Řešení systémů lineárních algebraických rovnic (SLAE) je bezpochyby nejdůležitějším tématem kurzu lineární algebry. Obrovské množství problémů ze všech odvětví matematiky sestává z řešení soustav lineárních rovnic. Tyto faktory vysvětlují důvod tohoto článku. Materiál článku je vybrán a strukturován tak, abyste s jeho pomocí mohli

• zvolit optimální metodu pro řešení vašeho systému lineárních algebraických rovnic,
• studovat teorii zvolené metody,
• vyřešte svůj systém lineárních rovnic zvážením podrobných řešení typických příkladů a problémů.

Stručný popis materiálu článku.

Nejprve uvedeme všechny potřebné definice, pojmy a zavedeme notaci.

Dále se budeme zabývat metodami řešení soustav lineárních algebraických rovnic, ve kterých je počet rovnic roven počtu neznámých proměnných a které mají jednoznačné řešení. Za prvé se zaměříme na Cramerovu metodu, za druhé si ukážeme maticovou metodu řešení takových soustav rovnic a za třetí si rozebereme Gaussovu metodu (metodu sekvenční eliminace neznámých proměnných). Pro upevnění teorie určitě vyřešíme několik SLAE různými způsoby.

Poté přejdeme k řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecného tvaru, ve kterých se počet rovnic neshoduje s počtem neznámých proměnných nebo je hlavní matice soustavy singulární. Pojďme formulovat Kronecker-Capelliho teorém, který nám umožňuje stanovit kompatibilitu SLAE. Analyzujme řešení systémů (jsou-li kompatibilní) pomocí konceptu minoritní báze matice. Zvážíme také Gaussovu metodu a podrobně popíšeme řešení příkladů.

Určitě se zastavíme u struktury obecného řešení homogenních a nehomogenních soustav lineárních algebraických rovnic. Uveďme koncept fundamentálního systému řešení a ukažme, jak se obecné řešení SLAE zapisuje pomocí vektorů fundamentálního systému řešení. Pro lepší pochopení se podívejme na pár příkladů.

Na závěr se budeme zabývat soustavami rovnic, které lze redukovat na lineární, a také různými problémy, při jejichž řešení SLAE vznikají.

Navigace na stránce.

Definice, pojmy, označení.

Budeme uvažovat soustavy p lineárních algebraických rovnic s n neznámými proměnnými (p se může rovnat n) tvaru

Neznámé proměnné, - koeficienty (některá reálná nebo komplexní čísla), - volné členy (také reálná nebo komplexní čísla).

Tato forma záznamu se nazývá SLAE koordinovat.

V matricový formulář zápis tohoto systému rovnic má tvar,
Kde - hlavní matice systému, - sloupcová matice neznámých proměnných, - sloupcová matice volných členů.

Přidáme-li k matici A jako (n+1)-tý sloupec matici-sloupec volných členů, dostaneme tzv. rozšířená matice soustav lineárních rovnic. Rozšířená matice je obvykle označena písmenem T a sloupec volných výrazů je oddělen svislou čarou od zbývajících sloupců, tj.

Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic nazvaný množina hodnot neznámých proměnných, která mění všechny rovnice systému na identity. Identitou se stává i maticová rovnice pro dané hodnoty neznámých proměnných.

Pokud má soustava rovnic alespoň jedno řešení, pak se nazývá kloub.

Pokud soustava rovnic nemá řešení, pak se nazývá nespojující.

Pokud má SLAE jedinečné řešení, pak se nazývá určitý; pokud existuje více než jedno řešení, pak – nejistý.

Jsou-li volné členy všech rovnic soustavy rovny nule , pak je zavolán systém homogenní, v opačném případě - heterogenní.

Řešení elementárních soustav lineárních algebraických rovnic.

Pokud se počet rovnic systému rovná počtu neznámých proměnných a determinant jeho hlavní matice není roven nule, pak se takové SLAE budou nazývat základní. Takové soustavy rovnic mají jedinečné řešení a v případě homogenní soustavy jsou všechny neznámé proměnné rovny nule.

Takové SLAE jsme začali studovat na střední škole. Při jejich řešení jsme vzali jednu rovnici, vyjádřili jednu neznámou proměnnou jinými a dosadili ji do zbývajících rovnic, pak vzali další rovnici, vyjádřili další neznámou proměnnou a dosadili ji do jiných rovnic a tak dále. Nebo použili metodu sčítání, to znamená, že přidali dvě nebo více rovnic, aby odstranili nějaké neznámé proměnné. Těmito metodami se nebudeme podrobně zabývat, protože jde v podstatě o modifikace Gaussovy metody.

Hlavními metodami řešení elementárních soustav lineárních rovnic jsou Cramerova metoda, maticová metoda a Gaussova metoda. Pojďme je roztřídit.

Řešení soustav lineárních rovnic Cramerovou metodou.

Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit soustavu lineárních algebraických rovnic

ve kterém je počet rovnic roven počtu neznámých proměnných a determinant hlavní matice systému je odlišný od nuly, tedy .

Nechť je determinant hlavní matice systému a - determinanty matic, které jsou získány z A nahrazením 1., 2., …, n sloupec respektive sloupec volných členů:

S tímto zápisem se neznámé proměnné počítají pomocí vzorců Cramerovy metody as . Takto je pomocí Cramerovy metody nalezeno řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Příklad.

Cramerova metoda .

Řešení.

Hlavní matice systému má tvar . Vypočítejme jeho determinant (pokud je to nutné, viz článek):

Protože determinant hlavní matice systému je nenulový, má systém jedinečné řešení, které lze nalézt Cramerovou metodou.

Pojďme si složit a vypočítat potřebné determinanty (determinant získáme nahrazením prvního sloupce v matici A sloupcem volných členů, determinant nahrazením druhého sloupce sloupcem volných členů a nahrazením třetího sloupce matice A sloupcem volných členů) :

Hledání neznámých proměnných pomocí vzorců :

Odpovědět:

Hlavní nevýhodou Cramerovy metody (pokud ji lze nazvat nevýhodou) je složitost výpočtu determinantů při počtu rovnic v soustavě větším než tři.

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic maticovou metodou (pomocí inverzní matice).

Nechť je dán systém lineárních algebraických rovnic v maticovém tvaru, kde matice A má rozměr n x n a její determinant je nenulový.

Protože je matice A invertibilní, to znamená, že existuje inverzní matice. Pokud obě strany rovnosti vynásobíme levou, dostaneme vzorec pro nalezení matice-sloupce neznámých proměnných. Takto jsme získali řešení soustavy lineárních algebraických rovnic pomocí maticové metody.

Příklad.

Řešení soustavy lineárních rovnic maticová metoda.

Řešení.

Přepišme soustavu rovnic do maticového tvaru:

Protože

pak lze SLAE vyřešit pomocí maticové metody. Pomocí inverzní matice lze nalézt řešení tohoto systému jako .

Sestrojme inverzní matici pomocí matice z algebraických sčítání prvků matice A (v případě potřeby viz článek):

Zbývá vypočítat matici neznámých proměnných vynásobením inverzní matice do maticového sloupce volných členů (v případě potřeby viz článek):

Odpovědět:

nebo v jiném zápisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavním problémem při hledání řešení soustav lineárních algebraických rovnic maticovou metodou je složitost hledání inverzní matice, zejména pro čtvercové matice vyššího než třetího řádu.

Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou metodou.

Předpokládejme, že potřebujeme najít řešení systému n lineárních rovnic s n neznámými proměnnými
determinant hlavní matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovy metody spočívá v postupném odstraňování neznámých proměnných: nejprve je x 1 vyloučeno ze všech rovnic systému, počínaje druhou, pak je x 2 vyloučeno ze všech rovnic, počínaje třetí, a tak dále, dokud nezůstane pouze neznámá proměnná x n v poslední rovnici. Tento proces transformace systémových rovnic k postupné eliminaci neznámých proměnných se nazývá přímou Gaussovou metodou. Po dokončení dopředného zdvihu Gaussovy metody se z poslední rovnice zjistí x n, pomocí této hodnoty z předposlední rovnice se vypočítá x n-1 a tak dále, z první rovnice se zjistí x 1. Proces výpočtu neznámých proměnných při přechodu od poslední rovnice systému k první se nazývá inverzní ke Gaussově metodě.

Pojďme si stručně popsat algoritmus pro eliminaci neznámých proměnných.

Budeme předpokládat, že , protože toho můžeme vždy dosáhnout přeskupením rovnic soustavy. Vynechme neznámou proměnnou x 1 ze všech rovnic soustavy, počínaje druhou. Abychom to udělali, ke druhé rovnici soustavy přidáme první, vynásobenou , ke třetí rovnici přidáme první, vynásobenou a tak dále, k n-té rovnici přidáme první, vynásobenou . Systém rovnic po takových transformacích nabude tvaru

kde a .

Ke stejnému výsledku bychom dospěli, kdybychom x 1 vyjádřili pomocí jiných neznámých proměnných v první rovnici soustavy a výsledný výraz dosadili do všech ostatních rovnic. Proměnná x 1 je tedy vyloučena ze všech rovnic, počínaje druhou.

Dále postupujeme obdobně, ale pouze s částí výsledné soustavy, která je vyznačena na obrázku

Abychom to udělali, ke třetí rovnici soustavy přidáme druhou, vynásobenou , ke čtvrté rovnici přidáme druhou, vynásobenou , atd., k n-té rovnici přidáme druhou, vynásobenou . Systém rovnic po takových transformacích nabude tvaru

kde a . Proměnná x 2 je tedy vyloučena ze všech rovnic, počínaje třetí.

Dále přistoupíme k eliminaci neznámého x 3, přičemž obdobně postupujeme s částí systému vyznačenou na obrázku

Pokračujeme tedy v přímém postupu Gaussovy metody, dokud systém nezíská formu

Od tohoto okamžiku začínáme obráceně Gaussovy metody: x n vypočítáme z poslední rovnice jako , pomocí získané hodnoty x n zjistíme x n-1 z předposlední rovnice atd., zjistíme x 1 z první rovnice .

Příklad.

Řešení soustavy lineárních rovnic Gaussova metoda.

Řešení.

Vynechme neznámou proměnnou x 1 z druhé a třetí rovnice soustavy. Za tímto účelem k oběma stranám druhé a třetí rovnice přidáme odpovídající části první rovnice, vynásobené a respektive:

Nyní odstraníme x 2 ze třetí rovnice tak, že k její levé a pravé straně přidáme levou a pravou stranu druhé rovnice, vynásobíme:

Tím je dopředný zdvih Gaussovy metody dokončen, začínáme zpětný zdvih.

Z poslední rovnice výsledné soustavy rovnic zjistíme x 3:

Z druhé rovnice dostaneme .

Z první rovnice najdeme zbývající neznámou proměnnou a tím dokončíme opak Gaussovy metody.

Odpovědět:

Xi = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecného tvaru.

Obecně se počet rovnic soustavy p neshoduje s počtem neznámých proměnných n:

Takové SLAE nemusí mít žádná řešení, mít jediné řešení nebo mít nekonečně mnoho řešení. Toto tvrzení platí také pro soustavy rovnic, jejichž hlavní matice je čtvercová a singulární.

Kroneckerova-Capelliho věta.

Před nalezením řešení soustavy lineárních rovnic je nutné zjistit její kompatibilitu. Odpověď na otázku, kdy je SLAE kompatibilní a kdy nekonzistentní, dává Kroneckerova-Capelliho věta:
Aby soustava p rovnic s n neznámými (p se může rovnat n) byla konzistentní, je nutné a postačující, aby hodnost hlavní matice soustavy byla rovna hodnosti rozšířené matice, tzn. , Pořadí (A) = Pořadí (T).

Uvažujme jako příklad aplikaci Kronecker-Capelliho věty pro určení kompatibility soustavy lineárních rovnic.

Příklad.

Zjistěte, zda má soustava lineárních rovnic řešení.

Řešení.

. Použijme metodu ohraničení nezletilých. Minor druhého řádu odlišný od nuly. Podívejme se na nezletilé třetího řádu, kteří s tím sousedí:

Protože všechny hraničící nezletilé třetího řádu jsou rovny nule, hodnost hlavní matice se rovná dvěma.

Na druhé straně hodnost rozšířené matice se rovná třem, protože menší je třetího řádu

odlišný od nuly.

Tím pádem, Rang(A) tedy s použitím Kronecker-Capelliho věty můžeme dojít k závěru, že původní systém lineárních rovnic je nekonzistentní.

Odpovědět:

Systém nemá řešení.

Naučili jsme se tedy stanovit nekonzistenci systému pomocí Kronecker-Capelliho teorému.

Ale jak najít řešení pro SLAE, pokud je prokázána jeho kompatibilita?

K tomu potřebujeme koncept minoritní báze matice a větu o hodnosti matice.

Volá se moll nejvyššího řádu matice A, odlišný od nuly základní.

Z definice základu minor vyplývá, že jeho pořadí se rovná hodnosti matice. Pro nenulovou matici A může být několik základů minor, vždy je jeden základ minor.

Vezměme si například matici .

Všechny minoritní hodnoty třetího řádu této matice jsou rovny nule, protože prvky třetího řádku této matice jsou součtem odpovídajících prvků prvního a druhého řádku.

Následující nezletilí druhého řádu jsou základní, protože jsou nenulové

Nezletilí nejsou základní, protože se rovnají nule.

Věta o hodnosti matice.

Je-li hodnost matice řádu p x n rovna r, pak všechny řádkové (a sloupcové) prvky matice, které netvoří zvolený základ minor, jsou lineárně vyjádřeny pomocí odpovídajících řádkových (a sloupcových) prvků tvořících základ minor.

Co nám říká teorém o hodnosti matice?

Pokud jsme podle Kronecker-Capelliho věty stanovili kompatibilitu systému, pak zvolíme libovolnou menší bázu hlavní matice systému (její řád je roven r) a vyloučíme ze systému všechny rovnice, které netvoří vybraný základ moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentní původnímu, protože vyřazené rovnice jsou stále nadbytečné (podle teorému o pořadí matice jsou lineární kombinací zbývajících rovnic).

V důsledku toho jsou po vyřazení nepotřebných rovnic systému možné dva případy.

Pokud je počet rovnic r ve výsledné soustavě roven počtu neznámých proměnných, pak bude definitivní a jediné řešení lze nalézt Cramerovou metodou, maticovou metodou nebo Gaussovou metodou.

Příklad.

.

Řešení.

Hodnost hlavní matice systému se rovná dvěma, protože menší je druhého řádu odlišný od nuly. Rozšířená hodnost Matrix se také rovná dvěma, protože jediný minor třetího řádu je nula

a výše zmíněný moll druhého řádu se liší od nuly. Na základě Kronecker-Capelliho teorému můžeme tvrdit kompatibilitu původního systému lineárních rovnic, protože Rank(A)=Rank(T)=2.

Jako základ menší bereme . Je tvořena koeficienty první a druhé rovnice:


Třetí rovnice soustavy se nepodílí na tvorbě báze minor, proto ji ze soustavy na základě věty o hodnosti matice vyloučíme:


Takto jsme získali elementární systém lineárních algebraických rovnic. Pojďme to vyřešit pomocí Cramerovy metody:


Odpovědět:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Pokud je počet rovnic r ve výsledném SLAE menší než počet neznámých proměnných n, pak na levých stranách rovnic ponecháme členy tvořící základ menší a zbývající členy přeneseme na pravé strany rovnice. rovnice soustavy s opačným znaménkem.

Neznámé proměnné (z nich r), které zůstávají na levé straně rovnic, se nazývají hlavní.

Volají se neznámé proměnné (existuje n - r kusů), které jsou na pravé straně volný, uvolnit.

Nyní věříme, že volné neznámé proměnné mohou nabývat libovolných hodnot, zatímco r hlavních neznámých proměnných bude vyjádřeno prostřednictvím volných neznámých proměnných jedinečným způsobem. Jejich vyjádření lze nalézt řešením výsledného SLAE pomocí Cramerovy metody, maticové metody nebo Gaussovy metody.

Podívejme se na to na příkladu.

Příklad.

Řešte soustavu lineárních algebraických rovnic .

Řešení.

Pojďme najít hodnost hlavní matice systému metodou ohraničení nezletilých. Vezměme a 1 1 = 1 jako nenulovou moll prvního řádu. Začněme hledat nenulovou moll druhého řádu hraničící s touto moll:


Takto jsme našli nenulovou moll druhého řádu. Začněme hledat nenulovou hraniční moll třetího řádu:


Hodnost hlavní matice je tedy tři. Hodnost rozšířené matice je také rovna třem, to znamená, že systém je konzistentní.

Za základ bereme nalezený nenulový moll třetího řádu.

Pro názornost uvádíme prvky, které tvoří základ moll:


Ponecháme členy zapojené do základu minor na levé straně systémových rovnic a zbytek přeneseme s opačnými znaménky na pravé strany:


Volným neznámým proměnným x 2 a x 5 dáme libovolné hodnoty, tedy akceptujeme , kde jsou libovolná čísla. V tomto případě bude mít SLAE formu


Vyřešme výsledný elementární systém lineárních algebraických rovnic Cramerovou metodou:


Proto, .

V odpovědi nezapomeňte uvést volné neznámé proměnné.

Odpovědět:

Kde jsou libovolná čísla.

Shrnout.

Při řešení systému obecných lineárních algebraických rovnic nejprve určíme jeho kompatibilitu pomocí Kronecker-Capelliho věty. Pokud se hodnost hlavní matice nerovná hodnosti rozšířené matice, docházíme k závěru, že systém je nekompatibilní.

Pokud se hodnost hlavní matice rovná hodnosti rozšířené matice, vybereme základ menší a zahodíme rovnice systému, které se nepodílejí na tvorbě vybrané základny vedlejší.

Pokud je řád menšího základu roven počtu neznámých proměnných, pak má SLAE jedinečné řešení, které lze nalézt jakoukoli nám známou metodou.

Pokud je řád menšího základu menší než počet neznámých proměnných, pak na levé straně systémových rovnic ponecháme členy s hlavními neznámými proměnnými, převedeme zbývající členy na pravé strany a dáme libovolné hodnoty volné neznámé proměnné. Z výsledné soustavy lineárních rovnic najdeme hlavní neznámé proměnné pomocí Cramerovy metody, maticové metody nebo Gaussovy metody.

Gaussova metoda pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic obecného tvaru.

Gaussovu metodu lze použít k řešení systémů lineárních algebraických rovnic jakéhokoli druhu, aniž by bylo nutné nejprve testovat jejich konzistenci. Proces sekvenční eliminace neznámých proměnných umožňuje učinit závěr o kompatibilitě i nekompatibilitě SLAE, a pokud existuje řešení, umožňuje jej najít.

Z výpočetního hlediska je výhodnější Gaussova metoda.

Její podrobný popis a analyzované příklady naleznete v článku Gaussova metoda řešení soustav obecných lineárních algebraických rovnic.

Zápis obecného řešení homogenních a nehomogenních lineárních algebraických systémů pomocí vektorů základního systému řešení.

V této části budeme hovořit o simultánních homogenních a nehomogenních systémech lineárních algebraických rovnic, které mají nekonečný počet řešení.

Pojďme se nejprve zabývat homogenními systémy.

Základní systém řešení homogenní soustava p lineárních algebraických rovnic s n neznámými proměnnými je sbírka (n – r) lineárně nezávislých řešení této soustavy, kde r je řád menší báze hlavní matice soustavy.

Označíme-li lineárně nezávislá řešení homogenní SLAE jako X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) jsou sloupcové matice dimenze n o 1) , pak je obecné řešení tohoto homogenního systému reprezentováno jako lineární kombinace vektorů fundamentálního systému řešení s libovolnými konstantními koeficienty C 1, C 2, ..., C (n-r), že je, .

Co znamená pojem obecné řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec specifikuje všechna možná řešení původního SLAE, jinými slovy, vezme libovolnou sadu hodnot libovolných konstant C 1, C 2, ..., C (n-r), pomocí vzorce budeme získat jeden z roztoků původního homogenního SLAE.

Pokud tedy najdeme fundamentální systém řešení, můžeme všechna řešení tohoto homogenního SLAE definovat jako .

Ukažme si proces konstrukce základního systému řešení homogenního SLAE.

Z původní soustavy lineárních rovnic vybereme minoritní báze, vyloučíme ze soustavy všechny ostatní rovnice a všechny členy obsahující volné neznámé proměnné přeneseme na pravé strany soustav rovnic s opačnými znaménky. Volným neznámým proměnným přiřaďme hodnoty 1,0,0,...,0 a vypočítejme hlavní neznámé řešením výsledné elementární soustavy lineárních rovnic libovolným způsobem, například Cramerovou metodou. Výsledkem bude X (1) - první řešení základního systému. Pokud dáme volným neznámým hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítáme hlavní neznámé, dostaneme X (2) . A tak dále. Pokud volným neznámým proměnným přiřadíme hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočteme hlavní neznámé, dostaneme X (n-r) . Tímto způsobem bude sestaven základní systém řešení homogenního SLAE a jeho obecné řešení lze zapsat ve tvaru .

Pro nehomogenní systémy lineárních algebraických rovnic je obecné řešení reprezentováno ve tvaru , kde je obecné řešení odpovídajícího homogenního systému a je partikulárním řešením původního nehomogenního SLAE, které získáme tak, že volným neznámým dáme hodnoty ​​0,0,...,0 a výpočet hodnot hlavních neznámých.

Podívejme se na příklady.

Příklad.

Najděte základní soustavu řešení a obecné řešení homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic .

Řešení.

Hodnost hlavní matice homogenních soustav lineárních rovnic je vždy rovna hodnosti rozšířené matice. Pomocí metody ohraničení nezletilých najdeme hodnost hlavní matice. Jako nenulový moll prvního řádu vezmeme prvek a 1 1 = 9 hlavní matice systému. Pojďme najít hraniční nenulovou moll druhého řádu:

Byl nalezen moll druhého řádu, odlišný od nuly. Pojďme si projít nezletilé třetího řádu, které s ním sousedí, a hledat nenulovou jedničku:

Všichni hraniční nezletilí třetího řádu se rovnají nule, proto se hodnost hlavní a rozšířené matice rovná dvěma. Pojďme vzít . Pro přehlednost si všimněme prvků systému, které jej tvoří:

Třetí rovnice původního SLAE se nepodílí na tvorbě základu moll, proto ji lze vyloučit:

Členy obsahující hlavní neznámé ponecháme na pravých stranách rovnic a členy s volnými neznámými přeneseme na pravé strany:

Sestavme základní soustavu řešení původní homogenní soustavy lineárních rovnic. Základní systém řešení tohoto SLAE se skládá ze dvou řešení, protože původní SLAE obsahuje čtyři neznámé proměnné a řád jeho základny minor je roven dvěma. Abychom našli X (1), dáme volným neznámým proměnným hodnoty x 2 = 1, x 4 = 0, pak najdeme hlavní neznámé ze soustavy rovnic
.

Spolehlivější než grafická metoda popsaná v předchozím odstavci.

Substituční metoda

Tuto metodu jsme použili v 7. ročníku při řešení soustav lineárních rovnic. Algoritmus, který byl vyvinut v 7. ročníku, je docela vhodný pro řešení soustav libovolných dvou rovnic (ne nutně lineárních) se dvěma proměnnými x a y (proměnné lze samozřejmě označit i jinými písmeny, což nevadí). Ve skutečnosti jsme tento algoritmus použili v předchozím odstavci, kdy problém dvouciferného čísla vedl k matematickému modelu, což je systém rovnic. Tuto soustavu rovnic jsme vyřešili výše pomocí substituční metody (viz příklad 1 z § 4).

Algoritmus pro použití substituční metody při řešení soustavy dvou rovnic se dvěma proměnnými x, y.

1. Vyjádřete y pomocí x z jedné rovnice soustavy.
2. Dosaďte výsledný výraz místo y do jiné rovnice soustavy.
3. Vyřešte výslednou rovnici pro x.
4. Dosaďte postupně každý z kořenů rovnice nalezené ve třetím kroku místo x do výrazu y až x získaného v prvním kroku.
5. Napište odpověď ve formě dvojic hodnot (x; y), které byly nalezeny ve třetím a čtvrtém kroku.

4) Dosaďte jednu po druhé každou z nalezených hodnot y do vzorce x = 5 - 3. Pokud pak
5) Dvojice (2; 1) a řešení dané soustavy rovnic.

Odpověď: (2; 1);

Algebraická metoda sčítání

Tuto metodu, stejně jako substituční metodu, znáte z kurzu algebry 7. ročníku, kde byla použita k řešení soustav lineárních rovnic. Připomeňme si podstatu metody na následujícím příkladu.

Příklad 2Řešte soustavu rovnic

Vynásobme všechny členy první rovnice soustavy 3 a druhou rovnici ponechme beze změny:
Odečtěte druhou rovnici soustavy od její první rovnice:

V důsledku algebraického sečtení dvou rovnic původní soustavy byla získána rovnice, která byla jednodušší než první a druhá rovnice dané soustavy. Touto jednodušší rovnicí máme právo nahradit libovolnou rovnici daného systému, například tu druhou. Potom bude daná soustava rovnic nahrazena jednodušší soustavou:

Tento systém lze řešit pomocí substituční metody. Z druhé rovnice najdeme Dosazením tohoto výrazu místo y do první rovnice soustavy dostaneme

Zbývá dosadit nalezené hodnoty x do vzorce

Pokud x = 2, pak

Našli jsme tedy dvě řešení systému:

Metoda zavádění nových proměnných

S metodou zavádění nové proměnné při řešení racionálních rovnic s jednou proměnnou jste byli seznámeni v kurzu algebra pro 8. ročník. Podstata této metody řešení soustav rovnic je stejná, ale z technického hlediska existují některé vlastnosti, které probereme v následujících příkladech.

Příklad 3Řešte soustavu rovnic

Zaveďme novou proměnnou Pak lze první rovnici soustavy přepsat do jednoduššího tvaru: Řešme tuto rovnici vzhledem k proměnné t:

Obě tyto hodnoty splňují podmínku, a proto jsou kořeny racionální rovnice s proměnnou t. To ale znamená buď tam, kde zjistíme, že x = 2y, nebo
Metodou zavedení nové proměnné se nám tedy podařilo „stratifikovat“ první rovnici systému, která byla na pohled poměrně složitá, do dvou jednodušších rovnic:

x = 2 y; y - 2x.

Co bude dál? A pak každou ze dvou získaných jednoduchých rovnic musíme postupně uvažovat v soustavě s rovnicí x 2 - y 2 = 3, kterou jsme si ještě nepamatovali. Jinými slovy, problém spočívá v řešení dvou soustav rovnic:

Musíme najít řešení pro první systém, druhý systém a zahrnout všechny výsledné dvojice hodnot do odpovědi. Pojďme vyřešit první soustavu rovnic:

Použijme substituční metodu, tím spíše, že zde je vše připraveno: dosadíme do druhé rovnice soustavy místo x výraz 2y. Dostaneme

Protože x = 2y, najdeme v tomto pořadí x 1 = 2, x 2 = 2. Získáme tedy dvě řešení dané soustavy: (2; 1) a (-2; -1). Pojďme vyřešit druhou soustavu rovnic:

Opět použijeme substituční metodu: do druhé rovnice soustavy dosadíme výraz 2x místo y. Dostaneme

Tato rovnice nemá kořeny, což znamená, že systém rovnic nemá řešení. Do odpovědi je tedy třeba zahrnout pouze řešení prvního systému.

Odpověď: (2; 1); (-2;-1).

Metoda zavádění nových proměnných při řešení soustav dvou rovnic se dvěma proměnnými se používá ve dvou verzích. První možnost: zavede se jedna nová proměnná a použije se pouze v jedné rovnici systému. To je přesně to, co se stalo v příkladu 3. Druhá možnost: dvě nové proměnné jsou zavedeny a použity současně v obou rovnicích systému. To bude případ příkladu 4.

Příklad 4.Řešte soustavu rovnic

Představme si dvě nové proměnné:

Vezměme to tedy v úvahu

To vám umožní přepsat daný systém v mnohem jednodušší podobě, ale s ohledem na nové proměnné a a b:

Protože a = 1, pak z rovnice a + 6 = 2 zjistíme: 1 + 6 = 2; 6=1. Pokud jde o proměnné a a b, máme jedno řešení:

Vrátíme-li se k proměnným x a y, získáme soustavu rovnic

Použijme metodu algebraického sčítání k řešení tohoto systému:

Od té doby z rovnice 2x + y = 3 zjistíme:
Pokud jde o proměnné x a y, máme jedno řešení:

Uzavřeme tento odstavec krátkou, ale dosti seriózní teoretickou diskusí. Již jste získali určité zkušenosti s řešením různých rovnic: lineárních, kvadratických, racionálních, iracionálních. Víte, že hlavní myšlenkou řešení rovnice je postupný přechod z jedné rovnice do druhé, jednodušší, ale ekvivalentní dané rovnici. V předchozím odstavci jsme zavedli pojem ekvivalence pro rovnice se dvěma proměnnými. Tento koncept se také používá pro soustavy rovnic.

Definice.

Dvě soustavy rovnic s proměnnými x a y se nazývají ekvivalentní, pokud mají stejná řešení nebo pokud obě soustavy nemají řešení.

Všechny tři metody (substituce, algebraické sčítání a zavádění nových proměnných), o kterých jsme hovořili v této části, jsou z hlediska ekvivalence naprosto správné. Jinými slovy, pomocí těchto metod nahradíme jednu soustavu rovnic jinou, jednodušší, ale ekvivalentní původní soustavě.

Grafická metoda řešení soustav rovnic

Již jsme se naučili řešit soustavy rovnic takovými běžnými a spolehlivými způsoby, jako je metoda substituce, algebraické sčítání a zavádění nových proměnných. Nyní si připomeňme metodu, kterou jste již studovali v předchozí lekci. To znamená, zopakujme si, co víte o metodě grafického řešení.

Metoda řešení soustav rovnic graficky zahrnuje sestavení grafu pro každou z konkrétních rovnic, které jsou v daném systému zahrnuty a nacházejí se ve stejné souřadnicové rovině, a také tam, kde je nutné najít průsečíky bodů těchto rovnic. grafy. Pro řešení tohoto systému rovnic jsou souřadnice tohoto bodu (x; y).

Je třeba mít na paměti, že je běžné, že grafický systém rovnic má buď jediné správné řešení, nebo nekonečný počet řešení, nebo nemá řešení vůbec žádná.

Nyní se podívejme na každé z těchto řešení podrobněji. A tak systém rovnic může mít jedinečné řešení, pokud se čáry, které jsou grafy rovnic systému, protínají. Pokud jsou tyto přímky rovnoběžné, pak takový systém rovnic nemá absolutně žádná řešení. Pokud se přímé grafy rovnic systému shodují, pak takový systém umožňuje najít mnoho řešení.

Nyní se podívejme na algoritmus pro řešení soustavy dvou rovnic se 2 neznámými pomocí grafické metody:

Nejprve sestrojíme graf 1. rovnice;
Druhým krokem bude sestavení grafu, který se vztahuje k druhé rovnici;
Za třetí, musíme najít průsečíky grafů.
A jako výsledek dostaneme souřadnice každého průsečíku, který bude řešením soustavy rovnic.

Podívejme se na tuto metodu podrobněji na příkladu. Dostali jsme soustavu rovnic, kterou je třeba vyřešit:

Řešení rovnic

1. Nejprve sestrojíme graf této rovnice: x2+y2=9.

Je však třeba poznamenat, že tento graf rovnic bude kruh se středem v počátku a jeho poloměr bude roven třem.

2. Dalším naším krokem bude vykreslení rovnice jako: y = x – 3.

V tomto případě musíme sestrojit přímku a najít body (0;−3) a (3;0).

3. Podívejme se, co máme. Vidíme, že přímka protíná kružnici ve dvou jejích bodech A a B.

Nyní hledáme souřadnice těchto bodů. Vidíme, že souřadnice (3;0) odpovídají bodu A a souřadnice (0;−3) odpovídají bodu B.

A co získáme jako výsledek?

Čísla (3;0) a (0;−3) získaná, když přímka protíná kružnici, jsou přesně řešením obou rovnic soustavy. A z toho vyplývá, že tato čísla jsou také řešením této soustavy rovnic.

To znamená, že odpovědí na toto řešení jsou čísla: (3;0) a (0;−3).

Lineární rovnice – rovnice ve tvaru a x = b, kde x je proměnná, a a b jsou nějaká čísla a a ≠ 0.

Příklady lineárních rovnic:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Lineárními rovnicemi se nazývají nejen rovnice tvaru a x = b, ale také libovolné rovnice, které se pomocí transformací a zjednodušení do tohoto tvaru redukují.

Jak řešit rovnice, které jsou redukovány do tvaru a x = b? Stačí vydělit levou a pravou stranu rovnice hodnotou a. V důsledku toho dostaneme odpověď: x = b a.

Jak rozpoznat, zda je libovolná rovnice lineární nebo ne? Musíte věnovat pozornost proměnné, která je v něm přítomna. Je-li vedoucí mocnina proměnné rovna jedné, pak je taková rovnice lineární rovnicí.

Řešení lineární rovnice , musíte otevřít závorky (pokud existují), posunout „X“ doleva, čísla doprava a uvést podobné výrazy. Výsledkem je rovnice ve tvaru a x = b. Řešení této lineární rovnice je: x = b a.

Příklady řešení lineárních rovnic:

1. 2 x + 1 = 2 (x − 3) + 8

Toto je lineární rovnice, protože proměnná je na první mocninu.

Zkusme to převést do tvaru a x = b:

Nejprve otevřeme závorky:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

Všechny členy s x se přenesou na levou stranu a čísla napravo:

2 x − 4 x = 2 − 1

Nyní vydělme levou a pravou stranu číslem (-2):

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Odpověď: x = − 0,5

1. x 2 − 1 = 0

Tato rovnice není lineární, protože nejvyšší mocnina proměnné x je dvě.

1. x (x + 3) − 8 = x − 1

Tato rovnice vypadá na první pohled lineárně, ale po otevření závorek se vedoucí mocnina rovná dvěma:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Tato rovnice není lineární rovnicí.

Speciální případy(nenarazili na ně v úkolu 4 OGE, ale je užitečné je znát)

Příklady:

1. 2 x − 4 = 2 (x − 2)

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

A jak zde můžeme hledat x, když neexistuje? Po provedení transformací jsme dostali správnou rovnost (identitu), která nezávisí na hodnotě proměnné x. Ať už do původní rovnice dosadíme jakoukoli hodnotu x, výsledkem je vždy správná rovnost (identita). To znamená, že x může být libovolné číslo. Zapišme si odpověď na tuto lineární rovnici.

Odpověď: x ∈ (− ∞ ;  + ∞)

1. 2 x − 4 = 2 (x − 8)

Toto je lineární rovnice. Otevřeme závorky, posuneme X doleva, čísla doprava:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

V důsledku transformací se x snížilo, ale výsledkem byla nesprávná rovnost, protože. Bez ohledu na to, jakou hodnotu x dosadíme do původní rovnice, výsledkem bude vždy nesprávná rovnost. To znamená, že neexistují žádné hodnoty x, při kterých by se rovnost stala pravdivou. Zapišme si odpověď na tuto lineární rovnici.

Odpověď: x ∈ ∅

Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice – rovnice ve tvaru a x 2 + b x + c = 0, kde x je proměnná, a, b a c jsou nějaká čísla a a ≠ 0.

Algoritmus pro řešení kvadratické rovnice:

1. Otevřete závorky, přesuňte všechny členy na levou stranu tak, aby rovnice nabyla tvaru: a x 2 + b x + c = 0
2. Zapište, čemu se koeficienty rovnají v číslech: a = … b = … c = …
3. Vypočítejte diskriminant podle vzorce: D = b 2 − 4 a c
4. Pokud D > 0, budou existovat dva různé kořeny, které najdeme podle vzorce: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Pokud D = 0, bude existovat jeden kořen, který se najde podle vzorce: x = − b 2 a
6. Pokud D< 0, решений нет: x ∈ ∅

Příklady řešení kvadratické rovnice:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – budou existovat dva různé kořeny:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ (− 1) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Odpověď: x 1 = − 1, x 2 = 7

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 4) = 16 − 16 = 0

D = 0 – bude jeden kořen:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ (− 1) = − 4 − 2 = 2

Odpověď: x = 2

1. 2 x 2 − 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = (− 7) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D< 0 – решений нет.

Odpověď: x ∈ ∅

Jsou tu také neúplné kvadratické rovnice (jedná se o kvadratické rovnice, ve kterých je buď b = 0, nebo c = 0, nebo b = c = 0). Podívejte se na video, jak vyřešit tyto kvadratické rovnice!

Rozložení kvadratického trinomu

Čtvercová trojčlenka může být rozdělena takto:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

kde a je číslo, koeficient před vedoucím koeficientem,

x – proměnná (tj. písmeno),

x 1 a x 2 jsou čísla, kořeny kvadratické rovnice a x 2 + b x + c = 0, která se nalézají přes diskriminant.

Pokud má kvadratická rovnice pouze jeden kořen, pak expanze vypadá takto:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

Příklady rozkladu kvadratického trinomu:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,   x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

Pokud je kvadratický trinom neúplný ((b = 0 nebo c = 0), lze jej faktorizovat následujícími způsoby:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ platí pro rozdíl druhých mocnin.

Zlomkové racionální rovnice

Nechť f (x) ag (x) jsou nějaké funkce závislé na proměnné x.

Zlomková racionální rovnice je rovnice ve tvaru f (x) g (x) = 0.

Abychom mohli vyřešit zlomkovou racionální rovnici, musíme si zapamatovat, co je ODZ a kdy vzniká.

ODZ– rozsah přípustných hodnot proměnné.

Ve vyjádření ve tvaru f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (jmenovatel zlomku nemůže být roven nule).

Algoritmus pro řešení zlomkové racionální rovnice:

1. Zapište ODZ: g (x) ≠ 0.
2. Srovnejte čitatele zlomku s nulou f (x) = 0 a najděte kořeny.

Příklad řešení zlomkové racionální rovnice:

Vyřešte zlomkovou racionální rovnici x 2 − 4 2 − x = 1.

Řešení:

Budeme jednat v souladu s algoritmem.

1. Zredukujte výraz na tvar f (x) g (x) = 0.

Přesuneme jednotku na levou stranu, zapíšeme do ní další faktor, abychom oba výrazy dostali do jednoho společného jmenovatele:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − (2 − x) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

První krok algoritmu byl úspěšně dokončen.

1. Vypište ODZ:

Rámujeme ODZ, nezapomeňte na to: x ≠ 2

1. Srovnejte čitatele zlomku s nulou f (x) = 0 a najděte kořeny:

x 2 + x − 6 = 0 – Kvadratická rovnice. Řešíme přes diskriminant.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6) = 1 + 24 = 25

D > 0 – budou dva různé kořeny.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

1. Ve své odpovědi uveďte kořeny z čitatele, vyjma těch kořenů, které spadají do ODZ.

Kořeny získané v předchozím kroku:

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

To znamená, že odpověď obsahuje pouze jeden kořen, x = − 3.

Odpověď: x = − 3.

Soustavy rovnic

Systém rovnic nazveme dvě rovnice se dvěma neznámými (obvykle se neznámé označují x a y), které jsou spojeny do společné soustavy složenou závorkou.

Příklad soustavy rovnic

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Řešte soustavu rovnic – najděte dvojici čísel x a y, která po dosazení do soustavy rovnic tvoří skutečnou rovnost v obou rovnicích soustavy.

Existují dvě metody řešení soustav lineárních rovnic:

1. Substituční metoda.
2. Způsob sčítání.

Algoritmus pro řešení soustavy rovnic substituční metodou:

1. Najděte zbývající neznámé.

Příklad:

Řešte soustavu rovnic substituční metodou

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Řešení:

1. Vyjádřete jednu proměnnou pomocí jiné z libovolné rovnice.

( x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

1. Výslednou hodnotu dosaďte do jiné rovnice místo vyjádřené proměnné.

( x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

( x = 8 − 2 y 3 (8 − 2 y) − y = − 4

1. Řešte rovnici s jednou neznámou.

3 (8 − 2 y) − y = − 4

24 − 6 y − y = − 4

− 7 y = − 4 − 24

− 7 y = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Najděte zbývající neznámé.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Odpověď lze napsat jedním ze tří způsobů:

1. x = 0, y = 4
2. (x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Řešení soustavy rovnic metodou sčítání.

Metoda přidávání je založena na následující vlastnosti:

(a + c) = (b + d)

Myšlenkou metody sčítání je zbavit se jedné z proměnných sečtením rovnic.

Příklad:

Řešte soustavu rovnic metodou sčítání

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Zbavme se v tomto příkladu proměnné x. Podstatou metody je mít v první a druhé rovnici před proměnnou x opačné koeficienty. Ve druhé rovnici před x předchází koeficient 3. Aby metoda sčítání fungovala, musí mít proměnná x před sebou koeficient (− 3). Chcete-li to provést, vynásobte levou a pravou stranu první rovnice (− 3) .

Vyřešte systém se dvěma neznámými - to znamená najít všechny dvojice proměnných hodnot, které splňují každou z daných rovnic. Každý takový pár se nazývá systémové řešení.

Příklad:
Dvojice hodnot \(x=3\);\(y=-1\) je řešením prvního systému, protože při dosazení těchto trojek a mínusových jedniček do místo \(x\) a \(y \), obě rovnice se změní na skutečné rovnosti \(\začátek(případy)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \konec(případy)\)

Ale \(x=1\); \(y=-2\) - není řešením prvního systému, protože po dosazení druhá rovnice „nekonverguje“ \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Všimněte si, že takové dvojice se často píší kratší: místo "\(x=3\); \(y=-1\)" se píší takto: \((3;-1)\).

Jak vyřešit soustavu lineárních rovnic?

Existují tři hlavní způsoby řešení soustav lineárních rovnic:

1. Substituční metoda.

1. \(\začátek(případy)13x+9y=17\\12x-2y=26\konec(případy)\)

   Ve druhé rovnici je každý člen sudý, takže rovnici zjednodušíme vydělením \(2\).
   

   \(\začátek(případy)13x+9y=17\\6x-y=13\konec (případy)\)

   Tento systém lineárních rovnic lze řešit kterýmkoli z následujících způsobů, ale zdá se mi, že zde je nejvhodnější substituční metoda. Vyjádřeme y z druhé rovnice.
   

   \(\začátek(případů)13x+9y=17\\y=6x-13\konec(případů)\)

   Dosadíme do první rovnice místo \(y\) \(6x-13\).
   

   \(\začátek(případů)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\konec (případů)\)

   První rovnice se změnila v obyčejnou. Pojďme to vyřešit.

   Nejprve otevřeme závorky.
   

   \(\začátek(případů)13x+54x-117=17\\y=6x-13\konec (případů)\)

   Posuňme \(117\) doprava a uveďme podobné pojmy.

   \(\začátek(případů)67x=134\\y=6x-13\konec(případů)\)

   Vydělme obě strany první rovnice \(67\).

   \(\začátek(případy)x=2\\y=6x-13\konec(případy)\)

   Hurá, našli jsme \(x\)! Dosadíme její hodnotu do druhé rovnice a najdeme \(y\).

   \(\začátek(případy)x=2\\y=12-13\konec(případy)\)\(\Šipka doleva\)\(\začátek(případy)x=2\\y=-1\konec(případy )\)

   Zapišme si odpověď.

Článek představuje pojem definice soustavy rovnic a její řešení. Budou zváženy často se vyskytující případy systémových řešení. Uvedené příklady pomohou podrobně vysvětlit řešení.

Definice soustavy rovnic

Chcete-li přejít k definování systému rovnic, musíte věnovat pozornost dvěma bodům: typu záznamu a jeho významu. Abychom tomu porozuměli, musíme se podrobně zabývat každým z typů, pak můžeme dojít k definici soustav rovnic.

Vezměme například dvě rovnice 2 x + y = − 3 a x = 5 a pak je zkombinujme se složenou závorkou takto:

2 x + y = - 3, x = 5.

Rovnice spojené složenými závorkami jsou považovány za záznamy soustav rovnic. Definují množiny řešení rovnic daného systému. Každé řešení musí být řešením všech daných rovnic.

Jinými slovy to znamená, že jakákoli řešení první rovnice budou řešeními všech rovnic kombinovaných systémem.

Definice 1

Soustavy rovnic- to je určitý počet rovnic spojených složenou závorkou, které mají mnoho řešení rovnic, které jsou současně řešeními pro celý systém.

Hlavní typy soustav rovnic

Existuje poměrně hodně typů rovnic, stejně jako soustav rovnic. Aby bylo vhodné je řešit a studovat, jsou rozděleny do skupin podle určitých vlastností. To pomůže při uvažování soustav rovnic jednotlivých typů.

Pro začátek jsou rovnice klasifikovány podle počtu rovnic. Pokud existuje pouze jedna rovnice, pak je to obyčejná rovnice, pokud je jich více, máme co do činění se systémem sestávajícím ze dvou nebo více rovnic.

Další klasifikace se týká počtu proměnných. Když je počet proměnných 1, říkáme, že máme co do činění se soustavou rovnic s jednou neznámou, když 2 – se dvěma proměnnými. Podívejme se na příklad

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

Je zřejmé, že soustava rovnic obsahuje dvě proměnné x a y.

Při psaní takových rovnic se počítá počet všech proměnných přítomných v záznamu. Jejich přítomnost v každé rovnici není nutná. Alespoň jedna rovnice musí mít jednu proměnnou. Uvažujme příklad soustavy rovnic

2 x = 11, x - 3 z 2 = 0, 2 7 x + y - z = - 3

Tento systém má 3 proměnné x, y, z. První rovnice má explicitní x a implicitní y a z. Implicitní proměnné jsou proměnné, které mají v koeficientu nulu. Druhá rovnice má x a z a y je implicitní proměnná. Jinak se to dá napsat i takto

2 x + 0 y + 0 z = 11

A druhá rovnice je x + 0 · y − 3 · z = 0.

Třetí klasifikací rovnic je typ. Škola vyučuje jednoduché rovnice a soustavy rovnic, počínaje soustavami dvou lineárních rovnic ve dvou proměnných . To znamená, že systém obsahuje 2 lineární rovnice. Například zvažte

2 x - y = 1, x + 2 y = - 1 a - 3 x + y = 0. 5, x + 2 2 3 y = 0

Toto jsou základní nejjednodušší lineární rovnice. Dále se můžete setkat se systémy obsahujícími 3 nebo více neznámých.

V 9. ročníku řeší rovnice se dvěma proměnnými a nelineárními. V celých rovnicích se stupeň zvyšuje, aby se zvýšila složitost. Takové systémy se nazývají systémy nelineárních rovnic s určitým počtem rovnic a neznámých. Podívejme se na příklady takových systémů

x 2 - 4 x y = 1, x - y = 2 a x = y 3 x y = - 5

Oba jsou systémy se dvěma proměnnými a oba jsou nelineární.

Při řešení můžete narazit na zlomkové racionální rovnice. Například

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

Mohou to jednoduše nazvat systémem rovnic, aniž by specifikovali jaké. Samotný typ systému je zřídka specifikován.

Vyšší ročníky přecházejí ke studiu iracionálních, trigonometrických a exponenciálních rovnic. Například,

x + y - x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Vysoké školy studují a zkoumají řešení systémů lineárních algebraických rovnic (SLAE). Levá strana takových rovnic obsahuje polynomy s prvním stupněm a pravá strana obsahuje některá čísla. Rozdíl od školních je v tom, že počet proměnných a počet rovnic může být libovolný, nejčastěji neodpovídající.

Řešení soustav rovnic

Definice 2

Řešení soustavy rovnic se dvěma proměnnými je dvojice proměnných, která po dosazení změní každou rovnici na správnou číselnou nerovnost, to znamená, že je řešením pro každou rovnici daného systému.

Například dvojice hodnot x = 5 a y = 2 je řešením soustavy rovnic x + y = 7, x - y = 3. Protože při dosazování se rovnice změní na správné číselné nerovnosti 5 + 2 = 7 a 5 − 2 = 3. Pokud dosadíme dvojici x = 3 a y = 0, pak se systém nevyřeší, protože substituce nedává správnou rovnici, konkrétně dostaneme 3 + 0 = 7.

Zformulujme definici pro systémy obsahující jednu nebo více proměnných.

Definice 3

Řešení soustavy rovnic s jednou proměnnou– jedná se o hodnotu proměnné, která je kořenem rovnic soustavy, což znamená, že všechny rovnice budou převedeny na správné číselné rovnosti.

Uvažujme příklad soustavy rovnic s jednou proměnnou t

t2 = 4, 5 (t + 2) = 0

Číslo - 2 je řešením rovnice, protože (− 2) · 2 = 4 a 5 · (− 2 + 2) = 0 jsou skutečné číselné rovnosti. Při t = 1 není systém vyřešen, protože při dosazení dostaneme dvě nesprávné rovnosti 12 = 4 a 5 · (1 + 2) = 0.

Definice 4

Řešení soustavy se třemi a více proměnnými nazývají tři, čtyři a další hodnoty, které převádějí všechny rovnice systému na správné rovnosti.

Pokud máme hodnoty proměnných x = 1, y = 2, z = 0, pak je dosadíme do soustavy rovnic 2 · x = 2, 5 · y = 10, x + y + z = 3, dostaneme 2 · 1 = 2, 5 · 2 = 10 a 1 + 2 + 0 = 3. To znamená, že tyto číselné nerovnosti jsou správné. A hodnoty (1, 0, 5) nebudou řešením, protože po nahrazení hodnot bude druhá z nich nesprávná, stejně jako třetí: 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3.

Systémy rovnic nemusí mít vůbec žádná řešení nebo mohou mít nekonečný počet řešení. To lze ověřit hloubkovým studiem tohoto tématu. Můžeme dojít k závěru, že soustava rovnic je průsečíkem množin řešení všech jejích rovnic. Rozbalíme několik definic:

Definice 5

Nekompatibilní soustava rovnic se nazývá, když nemá řešení, jinak se nazývá kloub.

Definice 6

Nejistý systém se nazývá, když má nekonečný počet řešení a určitý s konečným počtem řešení nebo v jejich nepřítomnosti.

Takové termíny se ve škole používají zřídka, protože jsou určeny pro programy vysokých škol. Znalost ekvivalentních systémů prohloubí vaše dosavadní znalosti řešení soustav rovnic.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter