تعريف المثلث متساوي الساقين. مثلث متساوي الساقين. دروس كاملة – المعرفة هايبر ماركت

يتم التعبير عن خصائص المثلث متساوي الساقين من خلال النظريات التالية.

النظرية 1. في المثلث متساوي الساقين، زوايا القاعدة متساوية.

النظرية 2. في المثلث متساوي الساقين، المنصف المرسوم على القاعدة هو الوسط والارتفاع.

النظرية 3. في المثلث متساوي الساقين، الوسيط المرسوم على القاعدة هو المنصف والارتفاع.

النظرية 4. في مثلث متساوي الساقين، الارتفاع المرسوم إلى القاعدة هو المنصف والوسيط.

دعونا نثبت إحداها، على سبيل المثال النظرية 2.5.

دليل. دعونا نفكر في مثلث متساوي الساقين ABC وقاعدته BC ونثبت أن ∠ B = ∠ C. دع AD يكون منصف المثلث ABC (الشكل 1). المثلثان ABD وACD متساويان حسب علامة تساوي المثلثات الأولى (AB = AC بالشرط، AD ضلع مشترك، ∠ 1 = ∠ 2، حيث أن AD منصف). ويترتب على تساوي هذه المثلثات أن ∠ B = ∠ C. تم إثبات النظرية.

باستخدام النظرية 1، يتم إنشاء النظرية التالية.

النظرية 5. المعيار الثالث لمساواة المثلثات. إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تساوي على التوالي ثلاثة أضلاع لمثلث آخر، فإن هذه المثلثات تكون متطابقة (الشكل 2).

تعليق. الجمل الواردة في المثالين 1 و 2 تعبر عن خصائص المنصف العمودي للقطعة. ويترتب على هذه المقترحات أن تتقاطع المنصفات المتعامدة على جوانب المثلث عند نقطة واحدة.

مثال 1.أثبت أن نقطة في المستوى متساوية البعد من طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي على هذه القطعة.

حل. لتكن النقطة M على مسافة متساوية من طرفي القطعة AB (الشكل 3)، أي AM = BM.

ثم Δ AMV متساوي الساقين. لنرسم خطًا مستقيمًا p عبر النقطة M ونقطة المنتصف O للقطعة AB. من خلال البناء، فإن القطعة MO هي متوسط ​​المثلث المتساوي الساقين AMB، وبالتالي (النظرية 3)، والارتفاع، أي الخط المستقيم MO، هو المنصف العمودي على القطعة AB.

مثال 2.أثبت أن كل نقطة من المنصف العمودي على القطعة تكون متساوية البعد عن طرفيها.

حل. دع p يكون المنصف العمودي للقطعة AB والنقطة O هي نقطة المنتصف للقطعة AB (انظر الشكل 3).

النظر في نقطة تعسفية M تقع على الخط المستقيم ص. دعونا نرسم القطع AM وBM. المثلثان AOM وBOM متساويان، نظرًا لأن زواياهما عند الرأس O صحيحة، والساق OM شائعة، والساق OA تساوي الساق OB حسب الشرط. ومن تساوي المثلثين AOM وBOM يترتب على ذلك أن AM = BM.

مثال 3.في المثلث ABC (انظر الشكل 4) AB = 10 سم، BC = 9 سم، AC = 7 سم؛ في المثلث DEF DE = 7 سم، EF = 10 سم، FD = 9 سم.

قارن بين المثلثين ABC و DEF. أوجد الزوايا المتساوية المتناظرة.

حل. وهذه المثلثات متساوية حسب المعيار الثالث. في المقابل، الزوايا المتساوية: A وE (تقعان على ضلعين متساويين BC وFD)، B وF (تقعان على ضلعين متساويين AC وDE)، C وD (تقعان على ضلعين متساويين AB وEF).

مثال 4.في الشكل 5، AB = DC، BC = AD، ∠B = 100°.

أوجد الزاوية د.

حل. خذ بعين الاعتبار المثلثين ABC وADC. وهي متساوية حسب المعيار الثالث (AB = DC، BC = AD حسب الحالة والجانب AC شائع). ويترتب على تساوي هذه المثلثات أن ∠ B = ∠ D، ولكن الزاوية B تساوي 100 درجة، مما يعني أن الزاوية D تساوي 100 درجة.

مثال 5.في مثلث متساوي الساقين ABC وقاعدته AC، تكون الزاوية الخارجية عند الرأس C 123 درجة. أوجد حجم الزاوية ABC. اكتب إجابتك بالدرجات.

حل الفيديو.

يتناول هذا الدرس موضوع "المثلث متساوي الساقين وخصائصه". سوف تتعلم كيف تبدو متساوي الساقين والمثلثات متساوية الأضلاع وكيف تتميز. إثبات نظرية تساوي الزوايا عند قاعدة مثلث متساوي الساقين. ضع في اعتبارك أيضًا نظرية المنصف (الوسيط والارتفاع) المرسوم على قاعدة مثلث متساوي الساقين. في نهاية الدرس، ستحل مسألتين باستخدام تعريف المثلث المتساوي الساقين وخصائصه.

تعريف:متساوي الساقينيسمى المثلث الذي ضلعاه متساويان.

أرز. 1. مثلث متساوي الساقين

AB = AC - الجوانب. قبل الميلاد - الأساس.

مساحة المثلث متساوي الساقين تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته وارتفاعه.

تعريف:متساوي الاضلاعيسمى المثلث الذي تكون فيه أضلاعه الثلاثة متساوية.

أرز. 2. مثلث متساوي الأضلاع

أ ب = ق = سا.

النظرية 1:في المثلث المتساوي الساقين، زوايا القاعدة متساوية.

منح:أب = أس.

يثبت:∠ب =∠ج.

أرز. 3. الرسم للنظرية

دليل:المثلث ABC = المثلث ACB حسب الإشارة الأولى (ضلعان متساويان والزاوية بينهما). ويترتب على تساوي المثلثات أن جميع العناصر المتناظرة متساوية. وهذا يعني أن ∠B = ∠C، وهو ما يجب إثباته.

النظرية 2:في مثلث متساوي الساقين منصفتعادل إلى القاعدة الوسيطو ارتفاع.

منح: AB = AC، ∠1 = ∠2.

يثبت:ВD = DC، AD عمودي على BC.

أرز. 4. الرسم للنظرية 2

دليل:مثلث ADB = مثلث ADC حسب الإشارة الأولى (AD - عام، AB = AC حسب الشرط، ∠BAD = ∠DAC). ويترتب على تساوي المثلثات أن جميع العناصر المتناظرة متساوية. BD = DC لأنهما متقابلان بزوايا متساوية. إذن AD هو الوسيط. وأيضًا ∠3 = ∠4، حيث أنهما يقعان على ضلعين متساويين. ولكن، إلى جانب ذلك، فهي متساوية في المجموع. ولذلك، ∠3 = ∠4 = . وهذا يعني أن AD هو ارتفاع المثلث، وهو ما أردنا إثباته.

في الحالة الوحيدة أ = ب = . في هذه الحالة، يسمى الخطان AC و BD متعامدين.

بما أن المنصف والارتفاع والوسيط هم نفس القطعة، فإن العبارات التالية صحيحة أيضًا:

ارتفاع المثلث المتساوي الساقين المرسوم إلى القاعدة هو المتوسط ​​والمنصف.

متوسط ​​المثلث متساوي الساقين المرسوم على القاعدة هو الارتفاع والمنصف.

مثال 1:في المثلث المتساوي الساقين، قاعدته نصف طول ضلعه، ومحيطه 50 سم، أوجد أضلاع المثلث.

منح: AB = AC، BC = AC. ف = 50 سم.

يجد:قبل الميلاد، AC، AB.

حل:

أرز. 5. الرسم على سبيل المثال 1

دعونا نشير إلى الأساس BC على أنه a، ثم AB = AC = 2a.

2أ + 2أ + أ = 50.

5أ = 50، أ = 10.

إجابة: BC = 10 سم، AC = AB = 20 سم.

مثال 2:أثبت أن جميع الزوايا في المثلث متساوي الأضلاع متساوية.

منح:أ ب = ق = سا.

يثبت:∠أ = ∠ب = ∠ج.

دليل:

أرز. 6. الرسم على سبيل المثال

∠B = ∠C، بما أن AB = AC، و∠A = ∠B، بما أن AC = BC.

لذلك، ∠A = ∠B = ∠C، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

إجابة:ثبت.

في درس اليوم تناولنا المثلث متساوي الساقين ودرسنا خصائصه الأساسية. في الدرس التالي سوف نقوم بحل المسائل المتعلقة بموضوع المثلثات المتساوية الساقين، حول حساب مساحة المثلث المتساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع.

1. ألكساندروف أ.د.، فيرنر أ.ل.، ريجيك ف.آي. وغيرها الهندسة 7. - م: التربية.
2. أتاناسيان إل إس، بوتوزوف في إف، كادومتسيف إس بي. وغيرها الهندسة 7. الطبعة الخامسة. - م: التنوير.
3. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوفا ف.ف. الهندسة 7 / ف.ف. بوتوزوف، س. كادومتسيف ، ف. براسولوفا، أد. سادوفنيتشيغو ف. - م: التربية، 2010.

1. قواميس وموسوعات عن الأكاديمي ().
2. مهرجان الأفكار التربوية "الدرس المفتوح" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. رقم 29. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوفا ف.ف. الهندسة 7 / ف.ف. بوتوزوف، س. كادومتسيف ، ف. براسولوفا، أد. سادوفنيتشيغو ف. - م: التربية، 2010.

2. محيط المثلث المتساوي الساقين 35 سم، وقاعدته أصغر من ضلعه بثلاث مرات. العثور على جوانب المثلث.

3. بالنظر إلى: AB = BC. أثبت أن ∠1 = ∠2.

4. محيط المثلث المتساوي الساقين 20 سم، وطول أحد أضلاعه ضعف طول الآخر. العثور على جوانب المثلث. كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المشكلة؟

حيث يكون الجانبان متساويين في الطول. تسمى الجوانب المتساوية بالجانبي، ويسمى الجانب غير المتساوي الأخير القاعدة. بحكم التعريف، المثلث المنتظم هو أيضًا متساوي الساقين، لكن العكس ليس صحيحًا.

المصطلح

إذا كان للمثلث ضلعان متساويان، فإن هذه الأضلاع تسمى أضلاعًا، ويسمى الضلع الثالث القاعدة. تسمى الزاوية المتكونة من الجانبين زاوية قمة الرأس، وتسمى الزوايا التي يكون أحد أضلاعها القاعدة الزوايا في القاعدة.

ملكيات

• الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية في المثلث متساوي الساقين متساوية مع بعضها البعض. والمنصفات والمتوسطات والارتفاعات المرسومة من هذه الزوايا متساوية أيضًا.
• يتطابق المنصف والوسيط والارتفاع والمنصف العمودي المرسوم على القاعدة مع بعضهما البعض. وتقع مراكز الدوائر المنقوشة والمحدودة على هذا الخط.

يترك أ- طول ضلعين متساويين في المثلث متساوي الساقين، ب- طول الضلع الثالث، ح- ارتفاع المثلث متساوي الساقين

• $أ\; =\; \backslash frac\; ب\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(نتيجة طبيعية لنظرية جيب التمام)؛
• $ب\; =\; أ\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\; \backslash beta))$(نتيجة طبيعية لنظرية جيب التمام)؛
• $ب\; =\; 2\; أ\; \backslash \; خطيئة\; \backslash \; فارك\; \backslash \; بيتا\; 2$;
• $ب\; =\; 2أ\backslash كوس\backslash ألفا$(نظرية الإسقاط)

يمكن التعبير عن نصف قطر الدائرة بستة طرق، اعتمادًا على المعلمتين المعروفتين للمثلث متساوي الساقين:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash right)$

الزوايايمكن التعبير عنها بالطرق التالية:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R)،\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(نظرية الجيب).
• يمكن أيضًا العثور على الزاوية بدون $(\backslash باي)$و $ر$. ينقسم المثلث إلى نصفين بواسطة متوسطه، و تلقىيتم حساب زوايا مثلثين متساويين قائمين:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c)،\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

محيطيمكن العثور على مثلث متساوي الساقين بالطرق التالية:

• $ف\; =\; 2أ\; +\; ب$(أ-بريوري)؛
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(نتيجة طبيعية لنظرية الجيب).

مربعيتم العثور على المثلث بالطرق التالية:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh؛$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

أنظر أيضا

اكتب مراجعة عن مقالة "المثلث متساوي الساقين"

ملحوظات

مقتطف يميز المثلث متساوي الساقين

ماريا دميترييفنا، على الرغم من خوفهم منها، كان يُنظر إليها في سانت بطرسبرغ على أنها مفرقعة، وبالتالي، من الكلمات التي قالتها، لاحظوا فقط كلمة وقحة وكرروها في همس لبعضهم البعض، على افتراض أن هذه الكلمة يحتوي على كل ملح ما قيل.
الأمير فاسيلي، الذي نسي في كثير من الأحيان ما قاله مؤخرًا وكرر نفس الشيء مائة مرة، كان يتحدث كلما رأى ابنته.
قال لها: "هيلين، أريدك شيئًا رهيبًا"، وأخذها جانبًا وسحبها من يدها إلى الأسفل. "Jai eu vent de بعض المشاريع المتعلقة بـ... أنت حفظ". حسنًا، يا طفلي، أنت تحفظ أن mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir... Vous avez tant souffert... لكن، chere enfant... ne Consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis. [هيلين، أريد أن أخبرك بشيء. لقد سمعت عن بعض الأنواع بخصوص... كما تعلم. حسنًا، يا طفلتي العزيزة، أنت تعلم أن قلب والدك يفرح لأنك.. لقد تحملت الكثير... لكن يا طفلتي... افعلي ما يمليه عليك قلبك. هذه كل نصيحتي.] - وكان يخفي دائمًا نفس الإثارة، وضغط خده على خد ابنته ومشى بعيدًا.
بيليبين، الذي لم يفقد سمعته كشخص ذكي وكان صديق هيلين النزيه، أحد هؤلاء الأصدقاء الذين لديهم دائمًا نساء لامعات، أصدقاء الرجال الذين لا يمكنهم أبدًا أن يتحولوا إلى دور العشاق، بيليبين ذات مرة في كوميت صغيرة [حميمة صغيرة الدائرة] عبرت لصديقته هيلين عن وجهة نظرك في هذا الأمر برمته.
- إكوتيز، بيليبين (هيلين كانت تنادي أصدقاءها دائمًا مثل بيليبين بأسمائهم الأخيرة) - وقد لمست يدها ذات الحلقة البيضاء على كم معطفه. – Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux؟ [اسمع بيليبين: أخبرني كيف تخبر أختك ماذا علي أن أفعل؟ أي من الإثنين؟]
جمع بيليبين الجلد فوق حاجبيه وفكر بابتسامة على شفتيه.
قال: "Vous ne me prenez pas en فاجأ، vous savez". - Comme veritable ami j"ai pense et repense a votre Affairse. Voyez vous. Si vous epousez le Prince (كان شابًا)،" ثني إصبعه، "vous perdez pour toujours la فرصة d"epouser l"autre،" et puis vous mecontentez la cour.vous epousant، [لن تفاجئني، كما تعلم. مثل صديق حقيقي، كنت أفكر في أمرك لفترة طويلة. ترى: إذا تزوجت أميرًا، فأنت سوف تفقد إلى الأبد الفرصة لتكون زوجة آخر، وبالإضافة إلى ذلك، ستكون المحكمة غير راضية. (كما تعلمون، بعد كل شيء، القرابة متضمنة هنا.) وإذا تزوجت من الكونت القديم، فسوف تكون سعادة أيامه الأخيرة، وبعد ذلك ... لن يكون من المهين للأمير أن يتزوج من أرملة أحد النبلاء.] - وترك بيليبين جلده.
- Voila صديق حقيقي! - قالت هيلين المبتهجة، وهي تلمس يدها مرة أخرى كم بيليبيب. – لكني أريد أن أستمتع بآخر وآخر، لا أريد أن أشعر بالحزن. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux، [هنا صديق حقيقي! لكني أحبهما ولا أريد أن أزعج أحداً. من أجل سعادة كليهما، سأكون مستعدة للتضحية بحياتي.] - قالت.
هز بيليبين كتفيه، معبرًا عن أنه حتى هو لم يعد قادرًا على مساعدة مثل هذا الحزن.
""سيدة سيدة! Voila ce qui s"appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois"، ["أحسنت يا امرأة! هذا ما يسمى طرح السؤال بحزم. إنها تود أن تكون زوجة الثلاثة في نفس الوقت". الوقت."] - فكر بيليبين.

يتناول هذا الدرس موضوع "المثلث متساوي الساقين وخصائصه". سوف تتعلم كيف تبدو متساوي الساقين والمثلثات متساوية الأضلاع وكيف تتميز. إثبات نظرية تساوي الزوايا عند قاعدة مثلث متساوي الساقين. ضع في اعتبارك أيضًا نظرية المنصف (الوسيط والارتفاع) المرسوم على قاعدة مثلث متساوي الساقين. في نهاية الدرس، ستحل مسألتين باستخدام تعريف المثلث المتساوي الساقين وخصائصه.

تعريف:متساوي الساقينيسمى المثلث الذي ضلعاه متساويان.

أرز. 1. مثلث متساوي الساقين

AB = AC - الجوانب. قبل الميلاد - الأساس.

مساحة المثلث متساوي الساقين تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته وارتفاعه.

تعريف:متساوي الاضلاعيسمى المثلث الذي تكون فيه أضلاعه الثلاثة متساوية.

أرز. 2. مثلث متساوي الأضلاع

أ ب = ق = سا.

النظرية 1:في المثلث المتساوي الساقين، زوايا القاعدة متساوية.

منح:أب = أس.

يثبت:∠ب =∠ج.

أرز. 3. الرسم للنظرية

دليل:المثلث ABC = المثلث ACB حسب الإشارة الأولى (ضلعان متساويان والزاوية بينهما). ويترتب على تساوي المثلثات أن جميع العناصر المتناظرة متساوية. وهذا يعني أن ∠B = ∠C، وهو ما يجب إثباته.

النظرية 2:في مثلث متساوي الساقين منصفتعادل إلى القاعدة الوسيطو ارتفاع.

منح: AB = AC، ∠1 = ∠2.

يثبت:ВD = DC، AD عمودي على BC.

أرز. 4. الرسم للنظرية 2

دليل:مثلث ADB = مثلث ADC حسب الإشارة الأولى (AD - عام، AB = AC حسب الشرط، ∠BAD = ∠DAC). ويترتب على تساوي المثلثات أن جميع العناصر المتناظرة متساوية. BD = DC لأنهما متقابلان بزوايا متساوية. إذن AD هو الوسيط. وأيضًا ∠3 = ∠4، حيث أنهما يقعان على ضلعين متساويين. ولكن، إلى جانب ذلك، فهي متساوية في المجموع. ولذلك، ∠3 = ∠4 = . وهذا يعني أن AD هو ارتفاع المثلث، وهو ما أردنا إثباته.

في الحالة الوحيدة أ = ب = . في هذه الحالة، يسمى الخطان AC و BD متعامدين.

بما أن المنصف والارتفاع والوسيط هم نفس القطعة، فإن العبارات التالية صحيحة أيضًا:

ارتفاع المثلث المتساوي الساقين المرسوم إلى القاعدة هو المتوسط ​​والمنصف.

متوسط ​​المثلث متساوي الساقين المرسوم على القاعدة هو الارتفاع والمنصف.

مثال 1:في المثلث المتساوي الساقين، قاعدته نصف طول ضلعه، ومحيطه 50 سم، أوجد أضلاع المثلث.

منح: AB = AC، BC = AC. ف = 50 سم.

يجد:قبل الميلاد، AC، AB.

حل:

أرز. 5. الرسم على سبيل المثال 1

دعونا نشير إلى الأساس BC على أنه a، ثم AB = AC = 2a.

2أ + 2أ + أ = 50.

5أ = 50، أ = 10.

إجابة: BC = 10 سم، AC = AB = 20 سم.

مثال 2:أثبت أن جميع الزوايا في المثلث متساوي الأضلاع متساوية.

منح:أ ب = ق = سا.

يثبت:∠أ = ∠ب = ∠ج.

دليل:

أرز. 6. الرسم على سبيل المثال

∠B = ∠C، بما أن AB = AC، و∠A = ∠B، بما أن AC = BC.

لذلك، ∠A = ∠B = ∠C، وهو ما يحتاج إلى إثبات.

إجابة:ثبت.

في درس اليوم تناولنا المثلث متساوي الساقين ودرسنا خصائصه الأساسية. في الدرس التالي سوف نقوم بحل المسائل المتعلقة بموضوع المثلثات المتساوية الساقين، حول حساب مساحة المثلث المتساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع.

1. ألكساندروف أ.د.، فيرنر أ.ل.، ريجيك ف.آي. وغيرها الهندسة 7. - م: التربية.
2. أتاناسيان إل إس، بوتوزوف في إف، كادومتسيف إس بي. وغيرها الهندسة 7. الطبعة الخامسة. - م: التنوير.
3. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوفا ف.ف. الهندسة 7 / ف.ف. بوتوزوف، س. كادومتسيف ، ف. براسولوفا، أد. سادوفنيتشيغو ف. - م: التربية، 2010.

1. قواميس وموسوعات عن الأكاديمي ().
2. مهرجان الأفكار التربوية "الدرس المفتوح" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. رقم 29. بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوفا ف.ف. الهندسة 7 / ف.ف. بوتوزوف، س. كادومتسيف ، ف. براسولوفا، أد. سادوفنيتشيغو ف. - م: التربية، 2010.

2. محيط المثلث المتساوي الساقين 35 سم، وقاعدته أصغر من ضلعه بثلاث مرات. العثور على جوانب المثلث.

3. بالنظر إلى: AB = BC. أثبت أن ∠1 = ∠2.

4. محيط المثلث المتساوي الساقين 20 سم، وطول أحد أضلاعه ضعف طول الآخر. العثور على جوانب المثلث. كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المشكلة؟

المثلث الذي يكون فيه ضلعان متساويان يسمى متساوي الساقين. تسمى هذه الجوانب جانبية، ويسمى الجانب الثالث القاعدة. في هذه المقالة سوف نخبرك عن خصائص المثلث متساوي الساقين.

النظرية 1

الزوايا القريبة من قاعدة المثلث متساوي الساقين متساوية مع بعضها البعض

إثبات النظرية.

لنفترض أن لدينا مثلث متساوي الساقين ABC قاعدته AB. دعونا نلقي نظرة على المثلث BAC. هذه المثلثات، بالإشارة الأولى، متساوية مع بعضها البعض. وهذا صحيح، لأن BC = AC، AC = BC، الزاوية ACB = الزاوية ACB. ويترتب على ذلك أن الزاوية BAC = الزاوية ABC، لأنها الزوايا المتناظرة لمثلثاتنا المتساوية. هنا خاصية زوايا المثلث متساوي الساقين.

النظرية 2

الوسيط في المثلث متساوي الساقين، المرسوم على قاعدته، هو أيضًا الارتفاع والمنصف

إثبات النظرية.

لنفترض أن لدينا مثلثًا متساوي الساقين ABC، قاعدته هي AB، وCD هو الوسيط الذي رسمناه إلى قاعدته. في المثلثين ACD وBCD، الزاوية CAD = الزاوية CBD، باعتبارها الزوايا المقابلة عند قاعدة مثلث متساوي الساقين (النظرية 1). والضلع AC = الضلع BC (حسب تعريف المثلث المتساوي الساقين). الضلع AD = الضلع BD، لأن النقطة D تقسم القطعة AB إلى أجزاء متساوية. ويترتب على ذلك أن المثلث ACD = المثلث BCD.

ومن تساوي هذين المثلثين نحصل على تساوي الزوايا المتناظرة. أي أن الزاوية ACD = الزاوية BCD والزاوية ADC = الزاوية BDC. من المساواة 1 يترتب على أن القرص المضغوط منصف. والزاوية ADC والزاوية BDC زاويتان متجاورتان، ومن المساواة 2 يستنتج أنهما زاويتان قائمتان. يتبين أن CD هو ارتفاع المثلث. هذه هي خاصية متوسط ​​المثلث متساوي الساقين.

والآن قليلاً عن علامات المثلث متساوي الساقين.

النظرية 3

إذا كانت زاويتان في مثلث متساويتين، فإن المثلث متساوي الساقين

إثبات النظرية.

لنفترض أن لدينا مثلث ABC زاوية فيه CAB = الزاوية CBA. المثلث ABC = المثلث BAC حسب المعيار الثاني للمساواة بين المثلثات. وهذا صحيح، لأن AB = BA؛ الزاوية CBA = الزاوية CAB، الزاوية CAB = الزاوية CBA. ومن هذه المساواة للمثلثات لدينا تساوي الأضلاع المتناظرة في المثلث - AC = BC. ومن ثم يتبين أن المثلث ABC متساوي الساقين.

النظرية 4

إذا كان متوسط ​​أي مثلث هو ارتفاعه أيضًا، فإن هذا المثلث يكون متساوي الساقين

إثبات النظرية.

في المثلث ABC سنرسم القرص المضغوط المتوسط. وسوف يكون أيضا الارتفاع. المثلث القائم ACD = المثلث القائم BCD، نظرًا لأن الضلع CD شائع بالنسبة لهم، والضلع AD = الضلع BD. ويترتب على ذلك أن الوترين متساويان مع بعضهما البعض، مثل الأجزاء المتناظرة من المثلثات المتساوية. وهذا يعني أن AB = BC.

النظرية 5

إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث تساوي ثلاثة أضلاع لمثلث آخر، فإن هذين المثلثين متطابقان

إثبات النظرية.

لنفترض أن لدينا مثلث ABC ومثلث A1B1C1 بحيث تكون أضلاعه AB = A1B1، AC = A1C1، BC = B1C1. دعونا نفكر في إثبات هذه النظرية بالتناقض.

لنفترض أن هذه المثلثات ليست متساوية مع بعضها البعض. من هنا لدينا أن الزاوية BAC لا تساوي الزاوية B1A1C1، والزاوية ABC لا تساوي الزاوية A1B1C1، والزاوية ACB لا تساوي الزاوية A1C1B1 في نفس الوقت. وإلا فإن هذه المثلثات ستكون متساوية حسب المعايير التي ذكرناها أعلاه.

لنفترض أن المثلث A1B1C2 = المثلث ABC. في المثلث، يقع الرأس C2 مع الرأس C1 بالنسبة إلى الخط المستقيم A1B1 في نفس نصف المستوى. لقد افترضنا أن القمم C2 وC1 لا تتطابق. لنفترض أن النقطة D هي منتصف القطعة C1C2. إذن لدينا مثلثان متساويان الساقين B1C1C2 وA1C1C2، ولهما قاعدة مشتركة C1C2. وتبين أن متوسطيهما B1D وA1D هما أيضًا ارتفاعاتهما. هذا يعني أن الخط المستقيم B1D والخط المستقيم A1D متعامدان مع الخط المستقيم C1C2.

B1D وA1D لهما نقطتان مختلفتان B1 وA1، وبالتالي لا يمكن أن تتطابقا. لكن من خلال النقطة D من الخط C1C2 يمكننا رسم خط واحد فقط عمودي عليها. لدينا تناقض.

الآن أنت تعرف ما هي خصائص المثلث متساوي الساقين!