विधि का विचार.एक समीकरण चुना जाता है जिसमें एक चर को अन्य चर के माध्यम से सबसे सरलता से व्यक्त किया जाता है। इस चर के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है।

1. बी) अन्य तरीकों के साथ संयोजन।

विधि का विचार. यदि समाधान के प्रारंभिक चरण में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन विधि लागू नहीं होती है, तो सिस्टम के समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है (अवधि-दर-अवधि जोड़, घटाव, गुणा, भाग), और फिर प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन सीधे किया जाता है।

2) किसी एक समीकरण को स्वतंत्र रूप से हल करने की विधि।

विधि का विचार. यदि सिस्टम में एक समीकरण है जिसमें पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम अभिव्यक्तियाँ पाई जाती हैं, तो एक नया चर पेश किया जाता है और समीकरण को उसके संबंध में हल किया जाता है। सिस्टम फिर कई सरल प्रणालियों में टूट जाता है।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें

सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें:

प्रतिस्थापन करने पर, जहाँ t ≠ 0, हमें प्राप्त होता है

जहाँ t 1 = 4, t 2 = 1/4 है।

पुराने चरों पर लौटते हुए, आइए दो मामलों पर विचार करें।

समीकरण 4y 2 – 15y – 4 = 0 के मूल y 1 = 4, y 2 = - 1/4 हैं।

समीकरण 4x 2 + 15x – 4 = 0 के मूल x 1 = – 4, x 2 = 1/4 हैं।

3) सिस्टम को सरल सिस्टम के संयोजन में बदलना।

1. ए) उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालकर गुणनखंडीकरण।

विधि का विचार.यदि समीकरणों में से किसी एक में एक सामान्य कारक है, तो इस समीकरण को गुणनखंडित किया जाता है और, अभिव्यक्ति की शून्य की समानता को ध्यान में रखते हुए, सरल प्रणालियों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

1. बी) सजातीय समीकरण को हल करके गुणनखंडन.

विधि का विचार.यदि समीकरणों में से एक एक सजातीय समीकरण है (, तो इसे किसी एक चर के संबंध में हल करने के बाद, हम इसे कारकों में विभाजित करते हैं, उदाहरण के लिए: a(x-x 1)(x-x 2) और, की समानता को ध्यान में रखते हुए शून्य तक अभिव्यक्ति, हम सरल प्रणालियों को हल करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

आइए पहले सिस्टम को हल करें

1. सी) एकरूपता का प्रयोग.

विधि का विचार.यदि प्रणाली में एक अभिव्यक्ति है जो परिवर्तनीय मात्राओं का उत्पाद है, तो बीजगणितीय जोड़ की विधि का उपयोग करके, एक सजातीय समीकरण प्राप्त किया जाता है, और फिर सजातीय समीकरण को हल करने के लिए गुणनखंडन विधि का उपयोग किया जाता है।

4) बीजगणितीय जोड़ की विधि.

विधि का विचार.समीकरणों में से एक में, हम अज्ञात में से एक से छुटकारा पाते हैं; ऐसा करने के लिए, हम किसी एक चर के लिए गुणांक के मॉड्यूल को बराबर करते हैं, फिर हम समीकरणों का शब्द-दर-अवधि योग या घटाव करते हैं।

5) समीकरणों को गुणा करने की विधि।

विधि का विचार.यदि ऐसे कोई जोड़े (x;y) नहीं हैं जिनके लिए किसी एक समीकरण के दोनों पक्ष एक साथ गायब हो जाते हैं, तो इस समीकरण को सिस्टम के दोनों समीकरणों के उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

आइए सिस्टम के दूसरे समीकरण को हल करें।

मान लीजिए = t, तो 4t 3 + t 2 -12t -12 = 0. एक बहुपद की जड़ों पर प्रमेय के परिणाम को लागू करने पर, हमें t 1 = 2 मिलता है।

P(2) = 4∙2 3 + 2 2 – 12∙2 – 12 = 32 + 4 – 24 – 12 = 0. आइए अनिर्धारित गुणांक की विधि का उपयोग करके बहुपद की डिग्री कम करें।

4t 3 + t 2 -12t -12 = (t – 2) (2 + bt + c पर)।

4t 3 +t 2 -12t -12 = 3 + bt 2 + ct - 2पर 2 -2bt - 2c।

4टी 3 + टी 2 - 12टी -12 = 3 + (बी - 2ए) टी 2 + (सी -2बी) टी - 2सी पर।

हमें समीकरण 4t 2 + 9t + 6 = 0 मिलता है, जिसका कोई मूल नहीं है, क्योंकि D = 9 2 - 4∙4∙6 = -15<0.

वेरिएबल y पर लौटने पर, हमारे पास = 2 है, जहाँ से y = 4।

उत्तर। (1;4).

6) समीकरणों को विभाजित करने की विधि.

विधि का विचार.यदि ऐसे कोई जोड़े (x; y) नहीं हैं जिनके लिए समीकरणों में से एक के दोनों पक्ष एक साथ गायब हो जाते हैं, तो इस समीकरण को एक समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो सिस्टम के एक समीकरण को दूसरे द्वारा विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

7) नए वेरिएबल्स को पेश करने की विधि।

विधि का विचार.मूल चरों में से कुछ अभिव्यक्तियों को नए चरों के रूप में लिया जाता है, जिससे इन चरों में से मूल की तुलना में एक सरल प्रणाली बनती है। नए वेरिएबल पाए जाने के बाद, हमें मूल वेरिएबल्स के मान खोजने की आवश्यकता है।

पुराने चरों पर लौटने पर, हमारे पास है:

आइए पहले सिस्टम को हल करें।

8) विएटा के प्रमेय का अनुप्रयोग.

विधि का विचार.यदि सिस्टम इस तरह से बना है, तो एक समीकरण को योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और दूसरे को कुछ संख्याओं के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो एक निश्चित द्विघात समीकरण की जड़ें हैं, तो विएटा के प्रमेय का उपयोग करके हम एक द्विघात समीकरण बनाते हैं और इसे हल करते हैं।

उत्तर। (1;4), (4;1).

सममित प्रणालियों को हल करने के लिए, प्रतिस्थापन का उपयोग किया जाता है: x + y = a; xy = वी. सममित प्रणालियों को हल करते समय, निम्नलिखित परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है:

x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b; एक्स 3 + वाई 3 = (एक्स + वाई)(एक्स 2 – एक्सवाई + वाई 2) = ए(ए 2 -3बी);

x 2 y + xy 2 = xy (x + y) = ab; (x +1)∙(y +1) = xy +x +y+1 =a + b +1;

उत्तर। (1;1), (1;2), (2;1).

10) "सीमा मूल्य समस्याएं।"

विधि का विचार.सिस्टम का समाधान परिभाषा के क्षेत्र की संरचना या फ़ंक्शन मानों के सेट से संबंधित तार्किक तर्क और द्विघात समीकरण के विभेदक के संकेत के अध्ययन से प्राप्त किया जाता है।

इस प्रणाली की विशेषता यह है कि इसमें चरों की संख्या समीकरणों की संख्या से अधिक होती है। नॉनलाइनियर सिस्टम के लिए, ऐसी सुविधा अक्सर "सीमा मूल्य समस्या" का संकेत होती है। समीकरणों के रूप के आधार पर, हम फ़ंक्शन के मानों के सेट को खोजने का प्रयास करेंगे जो सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों में होता है। चूँकि x 2 + 4 ≥ 4, यह पहले समीकरण से निम्नानुसार है

उत्तर (0;4;4), (0;-4;-4).

11) ग्राफिक विधि।

विधि का विचार. एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के ग्राफ़ बनाएं और उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक खोजें।

1) सिस्टम के पहले समीकरण को y = x 2 के रूप में दोबारा लिखने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं: समीकरण का ग्राफ एक परवलय है।

2) सिस्टम के दूसरे समीकरण को y = 2/x 2 के रूप में दोबारा लिखने के बाद, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं: समीकरण का ग्राफ एक हाइपरबोला है।

3) परवलय और अतिपरवलय बिंदु A पर प्रतिच्छेद करते हैं। केवल एक ही प्रतिच्छेदन बिंदु है, क्योंकि परवलय की दाहिनी शाखा बढ़ते फलन के ग्राफ के रूप में कार्य करती है, और अतिपरवलय की दाहिनी शाखा घटते हुए फलन के ग्राफ के रूप में कार्य करती है। निर्मित ज्यामितीय मॉडल को देखते हुए, बिंदु A में निर्देशांक (1;2) हैं। जाँच से पता चलता है कि जोड़ी (1;2) सिस्टम के दोनों समीकरणों का एक समाधान है।

रेखीय समीकरण – a x = b के रूप का एक समीकरण, जहां x एक चर है, a और b कुछ संख्याएं हैं, और a ≠ 0 है।

रैखिक समीकरणों के उदाहरण:

1. 3 एक्स = 2

1. 2 7 एक्स = − 5

रैखिक समीकरणों को न केवल a x = b रूप के समीकरण कहा जाता है, बल्कि कोई भी समीकरण भी कहा जाता है, जो परिवर्तनों और सरलीकरणों की सहायता से इस रूप में घटाया जाता है।

उन समीकरणों को कैसे हल करें जिन्हें a x = b के रूप में घटाया गया है? यह समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को मान a से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है। परिणामस्वरूप, हमें उत्तर मिलता है: x = b a।

कैसे पहचानें कि एक मनमाना समीकरण रैखिक है या नहीं? आपको इसमें मौजूद वेरिएबल पर ध्यान देने की जरूरत है। यदि किसी चर की अग्रणी शक्ति एक के बराबर है, तो ऐसा समीकरण एक रैखिक समीकरण है।

रैखिक समीकरण को हल करने के लिए , आपको कोष्ठक खोलने होंगे (यदि कोई हो), "X'' को बाईं ओर ले जाएं, संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं, और समान शब्द लाएं। परिणाम a x = b के रूप का एक समीकरण है। इस रैखिक समीकरण का हल है: x = b a.

रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण:

1. 2 एक्स + 1 = 2 (एक्स − 3) + 8

यह एक रैखिक समीकरण है क्योंकि चर पहली घात का है।

आइए इसे a x = b के रूप में बदलने का प्रयास करें:

सबसे पहले, आइए कोष्ठक खोलें:

2 एक्स + 1 = 4 एक्स − 6 + 8

x वाले सभी पद बाईं ओर स्थानांतरित किए गए हैं, और संख्याएँ दाईं ओर:

2 एक्स - 4 एक्स = 2 - 1

अब बाएँ और दाएँ पक्षों को संख्या (-2) से विभाजित करते हैं:

− 2 एक्स − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0.5

उत्तर: x = − 0.5

1. एक्स 2 − 1 = 0

यह समीकरण एक रैखिक समीकरण नहीं है क्योंकि चर x की उच्चतम घात दो है।

1. एक्स (एक्स + 3) − 8 = एक्स − 1

यह समीकरण पहली नज़र में रैखिक दिखता है, लेकिन कोष्ठक खोलने के बाद, अग्रणी शक्ति दो के बराबर हो जाती है:

एक्स 2 + 3 एक्स − 8 = एक्स − 1

यह समीकरण एक रैखिक समीकरण नहीं है.

विशेष स्थितियां(ओजीई के कार्य 4 में उनका सामना नहीं हुआ था, लेकिन उन्हें जानना उपयोगी है)

उदाहरण:

1. 2 एक्स - 4 = 2 (एक्स - 2)

2 एक्स - 4 = 2 एक्स - 4

2 एक्स − 2 एक्स = − 4 + 4

और यदि x अस्तित्व में ही नहीं है तो हम उसे यहां कैसे खोज सकते हैं? परिवर्तन करने के बाद, हमें सही समानता (पहचान) प्राप्त हुई, जो चर x के मान पर निर्भर नहीं करती है। मूल समीकरण में हम x का जो भी मान रखें, परिणाम हमेशा एक सही समानता (पहचान) में परिणत होता है। इसका मतलब है कि x कोई भी संख्या हो सकती है। आइए इस रैखिक समीकरण का उत्तर लिखें।

उत्तर: x ∈ (− ∞ ;  + ∞)

1. 2 एक्स - 4 = 2 (एक्स - 8)

यह एक रेखीय समीकरण है. आइए कोष्ठक खोलें, X को बाईं ओर ले जाएँ, संख्याओं को दाईं ओर ले जाएँ:

2 एक्स - 4 = 2 एक्स - 16

2 एक्स − 2 एक्स = − 16 + 4

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, x कम हो गया था, लेकिन परिणाम एक गलत समानता थी। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम मूल समीकरण में x का कौन सा मान रखते हैं, परिणाम हमेशा गलत समानता होगा। इसका मतलब यह है कि x का कोई मान नहीं है जिस पर समानता सत्य हो जाएगी। आइए इस रैखिक समीकरण का उत्तर लिखें।

उत्तर: x ∈ ∅

द्विघातीय समीकरण

द्विघात समीकरण – a x 2 + b x + c = 0 के रूप का एक समीकरण, जहां x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएं हैं, और a ≠ 0 है।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. कोष्ठक खोलें, सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ ताकि समीकरण यह रूप ले ले: a x 2 + b x + c = 0
2. लिखिए कि संख्याओं में गुणांक किसके बराबर हैं: a = … b = … c = …
3. सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करें: D = b 2 − 4 a c
4. यदि D > 0, तो दो अलग-अलग मूल होंगे, जो सूत्र द्वारा पाए जाते हैं: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. यदि D = 0 है, तो एक मूल होगा, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है: x = - b 2 a
6. यदि डी< 0, решений нет: x ∈ ∅

द्विघात समीकरण को हल करने के उदाहरण:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

ए = − 1, बी = 6, सी = 7

डी = बी 2 - 4 ए सी = 6 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

डी > 0 - दो अलग-अलग जड़ें होंगी:

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 6 ± 64 2 ⋅ (- 1) = - 6 ± 8 - 2 = [ - 6 + 8 - 2 = 2 - 2 = - 1 - 6 - 8 - 2 = − 14 − 2 = 7

उत्तर: x 1 = − 1, x 2 = 7

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

ए = − 1, बी = 4, सी = − 4

डी = बी 2 - 4 ए सी = 4 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ (- 4) = 16 - 16 = 0

डी = 0 - एक जड़ होगी:

x = - b 2 a = - 4 2 ⋅ (- 1) = - 4 - 2 = 2

उत्तर: एक्स = 2

1. 2 x 2 − 7 x + 10 = 0

ए = 2, बी = - 7, सी = 10

डी = बी 2 - 4 ए सी = (- 7) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 - 80 = - 31

डी< 0 – решений нет.

उत्तर: x ∈ ∅

वे भी हैं अपूर्ण द्विघात समीकरण (ये द्विघात समीकरण हैं जिनमें या तो b = 0, या c = 0, या b = c = 0)। इन द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके पर वीडियो देखें!

एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन

वर्ग त्रिपद को निम्नानुसार गुणनखंडित किया जा सकता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = ए ⋅ (एक्स - एक्स 1) ⋅ (एक्स - एक्स 2)

जहाँ a एक संख्या है, अग्रणी गुणांक से पहले एक गुणांक है,

एक्स - परिवर्तनीय (यानी अक्षर),

x 1 और x 2 संख्याएँ हैं, द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c = 0 के मूल, जो विवेचक के माध्यम से पाए जाते हैं।

यदि किसी द्विघात समीकरण का केवल एक ही मूल हो, तो विस्तार इस प्रकार दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = ए ⋅ (एक्स − एक्स 0) 2

द्विघात त्रिपद के गुणनखंडन के उदाहरण:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,  x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

- x 2 + 4 x - 4 = (- 1) ⋅ (x - 2) 2 = - (x - 2) 2

यदि द्विघात त्रिपद अधूरा है, ((b = 0 या c = 0) तो इसे निम्नलिखित तरीकों से गुणनखंडित किया जा सकता है:

• सी = 0 ⇒ ए एक्स 2 + बी एक्स = एक्स (ए एक्स + बी)

• b = 0 ⇒ वर्गों के अंतर के लिए आवेदन करें।

भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण

मान लीजिए कि f (x) और g (x) वेरिएबल x के आधार पर कुछ फ़ंक्शन हैं।

भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण f (x) g (x) = 0 के रूप का एक समीकरण है।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए, हमें यह याद रखना होगा कि ODZ क्या है और यह कब घटित होता है।

ओडीजेड– चर के अनुमेय मानों की सीमा.

f (x) g (x) = 0 के रूप की अभिव्यक्ति में

ODZ: g (x) ≠ 0 (अंश का हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता)।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. ODZ लिखें: g (x) ≠ 0.
2. भिन्न के अंश को शून्य f (x) = 0 के बराबर करें और मूल ज्ञात करें।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण x 2 - 4 2 - x = 1 को हल करें।

समाधान:

हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे।

1. व्यंजक को f (x) g (x) = 0 के रूप में घटाएँ।

हम इकाई को बाईं ओर ले जाते हैं, दोनों पदों को एक सामान्य हर में लाने के लिए इसमें एक अतिरिक्त कारक लिखते हैं:

x 2 - 4 2 - x - 1 \ 2 - x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − (2 − x) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

एल्गोरिथम का पहला चरण सफलतापूर्वक पूरा हुआ.

1. ODZ लिखें:

हम ODZ को फ्रेम करते हैं, इसके बारे में मत भूलिए: x ≠ 2

1. भिन्न के अंश को शून्य f (x) = 0 के बराबर करें और मूल ज्ञात करें:

x 2 + x − 6 = 0 - द्विघात समीकरण। हम विवेचक के माध्यम से समाधान करते हैं।

ए = 1, बी = 1, सी = − 6

डी = बी 2 - 4 ए सी = 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25

डी > 0 - दो अलग-अलग जड़ें होंगी।

x 1,2 = - b ± D 2 a = - 1 ± 25 2 ⋅ 1 = - 1 ± 5 2 = [ - 1 + 5 2 = 4 2 = 2 - 1 - 5 2 = - 6 2 = - 3

[एक्स 1 = 2 एक्स 2 = − 3

1. अपने उत्तर में अंश से मूलों को इंगित करें, उन जड़ों को छोड़कर जो ओडीजेड में आते हैं।

पिछले चरण में प्राप्त जड़ें:

[एक्स 1 = 2 एक्स 2 = − 3

इसका मतलब यह है कि उत्तर में केवल एक ही मूल है, x = − 3.

उत्तर: x = − 3.

समीकरणों की प्रणाली

समीकरणों की प्रणाली दो अज्ञात वाले दो समीकरणों को कॉल करें (आमतौर पर अज्ञात को x और y दर्शाया जाता है), जो एक घुंघराले ब्रेस द्वारा एक सामान्य प्रणाली में संयुक्त होते हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली का उदाहरण

(x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - संख्याओं x और y की एक जोड़ी ढूंढें, जो समीकरणों की प्रणाली में प्रतिस्थापित होने पर, प्रणाली के दोनों समीकरणों में एक वास्तविक समानता बनाती है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की दो विधियाँ हैं:

1. प्रतिस्थापन विधि.
2. जोड़ विधि.

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. शेष अज्ञात का पता लगाएं.

उदाहरण:

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

(x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

समाधान:

1. किसी भी समीकरण से एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करें।

( एक्स = 8 - 2 वाई 3 एक्स - वाई = - 4

1. परिणामी मान को व्यक्त चर के बजाय किसी अन्य समीकरण में रखें।

( एक्स = 8 - 2 वाई 3 एक्स - वाई = - 4

( x = 8 - 2 y 3 (8 - 2 y) - y = - 4

1. एक अज्ञात के साथ एक समीकरण हल करें.

3 (8 − 2 y) − y = − 4

24 − 6 y − y = − 4

− 7 y = − 4 − 24

− 7 y = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. शेष अज्ञात का पता लगाएं.

एक्स = 8 - 2 वाई = 8 - 2 ⋅ 4 = 8 - 8 = 0

उत्तर तीन तरीकों में से एक में लिखा जा सकता है:

1. एक्स = 0, वाई = 4
2. (एक्स = 0 वाई = 4
3. (0 ;   4)

जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना।

जोड़ विधि निम्नलिखित संपत्ति पर आधारित है:

(ए + सी) = (बी + डी)

जोड़ विधि के पीछे का विचार समीकरणों को एक साथ जोड़कर किसी एक चर से छुटकारा पाना है।

उदाहरण:

जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

(x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

आइए इस उदाहरण में x वेरिएबल से छुटकारा पाएं। विधि का सार पहले और दूसरे समीकरण में चर x के सामने विपरीत गुणांक रखना है। दूसरे समीकरण में, x के पहले 3 का गुणांक है। जोड़ विधि के काम करने के लिए, चर x के सामने एक गुणांक (− 3) होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को (− 3) से गुणा करें।

इस वीडियो के साथ मैं समीकरणों की प्रणालियों को समर्पित पाठों की एक श्रृंखला शुरू करता हूं। आज हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के बारे में बात करेंगे अतिरिक्त विधि- यह सबसे सरल तरीकों में से एक है, लेकिन साथ ही सबसे प्रभावी में से एक है।

जोड़ विधि में तीन सरल चरण होते हैं:

1. सिस्टम को देखें और एक ऐसा चर चुनें जिसके प्रत्येक समीकरण में समान (या विपरीत) गुणांक हों;
2. एक दूसरे से समीकरणों का बीजगणितीय घटाव (विपरीत संख्याओं के लिए - जोड़) करें, और फिर समान पद लाएँ;
3. दूसरे चरण के बाद प्राप्त नये समीकरण को हल करें।

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो आउटपुट पर हमें एक एकल समीकरण मिलेगा एक चर के साथ- इसे हल करना मुश्किल नहीं होगा। फिर जो कुछ बचता है वह पाया गया मूल को मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित करना और अंतिम उत्तर प्राप्त करना है।

हालाँकि, व्यवहार में सब कुछ इतना सरल नहीं है। इसके अनेक कारण हैं:

• जोड़ विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करने का अर्थ है कि सभी पंक्तियों में समान/विपरीत गुणांक वाले चर होने चाहिए। यदि यह आवश्यकता पूरी न हो तो क्या करें?
• हमेशा नहीं, संकेतित तरीके से समीकरणों को जोड़ने/घटाने के बाद, हमें एक सुंदर निर्माण मिलता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। क्या किसी तरह गणनाओं को सरल बनाना और गणनाओं में तेजी लाना संभव है?

इन प्रश्नों का उत्तर पाने के लिए, और साथ ही कुछ अतिरिक्त बारीकियों को समझने के लिए, जिनमें कई छात्र असफल हो जाते हैं, मेरा वीडियो पाठ देखें:

इस पाठ के साथ हम समीकरणों की प्रणालियों पर समर्पित व्याख्यानों की एक श्रृंखला शुरू करते हैं। और हम उनमें से सबसे सरल से शुरू करेंगे, अर्थात् जिनमें दो समीकरण और दो चर हैं। उनमें से प्रत्येक रैखिक होगा.

सिस्टम 7वीं कक्षा की सामग्री है, लेकिन यह पाठ हाई स्कूल के छात्रों के लिए भी उपयोगी होगा जो इस विषय पर अपने ज्ञान को बढ़ाना चाहते हैं।

सामान्य तौर पर, ऐसी प्रणालियों को हल करने की दो विधियाँ हैं:

1. जोड़ विधि;
2. एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करने की एक विधि।

आज हम पहली विधि से निपटेंगे - हम घटाव और जोड़ की विधि का उपयोग करेंगे। लेकिन ऐसा करने के लिए, आपको निम्नलिखित तथ्य को समझने की आवश्यकता है: एक बार जब आपके पास दो या दो से अधिक समीकरण हों, तो आप उनमें से कोई भी दो ले सकते हैं और उन्हें एक दूसरे में जोड़ सकते हैं। उन्हें सदस्य-दर-सदस्य जोड़ा जाता है, अर्थात्। "एक्स" को "एक्स" में जोड़ा जाता है और समान दिए जाते हैं, "वाई" के साथ "वाई" फिर से समान होते हैं, और जो समान चिह्न के दाईं ओर है उसे भी एक दूसरे में जोड़ा जाता है, और समान चिह्न भी वहां दिए जाते हैं .

ऐसी साजिशों के नतीजे एक नए समीकरण के रूप में सामने आएंगे, जिनकी जड़ें अगर होंगी तो वे निश्चित रूप से मूल समीकरण की जड़ों में से होंगी। इसलिए, हमारा काम घटाव या जोड़ को इस तरह से करना है कि या तो $x$ या $y$ गायब हो जाए।

इसे कैसे प्राप्त करें और इसके लिए किस टूल का उपयोग करें - हम अब इस बारे में बात करेंगे।

जोड़ का उपयोग करके आसान समस्याओं को हल करना

इसलिए, हम दो सरल अभिव्यक्तियों के उदाहरण का उपयोग करके जोड़ विधि का उपयोग करना सीखते हैं।

कार्य क्रमांक 1

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

ध्यान दें कि पहले समीकरण में $y$ का गुणांक $-4$ है, और दूसरे में $+4$ है। वे परस्पर विपरीत हैं, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि यदि हम उन्हें जोड़ते हैं, तो परिणामी योग में "खेल" पारस्परिक रूप से नष्ट हो जाएंगे। इसे जोड़ें और प्राप्त करें:

आइए सबसे सरल निर्माण को हल करें:

बढ़िया, हमें "x" मिल गया। अब हमें इसका क्या करना चाहिए? हमें इसे किसी भी समीकरण में प्रतिस्थापित करने का अधिकार है। आइए पहले स्थानापन्न करें:

\[-4y=12\बाएं| :\left(-4 \right) \right.\]

उत्तर: $\left(2;-3 \right)$.

समस्या क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

यहां स्थिति पूरी तरह से समान है, केवल "एक्स" के साथ। आइए उन्हें जोड़ें:

हमारे पास सबसे सरल रैखिक समीकरण है, आइए इसे हल करें:

आइए अब $x$ खोजें:

उत्तर: $\left(-3;3 \right)$.

महत्वपूर्ण बिंदु

इसलिए, हमने जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की दो सरल प्रणालियों को हल किया है। मुख्य बिंदु फिर से:

1. यदि किसी एक चर के लिए विपरीत गुणांक हैं, तो समीकरण में सभी चर को जोड़ना आवश्यक है। इस मामले में, उनमें से एक को नष्ट कर दिया जाएगा.
2. हम दूसरे को खोजने के लिए पाए गए चर को किसी भी सिस्टम समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
3. अंतिम प्रतिक्रिया रिकॉर्ड विभिन्न तरीकों से प्रस्तुत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इस तरह - $x=...,y=...$, या बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में - $\left(...;... \right)$. दूसरा विकल्प बेहतर है. याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि पहला निर्देशांक $x$ है, और दूसरा $y$ है।
4. उत्तर को बिंदु निर्देशांक के रूप में लिखने का नियम हमेशा लागू नहीं होता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग तब नहीं किया जा सकता जब चर $x$ और $y$ नहीं हैं, बल्कि, उदाहरण के लिए, $a$ और $b$ हैं।

निम्नलिखित समस्याओं में हम घटाने की तकनीक पर विचार करेंगे जब गुणांक विपरीत न हों।

घटाव विधि का उपयोग करके आसान समस्याओं को हल करना

कार्य क्रमांक 1

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

ध्यान दें कि यहां कोई विपरीत गुणांक नहीं हैं, बल्कि समान हैं। इसलिए, हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं:

अब हम किसी भी सिस्टम समीकरण में मान $x$ को प्रतिस्थापित करते हैं। आइए पहले चलते हैं:

उत्तर: $\left(2;5\right)$.

समस्या क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

हम पहले और दूसरे समीकरण में फिर से $x$ के लिए $5$ का समान गुणांक देखते हैं। इसलिए, यह मान लेना तर्कसंगत है कि आपको पहले समीकरण से दूसरे को घटाना होगा:

हमने एक वेरिएबल की गणना की है। आइए अब दूसरा खोजें, उदाहरण के लिए, दूसरे निर्माण में $y$ का मान प्रतिस्थापित करके:

उत्तर: $\left(-3;-2 \right)$.

समाधान की बारीकियां

तो हम क्या देखते हैं? मूलतः, यह योजना पिछली प्रणालियों के समाधान से भिन्न नहीं है। फर्क सिर्फ इतना है कि हम समीकरण जोड़ते नहीं, बल्कि घटाते हैं। हम बीजगणितीय घटाव कर रहे हैं.

दूसरे शब्दों में, जैसे ही आप दो अज्ञात में दो समीकरणों से युक्त एक प्रणाली देखते हैं, सबसे पहली चीज जो आपको देखने की जरूरत है वह है गुणांक। यदि वे कहीं भी समान हैं, तो समीकरण घटा दिए जाते हैं, और यदि वे विपरीत हैं, तो जोड़ विधि का उपयोग किया जाता है। ऐसा हमेशा इसलिए किया जाता है ताकि उनमें से एक गायब हो जाए और अंतिम समीकरण में, जो घटाने के बाद बचता है, केवल एक चर रह जाए।

निःसंदेह, इतना ही नहीं। अब हम उन प्रणालियों पर विचार करेंगे जिनमें समीकरण आम तौर पर असंगत होते हैं। वे। उनमें कोई भी वेरिएबल नहीं है जो समान या विपरीत हो। इस मामले में, ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए, एक अतिरिक्त तकनीक का उपयोग किया जाता है, अर्थात् प्रत्येक समीकरण को एक विशेष गुणांक से गुणा करना। इसे कैसे खोजा जाए और सामान्य तौर पर ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, हम अब इस बारे में बात करेंगे।

किसी गुणांक से गुणा करके समस्याओं का समाधान करना

उदाहरण 1

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

हम देखते हैं कि न तो $x$ के लिए और न ही $y$ के लिए गुणांक न केवल परस्पर विपरीत हैं, बल्कि किसी भी तरह से अन्य समीकरण से संबंधित नहीं हैं। ये गुणांक किसी भी तरह से गायब नहीं होंगे, भले ही हम समीकरणों को एक-दूसरे से जोड़ या घटा दें। अतः गुणन लगाना आवश्यक है। आइए $y$ वेरिएबल से छुटकारा पाने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से $y$ के गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से $y$ के गुणांक से गुणा करते हैं, बिना चिह्न को छुए। हम गुणा करते हैं और एक नई प्रणाली प्राप्त करते हैं:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)&10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

आइए इसे देखें: $y$ पर गुणांक विपरीत हैं। ऐसी स्थिति में योग विधि का प्रयोग आवश्यक है। आइए जोड़ें:

अब हमें $y$ ढूंढने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, पहली अभिव्यक्ति में $x$ प्रतिस्थापित करें:

\[-9y=18\बाएँ| :\left(-9 \right) \right.\]

उत्तर: $\left(4;-2 \right)$.

उदाहरण क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

फिर, किसी भी चर के लिए गुणांक सुसंगत नहीं हैं। आइए $y$ के गुणांकों से गुणा करें:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें)& 11x+4y=-18\बाएं| 6 \दाएं। \\& 13x-6y=-32\बाएं| 4 \दाएं। \\\अंत(संरेखित) \दाएं .\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)&66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

हमारी नई प्रणाली पिछली प्रणाली के बराबर है, लेकिन $y$ के गुणांक परस्पर विपरीत हैं, और इसलिए यहां जोड़ विधि लागू करना आसान है:

आइए अब पहले समीकरण में $x$ को प्रतिस्थापित करके $y$ खोजें:

उत्तर: $\left(-2;1 \right)$.

समाधान की बारीकियां

यहां मुख्य नियम निम्नलिखित है: हम हमेशा केवल सकारात्मक संख्याओं से गुणा करते हैं - यह आपको बदलते संकेतों से जुड़ी मूर्खतापूर्ण और आक्रामक गलतियों से बचाएगा। सामान्य तौर पर, समाधान योजना काफी सरल है:

1. हम सिस्टम को देखते हैं और प्रत्येक समीकरण का विश्लेषण करते हैं।
2. यदि हम देखते हैं कि न तो $y$ और न ही $x$ गुणांक सुसंगत हैं, अर्थात। वे न तो बराबर हैं और न ही विपरीत हैं, फिर हम निम्नलिखित करते हैं: हम उस चर का चयन करते हैं जिससे हमें छुटकारा पाना है, और फिर हम इन समीकरणों के गुणांकों को देखते हैं। यदि हम पहले समीकरण को दूसरे के गुणांक से गुणा करते हैं, और दूसरे को, तदनुसार, पहले के गुणांक से गुणा करते हैं, तो अंत में हमें एक प्रणाली मिलेगी जो पूरी तरह से पिछले एक के बराबर है, और $ के गुणांक y$ सुसंगत रहेगा। हमारे सभी कार्यों या परिवर्तनों का उद्देश्य केवल एक समीकरण में एक चर प्राप्त करना है।
3. हमें एक चर मिलता है।
4. हम पाए गए चर को सिस्टम के दो समीकरणों में से एक में प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरा पाते हैं।
5. यदि हमारे पास चर $x$ और $y$ हैं तो हम उत्तर को बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में लिखते हैं।

लेकिन ऐसे सरल एल्गोरिदम की भी अपनी सूक्ष्मताएं होती हैं, उदाहरण के लिए, $x$ या $y$ के गुणांक भिन्न और अन्य "बदसूरत" संख्याएं हो सकते हैं। अब हम इन मामलों पर अलग से विचार करेंगे, क्योंकि उनमें आप मानक एल्गोरिदम के अनुसार कुछ अलग तरीके से कार्य कर सकते हैं।

भिन्नों से संबंधित समस्याओं का समाधान

उदाहरण 1

\[\बाएं\( \begin(संरेखित)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

सबसे पहले, ध्यान दें कि दूसरे समीकरण में भिन्न शामिल हैं। लेकिन ध्यान रखें कि आप $4$ को $0.8$ से विभाजित कर सकते हैं। हमें $5$ मिलेंगे. आइए दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा करें:

\[\बाएं\( \begin(संरेखित)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

हम समीकरणों को एक दूसरे से घटाते हैं:

हमें $n$ मिला, अब $m$ की गिनती करते हैं:

उत्तर: $n=-4;m=5$

उदाहरण क्रमांक 2

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 2.5p+1.5k=-13\बाएं| 4 \दाएं। \\& 2p-5k=2\बाएं| 5 \दाएं। \\\अंत(संरेखित )\ सही।\]

यहां, पिछली प्रणाली की तरह, भिन्नात्मक गुणांक हैं, लेकिन किसी भी चर के लिए गुणांक एक-दूसरे में पूर्णांक संख्या में फिट नहीं होते हैं। इसलिए, हम मानक एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। $p$ से छुटकारा पाएं:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(संरेखित) \दाएं।\]

हम घटाव विधि का उपयोग करते हैं:

आइए दूसरी रचना में $k$ को प्रतिस्थापित करके $p$ खोजें:

उत्तर: $p=-4;k=-2$.

समाधान की बारीकियां

यह सब अनुकूलन है. पहले समीकरण में, हमने किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया, लेकिन दूसरे समीकरण को $5$ से गुणा किया। परिणामस्वरूप, हमें पहले चर के लिए एक सुसंगत और समान समीकरण प्राप्त हुआ। दूसरी प्रणाली में हमने एक मानक एल्गोरिदम का पालन किया।

लेकिन आप उन संख्याओं को कैसे खोजते हैं जिनसे समीकरणों को गुणा किया जा सके? आख़िरकार, यदि हम भिन्नों से गुणा करते हैं, तो हमें नए भिन्न प्राप्त होते हैं। इसलिए, भिन्नों को एक संख्या से गुणा किया जाना चाहिए जो एक नया पूर्णांक देगा, और उसके बाद मानक एल्गोरिदम का पालन करते हुए चर को गुणांकों से गुणा किया जाना चाहिए।

अंत में, मैं आपका ध्यान प्रतिक्रिया रिकॉर्ड करने के प्रारूप की ओर आकर्षित करना चाहूंगा। जैसा कि मैंने पहले ही कहा, चूँकि यहाँ हमारे पास $x$ और $y$ नहीं, बल्कि अन्य मान हैं, हम फॉर्म के एक गैर-मानक नोटेशन का उपयोग करते हैं:

समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना

आज के वीडियो ट्यूटोरियल के अंतिम नोट के रूप में, आइए कुछ बेहद जटिल प्रणालियों पर नजर डालें। उनकी जटिलता इस तथ्य में समाहित होगी कि उनमें बाएँ और दाएँ दोनों तरफ चर होंगे। इसलिए, उन्हें हल करने के लिए हमें प्रीप्रोसेसिंग लागू करना होगा।

सिस्टम नंबर 1

\[\left\( \begin(संरेखित)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​ \right)+4 \\& 6\left(y+1 \दाएं )-1=5\बाएं(2x-1 \दाएं)+8 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

प्रत्येक समीकरण में एक निश्चित जटिलता होती है। इसलिए, आइए प्रत्येक अभिव्यक्ति को एक नियमित रैखिक निर्माण के रूप में मानें।

कुल मिलाकर, हमें अंतिम प्रणाली मिलती है, जो मूल के बराबर है:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

आइए $y$ के गुणांकों को देखें: $3$ $6$ में दो बार फिट बैठता है, तो आइए पहले समीकरण को $2$ से गुणा करें:

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\अंत(संरेखित) \दाएं।\]

$y$ के गुणांक अब बराबर हैं, इसलिए हम पहले समीकरण से दूसरे को घटाते हैं: $$

आइए अब $y$ खोजें:

उत्तर: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

सिस्टम नंबर 2

\[\left\( \begin(ign)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\बाएँ(a-5 \दाएँ)+b \\\end(संरेखित) \दाएँ।\]

आइए पहली अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

आइए दूसरे से निपटें:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

कुल मिलाकर, हमारी प्रारंभिक प्रणाली निम्नलिखित रूप लेगी:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\]

$a$ के गुणांकों को देखते हुए, हम देखते हैं कि पहले समीकरण को $2$ से गुणा करने की आवश्यकता है:

\[\बाएँ\( \begin(संरेखित)& 4a-30=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(संरेखित) \दाएँ।\]

पहली रचना से दूसरी घटाएँ:

आइए अब $a$ ढूंढें:

उत्तर: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

बस इतना ही। मुझे आशा है कि यह वीडियो ट्यूटोरियल आपको इस कठिन विषय, अर्थात् सरल रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने, को समझने में मदद करेगा। भविष्य में इस विषय पर कई और पाठ होंगे: हम अधिक जटिल उदाहरण देखेंगे, जहां अधिक चर होंगे, और समीकरण स्वयं अरेखीय होंगे। फिर मिलेंगे!

1. प्रतिस्थापन विधि: सिस्टम के किसी भी समीकरण से हम एक अज्ञात को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करते हैं और इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

काम।समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान।सिस्टम के पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं परके माध्यम से एक्सऔर इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। आइए सिस्टम प्राप्त करें मूल के समतुल्य.

समान शर्तें लाने के बाद, सिस्टम यह रूप लेगा:

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं: . इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करना पर = 2 - 2एक्स, हम पाते हैं पर= 3. इसलिए, इस प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक युग्म है।

2. बीजगणितीय जोड़ विधि: दो समीकरण जोड़ने पर, आपको एक चर वाला समीकरण प्राप्त होता है।

काम।सिस्टम समीकरण को हल करें:

समाधान।दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है मूल के समतुल्य. इस प्रणाली के दो समीकरणों को जोड़ने पर, हम प्रणाली पर पहुंचते हैं

समान शर्तें लाने के बाद यह प्रणाली इस प्रकार बनेगी: दूसरे समीकरण से हम पाते हैं। इस मान को समीकरण 3 में प्रतिस्थापित करना एक्स + 4पर= 5, हमें प्राप्त होता है , कहाँ । इसलिए, इस प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक युग्म है।

3. नए वेरिएबल पेश करने की विधि: हम सिस्टम में कुछ दोहराए जाने वाले भावों की तलाश कर रहे हैं, जिन्हें हम नए वेरिएबल्स द्वारा निरूपित करेंगे, जिससे सिस्टम की उपस्थिति सरल हो जाएगी।

काम।समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान।आइए इस प्रणाली को अलग तरीके से लिखें:

होने देना एक्स + वाई = तुम, xy = वीतब हमें सिस्टम मिलता है

आइए इसे प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके हल करें। सिस्टम के पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं यूके माध्यम से वीऔर इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। आइए सिस्टम प्राप्त करें वे।

सिस्टम के दूसरे समीकरण से हम पाते हैं वी 1 = 2, वी 2 = 3.

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करना यू = 5 - वी, हम पाते हैं यू 1 = 3,
यू 2 = 2. तब हमारे पास दो प्रणालियाँ हैं

पहली प्रणाली को हल करने पर, हमें संख्याओं के दो जोड़े मिलते हैं (1; 2), (2; 1)। दूसरी प्रणाली का कोई समाधान नहीं है.

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

इस पाठ में हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की विधियों पर गौर करेंगे। उच्च गणित के पाठ्यक्रम में, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को अलग-अलग कार्यों के रूप में हल करने की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, "क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके प्रणाली को हल करें" और अन्य समस्याओं को हल करने के दौरान। उच्च गणित की लगभग सभी शाखाओं में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से निपटना पड़ता है।

सबसे पहले, थोड़ा सिद्धांत. इस मामले में गणितीय शब्द "रैखिक" का क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि सिस्टम के समीकरण सभीचर शामिल हैं पहली डिग्री में: बिना किसी फैंसी सामान के आदि, जिससे केवल गणितीय ओलंपियाड में भाग लेने वाले ही प्रसन्न होते हैं।

उच्च गणित में, चरों को दर्शाने के लिए न केवल बचपन से परिचित अक्षरों का उपयोग किया जाता है।
एक काफी लोकप्रिय विकल्प इंडेक्स के साथ वेरिएबल है:।
या लैटिन वर्णमाला के प्रारंभिक अक्षर, छोटे और बड़े:
ग्रीक अक्षर मिलना इतना दुर्लभ नहीं है: - कई लोग "अल्फा, बीटा, गामा" के रूप में जाने जाते हैं। और सूचकांकों के साथ एक सेट भी, मान लीजिए, अक्षर "म्यू" के साथ:

अक्षरों के एक या दूसरे सेट का उपयोग उच्च गणित के उस अनुभाग पर निर्भर करता है जिसमें हमारा सामना रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से होता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, इंटीग्रल और डिफरेंशियल समीकरणों को हल करते समय सामने आने वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों में, नोटेशन का उपयोग करना पारंपरिक है

लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चर कैसे निर्दिष्ट किए गए हैं, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के सिद्धांत, तरीके और तरीके नहीं बदलते हैं। इस प्रकार, यदि आपके सामने कुछ डरावना जैसा आता है, तो डरकर समस्या पुस्तिका को बंद करने में जल्दबाजी न करें, आखिरकार, आप इसके स्थान पर सूर्य, इसके स्थान पर एक पक्षी और इसके स्थान पर एक चेहरे (शिक्षक) का चित्र बना सकते हैं। और, यह भले ही अजीब लगे, लेकिन इन नोटेशन के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को भी हल किया जा सकता है।

मुझे लग रहा है कि लेख काफी लंबा हो जाएगा, इसलिए विषय-सूची छोटी है। तो, क्रमिक "डीब्रीफिंग" इस प्रकार होगी:

- प्रतिस्थापन विधि ("स्कूल विधि") का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना;
- सिस्टम समीकरणों के टर्म-दर-टर्म जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम को हल करना;
- क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम का समाधान;
- व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करना;
- गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना.

स्कूली गणित पाठ्यक्रमों से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से हर कोई परिचित है। मूलतः, हम दोहराव से शुरू करते हैं।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना

इस विधि को "स्कूल विधि" या अज्ञात को ख़त्म करने की विधि भी कहा जा सकता है। लाक्षणिक रूप से कहें तो इसे "एक अधूरी गाऊसी पद्धति" भी कहा जा सकता है।

उदाहरण 1

यहां हमें दो अज्ञात वाले दो समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। ध्यान दें कि मुक्त पद (संख्या 5 और 7) समीकरण के बाईं ओर स्थित हैं। सामान्यतया, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे कहाँ हैं, बाईं ओर या दाईं ओर, यह सिर्फ इतना है कि उच्च गणित की समस्याओं में वे अक्सर उसी तरह स्थित होते हैं। और ऐसी रिकॉर्डिंग से भ्रम की स्थिति पैदा नहीं होनी चाहिए; यदि आवश्यक हो, तो सिस्टम को हमेशा "हमेशा की तरह" लिखा जा सकता है:। यह मत भूलिए कि किसी पद को एक भाग से दूसरे भाग में ले जाते समय, उसे अपना चिह्न बदलने की आवश्यकता होती है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का क्या मतलब है? समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके कई समाधान खोजना। किसी सिस्टम का समाधान उसमें शामिल सभी चरों के मानों का एक समूह है, जो सिस्टम के हर समीकरण को सच्ची समानता में बदल देता है। इसके अलावा, सिस्टम हो सकता है गैर संयुक्त (कोई समाधान नहीं है).शरमाओ मत, यह एक सामान्य परिभाषा है =) हमारे पास केवल एक "x" मान और एक "y" मान होगा, जो प्रत्येक सी-वी समीकरण को संतुष्ट करता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक ग्राफिकल विधि है, जिससे आप कक्षा में परिचित हो सकते हैं। एक पंक्ति के साथ सबसे सरल समस्याएँ. वहां मैंने बात की ज्यामितीय बोधदो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली। लेकिन अब यह बीजगणित और अंक-अंक, क्रिया-क्रिया का युग है।

आइये निर्णय करें: पहले समीकरण से हम व्यक्त करते हैं:
हम परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

हम कोष्ठक खोलते हैं, समान पद जोड़ते हैं और मान ज्ञात करते हैं:

इसके बाद, हमें याद है कि हमने किसके लिए नृत्य किया था:
हम पहले से ही मूल्य जानते हैं, जो कुछ बचा है वह खोजना है:

उत्तर:

समीकरणों की किसी भी प्रणाली को किसी भी तरह से हल करने के बाद, मैं दृढ़ता से जाँच करने की अनुशंसा करता हूँ (मौखिक रूप से, ड्राफ्ट पर या कैलकुलेटर पर). सौभाग्य से, यह आसानी से और जल्दी से किया जाता है।

1) पाए गए उत्तर को पहले समीकरण में रखें:

– सही समानता प्राप्त होती है.

2) पाए गए उत्तर को दूसरे समीकरण में रखें:

– सही समानता प्राप्त होती है.

या, इसे और अधिक सरलता से कहें तो, "सबकुछ एक साथ आया"

समाधान की मानी गई विधि एकमात्र नहीं है; पहले समीकरण से इसे व्यक्त करना संभव था, और नहीं।
आप इसके विपरीत कर सकते हैं - दूसरे समीकरण से कुछ व्यक्त करें और उसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें। वैसे, ध्यान दें कि चार तरीकों में से सबसे नुकसानदायक दूसरे समीकरण से व्यक्त करना है:

परिणाम भिन्न है, लेकिन क्यों? एक अधिक तर्कसंगत समाधान है.

हालाँकि, कुछ मामलों में आप अभी भी भिन्नों के बिना काम नहीं कर सकते। इस संबंध में, मैं आपका ध्यान इस ओर आकर्षित करना चाहूंगा कि मैंने अभिव्यक्ति को कैसे लिखा। ऐसा नहीं है: और किसी भी मामले में ऐसा नहीं है: .

यदि उच्च गणित में आप भिन्नात्मक संख्याओं से निपट रहे हैं, तो सभी गणनाएँ सामान्य अनुचित भिन्नों में करने का प्रयास करें।

बिल्कुल, और नहीं या!

अल्पविराम का उपयोग कभी-कभी ही किया जा सकता है, विशेष रूप से यदि यह किसी समस्या का अंतिम उत्तर है, और इस संख्या के साथ आगे कोई कार्रवाई करने की आवश्यकता नहीं है।

कई पाठकों ने शायद सोचा होगा कि "सुधार वर्ग के लिए इतनी विस्तृत व्याख्या क्यों, सब कुछ स्पष्ट है।" ऐसा कुछ भी नहीं है, यह एक साधारण स्कूल उदाहरण जैसा लगता है, लेकिन इसमें बहुत सारे महत्वपूर्ण निष्कर्ष हैं! यहाँ एक और है:

आपको किसी भी कार्य को सबसे तर्कसंगत तरीके से पूरा करने का प्रयास करना चाहिए. यदि केवल इसलिए कि इससे समय और घबराहट की बचत होती है, और गलती होने की संभावना भी कम हो जाती है।

यदि उच्च गणित की किसी समस्या में आपको दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है, तो आप हमेशा प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं (जब तक कि यह संकेत नहीं दिया जाता है कि प्रणाली को किसी अन्य विधि द्वारा हल करने की आवश्यकता है)। एक भी शिक्षक ऐसा नहीं करेगा सोचें कि आप मूर्ख हैं और "स्कूल पद्धति" का उपयोग करने के कारण आपका ग्रेड कम हो जाएगा।
इसके अलावा, कुछ मामलों में अधिक संख्या में चरों के साथ प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।

उदाहरण 2

तीन अज्ञातों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

अनिश्चित गुणांकों की तथाकथित विधि का उपयोग करते समय समीकरणों की एक समान प्रणाली अक्सर उत्पन्न होती है, जब हम एक भिन्नात्मक तर्कसंगत फ़ंक्शन का अभिन्न अंग पाते हैं। प्रश्नगत सिस्टम मेरे द्वारा वहां से लिया गया था।

अभिन्न को खोजते समय, लक्ष्य है तेज़क्रैमर के सूत्रों, व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि, आदि का उपयोग करने के बजाय गुणांकों के मान ज्ञात करें। इसलिए, इस मामले में, प्रतिस्थापन विधि उपयुक्त है.

जब समीकरणों की कोई प्रणाली दी जाती है, तो सबसे पहले यह पता लगाना वांछनीय है कि क्या इसे तुरंत किसी तरह सरल बनाना संभव है? सिस्टम के समीकरणों का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि सिस्टम के दूसरे समीकरण को 2 से विभाजित किया जा सकता है, जो हम करते हैं:

संदर्भ:गणितीय चिह्न का अर्थ है "इससे वह अनुसरण करता है" और इसका उपयोग अक्सर समस्या समाधान में किया जाता है।

अब आइए समीकरणों का विश्लेषण करें; हमें कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने की आवश्यकता है। मुझे कौन सा समीकरण चुनना चाहिए? आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि इस उद्देश्य के लिए सबसे आसान तरीका सिस्टम का पहला समीकरण लेना है:

यहां, कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस चर को व्यक्त करना है, कोई भी उतनी ही आसानी से या व्यक्त कर सकता है।

इसके बाद, हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण में अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

हम कोष्ठक खोलते हैं और समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:

तीसरे समीकरण को 2 से विभाजित करें:

दूसरे समीकरण से हम व्यक्त करते हैं और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

लगभग सब कुछ तैयार है, तीसरे समीकरण से हम पाते हैं:
दूसरे समीकरण से:
पहले समीकरण से:

जांचें: सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर चर के पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

1)
2)
3)

समीकरणों के संगत दाएँ पक्ष प्राप्त किए जाते हैं, इस प्रकार समाधान सही पाया जाता है।

उदाहरण 3

4 अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में उत्तर दें)।

सिस्टम समीकरणों के पद-दर-पद जोड़ (घटाव) द्वारा सिस्टम को हल करना

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, आपको "स्कूल पद्धति" का नहीं, बल्कि प्रणाली के समीकरणों के शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) की विधि का उपयोग करने का प्रयास करना चाहिए। क्यों? इससे समय की बचत होती है और गणनाएँ सरल हो जाती हैं, हालाँकि, अब सब कुछ स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण 4

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

मैंने पहले उदाहरण जैसा ही सिस्टम लिया।
समीकरणों की प्रणाली का विश्लेषण करते हुए, हम देखते हैं कि चर के गुणांक परिमाण में समान और चिह्न (-1 और 1) में विपरीत हैं। ऐसी स्थिति में, समीकरणों को पद दर पद जोड़ा जा सकता है:

लाल घेरे में क्रियाएँ मानसिक रूप से की जाती हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, पद-दर-अवधि योग के परिणामस्वरूप, हमने चर खो दिया। यह, वास्तव में, यही है विधि का सार किसी एक चर से छुटकारा पाना है.