Exponenciális egyenletek. Bonyolultabb esetek. Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása: alapvető módszerek

Ahol $b$ szerepe lehet egy hétköznapi szám, vagy esetleg valami keményebb. Példák? Igen, kérem:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\vége(igazítás)\]

Azt hiszem, a jelentés világos: van egy $((a)^(x))$ exponenciális függvény, amelyet összehasonlítanak valamivel, majd megkérik, hogy keresse meg a $x$-t. Különösen klinikai esetekben a $x$ változó helyett valamilyen $f\left(x \right)$ függvényt tehetnek be, és ezzel egy kicsit bonyolítják az egyenlőtlenséget. :)

Természetesen bizonyos esetekben az egyenlőtlenség súlyosabbnak tűnhet. Például:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Vagy akár ez:

Általánosságban elmondható, hogy az ilyen egyenlőtlenségek bonyolultsága nagyon eltérő lehet, de végül mégis az egyszerű $((a)^(x)) \gt b$ konstrukcióra redukálódnak. És valahogy kitaláljuk egy ilyen konstrukciót (különösen klinikai esetekben, amikor semmi sem jut eszünkbe, a logaritmusok segítenek nekünk). Ezért most megtanítjuk, hogyan kell megoldani az ilyen egyszerű konstrukciókat.

Egyszerű exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Vegyünk egy nagyon egyszerű dolgot. Például ezt:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Nyilvánvalóan a jobb oldali szám átírható kettő hatványaként: $4=((2)^(2))$. Így az eredeti egyenlőtlenség nagyon kényelmes formában átírható:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

És most viszket a kezem, hogy „áthúzzam” a hatványok alapjaiban szereplő ketteseket, hogy megkapjam a $x \gt 2$ választ. Mielőtt azonban bármit is áthúznánk, emlékezzünk a kettő erejére:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Mint látható, minél nagyobb a szám a kitevőben, annál nagyobb a kimeneti szám. – Köszönöm, Cap! – kiált fel az egyik diák. Ez másként történik? Sajnos előfordul. Például:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ jobb))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Itt is minden logikus: minél nagyobb a fokszám, annál többszörösére szorozódik a 0,5-ös szám önmagával (azaz osztódik fele). Így a kapott számsorozat csökken, és az első és a második sorozat közötti különbség csak az alapban van:

• Ha az $a \gt 1$ fok alapja, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám is növekedni fog;
• És fordítva, ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám csökkenni fog.

Ezeket a tényeket összegezve megkapjuk a legfontosabb állítást, amelyen az exponenciális egyenlőtlenségek teljes megoldása alapul:

Ha $a \gt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \gt n$ egyenlőtlenséggel. Ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \lt n$ egyenlőtlenséggel.

Más szóval, ha az alap egynél nagyobb, egyszerűen eltávolíthatja - az egyenlőtlenség jele nem változik. És ha az alap kisebb, mint egy, akkor azt is el lehet távolítani, de ugyanakkor meg kell változtatni az egyenlőtlenség jelét.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy nem vettük figyelembe az $a=1$ és $a\le 0$ opciókat. Mert ezekben az esetekben bizonytalanság merül fel. Tegyük fel, hogyan kell megoldani egy $((1)^(x)) \gt 3$ alakú egyenlőtlenséget? Egy minden hatalomnak megint ad egyet – soha nem kapunk hármat vagy többet. Azok. nincsenek megoldások.

Negatív okokból minden még érdekesebb. Vegyük például ezt az egyenlőtlenséget:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Első pillantásra minden egyszerű:

Jobb? De nem! Elég, ha $x$ helyett pár páros és pár páratlan számot helyettesít, hogy megbizonyosodjon arról, hogy a megoldás hibás. Nézd meg:

\[\begin(align) & x=4\Jobbra ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(igazítás)\]

Amint látja, a jelek váltakoznak. De vannak törthatványok és egyéb hülyeségek is. Hogyan lehetne például kiszámítani a $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (mínusz kettő hét hatványa)? Semmiképpen!

Ezért a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy minden exponenciális egyenlőtlenségben (és mellesleg egyenletekben is) $1\ne a \gt 0$. És akkor minden nagyon egyszerűen megoldódik:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Jobbra \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \jobbra). \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Általánosságban emlékezzünk a fő szabályra: ha egy exponenciális egyenletben az alap nagyobb egynél, egyszerűen eltávolíthatja azt; és ha az alap egynél kisebb, akkor azt is el lehet távolítani, de az egyenlőtlenség jele megváltozik.

Megoldási példák

Tehát nézzünk meg néhány egyszerű exponenciális egyenlőtlenséget:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\vége(igazítás)\]

Az elsődleges feladat minden esetben ugyanaz: az egyenlőtlenségeket a legegyszerűbb $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakra redukálni. Pontosan ezt fogjuk most tenni az egyes egyenlőtlenségekkel, ugyanakkor megismételjük a fokok és az exponenciális függvények tulajdonságait. Akkor gyerünk!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Mit lehet itt csinálni? Nos, a bal oldalon már van egy jelző kifejezés - semmit sem kell megváltoztatni. De a jobb oldalon van valami baromság: tört, és még gyök is a nevezőben!

Emlékezzünk azonban a törtekkel és hatványokkal való munka szabályaira:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\vége(igazítás)\]

Mit jelent? Először is könnyen megszabadulhatunk a törttől, ha negatív kitevőjű hatványsá alakítjuk. Másodszor pedig, mivel a nevező a gyök, jó lenne ezt fokszámra fordítani - ezúttal törtkitevővel.

Alkalmazzuk ezeket a műveleteket egymás után az egyenlőtlenség jobb oldalára, és nézzük meg, mi történik:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \jobbra))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \jobbra)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne felejtsük el, hogy amikor egy fokot hatványra emelünk, ezeknek a fokoknak a kitevői összeadódnak. És általában, ha exponenciális egyenletekkel és egyenlőtlenségekkel dolgozunk, feltétlenül ismerni kell a hatványokkal való munkavégzés legegyszerűbb szabályait:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \jobbra))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\vége(igazítás)\]

Valójában csak az utolsó szabályt alkalmaztuk. Ezért az eredeti egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Jobbra ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Most megszabadulunk a kettőtől az alapnál. Mivel 2 > 1, az egyenlőtlenség jele változatlan marad:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Jobbra x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Ez a megoldás! A fő nehézség egyáltalán nem az exponenciális függvényben van, hanem az eredeti kifejezés megfelelő átalakításában: óvatosan és gyorsan kell a legegyszerűbb formájába hozni.

Tekintsük a második egyenlőtlenséget:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Is-is. Itt a tizedes törtekre várunk. Amint azt már sokszor mondtam, minden hatványos kifejezésben meg kell szabadulni a tizedesjegyektől – gyakran csak így lehet gyors és egyszerű megoldást találni. Itt megszabadulunk a következőktől:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Jobbra ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\vége(igazítás)\]

Előttünk ismét a legegyszerűbb egyenlőtlenség, és még az 1/10-es alappal, i.e. egynél kevesebb. Nos, eltávolítjuk az alapokat, miközben a jelet „kevesebbről” „többre” változtatjuk, és megkapjuk:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Megkaptuk a végső választ: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a válasz pontosan a halmaz, és semmi esetre sem a $x \lt -1$ forma felépítése. Mert formálisan egy ilyen konstrukció egyáltalán nem halmaz, hanem egyenlőtlenség a $x$ változóhoz képest. Igen, nagyon egyszerű, de nem ez a válasz!

Fontos jegyzet. Ezt az egyenlőtlenséget más módon is meg lehetne oldani - mindkét részt egynél nagyobb bázisú hatványra redukálva. Nézd meg:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Jobbra ((\bal(((10)^(-1)) \jobbra))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \jobbra))^(2))\Jobbra ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Egy ilyen átalakítás után ismét egy exponenciális egyenlőtlenséget kapunk, de 10 > 1 alappal. Ez azt jelenti, hogy egyszerűen áthúzhatja a tízet - az egyenlőtlenség jele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Amint látja, a válasz pontosan ugyanaz volt. Ugyanakkor megkíméltük magunkat a jel megváltoztatásának szükségességétől, és általában emlékezünk néhány szabályra. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Azonban ne hagyja, hogy ez megijessze. Bármi legyen is a mutatókban, maga az egyenlőtlenség megoldásának technológiája ugyanaz marad. Ezért először jegyezzük meg, hogy 16 = 2 4. Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget ennek a ténynek a figyelembevételével:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Hurrá! Megkaptuk a szokásos másodfokú egyenlőtlenséget! A jel nem változott sehol, mivel az alap egy kettős - egynél nagyobb szám.

Függvény nullai a számegyenesen

Elrendezzük a $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ függvény előjeleit - nyilván a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágakkal, tehát lesznek pluszok ” az oldalakon. Minket az a régió érdekel, ahol a függvény nullánál kisebb, pl. $x\in \left(2;5 \right)$ a válasz az eredeti problémára.

Végül vegyünk egy másik egyenlőtlenséget:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ismét egy exponenciális függvényt látunk, amelynek alapjában tizedes tört található. Alakítsuk át ezt a törtet közönséges törtté:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Jobbra \\ & \Jobbra ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\bal(((5)^(-1)) \jobbra))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Ebben az esetben a korábban megadott megjegyzéssel éltünk - a további megoldásunk egyszerűsítése érdekében az alapot 5 > 1-re csökkentettük. Tegyük ugyanezt a jobb oldallal is:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ jobb))^(2))=((5)^(-1\cpont 2))=((5)^(-2))\]

Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget mindkét transzformáció figyelembevételével:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Jobbra ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \jobbra)))\ge ((5)^(-2))\]

Az alap mindkét oldalon megegyezik, és meghaladja az egyet. Nincs más kifejezés a jobb és a bal oldalon, ezért csak „áthúzzuk” az ötösöket, és egy nagyon egyszerű kifejezést kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(igazítás)\]

Itt óvatosabbnak kell lenni. Sok diák szereti egyszerűen felvenni az egyenlőtlenség mindkét oldalának négyzetgyökét, és valami ilyesmit ír le: $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Ezt soha nem szabad megtennie, mivel a pontos négyzet gyöke a modulus, és semmiképpen sem az eredeti változó:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\jobbra|\]

A modulokkal való munka azonban nem a legkellemesebb élmény, igaz? Szóval nem fogunk dolgozni. Ehelyett egyszerűen mozgassuk az összes tagot balra, és oldjuk meg a szokásos egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Ismét megjelöljük a kapott pontokat a számegyenesen, és megnézzük a jeleket:

Mivel egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldottunk meg, a grafikonon minden pont árnyékolt. Ezért a válasz a következő lesz: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nem intervallum, hanem szegmens.

Általánosságban szeretném megjegyezni, hogy az exponenciális egyenlőtlenségekben nincs semmi bonyolult. A ma végrehajtott összes átalakítás jelentése egy egyszerű algoritmusban rejlik:

• Keressük meg az alapot, amelyre az összes fokot csökkentjük;
• Óvatosan hajtsa végre az átalakításokat, hogy megkapja a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakú egyenlőtlenséget. Természetesen a $x$ és $n$ változók helyett lehetnek sokkal összetettebb függvények is, de a jelentés nem fog változni;
• Húzd át a fokok alapjait. Ebben az esetben az egyenlőtlenség jele megváltozhat, ha az alap $a \lt 1$.

Valójában ez egy univerzális algoritmus minden ilyen egyenlőtlenség megoldására. És minden más, amit ebben a témában elmondanak, csak konkrét technikák és trükkök, amelyek leegyszerűsítik és felgyorsítják az átalakulást. Most egy ilyen technikáról fogunk beszélni. :)

Racionalizálási módszer

Tekintsük az egyenlőtlenségek egy másik halmazát:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \jobbra))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(igazítás)\]

Szóval mi olyan különleges bennük? Könnyűek. Bár, állj meg! A π számot emeljük valamilyen hatványra? Miféle hülyeség?

Hogyan lehet a $2\sqrt(3)-3$ számot hatványra emelni? Vagy $3-2\sqrt(2)$? A problémás írók nyilvánvalóan túl sok Hawthornt ittak, mielőtt leültek dolgozni. :)

Valójában semmi ijesztő ezekben a feladatokban. Hadd emlékeztesselek: az exponenciális függvény a $((a)^(x))$ formájú kifejezés, ahol az $a$ alap bármely pozitív szám egy kivételével. A π szám pozitív – ezt már tudjuk. A $2\sqrt(3)-3$ és a $3-2\sqrt(2)$ számok is pozitívak – ez könnyen belátható, ha nullával hasonlítja össze őket.

Kiderült, hogy mindezeket az „ijesztő” egyenlőtlenségeket nem oldják meg másként, mint a fent tárgyalt egyszerűek? És ugyanúgy megoldódnak? Igen, ez teljesen igaz. Példájuk alapján azonban egy olyan technikát szeretnék figyelembe venni, amely nagymértékben időt takarít meg az önálló munkára és a vizsgákra. Szó lesz a racionalizálás módszeréről. Szóval figyelem:

Bármely $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ formájú exponenciális egyenlőtlenség egyenértékű a $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) egyenlőtlenséggel jobbra) \gt 0 $.

Ez az egész módszer :) Gondoltad volna, hogy lesz valami más játék? Semmi ilyesmi! De ez az egyszerű tény, szó szerint egy sorban leírva, nagyban leegyszerűsíti a munkánkat. Nézd meg:

\[\begin(mátrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \jobbra) \jobbra)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(mátrix)\]

Tehát nincs több exponenciális függvény! És nem kell emlékeznie arra, hogy a jel megváltozik-e vagy sem. De felmerül egy új probléma: mit kezdjünk a \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] rohadt szorzóval? Nem tudjuk, mi a π szám pontos értéke. A kapitány azonban a nyilvánvalóra utal:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\kb. 3,14... \gt 3\Jobbra \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Általánosságban elmondható, hogy a π pontos értéke nem igazán vonatkozik ránk - csak az a fontos, hogy megértsük, hogy minden esetben $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ez egy pozitív állandó, és ezzel oszthatjuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Mint látható, egy bizonyos pillanatban mínusz eggyel kellett osztanunk - és az egyenlőtlenség előjele megváltozott. A végén kibővítettem a másodfokú trinomit Vieta tételével - nyilvánvaló, hogy a gyökök egyenlőek $((x)_(1))=5$ és $((x)_(2))=-1$ . Ezután mindent a klasszikus intervallum módszerrel oldanak meg:

Minden pontot eltávolítunk, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. Minket a negatív értékű régió érdekel, ezért a válasz $x\in \left(-1;5 \right)$. Ez a megoldás. :)

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Itt általában minden egyszerű, mert a jobb oldalon van egy egység. És ne feledjük, hogy az egy tetszőleges szám, amelyet nulla hatványra emelünk. Még akkor is, ha ez a szám irracionális kifejezés a bal oldalon:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \jobbra))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \jobbra))^(0)); \\\vége(igazítás)\]

Nos, ésszerűsítsük:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Már csak a jelek kitalálása van hátra. A $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ faktor nem tartalmazza a $x$ változót - ez csak egy konstans, és meg kell találnunk az előjelét. Ehhez vegye figyelembe a következőket:

\[\begin(mátrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \jobbra)=0 \\\end(mátrix)\]

Kiderült, hogy a második tényező nem csak egy állandó, hanem egy negatív állandó! És ha osztunk vele, az eredeti egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(igazítás)\]

Most minden teljesen nyilvánvalóvá válik. A jobb oldali négyzetháromság gyökei: $((x)_(1))=0$ és $((x)_(2))=2$. Jelöljük őket a számegyenesen, és megnézzük a $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ függvény előjeleit:

A pluszjellel jelölt intervallumokra vagyunk kíváncsiak. Nincs más hátra, mint leírni a választ:

Térjünk át a következő példára:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \) jobb))^(16-x))\]

Nos, itt minden teljesen nyilvánvaló: az alapok ugyanannyi hatványt tartalmaznak. Ezért mindent röviden leírok:

\[\begin(mátrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \jobbra))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Mint látható, az átalakítások során negatív számmal kellett szoroznunk, így az egyenlőtlenség előjele megváltozott. A legvégén ismét alkalmaztam Vieta tételét egy négyzetes trinom faktorizálására. Ennek eredményeként a válasz a következő lesz: $x\in \left(-8;4 \right)$ - aki szeretné, ezt számegyenes rajzolásával, pontok kijelölésével és számlálójelekkel ellenőrizheti. Közben áttérünk a „halmazunk” utolsó egyenlőtlenségére:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Mint látható, a bázison ismét egy irracionális szám, a jobb oldalon pedig ismét egy egység található. Ezért az exponenciális egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \) jobb))^(0))\]

Racionalizáljuk:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \jobbra) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\ ]

Az azonban teljesen nyilvánvaló, hogy $1-\sqrt(2) \lt 0$, mivel $\sqrt(2)\kb 1,4... \gt 1$. Ezért a második tényező ismét egy negatív állandó, amellyel az egyenlőtlenség mindkét oldala felosztható:

\[\begin(mátrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Költözz másik bázisra

Külön probléma az exponenciális egyenlőtlenségek megoldása során a „helyes” alap keresése. Sajnos egy feladatnál első pillantásra nem mindig egyértelmű, hogy mit vegyünk alapul, és ennek mértéke szerint mit tegyünk.

De ne aggódj: itt nincs varázslat vagy „titkos” technológia. A matematikában minden olyan készség, amely nem algoritmizálható, könnyen fejleszthető gyakorlással. Ehhez azonban különböző bonyolultságú problémákat kell megoldania. Például így:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ vége(igazítás)\]

Nehéz? Ijedős? Könnyebb, mint egy csirkét az aszfalton ütni! Próbáljuk meg. Első egyenlőtlenség:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Nos, szerintem itt minden világos:

Átírjuk az eredeti egyenlőtlenséget, mindent kettes alapra redukálva:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Jobbra \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Igen, igen, jól hallottad: csak a fent leírt racionalizálási módszert alkalmaztam. Most óvatosan kell dolgoznunk: van egy tört-racionális egyenlőtlenségünk (ennek van egy változója a nevezőben), ezért mielőtt bármit nullával egyenlővé tennénk, mindent közös nevezőre kell hoznunk, és meg kell szabadulnunk az állandó tényezőtől. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Most a standard intervallum módszert használjuk. A számláló nullái: $x=\pm 4$. A nevező csak akkor megy nullára, ha $x=0$. Összesen három pontot kell bejelölni a számegyenesen (minden pont ki van tűzve, mert az egyenlőtlenség jele szigorú). Kapunk:

Ahogy sejtheti, az árnyékolás azokat az intervallumokat jelöli, amelyeknél a bal oldali kifejezés negatív értékeket vesz fel. Ezért a végső válasz egyszerre két intervallumot fog tartalmazni:

Az intervallumok végeit nem tartalmazza a válasz, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú volt. A válasz további ellenőrzésére nincs szükség. Ebben a tekintetben az exponenciális egyenlőtlenségek sokkal egyszerűbbek, mint a logaritmikusok: nincs ODZ, nincsenek korlátozások stb.

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Itt sincs semmi probléma, hiszen már tudjuk, hogy $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, így az egész egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Jobbra ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Figyelem: a harmadik sorban úgy döntöttem, hogy nem vesztegetem az időt apróságokra, és azonnal mindent elosztok (-2)-vel. Minul került az első zárójelbe (most mindenhol pluszok vannak), kettőt pedig konstans tényezővel csökkentették. Pontosan ezt kell tennie, amikor valódi számításokat készít független és tesztmunkához - nem kell minden műveletet és átalakítást közvetlenül leírnia.

Ezután az intervallumok ismert módszere lép működésbe. Számláló nullák: de nincsenek. Mert a diszkrimináns negatív lesz. Viszont a nevező csak akkor áll vissza, ha $x=0$ - ugyanúgy, mint legutóbb. Nos, egyértelmű, hogy a $x=0$-tól jobbra a tört pozitív értékeket vesz fel, balra pedig negatív értékeket. Mivel minket a negatív értékek érdekelnek, a végső válasz: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Mit kell tenni a tizedes törtekkel az exponenciális egyenlőtlenségekben? Így van: szabaduljon meg tőlük, alakítsa át őket közönségessé. Itt fogjuk lefordítani:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\jobbra nyíl ((\bal(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Jobbra ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4) \jobbra))^(x)). \\\vége(igazítás)\]

Mit kaptunk tehát az exponenciális függvények alapjaiban? És kaptunk két kölcsönösen fordított számot:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\jobbra nyíl ((\left(\frac(25)(4) \ jobb))^(x))=((\bal(((\bal(\frac(4)(25) \jobb))^(-1)) \jobb))^(x))=((\ balra(\frac(4)(25) \jobbra))^(-x))\]

Így az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \jobbra))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\vége(igazítás)\]

Természetesen a hatványok azonos bázisú szorzásakor a kitevőik összeadódnak, ami a második sorban történt. Ezen kívül a jobb oldali egységet képviseltük, hatalomként is a 4/25-ös alapban. Már csak az ésszerűsítés marad hátra:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Vegye figyelembe, hogy $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, azaz. a második tényező egy negatív állandó, és ezzel osztva az egyenlőtlenség előjele megváltozik:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Jobbra x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Végül az utolsó egyenlőtlenség a jelenlegi „halmazból”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Elvileg itt is egyértelmű a megoldás ötlete: az egyenlőtlenségben szereplő összes exponenciális függvényt a „3-as” bázisra kell redukálni. De ehhez egy kicsit trükköznie kell a gyökerekkel és az erőkkel:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\vége(igazítás)\]

Ezen tények ismeretében az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\jobbra))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\vége(igazítás)\]

Ügyeljen a számítások 2. és 3. sorára: mielőtt bármit is tenne az egyenlőtlenséggel, feltétlenül hozza azt a formába, amelyről az óra elején beszéltünk: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Mindaddig, amíg néhány baloldali tényező, további állandók stb. vannak a bal vagy a jobb oldalon, nem hajtható végre az indokok racionalizálása vagy „áthúzása”.! Számtalan feladatot végeztek el hibásan, mert nem értik ezt az egyszerű tényt. Magam is folyamatosan figyelem ezt a problémát tanítványaimmal, amikor még csak most kezdjük az exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek elemzését.

De térjünk vissza a feladatunkhoz. Próbáljunk meg ezúttal racionalizálás nélkül. Emlékezzünk: a fokszám alapja nagyobb, mint egy, így a hármasokat egyszerűen át lehet húzni - az egyenlőtlenség jele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(igazítás)\]

Ez minden. Végső válasz: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Stabil kifejezés kiemelése és változó cseréje

Befejezésül négy további exponenciális egyenlőtlenség megoldását javaslom, ami a felkészületlen hallgatók számára már így is elég nehéz. Ahhoz, hogy megbirkózzon velük, emlékeznie kell a diplomákkal való munka szabályaira. Különösen a közös tényezők zárójelbe helyezése.

De a legfontosabb, hogy megtanuljuk megérteni: pontosan mit lehet zárójelbe tenni. Az ilyen kifejezést stabilnak nevezik - új változóval jelölhető, és így megszabadulhat az exponenciális függvénytől. Tehát nézzük a feladatokat:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Kezdjük a legelső sorral. Ezt az egyenlőtlenséget külön írjuk:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Vegye figyelembe, hogy $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, így a jobb oldal át kell írni:

Figyeljük meg, hogy az egyenlőtlenségben nincs más exponenciális függvény, kivéve a $((5)^(x+1))$. És általában a $x$ változó sehol máshol nem jelenik meg, ezért vezessünk be egy új változót: $((5)^(x+1))=t$. A következő konstrukciót kapjuk:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(igazítás)\]

Visszatérünk az eredeti változóhoz ($t=((5)^(x+1))$), és ugyanakkor ne feledjük, hogy 1=5 0 . Nekünk van:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\vége(igazítás)\]

Ez a megoldás! Válasz: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Térjünk át a második egyenlőtlenségre:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Itt minden ugyanaz. Vegye figyelembe, hogy $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Ezután a bal oldalt át lehet írni:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \jobbra. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\vége(igazítás)\]

Körülbelül így kell döntést hozni a valódi irányításról és az önálló munkáról.

Nos, próbáljunk meg valami bonyolultabbat. Például itt van az egyenlőtlenség:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Mi itt a probléma? Először is, a bal oldali exponenciális függvények alapjai különböznek: 5 és 25. Azonban 25 \u003d 5 2, tehát az első tag átalakítható:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(igazítás) )\]

Amint látja, először mindent ugyanarra az alapra hoztunk, majd észrevettük, hogy az első tag könnyen redukálható a másodikra ​​- elég csak kibővíteni a kitevőt. Most már nyugodtan bevezethetünk egy új változót: $((5)^(2x+2))=t$, és az egész egyenlőtlenség így lesz átírva:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(igazítás)\]

És még egyszer: semmi nehézség! Végső válasz: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Térjünk át a végső egyenlőtlenségre a mai leckében:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Az első dolog, amire figyelni kell, természetesen az első fok alapjában lévő tizedes tört. Meg kell szabadulni tőle, és ugyanakkor az összes exponenciális függvényt ugyanarra az alapra kell vinni - a „2” számra:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Jobbra ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\jobbra nyíl ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \jobbra))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Remek, megtettük az első lépést – minden ugyanarra az alapra vezetett. Most ki kell választania egy stabil kifejezést. Vegye figyelembe, hogy $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ha bevezetünk egy új változót $((2)^(4x+6))=t$, akkor az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen felmerülhet a kérdés: honnan jöttünk rá, hogy 256 = 2 8 ? Sajnos itt csak a kettő (és egyben a három és az öt) hatványait kell ismerni. Nos, vagy osszuk el a 256-ot 2-vel (lehet osztani, hiszen a 256 páros szám), amíg meg nem kapjuk az eredményt. Valahogy így fog kinézni:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Ugyanez a helyzet hárommal (a 9, 27, 81 és 243 számok a fokszámai), és a héttel (a 49 és 343 számokat is jó lenne megjegyezni). Nos, az ötösnek is vannak „szép” diplomái, amelyeket tudnod kell:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen, ha kívánja, ezeket a számokat visszaállíthatja az elméjében, ha egyszerűen egymás után megszorozza őket. Ha azonban több exponenciális egyenlőtlenséget kell megoldania, és mindegyik következő nehezebb, mint az előző, akkor az utolsó dolog, amire gondolni kell, néhány szám hatványa. És ebben az értelemben ezek a problémák összetettebbek, mint a „klasszikus” egyenlőtlenségek, amelyeket az intervallum módszerrel oldanak meg.

Ebben a leckében bonyolultabb exponenciális egyenletek megoldásával foglalkozunk, és felidézzük az exponenciális függvénnyel kapcsolatos alapvető elméleti elveket.

1. Az exponenciális függvény definíciója és tulajdonságai, módszerek a legegyszerűbb exponenciális egyenletek megoldására

Emlékezzünk vissza az exponenciális függvény definíciójára és alapvető tulajdonságaira. Az összes exponenciális egyenlet és egyenlőtlenség megoldása ezeken a tulajdonságokon alapul.

Exponenciális függvény az alak függvénye, ahol az alap a fok, és itt x a független változó, argumentum; y a függő változó, függvény.

Rizs. 1. Az exponenciális függvény grafikonja

A grafikon a növekvő és a csökkenő kitevőket mutatja, illusztrálva az exponenciális függvényt egynél nagyobb, illetve egynél kisebb, de nullánál nagyobb bázissal.

Mindkét görbe áthalad a ponton (0;1)

Az exponenciális függvény tulajdonságai:

Tartomány: ;

Értéktartomány: ;

A funkció monoton, vel növekszik, vel csökken.

A monoton függvény minden egyes értékét egyetlen argumentumértékkel veszi fel.

Amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény nulláról plusz végtelenre növekszik. Éppen ellenkezőleg, amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény végtelenről nullára csökken, nem inkluzív.

2. Szabványos exponenciális egyenletek megoldása

Emlékeztetjük, hogyan kell megoldani a legegyszerűbb exponenciális egyenleteket. Megoldásuk az exponenciális függvény monotonitásán alapul. Szinte minden összetett exponenciális egyenlet redukálható ilyen egyenletekre.

Az egyenlő bázisú kitevők egyenlősége az exponenciális függvény tulajdonságának, nevezetesen a monotonságának köszönhető.

Megoldás módja:

Egyenlítse ki a fokok alapjait;

Tegye egyenlővé a kitevőket.

Folytassuk a bonyolultabb exponenciális egyenletekkel, célunk az, hogy mindegyiket a legegyszerűbbre redukáljuk.

Szabaduljunk meg a bal oldali gyökértől, és hozzuk a fokokat ugyanarra az alapra:

Annak érdekében, hogy egy összetett exponenciális egyenletet a legegyszerűbbre redukáljunk, gyakran alkalmazzák a változók helyettesítését.

Használjuk a teljesítmény tulajdonságot:

Bevezetünk egy cserét. Akkor legyen. Egy ilyen helyettesítésnél nyilvánvaló, hogy y szigorúan pozitív értékeket vesz fel. Kapunk:

A kapott egyenletet szorozzuk meg kettővel, és mozgassuk az összes tagot a bal oldalra:

Az első gyök nem elégíti ki az y értékek tartományát, ezért eldobjuk. Kapunk:

Csökkentsük a fokokat ugyanarra a mutatóra:

Mutassunk be egy cserét:

Akkor legyen . Egy ilyen helyettesítésnél nyilvánvaló, hogy y szigorúan pozitív értékeket vesz fel. Kapunk:

Tudjuk, hogyan kell megoldani az ilyen másodfokú egyenleteket, felírhatjuk a választ:

A gyökök helyes megtalálásához ellenőrizheti Vieta tételét, azaz keresse meg a gyökök és szorzatuk összegét, és hasonlítsa össze őket az egyenlet megfelelő együtthatóival.

Kapunk:

3. Másodfokú homogén exponenciális egyenletek megoldásának módszertana

Tanulmányozzuk a következő fontos exponenciális egyenlettípusokat:

Az ilyen típusú egyenleteket az f és g függvények tekintetében másodfokú homogénnek nevezzük. A bal oldalán van egy f-hez tartozó négyzetháromtag g paraméterrel, vagy egy négyzetháromtag g-hez f paraméterrel.

Megoldás módja:

Ezt az egyenletet másodfokú egyenletként is meg lehet oldani, de könnyebb másként csinálni. Két esetet kell figyelembe venni:

Az első esetben azt kapjuk

A második esetben jogunk van a legmagasabb fokkal osztani, és megkapjuk:

Változóváltást kell bevezetni, y-ra egy másodfokú egyenletet kapunk:

Vegyük észre, hogy az f és g függvények tetszőlegesek lehetnek, de minket az az eset érdekel, amikor ezek exponenciális függvények.

4. Példák homogén egyenletek megoldására

Vigyük át az összes tagot az egyenlet bal oldalára:

Mivel az exponenciális függvények szigorúan pozitív értékeket kapnak, jogunk van azonnal elosztani az egyenletet -vel, figyelmen kívül hagyva azt az esetet, amikor:

Kapunk:

Bevezetünk egy cserét: (az exponenciális függvény tulajdonságai szerint)

Kaptunk egy másodfokú egyenletet:

A gyököket Vieta tételével határozzuk meg:

Az első gyök nem elégíti ki y értéktartományát, eldobjuk, így kapjuk:

Használjuk a fokok tulajdonságait, és redukáljuk le az összes fokot egyszerű alapokra:

Könnyen észrevehető az f és g függvény:

Mivel az exponenciális függvények szigorúan pozitív értékeket kapnak, jogunk van azonnal elosztani az egyenletet -vel, anélkül, hogy figyelembe vennénk azt az esetet, amikor .