הרעיון של השיטה.נבחרת משוואה שבה אחד המשתנים מבוטא בצורה הפשוטה ביותר דרך המשתנים האחרים. הביטוי המתקבל עבור משתנה זה מוחלף בשאר המשוואות של המערכת.

1. ב) שילוב עם שיטות אחרות.

רעיון השיטה. אם שיטת ההחלפה הישירה אינה ישימה בשלב הראשוני של הפתרון, אז נעשה שימוש בטרנספורמציות שוות של מערכות (חיבור מונח אחר מונח, חיסור, כפל, חלוקה), ולאחר מכן מתבצעת החלפה ישירה ישירות.

2) שיטה לפתרון עצמאי של אחת המשוואות.

רעיון השיטה. אם המערכת מכילה משוואה שבה מוצאים ביטויים הפוכים זה לזה, אז משתנה חדש מוצג והמשוואה נפתרת לגביו. לאחר מכן המערכת מתפרקת למספר מערכות פשוטות יותר.

לפתור מערכת משוואות

שקול את המשוואה הראשונה של המערכת:

ביצוע ההחלפה , שבו t ≠ 0, נקבל

איפה t 1 = 4, t 2 = 1/4.

אם נחזור למשתנים הישנים, הבה נבחן שני מקרים.

שורשי המשוואה 4y 2 – 15y – 4 = 0 הם y 1 = 4, y 2 = - 1/4.

שורשי המשוואה 4x 2 + 15x – 4 = 0 הם x 1 = – 4, x 2 = 1/4.

3) צמצום המערכת לשילוב של מערכות פשוטות יותר.

1. א) פקטוריזציה על ידי הוצאת הגורם המשותף.

הרעיון של השיטה.אם לאחת מהמשוואות יש גורם משותף, אזי משוואה זו מוחזקת, ובהתחשב בשוויון הביטוי לאפס, המשך לפתרון מערכות פשוטות יותר.

1. ב) פקטוריזציה באמצעות פתרון משוואה הומוגנית.

הרעיון של השיטה.אם אחת המשוואות היא משוואה הומוגנית (אז לאחר שפתרנו אותה ביחס לאחד המשתנים, נחשוב אותה לגורמים, למשל: a(x-x 1)(x-x 2) ובהתחשב בשוויון של ביטוי לאפס, אנו ממשיכים לפתרון מערכות פשוטות יותר.

בואו נפתור את המערכת הראשונה

1. ג) שימוש בהומוגניות.

הרעיון של השיטה.אם למערכת יש ביטוי שהוא מכפלה של כמויות משתנות, אז בשיטת החיבור האלגברי מתקבלת משוואה הומוגנית, ואז משתמשים בשיטת הפירוק לפיתרון המשוואה ההומוגנית.

4) שיטת חיבור אלגברי.

הרעיון של השיטה.באחת המשוואות, אנו נפטרים מאחד הבלתי ידועים; לשם כך, אנו משווים את המודולים של המקדמים עבור אחד המשתנים, ואז אנו מבצעים חיבור מונח אחר מונח של המשוואות או חיסור.

5) שיטת הכפלת משוואות.

הרעיון של השיטה.אם אין זוגות (x;y) ששני הצדדים של אחת מהמשוואות נעלמים בו-זמנית, אז ניתן להחליף את המשוואה הזו במכפלת שתי המשוואות של המערכת.

בואו נפתור את המשוואה השנייה של המערכת.

תן = t, ואז 4t 3 + t 2 -12t -12 = 0. החלת התוצאה למשפט על שורשי פולינום, יש לנו t 1 = 2.

P(2) = 4∙2 3 + 2 2 – 12∙2 – 12 = 32 + 4 – 24 – 12 = 0. בואו נפחית את מידת הפולינום בשיטת המקדמים הבלתי מוגדרים.

4t 3 + t 2 -12t -12 = (t – 2) (ב-2 + bt + c).

4t 3 +t 2 -12t -12 = ב-3 + bt 2 + ct - 2at 2 -2bt - 2c.

4t 3 + t 2 - 12t -12 = ב-3 + (b - 2a) t 2 + (c -2b) t - 2c.

נקבל את המשוואה 4t 2 + 9t + 6 = 0, שאין לה שורשים, שכן D = 9 2 - 4∙4∙6 = -15<0.

אם נחזור למשתנה y, יש לנו = 2, ומכאן y = 4.

תשובה. (1;4).

6) שיטת חלוקת משוואות.

הרעיון של השיטה.אם אין זוגות (x; y) ששני הצדדים של אחת מהמשוואות נעלמים בו-זמנית, ניתן להחליף את המשוואה הזו במשוואה שמתקבלת על ידי חלוקת משוואה אחת של המערכת באחרת.

7) שיטת הכנסת משתנים חדשים.

הרעיון של השיטה.חלק מהביטויים מהמשתנים המקוריים נלקחים כמשתנים חדשים, מה שמוביל למערכת פשוטה יותר מזו המקורית מהמשתנים הללו. לאחר שנמצאו משתנים חדשים, עלינו למצוא את הערכים של המשתנים המקוריים.

אם נחזור למשתנים הישנים, יש לנו:

בואו נפתור את המערכת הראשונה.

8) יישום משפט וייטה.

הרעיון של השיטה.אם המערכת מורכבת כך, אחת המשוואות מוצגת כסכום, והשנייה כמכפלה של כמה מספרים שהם השורשים של משוואה ריבועית מסוימת, אז בעזרת משפט וייטה אנחנו מרכיבים משוואה ריבועית ופותרים אותה.

תשובה. (1;4), (4;1).

כדי לפתור מערכות סימטריות, נעשה שימוש בהחלפה: x + y = a; xy = v. בעת פתרון מערכות סימטריות, נעשה שימוש בתמורות הבאות:

x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b; x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2) = a(a 2 -3b);

x 2 y + xy 2 = xy (x + y) = ab; (x +1)∙(y +1) = xy +x +y+1 =a + b +1;

תשובה. (1;1), (1;2), (2;1).

10) "בעיות ערך גבול."

הרעיון של השיטה.הפתרון למערכת מתקבל על ידי חשיבה לוגית הקשורה למבנה תחום ההגדרה או קבוצת ערכי הפונקציה, וחקר סימן ההבחנה של המשוואה הריבועית.

הייחודיות של מערכת זו היא שמספר המשתנים בה גדול ממספר המשוואות. עבור מערכות לא ליניאריות, תכונה כזו היא לעתים קרובות סימן ל"בעיית ערך גבול". על סמך צורת המשוואות, ננסה למצוא את קבוצת הערכים של הפונקציה המתרחשת הן במשוואה הראשונה והן במשוואה השנייה של המערכת. מכיוון ש-x 2 + 4 ≥ 4, נובע מהמשוואה הראשונה ש

תשובה (0;4;4), (0;-4;-4).

11) שיטה גרפית.

רעיון השיטה. בנה גרפים של פונקציות במערכת קואורדינטות אחת ומצא את הקואורדינטות של נקודות החיתוך שלהן.

1) לאחר שכתבנו מחדש את המשוואה הראשונה של המערכות בצורה y = x 2, הגענו למסקנה: הגרף של המשוואה הוא פרבולה.

2) לאחר שכתבנו מחדש את המשוואה השנייה של המערכות בצורה y = 2/x 2, הגענו למסקנה: הגרף של המשוואה הוא היפרבולה.

3) הפרבולה וההיפרבולה מצטלבות בנקודה A. יש רק נקודת חיתוך אחת, שכן הענף הימני של הפרבולה משמש כגרף של פונקציה הולכת וגדלה, והענף הימני של ההיפרבולה משמש כענף יורד. אם לשפוט לפי המודל הגיאומטרי הבנוי, לנקודה A יש קואורדינטות (1;2). בדיקה מראה שהזוג (1;2) הוא פתרון לשתי משוואות המערכת.

משוואה לינארית – משוואה בצורת a x = b, כאשר x הוא משתנה, a ו-b הם כמה מספרים, ו- a ≠ 0.

דוגמאות למשוואות לינאריות:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

משוואות לינאריות נקראות לא רק משוואות בצורה a x = b, אלא גם כל משוואות שבעזרת טרנספורמציות והפשטות מצטמצמות לצורה זו.

איך פותרים משוואות שמצטמצמות לצורה a x = b? מספיק לחלק את הצד השמאלי והימני של המשוואה בערך a. כתוצאה מכך, נקבל את התשובה: x = b a.

איך לזהות אם משוואה שרירותית היא לינארית או לא? צריך לשים לב למשתנה שקיים בו. אם החזקה המובילה של משתנה שווה לאחד, אז משוואה כזו היא משוואה לינארית.

כדי לפתור את המשוואה הליניארית , עליך לפתוח את הסוגריים (אם יש), להזיז את ה-"X" לצד שמאל, את המספרים ימינה, ולהביא מונחים דומים. התוצאה היא משוואה בצורה a x = b. הפתרון למשוואה לינארית זו הוא: x = b a.

דוגמאות לפתרון משוואות לינאריות:

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

זוהי משוואה לינארית מכיוון שהמשתנה הוא בחזקת הראשונה.

בואו ננסה להפוך אותו לצורה a x = b:

ראשית, בואו נפתח את הסוגריים:

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

כל האיברים עם x מועברים לצד שמאל, ומספרים מימין:

2 x - 4 x = 2 - 1

כעת נחלק את הצד השמאלי והימני במספר (-2):

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0.5

תשובה: x = − 0.5

1. x 2 − 1 = 0

משוואה זו אינה משוואה לינארית מכיוון שהחזקה הגבוהה ביותר של המשתנה x היא שתיים.

1. x (x + 3) − 8 = x − 1

משוואה זו נראית ליניארית במבט ראשון, אך לאחר פתיחת הסוגריים, העוצמה המובילה הופכת להיות שווה לשניים:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

משוואה זו אינה משוואה לינארית.

מקרים מיוחדים(הם לא נתקלו במשימה 4 של OGE, אבל כדאי להכיר אותם)

דוגמאות:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

ואיך נוכל לחפש את x כאן אם הוא לא קיים? לאחר ביצוע הטרנספורמציות, קיבלנו את השוויון הנכון (זהות), שאינו תלוי בערך המשתנה x. לא משנה מה ערך של x שנחליף במשוואה המקורית, התוצאה תמיד מביאה לשוויון (זהות) נכון. זה אומר ש-x יכול להיות כל מספר. בואו נרשום את התשובה למשוואה הליניארית הזו.

תשובה: x ∈ (− ∞ ;  + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

זוהי משוואה לינארית. בואו נפתח את הסוגריים, נזיז את האיקסים שמאלה, המספרים ימינה:

2 x - 4 = 2 x - 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

כתוצאה מהטרנספורמציות, x הופחת, אך התוצאה הייתה שוויון לא נכון, שכן. לא משנה איזה ערך של x נחליף במשוואה המקורית, התוצאה תמיד תהיה שוויון שגוי. זה אומר שאין ערכים של x שבהם השוויון יהפוך לאמת. בואו נרשום את התשובה למשוואה הליניארית הזו.

תשובה: x ∈ ∅

משוואות ריבועיות

משוואה ריבועית – משוואה בצורה a x 2 + b x + c = 0, כאשר x הוא משתנה, a, b ו-c הם כמה מספרים, ו- a ≠ 0.

אלגוריתם לפתרון משוואה ריבועית:

1. פתחו את הסוגריים, הזיזו את כל האיברים לצד שמאל כך שהמשוואה תקבל את הצורה: a x 2 + b x + c = 0
2. רשום למה שווים המקדמים במספרים: a = … b = … c = …
3. חשב את המבחין באמצעות הנוסחה: D = b 2 − 4 a c
4. אם D > 0, יהיו שני שורשים שונים, שנמצאים לפי הנוסחה: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. אם D = 0, יהיה שורש אחד, אשר נמצא על ידי הנוסחה: x = − b 2 a
6. אם ד< 0, решений нет: x ∈ ∅

דוגמאות לפתרון משוואה ריבועית:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 - יהיו שני שורשים שונים:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ (− 1) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

תשובה: x 1 = − 1, x 2 = 7

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 4) = 16 − 16 = 0

D = 0 - יהיה שורש אחד:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ (− 1) = − 4 − 2 = 2

תשובה: x = 2

1. 2 x 2 - 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = (− 7) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

ד< 0 – решений нет.

תשובה: x ∈ ∅

יש גם משוואות ריבועיות לא שלמות (אלה הן משוואות ריבועיות שבהן b = 0, או c = 0, או b = c = 0). צפו בסרטון כיצד לפתור את המשוואות הריבועיות הללו!

פקטורינג טרינום ריבועי

ניתן לחשב את הטרינום הריבועי באופן הבא:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

כאשר a הוא מספר, מקדם לפני המקדם המוביל,

x - משתנה (כלומר אות),

x 1 ו-x 2 הם מספרים, שורשים של המשוואה הריבועית a x 2 + b x + c = 0, שנמצאים דרך המבחן.

אם למשוואה ריבועית יש רק שורש אחד, ההרחבה נראית כך:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

דוגמאות לפירוק טרינום ריבועי:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,  x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

אם הטרינום הריבועי אינו שלם, ((b = 0 או c = 0), ניתן לחלק אותו לגורמים בדרכים הבאות:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ חל על הפרש של ריבועים.

משוואות רציונליות שברים

תן f (x) ו- g (x) להיות כמה פונקציות בהתאם למשתנה x.

משוואה רציונלית שברית היא משוואה בצורה f (x) g (x) = 0.

כדי לפתור משוואה רציונלית שברית, עלינו לזכור מהו ODZ ומתי הוא מתעורר.

ODZ– טווח הערכים המותרים של המשתנה.

בביטוי בצורה f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (המכנה של השבר לא יכול להיות שווה לאפס).

אלגוריתם לפתרון משוואה רציונלית שברית:

1. כתוב את ה-ODZ: g (x) ≠ 0.
2. השוו את מונה השבר לאפס f (x) = 0 ומצאו את השורשים.

דוגמה לפתרון משוואה רציונלית שברית:

פתרו את המשוואה הרציונלית השברית x 2 − 4 2 − x = 1.

פִּתָרוֹן:

אנו נפעל בהתאם לאלגוריתם.

1. הפחת את הביטוי לצורה f (x) g (x) = 0.

אנו מזיזים את היחידה לצד שמאל, כותבים לה גורם נוסף כדי להביא את שני האיברים למכנה משותף אחד:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − (2 − x) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

השלב הראשון של האלגוריתם הושלם בהצלחה.

1. כתוב את ה-ODZ:

אנחנו ממסגרים את ה-ODZ, אל תשכחו מזה: x ≠ 2

1. השווה את מונה השבר לאפס f (x) = 0 ומצא את השורשים:

x 2 + x − 6 = 0 – משוואה ריבועית. אנחנו פותרים דרך המאבחן.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6) = 1 + 24 = 25

D > 0 – יהיו שני שורשים שונים.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

1. ציין בתשובתך את השורשים מהמונה, למעט השורשים הנופלים ל-ODZ.

שורשים שהושגו בשלב הקודם:

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

המשמעות היא שהתשובה מכילה רק שורש אחד, x = − 3.

תשובה: x = − 3.

מערכות משוואות

מערכת משוואות קוראים לשתי משוואות עם שני לא ידועים (בדרך כלל הבלתי ידועים מסומנים x ו-y), המשולבות למערכת משותפת על ידי סד מתולתל.

דוגמה למערכת משוואות

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

לפתור מערכת משוואות – מצא זוג מספרים x ו-y, שכאשר הם מוחלפים במערכת המשוואות יוצרים שוויון אמיתי בשתי המשוואות של המערכת.

קיימות שתי שיטות לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות:

1. שיטת החלפה.
2. שיטת הוספה.

אלגוריתם לפתרון מערכת משוואות בשיטת ההחלפה:

1. מצא את הנותר הלא ידוע.

דוגמא:

פתרו מערכת משוואות בשיטת ההחלפה

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

פִּתָרוֹן:

1. הביעו משתנה אחד במונחים של אחר מכל משוואה.

( x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

1. החלף את הערך המתקבל במשוואה אחרת במקום המשתנה המבוטא.

( x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

( x = 8 − 2 y 3 (8 − 2 y) − y = − 4

1. פתור משוואה עם אחד לא ידוע.

3 (8 − 2 y) − y = − 4

24 − 6 y − y = − 4

− 7 y = − 4 − 24

− 7 y = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. מצא את הנותר הלא ידוע.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

ניתן לכתוב את התשובה באחת משלוש דרכים:

1. x = 0, y = 4
2. ( x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

פתרון מערכת משוואות בשיטת החיבור.

שיטת ההוספה מבוססת על המאפיין הבא:

(a + c) = (b + d)

הרעיון מאחורי שיטת החיבור הוא להיפטר מאחד המשתנים על ידי חיבור המשוואות יחד.

דוגמא:

פתרו מערכת משוואות בשיטת החיבור

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

בואו נפטר מהמשתנה x בדוגמה זו. המהות של השיטה היא לקבל מקדמים הפוכים מול המשתנה x במשוואה הראשונה והשנייה. במשוואה השנייה, לפני x מקדם 3. כדי ששיטת החיבור תעבוד, למשתנה x צריך להיות מקדם (− 3) לפניו. כדי לעשות זאת, הכפל את הצדדים השמאלי והימני של המשוואה הראשונה ב- (− 3) .

בסרטון זה אני מתחיל סדרת שיעורים המוקדשים למערכות משוואות. היום נדבר על פתרון מערכות של משוואות ליניאריות שיטת תוספת- זוהי אחת השיטות הפשוטות ביותר, אך יחד עם זאת אחת היעילות ביותר.

שיטת ההוספה מורכבת משלושה שלבים פשוטים:

1. הסתכלו על המערכת ובחרו משתנה בעל אותם מקדמים (או מנוגדים) בכל משוואה;
2. בצעו חיסור אלגברי (עבור מספרים מנוגדים - חיבור) של משוואות זו מזו, ולאחר מכן הביאו איברים דומים;
3. פתרו את המשוואה החדשה שהתקבלה לאחר השלב השני.

אם הכל נעשה נכון, אז בפלט נקבל משוואה בודדת עם משתנה אחד- לא יהיה קשה לפתור את זה. ואז כל מה שנותר הוא להחליף את השורש שנמצא במערכת המקורית ולקבל את התשובה הסופית.

עם זאת, בפועל הכל לא כל כך פשוט. יש לכך מספר סיבות:

• פתרון משוואות בשיטת החיבור מרמז שכל הקווים חייבים להכיל משתנים בעלי מקדמים שווים/הפוכים. מה לעשות אם דרישה זו לא מתקיימת?
• לא תמיד, לאחר חיבור/חיסור משוואות בצורה המצוינת, נקבל בנייה יפה שניתן לפתור בקלות. האם אפשר איכשהו לפשט את החישובים ולהאיץ את החישובים?

כדי לקבל את התשובה לשאלות הללו, ובמקביל להבין כמה דקויות נוספות שתלמידים רבים נכשלים בהן, צפו בשיעור הווידאו שלי:

עם שיעור זה אנו מתחילים סדרת הרצאות המוקדשות למערכות משוואות. ונתחיל מהפשוטה שבהן, כלומר אלה המכילות שתי משוואות ושני משתנים. כל אחד מהם יהיה ליניארי.

מערכות הוא חומר לכיתה ז', אבל שיעור זה יהיה שימושי גם לתלמידי תיכון שרוצים לרענן את הידע שלהם בנושא זה.

באופן כללי, ישנן שתי שיטות לפתרון מערכות כאלה:

1. שיטת הוספה;
2. שיטה לבטא משתנה אחד במונחים של משתנה אחר.

היום נעסוק בשיטה הראשונה - נשתמש בשיטת החיסור והחיבור. אבל כדי לעשות זאת, אתה צריך להבין את העובדה הבאה: ברגע שיש לך שתי משוואות או יותר, אתה יכול לקחת כל שתיים מהן ולהוסיף אותן אחת לשנייה. הם מתווספים חבר אחר חבר, כלומר. מוסיפים "X" ל"X" ונותנים דומים, "Y" עם "Y" שוב דומים, ומה שנמצא מימין לסימן השוויון מתווסף גם זה לזה, וגם שם ניתנים דומים. .

התוצאות של תחבולות כאלה יהיו משוואה חדשה, שאם יש לה שורשים, הם בהחלט יהיו בין השורשים של המשוואה המקורית. לכן, המשימה שלנו היא לבצע את החיסור או החיבור בצורה כזו ש$x$ או $y$ ייעלמו.

איך להשיג את זה ובאיזה כלי להשתמש בשביל זה - נדבר על זה עכשיו.

פתרון בעיות קלות באמצעות הוספה

אז, אנו לומדים להשתמש בשיטת החיבור באמצעות הדוגמה של שני ביטויים פשוטים.

משימה מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

שימו לב של-$y$ יש מקדם של $-4$ במשוואה הראשונה, ו-$+4$ בשני. הם מנוגדים זה לזה, ולכן הגיוני להניח שאם נחבר אותם, אז בסכום המתקבל ה"משחקים" יושמדו הדדית. הוסף את זה וקבל:

בואו נפתור את הבנייה הפשוטה ביותר:

מצוין, מצאנו את ה-"X". מה עלינו לעשות עם זה עכשיו? יש לנו את הזכות להחליף אותו בכל אחת מהמשוואות. בוא נחליף בראשון:

\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]

תשובה: $\left(2;-3 \right)$.

בעיה מס' 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

המצב כאן דומה לחלוטין, רק עם "X". בואו נחבר אותם:

יש לנו את המשוואה הליניארית הפשוטה ביותר, בואו נפתור אותה:

עכשיו בואו נמצא $x$:

תשובה: $\left(-3;3 \right)$.

נקודות חשובות

אז, זה עתה פתרנו שתי מערכות פשוטות של משוואות ליניאריות באמצעות שיטת החיבור. שוב נקודות מפתח:

1. אם יש מקדמים הפוכים לאחד המשתנים, אז יש צורך להוסיף את כל המשתנים במשוואה. במקרה זה, אחד מהם יושמד.
2. אנו מחליפים את המשתנה שנמצא בכל אחת ממשוואות המערכת כדי למצוא את השנייה.
3. ניתן להציג את רשומת התגובה הסופית בדרכים שונות. לדוגמה, כך - $x=...,y=...$, או בצורה של קואורדינטות של נקודות - $\left(...;... \right)$. האפשרות השנייה עדיפה. הדבר העיקרי שיש לזכור הוא שהקואורדינטה הראשונה היא $x$, והשנייה היא $y$.
4. הכלל של כתיבת התשובה בצורה של קואורדינטות נקודות לא תמיד ישים. לדוגמה, לא ניתן להשתמש בו כאשר המשתנים אינם $x$ ו-$y$, אלא, למשל, $a$ ו-$b$.

בבעיות הבאות נשקול את טכניקת החיסור כאשר המקדמים אינם מנוגדים.

פתרון בעיות קלות בשיטת החיסור

משימה מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

שימו לב שאין כאן מקדמים הפוכים, אבל יש מקדמים זהים. לכן, נחסר את השני מהמשוואה הראשונה:

כעת נחליף את הערך $x$ בכל אחת ממשוואות המערכת. בוא נלך קודם:

תשובה: $\left(2;5\right)$.

בעיה מס' 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

אנו רואים שוב את אותו מקדם של $5$ עבור $x$ במשוואה הראשונה והשנייה. לכן, זה הגיוני להניח שאתה צריך להחסיר את השני מהמשוואה הראשונה:

חישבנו משתנה אחד. כעת, בואו נמצא את השני, למשל, על ידי החלפת הערך $y$ במבנה השני:

תשובה: $\left(-3;-2 \right)$.

ניואנסים של הפתרון

אז מה אנחנו רואים? בעיקרו של דבר, הסכימה אינה שונה מהפתרון של מערכות קודמות. ההבדל היחיד הוא שאנחנו לא מוסיפים משוואות, אלא מפחיתים אותן. אנחנו עושים חיסור אלגברי.

במילים אחרות, ברגע שאתה רואה מערכת המורכבת משתי משוואות בשני לא ידועים, הדבר הראשון שאתה צריך להסתכל עליו הוא המקדמים. אם הם זהים בכל מקום, מפחיתים את המשוואות, ואם הן מנוגדות, משתמשים בשיטת החיבור. זה נעשה תמיד כדי שאחד מהם ייעלם, ובמשוואה הסופית, שנשארת לאחר החיסור, נשאר רק משתנה אחד.

כמובן, זה לא הכל. כעת נשקול מערכות שבהן המשוואות בדרך כלל אינן עקביות. הָהֵן. אין בהם משתנים שהם זהים או מנוגדים. במקרה זה, כדי לפתור מערכות כאלה, נעשה שימוש בטכניקה נוספת, כלומר, הכפלת כל אחת מהמשוואות במקדם מיוחד. איך למצוא את זה ואיך לפתור מערכות כאלה באופן כללי, נדבר על זה עכשיו.

פתרון בעיות על ידי הכפלה במקדם

דוגמה מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

אנו רואים שלא עבור $x$ ולא עבור $y$ המקדמים אינם רק מנוגדים זה לזה, אלא גם אינם מתואמים בשום אופן עם המשוואה האחרת. מקדמים אלו לא ייעלמו בשום אופן, גם אם נוסיף או נחסר את המשוואות זו מזו. לכן, יש צורך להחיל כפל. בואו ננסה להיפטר מהמשתנה $y$. לשם כך, נכפיל את המשוואה הראשונה במקדם $y$ מהמשוואה השנייה, ואת המשוואה השנייה במקדם $y$ מהמשוואה הראשונה, מבלי לגעת בסימן. אנו מכפילים ומקבלים מערכת חדשה:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

בואו נסתכל על זה: ב-$y$ המקדמים הפוכים. במצב כזה יש צורך להשתמש בשיטת התוספת. בואו נוסיף:

עכשיו אנחנו צריכים למצוא $y$. כדי לעשות זאת, החלף את $x$ בביטוי הראשון:

\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]

תשובה: $\left(4;-2 \right)$.

דוגמה מס' 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

שוב, המקדמים עבור אף אחד מהמשתנים אינם עקביים. בוא נכפיל במקדמים של $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

המערכת החדשה שלנו מקבילה לקודמת, אבל המקדמים של $y$ מנוגדים זה לזה, ולכן קל ליישם את שיטת החיבור כאן:

כעת בוא נמצא את $y$ על ידי החלפת $x$ במשוואה הראשונה:

תשובה: $\left(-2;1 \right)$.

ניואנסים של הפתרון

כלל המפתח כאן הוא הבא: אנחנו תמיד מכפילים רק במספרים חיוביים - זה יחסוך מכם טעויות מטופשות ופוגעניות הקשורות בשינוי שלטים. באופן כללי, ערכת הפתרונות פשוטה למדי:

1. אנו מסתכלים על המערכת ומנתחים כל משוואה.
2. אם נראה שלא $y$ ולא $x$ המקדמים עקביים, כלומר. הם לא שווים ולא מנוגדים, אז אנחנו עושים את הפעולות הבאות: אנחנו בוחרים את המשתנה שאנחנו צריכים להיפטר ממנו, ואז אנחנו מסתכלים על המקדמים של המשוואות האלה. אם נכפיל את המשוואה הראשונה במקדם מהשני, והשנייה, בהתאם, נכפיל במקדם מהראשון, אז בסופו של דבר נקבל מערכת ששווה לחלוטין לקודמתה, ואת המקדמים של $ y$ יהיה עקבי. כל הפעולות או הטרנספורמציות שלנו מכוונות רק לקבל משתנה אחד במשוואה אחת.
3. אנו מוצאים משתנה אחד.
4. נחליף את המשתנה המצוי באחת משתי המשוואות של המערכת ונמצא את השנייה.
5. נכתוב את התשובה בצורה של קואורדינטות של נקודות אם יש לנו משתנים $x$ ו-$y$.

אבל אפילו לאלגוריתם פשוט כזה יש דקויות משלו, למשל, המקדמים של $x$ או $y$ יכולים להיות שברים ומספרים "מכוערים" אחרים. כעת נשקול את המקרים הללו בנפרד, כי בהם ניתן לפעול בצורה שונה במקצת מאשר לפי האלגוריתם הסטנדרטי.

פתרון בעיות עם שברים

דוגמה מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

ראשית, שימו לב שהמשוואה השנייה מכילה שברים. אבל שים לב שאתה יכול לחלק $4$ ב$0.8$. נקבל $5$. בוא נכפיל את המשוואה השנייה ב-$5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

נחסר את המשוואות זו מזו:

מצאנו $n$, עכשיו בואו נספור $m$:

תשובה: $n=-4;m=5$

דוגמה מס' 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ ימין.\]

כאן, כמו במערכת הקודמת, ישנם מקדמים שברים, אך עבור אף אחד מהמשתנים המקדמים אינם מתאימים זה לזה מספר שלם של פעמים. לכן, אנו משתמשים באלגוריתם הסטנדרטי. היפטר מ-$p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

אנו משתמשים בשיטת החיסור:

בואו נמצא את $p$ על ידי החלפת $k$ במבנה השני:

תשובה: $p=-4;k=-2$.

ניואנסים של הפתרון

זה הכל אופטימיזציה. במשוואה הראשונה לא הכפלנו בשום דבר, אלא הכפלנו את המשוואה השנייה ב-$5$. כתוצאה מכך, קיבלנו משוואה עקבית ואפילו זהה עבור המשתנה הראשון. במערכת השנייה עקבנו אחר אלגוריתם סטנדרטי.

אבל איך מוצאים את המספרים שבהם מכפילים את המשוואות? הרי אם נכפיל בשברים נקבל שברים חדשים. לכן יש להכפיל את השברים במספר שייתן מספר שלם חדש, ולאחר מכן יש להכפיל את המשתנים במקדמים, לפי האלגוריתם הסטנדרטי.

לסיכום, ברצוני להסב את תשומת לבכם לפורמט הקלטת התגובה. כפי שכבר אמרתי, מכיוון שכאן אין לנו $x$ ו-$y$, אלא ערכים אחרים, אנו משתמשים בסימון לא סטנדרטי של הצורה:

פתרון מערכות משוואות מורכבות

כהערה אחרונה למדריך הווידאו של היום, בואו נסתכל על כמה מערכות מורכבות באמת. המורכבות שלהם תהיה מורכבת מהעובדה שיהיו להם משתנים גם משמאל וגם מימין. לכן, כדי לפתור אותם נצטרך ליישם עיבוד מקדים.

מערכת מס' 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

כל משוואה נושאת מורכבות מסוימת. לכן, הבה נתייחס לכל ביטוי כמו בבנייה ליניארית רגילה.

בסך הכל, אנו מקבלים את המערכת הסופית, המקבילה למערכת המקורית:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

בואו נסתכל על המקדמים של $y$: $3$ מתאים ל-$6$ פעמיים, אז בואו נכפיל את המשוואה הראשונה ב-$2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

המקדמים של $y$ שווים כעת, אז נחסר את השני מהמשוואה הראשונה: $$

עכשיו בואו נמצא את $y$:

תשובה: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

מערכת מס' 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

בואו נשנה את הביטוי הראשון:

בוא נתמודד עם השני:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

בסך הכל, המערכת הראשונית שלנו תהיה בטופס הבא:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

בהסתכלות על המקדמים של $a$, אנו רואים שיש להכפיל את המשוואה הראשונה ב-$2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

הורידו את השני מהבנייה הראשונה:

עכשיו בואו נמצא $a$:

תשובה: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

זה הכל. אני מקווה שמדריך וידאו זה יעזור לך להבין את הנושא הקשה הזה, כלומר פתרון מערכות של משוואות ליניאריות פשוטות. יהיו עוד שיעורים רבים בנושא זה בעתיד: נסתכל על דוגמאות מורכבות יותר, שבהן יהיו יותר משתנים, והמשוואות עצמן יהיו לא ליניאריות. נתראה שוב!

1. שיטת החלפה: מכל משוואה של המערכת אנו מבטאים אחד לא ידוע דרך אחר ומחליפים אותו במשוואה השנייה של המערכת.

מְשִׁימָה.פתרו את מערכת המשוואות:

פִּתָרוֹן.מהמשוואה הראשונה של המערכת אנו מבטאים בְּ-דרך איקסולהחליף אותו במשוואה השנייה של המערכת. בואו נשיג את המערכת שווה למקור.

לאחר הבאת תנאים דומים, המערכת תלבש את הטופס:

מהמשוואה השנייה אנו מוצאים: . החלפת ערך זה במשוואה בְּ- = 2 - 2איקס, אנחנו מקבלים בְּ-= 3. לכן, הפתרון למערכת זו הוא זוג מספרים.

2. שיטת חיבור אלגברית: על ידי הוספת שתי משוואות, מקבלים משוואה עם משתנה אחד.

מְשִׁימָה.פתרו את משוואת המערכת:

פִּתָרוֹן.מכפילים את שני הצדדים של המשוואה השנייה ב-2, נקבל את המערכת שווה למקור. בהוספת שתי המשוואות של מערכת זו, אנו מגיעים למערכת

לאחר הבאת תנאים דומים, מערכת זו תקבל את הצורה: מהמשוואה השנייה אנו מוצאים . החלפת ערך זה במשוואה 3 איקס + 4בְּ-= 5, אנחנו מקבלים , איפה . לכן, הפתרון למערכת זו הוא זוג מספרים.

3. שיטה להכנסת משתנים חדשים: אנו מחפשים כמה ביטויים חוזרים במערכת, אותם נסמן במשתנים חדשים, ובכך נפשט את מראה המערכת.

מְשִׁימָה.פתרו את מערכת המשוואות:

פִּתָרוֹן.בוא נכתוב את המערכת הזו אחרת:

לתת x + y = u, xy = v.ואז נקבל את המערכת

בואו נפתור את זה בשיטת ההחלפה. מהמשוואה הראשונה של המערכת אנו מבטאים uדרך vולהחליף אותו במשוואה השנייה של המערכת. בואו נשיג את המערכת הָהֵן.

מהמשוואה השנייה של המערכת אנו מוצאים v 1 = 2, v 2 = 3.

החלפת ערכים אלו במשוואה u = 5 - v, אנחנו מקבלים u 1 = 3,
u 2 = 2. אז יש לנו שתי מערכות

בפתרון המערכת הראשונה, נקבל שני זוגות של מספרים (1; 2), (2; 1). למערכת השנייה אין פתרונות.

תרגילים לעבודה עצמאית

1. לפתור מערכות משוואות בשיטת ההחלפה.

בשיעור זה נבחן שיטות לפתרון מערכת משוואות ליניאריות. בקורס של מתמטיקה גבוהה יותר, מערכות של משוואות ליניאריות נדרשות להיפתר הן בצורה של משימות נפרדות, למשל, "פתרו את המערכת באמצעות הנוסחאות של קריימר", והן במהלך פתרון בעיות אחרות. יש לטפל במערכות של משוואות ליניאריות כמעט בכל ענפי המתמטיקה הגבוהה.

ראשית, קצת תיאוריה. מה משמעות המילה המתמטית "לינארית" במקרה זה? זה אומר שהמשוואות של המערכת את כלמשתנים כלולים בתואר הראשון: בלי שום דברים מפוארים כמו וכו', שרק המשתתפים באולימפיאדות מתמטיות מרוצים ממנו.

במתמטיקה גבוהה יותר, לא רק אותיות המוכרות מילדות משמשות לציון משתנים.
אפשרות פופולרית למדי היא משתנים עם אינדקסים: .
או האותיות הראשוניות של האלפבית הלטיני, קטנות וגדולות:
זה לא כל כך נדיר למצוא אותיות יווניות: - ידועות לרבים בשם "אלפא, בטא, גמא". וגם סט עם מדדים, נניח, עם האות "מו":

השימוש בקבוצה כזו או אחרת של אותיות תלוי בקטע של המתמטיקה הגבוהה שבו אנו עומדים בפני מערכת משוואות ליניאריות. כך, למשל, במערכות של משוואות ליניאריות שנתקלות בהן בעת ​​פתרון אינטגרלים ומשוואות דיפרנציאליות, זה מסורתי להשתמש בסימון

אבל לא משנה איך מייעדים את המשתנים, העקרונות, השיטות והשיטות לפתרון מערכת של משוואות ליניאריות לא משתנים. לפיכך, אם נתקלתם במשהו מפחיד כמו , אל תמהרו לסגור את ספר הבעיות בפחד, הרי אפשר לצייר במקום את השמש, במקום ציפור ובמקום זאת פרצוף (המורה). ועד כמה שזה נראה מצחיק, ניתן לפתור גם מערכת של משוואות ליניאריות עם הסימונים האלה.

יש לי הרגשה שהכתבה תצא די ארוכה, אז תוכן עניינים קטן. אז, ה"תחקיר" הרציף יהיה כך:

- פתרון מערכת משוואות לינאריות בשיטת ההחלפה ("שיטת בית הספר");
– פתרון המערכת על ידי חיבור (חיסור) מונח אחר מונח של משוואות המערכת;
- פתרון המערכת באמצעות הנוסחאות של Cramer;
– פתרון המערכת באמצעות מטריצה ​​הפוכה;
– פתרון המערכת בשיטת גאוס.

כולם מכירים מערכות של משוואות ליניאריות מקורסי מתמטיקה בבית הספר. בעיקרון, אנחנו מתחילים עם חזרה.

פתרון מערכת משוואות ליניאריות בשיטת ההחלפה

שיטה זו יכולה להיקרא גם "שיטת בית הספר" או השיטה של ​​ביטול אלמונים. באופן פיגורטיבי, אפשר לקרוא לזה גם "שיטה גאוסית לא גמורה".

דוגמה 1

כאן ניתנת לנו מערכת של שתי משוואות עם שני לא ידועים. שימו לב שהמונחים החופשיים (מספרים 5 ו-7) ממוקמים בצד שמאל של המשוואה. באופן כללי, זה לא משנה היכן הם נמצאים, משמאל או מימין, זה פשוט שבבעיות במתמטיקה גבוהה יותר הם לרוב ממוקמים כך. והקלטה כזו לא צריכה להוביל לבלבול; במידת הצורך, תמיד ניתן לכתוב את המערכת "כרגיל": . אל תשכח שכאשר מעבירים מונח מחלק לחלק, הוא צריך לשנות את הסימן שלו.

מה זה אומר לפתור מערכת משוואות לינאריות? פתרון מערכת משוואות פירושו למצוא רבים מהפתרונות שלה. הפתרון של מערכת הוא קבוצה של ערכים של כל המשתנים הכלולים בה, מה שהופך כל משוואה של המערכת לשוויון אמיתי. בנוסף, המערכת יכולה להיות לא משותף (אין פתרונות).אל תתביישו, זו הגדרה כללית =) יהיה לנו רק ערך "x" אחד וערך "y" אחד, שעונים על כל משוואת c-we.

קיימת שיטה גרפית לפתרון המערכת, אותה תוכלו להכיר בכיתה. הבעיות הפשוטות ביותר עם קו. שם דיברתי על חוש גיאומטרימערכות של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים. אבל עכשיו זה עידן האלגברה, ומספרים-מספרים, פעולות-פעולות.

בואו נחליט: מהמשוואה הראשונה אנו מבטאים:
נחליף את הביטוי המתקבל במשוואה השנייה:

אנו פותחים את הסוגריים, מוסיפים מונחים דומים ומוצאים את הערך:

לאחר מכן, אנחנו זוכרים בשביל מה רקדנו:
אנחנו כבר יודעים את הערך, כל מה שנותר הוא למצוא:

תשובה:

לאחר שמערכת משוואות כלשהי נפתרה בכל דרך שהיא, אני ממליץ בחום לבדוק (בעל פה, על טיוטה או על מחשבון). למרבה המזל, זה נעשה בקלות ובמהירות.

1) החלף את התשובה שנמצאה במשוואה הראשונה:

– מתקבל השוויון הנכון.

2) החלף את התשובה שנמצאה במשוואה השנייה:

– מתקבל השוויון הנכון.

או, במילים פשוטות יותר, "הכל התאחד"

שיטת הפתרון הנחשבת אינה היחידה; מהמשוואה הראשונה ניתן היה להביע , ולא .
אתה יכול לעשות הפוך - לבטא משהו מהמשוואה השנייה ולהחליף אותו במשוואה הראשונה. אגב, שימו לב שהחיסרון ביותר מבין ארבע השיטות הוא לבטא מהמשוואה השנייה:

התוצאה היא שברים, אבל למה? יש פתרון רציונלי יותר.

עם זאת, במקרים מסוימים אתה עדיין לא יכול להסתדר בלי שברים. בהקשר זה, ברצוני להפנות את תשומת לבכם לאופן שבו רשמתי את הביטוי. לא ככה: ובשום מקרה לא ככה: .

אם במתמטיקה גבוהה יותר אתה עוסק במספרים שברים, נסה לבצע את כל החישובים בשברים לא תקינים רגילים.

בדיוק, ולא או!

ניתן להשתמש בפסיק רק לפעמים, במיוחד אם הוא התשובה הסופית לבעיה כלשהי, ואין צורך לבצע פעולות נוספות עם מספר זה.

קוראים רבים חשבו כנראה "למה הסבר כל כך מפורט כמו לשיעור תיקון, הכל ברור". שום דבר מהסוג הזה, זה נראה כמו דוגמה כל כך פשוטה לבית הספר, אבל יש כל כך הרבה מסקנות חשובות מאוד! הנה עוד אחד:

עליך לשאוף להשלים כל משימה בצורה הרציונלית ביותר. ולו רק בגלל שזה חוסך זמן ועצבים, וגם מקטין את הסבירות לטעות.

אם בבעיה במתמטיקה גבוהה יותר נתקלים במערכת של שתי משוואות ליניאריות עם שני לא ידועים אז תמיד אפשר להשתמש בשיטת ההחלפה (אלא אם כן מצוין שצריך לפתור את המערכת בשיטה אחרת) אף מורה אחד לא יעשה זאת. חושב שאתה פראייר ותפחית את הציון שלך על השימוש ב"שיטת בית הספר" "
יתרה מכך, במקרים מסוימים רצוי להשתמש בשיטת ההחלפה עם מספר רב יותר של משתנים.

דוגמה 2

פתור מערכת של משוואות ליניאריות עם שלושה לא ידועים

מערכת דומה של משוואות מתעוררת לעתים קרובות כאשר משתמשים בשיטה המכונה של מקדמים בלתי מוגדרים, כאשר אנו מוצאים את האינטגרל של פונקציה רציונלית שברית. המערכת המדוברת נלקחה משם על ידי.

כשמוצאים את האינטגרל, המטרה היא מָהִירמצא את ערכי המקדמים, במקום להשתמש בנוסחאות של Cramer, בשיטת המטריצה ​​ההפוכה וכו'. לכן, במקרה זה, שיטת ההחלפה מתאימה.

כאשר ניתנת מערכת משוואות כלשהי, קודם כל רצוי לברר האם אפשר איכשהו לפשט אותה באופן מיידי? בניתוח משוואות המערכת נבחין שניתן לחלק את המשוואה השנייה של המערכת ב-2, וזה מה שאנו עושים:

התייחסות:הסימן המתמטי פירושו "מכאן נובע מכך" והוא משמש לעתים קרובות בפתרון בעיות.

כעת ננתח את המשוואות; עלינו לבטא משתנה כלשהו במונחים של האחרים. באיזו משוואה עלי לבחור? בטח כבר ניחשתם שהדרך הקלה ביותר למטרה זו היא לקחת את המשוואה הראשונה של המערכת:

כאן, לא משנה איזה משתנה לבטא, אפשר להביע באותה קלות או .

לאחר מכן, נחליף את הביטוי במשוואה השנייה והשלישית של המערכת:

אנו פותחים את הסוגריים ומציגים מונחים דומים:

מחלקים את המשוואה השלישית ב-2:

מהמשוואה השנייה אנו מבטאים ומחליפים למשוואה השלישית:

כמעט הכל מוכן, מהמשוואה השלישית אנו מוצאים:
מהמשוואה השנייה:
מהמשוואה הראשונה:

בדוק: החלף את הערכים שנמצאו של המשתנים בצד שמאל של כל משוואה של המערכת:

1)
2)
3)

מתקבלות הצלעות הימניות המתאימות של המשוואות, ובכך הפתרון נמצא נכון.

דוגמה 3

פתור מערכת של משוואות ליניאריות עם 4 לא ידועים

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך (תשובה בסוף השיעור).

פתרון המערכת על ידי חיבור (חיסור) מונח אחר מונח של משוואות המערכת

כאשר פותרים מערכות של משוואות ליניאריות, כדאי לנסות להשתמש לא ב"שיטת בית הספר", אלא בשיטת החיבור (חיסור) מונח אחר מונח של משוואות המערכת. למה? זה חוסך זמן ומפשט את החישובים, עם זאת, עכשיו הכל יתבהר.

דוגמה 4

פתרו מערכת משוואות לינאריות:

לקחתי את אותה מערכת כמו בדוגמה הראשונה.
בניתוח מערכת המשוואות, נבחין כי המקדמים של המשתנה זהים בגודלם ומנוגדים בסימן (–1 ו-1). במצב כזה, ניתן להוסיף את המשוואות מונח אחר מונח:

פעולות מסווגות באדום מבוצעות באופן מנטאלי.
כפי שניתן לראות, כתוצאה מהוספה של מונח אחר מונח, איבדנו את המשתנה. זה, למעשה, מה המהות של השיטה היא להיפטר מאחד המשתנים.