Hogyan lehet megtudni egy szám gyökerét. Kutatási cikk a témában: "Nagy számok négyzetgyökeinek kinyerése számológép nélkül"

Szeretnél jól szerepelni a matematika egységes államvizsgán? Akkor gyorsan, helyesen és számológép nélkül kell tudni számolni. Végül is a matematika egységes államvizsga pontvesztésének fő oka a számítási hibák.

Az Egységes Államvizsga szabályai szerint a matematika vizsga során számológépet használni tilos. Lehet, hogy az ár túl magas – eltávolítás a vizsgáról.

Valójában nincs szükség számológépre a matematika egységes államvizsgájához. Minden probléma megoldódik nélküle. A lényeg a figyelem, a pontosság és néhány titkos technika, amiről elmesélünk.

Kezdjük a fő szabállyal. Ha egy számítás egyszerűsíthető, akkor egyszerűsítse.

Itt van például az „ördögi egyenlet”:

A végzettek 70 százaléka fejből oldja meg. Kiszámolják a diszkriminánst a képlet segítségével, ami után azt mondják, hogy számológép nélkül nem lehet kinyerni a gyökeret. De eloszthatja az egyenlet bal és jobb oldalát -vel. Meg fog menni

Melyik út a könnyebb? :-)

Sok iskolás nem szereti az oszlopos szorzást. Senki sem szeretett negyedik osztályban unalmas „példákat” megoldani. Sok esetben azonban lehetséges a számok „oszlop” nélküli, sorban történő szorzása. Sokkal gyorsabb.

Felhívjuk figyelmét, hogy nem kisebb számjegyekkel kezdjük, hanem nagyobbakkal. Kényelmes.

Most - osztás. Nem könnyű elosztani „egy oszlopban” -val. De ne feledje, hogy az osztásjel: és a törtsáv ugyanaz. Írjuk törtként, és csökkentsük a törtet:

Egy másik példa.

Hogyan lehet gyorsan és oszlopok nélkül négyzetezni egy kétjegyű számot? Rövidített szorzóképleteket alkalmazunk:

Néha kényelmes egy másik képlet használata:

A -ra végződő számok azonnal négyzetre kerülnek.

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy szám négyzetét ( - nem feltétlenül szám, hanem bármilyen természetes szám). Megszorozzuk és hozzáadjuk az eredményhez. Minden!

Például: (és hozzárendelve).

(és tulajdonított).

(és tulajdonított).

Ez a módszer nem csak a négyzetesítéshez hasznos, hanem a -re végződő számok négyzetgyökének felvételéhez is.

Hogyan lehet kivonni a négyzetgyököt számológép nélkül? Mutatunk két módot.

Az első módszer a gyök kifejezés faktorizálása.

Például keressük meg
Egy szám osztható -vel (mivel számjegyeinek összege osztható -vel). Tényezőzzük:

Találjuk meg. Ez a szám osztható -vel. Az is el van osztva. Vegyük figyelembe.

Egy másik példa.

Van egy második út is. Kényelmes, ha az a szám, amelyből a gyökér kinyerésére van szükség, nem faktorizálható.

Például meg kell találnia. A gyökér alatti szám páratlan, nem osztható vele, nem osztható vele, nem osztható vele... Továbbra is keresheti, hogy mivel osztható, vagy megteheti egyszerűbben - ezt a gyökér keresése kiválasztással .

Nyilvánvalóan egy kétjegyű szám négyzetbe került, ami a számok és a között van, mivel , , és a szám közöttük van. A válasz első számjegyét már ismerjük, ez .

A szám utolsó számjegye . Mivel , a válasz utolsó számjegye vagy , vagy . Ellenőrizzük:
. Megtörtént!

Találjuk meg.

Ez azt jelenti, hogy a válasz első számjegye öt.

A szám utolsó számjegye kilenc. , . Ez azt jelenti, hogy a válasz utolsó számjegye vagy , vagy .

Ellenőrizzük:

Ha az a szám, amelyből a négyzetgyököt ki kell húzni, vagy -re végződik, akkor ennek négyzetgyöke irracionális szám lesz. Mert egyetlen egész négyzet sem végződik vagy -ra. Ne feledje, hogy a matematika egységes államvizsga egyes feladatainál a választ egész számként vagy végső tizedes törtként kell felírni, vagyis racionális számnak kell lennie.

Másodfokú egyenletekkel az Egységes Államvizsga feladataiban, változataiban, valamint részeiben találkozunk. Meg kell számolniuk a diszkriminánst, majd ki kell vonniuk belőle a gyökeret. És egyáltalán nem szükséges ötjegyű számokból gyökereket keresni. A diszkrimináns sok esetben faktorizálható.

Például az Eq.

Egy másik helyzet, amelyben a gyökér alatti kifejezés faktorizálható, a feladatból származik.

Egy derékszögű háromszög befogója egyenlő , az egyik lába egyenlő -vel, keresse meg a második lábát.

A Pitagorasz-tétel szerint egyenlő . Hosszú ideig lehet számolni egy oszlopban, de egyszerűbb a rövidített szorzási képlet használata.

És most elmondjuk a legérdekesebb dolgot - miért veszítenek el értékes pontokat a diplomások az egységes államvizsgán. Végül is a számítási hibák nem egyszerűen előfordulnak.

1 . A pontvesztés biztos módja a hanyag számítás, amelyben valamit kijavítanak, áthúznak, vagy egy számot a másikra írnak. Nézd meg a piszkozataidat. Talán ugyanúgy néznek ki? :-)

Írj olvashatóan! Ne spórolj a papíron. Ha valami nem stimmel, ne javítsd az egyik számot a másikkal, jobb, ha újra írod.

2. Valamiért sok iskolás, amikor oszlopban számol, 1) nagyon-nagyon gyorsan, 2) nagyon kis számban, a füzete sarkában és 3) ceruzával próbálja megtenni. Az eredmény ez:

Lehetetlen bármit is kitalálni. Szóval meglepő, hogy az egységes államvizsga pontszáma alacsonyabb a vártnál?

3. Sok iskolás megszokta, hogy a kifejezésekben figyelmen kívül hagyja a zárójeleket. Néha ez történik:

Ne feledje, hogy az egyenlőségjel nem csak bárhol, hanem csak egyenlő értékek között van elhelyezve. Írj helyesen, még piszkozatban is.

4. Nagyon sok számítási hiba törteket tartalmaz. Ha törtet oszt törttel, használja a mit
Ide egy „hamburgert”, vagyis egy többemeletes törtet rajzolnak. Ezzel a módszerrel rendkívül nehéz helyes választ kapni.

Foglaljuk össze.

A matematika egységes államvizsga profil első részének feladatainak ellenőrzése automatikus. Itt nincs „majdnem helyes” válasz. Vagy igaza van, vagy nem. Egy számítási hiba – és helló, a feladat nem számít. Ezért az Ön érdeke, hogy megtanuljon gyorsan, helyesen és számológép nélkül számolni.

Az Egységes matematika államvizsga profil második részének feladatait szakértő ellenőrzi. Vigyázz rá! Hagyja, hogy megértse az Ön kézírását és a döntés logikáját.

Hogyan lehet kivonni a gyökeret számból. Ebben a cikkben megtudjuk, hogyan kell négy- és ötjegyű számok négyzetgyökét venni.

Vegyük például 1936 négyzetgyökét.

Ennélfogva, .

Az 1936-os szám utolsó számjegye a 6. A 4-es és a 6-os szám négyzete 6-ra végződik. Ezért 1936 lehet a 44-es vagy a 46-os szám négyzete. A szorzást kell ellenőrizni.

Eszközök,

Vegyük az 15129 szám négyzetgyökét.

Ennélfogva, .

Az 15129 szám utolsó számjegye a 9. A 3 és a 7 négyzete 9-re végződik. Ezért 15129 lehet a 123 vagy a 127 szám négyzete. Ellenőrizzük szorzással.

Eszközök,

Hogyan lehet kivonni a gyökeret - videó

És most azt javaslom, hogy nézze meg Anna Denisova videóját - "Hogyan lehet kinyerni a gyökeret ", az oldal szerzője" Egyszerű fizika", amelyben elmagyarázza, hogyan lehet számológép nélkül találni négyzet- és kockagyököket.

A videó a gyökerek kinyerésének számos módját tárgyalja:

1. A négyzetgyök kinyerésének legegyszerűbb módja.

2. Kiválasztással az összeg négyzetével.

3. Babilóniai módszer.

4. Oszlop négyzetgyökének kinyerésének módja.

5. A kockagyökér kinyerésének gyors módja.

6. A kockagyökér oszlopos kivonásának módja.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

fejezet első.

A legnagyobb egész szám négyzetgyökének megkeresése adott egész számból.

170. Előzetes megjegyzések.

A) Mivel csak a négyzetgyök kinyeréséről beszélünk, a beszéd lerövidítésére ebben a fejezetben a „négyzetgyök” helyett egyszerűen „gyök”-et fogunk mondani.

b) Ha négyzetre emeljük a természetes sorozat számait: 1,2,3,4,5. . . , akkor a következő négyzettáblázatot kapjuk: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Nyilvánvalóan sok olyan egész szám van, amely nem szerepel ebben a táblázatban; Természetesen ilyen számokból lehetetlen kivonni a teljes gyökeret. Ezért, ha ki kell bontania például bármely egész szám gyökerét. szükséges a √4082 megtalálásához, akkor egyetértünk azzal, hogy ezt a követelményt a következőképpen értelmezzük: bontsa ki a 4082 teljes gyökerét, ha lehetséges; ha ez nem lehetséges, akkor meg kell találni a legnagyobb egész számot, amelynek négyzete 4082 (ilyen szám 63, mivel 63 2 = 3969, és 64 2 = 4090).

V) Ha ez a szám kisebb, mint 100, akkor ennek gyökerét a szorzótábla segítségével találjuk meg; Így √60 7 lenne, mivel hét 7 egyenlő 49-el, ami kisebb, mint 60, és nyolc 8 egyenlő 64-gyel, ami nagyobb, mint 60.

171. 10 000-nél kisebb, de 100-nál nagyobb szám gyökének kinyerése. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a √4082-t. Mivel ez a szám kisebb, mint 10 000, gyöke kisebb, mint √l0 000 = 100. Másrészt ez a szám nagyobb, mint 100; ez azt jelenti, hogy a gyöke nagyobb, mint (vagy egyenlő 10). (Ha például meg kellett találni a √ 120 , akkor bár a szám 120 > 100, azonban √ 120 egyenlő 10-zel, mert 11 2 = 121.) De minden 10-nél nagyobb, de 100-nál kisebb számnak 2 jegye van; Ez azt jelenti, hogy a szükséges gyök az összeg:

tíz + egy,

ezért négyzetének egyenlőnek kell lennie a következő összeggel:

Ennek az összegnek a 4082 legnagyobb négyzetének kell lennie.

Vegyük ezek közül a legnagyobbat, a 36-ot, és tegyük fel, hogy a tízes gyök négyzete pontosan ezzel a legnagyobb négyzettel lesz egyenlő. Ekkor a gyökben lévő tízesek számának 6-nak kell lennie. Most ellenőrizzük, hogy ez mindig így legyen, azaz a gyökben lévő tízesek száma mindig egyenlő a gyök százainak legnagyobb egész gyökével.

Példánkban ugyanis a gyök tízeseinek száma nem lehet több 6-nál, mivel (7 dec.) 2 = 49 száz, ami meghaladja a 4082-t. De nem lehet kevesebb 6-nál, mivel 5 dec. (egységekkel) kisebb, mint 6 des, és közben (6 des.) 2 = 36 száz, ami kevesebb, mint 4082. És mivel a legnagyobb egész gyökérre keresünk, ezért ne vegyünk 5 des-t a gyökérre, amikor még a 6 tízes sem sok.

Megtaláltuk tehát a gyök tízeseinek számát, nevezetesen a 6-ot. Ezt a számot a = jel jobb oldalára írjuk, emlékezve arra, hogy ez a gyök tízeseit jelenti. A térre emelve 36 százast kapunk. Ezt a 36 százat kivonjuk a gyökszám 40 százasából, és kivonjuk ennek a számnak a maradék két számjegyét. A maradék 482-nek 2 (6 dec.) (egység) + (egység)2-t kell tartalmaznia. A szorzatnak (6. dec.) (egységeknek) tízesnek kell lennie; ezért a tízesek eggyel kettős szorzatát a maradék tízeseiben, azaz a 48-ban kell keresni (a számukat úgy kapjuk meg, hogy a 48 "2" maradékában elválasztunk egy számjegyet a jobb oldalon). Ez azt jelenti, hogy ha a 12-t megszorozzuk a gyökér egységeivel (amelyek még ismeretlenek), akkor a 48-ban foglalt számot kell kapnunk. Ezért a 48-at elosztjuk 12-vel.

Ehhez húzzunk egy függőleges vonalat a maradéktól balra, és mögé (a sorból egy hellyel balra lépve a most megjelenő célra) írjuk a gyökér első számjegyének dupláját, azaz 12-t, és elosztjuk vele a 48-at.A hányadosban 4-et kapunk.

Azt azonban nem tudjuk előre garantálni, hogy a 4-es számot a gyök egységeiként vehetjük fel, mivel most a maradék tízeseinek teljes számát elosztottuk 12-vel, míg egyesek esetleg nem tartoznak a tízesek kettős szorzatába. egységek, hanem részei az egységek négyzetének. Ezért a 4-es szám nagy lehet. Ki kell próbálnunk. Nyilvánvalóan megfelelő, ha a 2 (6 dec.) 4 + 4 2 összeg nem több, mint a maradék 482.

Ennek eredményeként mindkettő összegét kapjuk egyszerre. A kapott termék 496, ami nagyobb, mint a maradék 482; Ez azt jelenti, hogy a 4-es szám nagy. Ezután ugyanígy teszteljük a következő kisebb 3-as számot.

Példák.

A 4. példában a maradék 47 tízesének 4-gyel való osztásakor hányadosként 11-et kapunk, de mivel a gyök egységeinek száma nem lehet kétjegyű 11 vagy 10, ezért közvetlenül a 9-et kell tesztelnünk.

Az 5. példában, miután kivontuk a 8-at a négyzet első lapjából, a maradék 0-nak bizonyul, és a következő lap is nullákból áll. Ez azt mutatja, hogy a kívánt gyök mindössze 8 tízesből áll, ezért az egyesek helyére nullát kell tenni.

172. 10000-nél nagyobb szám gyökének kinyerése. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a √35782-t. Mivel a gyökszám meghaladja a 10 000-et, a gyöke nagyobb, mint √10000 = 100, ezért 3 vagy több számjegyből áll. Mindegy, hány számjegyből áll, mindig csak tízesek és egyesek összegének tekinthetjük. Ha például a gyökér 482-nek bizonyul, akkor 48 des összegének számíthatjuk. + 2 egység Ekkor a gyök négyzete 3 tagból áll:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (egység) + (egység) 2 .

Most pontosan ugyanúgy érvelhetünk, mint a √4082 megtalálásakor (az előző bekezdésben). Az egyetlen különbség az lesz, hogy a 4082 gyökének tízeseinek megtalálásához ki kellett húznunk a 40 gyökét, és ezt a szorzótábla segítségével is meg lehetett tenni; most, hogy megkapjuk a tens√35782 értéket, a 357 gyökerét kell venni, ami nem tehető meg a szorzótábla használatával. De megtalálhatjuk a √357-et az előző bekezdésben leírt technikával, mivel a 357-es szám< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Ezután úgy járunk el, mint a √4082 megtalálásakor, nevezetesen: a maradék 3382-től balra húzunk egy függőleges vonalat, és mögé írjuk (egy szóközzel visszalépve a sorból) a talált gyök tízeseinek kétszeresét, azaz 36 (kétszer 18). A maradékban elválasztunk egy számjegyet a jobb oldalon, és a maradék tízes számát, azaz a 338-at elosztjuk 36-tal. A hányadosban 9-et kapunk. Ezt a számot teszteljük, amihez a jobb oldalon 36-hoz rendeljük és szorozzuk meg vele. A termék 3321 lett, ami kevesebb, mint a maradék. Ez azt jelenti, hogy a 9-es szám megfelelő, ezt a gyökérbe írjuk.

Általánosságban elmondható, hogy bármely egész szám négyzetgyökének kivonásához először a százak gyökét kell kivonni; ha ez a szám több, mint 100, akkor meg kell keresnie a százak számának gyökerét, vagyis a több tízezres szám gyökerét; ha ez a szám több, mint 100, akkor a gyökét a száztízezrek számából kell venni, vagyis egy adott szám millióiból stb.

Példák.

Az utolsó példában, miután megtaláltuk az első számjegyet és kivontuk a négyzetét, 0 maradékot kapunk. A következő 2 számjegyet kivonjuk 51-ből. A tízeseket elválasztva 5 des-t kapunk, míg a gyökér kettős talált számjegye 6. Ez azt jelenti, hogy 5-öt 6-tal osztva 0-t kapunk. A gyökér második helyére 0-t teszünk, és a maradékhoz hozzáadjuk a következő 2 számjegyet; 5110-et kapunk. Ezután a szokásos módon folytatjuk.

Ebben a példában a szükséges gyök csak 9 százasból áll, ezért nullákat kell tenni a tízesek és egyesek helyére.

Szabály. Egy adott egész négyzetgyökének kinyeréséhez jobbról balra osztják a szélén, mindegyikben 2 számjeggyel, kivéve az utolsót, amely egy számjegyű lehet.
A gyökér első számjegyének megtalálásához vegye ki az első lap négyzetgyökét.
A második számjegy megtalálásához a gyökér első számjegyének négyzetét kivonjuk az első lapból, a második lapot a maradékba, és a kapott szám tízeseinek számát elosztjuk a gyökér első számjegyének duplájával. ; a kapott egész számot teszteljük.
Ezt a tesztet a következőképpen hajtjuk végre: a függőleges vonal mögé (a maradéktól balra) írjuk be a gyökér korábban talált számának kétszeresét, majd a jobb oldalra adjuk hozzá a tesztelt számjegyet, az eredményül kapott számot az összeadás után , megszorozzuk a tesztelt számjegygel. Ha szorzás után az eredmény a maradéknál nagyobb szám, akkor a vizsgált számjegy nem megfelelő, és a következő kisebb számjegyet kell tesztelni.
A gyökér következő számjegyeit ugyanezzel a technikával találjuk meg.
Ha egy lap eltávolítása után a kapott szám tízeseinek száma kisebbnek bizonyul, mint az osztó, azaz kevesebb, mint a gyökér talált részének kétszerese, akkor 0-t tesznek a gyökérbe, eltávolítják a következő lapot és folytassa a műveletet.

173. A gyökér számjegyeinek száma. A gyökér keresési folyamatának figyelembevételéből az következik, hogy a gyökérben annyi számjegy van, ahány a gyökszámban 2-2 számjegyű lap (a bal oldal egy számjegyű lehet).

Második fejezet.

Egész számok és törtek közelítő négyzetgyökeinek kinyerése .

A polinomok négyzetgyökének kivonásához lásd a 399. § 2. részének kiegészítéseit és az azt követőket.

174. Pontos négyzetgyök jelei. Egy adott szám pontos négyzetgyöke olyan szám, amelynek négyzete pontosan egyenlő az adott számmal. Mutassunk néhány jelet, amelyek alapján meg lehet ítélni, hogy egy adott számból kinyerhető-e pontos gyök, vagy sem:

A) Ha egy adott egész számból nem nyerjük ki a pontos egész gyöket (a maradékot a kinyeréskor kapjuk meg), akkor a tört pontos gyök nem található meg ilyen számból, mivel minden olyan tört, amely nem egyenlő egy egész számmal, önmagával megszorozva , szintén törtet állít elő a szorzatban, nem egész számot.

b) Mivel egy tört gyöke egyenlő a számláló gyökével, osztva a nevező gyökével, az irreducibilis tört pontos gyöke nem található meg, ha az nem kinyerhető a számlálóból vagy a nevezőből. Például a pontos gyök nem vonható ki a 4/5, 8/9 és 11/15 törtekből, mivel az első törtben nem vonható ki a nevezőből, a másodikban - a számlálóból, a harmadikban pedig - sem a számlálóból, sem a nevezőből.

Azokból a számokból, amelyekből a pontos gyökér nem húzható ki, csak hozzávetőleges gyökök vonhatók ki.

175. Hozzávetőleges gyök 1-es pontossággal. Egy adott szám közelítő négyzetgyöke, 1 pontossággal (egész vagy tört, nem számít) olyan egész szám, amely megfelel a következő két követelménynek:

1) ennek a számnak a négyzete nem nagyobb, mint a megadott szám; 2) de ennek a számnak az 1-gyel növelt négyzete nagyobb ennél a számnál. Más szóval, az 1-re pontos közelítő négyzetgyök egy adott szám legnagyobb egész négyzetgyöke, vagyis az a gyök, amelyet az előző fejezetben megtanultunk megtalálni. Ezt a gyökét 1-es pontossággal közelítőnek nevezzük, mert a pontos gyökér eléréséhez ehhez a közelítő gyökhöz kellene hozzáadnunk valami 1-nél kisebb törtet, így ha az ismeretlen pontos gyök helyett ezt a közelítőt vesszük, akkor 1-nél kisebb hiba.

Szabály. Egy közelítő négyzetgyök 1-es pontosságú kinyeréséhez ki kell húzni az adott szám egész részéből a legnagyobb egész szám gyökét.

A szabály által talált szám hozzávetőleges gyök, hátrányos , mivel hiányzik egy bizonyos tört (1-nél kisebb) pontos gyöke. Ha ezt a gyöket 1-gyel növeljük, akkor egy másik számot kapunk, amelyben a pontos gyökhöz képest van némi többlet, és ez a többlet kisebb, mint 1. Ezt az 1-gyel növelt gyökéröt 1-es pontossággal közelítő gyöknek is nevezhetjük, de felesleggel. (Egyes matematikai könyvekben a „hiánnyal” vagy „többlettel” elnevezéseket más, ezzel egyenértékű elnevezésekkel helyettesítik: „hiánnyal” vagy „többlettel”.)

176. Hozzávetőleges gyök 1/10 pontossággal. Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a √2.35104 értéket 1/10-es pontossággal. Ez azt jelenti, hogy meg kell találnia egy tizedes törtet, amely egész egységekből és tizedekből állna, és amely megfelel a következő két követelménynek:

1) ennek a törtnek a négyzete nem haladja meg a 2,35104-et, de 2) ha 1/10-el növeljük, akkor ennek a megnövelt törtnek a négyzete meghaladja a 2,35104-et.

Egy ilyen tört kereséséhez először egy közelítő gyöket találunk 1-re, vagyis csak a 2-es egészből vonjuk ki a gyökot. 1-et kapunk (a maradék pedig 1). Az 1-es számot a gyökérbe írjuk, és vesszőt teszünk utána. Most a tizedek számát fogjuk keresni. Ehhez levesszük az 1-es maradékig a tizedesvesszőtől jobbra lévő 35-ös számjegyeket, és úgy folytatjuk a kivonást, mintha a 235-ös egész szám gyökerét vonnánk ki. A kapott 5-ös számjegyet a gyökérbe írjuk a tizedek helye. A gyökszám (104) fennmaradó számjegyeire nincs szükségünk. Hogy a kapott 1,5 szám valójában egy közelítő gyök lesz 1/10-es pontossággal, az a következőkből látható. Ha 1-es pontossággal megkeresnénk 235 legnagyobb egész gyökét, 15-öt kapnánk.

15 2 < 235, de 16 2 >235.

Ezeket a számokat elosztjuk 100-zal, így kapjuk:

Ez azt jelenti, hogy az 1,5 szám az a tizedes tört, amelyet közelítő gyöknek neveztünk 1/10 pontossággal.

Ezzel a technikával a következő közelítő gyököket is megtalálhatjuk 0,1-es pontossággal:

177. Hozzávetőleges négyzetgyök 1/100 és 1/1000 között stb.

Tegyük fel, hogy egy közelítő √248-at kell találnunk 1/100 pontossággal. Ez azt jelenti: keressen egy tizedes törtet, amely egészből, tized- és századrészekből állna, és amely két követelménynek felel meg:

1) négyzete nem haladja meg a 248-at, de 2) ha ezt a törtet 1/100-al növeljük, akkor ennek a megnövelt törtnek a négyzete meghaladja a 248-at.

Ilyen törtet a következő sorrendben fogunk találni: először az egész számot, majd a tizedeket, majd a századokat. Egy egész szám gyöke 15 egész szám. A tizedes szám kiszámításához, mint láttuk, hozzá kell adni a maradék 23-hoz további 2 számjegyet a tizedesvesszőtől jobbra. Példánkban ezek a számok egyáltalán nincsenek jelen, helyükre nullákat teszünk. Ha hozzáadjuk őket a maradékhoz, és úgy folytatjuk, mintha a 24 800 egész szám gyökerét keresnénk, megkapjuk a 7. tizedszámot. Marad a századok számának megtalálása. Ehhez a maradék 151-hez adunk még 2 nullát, és folytatjuk a kivonást, mintha a 2 480 000 egész szám gyökerét keresnénk. 15,74-et kapunk. Hogy ez a szám valóban 248 hozzávetőleges gyöke 1/100 pontossággal, az a következőkből látható. Ha a 2 480 000 egész szám legnagyobb négyzetgyökét keresnénk, 1574-et kapnánk; Eszközök:

1574 2 < 2 480 000, de 1575 2 > 2 480 000.

Ha az összes számot elosztjuk 10 000-zel (= 100 2), a következőt kapjuk:

Ez azt jelenti, hogy a 15,74 az a tizedes tört, amelyet közelítő gyöknek neveztünk 248 1/100-as pontossággal.

Ha ezt a technikát alkalmazzuk egy közelítő gyökér megtalálására 1/1000-től 1/10000-ig stb., a következőket kapjuk.

Szabály. Egy adott egész számból vagy egy adott tizedes törtből 1/10-től 1/100-ig és 1/100-ig terjedő pontosságú közelítő gyökér kinyeréséhez először keressen egy közelítő gyöket 1-es pontossággal, kivonva a egész szám (ha nem, akkor 0 egész szám gyökéről írnak).

Aztán megtalálják a tizedek számát. Ehhez adja hozzá a maradékhoz a tizedesvesszőtől jobbra lévő gyök két számjegyét (ha nincsenek ott, adjon hozzá két nullát a maradékhoz), és folytassa a kivonást, ahogyan az egész szám gyökének kivonásakor történik. . A kapott számot a gyökérbe írjuk a tizedek helyére.

Ezután keresse meg a százados számot. Ehhez az imént eltávolítottaktól jobbra lévő két szám hozzáadódik a maradékhoz stb.

Így egy egész szám gyökének tizedes törttel történő kivonásakor a tizedesponttól kezdve balra (a szám egész részében) és jobbra (in a tört rész).

Példák.

1) Keressen 1/100 gyökérig: a) √2; b) √0,3;

Az utolsó példában a 3/7-es törtet tizedesjegyre alakítottuk át úgy, hogy 8 tizedesjegyet számítottunk ki, hogy megkapjuk a gyökér 4 tizedesjegyének megtalálásához szükséges 4 oldalt.

178. A négyzetgyöktáblázat leírása. A könyv végén egy négyzetgyöktáblázat található négy számjegyből. Ezzel a táblázattal gyorsan megtalálhatja a négynél nem több számjegyben kifejezett egész szám (vagy tizedes tört) négyzetgyökét. Mielőtt elmagyaráznánk ennek a táblázatnak a felépítését, megjegyezzük, hogy mindig megtalálhatjuk a kívánt gyök első jelentős számjegyét táblázatok segítsége nélkül, ha csak megnézzük a gyökszámot; Könnyen meghatározhatjuk azt is, hogy a gyökér első számjegye melyik tizedesjegyet jelenti, és ezért a gyökérben, amikor megtaláljuk a számjegyeit, vesszőt kell tennünk. Íme néhány példa:

1) √5"27,3 . Az első számjegy 2 lesz, mivel a gyökszám bal oldala 5; és 5 gyöke egyenlő 2-vel. Ezen túlmenően, mivel a gyök egész részében csak 2 lap van, akkor a kívánt gyök egész részében 2 számjegynek kell lennie, és ezért az első számjegyének 2-nek kell lennie. tízeseket jelent.

2) √9,041. Nyilvánvaló, hogy ebben a gyökérben az első számjegy 3 prímegység lesz.

3) √0,00"83"4. Az első jelentős számjegy a 9, mivel az a lap, amelyből a gyökéröt kell venni az első jelentős számjegyhez, a 83, a 83-nak pedig a gyöke 9. Mivel a szükséges szám nem tartalmaz sem egész számokat, sem tizedeket, a az első számjegy 9 századot kell jelentsen.

4) √0,73"85. Az első jelentős szám a 8 tized.

5) √0.00"00"35"7. Az első jelentős szám 5 ezrelék lesz.

Tegyünk még egy megjegyzést. Tételezzük fel, hogy ki kell húznunk egy olyan szám gyökét, amelyet a benne foglalt szó elvetése után a következő számsorok képviselnek: 5681. Ez a gyök a következők egyike lehet:

Ha vesszük azokat a gyököket, amelyeket egy sorral aláhúzunk, akkor mindegyik ugyanazzal a számsorral lesz kifejezve, pontosan azokkal a számokkal, amelyeket az 5681-es gyökér kinyerésekor kapunk (ezek a 7, 5, 3, 7 számok lesznek ). Ennek az az oka, hogy az oldalak, amelyekre a gyök számjegyeinek megkeresésekor fel kell osztani a gyökszámot, ezekben a példákban ugyanazok lesznek, ezért minden gyökér számjegyei azonosak lesznek (csak a tizedes helye pont természetesen más lesz). Ugyanígy az általunk két sorral aláhúzott gyökökben ugyanazokat a számokat kell kapni, pontosan azokat, amelyekkel a √568.1 kifejezést használjuk (ezek a számok 2, 3, 8, 3 lesznek), és ugyanerre ok. Így az azonos 5681-es számsor által ábrázolt számok gyökeinek számjegyei (a vessző eldobásával) kettős (és csak kettős) típusúak lesznek: vagy ez a 7., 5., 3., 7. sor, vagy a 2., 3., 8., 3. sor. Ugyanez természetesen elmondható bármely más számsorról is. Ezért, amint azt most látni fogjuk, a táblázatban a gyökszám minden egyes sora a gyökér 2 számjegysorának felel meg.

Most elmagyarázhatjuk a táblázat felépítését és használatát. Az érthetőség kedvéért itt mutattuk meg a táblázat első oldalának elejét.

Ez a táblázat több oldalon található. Mindegyiken a bal oldali első oszlopban a 10, 11, 12... (99-ig) számok találhatók. Ezek a számok annak a számnak az első 2 számjegyét fejezik ki, amelyből a négyzetgyököt kell keresni. A felső vízszintes sorban (és az alsóban is) a számok: 0, 1, 2, 3... 9, amelyek ennek a számnak a 3. számjegyét jelentik, majd jobbra az 1, 2 számok, 3. . . 9, amely ennek a számnak a 4. számjegye. Az összes többi vízszintes vonal két négyjegyű számot tartalmaz, amelyek a megfelelő számok négyzetgyökét fejezik ki.

Tegyük fel, hogy meg kell találnia egy szám négyzetgyökét, akár egész számot, akár tizedes törtként kifejezve. Először is, táblázatok segítsége nélkül megtaláljuk a gyökér első számjegyét és annak számjegyét. Ezután eldobjuk a vesszőt ebben a számban, ha van ilyen. Először tegyük fel, hogy a vessző elvetése után például csak 3 számjegy marad meg. 114. A táblázatokban a bal szélső oszlopban megtaláljuk az első 2 számjegyet, azaz a 11-et, és onnan haladunk a vízszintes vonal mentén jobbra, amíg el nem érjük a függőleges oszlopot, melynek tetején (és alján) a 3. számjegy található. számból , azaz 4. Ezen a helyen két négyjegyű számot találunk: 1068-at és 3376-ot. Hogy a két szám közül melyiket kell venni, és hova kell tenni a vesszőt, ezt a gyökér első számjegye, ill. számjegye, amelyet korábban találtunk. Tehát ha √0,11"4-et kell találnunk, akkor a gyökér első számjegye 3 tized, ezért a gyökérnek 0,3376-ot kell venni. Ha √1,14-et kell találnunk, akkor a gyökér első számjegye 1, és mi Akkor 1,068-at vennénk.

Így könnyen megtalálhatjuk:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 stb.

Tegyük fel most, hogy meg kell találnunk egy (a tizedesvessző eldobásával) négy számjegyből álló szám gyökerét, például √7"45.6. Figyelembe véve, hogy a gyökér első számjegye 2 tízes, azt találjuk, hogy a 745-ös szám, amint azt most elmagyaráztuk, a 2729-es számjegyek (ezt a számot csak az ujjunkkal vesszük észre, de nem írjuk le.) Ezután ettől a számtól haladunk tovább jobbra a táblázat jobb oldalára (mögé). az utolsó félkövér sor) találkozunk a felül (és alul) jelölt függőleges oszloppal 4 az adott szám edik számjegyével, azaz a 6-os számmal, és ott keressük meg az 1-es számot. Ez egy korrekció lesz (gondolatban) a korábban talált 2729-es számra, így 2730-at kapunk. Ezt a számot felírjuk és vesszőt teszünk a megfelelő helyre: 27.30.

Ilyen módon találjuk például:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 stb.

Ha a gyökszámot csak egy vagy két számjegy fejezi ki, akkor feltételezhetjük, hogy ezeket a számjegyeket egy vagy két nulla követi, majd a háromjegyű számnál leírtak szerint járjunk el. Például √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 stb.

Végül, ha a gyökszám 4-nél több számjegyből áll, akkor ezek közül csak az első 4-et vesszük, a többit eldobjuk, és a hiba csökkentése érdekében, ha az elvetett számjegyek közül az első 5 vagy 5-nél nagyobb, akkor l-vel növeljük a megtartott számjegyek negyedikét. Így:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; stb.

Megjegyzés. A táblázatok a hozzávetőleges négyzetgyököt jelzik, hol hiányossággal, hol felesleggel, mégpedig azt, amelyik közelebb áll a pontos gyökérhez.

179. Négyzetgyök kinyerése közönséges törtekből. Egy irreducibilis tört pontos négyzetgyöke csak akkor nyerhető ki, ha a tört mindkét tagja pontos négyzet. Ebben az esetben elegendő a számláló és a nevező gyökerét külön kivonni, például:

A közönséges tört közelítő négyzetgyökének meghatározásának legegyszerűbb módja bizonyos tizedes pontossággal, ha először a közönséges törtet tizedesvesszővé alakítjuk, és ebben a törtben kiszámítjuk a tizedespont utáni tizedesjegyek számát, amely kétszerese a tizedesjegyek számának. a kívánt gyökérben.

Ezt azonban másként is megteheti. Magyarázzuk meg ezt a következő példával:

Találja meg a hozzávetőleges √ 5/24-et

Tegyük a nevezőt pontos négyzetté. Ehhez elegendő lenne a tört mindkét tagját megszorozni a 24 nevezővel; de ebben a példában másként is megteheti. Bontsuk fel a 24-et prímtényezőkre: 24 = 2 2 2 3. Ebből a dekompozícióból jól látható, hogy ha 24-et megszorozzuk 2-vel és még egy 3-mal, akkor a szorzatban minden egyszerű tényező páros számú alkalommal ismétlődik, és ezért , a nevezőből négyzet lesz:

Marad a √30 bizonyos pontosságú kiszámítása, és az eredmény elosztása 12-vel. Figyelembe kell venni, hogy a 12-vel való osztással a pontossági fokot jelző tört is csökken. Tehát, ha 1/10-es pontossággal megtaláljuk a √30-at, és az eredményt elosztjuk 12-vel, akkor az 5/24 tört hozzávetőleges gyökerét kapjuk 1/120 pontossággal (azaz 54/120 és 55/120).

Harmadik fejezet.

Egy függvény grafikonjax = √y .

180. Inverz függvény. Adjunk meg valamilyen egyenletet, amely meghatározza nál nél függvényében x például így: y = x 2 . Elmondhatjuk, hogy nem csak nál nél függvényében x , hanem fordítva, meghatározza x függvényében nál nél , bár implicit módon. Ahhoz, hogy ez a függvény explicit legyen, meg kell oldanunk ezt az egyenletet x , figyelembe nál nél ismert számra; Tehát az általunk felvett egyenletből a következőket kapjuk: y = x 2 .

Az y-t x függvényeként definiáló egyenlet megoldása után x-re kapott algebrai kifejezést az y-t definiáló inverz függvényének nevezzük.

Tehát a funkció x = √y inverz függvény y = x 2 . Ha szokás szerint a független változót jelöljük x és az eltartott nál nél , akkor a most kapott inverz függvény a következőképpen fejezhető ki: y = √x . Tehát ahhoz, hogy egy adott (közvetlen) függvényt inverz módon kapjunk, az adott függvényt definiáló egyenletből kell származtatni x attól függően, hogy y és a kapott kifejezésben cserélje ki y tovább x , A x tovább y .

181. Függvény grafikonja y = √x . Ez a funkció negatív érték esetén nem lehetséges x , de bármilyen pozitív értékre kiszámítható (bármilyen pontossággal). x , és minden ilyen értékhez a függvény két különböző értéket kap azonos abszolút értékkel, de ellentétes előjellel. Ha ismerős √ Ha csak a négyzetgyök számtani értékét jelöljük, akkor a függvény két értéke a következőképpen fejezhető ki: y = ± √x A függvény grafikonjának ábrázolásához először össze kell állítania egy táblázatot az értékeiről. A táblázat létrehozásának legegyszerűbb módja a közvetlen függvényértékek táblázatából:

y = x 2 .

x

y

ha az értékek nál nél vegyük értéknek x , és fordítva:

y = ± √x

Ezeket az értékeket a rajzon ábrázolva a következő grafikont kapjuk.

Ugyanezen a rajzon ábrázoltuk (szaggatott vonallal) a közvetlen függvény grafikonját y = x 2 . Hasonlítsuk össze ezt a két grafikont egymással.

182. Közvetlen és inverz függvények gráfjainak kapcsolata. Az inverz függvény értéktáblázatának összeállítása y = ± √x vettünk érte x azokat a számokat, amelyek a direkt függvény táblázatában szerepelnek y = x 2 számára értékként szolgált nál nél , és számára nál nél vette azokat a számokat; amelyek értékei ebben a táblázatban voltak x . Ebből következik, hogy mindkét gráf ugyanaz, csak a direkt függvény grafikonja helyezkedik el így a tengelyhez képest nál nél - hogyan helyezkedik el az inverz függvény grafikonja a tengelyhez képest x - ov. Ennek eredményeként, ha a rajzot egy egyenes köré hajlítjuk OA derékszöget felező xOy , így a rajznak a féltengelyt tartalmazó része OU , a tengelytengelyt tartalmazó részre esett Ó , Azt OU kompatibilis valamivel Ó , minden részleg OU egybeesik a felosztásokkal Ó , és parabolapontok y = x 2 igazodik a grafikon megfelelő pontjaihoz y = ± √x . Például pontok M És N , melynek ordinátája 4 és az abszciszák 2 És - 2 , egybeesik a pontokkal M" És N" , amelyre az abszcissza 4 és az ordinátákat 2 És - 2 . Ha ezek a pontok egybeesnek, ez azt jelenti, hogy az egyenesek MM" És NN" merőlegesen OAés ezt az egyenest oszd ketté. Ugyanez elmondható mindkét grafikon összes többi megfelelő pontjáról.

Így az inverz függvény grafikonjának meg kell egyeznie a közvetlen függvény grafikonjával, de ezek a gráfok eltérően helyezkednek el, mégpedig egymással szimmetrikusan a szögfelezőhöz képest xOy . Azt mondhatjuk, hogy az inverz függvény grafikonja a közvetlen függvény grafikonjának visszaverődése (mint egy tükörben) a szögfelezőhöz képest xOy .

A négyzetgyök kiszámítása (vagy kinyerése) többféleképpen is elvégezhető, de mindegyik nem túl egyszerű. Természetesen egyszerűbb a számológép használata. De ha ez nem lehetséges (vagy meg akarja érteni a négyzetgyök lényegét), akkor azt tudom tanácsolni, hogy kövesse az alábbi utat, az algoritmusa a következő:

Ha nincs ereje, kedve vagy türelme ilyen hosszadalmas számolásokhoz, akkor durva válogatáshoz folyamodhat, ennek az az előnye, hogy hihetetlenül gyors és kellő találékonysággal pontos. Példa:

Iskola koromban (60-as évek elején) megtanítottak minket, hogy vegyük fel tetszőleges szám négyzetgyökét. A technika egyszerű, külsőleg a hosszú osztáshoz hasonló, de itt bemutatásához fél óra időre és 4-5 ezer karakternyi szövegre lesz szükség. De miért van erre szükséged? Van telefonod vagy egyéb kütyüd, az nm-ben számológép. Bármely számítógépen van számológép. Én személy szerint jobban szeretem az ilyen típusú számításokat Excelben végezni.

Az iskolában gyakran meg kell találni a különböző számok négyzetgyökét. De ha megszoktuk, hogy ehhez folyamatosan számológépet használunk, akkor vizsgákon ez nem lesz lehetséges, ezért meg kell tanulnunk számológép segítsége nélkül keresni a gyökeret. És ez elvileg lehetséges.

Az algoritmus a következő:

Először nézze meg a szám utolsó számjegyét:

Például,

Most hozzávetőlegesen meg kell határoznunk a bal szélső csoport gyökerének értékét

Abban az esetben, ha egy számnak kettőnél több csoportja van, akkor meg kell találnia a gyökeret így:

De a következő számnak a legnagyobbnak kell lennie, ezt a következőképpen kell kiválasztania:

Most egy új A számot kell alkotnunk úgy, hogy hozzáadjuk a következő csoportot a fent kapott maradékhoz.

Példáinkban:

Az oszlop magasabb, és ha több mint tizenöt karakterre van szükség, akkor a számítógépek és a számológépes telefonok leggyakrabban pihennek. Még ellenőrizni kell, hogy a technika leírása 4-5 ezer karakterből áll-e.

Berm tetszőleges számot, a tizedesvesszőtől jobbra és balra számoljuk a számpárokat

Például: 1234567890.098765432100

A számjegypár olyan, mint egy kétjegyű szám. A kétjegyű gyöke egyjegyű. Kiválasztunk egy olyan számjegyet, amelynek négyzete kisebb, mint az első számjegypár. Esetünkben ez a 3.

Ugyanúgy, mint amikor oszloppal osztunk, ezt a négyzetet írjuk ki az első pár alá, és vonjuk ki az első párból. Az eredmény aláhúzott. 12 - 9 = 3. Adja hozzá a második számpárt ehhez a különbséghez (ez 334 lesz). A bermek számától balra a már megtalált eredményrész dupla értéke kiegészül egy számmal (van 2 * 6 = 6), így a nem kapott számmal megszorozva ne haladja meg a második számpárral rendelkező számot. Azt kapjuk, hogy a talált szám öt. Ismét megtaláljuk a különbséget (9), hozzáadjuk a következő számjegypárt, hogy 956-ot kapjunk, ismét kiírjuk az eredmény duplázott részét (70), ismét kiegészítjük a kívánt számjeggyel, és így tovább, amíg meg nem áll. Vagy a számítások szükséges pontosságára.

Először is, a négyzetgyök kiszámításához jól kell ismernie a szorzótáblát. A legegyszerűbb példák a 25 (5 x 5 = 25) és így tovább. Ha összetettebb számokat veszünk, akkor ezt a táblázatot használhatjuk, ahol a vízszintes vonal egységek, a függőleges vonal pedig tízes.



Van egy jó módszer egy szám gyökerének megkeresésére számológépek segítsége nélkül. Ehhez szüksége lesz egy vonalzóra és egy iránytűre. A lényeg az, hogy megtalálja a vonalzón azt az értéket, amely a gyökér alatt van. Például tegyünk egy jelet a 9 mellé. Az Ön feladata, hogy ezt a számot egyenlő számú szegmensre, azaz két, egyenként 4,5 cm-es sorra és egy páros szegmensre osszuk. Könnyű kitalálni, hogy a végén 3 darab 3 centiméteres szegmenst kap.

A módszer nem egyszerű és nem alkalmas nagy számokra, de számológép nélkül is kiszámolható.

Számológép segítsége nélkül a négyzetgyök kinyerésének módszerét a szovjet időkben az iskolában a 8. osztályban tanították.

Ehhez egy többjegyű számot jobbról balra 2 számjegyű élekre kell bontani :

A gyökér első számjegye a bal oldal teljes gyökere, ebben az esetben az 5.

31-ből kivonjuk az 5 négyzetét, 31-25 = 6, és a következő oldalt hozzáadjuk a hathoz, 678-at kapunk.

A következő x számjegyet a dupla ötösre illesztjük úgy, hogy

10x*x volt a maximum, de kevesebb, mint 678.

x=6, mivel 106*6=636,

Most kiszámoljuk a 678-636 = 42-t, és hozzáadjuk a következő 92-es élt, így 4292-t kapunk.

Ismét a maximális x-et keressük úgy, hogy 112x*x lt; 4292.

Válasz: a gyökér 563

Ezt az utat addig folytathatja, amíg szükséges.

Bizonyos esetekben megpróbálhatja a gyökszámot két vagy több négyzetes tényezőre bontani.

Hasznos megjegyezni a táblázatot (vagy legalábbis annak egy részét) - a természetes számok négyzeteit 10-től 99-ig.



Javasolok egy verziót, amelyet egy oszlop négyzetgyökének kinyerésére találtam ki. Eltér az általánosan ismerttől, kivéve a számok kiválasztását. De mint később megtudtam, ez a módszer már sok évvel a születésem előtt is létezett. A nagy Isaac Newton leírta az Általános aritmetika című könyvében, vagy egy aritmetikai szintézisről és elemzésről szóló könyvben. Tehát itt bemutatom elképzelésemet és indoklásomat a Newton-módszer algoritmusához. Nem kell memorizálni az algoritmust. Az ábrán látható diagramot szükség esetén egyszerűen használhatja vizuális segédeszközként.







A táblázatok segítségével nem lehet kiszámítani, hanem megtalálni a táblázatokban szereplő számok négyzetgyökét. Nem csak a négyzetgyököket, hanem más fokszámokat is a legegyszerűbben az egymást követő közelítések segítségével lehet kiszámítani. Például kiszámoljuk 10739 négyzetgyökét, az utolsó három számjegyet nullára cseréljük és kivonjuk 10000 gyökét, 100-at kapunk egy hátránnyal, így vesszük a 102-es számot, négyzetezzük, kapunk 10404-et, ami szintén kevesebb. az adottnál megint 103*103=10609-et veszünk hátránnyal, veszünk 103,5*103,5=10712,25, még többet veszünk 103,6*103,6=10732, veszünk 103,7*103,7=10753,69-et, ami már többlet. Az 10739 gyökerét körülbelül 103,6-nak tekintheti. Pontosabban 10739=103.629... . . Hasonlóképpen számítjuk ki a kockagyököt, először 10000-ből kapunk hozzávetőlegesen 25*25*25=15625-öt, ami többlet, 22*22*22=10,648-at veszünk, kicsit többet veszünk, mint 22,06*22,06*22,06=10735 , ami nagyon közel áll az adotthoz.