ज्यामितीय प्रगति में nवीं संख्या कैसे ज्ञात करें। ज्यामितीय प्रगति का हर: सूत्र और गुण। एक परिमित ज्यामितीय प्रगति का योग

आइए एक निश्चित श्रृंखला पर विचार करें।

7 28 112 448 1792...

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इसके किसी भी तत्व का मूल्य पिछले वाले से ठीक चार गुना अधिक है। इसका मतलब यह है कि यह श्रृंखला एक प्रगति है।

ज्यामितीय अनुक्रम संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम है, जिसकी मुख्य विशेषता यह है कि अगली संख्या को पिछली संख्या से एक विशिष्ट संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है।

a z +1 =a z·q, जहां z चयनित तत्व की संख्या है।

तदनुसार, z ∈ N.

वह अवधि जब स्कूल में ज्यामितीय प्रगति का अध्ययन किया जाता है वह 9वीं कक्षा है। उदाहरण आपको अवधारणा को समझने में मदद करेंगे:

0.25 0.125 0.0625...

इस सूत्र के आधार पर, प्रगति का हर इस प्रकार पाया जा सकता है:

न तो q और न ही bz शून्य हो सकते हैं। साथ ही, प्रगति का प्रत्येक तत्व शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।

तदनुसार, किसी श्रृंखला में अगली संख्या जानने के लिए, आपको अंतिम संख्या को q से गुणा करना होगा।

इस प्रगति को सेट करने के लिए, आपको इसका पहला तत्व और हर निर्दिष्ट करना होगा। इसके बाद, बाद के किसी भी पद और उनका योग ज्ञात करना संभव है।

किस्मों

Q और a 1 के आधार पर, इस प्रगति को कई प्रकारों में विभाजित किया गया है:

• यदि 1 और q दोनों एक से अधिक हैं, तो ऐसा क्रम एक ज्यामितीय प्रगति है जो प्रत्येक बाद के तत्व के साथ बढ़ता है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत है.

उदाहरण: a 1 =3, q=2 - दोनों पैरामीटर एक से बड़े हैं।

फिर संख्या क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 6 12 24 48 ...

• यदि |q| एक से कम है, अर्थात इससे गुणा करना भाग के बराबर है, तो समान स्थितियों वाली प्रगति घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है। इसका एक उदाहरण नीचे प्रस्तुत है.

उदाहरण: a 1 =6, q=1/3 - a 1 एक से बड़ा है, q कम है।

फिर संख्या क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

6 2 2/3 ... - कोई भी तत्व उसके बाद वाले तत्व से 3 गुना बड़ा होता है।

• वैकल्पिक संकेत. यदि प्र<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

उदाहरण: a 1 = -3, q = -2 - दोनों पैरामीटर शून्य से कम हैं।

फिर संख्या क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3, 6, -12, 24,...

सूत्रों

ज्यामितीय प्रगति के सुविधाजनक उपयोग के लिए कई सूत्र हैं:

• Z-टर्म फॉर्मूला. आपको पिछली संख्याओं की गणना किए बिना किसी विशिष्ट संख्या के अंतर्गत किसी तत्व की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण:क्यू = 3, ए 1 = 4. प्रगति के चौथे तत्व को गिनना आवश्यक है।

समाधान:ए 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• प्रथम तत्वों का योग जिनकी मात्रा बराबर है जेड. आपको अनुक्रम के सभी तत्वों के योग की गणना करने की अनुमति देता हैएक zसहित।

चूंकि (1-क्यू) हर में है, तो (1 - क्यू)≠ 0, इसलिए q, 1 के बराबर नहीं है।

ध्यान दें: यदि q=1, तो प्रगति अनंत रूप से दोहराई जाने वाली संख्याओं की एक श्रृंखला होगी।

ज्यामितीय प्रगति का योग, उदाहरण:ए 1 = 2, क्यू= -2. S5 की गणना करें.

समाधान:एस 5 = 22 - सूत्र का उपयोग करके गणना।

• राशि यदि |क्यू| < 1 и если z стремится к бесконечности.

उदाहरण:ए 1 = 2 , क्यू= 0.5. राशि ज्ञात कीजिये.

समाधान:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

कुछ गुण:

• विशेषता संपत्ति. यदि निम्न शर्त किसी के लिए काम करता हैजेड, तो दी गई संख्या श्रृंखला एक ज्यामितीय प्रगति है:

एक z 2 = एक z -1 · एz+1

• साथ ही, ज्यामितीय क्रम में किसी भी संख्या का वर्ग किसी दी गई श्रृंखला में किन्हीं दो अन्य संख्याओं के वर्गों को जोड़कर पाया जाता है, यदि वे इस तत्व से समान दूरी पर हों।

एक z 2 = एक z - टी 2 + एक z + टी 2 , कहाँटी- इन नंबरों के बीच की दूरी.

• तत्वोंक्यू में अंतरएक बार।
• किसी प्रगति के तत्वों के लघुगणक भी एक प्रगति बनाते हैं, लेकिन एक अंकगणितीय, यानी, उनमें से प्रत्येक एक निश्चित संख्या से पिछले एक से अधिक है।

कुछ क्लासिक समस्याओं के उदाहरण

ज्यामितीय प्रगति क्या है, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, कक्षा 9 के समाधान वाले उदाहरण मदद कर सकते हैं।

• स्थितियाँ:ए 1 = 3, ए 3 = 48. खोजेंक्यू.

समाधान: प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से बड़ा हैक्यू एक बार।हर का उपयोग करके कुछ तत्वों को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करना आवश्यक है।

इस तरह,ए 3 = क्यू 2 · ए 1

प्रतिस्थापित करते समयक्यू= 4

• स्थितियाँ:ए 2 = 6, ए 3 = 12. एस 6 की गणना करें।

समाधान:ऐसा करने के लिए, बस पहला तत्व q ढूंढें और इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

ए 3 = क्यू· ए 2 , इस तरह,क्यू= 2

ए 2 = क्यू · ए 1 ,इसीलिए ए 1= 3

एस 6 = 189

• · ए 1 = 10, क्यू= -2. प्रगति का चौथा तत्व ज्ञात कीजिए।

समाधान: ऐसा करने के लिए, चौथे तत्व को पहले और हर के माध्यम से व्यक्त करना पर्याप्त है।

ए 4 = क्यू 3· ए 1 = -80

आवेदन उदाहरण:

• एक बैंक ग्राहक ने 10,000 रूबल की राशि जमा की, जिसकी शर्तों के तहत हर साल ग्राहक को इसका 6% मूल राशि में जोड़ा जाएगा। 4 साल बाद खाते में कितने पैसे होंगे?

समाधान: प्रारंभिक राशि 10 हजार रूबल है। इसका मतलब है कि निवेश के एक साल बाद खाते में 10,000 + 10,000 के बराबर राशि होगी · 0.06 = 10000 1.06

तदनुसार, एक और वर्ष के बाद खाते में राशि इस प्रकार व्यक्त की जाएगी:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

यानी हर साल रकम 1.06 गुना बढ़ जाती है. इसका मतलब यह है कि 4 साल के बाद खाते में धनराशि का पता लगाने के लिए, प्रगति का चौथा तत्व ढूंढना पर्याप्त है, जो कि 10 हजार के बराबर पहला तत्व और 1.06 के बराबर हर द्वारा दिया गया है।

एस = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

योग गणना समस्याओं के उदाहरण:

ज्यामितीय प्रगति का उपयोग विभिन्न समस्याओं में किया जाता है। योग ज्ञात करने का एक उदाहरण इस प्रकार दिया जा सकता है:

ए 1 = 4, क्यू= 2, गणना करेंएस 5.

समाधान: गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा ज्ञात हैं, आपको बस उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

एस 5 = 124

• ए 2 = 6, ए 3 = 18. पहले छह तत्वों का योग ज्ञात करें।

समाधान:

जियोम में. प्रगति, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से q गुना अधिक है, अर्थात, योग की गणना करने के लिए आपको तत्व को जानना होगाए 1 और हरक्यू.

ए 2 · क्यू = ए 3

क्यू = 3

इसी तरह, आपको खोजने की जरूरत हैए 1 , जाननाए 2 औरक्यू.

ए 1 · क्यू = ए 2

ए 1=2

एस 6 = 728.

>>गणित: ज्यामितीय प्रगति

पाठक की सुविधा के लिए, इस पैराग्राफ का निर्माण बिल्कुल उसी योजना के अनुसार किया गया है जिसका हमने पिछले पैराग्राफ में पालन किया था।

1. बुनियादी अवधारणाएँ।

परिभाषा।एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें सभी सदस्य 0 से भिन्न होते हैं और जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से प्रारंभ करके, पिछले सदस्य से उसी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, ज्यामितीय प्रगति कहलाता है। इस मामले में, संख्या 5 को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम (बी एन) है जो संबंधों द्वारा आवर्ती रूप से परिभाषित होती है

क्या किसी संख्या अनुक्रम को देखना और यह निर्धारित करना संभव है कि क्या यह एक ज्यामितीय प्रगति है? कर सकना। यदि आप आश्वस्त हैं कि अनुक्रम के किसी भी सदस्य का पिछले सदस्य से अनुपात स्थिर है, तो आपके पास एक ज्यामितीय प्रगति है।
उदाहरण 1।

1, 3, 9, 27, 81,... .
बी 1 = 1, क्यू = 3.

उदाहरण 2.

यह एक ज्यामितीय प्रगति है जो है
उदाहरण 3.

यह एक ज्यामितीय प्रगति है जो है
उदाहरण 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसमें b 1 - 8, q = 1 है।

ध्यान दें कि यह अनुक्रम भी एक अंकगणितीय प्रगति है (§ 15 से उदाहरण 3 देखें)।

उदाहरण 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसमें b 1 = 2, q = -1 है।

जाहिर है, यदि b 1 > 0, q > 1 (उदाहरण 1 देखें) तो एक ज्यामितीय प्रगति एक बढ़ता हुआ क्रम है, और यदि b 1 > 0, 0 है तो एक घटता हुआ क्रम है< q < 1 (см. пример 2).

यह इंगित करने के लिए कि अनुक्रम (बी एन) एक ज्यामितीय प्रगति है, निम्नलिखित संकेतन कभी-कभी सुविधाजनक होता है:

आइकन "ज्यामितीय प्रगति" वाक्यांश को प्रतिस्थापित करता है।
आइए हम ज्यामितीय प्रगति की एक जिज्ञासु और साथ ही काफी स्पष्ट संपत्ति पर ध्यान दें:
यदि क्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, फिर वर्गों का क्रम, यानी। एक ज्यामितीय प्रगति है.
दूसरी ज्यामितीय प्रगति में, पहला पद q 2 के बराबर और बराबर है।
यदि एक ज्यामितीय प्रगति में हम b n के बाद के सभी पदों को हटा देते हैं, तो हमें एक सीमित ज्यामितीय प्रगति मिलती है
इस खंड के आगे के पैराग्राफों में हम ज्यामितीय प्रगति के सबसे महत्वपूर्ण गुणों पर विचार करेंगे।

2. ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र।

एक ज्यामितीय प्रगति पर विचार करें हर क्यू. हमारे पास है:

यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि किसी भी संख्या n के लिए समानता सत्य है

यह ज्यामितीय प्रगति के nवें पद का सूत्र है।

टिप्पणी।

यदि आपने पिछले पैराग्राफ की महत्वपूर्ण टिप्पणी को पढ़ लिया है और समझ लिया है, तो गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके सूत्र (1) को सिद्ध करने का प्रयास करें, जैसा कि अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र के लिए किया गया था।

आइए ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र को फिर से लिखें

और संकेतन का परिचय दें: हमें y = mq 2 मिलता है, या, अधिक विस्तार से,
तर्क x घातांक में समाहित है, इसलिए इस फ़ंक्शन को घातांकीय फ़ंक्शन कहा जाता है। इसका मतलब यह है कि एक ज्यामितीय प्रगति को प्राकृतिक संख्याओं के सेट एन पर परिभाषित एक घातीय फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है। चित्र में. 96ए फ़ंक्शन चित्र का ग्राफ़ दिखाता है। 966 - फ़ंक्शन ग्राफ़ दोनों मामलों में, हमारे पास एक निश्चित वक्र पर स्थित अलग-अलग बिंदु हैं (एब्सिस्सा x = 1, x = 2, x = 3, आदि के साथ) (दोनों आंकड़े एक ही वक्र दिखाते हैं, केवल अलग-अलग स्थित होते हैं और अलग-अलग पैमानों में दर्शाए जाते हैं)। इस वक्र को घातीय वक्र कहा जाता है। घातांक फलन और उसके ग्राफ के बारे में अधिक विवरण पर 11वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में चर्चा की जाएगी।

आइए पिछले पैराग्राफ से उदाहरण 1-5 पर वापस लौटें।

1)1, 3, 9, 27, 81,... . यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसके लिए b 1 = 1, q = 3. आइए nवें पद के लिए सूत्र बनाएं
2) यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसके लिए आइए nवें पद के लिए एक सूत्र बनाएं

यह एक ज्यामितीय प्रगति है जो है आइए nवें पद के लिए सूत्र बनाएं
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसके लिए b 1 = 8, q = 1. आइए nवें पद के लिए सूत्र बनाएं
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... यह एक ज्यामितीय प्रगति है जिसमें b 1 = 2, q = -1 है। आइए nवें पद के लिए सूत्र बनाएं

उदाहरण 6.

एक ज्यामितीय प्रगति दी गई है

सभी मामलों में, समाधान ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र पर आधारित है

a) ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र में n = 6 रखने पर, हमें प्राप्त होता है

बी) हमारे पास है

चूँकि 512 = 2 9, हमें n - 1 = 9, n = 10 मिलता है।

घ) हमारे पास है

उदाहरण 7.

गुणोत्तर श्रेणी के सातवें और पांचवें पदों के बीच का अंतर 48 है, प्रगति के पांचवें और छठे पदों का योग भी 48 है। इस प्रगति का बारहवां पद ज्ञात कीजिए।

प्रथम चरण।एक गणितीय मॉडल तैयार करना।

समस्या की स्थितियों को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के सूत्र का उपयोग करने पर, हम पाते हैं:
तब समस्या की दूसरी स्थिति (बी 7 - बी 5 = 48) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

समस्या की तीसरी स्थिति (बी 5 + बी 6 = 48) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

परिणामस्वरूप, हमें दो चर b 1 और q वाले दो समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

जो, ऊपर लिखी शर्त 1) के संयोजन में, समस्या के गणितीय मॉडल का प्रतिनिधित्व करता है।

दूसरा चरण।

संकलित मॉडल के साथ कार्य करना। सिस्टम के दोनों समीकरणों के बाएँ पक्षों को बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(हमने समीकरण के दोनों पक्षों को गैर-शून्य अभिव्यक्ति b 1 q 4 से विभाजित किया है)।

समीकरण q 2 - q - 2 = 0 से हम q 1 = 2, q 2 = -1 पाते हैं। सिस्टम के दूसरे समीकरण में मान q = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है
सिस्टम के दूसरे समीकरण में मान q = -1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें b 1 1 0 = 48 प्राप्त होता है; इस समीकरण का कोई हल नहीं है.

तो, बी 1 =1, क्यू = 2 - यह जोड़ी समीकरणों की संकलित प्रणाली का समाधान है।

अब हम समस्या में चर्चा की गई ज्यामितीय प्रगति को लिख सकते हैं: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...।

तीसरा चरण.

समस्या प्रश्न का उत्तर. आपको बी 12 की गणना करने की आवश्यकता है। हमारे पास है

उत्तर: बी 12 = 2048.

3. एक परिमित ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग का सूत्र।

मान लीजिए कि एक सीमित ज्यामितीय प्रगति दी गई है

आइए हम इसके पदों के योग को S से निरूपित करें, अर्थात्।

आइए इस राशि को ज्ञात करने के लिए एक सूत्र निकालें।

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें, जब q = 1. तब ज्यामितीय प्रगति b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn में b 1 के बराबर n संख्याएँ होती हैं, अर्थात। प्रगति बी 1, बी 2, बी 3, ..., बी 4 जैसी दिखती है। इन संख्याओं का योग nb 1 है।

अब q = 1 S n को खोजने के लिए, हम एक कृत्रिम तकनीक लागू करते हैं: हम अभिव्यक्ति S n q के कुछ परिवर्तन करते हैं। हमारे पास है:

परिवर्तन करते समय, हमने, सबसे पहले, एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा का उपयोग किया, जिसके अनुसार (तर्क की तीसरी पंक्ति देखें); दूसरे, उन्होंने जोड़ा और घटाया, यही कारण है कि अभिव्यक्ति का अर्थ, निश्चित रूप से नहीं बदला (तर्क की चौथी पंक्ति देखें); तीसरा, हमने ज्यामितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग किया:

सूत्र (1) से हम पाते हैं:

यह ज्यामितीय प्रगति के n पदों के योग का सूत्र है (उस स्थिति के लिए जब q = 1)।

उदाहरण 8.

एक सीमित ज्यामितीय प्रगति दी गई है

क) प्रगति की शर्तों का योग; बी) इसके पदों के वर्गों का योग।

बी) ऊपर (पृष्ठ 132 देखें) हम पहले ही नोट कर चुके हैं कि यदि ज्यामितीय प्रगति के सभी पदों का वर्ग किया जाता है, तो हमें पहले पद बी 2 और हर क्यू 2 के साथ एक ज्यामितीय प्रगति मिलती है। फिर नई प्रगति के छह पदों के योग की गणना की जाएगी

उदाहरण 9.

जिसके लिए गुणोत्तर श्रेणी का आठवाँ पद ज्ञात कीजिए

वास्तव में, हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक पद का वर्ग, पहले प्रमेय (और अंतिम, एक परिमित अनुक्रम के मामले में) को छोड़कर, पूर्ववर्ती और बाद के पदों के उत्पाद के बराबर है ( ज्यामितीय प्रगति का एक विशिष्ट गुण)।

22.09.2018 22:00

अंकगणितीय प्रगति के साथ-साथ ज्यामितीय प्रगति, एक महत्वपूर्ण संख्या श्रृंखला है जिसका अध्ययन 9वीं कक्षा में स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। इस लेख में हम एक ज्यामितीय प्रगति के हर को देखेंगे और इसका मूल्य इसके गुणों को कैसे प्रभावित करता है।

ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा

सबसे पहले, आइए इस संख्या श्रृंखला की परिभाषा दें। एक ज्यामितीय प्रगति तर्कसंगत संख्याओं की एक श्रृंखला है जो क्रमिक रूप से इसके पहले तत्व को एक स्थिर संख्या जिसे हर कहा जाता है, से गुणा करके बनाई जाती है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला में संख्याएँ 3, 6, 12, 24, ... एक ज्यामितीय प्रगति हैं, क्योंकि यदि आप 3 (पहला तत्व) को 2 से गुणा करते हैं, तो आपको 6 मिलता है। यदि आप 6 को 2 से गुणा करते हैं, तो आपको मिलता है 12, इत्यादि.

विचाराधीन अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर प्रतीक ai द्वारा दर्शाया जाता है, जहां i एक पूर्णांक है जो श्रृंखला में तत्व की संख्या को दर्शाता है।

प्रगति की उपरोक्त परिभाषा गणितीय भाषा में इस प्रकार लिखी जा सकती है: an = bn-1 * a1, जहां b हर है। इस सूत्र को जांचना आसान है: यदि n = 1, तो b1-1 = 1, और हमें a1 = a1 मिलता है। यदि n = 2, तो an = b * a1, और हम फिर से प्रश्न में संख्याओं की श्रृंखला की परिभाषा पर आते हैं। n के बड़े मानों के लिए भी इसी तरह का तर्क जारी रखा जा सकता है।

ज्यामितीय प्रगति का भाजक

संख्या b पूरी तरह से निर्धारित करती है कि संपूर्ण संख्या श्रृंखला में कौन सा वर्ण होगा। हर बी धनात्मक, ऋणात्मक या एक से अधिक या एक से कम हो सकता है। उपरोक्त सभी विकल्प अलग-अलग अनुक्रमों की ओर ले जाते हैं:

• b > 1. परिमेय संख्याओं की बढ़ती हुई श्रृंखला है। उदाहरण के लिए, 1, 2, 4, 8, ... यदि तत्व a1 ऋणात्मक है, तो संपूर्ण अनुक्रम केवल निरपेक्ष मान में बढ़ेगा, लेकिन संख्याओं के चिह्न के आधार पर घटेगा।
• बी = 1. अक्सर इस मामले को प्रगति नहीं कहा जाता है, क्योंकि इसमें समान तर्कसंगत संख्याओं की एक सामान्य श्रृंखला होती है। उदाहरण के लिए, -4, -4, -4.

राशि का फार्मूला

विचाराधीन प्रगति के प्रकार के हर का उपयोग करके विशिष्ट समस्याओं पर विचार करने से पहले, इसके पहले एन तत्वों के योग के लिए एक महत्वपूर्ण सूत्र दिया जाना चाहिए। सूत्र इस प्रकार दिखता है: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)।

यदि आप प्रगति के पदों के पुनरावर्ती अनुक्रम पर विचार करते हैं तो आप यह अभिव्यक्ति स्वयं प्राप्त कर सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र में पदों की मनमानी संख्या का योग ज्ञात करने के लिए केवल पहला तत्व और हर जानना पर्याप्त है।

अनन्त रूप से घटता हुआ क्रम

यह क्या है इसका स्पष्टीकरण ऊपर दिया गया था। अब, Sn का सूत्र जानकर, आइए इसे इस संख्या श्रृंखला पर लागू करें। चूंकि कोई भी संख्या जिसका मापांक 1 से अधिक नहीं है, बड़ी घात तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, अर्थात, b∞ => 0 यदि -1

चूंकि अंतर (1 - बी) हमेशा सकारात्मक होगा, हर के मूल्य की परवाह किए बिना, एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति S∞ के योग का चिह्न विशिष्ट रूप से इसके पहले तत्व a1 के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है।

अब आइए कई समस्याओं पर नजर डालें जहां हम दिखाएंगे कि अर्जित ज्ञान को विशिष्ट संख्याओं पर कैसे लागू किया जाए।

कार्य संख्या 1. प्रगति और योग के अज्ञात तत्वों की गणना

एक ज्यामितीय प्रगति को देखते हुए, प्रगति का हर 2 है, और इसका पहला तत्व 3 है। इसका 7वां और 10वां पद किसके बराबर होगा और इसके सात प्रारंभिक तत्वों का योग क्या है?

समस्या की स्थिति काफी सरल है और इसमें उपरोक्त सूत्रों का प्रत्यक्ष उपयोग शामिल है। तो, तत्व संख्या n की गणना करने के लिए, हम अभिव्यक्ति a = bn-1 * a1 का उपयोग करते हैं। 7वें तत्व के लिए हमारे पास है: a7 = b6 * a1, ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: a7 = 26 * 3 = 192। हम 10वें पद के लिए भी ऐसा ही करते हैं: a10 = 29 * 3 = 1536।

आइए योग के लिए प्रसिद्ध सूत्र का उपयोग करें और श्रृंखला के पहले 7 तत्वों के लिए यह मान निर्धारित करें। हमारे पास है: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381।

समस्या संख्या 2. किसी प्रगति के मनमाने तत्वों का योग निर्धारित करना

मान लीजिए -2 ज्यामितीय प्रगति bn-1 * 4 के हर के बराबर है, जहां n एक पूर्णांक है। इस श्रृंखला के 5वें से 10वें तत्व तक का योग ज्ञात करना आवश्यक है।

प्रस्तुत समस्या को ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके सीधे हल नहीं किया जा सकता है। इसे 2 अलग-अलग तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। विषय की प्रस्तुति की संपूर्णता के लिए हम दोनों को प्रस्तुत करते हैं।

विधि 1. विचार सरल है: आपको पहले पदों के दो संगत योगों की गणना करने की आवश्यकता है, और फिर दूसरे को एक से घटाना होगा। हम छोटी राशि की गणना करते हैं: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364। अब हम बड़े योग की गणना करते हैं: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. ध्यान दें कि अंतिम अभिव्यक्ति में केवल 4 शब्दों का सारांश दिया गया था, क्योंकि 5वाँ पहले से ही उस राशि में शामिल है जिसे समस्या की स्थितियों के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। अंत में, हम अंतर लेते हैं: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344।

विधि 2. संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और गिनने से पहले, आप प्रश्न में श्रृंखला के m और n पदों के बीच के योग के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। हम बिल्कुल विधि 1 की तरह ही करते हैं, केवल हम पहले राशि के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के साथ काम करते हैं। हमारे पास है: एसएनएम = (बीएन - 1) * ए1 / (बी - 1) - (बीएम-1 - 1) * ए1 / (बी - 1) = ए1 * (बीएन - बीएम-1) / (बी - 1) . आप ज्ञात संख्याओं को परिणामी अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम परिणाम की गणना कर सकते हैं: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344।

समस्या क्रमांक 3. हर क्या है?

मान लीजिए a1 = 2, ज्यामितीय प्रगति का हर ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि इसका अनंत योग 3 हो, और यह ज्ञात हो कि यह संख्याओं की घटती हुई श्रृंखला है।

समस्या की स्थितियों के आधार पर यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि इसे हल करने के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए। बेशक, प्रगति का योग अनंत रूप से घट रहा है। हमारे पास है: S∞ = a1 / (1 - b)। जहां से हम हर को व्यक्त करते हैं: b = 1 - a1 / S∞. यह ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने और आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए बनी हुई है: बी = 1 - 2/3 = -1/3 या -0.333(3)। हम इस परिणाम को गुणात्मक रूप से जांच सकते हैं यदि हमें याद है कि इस प्रकार के अनुक्रम के लिए मापांक बी 1 से आगे नहीं जाना चाहिए। जैसा कि देखा जा सकता है, |-1 / 3|

कार्य संख्या 4. संख्याओं की एक श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना

मान लीजिए किसी संख्या श्रृंखला के 2 तत्व दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, 5वां 30 के बराबर है और 10वां 60 के बराबर है। इन आंकड़ों से पूरी श्रृंखला का पुनर्निर्माण करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि यह एक ज्यामितीय प्रगति के गुणों को संतुष्ट करता है।

समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले प्रत्येक ज्ञात पद के लिए संगत अभिव्यक्ति लिखनी होगी। हमारे पास है: a5 = b4 * a1 और a10 = b9 * a1। अब दूसरे व्यंजक को पहले से विभाजित करें, हमें मिलता है: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5। यहां से हम समस्या कथन, b = 1.148698 से ज्ञात पदों के अनुपात का पांचवां मूल लेकर हर का निर्धारण करते हैं। हम ज्ञात तत्व के लिए परिणामी संख्या को किसी एक अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966।

इस प्रकार, हमने प्रगति बीएन का हर पाया, और ज्यामितीय प्रगति बीएन-1 * 17.2304966 = एएन, जहां बी = 1.148698।

ज्यामितीय प्रगति का उपयोग कहाँ किया जाता है?

यदि इस संख्या श्रृंखला का कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं होता, तो इसका अध्ययन केवल सैद्धांतिक रुचि तक ही सीमित रह जाता। लेकिन ऐसा एप्लीकेशन मौजूद है.

नीचे 3 सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं:

• ज़ेनो का विरोधाभास, जिसमें फुर्तीला अकिलिस धीमे कछुए को नहीं पकड़ सकता है, को संख्याओं के अनंत रूप से घटते अनुक्रम की अवधारणा का उपयोग करके हल किया जाता है।
• यदि आप शतरंज की बिसात के प्रत्येक वर्ग पर गेहूं के दाने इस प्रकार रखते हैं कि पहले वर्ग पर आप 1 दाना, दूसरे पर 2 दाना, तीसरे पर 3 दाना, और इसी तरह रखें, तो बोर्ड के सभी वर्गों को भरने के लिए आपको आवश्यकता होगी। 18446744073709551615 अनाज!
• गेम "टॉवर ऑफ़ हनोई" में, डिस्क को एक रॉड से दूसरे रॉड पर ले जाने के लिए, 2n - 1 ऑपरेशन करना आवश्यक है, अर्थात, उपयोग की गई डिस्क की संख्या n के साथ उनकी संख्या तेजी से बढ़ती है।

कीवियन स्ट्रीट, 16 0016 आर्मेनिया, येरेवन +374 11 233 255

तो, आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं (हमारे मामले में, वे हैं)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा बता सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (वें संख्या की तरह) हमेशा समान होती है।

संख्या वाले अंक को अनुक्रम का nवाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

हमारे मामले में:

प्रगति के सबसे सामान्य प्रकार अंकगणितीय और ज्यामितीय हैं। इस विषय में हम दूसरे प्रकार के बारे में बात करेंगे - ज्यामितीय अनुक्रम.

ज्यामितीय प्रगति की आवश्यकता क्यों है और इसका इतिहास क्या है?

प्राचीन काल में भी, पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो (जिन्हें फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है) व्यापार की व्यावहारिक आवश्यकताओं से निपटते थे। भिक्षु को यह निर्धारित करने के कार्य का सामना करना पड़ा कि किसी उत्पाद को तौलने के लिए उपयोग किए जा सकने वाले वजन की सबसे छोटी संख्या क्या है? अपने कार्यों में, फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की ऐसी प्रणाली इष्टतम है: यह पहली स्थितियों में से एक है जिसमें लोगों को ज्यामितीय प्रगति से निपटना पड़ा, जिसके बारे में आपने शायद पहले ही सुना होगा और कम से कम इसकी सामान्य समझ होगी। एक बार जब आप विषय को पूरी तरह से समझ लें, तो सोचें कि ऐसी प्रणाली इष्टतम क्यों है?

वर्तमान में, जीवन अभ्यास में, बैंक में पैसा निवेश करते समय ज्यामितीय प्रगति स्वयं प्रकट होती है, जब पिछली अवधि के लिए खाते में जमा राशि पर ब्याज की राशि अर्जित होती है। दूसरे शब्दों में, यदि आप बचत बैंक में सावधि जमा पर पैसा लगाते हैं, तो एक वर्ष के बाद जमा मूल राशि से बढ़ जाएगी, अर्थात। नई राशि योगदान के गुणा के बराबर होगी। एक और वर्ष में, यह राशि बढ़ जाएगी, अर्थात। उस समय प्राप्त राशि को फिर से और इसी तरह से गुणा किया जाएगा। तथाकथित गणना की समस्याओं में एक समान स्थिति का वर्णन किया गया है चक्रवृद्धि ब्याज- पिछले ब्याज को ध्यान में रखते हुए, खाते में मौजूद राशि से हर बार प्रतिशत लिया जाता है। हम इन कार्यों के बारे में थोड़ी देर बाद बात करेंगे।

ऐसे और भी कई सरल मामले हैं जहां ज्यामितीय प्रगति लागू होती है। उदाहरण के लिए, इन्फ्लूएंजा का प्रसार: एक व्यक्ति ने दूसरे व्यक्ति को संक्रमित किया, उन्होंने, बदले में, दूसरे व्यक्ति को संक्रमित किया, और इस प्रकार संक्रमण की दूसरी लहर एक व्यक्ति है, और उन्होंने, बदले में, दूसरे को संक्रमित किया... इत्यादि.. .

वैसे, एक वित्तीय पिरामिड, वही एमएमएम, ज्यामितीय प्रगति के गुणों पर आधारित एक सरल और शुष्क गणना है। दिलचस्प? आइए इसका पता लगाएं।

ज्यामितीय अनुक्रम।

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या क्रम है:

आप तुरंत उत्तर देंगे कि यह आसान है और ऐसे अनुक्रम का नाम इसके सदस्यों के अंतर के साथ है। इस बारे में कैसा है:

यदि आप पिछली संख्या को अगली संख्या से घटाते हैं, तो आप देखेंगे कि हर बार आपको एक नया अंतर मिलता है (और इसी तरह), लेकिन अनुक्रम निश्चित रूप से मौजूद है और नोटिस करना आसान है - प्रत्येक बाद की संख्या पिछले एक से कई गुना बड़ी है!

इस प्रकार का संख्या क्रम कहलाता है ज्यामितीय अनुक्रमऔर नामित किया गया है.

ज्यामितीय प्रगति () एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न होता है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

प्रतिबंध कि पहला पद ( ) समान नहीं है और यादृच्छिक नहीं है। आइए मान लें कि कोई नहीं है, और पहला पद अभी भी बराबर है, और q बराबर है, हम्म.. रहने दो, फिर यह पता चलता है:

सहमत हूँ कि यह अब कोई प्रगति नहीं है।

जैसा कि आप समझते हैं, शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या होने पर भी हमें वही परिणाम मिलेंगे। इन मामलों में, कोई प्रगति नहीं होगी, क्योंकि पूरी संख्या श्रृंखला या तो सभी शून्य होगी, या एक संख्या होगी, और बाकी सभी शून्य होंगे।

आइए अब ज्यामितीय प्रगति के हर के बारे में अधिक विस्तार से बात करते हैं, यानी ओ।

आइए दोहराएँ:- यह संख्या है प्रत्येक आगामी पद कितनी बार बदलता है?ज्यामितीय अनुक्रम।

आपके विचार से ये क्या हो सकता है? यह सही है, सकारात्मक और नकारात्मक, लेकिन शून्य नहीं (हमने इसके बारे में थोड़ा ऊपर बात की)।

चलिए मान लेते हैं कि हमारा सकारात्मक है. आइए हमारे मामले में, ए. दूसरे पद का मान क्या है और? आप इसका उत्तर आसानी से दे सकते हैं:

यह सही है। तदनुसार, यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का एक ही चिह्न है - वे सकारात्मक हैं.

यदि यह नकारात्मक है तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, ए. दूसरे पद का मान क्या है और?

यह बिल्कुल अलग कहानी है

इस प्रगति की शर्तों को गिनने का प्रयास करें। आपको कितना मिला? मेरे पास है। इस प्रकार, यदि, तो ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के संकेत वैकल्पिक होते हैं। अर्थात्, यदि आप इसके सदस्यों के लिए वैकल्पिक संकेतों के साथ प्रगति देखते हैं, तो इसका हर नकारात्मक है। इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय यह ज्ञान आपको स्वयं को परखने में मदद कर सकता है।

आइए अब थोड़ा अभ्यास करें: यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम एक ज्यामितीय प्रगति हैं और कौन से एक अंकगणितीय प्रगति हैं:

समझ गया? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

• ज्यामितीय प्रगति - 3, 6.
• अंकगणितीय प्रगति - 2, 4.
• यह न तो अंकगणित है और न ही ज्यामितीय प्रगति - 1, 5, 7।

आइए अपनी अंतिम प्रगति पर लौटें और अंकगणित की तरह ही इसके सदस्य को खोजने का प्रयास करें। जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, इसे खोजने के दो तरीके हैं।

हम प्रत्येक पद को क्रमिक रूप से गुणा करते हैं।

तो, वर्णित ज्यामितीय प्रगति का वां पद बराबर है।

जैसा कि आपने पहले ही अनुमान लगाया था, अब आप स्वयं एक सूत्र प्राप्त करेंगे जो आपको ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को खोजने में मदद करेगा। या क्या आपने पहले ही इसे अपने लिए विकसित कर लिया है, जिसमें बताया गया है कि चरण दर चरण वें सदस्य को कैसे खोजा जाए? यदि हां, तो अपने तर्क की सत्यता की जांच करें।

आइए हम इसे इस प्रगति का वां पद खोजने के उदाहरण से स्पष्ट करें:

दूसरे शब्दों में:

दी गई गुणोत्तर श्रेणी के पद का मान स्वयं ज्ञात कीजिए।

घटित? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

कृपया ध्यान दें कि जब हमने ज्यामितीय प्रगति के प्रत्येक पिछले पद को क्रमिक रूप से गुणा किया था, तो आपको पिछली पद्धति के समान ही संख्या प्राप्त हुई थी।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें - आइए इसे सामान्य रूप में रखें और प्राप्त करें:

व्युत्पन्न सूत्र सभी मूल्यों के लिए सत्य है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। निम्नलिखित शर्तों के साथ ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना करके इसे स्वयं जांचें: , ए।

क्या आपने गिनती की? आइए परिणामों की तुलना करें:

सहमत हूँ कि किसी पद की तरह ही प्रगति का एक पद खोजना संभव होगा, हालाँकि, गलत गणना करने की संभावना है। और यदि हमने पहले ही ज्यामितीय प्रगति का वां पद पा लिया है, तो सूत्र के "काटे गए" भाग का उपयोग करने से अधिक सरल क्या हो सकता है।

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति।

हाल ही में, हमने इस तथ्य के बारे में बात की कि यह या तो शून्य से अधिक या कम हो सकता है, हालांकि, ऐसे विशेष मूल्य हैं जिनके लिए ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है असीम रूप से घट रहा है.

आपको क्या लगता है यह नाम क्यों दिया गया है?
सबसे पहले, आइए पदों से युक्त कुछ ज्यामितीय प्रगति लिखें।
तो फिर मान लीजिए:

हम देखते हैं कि प्रत्येक अगला पद पिछले पद से एक गुणनखंड से कम है, लेकिन क्या कोई संख्या होगी? आप तुरंत जवाब देंगे "नहीं"। इसीलिए यह अनंत रूप से घट रहा है - यह घटता और घटता रहता है, लेकिन कभी शून्य नहीं होता।

यह स्पष्ट रूप से समझने के लिए कि यह देखने में कैसा दिखता है, आइए अपनी प्रगति का एक ग्राफ़ बनाने का प्रयास करें। तो, हमारे मामले के लिए, सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

ग्राफ़ पर हम निर्भरता की साजिश रचने के आदी हैं, इसलिए:

अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है: पहली प्रविष्टि में हमने एक ज्यामितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य की उसकी क्रमिक संख्या पर निर्भरता दिखाई, और दूसरी प्रविष्टि में हमने बस एक ज्यामितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य को इस प्रकार लिया , और क्रमसूचक संख्या को इस रूप में नहीं, बल्कि इस रूप में निर्दिष्ट किया गया है। बस एक ग्राफ बनाना बाकी है।
हम देखते हैं तुम्हें क्या मिला। यह वह ग्राफ है जिसके साथ मैं आया हूं:

क्या आप देखते हैं? फ़ंक्शन घटता है, शून्य की ओर जाता है, लेकिन इसे कभी पार नहीं करता है, इसलिए यह असीम रूप से घट रहा है। आइए ग्राफ़ पर अपने बिंदुओं को चिह्नित करें, और साथ ही निर्देशांक और इसका मतलब क्या है:

यदि किसी ज्यामितीय प्रगति का पहला पद भी बराबर है तो उसके ग्राफ को योजनाबद्ध रूप से चित्रित करने का प्रयास करें। विश्लेषण करें कि हमारे पिछले ग्राफ़ से क्या अंतर है?

क्या आप संभाल पाओगे? यह वह ग्राफ है जिसके साथ मैं आया हूं:

अब जब आप ज्यामितीय प्रगति के विषय की मूल बातें पूरी तरह से समझ गए हैं: आप जानते हैं कि यह क्या है, आप जानते हैं कि इसका पद कैसे ज्ञात किया जाता है, और आप यह भी जानते हैं कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति क्या है, तो आइए इसके मुख्य गुण पर चलते हैं।

ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति.

क्या आपको अंकगणितीय प्रगति के पदों का गुण याद है? हाँ, हाँ, किसी प्रगति की एक निश्चित संख्या का मान कैसे ज्ञात करें जब इस प्रगति की शर्तों के पिछले और बाद के मान हों। तुम्हे याद है? यह:

अब हम ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के लिए बिल्कुल उसी प्रश्न का सामना कर रहे हैं। ऐसा सूत्र प्राप्त करने के लिए, आइए चित्र बनाना और तर्क करना शुरू करें। आप देखेंगे, यह बहुत आसान है, और यदि आप भूल जाते हैं, तो आप इसे स्वयं निकाल सकते हैं।

आइए एक और सरल ज्यामितीय प्रगति लें, जिसमें हम जानते हैं और। कैसे ढूंढें? अंकगणितीय प्रगति के साथ यह आसान और सरल है, लेकिन यहां क्या? वास्तव में, ज्यामितीय में कुछ भी जटिल नहीं है - आपको बस सूत्र के अनुसार हमें दिए गए प्रत्येक मान को लिखना होगा।

आप पूछ सकते हैं कि अब हमें इसके बारे में क्या करना चाहिए? हाँ, बहुत सरल. सबसे पहले, आइए इन सूत्रों को एक चित्र में चित्रित करें और मूल्य तक पहुंचने के लिए उनके साथ विभिन्न जोड़-तोड़ करने का प्रयास करें।

आइए उन संख्याओं का सार निकालें जो हमें दी गई हैं, आइए केवल सूत्र के माध्यम से उनकी अभिव्यक्ति पर ध्यान केंद्रित करें। हमें नारंगी रंग में हाइलाइट किए गए मान को ढूंढना होगा, उसके निकटवर्ती शब्दों को जानना होगा। आइए उनके साथ विभिन्न क्रियाएं करने का प्रयास करें, जिसके परिणाम हमें मिल सकते हैं।

जोड़ना।
आइए दो अभिव्यक्तियाँ जोड़ने का प्रयास करें और हमें प्राप्त होता है:

इस अभिव्यक्ति से, जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इसे किसी भी तरह से व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए, हम एक और विकल्प - घटाव का प्रयास करेंगे।

घटाव.

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम इसे व्यक्त नहीं कर सकते हैं, इसलिए आइए इन अभिव्यक्तियों को एक-दूसरे से गुणा करने का प्रयास करें।

गुणन.

अब ध्यान से देखें कि हमें दिए गए ज्यामितीय प्रगति के पदों को जो पाना है उसकी तुलना में गुणा करके हमारे पास क्या है:

सोचो मैं किस बारे में बात कर रहा हूँ? सही ढंग से, खोजने के लिए हमें वांछित संख्या से सटे ज्यामितीय प्रगति संख्याओं के वर्गमूल को एक दूसरे से गुणा करने की आवश्यकता है:

हेयर यू गो। आपने स्वयं ज्यामितीय प्रगति का गुण प्राप्त किया है। इस सूत्र को सामान्य रूप में लिखने का प्रयास करें। घटित?

के लिए शर्त भूल गए? इस बारे में सोचें कि यह क्यों महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, इसकी गणना स्वयं करने का प्रयास करें। इस मामले में क्या होगा? यह सही है, पूरी तरह बकवास है क्योंकि सूत्र इस तरह दिखता है:

तदनुसार, इस सीमा को मत भूलना.

अब आइए गणना करें कि यह किसके बराबर है

सही जवाब - ! यदि आप गणना के दौरान दूसरा संभावित मान नहीं भूले हैं, तो आप महान हैं और तुरंत प्रशिक्षण के लिए आगे बढ़ सकते हैं, और यदि आप भूल गए हैं, तो नीचे चर्चा की गई बातों को पढ़ें और इस बात पर ध्यान दें कि दोनों जड़ों को नीचे क्यों लिखा जाना चाहिए उत्तर।

आइए हमारी दोनों ज्यामितीय प्रगति बनाएं - एक मूल्य के साथ और दूसरा मूल्य के साथ और जांचें कि क्या उन दोनों को अस्तित्व का अधिकार है:

यह जांचने के लिए कि ऐसी ज्यामितीय प्रगति मौजूद है या नहीं, यह देखना आवश्यक है कि क्या इसके दिए गए सभी पद समान हैं? पहले और दूसरे मामले के लिए q की गणना करें।

देखिये हमें दो उत्तर क्यों लिखने पड़ते हैं? क्योंकि जिस शब्द को आप खोज रहे हैं उसका चिन्ह इस बात पर निर्भर करता है कि वह सकारात्मक है या नकारात्मक! और चूँकि हम नहीं जानते कि यह क्या है, हमें प्लस और माइनस दोनों उत्तर लिखने होंगे।

अब जब आपने मुख्य बिंदुओं पर महारत हासिल कर ली है और ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति के लिए सूत्र प्राप्त कर लिया है, तो खोजें, जानें और

अपने उत्तरों की सही उत्तरों से तुलना करें:

आप क्या सोचते हैं, क्या होगा यदि हमें वांछित संख्या के निकट ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के मान नहीं दिए गए, बल्कि उससे समान दूरी पर दिए गए। उदाहरण के लिए, हमें खोजने की जरूरत है, और दिया गया है। क्या हम इस मामले में प्राप्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं? इस संभावना की उसी तरह पुष्टि या खंडन करने का प्रयास करें, जिसमें प्रत्येक मान में क्या शामिल है, इसका वर्णन किया गया हो, जैसा आपने तब किया था जब आपने मूल रूप से सूत्र निकाला था।
तुम्हें क्या मिला?

अब दोबारा ध्यान से देखिए.
और तदनुसार:

इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सूत्र काम करता है सिर्फ पड़ोसी के साथ नहींज्यामितीय प्रगति की वांछित शर्तों के साथ, लेकिन साथ भी समान दूरीसदस्य क्या खोज रहे हैं।

इस प्रकार, हमारा प्रारंभिक सूत्र यह रूप लेता है:

अर्थात्, यदि पहले मामले में हमने ऐसा कहा था, तो अब हम कहते हैं कि यह किसी भी छोटी प्राकृतिक संख्या के बराबर हो सकता है। मुख्य बात यह है कि यह दिए गए दोनों नंबरों के लिए समान है।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ अभ्यास करें, बस बेहद सावधान रहें!

1. , . खोजो।
2. , . खोजो।
3. , . खोजो।

फैसला किया? मुझे आशा है कि आप बेहद चौकस थे और एक छोटी सी कैच पर ध्यान दिया होगा।

आइए परिणामों की तुलना करें।

पहले दो मामलों में, हम शांतिपूर्वक उपरोक्त सूत्र को लागू करते हैं और निम्नलिखित मान प्राप्त करते हैं:

तीसरे मामले में, हमें दी गई संख्याओं की क्रम संख्या की सावधानीपूर्वक जांच करने पर, हम समझते हैं कि वे उस संख्या से समान दूरी पर नहीं हैं जिसे हम ढूंढ रहे हैं: यह पिछली संख्या है, लेकिन एक स्थान पर हटा दी गई है, इसलिए यह है फार्मूला लागू करना संभव नहीं

इसे कैसे हल करें? यह वास्तव में उतना कठिन नहीं है जितना लगता है! आइए हम लिखें कि हमें दी गई प्रत्येक संख्या और हम जिस संख्या की तलाश कर रहे हैं उसमें क्या शामिल है।

तो हमारे पास और है। आइए देखें कि हम उनके साथ क्या कर सकते हैं? मैं विभाजित करने का सुझाव देता हूं। हम पाते हैं:

हम अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

अगला चरण जो हम पा सकते हैं वह है - इसके लिए हमें परिणामी संख्या का घनमूल निकालना होगा।

अब आइए फिर से देखें कि हमारे पास क्या है। यह हमारे पास है, लेकिन हमें इसे खोजने की जरूरत है, और यह, बदले में, इसके बराबर है:

हमें गणना के लिए सभी आवश्यक डेटा मिल गए। सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

हमारा उत्तर: .

इसी तरह की एक अन्य समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें:
दिया गया: ,
खोजो:

आपको कितना मिला? मेरे पास है - ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, अनिवार्य रूप से आपको इसकी आवश्यकता है बस एक सूत्र याद रखें- . बाकी सारा पैसा आप खुद ही बिना किसी परेशानी के कभी भी निकाल सकते हैं. ऐसा करने के लिए, बस कागज के एक टुकड़े पर सबसे सरल ज्यामितीय प्रगति लिखें और ऊपर वर्णित सूत्र के अनुसार लिखें कि इसकी प्रत्येक संख्या किसके बराबर है।

ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग.

आइए अब उन सूत्रों को देखें जो हमें किसी दिए गए अंतराल में ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग की शीघ्र गणना करने की अनुमति देते हैं:

किसी परिमित ज्यामितीय अनुक्रम के पदों के योग का सूत्र प्राप्त करने के लिए, उपरोक्त समीकरण के सभी भागों को इससे गुणा करें। हम पाते हैं:

ध्यान से देखें: अंतिम दो सूत्रों में क्या समानता है? यह सही है, उदाहरण के लिए, सामान्य सदस्य, इत्यादि, पहले और अंतिम सदस्य को छोड़कर। आइए दूसरे समीकरण से पहले को घटाने का प्रयास करें। तुम्हें क्या मिला?

अब ज्यामितीय प्रगति के पद को सूत्र के माध्यम से व्यक्त करें और परिणामी अभिव्यक्ति को हमारे अंतिम सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

अभिव्यक्ति को समूहित करें. आपको मिलना चाहिये:

जो कुछ करना बाकी है वह व्यक्त करना है:

तदनुसार, इस मामले में.

क्या हो अगर? तो फिर कौन सा फॉर्मूला काम करता है? एक ज्यामितीय प्रगति की कल्पना करें। वह किसके जैसी है? समान संख्याओं की एक श्रृंखला सही है, इसलिए सूत्र इस तरह दिखेगा:

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति दोनों के बारे में कई किंवदंतियाँ हैं। उनमें से एक शतरंज के निर्माता सेट की किंवदंती है।

बहुत से लोग जानते हैं कि शतरंज के खेल का आविष्कार भारत में हुआ था। जब हिंदू राजा उससे मिले, तो वह उसकी बुद्धि और उसमें संभावित विभिन्न पदों से प्रसन्न हुआ। यह जानने पर कि इसका आविष्कार उसकी प्रजा में से एक ने किया था, राजा ने उसे व्यक्तिगत रूप से पुरस्कृत करने का निर्णय लिया। उसने आविष्कारक को अपने पास बुलाया और उससे वह सब कुछ माँगने का आदेश दिया जो वह चाहता था, यहाँ तक कि सबसे कुशल इच्छा को भी पूरा करने का वादा किया।

सेता ने सोचने के लिए समय मांगा, और जब अगले दिन सेता राजा के सामने उपस्थित हुआ, तो उसने अपने अनुरोध की अभूतपूर्व विनम्रता से राजा को आश्चर्यचकित कर दिया। उन्होंने शतरंज की बिसात के पहले खाने के लिए गेहूं का एक दाना, दूसरे के लिए गेहूं का एक दाना, तीसरे, चौथे के लिए गेहूं का एक दाना आदि देने को कहा।

राजा क्रोधित हो गया और उसने सेठ को यह कहते हुए भगा दिया कि नौकर का अनुरोध राजा की उदारता के योग्य नहीं था, लेकिन उसने वादा किया कि नौकर को बोर्ड के सभी वर्गों के लिए अपना अनाज मिलेगा।

और अब प्रश्न: ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के सूत्र का उपयोग करके, गणना करें कि सेठ को कितने अनाज प्राप्त होने चाहिए?

आइए तर्क करना शुरू करें। चूंकि, शर्त के अनुसार, सेठ ने शतरंज की बिसात के पहले वर्ग के लिए, दूसरे के लिए, तीसरे के लिए, चौथे के लिए, आदि के लिए गेहूं का एक दाना मांगा, तो हम देखते हैं कि समस्या एक ज्यामितीय प्रगति के बारे में है। इस मामले में यह क्या बराबर है?
सही।

शतरंज की बिसात के कुल वर्ग. क्रमश, । हमारे पास सारा डेटा है, जो कुछ बचा है उसे सूत्र में प्लग करना और गणना करना है।

किसी दी गई संख्या के कम से कम "पैमाने" की कल्पना करने के लिए, हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके रूपांतरित करते हैं:

निःसंदेह, यदि आप चाहें, तो आप एक कैलकुलेटर ले सकते हैं और गणना कर सकते हैं कि अंत में आपको कौन सी संख्या मिलेगी, और यदि नहीं, तो आपको मेरी बात माननी होगी: अभिव्यक्ति का अंतिम मूल्य होगा।
वह है:

क्विंटिलियन क्वाड्रिलियन ट्रिलियन बिलियन मिलियन हजार।

ओफ़्फ़) यदि आप इस संख्या की विशालता की कल्पना करना चाहते हैं, तो अनुमान लगाएं कि अनाज की पूरी मात्रा को समायोजित करने के लिए कितने बड़े खलिहान की आवश्यकता होगी।
यदि खलिहान मीटर ऊंचा और मीटर चौड़ा है, तो इसकी लंबाई किमी तक बढ़नी होगी, यानी। पृथ्वी से सूर्य तक दुगुनी दूरी।

यदि राजा गणित में मजबूत होता, तो वह वैज्ञानिक को स्वयं अनाज गिनने के लिए आमंत्रित कर सकता था, क्योंकि दस लाख अनाज गिनने के लिए, उसे कम से कम एक दिन के अथक प्रयास की आवश्यकता होती, और यह देखते हुए कि क्विंटल अनाज गिनना आवश्यक है, अनाज जीवन भर गिनना होगा।

आइए अब ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग से जुड़ी एक सरल समस्या को हल करें।
कक्षा 5ए का एक छात्र वास्या फ्लू से बीमार पड़ गया, लेकिन उसने स्कूल जाना जारी रखा। वास्या हर दिन दो लोगों को संक्रमित करती है, जो बदले में दो और लोगों को संक्रमित करते हैं, इत्यादि। कक्षा में केवल लोग हैं। कितने दिनों में पूरी कक्षा फ्लू से बीमार हो जाएगी?

तो, ज्यामितीय प्रगति का पहला पद वस्या है, अर्थात एक व्यक्ति। ज्यामितीय प्रगति का वां पद वे दो लोग हैं जिन्हें उसने अपने आगमन के पहले दिन संक्रमित किया था। प्रगति पदों का कुल योग 5ए छात्रों की संख्या के बराबर है। तदनुसार, हम एक प्रगति के बारे में बात करते हैं जिसमें:

आइए ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए अपने डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

कुछ ही दिनों में पूरी कक्षा बीमार हो जाएगी। सूत्रों और संख्याओं पर विश्वास नहीं करते? छात्रों के "संक्रमण" को स्वयं चित्रित करने का प्रयास करें। घटित? देखो यह मेरे लिए कैसा दिखता है:

स्वयं गणना करें कि छात्रों को फ्लू से बीमार होने में कितने दिन लगेंगे यदि प्रत्येक छात्र ने एक व्यक्ति को संक्रमित किया हो, और कक्षा में केवल एक व्यक्ति हो।

आपको क्या मूल्य मिला? पता चला कि एक दिन बाद सभी लोग बीमार पड़ने लगे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसा कार्य और उसके लिए चित्र एक पिरामिड जैसा दिखता है, जिसमें प्रत्येक बाद वाला नए लोगों को "लाता है"। हालाँकि, देर-सबेर एक क्षण ऐसा आता है जब उत्तरार्द्ध किसी को आकर्षित नहीं कर पाता। हमारे मामले में, यदि हम कल्पना करते हैं कि वर्ग अलग-थलग है, तो व्यक्ति श्रृंखला को बंद कर देता है ()। इस प्रकार, यदि कोई व्यक्ति एक वित्तीय पिरामिड में शामिल था जिसमें पैसा दिया गया था यदि आप दो अन्य प्रतिभागियों को लाते हैं, तो व्यक्ति (या सामान्य रूप से) किसी को नहीं लाएगा, तदनुसार, इस वित्तीय घोटाले में उन्होंने जो कुछ भी निवेश किया है उसे खो देगा।

ऊपर जो कुछ भी कहा गया वह घटती या बढ़ती ज्यामितीय प्रगति को संदर्भित करता है, लेकिन, जैसा कि आपको याद है, हमारे पास एक विशेष प्रकार है - एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति। इसके सदस्यों के योग की गणना कैसे करें? और इस प्रकार की प्रगति में कुछ विशेषताएं क्यों होती हैं? आइए इसे एक साथ समझें।

तो, सबसे पहले, आइए अपने उदाहरण से अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के इस चित्र को फिर से देखें:

अब आइए ज्यामितीय प्रगति के योग के सूत्र पर नजर डालें, जो थोड़ा पहले निकाला गया था:
या

हम किसके लिए प्रयास कर रहे हैं? यह सही है, ग्राफ़ दिखाता है कि यह शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। अर्थात्, क्रमशः लगभग बराबर होगा, गणना करते समय हमें जो व्यंजक मिलेगा वह लगभग होगा। इस संबंध में, हमारा मानना ​​है कि अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग की गणना करते समय, इस ब्रैकेट की उपेक्षा की जा सकती है, क्योंकि यह बराबर होगा।

- सूत्र एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग है।

महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें योग ज्ञात करने की आवश्यकता है अनंतसदस्यों की संख्या.

यदि एक विशिष्ट संख्या n निर्दिष्ट है, तो हम n पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं, भले ही या।

अब चलो अभ्यास करें.

1. और के साथ ज्यामितीय प्रगति के पहले पदों का योग ज्ञात कीजिए।
2. और के साथ एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों का योग ज्ञात कीजिए।

मुझे आशा है कि आप बेहद सावधान थे। आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:

अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं, और यह सिद्धांत से अभ्यास की ओर बढ़ने का समय है। परीक्षा में आने वाली सबसे आम ज्यामितीय प्रगति समस्याएं चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करने में समस्याएं हैं। ये वे हैं जिनके बारे में हम बात करेंगे।

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में समस्याएँ.

आपने संभवतः तथाकथित चक्रवृद्धि ब्याज फार्मूले के बारे में सुना होगा। क्या आप समझते हैं इसका मतलब क्या है? यदि नहीं, तो आइए इसका पता लगाएं, क्योंकि एक बार जब आप इस प्रक्रिया को समझ लेंगे, तो आप तुरंत समझ जाएंगे कि ज्यामितीय प्रगति का इससे क्या लेना-देना है।

हम सभी बैंक जाते हैं और जानते हैं कि जमा के लिए अलग-अलग शर्तें हैं: इसमें एक अवधि, अतिरिक्त सेवाएं और ब्याज शामिल हैं, इसकी गणना के दो अलग-अलग तरीके हैं - सरल और जटिल।

साथ साधारण ब्याजसब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: ब्याज जमा अवधि के अंत में एक बार अर्जित होता है। अर्थात्, यदि हम कहें कि हम एक वर्ष के लिए 100 रूबल जमा करते हैं, तो वे वर्ष के अंत में ही जमा किये जायेंगे। तदनुसार, जमा के अंत तक हमें रूबल प्राप्त होंगे।

चक्रवृद्धि ब्याज- यह एक विकल्प है जिसमें ऐसा होता है ब्याज पूंजीकरण, अर्थात। जमा राशि में उनका जोड़ और बाद में आय की गणना प्रारंभिक से नहीं, बल्कि संचित जमा राशि से की जाती है। पूंजीकरण लगातार नहीं होता है, बल्कि कुछ आवृत्ति के साथ होता है। एक नियम के रूप में, ऐसी अवधि समान होती है और अक्सर बैंक एक महीने, तिमाही या वर्ष का उपयोग करते हैं।

आइए मान लें कि हम सालाना समान रूबल जमा करते हैं, लेकिन जमा राशि के मासिक पूंजीकरण के साथ। हम क्या कर रहे हैं?

क्या आप यहाँ सब कुछ समझते हैं? यदि नहीं, तो आइए इसे चरण दर चरण समझें।

हम बैंक में रूबल लाए। महीने के अंत तक, हमारे खाते में हमारे रूबल और उन पर ब्याज सहित एक राशि होनी चाहिए, जो है:

सहमत होना?

हम इसे कोष्ठक से बाहर निकाल सकते हैं और फिर हमें मिलता है:

सहमत हूं, यह फॉर्मूला पहले से ही वैसा ही है जैसा हमने शुरुआत में लिखा था। जो कुछ बचा है वह प्रतिशत का पता लगाना है

समस्या विवरण में हमें वार्षिक दरों के बारे में बताया गया है। जैसा कि आप जानते हैं, हम गुणा नहीं करते - हम प्रतिशत को दशमलव भिन्न में बदलते हैं, अर्थात:

सही? अब आप पूछ सकते हैं कि यह नंबर कहां से आया? बहुत सरल!
मैं दोहराता हूं: समस्या कथन के बारे में कहता है वार्षिकब्याज जो अर्जित होता है महीने के. जैसा कि आप जानते हैं, वर्ष के महीनों में, तदनुसार, बैंक हमसे प्रति माह वार्षिक ब्याज का एक हिस्सा वसूल करेगा:

इसका एहसास हुआ? अब यह लिखने का प्रयास करें कि सूत्र का यह भाग कैसा दिखेगा यदि मैं कहूं कि ब्याज की गणना प्रतिदिन की जाती है।
क्या आप संभाल पाओगे? आइए परिणामों की तुलना करें:

बहुत अच्छा! आइए अपने कार्य पर लौटते हैं: लिखें कि दूसरे महीने में हमारे खाते में कितना जमा किया जाएगा, यह ध्यान में रखते हुए कि संचित जमा राशि पर ब्याज अर्जित होता है।
यहाँ मुझे क्या मिला:

या, दूसरे शब्दों में:

मुझे लगता है कि आप पहले ही एक पैटर्न देख चुके हैं और इस सब में एक ज्यामितीय प्रगति देख चुके हैं। लिखें कि इसका सदस्य कितना होगा, या दूसरे शब्दों में, महीने के अंत में हमें कितनी धनराशि प्राप्त होगी।
किया? की जाँच करें!

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप साधारण ब्याज दर पर एक वर्ष के लिए बैंक में पैसा डालते हैं, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे, और यदि चक्रवृद्धि ब्याज दर पर, तो आपको रूबल प्राप्त होंगे। लाभ छोटा है, लेकिन यह केवल वें वर्ष के दौरान होता है, लेकिन लंबी अवधि के लिए पूंजीकरण अधिक लाभदायक होता है:

आइए चक्रवृद्धि ब्याज से जुड़ी एक अन्य प्रकार की समस्या पर नजर डालें। आपने जो समझ लिया है उसके बाद यह आपके लिए प्राथमिक होगा। तो, कार्य:

ज़्वेज़्दा कंपनी ने 2000 में डॉलर में पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2001 के बाद से हर साल इसे पिछले साल की पूंजी के बराबर मुनाफ़ा मिला है। यदि लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया तो 2003 के अंत में ज़्वेज़्दा कंपनी को कितना लाभ प्राप्त होगा?

2000 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2001 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2002 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।
- 2003 में ज़्वेज़्दा कंपनी की राजधानी।

या हम संक्षेप में लिख सकते हैं:

हमारे मामले के लिए:

2000, 2001, 2002 और 2003.

क्रमश:
रूबल
कृपया ध्यान दें कि इस समस्या में हमारे पास या तो द्वारा या द्वारा कोई विभाजन नहीं है, क्योंकि प्रतिशत वार्षिक रूप से दिया जाता है और इसकी गणना वार्षिक रूप से की जाती है। अर्थात्, चक्रवृद्धि ब्याज पर कोई समस्या पढ़ते समय इस बात पर ध्यान दें कि कितना प्रतिशत दिया गया है और इसकी गणना किस अवधि में की गई है, और उसके बाद ही गणना के लिए आगे बढ़ें।
अब आप ज्यामितीय प्रगति के बारे में सब कुछ जानते हैं।

प्रशिक्षण।

1. यदि यह ज्ञात हो कि, और, तो ज्यामितीय प्रगति का पद ज्ञात कीजिए
2. यदि यह ज्ञात हो कि, और, तो ज्यामितीय प्रगति के प्रथम पदों का योग ज्ञात कीजिए
3. एमडीएम कैपिटल कंपनी ने 2003 में डॉलर में पूंजी के साथ उद्योग में निवेश करना शुरू किया। 2004 के बाद से हर साल इसे पिछले साल की पूंजी के बराबर मुनाफ़ा मिला है। MSK कैश फ्लो कंपनी ने 2005 में उद्योग में $10,000 की राशि से निवेश करना शुरू किया और 2006 में इस राशि से लाभ कमाना शुरू किया। 2007 के अंत में एक कंपनी की पूंजी दूसरे की तुलना में कितने डॉलर अधिक है, यदि लाभ को संचलन से वापस नहीं लिया गया था?

उत्तर:

1. चूँकि समस्या कथन यह नहीं कहता है कि प्रगति अनंत है और इसके पदों की एक विशिष्ट संख्या का योग ज्ञात करना आवश्यक है, गणना सूत्र के अनुसार की जाती है:
2. 
   एमडीएम कैपिटल कंपनी:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100% यानी 2 गुना बढ़ जाता है।
   क्रमश:
   रूबल
   एमएसके कैश फ्लो कंपनी:

   2005, 2006, 2007.
   - यानी कई गुना बढ़ जाता है।
   क्रमश:
   रूबल
   रूबल

आइए संक्षेप करें।

1) ज्यामितीय प्रगति ( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और दूसरे से शुरू होने वाला प्रत्येक पद, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर है। इस संख्या को ज्यामितीय प्रगति का हर कहा जाता है।

2) ज्यामितीय प्रगति की शर्तों का समीकरण है।

3) और को छोड़कर कोई भी मान ले सकते हैं।

• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का चिह्न एक ही है - वे सकारात्मक हैं;
• यदि, तो प्रगति की सभी बाद की शर्तें वैकल्पिक संकेत;
• जब - प्रगति को अपरिमित रूप से घटना कहा जाता है।

4) , पर - ज्यामितीय प्रगति की संपत्ति (आसन्न पद)

या
, (समदूरस्थ शर्तों पर)

जब तुम्हें यह मिल जाए, तो उसे मत भूलना दो उत्तर होने चाहिए.

उदाहरण के लिए,

5) ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
या

या

महत्वपूर्ण!हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों के योग के लिए सूत्र का उपयोग केवल तभी करते हैं जब शर्त स्पष्ट रूप से बताती है कि हमें अनंत पदों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है।

6) चक्रवृद्धि ब्याज पर समस्याओं की गणना ज्यामितीय प्रगति के वें पद के सूत्र का उपयोग करके भी की जाती है, बशर्ते कि धन संचलन से वापस नहीं लिया गया हो:

ज्यामितीय अनुक्रम। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

ज्यामितीय अनुक्रम( ) एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका पहला पद शून्य से भिन्न है, और प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा करके पिछले एक के बराबर है। इस नंबर पर कॉल किया जाता है ज्यामितीय प्रगति का हर।

ज्यामितीय प्रगति का भाजकऔर को छोड़कर कोई भी मूल्य ले सकता है।

• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के पदों का चिह्न एक ही है - वे सकारात्मक हैं;
• यदि, तो प्रगति के सभी बाद के सदस्य वैकल्पिक संकेत देते हैं;
• जब - प्रगति को अपरिमित रूप से घटना कहा जाता है।

ज्यामितीय प्रगति के पदों का समीकरण - .

ज्यामितीय प्रगति के पदों का योगसूत्र द्वारा गणना:
या

यदि प्रगति अपरिमित रूप से घट रही है, तो:

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