Matematika. Algebra. Geometria. Trigonometria

ALGEBRA: Számok

2.2. Egész számok és racionális számok. Érdeklődés

Közönséges törtek.

Közönséges tört

a formájú szám, ahol m és n természetes számok. Az m számot hívják a tört számlálója, n- névadó. Ha n = 1, akkor a tört alakja , de gyakrabban egyszerűen m-t írnak, azaz. Bármely természetes szám ábrázolható közös törtként 1-es nevezővel.

A tört úgynevezett helyes, ha a számlálója kisebb, mint a nevezője, és rossz ha a számlálója nagyobb vagy egyenlő a nevezővel. Minden helytelen tört ábrázolható egy természetes szám és egy megfelelő tört összegeként (vagy természetes számként, ha m többszöröse n-nek).

Szokás a természetes szám és a megfelelő tört összegét összeadásjel nélkül felírni, azaz írás helyett. Az ilyen formában írt számot hívják vegyes szám. Egy egész számból és egy tört részből áll.

Törtek egyenlősége. Frakciók csökkentése.

Két törtet számolunk egyenlő ha ad = ie. Az egyenlőség definíciójából az következik

= , mert . A tört fő tulajdonsága:Ha egy tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a természetes számmal, akkor az adott törtszámot kapjuk. A tört alapvető tulajdonságát felhasználva néha lehetséges egy adott tört helyettesítése egy másikkal, amelynek számlálója és nevezője kisebb, mint az adat. Ezt a helyettesítést hívják csökkentés törtek Ha a számláló és a nevező kölcsönösen prímszámok, akkor a redukció nem lehetséges, és egy ilyen tört ún. nem csökkenthető.

Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel.

Legyen két tört adott és

, . Ezeket a törteket helyettesítheti velük egyenértékű törtekkel, így a kapott törtek azonos nevezőkkel rendelkeznek. Ezt az átalakulást az ún törtek közös nevezőre hozása.Általában megpróbálják csökkenteni a törteket legalacsonyabb közös nevező, ami egyenlő N.O.K.().

1.Kiegészítés közönséges törtek a következőképpen történik:

A) ha a nevezők azonosak, akkor a számlálókat összeadjuk, és ugyanazt a nevezőt hagyjuk:;

2. Kivonás a közönséges frakciókat a következőképpen hajtjuk végre:

A) ha a nevezők azonosak, akkor

b) ha a törtek nevezői eltérőek, akkor a törteket először a legkisebb közös nevezőre redukáljuk, majd az a) szabályt alkalmazzuk.

3. Szorzása közönséges frakciókat a következőképpen hajtjuk végre:

4. A közönséges törtek felosztása a következőképpen történik:

.

Tizedesjegyek. Tizedes tört átalakítása közönséges törtté.

A tizedes tört egy másik formája egy nevezővel, például. Ha egy tört nevezőjét csak 2-vel és 5-tel vesszük figyelembe, akkor a tört tizedesjegyként írható fel; Ha a tört irreducibilis, és nevezőjének prímtényezőkre való felosztása más prímtényezőket is tartalmaz, akkor ez a tört nem írható tizedesként.

Tizedes törtben hozzáadhat és eldobhat nullákat a jobb oldalon - ezzel egyenlő törtet kap.

A végtelen számú tizedesjegyű törtet nevezzük végtelen tizedes tört.

10. tétel.

Bármely közönséges tört ábrázolható végtelen tizedes törtként.

Egy szám tizedesvesszője után szekvenciálisan ismétlődő számjegycsoportot (minimum) pontnak, a ponttal rendelkező végtelen tizedes törtet pedig periodikusnak nevezzük.

Adjuk meg periodikus tizedes törttel: , ahol - m-jegyű szám, akkor

, YU
YU - képlet a periodikus tizedes tört közönséges törtté alakítására.

Érdeklődés.

A tizedes törtek közül a leggyakrabban használt tört a 0,01, amelyet ún százalékés 1-gyel jelöljük

%. Tehát 1% = 0,01; 25% = 0,25; 450% = 4,5 stb.

PÉLDA Egy munkásnak műszakonként 60 alkatrészt kellett gyártania. A munkanap végén kiderült, hogy 125-öt teljesített

% feladatokat. Hány alkatrészt készített a munkás?

Megoldás: 1) 125

% = 1,25

2) 60H 1,25 = 75.

VÁLASZ: 75 rész.

Koordináta vonal.

Vegyünk egy l egyenest, jelöljünk ki rajta egy O pontot, amit origónak vesszük, állítsuk be az irányt és az egységszakaszt. Ebben az esetben azt mondják, hogy adott koordináta vonal. Minden természetes szám vagy tört az l egyenes egy pontjának felel meg. Ha egy l egyenes M pontja megfelel egy bizonyos r számnak, akkor ezt a számot hívjuk koordináta M pont, és M(r) jelöli. Az a és -a számokat hívják szemben. Meghívjuk azokat a számokat, amelyek egy adott irányban egy koordinátaegyenesen elhelyezkedő pontoknak felelnek meg pozitív; azokat a számokat hívjuk, amelyek egy adott koordinátaegyenesen elhelyezkedő pontoknak felelnek meg az adott egységgel ellentétes irányban negatív. A 0 szám nem tekinthető sem pozitívnak, sem negatívnak. A 0 számnak megfelelő O pont elválasztja a pozitív koordinátájú pontokat a negatív koordinátákkal rendelkező pontoktól a koordinátaegyenesen.

Egy adott koordinátaegyenes irányát hívjuk pozitív(általában jobbra megy), és az adott irány ellentétes negatív

.

Egész számok és racionális számok.

Az 1, 2, 3, ... természetes számokat pozitív egész számoknak is nevezik. A természetes számokkal szemben álló -1, -2, -3, ... számokat negatív egész számoknak nevezzük. A 0 szám is egész szám. Egész számok- természetes számok, ellentéteik és 0.

Egész számok és törtek (pozitív és negatív) alkotják a halmazt racionális számok.

Copyright © 2005-2013 Xenoid v2.0

Az oldal anyagainak felhasználása aktív link esetén lehetséges.

Átirat

2 FŐHULLÁM 2013 KÖZÉP URAL SZIBÉRIA KELET: törtek százalékok racionális számok Elmélet: Racionális számok halmaza 1 1 ~ HOD ge N Z Alaptulajdonság 0 0. Az arány két arány egyenlősége. Tulajdonság: következmények Az egyenesen arányos függőség sémája. Alaptulajdonságok 1. Sorrend: 0 ; 0 ; Kiegészítési művelet: ; HOK 3. Szorzás és osztás művelete: 4. Sorrendi reláció tranzitivitása: 5. Kommutativitás: 6. Aszociativitás: 7. Distributivitás: 8. Nulla jelenléte: Ellentétes számok jelenléte: Egyes jelenléte: Reciprok számok jelenléte: R R 12. Megrendelés kapcsolata az összeadási művelettel. Ugyanaz a racionális szám hozzáadható egy racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldalához. 2 B1

3 13. A sorrendi összefüggés kapcsolata a szorzási művelettel. A racionális egyenlőtlenség bal és jobb oldalát meg lehet szorozni ugyanazzal a pozitív racionális számmal. Bármi legyen is a racionális szám, annyi egységet vehet fel, hogy összegük meghaladja a. N k Az azonos előjelű racionális egyenlőtlenségeket tagonként hozzáadhatjuk. Bármely racionális tört átváltható a vele egyenértékű tizedes törtre, ha a számlálót elosztjuk a nevezővel. Előfordulhat, hogy 1 maradék egyenlő nullával, és a hányadost véges tizedes törtként fejezzük ki, például a 3:4 = nulla a maradékban soha nem fog működni, mivel a maradékok a végtelenségig ismétlődnek, és a hányados a következőképpen lesz kifejezve: végtelen periodikus tizedes tört. Például 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 = ? Érdeklődés. Egy szám századik részét százalékának nevezzük. Három százalékos feladattípus A 100% 1. Adott szám százalékos arányának meghatározása A p% x. x p% 100% Az „A” szám p%-ának megtalálásához meg kell találni az „A” A 1%-át: 100%, és meg kell szorozni p%-kal. 2. Szám keresése egy másik számból és annak értéke a kívánt szám százalékában. x 100% 100% x. p% p% Ahhoz, hogy egy adott „a” értékhez számot találjunk, annak p%-ához meg kell találni a kívánt szám 1%-át úgy, hogy az adott „a” értéket el kell osztani p%-kal, és az eredményt meg kell szorozni 100%-kal A 100% 3 A számok százalékos arányának meghatározása. 100% x% x% A Meg kell találnia az „a” és az „A” szám arányát, és meg kell szoroznia 100%-kal. 3

4 KÖZÉP 1. lehetőség;8. Egy tabletta tömege 70 mg, és a hatóanyag 4% -át tartalmazza. 6 hónaposnál fiatalabb és 8 kg testtömegű gyermeknek napi 105 mg hatóanyagot ír fel az orvos? 2. lehetőség. Egy tabletta a gyógyszer tömege 20 mg, és 5% hatóanyagot tartalmaz. Felír-e az orvos 04 mg hatóanyagot 6 hónaposnál fiatalabb gyermek számára, minden három hónapos és 5 kg súlyú gyermek után naponta? 3. lehetőség. A gyógyszer egy tabletta tömege 20 mg, és 5% hatóanyagot tartalmaz. 6 hónaposnál fiatalabb és 7 kg súlyú gyermeknek napi 1 mg hatóanyagot ír fel az orvos? 4. lehetőség;5. Egy tabletta tömege 20 mg, és a hatóanyag 9% -át tartalmazza. Felír-e az orvos 135 mg hatóanyagot 6 hónaposnál fiatalabb és 8 kg testtömegű, négy hónapos és 8 kg súlyú gyermekenként naponta? 6. lehetőség. Egy tabletta a gyógyszer tömege 30 mg, és 5% hatóanyagot tartalmaz. 6 hónaposnál fiatalabb, napi 8 kg testtömegű gyermeknek 5 hónaponként 075 mg hatóanyagot ír fel az orvos? 7. lehetőség. Egy tabletta tömege 40 mg, és 5% hatóanyagot tartalmaz. Felír-e az orvos 125 mg hatóanyagot 6 hónaposnál fiatalabb és 8 kg testtömegű, három hónapos és 8 kg súlyú gyermekenként naponta? Vegye figyelembe, hogy a nyolc lehetőség hat különböző számadatokkal, de azonos tartalommal rendelkező feladatból áll. A számításhoz szükséges információkat felírtuk a táblázatba: Egy tömeg százalékos tartalom Opciók Recept mg Gyermek súlya kg tabletta mg hatóanyag % 1 és és Az 1. lehetőség megoldása. Ötlet: A hatóanyag százalékos aránya egy tabletta ismert, ami azt jelenti, hogy megtalálja az anyag megfelelő mennyiségét mg-ban. A gyermek súlyának és a hatóanyag 1 kg-onkénti adagjának ismeretében megtalálhatja a hatóanyag napi adagját. Ekkor a tabletták száma a hatóanyag napi normájának hányadosa, osztva az egy tablettában lévő hatóanyag mennyiségével. Műveletek: 1. Határozza meg a hatóanyag mennyiségét egy tablettában. Állítsunk arányt: vegyük egy 70 mg-os tabletta tömegét 100%-nak, és ennek a tömegnek a 4%-a lesz x mg egy tablettában lévő hatóanyag mennyisége. Írjuk fel sematikusan ezt az arányt. Innen megtaláljuk az arány ismeretlen tagját. Ehhez meg kell szorozni x 4%-kal az egyik átló ismert tagját, és el kell osztani a másik átló ismert tagjával: 70 4% x 28 mg. 100% 4

5 2. Határozza meg az orvos által felírt hatóanyag mennyiségét a vény szerint, a gyermek súlyának figyelembevételével! Az anyag adagját meg kell szorozni a gyermek súlyával: mg. Ez azt jelenti, hogy a gyermeknek napi 84 mg hatóanyagot kell bevennie. Határozza meg a 84 mg hatóanyagot tartalmazó tabletták számát. 3 lap. 28 Válasz 3. A többi lehetőséget is hasonlóan oldják meg. URALBAN 1. lehetőség;5. A lakásban, ahol Anastasia él, hidegvízmérő van felszerelve. Szeptember 1-jén 122 köbméter, október 1-jén 142 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Mennyit kell Anasztáziának fizetnie a hideg vízért szeptemberben, ha 1 köbméter hideg víz ára 9 rubel 90 kopekka? Válaszát rubelben adja meg. 2. lehetőség. Abban a lakásban, ahol Maxim él, hidegvízmérő van felszerelve. Február 1-jén 129, március 1-jén 140 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Mekkora összeget kell fizetnie a Maximnak a hideg vízért februárban, ha 1 köbméter hideg víz ára 10 rubel? Válaszát rubelben adja meg. 3. lehetőség. Abban a lakásban, ahol Alexey él, hidegvízmérő van felszerelve. Június 1-jén 151 köbméter, július 1-jén 165 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Milyen összeget kell fizetnie Alekszejnek a hideg vízért márciusban, ha 1 köbméter hideg víz ára 20 rubel? Válaszát rubelben adja meg. 4. lehetőség. A lakásban, ahol Asya él, melegvízmérő van felszerelve. Május 1-jén 84 köbméter, június 1-jén 965 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Mekkora összeget kell fizetnie Anastasiának a meleg vízért januárban, ha 1 köbméter meleg víz ára 72 rubel 60 kopekka? Válaszát rubelben adja meg. 6. lehetőség;8. A lakásban, ahol Anfisa lakik, melegvízmérő van felszerelve. Szeptember 1-jén 239 köbméter, október 1-jén 349 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Mennyit kell az Anfisának fizetnie a meleg vízért szeptemberben, ha 1 köbméter melegvíz ára 78 rubel 60 kopekka? Válaszát rubelben adja meg. Lehetőség 7. Abban a lakásban, ahol Alla lakik, melegvízmérő van felszerelve. Július 1-jén 772 köbméter, augusztus 1-jén 797 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Milyen összeget kell fizetnie a meleg vízért júliusban, ha 1 köbméter meleg víz ára 144 rubel? Válaszát rubelben adja meg. Az URAL régió megoldotta a vízfogyasztás mérővel történő fizetésének problémáját. Az opciók kiszámításához szükséges számszerű adatokat bevittük a táblázatba: Vari Mérőállások az elején Mérőállások az elején Ár 1 köbméter a naptári hónap előzménye Köbméter a következő naptári hónap köbméter köbméter 1 és rubel 90 kopekka rubel 60 kopejka rubel 80 kopejka rubel 60 kopekka 6 és rubel 60 kopekka rubel 80 kopekka Az 1. lehetőség megoldása. Ötlet: A mérőállások a naptári hónap elején köbméterben és a következő naptári hónap elején köbméterben ismertek. Ez azt jelenti, hogy megtudhatja a havi fizetendő vízfogyasztást. Az elfogyasztott víz köbméterének és egy köbméter víz árának ismeretében meg lehet találni, hogy mennyit kell fizetni ezért a vízért. 5

6 Műveletek: A havi vízfogyasztás meghatározása Határozza meg a havi elfogyasztott vízért fizetendő összeget p Válasz 198. A fennmaradó lehetőségeket ugyanígy oldjuk meg. SZIBÉRIÁBA 1. lehetőség. 1 kilowattóra áram 1 rubel 40 kopejkába kerül. A villanyóra június 1-jén mutatott kilowattórát, július 1-jén pedig kilowattórát mutatott. Mennyit kell fizetni a villanyért júniusban? Válaszát rubelben adja meg. 2. lehetőség. 1 kilowattóra villamos energia 1 rubel 20 kopekkába kerül. A villanyóra november 1-jén 669, december 1-jén 846 kilowattórát mutatott. Mennyit kell fizetnem a villanyért novemberben? Válaszát rubelben adja meg. 3. lehetőség. 1 kilowattóra áram 2 rubel 40 kopecks. A villanyóra október 1-jén kilowattórát, november 1-jén pedig kilowattórát mutatott. Mennyit kell fizetni az áramért októberben? Válaszát rubelben adja meg. 4. lehetőség;5. 1 kilowattóra elektromos áram 2 rubel 50 kopecka. A villanyóra január 1-jén kilowattórát, február 1-jén pedig kilowattórát mutatott. Mennyit kell fizetni a villanyért januárban? Válaszát rubelben adja meg. 6. lehetőség. 1 kilowattóra elektromos áram 1 rubel 30 kopekkába kerül. A villanyóra szeptember 1-jén mutatott kilowattórát, október 1-jén pedig kilowattórát mutatott. Mennyit kell fizetnem a villanyért szeptemberben? Válaszát rubelben adja meg. 7. lehetőség;8. 1 kilowattóra villamos energia 1 rubel 70 kopejkába kerül. Április 1-jén kilowattórát, május 1-jén pedig kilowattórát mutatott a villanyóra. Mennyit kell fizetni az áramért áprilisban? Válaszát rubelben adja meg. A SZIBÉRIA régió megoldotta az áramfogyasztás méterenkénti fizetésének problémáját. A táblázatba bevittük az opciók szerinti számításhoz szükséges numerikus adatokat: Opciók Mérők állása a naptári hónap elején kWh Mérőállás a következő naptári hónap elején kWh 1 kilowattóra költsége rubel 40 kopekka rubel 20 kopekka rubel 40 kopejka 4 és rubel 50 kopejka rubel 30 7 kopejka és 70 kopejka rubel Az 1. lehetőség megoldása. Ötlet: Ismertek a kilowattóra naptári hónap eleji és a következő kilowattóra naptári hónap eleji mérőállások. Ez azt jelenti, hogy megtudhatja a havi fizetendő áramfogyasztást. Az elfogyasztott villamos energia kilowattóráinak számának és egy kilowattóra árának ismeretében megtudhatja, mennyit kell ezért az áramért fizetni. Műveletek: Határozza meg a havi villamosenergia-fogyasztást. Határozza meg a havi elfogyasztott áramért fizetendő összeget. 6

7 p Válasz A többi opciót hasonlóan oldjuk meg. KELETRE Opció1;5;8. A lakásban, ahol Ekaterina él, hidegvízmérő van felszerelve. Szeptember 1-jén 189 köbméter, október 1-jén 204 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Mekkora összeget kell Jekatyerinának fizetnie a hideg vízért szeptemberben, ha 1 köbméter hideg víz ára 16 rubel 90 kopekka? Válaszát rubelben adja meg. 2. lehetőség. Abban a lakásban, ahol Valerij él, hidegvízmérő van felszerelve. Március 1-jén 182, április 1-jén 192 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Mennyit kell Valerijnak fizetnie a hideg vízért márciusban, ha 1 köbméter hideg víz ára 23 rubel? Válaszát rubelben adja meg. 3. lehetőség. A lakásban, ahol Marina él, hidegvízmérő van felszerelve. Július 1-jén 120 köbméter, augusztus 1-jén 131 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Milyen összeget kell fizetnie Marinának a hideg vízért júliusban, ha 1 köbméter hideg víz ára 20 rubel 60 kopejka? Válaszát rubelben adja meg. 4. lehetőség. A lakásban, ahol Egor él, melegvízmérő van felszerelve. November 1-jén 879 köbméter, december 1-jén 969 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Mekkora összeget kell fizetnie Jegornak a meleg vízért novemberben, ha 1 köbméter melegvíz ára 108 rubel? Válaszát rubelben adja meg. 6. lehetőség. A lakásban, ahol Mikhail él, melegvízmérő van felszerelve. Március 1-jén 708, április 1-jén 828 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Milyen összeget kell fizetnie Mikhailnak a meleg vízért márciusban, ha 1 köbméter meleg víz ára 72 rubel? Válaszát rubelben adja meg. 7. lehetőség. Abban a lakásban, ahol Anastasia él, melegvízmérő van felszerelve. Január 1-jén 894 köbméter, február 1-jén 919 köbméter vízfogyasztást mutatott a mérő. Mennyit kell Anasztáziának fizetnie a meleg vízért januárban, ha 1 köbméter meleg víz ára 103 rubel? Válaszát rubelben adja meg. A VOSTOK régió feladatai számszerű adatkülönbséggel egybeestek az URAL régió feladataival. Opciók Mérőállások naptári hónap elején, köbméter Mérőállások a következő naptári hónap elején, köbméter Ár 1 köbméter 1 és 5 és rubel 90 kopecs rubel 10 kopecks rubel 60 kopecks rubel 20 kopecks rubel 20 kopecks rubel 60 kopejka Ezért a megoldás ötlete és a cselekvések hasonlóak lesznek az URAL régióban korábban tárgyaltakhoz. BAN BEN

Szakasz műveletek törtekkel Szakasz Tizedes tört átalakítása közönséges törtté és fordítva Szakasz százalékok (szám százaléka, számok százaléka, százalékos változás) Szakasz Betétek, egyszerű és összetett

Teszt a „GCD és NOC” témában Vezetéknév, Keresztnév. A természetes számokat viszonylag prímnek nevezzük, ha: a) kettőnél több osztójuk van; b) gcd-jük egyenlő; c) egy osztójuk van.. A számok legnagyobb közös osztója a

Kérdések a matematikai tudáspróbához. 5-6 évfolyam. 1. Természetes, egész, racionális számok meghatározása. 2. 10-zel, 5-tel, 2-vel osztható tesztek. 3. 9-cel, 3-mal oszthatóság tesztjei. 4. Alaptulajdonság

Tantárgy. A számfogalom fejlesztése. Aritmetikai műveletek közönséges törtekkel. Kiegészítés. Az azonos nevezőjű törtek összege olyan tört, amelynek azonos a nevezője, és a számláló egyenlő az összeggel

4 Ellenőrző kérdések I. Természetes számok. Természetes sorozatok.. Számok és számok. Tizedes számrendszer. 3. Rangsor és osztályok. Egy szám ábrázolása számjegyek összegeként. 4. A természetes összehasonlítása

Lineáris egyenletek egy változóval Bevezetés Nyikita Sarukhanov 7. osztály Az algebra különböző feladatok egyenletekkel történő megoldása kapcsán merült fel. A problémákhoz általában egy vagy több megtalálása szükséges

1. Szám százalékának megkeresése Segítség B1 Százalék 1% valaminek századrésze, azaz 1% = 0,01 =. Ennek megfelelően 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =. Keressük például a 25%-ot

Matematika 6. osztály Téma. A számok oszthatósága. Alapfogalmak. Az a természetes szám osztója olyan természetes szám, amellyel a-t maradék nélkül osztjuk. Például, ; 2; 5; A 0 a 0 osztói. A 3 osztója

TARTALOM BEVEZETÉS... 4 ALGEBRA... 5 Számok, gyökök és hatványok... 5 A trigonometria alapjai... 20 Logaritmus... 0 Kifejezések konvertálása... 5 EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK... 57 Egyenletek... 57 Egyenlőtlenségek ...91

Az uráli szövetségi körzet XI. Nemzetközi Alaptudományi Olimpiája Tanárok Háza Második szakasz. Major League. A tantárgyi projekt tudományos témavezetője: Elena Lvovna Grivkova, felsőfokú matematika tanár

Válaszok matematika vizsgafeladatokra 6. osztály DPR >>> Válaszok matematika vizsgafeladatokra 6. osztály DPR Válaszok matematika vizsgafeladatokra 6. osztály DPR Összeadás kivonás vegyesen

Útmutató „Matematika 5. osztály” Természetes számok A számolás során használt számokat természetes számoknak nevezzük. A latin Ν betűvel vannak jelölve. A 0 nem természetes szám! Rögzítési módszer

MATEMATIKA. MINDENT A TANÁRNAK! Tizedes törtek és rajtuk végzett műveletek DIDAKTIKAI ÉS ICES KÖNYVTÁR BLIO IOTE Oktatási anyagokat kínálunk a „Tizedes törtek” témában: kártyák egyének számára

Algoritmus egy algebrai tört elfogadható értéktartományának megtalálására. Példa. Keresse meg az elfogadható értékek tartományát: x 25 (x 5) (2x+4). 1. Írja ki az algebrai tört nevezőjét! 2. Tegye egyenlővé a kiírt

3. téma „Kapcsolatok. Arányok. Százalék" Két szám aránya annak a hányadosa, hogy az egyiket elosztjuk a másikkal. Az arány azt mutatja, hogy az első szám hányszor nagyobb, mint a második, vagy az első szám melyik része

Számok keresése 1. példa Három tört számlálói arányosak az 1, 2, 5 számokkal, a nevezők pedig az 1, 3, 7 számokkal. A számtani törtek átlaga egyenlő. Keresse meg ezeket a törteket. Megoldás. Feltétel szerint

1. negyed Mely számok természetes számok? Hogyan kell egy számot olvasni? Hogyan írjunk számot számjegyekkel? Egységek közötti kapcsolatok Hogyan rajzoljunk koordináta sugarat és jelöljünk ki pontokat ezen a sugáron? Számképletek, amelyek

Óraszám Óra témája NAPTÁR - TEMATIKUS TERVEZÉS 6. évfolyam Óraszám 1. fejezet Közönséges törtek. 1. Számok oszthatósága 24 óra 1-3 Osztók és többszörösek 3 Osztó, többszörös, a természetes legkisebb többszöröse

Tantárgy. A számfogalom kialakítása Kivonat: A tankönyv az ODP.0 Matematika általános műveltségi tudományág Munkaprogramja szerint készült. Az oktatóanyag tartalma: elméleti

„Egyetértés” „Jóváhagyva” Vízgazdálkodási igazgatóhelyettes A városi iskola igazgatója 6. osztály Naptári-tematikus tervezés matematikából (levelező tagozat) 2018-2019 tanév Tankönyv: Vilenkin N.Ya., Zhokhov

Tört-racionális kifejezések A változókkal rendelkező kifejezéssel való osztást tartalmazó kifejezéseket tört (tört-racionális) kifejezéseknek nevezzük a változók egyes értékeinek törtkifejezéseinek

1. téma „Numerikus kifejezések. Eljárás. A számok összehasonlítása." A numerikus kifejezés egy vagy több numerikus mennyiség (szám), amelyeket aritmetikai műveletek előjelei kapcsolnak össze: összeadás,

Naptári és tematikus tervezés matematika 6. évfolyam (heti 5 óra, összesen 170 óra) óra 1-3. óra témája Azonos nevezőjű törtek összeadása és kivonása, tizedesjegyek összeadása és kivonása

1. fejezet Az algebra numerikus halmazainak alapjai Nézzük meg az alapvető numerikus halmazokat. Az N természetes számok halmaza 1, 2, 3 stb. alakú számokat tartalmaz, amelyek az objektumok megszámlálására szolgálnak. Egy csomó

RACIONÁLIS SZÁMOK Közönséges törtek Meghatározás A forma törteit közönséges törteknek nevezzük. Közönséges törtek, szabályos és helytelen Meghatározás Tört, megfelelő, ha< при, где Z, N Z, N Z,

1 IRRACIÓS ÉS VALÓS SZÁMOK Irracionális számok Az egységnégyzet átlójának hosszának mérésére a legegyszerűbb példa azt mutatja, hogy a racionális szám négyzetgyökének kinyerésének művelete

26. Egész feladatok. Határozzuk meg az (1 8) számok legnagyobb közös osztóját: 1. 247 és 221. 2. 437 és 323. 3. 357 és 391. 4. 253 és 319. 5. 42 4 és 54 3. 6 78 4 és 65 2. 7. 77 3 és 242 2. 8. 51 3 és 119 2. 9. Összeg.

Tartalom: 1. Természetes számok összeadása és kivonása. Természetes számok összehasonlítása. 2. Numerikus és alfabetikus kifejezések. Az egyenlet. 3. Természetes számok szorzása. 4. Természetes számok osztása

6. ELŐADÁS LINEÁRIS KOMBINÁCIÓK ÉS LINEÁRIS FÜGGÉSSÉG FŐ LEMMÁJA A LINEÁRIS FÜGGETŐSÉGRŐL A VEKTORRENDSZER LINEÁRIS TERÉNEK ALAPJA ÉS DIMENZIÓJA 1. LINEÁRIS KOMBINÁCIÓK ÉS LINEÁRIS FÜGGÉSSÉG

A tört fő tulajdonsága SZABÁLYOK MINTA FELADATOK A tört redukálása új nevezőre: 1) Szorozzuk (vagy osszuk el) a tört nevezőjét a számmal. 2) Szorozzuk (vagy osszuk el) a tört számlálóját ugyanazzal a számmal.

I. opció 8B osztály, 007. október 4. 1. Szúrja be a hiányzó szavakat: 1. definíció Az a számtani négyzetgyökét, amelynek a szám egyenlő a-val, az a (a 0) számból a következőképpen jelöljük: kifejezéssel A keresés művelete

Kérdés: Milyen számokat nevezünk természetes számoknak? Válasz A természetes számok olyan számok, amelyeket számláláshoz használnak. Mik az osztályok és a rangok a számok jelölésében? Hogyan hívják a számokat összeadáskor? Fogalmazzon mássalhangzót

Felkészítő tagozat külföldi hallgatóinak SZERZŐ: Starovoitova Natalya Aleksandrovna Egyetemi Előkészítő Tanszék és Pályaorientációs Tanszék 1 2 3 8 4 Számok; ; ; ; 2 3 7 5 4 - közönséges törtek.

ARITMETIKA Műveletek természetes számokkal és közönséges törtekkel. Eljárás) Ha nincs zárójel, akkor először a th hatvány műveleteit hajtjuk végre (természetes hatványra emelés), majd a th hatványt (szorzás)

TARTALOM Matematikai jelek... 3 Számok összehasonlítása... 4 Összeadás... 5 Összeadás összetevőinek kapcsolata... 5 Összeadás kommutatív törvénye... 6 Összeadás kombináló törvénye... 6 Eljárás...

REFERENCIA ANYAG A 6. ÉVFOLYAM MATEMATIKA FORDÍTÁSI VIZSGA ELMÉLETI KÉRDÉSÉNEK VÁLASZÁNAK ELŐKÉSZÜLÉSÉHEZ (a referenciaanyagban az internetes forrásokra mutató hiperhivatkozások kék színnel vannak kiemelve) JEGY

Tipikus változat „Komplex számok Polinomok és racionális törtek” Feladat Adott két komplex szám és cos sn Keresse meg és írja le az eredményt algebrai alakban írja az eredményt trigonometrikus formában

Fejezet BEVEZETÉS AZ ALGEBRÁBAN.. SZÁRMŰ SZÁM... Babilóniai probléma két szám megtalálásának összegéből és szorzatából. Az algebra egyik legrégebbi problémáját Babilonban javasolták, ahol széles körben elterjedt

1. témakör. Számlálás iránya Problémamegoldás elemzése témakörök szerint 1. fejezet „Negatív számok” A témakör feladatai gyakorlati jellegűek, fontosak a „+” jelek használatának megértéséhez és a készségek fejlesztéséhez

HOZZÁADÁS Ha egy számhoz 1-et adunk, az azt jelenti, hogy az adott számot követjük: 4+1=5, 1+1=14 stb. Az 5-ös számok összeadása azt jelenti, hogy háromszor hozzáadunk egyet 5-höz: 5+1+1+1=5+=8. KIVONÁS 1-et kivonunk egy számból azt jelenti

2. Általános lineáris és euklideszi terek Azt mondják, hogy az X halmaz egy lineáris tér a valós számok mezeje felett, vagy egyszerűen egy valós lineáris tér, ha van olyan elem.

ELŐADÁS A mátrix fogalma és tulajdonságai Műveletek mátrixokon A mátrix fogalma A sorrendi (dimenziós) mátrix egy téglalap alakú, számokból vagy betűkifejezésekből álló táblázat, amely oszlopokat tartalmaz: () i sorok

Aritmetika - osztály VÁLASZOK: Téma Tizedes törtek szorzása és osztása),) 00.0 Téma Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása)) Téma Közönséges törtek felosztása))) és Témaarányok) Téma

3 Kedves Olvasó! A kezedben van egy modern kézikönyv, amely támogatni fogja az 5-11. osztályos tanulást, segít a vizsgákra való felkészülésben, és lehetőséget ad arra, hogy könnyen bekerülj az egyetemre. A könyvtárban

Óra Az óra témája Megjegyzés Számok oszthatósága 16 óra 1 Természetes számok oszthatósága 2 Osztók és szorzók 3 Számok osztói 4 Többszörösek 5 10-el oszthatóság próbája 6 5-tel, 2-vel oszthatóság próbája 7 Teszt

Téma 1. Készletek. N, Z, Q, R numerikus halmazok 1. Halmazok. Műveletek a készleteken. 2. A természetes számok halmaza N. 3. Az egész számok halmaza Z. Egész számok oszthatósága. Az oszthatóság jelei. 4. Racionális

Moszkva: AST Kiadó: Astrel, 2016. 284., p. (Általános Oktatási Akadémia). 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 Tartalom Kedves felnőttek!... 6 szám

Dimitrij Gushchin elemi matematika honlapja wwwthetspru Gushchin D D REFERENCIA ANYAGOK AZ egységes matematika államvizsgára való felkészüléshez B7 FELADATOK: SZÁMÍTÁSOK ÉS ÁTALAKÍTÁSOK Tesztelt tartalmi elemek és típusok

Tartalom Egyenlet.............................. Egész kifejezések.. .... ................................... Hatványos kifejezések............ ... .............. 3 Monomiális........................................................ ....

V. V. Rasin VALÓDI SZÁMOK Jekatyerinburg 2005 Szövetségi Oktatási Ügynökség Urál Állami Egyetem névadója. A. M. Gorkij V. V. Racine VALÓS SZÁMOK Jekatyerinburg 2005 UDC 517.13(075.3)

Egyenletek Az algebrában kétféle egyenlőséget veszünk figyelembe: azonosságokat és egyenleteket

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Gyűjtemény számára

FELKÉSZÜLÉS AZ OGE-RA Útmutató anyagok 9. osztályos tanulóknak Algebra Természetes számok és műveletek rajtuk A természetes szám fogalma a matematika legegyszerűbb, elsődleges fogalmaira utal, és nincs meghatározva.

Tekintsük az SLE megoldásának első módszerét a Cramer-szabály segítségével három egyenletrendszerre három ismeretlennel: A választ a Cramer-képletekkel számítjuk ki: D, D1, D2, D3 determinánsok A harmadik determinánsa

Egyenletrendszerek Legyen két egyenlet két ismeretlennel f(x, y)=0 és g(x, y)=0, ahol f(x, y), g(x, y) néhány x és változójú kifejezés. y. Ha a feladat az összes általános megoldás megtalálása az adatokra

Matematika óra. Tanárnő Demidova Elena Nikolaevna negyed..SZÁMOK oszthatósága Osztók és szorzók. A 0-val való oszthatóság jelei stb. 9-cel és 9-cel oszthatósági tesztek. Prím- és összetett számok. Felbontás prímszámokra

6. évfolyam (Federal State Educational Standards LLC) óra Főtípus Oktatási tevékenység tartalma (szakasz, témakörök) 5. osztályos matematika tanfolyam ismétlése (óra) Óraszám Tankönyvi anyag Javítás A matematika tantárgy ismétlése.

Osztály. Tetszőleges valós kitevővel rendelkező hatvány, tulajdonságai. Hatványfüggvény, tulajdonságai, grafikonjai.. Idézzük fel a hatvány tulajdonságait racionális kitevővel. a a a a a természetes időkre

2. előadás Lineáris egyenletrendszerek megoldása. 1. 3 lineáris egyenletrendszer megoldása Cramer módszerrel. Meghatározás. A 3 lineáris egyenletrendszer egy olyan rendszer, amelynek formájú Ebben a rendszerben a szükséges mennyiségek a

16. lecke Kapcsolatok. Arányok. Százalék A 12: 6 = 2 hányadosa a 12 és 6 számok aránya. A 12 és 6 számok aránya egyenlő a 2-vel. A 2-vel. A 2: = 2 hányados a számok 2 és. A számok aránya 2 és egyenlő

1. feladat Egységes államvizsga -2015 (alap) Ha csak a válaszra van szüksége első példa 2.65 - második példa 3.2 - harmadik példa -1.1 Ez a feladat közönséges törtekkel végzett műveletekre vonatkozik. Íme egy kis elmélet azoknak, akik kicsit

I. fejezet A lineáris algebra elemei A lineáris algebra az algebra azon része, amely lineáris tereket és altereket, lineáris operátorokat, lineáris, bilineáris és másodfokú függvényeket vizsgál lineáris tereken.

Progressziók A sorozat egy természetes argumentum függvénye. Sorozat meghatározása általános képlettel: a n = f(n), n N, például a n = n + n + 4, a = 43, a = 47, a 3 = 3,. Szekvenálás

Téma 1.4. A Cramer-képlet két (három) lineáris egyenletének megoldása Gabriel Cramer (1704 1752) svájci matematikus. Ez a módszer csak olyan lineáris egyenletrendszerek esetén alkalmazható, ahol a változók száma

Matematika 6. évfolyam TANULÁSI TARTALOM Számtan Természetes számok. Természetes számok oszthatósága. Oszthatósági kritériumok 5, 9, 0. Prím- és összetett számok. Természetes számok prímtényezőkké alakítása.

A közönséges tört olyan szám, amelynek típusa természetes számok, például A számot a tört számlálójának, nevezőjének nevezik. Ebben az esetben talán a tört alakja van, de gyakrabban egyszerűen írják le Ez azt jelenti, hogy bármely természetes szám ábrázolható közönséges törtként, amelynek nevezője 1. Jelölés - a jelölés másik változata.

A közönséges törteket helyes és helytelen részekre osztják

törtek Egy törtet helyesnek nevezünk, ha a számlálója kisebb, mint a nevezője, és helytelennek, ha a számláló nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező.

Bármely helytelen tört ábrázolható egy természetes szám és egy megfelelő tört összegeként (vagy természetes számként, ha a tört olyan, hogy többszöröse pl.

Példa. Képzeljen el egy helytelen törtet egy természetes szám és egy megfelelő tört összegeként: a)

Megoldás a)

A természetes szám és a megfelelő tört összegét az összeadásjel nélkül szokás felírni, azaz írás helyett írás helyett vegyes számnak nevezzük az ilyen formában írt számot. Két részből áll: egészből és törtből. Tehát a 3-as számhoz - az egész rész egyenlő 3-mal, a tört rész pedig - Bármely helytelen tört felírható vegyes számként (vagy természetes számként). Ennek a fordítottja is igaz: minden vegyes vagy természetes szám felírható helytelen törtként. Például, .

(2475. sz.) Egy üveg sampon 200 rubelbe kerül. Hány palackot vásárolhat a legtöbb 1000 rubelért egy akció során, amikor a kedvezmény 15%?

(2491. sz.) Egy golyóstoll ára 20 rubel. Hány ilyen toll vásárolható meg 700 rubelért a legtöbbet a 15%-os áremelés után?

(2503. sz.) A notebook ára 40 rubel. Hány ilyen notebook vásárolható meg legtöbbször 550 rubelért, miután az árat 15%-kal csökkentették?

(2513. sz.) Az üzlet virágcserepeket vásárol darabonként 100 rubel nagykereskedelmi áron. A kereskedelmi árrés 15%. Hány ilyen edényt lehet a legtöbben vásárolni ebben az üzletben 1300 rubelért?

(2595. sz.) Egy felnőtt vonatjegy ára 550 rubel. A diákjegy ára a felnőtt jegy árának 50%-a. A csoport 18 iskolásból és 4 felnőttből áll. Hány rubel a jegy az egész csoportra?

(2601. sz.) Az elektromos vízforraló ára 21%-kal emelkedett, és 3025 rubelre került. Hány rubelbe került a termék az áremelés előtt?

(2617. sz.) A póló 800 rubelbe került. Az ár csökkentése után 680 rubelbe kezdett kerülni. Hány százalékkal csökkentették a póló árát?

(6193. sz.) N városnak 250 000 lakosa van. Közülük 15% gyermek és serdülő. A felnőttek 35%-a nem dolgozik (nyugdíjasok, háziasszonyok, munkanélküliek). Hány felnőtt dolgozik?

(6235. sz.) Az ügyfél 3000 rubel kölcsönt vett fel a banktól. egy évig 12%-kal. A kölcsönt havonta ugyanannyi pénz befizetésével kell törlesztenie a bankban, hogy egy év múlva a teljes felvett összeget kamatokkal együtt visszafizesse. Mennyit kell havonta befizetnie a bankba?

(24285 sz.) A jövedelemadó a munkabér 13%-a. A jövedelemadó levonása után Maria Konstantinovna 13 050 rubelt kapott. Hány rubel Maria Konstantinovna fizetése?

(24261 sz.) A jövedelemadó a munkabér 13%-a. Ivan Kuzmich fizetése 14 500 rubel. Hány rubelt kap a jövedelemadó levonása után?

(2587. sz.) A tankönyv nagykereskedelmi ára 170 rubel. A kiskereskedelmi ár 20%-kal magasabb, mint a nagykereskedelmi ár. Mennyi az ilyen tankönyvek legnagyobb száma, amelyet 7000 rubel kiskereskedelmi áron lehet megvásárolni?

Ebben a cikkben elkezdjük felfedezni racionális számok. Itt megadjuk a racionális számok definícióit, megadjuk a szükséges magyarázatokat és példákat a racionális számokra. Ezek után arra fogunk összpontosítani, hogyan határozzuk meg, hogy egy adott szám racionális-e vagy sem.

Oldalnavigáció.

Racionális számok definíciója és példái

Ebben a részben a racionális számok számos definícióját adjuk meg. A megfogalmazásbeli különbségek ellenére ezeknek a definícióknak ugyanaz a jelentése: a racionális számok egész számokat és törteket egyesítenek, ahogy az egész számok természetes számokat, azok ellentéteit és a nulla számot. Más szóval, a racionális számok általánosítanak egész és tört számokat.

Kezdjük azzal racionális számok definíciói, ami a legtermészetesebben érzékelhető.

A megadott definícióból az következik, hogy a racionális szám:

• Bármely n természetes szám. Valójában bármilyen természetes számot ábrázolhat közönséges törtként, például 3=3/1.
• Bármely egész szám, különösen a nulla. Valójában bármely egész szám felírható pozitív törtként, negatív törtként vagy nullaként. Például 26=26/1, .
• Bármilyen közönséges tört (pozitív vagy negatív). Ezt közvetlenül megerősíti a racionális számok adott definíciója.
• Bármilyen vegyes szám. Valójában mindig ábrázolhat egy vegyes számot nem megfelelő törtként. Például, és.
• Bármilyen véges tizedes tört vagy végtelen periodikus tört. Ez annak köszönhető, hogy a feltüntetett tizedes törteket a rendszer közönséges törtté alakítja. Például , és 0,(3)=1/3.

Az is világos, hogy bármely végtelen, nem periodikus tizedes tört NEM racionális szám, mivel nem ábrázolható közönséges törtként.

Most könnyen adhatunk példák racionális számokra. A 4, 903, 100 321 számok racionális számok, mert természetes számok. Az 58, -72, 0, -833,333,333 egész számok is a racionális számok példái. A 4/9, 99/3 közönséges törtek is példák a racionális számokra. A racionális számok is számok.

A fenti példákból jól látható, hogy vannak pozitív és negatív racionális számok is, és a nulla racionális szám sem nem pozitív, sem nem negatív.

A racionális számok fenti definíciója tömörebb formában is megfogalmazható.

Meghatározás.

Racionális számok olyan számok, amelyek z/n törtként írhatók fel, ahol z egész szám, n pedig természetes szám.

Bizonyítsuk be, hogy a racionális számoknak ez a definíciója ekvivalens az előző definícióval. Tudjuk, hogy a tört egyenesét tekinthetjük osztásjelnek, akkor az egész számok osztó tulajdonságaiból és az egészek osztására vonatkozó szabályokból következik az alábbi egyenlőségek érvényessége és. Tehát ez a bizonyíték.

Adjunk példákat racionális számokra e meghatározás alapján. A −5, 0, 3 és számok racionális számok, mivel felírhatók törtként egy egész számlálóval, illetve az alak természetes nevezőjével.

A racionális számok definíciója a következő megfogalmazásban adható meg.

Meghatározás.

Racionális számok véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként felírható számok.

Ez a definíció egyben az első definícióval is egyenértékű, mivel minden közönséges tört véges vagy periodikus tizedes törtnek felel meg, és fordítva, és bármely egész szám társítható egy tizedes törthez, ahol a tizedesvessző után nullák állnak.

Például az 5, 0, -13 számok a racionális számok példái, mivel a következő tizedes törtként írhatók fel: 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 és -7, (18).

Fejezzük be ennek a pontnak az elméletét a következő kijelentésekkel:

• egész számok és törtek (pozitív és negatív) alkotják a racionális számok halmazát;
• minden racionális szám ábrázolható törtként egész számlálóval és természetes nevezővel, és minden ilyen tört egy bizonyos racionális számot képvisel;
• minden racionális szám ábrázolható véges vagy végtelen periodikus tizedes törtként, és minden ilyen tört egy racionális számot képvisel.

Racionális ez a szám?

Az előző bekezdésben megállapítottuk, hogy bármely természetes szám, egész szám, közönséges tört, bármilyen vegyes szám, bármely véges tizedes tört, valamint bármely periodikus tizedes tört racionális szám. Ez a tudás lehetővé teszi, hogy racionális számokat „felismerjünk” írott számok halmazából.

De mi van akkor, ha a számot valamilyen , vagy mint stb. formájában adjuk meg, hogyan válaszoljunk arra a kérdésre, hogy ez a szám racionális-e? Sok esetben nagyon nehéz válaszolni. Mutassunk néhány gondolati irányt.

Ha egy számot olyan numerikus kifejezésként adunk meg, amely csak racionális számokat és számtani előjeleket (+, −, · és:) tartalmaz, akkor ennek a kifejezésnek az értéke racionális szám. Ez a racionális számokkal végzett műveletek definíciójából következik. Például a kifejezésben szereplő összes művelet végrehajtása után megkapjuk a 18-as racionális számot.

Néha a kifejezések egyszerűsítése és bonyolultabbá tétele után lehetővé válik annak meghatározása, hogy egy adott szám racionális-e.

Menjünk tovább. A 2-es szám racionális szám, mivel bármely természetes szám racionális. Mi van a számmal? Vajon racionális? Kiderül, hogy nem, ez nem racionális szám, hanem irracionális szám (ennek ellentmondásos bizonyítását a 8. évfolyam algebrai tankönyve tartalmazza, az alábbi hivatkozási jegyzékben). Az is bebizonyosodott, hogy egy természetes szám négyzetgyöke csak akkor racionális szám, ha a gyök alatt olyan szám található, amely valamely természetes szám tökéletes négyzete. Például a és racionális számok, mivel 81 = 9 2 és 1 024 = 32 2, a és számok pedig nem racionálisak, mivel a 7 és 199 nem tökéletes négyzetei a természetes számoknak.

Racionális a szám vagy sem? Ebben az esetben könnyen észrevehető, hogy ezért ez a szám racionális. Racionális a szám? Bebizonyosodott, hogy egy egész szám k-edik gyöke csak akkor racionális szám, ha a gyökjel alatti szám valamely egész szám k-edik hatványa. Ezért nem racionális szám, hiszen nincs olyan egész szám, amelynek ötödik hatványa 121 lenne.

Az ellentmondásos módszer lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy egyes számok logaritmusai valamilyen okból nem racionális számok. Például bizonyítsuk be, hogy - nem racionális szám.

Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis mondjuk, hogy ez egy racionális szám, és m/n közönséges törtként írható fel. Ekkor a következő egyenlőségeket adjuk meg: . Az utolsó egyenlőség lehetetlen, hiszen a bal oldalon ott van páratlan szám 5 n, a jobb oldalon pedig a páros szám 2 m. Ezért a feltevésünk hibás, tehát nem racionális szám.

Összegzésképpen érdemes megjegyezni, hogy a számok racionalitásának vagy irracionalitásának meghatározásakor tartózkodni kell a hirtelen következtetések levonásától.

Például nem szabad azonnal azt állítani, hogy a π és e irracionális számok szorzata irracionális szám, ez „látszólag nyilvánvaló”, de nem bizonyított. Ez felveti a kérdést: „Miért lenne egy termék racionális szám?” És miért ne, mert lehet példát mondani irracionális számokra, amelyek szorzata racionális számot ad: .

Az sem ismert, hogy a számok és sok más szám racionális-e vagy sem. Például vannak irracionális számok, amelyek irracionális hatványa racionális szám. Szemléltetésképpen bemutatjuk az alak egy fokát, ennek a foknak az alapja és a kitevő nem racionális szám, hanem , a 3 pedig racionális szám.

Bibliográfia.

• Matematika. 6. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.