد الحل العام للنظام.

دعونا نجعل قيم المتغيرات الحرة متساوية بالتتابع

وحساب القيم المقابلة للمتغيرات الأساسية. تلقى ن-رالحلول مستقلة خطيًا وبالتالي تشكل نظامًا أساسيًا لحلول النظام المتجانس قيد الدراسة:

دراسة نظام متجانس للاتساق باستخدام الطريقة الغوسية.