כיצד לגלות את השורש של מספר. עבודת מחקר בנושא: "חילוץ שורשים מרובעים של מספרים גדולים ללא מחשבון"

האם אתה רוצה להצליח בבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה? אז אתה צריך להיות מסוגל לספור במהירות, נכון וללא מחשבון. אחרי הכל, הסיבה העיקרית לאיבוד נקודות בבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה היא שגיאות חישוביות.

על פי כללי מבחן המדינה המאוחדת, חל איסור להשתמש במחשבון במהלך הבחינה במתמטיקה. המחיר עלול להיות גבוה מדי - הסרה מהבחינה.

למעשה, אתה לא צריך מחשבון עבור בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה. כל הבעיות נפתרות בלעדיו. העיקר הוא תשומת לב, דיוק וכמה טכניקות סודיות, עליהם נספר לכם.

נתחיל עם הכלל העיקרי. אם ניתן לפשט חישוב, פשט אותו.

הנה, למשל, "המשוואה השטנית":

שבעים אחוז מהבוגרים פותרים את זה חזיתית. הם מחשבים את המבחין באמצעות הנוסחה, שלאחריה אומרים שלא ניתן לחלץ את השורש ללא מחשבון. אבל אתה יכול לחלק את הצד השמאלי והימני של המשוואה ב. זה יעבוד

איזו דרך קלה יותר? :-)

תלמידי בית ספר רבים אינם אוהבים כפל עמודים. אף אחד לא אהב לפתור "דוגמאות" משעממות בכיתה ד'. עם זאת, במקרים רבים ניתן להכפיל מספרים ללא "עמודה", בשורה. זה הרבה יותר מהיר.

שימו לב שאנחנו לא מתחילים בספרות קטנות יותר, אלא בספרות גדולות יותר. זה נוח.

עכשיו - חלוקה. לא קל לחלק "בעמודה" ב. אבל זכור שסימן החלוקה: וסרגל השבר הם אותו דבר. בוא נכתוב את זה כשבר ונפחית את השבר:

דוגמה אחרת.

איך לריבוע מספר דו ספרתי במהירות וללא עמודות? אנו מיישמים נוסחאות כפל מקוצר:

לפעמים נוח להשתמש בנוסחה אחרת:

מספרים המסתיימים ב , מרוחקים באופן מיידי.

נניח שעלינו למצוא את הריבוע של מספר (- לאו דווקא מספר, אלא כל מספר טבעי). נכפיל ב- ונוסיף לתוצאה. את כל!

למשל: (ומיוחס).

(ומיוחס).

(ומיוחס).

שיטה זו שימושית לא רק לריבוע, אלא להוצאת השורש הריבועי של מספרים המסתיימים ב-.

איך אפשר בכלל לחלץ את השורש הריבועי בלי מחשבון? נראה לך שתי דרכים.

השיטה הראשונה היא פירוק הביטוי הרדיקלי לגורמים.

למשל, בואו נמצא
מספר מתחלק ב(מאחר שסכום הספרות שלו מתחלק ב-). בואו נחלק לגורמים:

בוא נמצא את זה. מספר זה מתחלק ב. זה גם מחולק לפי. בוא נפרט את זה.

דוגמה אחרת.

יש דרך שנייה. זה נוח אם לא ניתן לחלק את המספר שממנו אתה צריך לחלץ את השורש.

לדוגמה, אתה צריך למצוא . המספר מתחת לשורש הוא אי זוגי, הוא לא מתחלק ב, לא מתחלק ב, לא מתחלק ב... אתה יכול להמשיך לחפש במה הוא מתחלק, או שאתה יכול לעשות את זה יותר קל - מצא את השורש הזה לפי בחירה .

ברור, מספר דו ספרתי היה בריבוע, שהוא בין המספרים ו , מאז , , והמספר הוא ביניהם. אנחנו כבר יודעים את הספרה הראשונה בתשובה, היא .

הספרה האחרונה במספר היא . מאז , , הספרה האחרונה בתשובה היא או , או . בוא נבדוק:
. קרה!

בוא נמצא את זה.

זה אומר שהספרה הראשונה בתשובה היא חמש.

הספרה האחרונה במספר היא תשע. , . המשמעות היא שהספרה האחרונה בתשובה היא או , או .

בוא נבדוק:

אם המספר שממנו צריך לחלץ את השורש הריבועי מסתיים ב- או, אז השורש הריבועי שלו יהיה מספר אי-רציונלי. כי שום ריבוע שלם לא מסתיים ב- או . זכור שבחלק מהבעיות בבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה, התשובה חייבת להיכתב כמספר שלם או כשבר עשרוני סופי, כלומר עליה להיות מספר רציונלי.

אנו נתקלים במשוואות ריבועיות בבעיות ובגרסאות של בחינת המדינה המאוחדת, כמו גם בחלקים. הם צריכים לספור את המבדיל ואז לחלץ ממנו את השורש. ואין בכלל צורך לחפש שורשים ממספרים בני חמש ספרות. במקרים רבים, ניתן לחלק את המבחין לגורמים.

לדוגמה, ב Eq.

מצב נוסף בו ניתן לחלק את הביטוי מתחת לשורש לגורמים נלקח מהבעיה.

התחתון של משולש ישר זווית שווה , אחת הרגליים שווה , מצא את הרגל השנייה.

לפי משפט פיתגורס, הוא שווה ל. אתה יכול לספור בעמודה במשך זמן רב, אבל קל יותר להשתמש בנוסחת הכפל המקוצר.

ועכשיו נספר לכם את הדבר המעניין ביותר - מדוע בוגרים מאבדים נקודות יקרות בבחינת המדינה המאוחדת. אחרי הכל, טעויות בחישובים לא קורות סתם.

1 . דרך בטוחה לאבד נקודות היא חישובים מרושלים שבהם משהו מתוקן, חוצה או מספר אחד נכתב על גבי אחר. תסתכל על הטיוטות שלך. אולי הם נראים אותו הדבר? :-)

כתוב בצורה קריא! אל תחסכו בנייר. אם משהו לא בסדר, אל תתקן מספר אחד לשני, עדיף לכתוב אותו שוב.

2. מסיבה כלשהי, תלמידי בית ספר רבים, כאשר סופרים בטור, מנסים לעשות זאת 1) מאוד מאוד מהר, 2) במספרים קטנים מאוד, בפינת המחברת שלהם, ו-3) עם עיפרון. התוצאה היא כזו:

אי אפשר להמציא שום דבר. אז האם זה מפתיע שציון הבחינה המאוחדת נמוך מהצפוי?

3. תלמידי בית ספר רבים רגילים להתעלם מסוגריים בביטויים. לפעמים זה קורה:

זכרו שסימן השוויון אינו ממוקם בשום מקום, אלא רק בין ערכים שווים. כתוב נכון, אפילו בצורת טיוטה.

4 . מספר עצום של שגיאות חישוב כוללות שברים. אם אתה מחלק שבר בשבר, השתמש במה
"המבורגר" מצויר כאן, כלומר, שבר רב קומות. קשה מאוד לקבל את התשובה הנכונה בשיטה זו.

בואו נסכם.

בדיקת המשימות של החלק הראשון של הפרופיל בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה היא אוטומטית. אין כאן תשובה "כמעט נכונה". או שהוא צודק או שהוא לא. שגיאה חישובית אחת - והלו, המשימה לא נחשבת. לכן, זה האינטרס שלך ללמוד לספור במהירות, נכון וללא מחשבון.

המשימות של החלק השני של הפרופיל בחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה נבדקות על ידי מומחה. תדאג לו! תן לו להבין גם את כתב היד שלך וגם את ההיגיון של ההחלטה.

איך לחלץ את השורש מהמספר. במאמר זה נלמד כיצד לקחת את השורש הריבועי של מספרים ארבע וחמש ספרות.

ניקח את השורש הריבועי של 1936 כדוגמה.

לָכֵן, .

הספרה האחרונה במספר 1936 היא המספר 6. הריבוע של המספר 4 והמספר 6 מסתיים ב-6. לכן, 1936 יכול להיות הריבוע של המספר 44 או המספר 46. נותר לבדוק באמצעות הכפל.

אומר,

בואו ניקח את השורש הריבועי של המספר 15129.

לָכֵן, .

הספרה האחרונה במספר 15129 היא המספר 9. הריבוע של המספר 3 והמספר 7 מסתיים ב-9. לכן, 15129 יכול להיות הריבוע של המספר 123 או המספר 127. בוא נבדוק באמצעות הכפל.

אומר,

איך לחלץ את השורש - וידאו

ועכשיו אני מציע לך לצפות בסרטון של אנה דניסובה - "איך לחלץ את השורש ", מחבר האתר" פיזיקה פשוטה", שבו היא מסבירה איך למצוא שורשי ריבוע וקובייה ללא מחשבון.

הסרטון דן במספר דרכים לחילוץ שורשים:

1. הדרך הקלה ביותר לחלץ את השורש הריבועי.

2. על ידי בחירה באמצעות ריבוע הסכום.

3. השיטה הבבלית.

4. שיטת חילוץ השורש הריבועי של עמודה.

5. דרך מהירה לחלץ את שורש הקובייה.

6. שיטת חילוץ שורש קובייה בטור.

שמירה על פרטיותך חשובה לנו. מסיבה זו, פיתחנו מדיניות פרטיות המתארת ​​כיצד אנו משתמשים ומאחסנים את המידע שלך. אנא סקור את נוהלי הפרטיות שלנו ויידע אותנו אם יש לך שאלות כלשהן.

איסוף ושימוש במידע אישי

מידע אישי מתייחס לנתונים שניתן להשתמש בהם כדי לזהות או ליצור קשר עם אדם ספציפי.

ייתכן שתתבקש לספק את המידע האישי שלך בכל עת בעת יצירת קשר.

להלן מספר דוגמאות לסוגי המידע האישי שאנו עשויים לאסוף וכיצד אנו עשויים להשתמש במידע כזה.

איזה מידע אישי אנחנו אוספים:

• בעת הגשת בקשה לאתר, אנו עשויים לאסוף פרטים שונים, לרבות שמך, מספר הטלפון, כתובת הדואר האלקטרוני שלך וכו'.

כיצד אנו משתמשים במידע האישי שלך:

• המידע האישי שאנו אוספים מאפשר לנו ליצור איתך קשר עם הצעות ייחודיות, מבצעים ואירועים נוספים ואירועים קרובים.
• מעת לעת, אנו עשויים להשתמש במידע האישי שלך כדי לשלוח הודעות והודעות חשובות.
• אנו עשויים להשתמש במידע אישי גם למטרות פנימיות, כגון ביצוע ביקורות, ניתוח נתונים ומחקרים שונים על מנת לשפר את השירותים שאנו מספקים ולספק לך המלצות לגבי השירותים שלנו.
• אם אתה משתתף בהגרלת פרסים, בתחרות או בקידום מכירות דומה, אנו עשויים להשתמש במידע שאתה מספק כדי לנהל תוכניות כאלה.

גילוי מידע לצדדים שלישיים

איננו חושפים את המידע שהתקבל ממך לצדדים שלישיים.

חריגים:

• במידת הצורך - בהתאם לחוק, להליך שיפוטי, בהליכים משפטיים ו/או על בסיס בקשות או בקשות ציבוריות מרשויות ממשלתיות בשטח הפדרציה הרוסית - לחשוף את המידע האישי שלך. אנו עשויים גם לחשוף מידע אודותיך אם נקבע כי חשיפה כזו נחוצה או מתאימה למטרות אבטחה, אכיפת חוק או חשיבות ציבורית אחרת.
• במקרה של ארגון מחדש, מיזוג או מכירה, אנו עשויים להעביר את המידע האישי שאנו אוספים לצד השלישי היורש הרלוונטי.

הגנה על מידע אישי

אנו נוקטים באמצעי זהירות - לרבות מנהליים, טכניים ופיסיים - כדי להגן על המידע האישי שלך מפני אובדן, גניבה ושימוש לרעה, כמו גם גישה לא מורשית, חשיפה, שינוי והרס.

כיבוד הפרטיות שלך ברמת החברה

כדי להבטיח שהמידע האישי שלך מאובטח, אנו מעבירים תקני פרטיות ואבטחה לעובדים שלנו ואוכפים בקפדנות את נוהלי הפרטיות.

פרק ראשון.

מציאת שורש המספר השלם הגדול ביותר ממספר שלם נתון.

170. הערות מקדימות.

א)מכיוון שנדבר על חילוץ רק את השורש הריבועי, כדי לקצר את הדיבור בפרק זה, במקום שורש "מרובע" נאמר פשוט "שורש".

ב)אם נרבוע את המספרים של הסדרה הטבעית: 1,2,3,4,5. . . , אז נקבל את טבלת הריבועים הבאה: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

ברור שיש הרבה מספרים שלמים שלא נמצאים בטבלה הזו; כמובן שאי אפשר לחלץ את כל השורש ממספרים כאלה. לכן, אם אתה צריך לחלץ את השורש של מספר שלם כלשהו, ​​למשל. נדרש למצוא √4082, אז אנו מסכימים להבין את הדרישה הזו באופן הבא: חלץ את כל השורש של 4082, אם אפשר; אם זה לא אפשרי, אז עלינו למצוא את המספר השלם הגדול ביותר שהריבוע שלו הוא 4082 (מספר כזה הוא 63, שכן 63 2 = 3969, ו-64 2 = 4090).

V)אם מספר זה קטן מ-100, אזי השורש שלו נמצא באמצעות לוח הכפל; לפיכך, √60 יהיה 7, שכן שבעה 7 שווים ל-49, שהם פחות מ-60, ושמונה 8 שווים ל-64, שהוא גדול מ-60.

171. חילוץ השורש של מספר קטן מ-10,000 אך גדול מ-100.נניח שאנחנו צריכים למצוא √4082. מכיוון שמספר זה קטן מ-10,000, השורש שלו קטן מ- √l0,000 = 100. מצד שני, מספר זה גדול מ-100; זה אומר שהשורש שלו גדול מ- (או שווה ל-10). (אם, למשל, היה צורך למצוא √ 120 , אז למרות שהמספר 120 > 100, לעומת זאת √ 120 שווה ל-10, כי 11 2 = 121.) אבל לכל מספר שגדול מ-10 אבל קטן מ-100 יש 2 ספרות; זה אומר שהשורש הנדרש הוא הסכום:

עשרות + אחדות,

ולכן הריבוע שלו חייב להיות שווה לסכום:

סכום זה חייב להיות הריבוע הגדול ביותר של 4082.

ניקח את הגדול שבהם, 36, ונניח שהריבוע של שורש העשרות יהיה שווה בדיוק לריבוע הגדול ביותר הזה. אז מספר העשרות בשורש חייב להיות 6. הבה נבדוק כעת שזה צריך להיות כך תמיד, כלומר, מספר העשרות בשורש שווה תמיד לשורש השלם הגדול ביותר של מספר מאות הרדיקלים.

אכן, בדוגמה שלנו, מספר העשרות של השורש לא יכול להיות יותר מ-6, שכן (7 דק') 2 = 49 מאות, שעולה על 4082. אבל הוא לא יכול להיות פחות מ-6, שכן 5 דק'. (עם יחידות) הוא פחות מ-6 ד"ש, ובינתיים (6 ד.) 2 = 36 מאות, שזה פחות מ-4082. ומכיוון שאנו מחפשים את השורש השלם הגדול ביותר, אין לקחת 5 ד" עבור השורש, כאשר אפילו 6 עשרות זה לא הרבה.

אז מצאנו את מספר העשרות של השורש, כלומר 6. אנו כותבים את המספר הזה מימין לסימן =, ונזכור שפירושו עשרות מהשורש. אם נעלה אותו ליד הכיכר, נקבל 36 מאות. אנו מפחיתים את 36 המאות הללו מ-40 המאות של המספר הרדיקלי ומחסירים את שתי הספרות הנותרות של מספר זה. היתרה 482 חייבת להכיל 2 (6 דק') (יחידות) + (יחידות)2. המוצר (6 דצמבר) (יחידות) חייב להיות עשרות; לכן, יש לחפש את המכפלה הכפולה של עשרות באחדים בעשרות של השאר, כלומר ב-48 (אנו מקבלים את מספרם על ידי הפרדת ספרה אחת מימין ביתרת 48 "2). העשרות הכפולות של השורש מרכיבים 12. זה אומר שאם נכפיל את 12 ביחידות השורש (שעדיין לא ידועות), אז נקבל את המספר הכלול ב-48. לכן, נחלק את 48 ב-12.

לשם כך, נצייר קו אנכי משמאל לשארית ומאחוריו (בחזרה מהקו מקום אחד שמאלה למטרה שתופיע כעת) נכתוב את הספרה הראשונה כפולה של השורש, כלומר 12, ו חלקו בו 48. במנה נקבל 4.

עם זאת, איננו יכולים להבטיח מראש שניתן לקחת את המספר 4 כיחידות של השורש, מכיוון שחילקנו כעת ב-12 את כל מספר העשרות מהשאר, בעוד שחלקם אולי לא שייכים למכפלה הכפולה של עשרות ב- יחידות, אך הן חלק מריבוע היחידות. לכן, המספר 4 עשוי להיות גדול. אנחנו צריכים לנסות את זה. ברור שזה מתאים אם הסכום 2 (6 דצמבר) 4 + 4 2 הוא לא יותר מהשאר 482.

כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הסכום של שניהם בבת אחת. המוצר שהתקבל התברר כ-496, שהוא גדול מהשאר 482; זה אומר שמספר 4 הוא גדול. אז בואו נבדוק את המספר הקטן הבא 3 באותו אופן.

דוגמאות.

בדוגמה 4, כאשר מחלקים את 47 העשרות מהשאר ב-4, נקבל 11 כמנה. אך מכיוון שמספר היחידות של השורש אינו יכול להיות מספר דו ספרתי 11 או 10, עלינו לבדוק ישירות את המספר 9.

בדוגמה 5, לאחר הפחתת 8 מהפן הראשון של הריבוע, היתרה מתבררת כ-0, וגם הפן הבא מורכב מאפסים. זה מראה שהשורש הרצוי מורכב מ-8 עשרות בלבד, ולכן יש לשים אפס במקום האחדות.

172. חילוץ השורש של מספר הגדול מ-10000. נניח שאנחנו צריכים למצוא √35782. מכיוון שהמספר הרדיקלי עולה על 10,000, השורש שלו גדול מ-√10000 = 100, ולכן הוא מורכב מ-3 ספרות או יותר. לא משנה מכמה ספרות הוא מורכב, תמיד נוכל לראות בו כסכום של עשרות ואחדות בלבד. אם, למשל, השורש מתברר כ-482, אז נוכל לספור אותו ככמות של 48 des. + 2 יחידות אז ריבוע השורש יהיה מורכב מ-3 איברים:

(דצ.) 2 + 2 (דצ.) (יחידה) + (יחידה) 2 .

כעת אנו יכולים לנמק בדיוק באותו אופן כמו בעת מציאת √4082 (בפסקה הקודמת). ההבדל היחיד יהיה שכדי למצוא את עשרות השורש של 4082 היינו צריכים לחלץ את השורש של 40, וניתן היה לעשות זאת באמצעות לוח הכפל; כעת, כדי לקבל עשרות√35782, נצטרך לקחת את השורש של 357, דבר שלא ניתן לעשות באמצעות לוח הכפל. אבל אנחנו יכולים למצוא √357 באמצעות הטכניקה שתוארה בפסקה הקודמת, מאז המספר 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

לאחר מכן, אנו ממשיכים כפי שעשינו בעת מציאת √4082, כלומר: משמאל לשארית 3382 אנו מציירים קו אנכי ומאחוריו נרשום (חורגים אחד אחורה מהקו) כפול מספר העשרות של השורש שנמצא, כלומר 36 (פעמיים 18). בשאר, אנו מפרידים ספרה אחת מימין ומחלקים את מספר העשרות של השארית, כלומר 338, ב-36. במנה נקבל 9. אנו בודקים את המספר הזה, שעבורו אנו מקצים אותו ל-36 מימין. להכפיל בזה. המוצר התברר כ-3321, שהוא פחות מהשאר. זה אומר שהמספר 9 מתאים, אנחנו כותבים אותו בשורש.

באופן כללי, כדי לחלץ את השורש הריבועי של כל מספר שלם, תחילה עליך לחלץ את השורש ממאותיו; אם מספר זה הוא יותר מ-100, אז תצטרך לחפש את השורש של מספר מאות מאות אלה, כלומר, של עשרות אלפים של מספר זה; אם המספר הזה הוא יותר מ-100, תצטרך לקחת את השורש ממספר מאות עשרות אלפים, כלומר מהמיליונים של מספר נתון וכו'.

דוגמאות.

בדוגמה האחרונה, לאחר שמצאנו את הספרה הראשונה ונחסיר את הריבוע שלה, נקבל שארית של 0. נחסר את 2 הספרות הבאות 51. בהפרדת העשרות נקבל 5 des, בעוד שהספרה המצוי הכפול של השורש היא 6. זה אומר שמחלק 5 ב-6 נקבל 0 אנחנו שמים 0 במקום השני בשורש ונוסיף את 2 הספרות הבאות לשאר; נקבל 5110. ואז נמשיך כרגיל.

בדוגמה זו, השורש הנדרש מורכב מ-9 מאות בלבד, ולכן יש להציב אפסים במקומות של עשרות ובמקומות של אחדות.

כְּלָל. כדי לחלץ את השורש הריבועי של מספר שלם נתון, הם מחלקים אותו, מיד ימין לשמאל, בקצה, עם 2 ספרות בכל אחת, מלבד האחרונה, שיכולה להיות בעלת ספרה אחת.
כדי למצוא את הספרה הראשונה של השורש, קחו את השורש הריבועי של הפנים הראשון.
כדי למצוא את הספרה השנייה, הריבוע של הספרה הראשונה של השורש מוחסר מהפנים הראשון, הפנים השני נלקח לשאר, ומספר העשרות של המספר המתקבל מחולק בכפולה מהספרה הראשונה של השורש. ; המספר השלם המתקבל נבדק.
בדיקה זו מתבצעת כך: מאחורי הקו האנכי (משמאל לשארית) כתוב פעמיים את המספר שנמצא קודם לכן של השורש ואליו, בצד ימין, הוסף את הספרה שנבדקה, המספר המתקבל, לאחר תוספת זו. , מוכפל בספרה שנבדקה. אם לאחר הכפל התוצאה היא מספר גדול מהשאר, אז הספרה הנבדקת אינה מתאימה ויש לבדוק את הספרה הקטנה הבאה.
הספרות הבאות של השורש נמצאות באותה טכניקה.
אם לאחר הסרת פנים, מסתבר שמספר העשרות של המספר המתקבל קטן מהמחלק, כלומר פחות מפי שניים מהחלק שנמצא בשורש, אז הם שמים 0 בשורש, מסירים את הפנים הבא ו להמשיך את הפעולה.

173. מספר ספרות השורש.מההתחשבות בתהליך מציאת השורש, יוצא שיש מספרות בשורש כמו שיש פנים של 2 ספרות כל אחת במספר הרדיקלי (לפנים השמאלית עשויה להיות ספרה אחת).

פרק שני.

חילוץ שורשים ריבועיים משוערים של מספרים שלמים ושברים .

לחילוץ השורש הריבועי של פולינומים, ראה את התוספות לחלק השני של § 399 ואילך.

174. סימני שורש ריבועי מדויק.השורש הריבועי המדויק של מספר נתון הוא מספר שהריבוע שלו שווה בדיוק למספר הנתון. הבה נציין כמה סימנים שלפיהם ניתן לשפוט אם ניתן לחלץ שורש מדויק ממספר נתון או לא:

א)אם השורש השלם המדויק לא מופק ממספר שלם נתון (השאר מתקבל בעת חילוץ), אזי לא ניתן למצוא את השורש המדויק השבר ממספר כזה, שכן כל שבר שאינו שווה למספר שלם, כשהוא מוכפל בעצמו , גם מייצר שבר במוצר, לא מספר שלם.

ב)מכיוון ששורש השבר שווה לשורש המונה חלקי שורש המכנה, לא ניתן למצוא את השורש המדויק של שבר בלתי ניתן לצמצום אם לא ניתן לחלץ אותו מהמונה או מהמכנה. למשל, לא ניתן לחלץ את השורש המדויק מהשברים 4/5, 8/9 ו-11/15, שכן בשבר הראשון לא ניתן לחלץ מהמכנה, בשני - מהמונה, ובשלישי - לא מהמונה ולא מהמכנה.

ממספרים שלא ניתן לחלץ מהם את השורש המדויק, ניתן לחלץ רק שורשים משוערים.

175. שורש משוער מדויק ל-1. שורש ריבועי משוער, מדויק עד 1, של מספר נתון (מספר שלם או שבר, זה לא משנה) הוא מספר שלם שעונה על שתי הדרישות הבאות:

1) הריבוע של מספר זה אינו גדול מהמספר הנתון; 2) אבל הריבוע של מספר זה המוגדל ב-1 גדול ממספר זה. במילים אחרות, שורש ריבועי משוער המדויק ל-1 הוא השורש השלם הגדול ביותר של מספר נתון, כלומר השורש שלמדנו למצוא בפרק הקודם. שורש זה נקרא משוער בדיוק של 1, כי כדי לקבל שורש מדויק, נצטרך להוסיף חלק קטן מ-1 לשורש המשוער הזה, כך שאם במקום השורש המדויק הלא ידוע ניקח את השורש המשוער הזה, נעשה שגיאה קטנה מ-1.

כְּלָל. כדי לחלץ שורש ריבועי משוער המדויק עד ל-1, עליך לחלץ את השורש השלם הגדול ביותר של החלק השלם של המספר הנתון.

המספר שנמצא על ידי כלל זה הוא שורש משוער עם חיסרון , מכיוון שחסר לו השורש המדויק של שבר מסוים (פחות מ-1). אם נגדיל את השורש הזה ב-1, נקבל עוד מספר שבו יש עודף מסוים על השורש המדויק, והעודף הזה קטן מ-1. לשורש הזה המוגדל ב-1 אפשר לקרוא גם שורש משוער בדיוק של 1, אבל עם עודף. (השמות: "עם חוסר" או "עם עודף" בחלק מהספרים המתמטיים מוחלפים בשמות מקבילים אחרים: "במחסור" או "בעודף").

176. שורש משוער עם דיוק של 1/10. נניח שאנחנו צריכים למצוא √2.35104 בדיוק של 1/10. המשמעות היא שעליך למצוא שבר עשרוני שיורכב מיחידות שלמות ועשיריות שיעמוד בשתי הדרישות הבאות:

1) הריבוע של השבר הזה אינו עולה על 2.35104, אבל 2) אם נגדיל אותו ב-1/10, הריבוע של השבר המוגדל הזה עולה על 2.35104.

כדי למצוא שבר כזה, אנו מוצאים תחילה שורש משוער המדויק ל-1, כלומר נחלץ את השורש רק מהמספר השלם 2. נקבל 1 (והשאר הוא 1). נכתוב את הספרה 1 בשורש ונשים אחריו פסיק. כעת נחפש את מספר העשיריות. לשם כך, מורידים לשארית 1 את הספרות 35 מימין לנקודה העשרונית, וממשיכים בחילוץ כאילו היינו מחלצים את השורש של המספר השלם 235. אנו כותבים את הספרה המתקבלת 5 בשורש ב- מקום עשיריות. אנחנו לא צריכים את שאר הספרות של המספר הרדיקלי (104). שהמספר שיתקבל 1.5 יהיה למעשה שורש משוער עם דיוק של 1/10 ניתן לראות מהבאים. אם היינו מוצאים את השורש השלם הגדול ביותר של 235 בדיוק של 1, היינו מקבלים 15. אז:

15 2 < 235, אבל 16 2 >235.

מחלקים את כל המספרים האלה ב-100, נקבל:

זה אומר שהמספר 1.5 הוא השבר העשרוני שקראנו לו שורש משוער עם דיוק של 1/10.

באמצעות טכניקה זו, נוכל למצוא גם את השורשים המשוערים הבאים עם דיוק של 0.1:

177. שורש ריבועי בקירוב לטווח של 1/100 עד 1/1000 וכו'.

נניח שעלינו למצוא √248 משוער עם דיוק של 1/100. משמעות הדבר היא: מצא שבר עשרוני שיורכב מחלקים שלמים, עשיריות ומאיות ויעמוד בשתי דרישות:

1) הריבוע שלו אינו עולה על 248, אבל 2) אם נגדיל את השבר הזה ב-1/100, הריבוע של השבר המוגדל הזה עולה על 248.

נמצא שבר כזה ברצף הבא: תחילה נמצא את המספר השלם, אחר כך את דמות העשיריות, ואז את דמות המאיות. השורש של מספר שלם הוא 15 מספרים שלמים. כדי לקבל את נתון העשיריות, כפי שראינו, עליך להוסיף לשאר 23 2 ספרות נוספות מימין לנקודה העשרונית. בדוגמה שלנו, המספרים הללו אינם קיימים כלל; אנו שמים אפסים במקומם. על ידי הוספתם לשארית והמשך כאילו מצאנו את שורש המספר השלם 24,800, נמצא את העשיריות דמות 7. נותר למצוא את דמות המאיות. לשם כך, נוסיף עוד 2 אפסים לשארית 151 ונמשיך בחילוץ, כאילו מצאנו את השורש של המספר השלם 2,480,000. נקבל 15.74. שמספר זה הוא באמת שורש משוער של 248 עם דיוק של 1/100 ניתן לראות מהבאים. אם היינו מוצאים את השורש השלם הגדול ביותר של המספר השלם 2,480,000, היינו מקבלים 1574; אומר:

1574 2 < 2,480,000, אבל 1575 2 > 2,480,000.

מחלקים את כל המספרים ב-10,000 (= 100 2), נקבל:

זה אומר ש-15.74 הוא השבר העשרוני הזה שקראנו לו שורש משוער בדיוק של 1/100 מ-248.

יישום טכניקה זו למציאת שורש משוער עם דיוק של 1/1000 עד 1/10000 וכו', אנו מוצאים את הדברים הבאים.

כְּלָל. כדי לחלץ שורש משוער ממספר שלם נתון או משבר עשרוני נתון בדיוק של 1/10 עד 1/100 עד 1/100 וכו', תחילה מצא שורש משוער בדיוק של 1, תוך חילוץ השורש של מספר שלם (אם לא, הם כותבים על השורש של 0 מספרים שלמים).

ואז הם מוצאים את מספר העשיריות. לשם כך, הוסף לשארית את 2 הספרות של המספר הרדיקלי מימין לנקודה העשרונית (אם הן אינן שם, הוסף שני אפסים לשאר), והמשך בחילוץ כפי שנעשה בעת חילוץ השורש של מספר שלם. . המספר המתקבל נכתב בשורש במקום העשיריות.

לאחר מכן מצא את מספר המאיות. לשם כך מוסיפים שני מספרים מימין לאלה שזה עתה הוסרו לשאר וכו'.

לפיכך, בעת חילוץ שורש של מספר שלם עם שבר עשרוני, יש צורך לחלק לפרצופים 2 ספרות כל אחד, החל מהנקודה העשרונית, הן משמאל (בחלק השלם של המספר) והן מימין (ב החלק השברי).

דוגמאות.

1) מצא עד 1/100 שורשים: א) √2; ב) √0.3;

בדוגמה האחרונה, המרנו את השבר 3/7 לעשרוני על ידי חישוב 8 מקומות עשרוניים כדי ליצור את 4 הפרצופים הדרושים כדי למצוא את 4 המקומות העשרוניים של השורש.

178. תיאור טבלת השורשים הריבועיים.בסוף ספר זה טבלה של שורשים ריבועיים המחושבים בארבע ספרות. באמצעות טבלה זו, תוכל למצוא במהירות את השורש הריבועי של מספר שלם (או שבר עשרוני) שמתבטא בארבע ספרות לכל היותר. לפני שנסביר כיצד בנויה טבלה זו, נציין שתמיד נוכל למצוא את הספרה המשמעותית הראשונה של השורש הרצוי ללא עזרת טבלאות רק על ידי הסתכלות על המספר הרדיקלי; אנו יכולים גם לקבוע בקלות לאיזה מקום עשרוני המשמעות של הספרה הראשונה של השורש, ולכן, היכן בשורש, כאשר אנו מוצאים את הספרות שלו, עלינו לשים פסיק. הנה כמה דוגמאות:

1) √5"27,3 . הספרה הראשונה תהיה 2, שכן הצד השמאלי של המספר הרדיקלי הוא 5; והשורש של 5 שווה ל-2. בנוסף, מכיוון שבחלק השלם של הרדיקל יש רק 2 פנים, אז בחלק השלם של השורש הרצוי חייבות להיות 2 ספרות ולכן, הספרה הראשונה שלו 2 חייבת להיות. מתכוון לעשרות.

2) √9.041. ברור שבשורש זה הספרה הראשונה תהיה 3 יחידות ראשוניות.

3) √0.00"83"4. הספרה המשמעותית הראשונה היא 9, מכיוון שהפנים שממנו יש לקחת את השורש כדי לקבל את הספרה המשמעותית הראשונה היא 83, והשורש של 83 הוא 9. מכיוון שהמספר הנדרש לא יכיל מספרים שלמים או עשיריות, הספרה הראשונה 9 חייבת להיות מאיות.

4) √0.73"85. הנתון המשמעותי הראשון הוא 8 עשיריות.

5) √0.00"00"35"7. הנתון המשמעותי הראשון יהיה 5 אלפיות.

בוא נעיר הערה נוספת. הבה נניח שעלינו לחלץ את השורש של מספר אשר, לאחר ביטול המילה הכבושה בו, מיוצג על ידי סדרת מספרים כך: 5681. שורש זה יכול להיות אחד מהבאים:

אם ניקח את השורשים שנמתחים בשורה אחת, אז כולם יבואו לידי ביטוי באותה סדרת מספרים, בדיוק אותם מספרים שמתקבלים בחילוץ השורש משנת 5681 (אלה יהיו המספרים 7, 5, 3, 7 ). הסיבה לכך היא שהפנים שאליהם יש לחלק את המספר הרדיקלי בעת מציאת ספרות השורש יהיו זהים בכל הדוגמאות הללו, לכן הספרות של כל שורש יהיו זהות (רק המיקום של השורש העשרוני הנקודה תהיה, כמובן, שונה). באותו אופן, בכל השורשים המסומנים על ידינו בשתי קווים, יש לקבל את אותם המספרים, בדיוק אלה המשמשים לבטא √568.1 (המספרים הללו יהיו 2, 3, 8, 3), ועבור אותו דבר. סיבה. לפיכך, הספרות של שורשי המספרים המיוצגים (על ידי הפלת הפסיק) על ידי אותה שורת מספרים 5681 יהיו מסוג שני (ורק שניים): או שזו השורה 7, 5, 3, 7, או שורה 2, 3, 8, 3. את אותו הדבר, כמובן, אפשר לומר על כל סדרת מספרים אחרת. לכן, כפי שנראה כעת, בטבלה, כל שורה של ספרות של המספר הרדיקלי מתאימה ל-2 שורות של ספרות עבור השורשים.

כעת נוכל להסביר את מבנה הטבלה וכיצד להשתמש בה. לבירור ההסבר, הצגנו כאן את תחילת העמוד הראשון של הטבלה.

טבלה זו ממוקמת במספר דפים. על כל אחד מהם, בעמודה הראשונה משמאל, מונחים המספרים 10, 11, 12... (עד 99). מספרים אלו מבטאים את 2 הספרות הראשונות של המספר שממנו מחפשים את השורש הריבועי. בקו האופקי העליון (כמו גם בחלק התחתון) נמצאים המספרים: 0, 1, 2, 3... 9, המייצגים את הספרה ה-3 של מספר זה, ואז יותר מימין הם המספרים 1, 2, 3. . . 9, המייצג את הספרה הרביעית של מספר זה. כל שאר הקווים האופקיים מכילים 2 מספרים בני ארבע ספרות המבטאים את השורשים הריבועיים של המספרים המתאימים.

נניח שאתה צריך למצוא את השורש הריבועי של מספר כלשהו, ​​או מספר שלם או מבוטא כשבר עשרוני. קודם כל אנו מוצאים, ללא עזרת טבלאות, את הספרה הראשונה של השורש ואת הספרה שלו. אז נזרוק את הפסיק במספר זה, אם יש כזה. תחילה נניח שאחרי ביטול הפסיק יישארו 3 ספרות בלבד, למשל. 114. נמצא בטבלאות שבעמודה השמאלית ביותר את 2 הספרות הראשונות, כלומר 11, ונעבור מהן ימינה לאורך הקו האופקי עד שנגיע לעמודה האנכית, שבראשה (והתחתון) שלה נמצאת הספרה ה-3. של המספר , כלומר 4. במקום זה אנו מוצאים שני מספרים בני ארבע ספרות: 1068 ו- 3376. איזה משני המספרים הללו צריך לקחת והיכן לשים בו את הפסיק, זה נקבע לפי הספרה הראשונה של השורש ו הספרה שלו, שמצאנו קודם לכן. לכן, אם אנחנו צריכים למצוא √0.11"4, אז הספרה הראשונה של השורש היא 3 עשיריות, ולכן עלינו לקחת 0.3376 לשורש. אם היינו צריכים למצוא √1.14, אז הספרה הראשונה של השורש תהיה 1, ואנחנו אז ניקח 1.068.

כך נוכל למצוא בקלות:

√5.30 = 2.302; √7"18 = 26.80; √0.91"6 = 0.9571 וכו'.

הבה נניח כעת שעלינו למצוא את השורש של מספר המבוטא (על ידי הפלת הנקודה העשרונית) ב-4 ספרות, למשל, √7"45.6. שים לב שהספרה הראשונה של השורש היא 2 עשיריות, נמצא עבור מספר 745, כפי שהוסבר כעת, הספרות 2729 (אנו מבחינים במספר זה רק באצבע, אך לא רושמים אותו.) לאחר מכן אנו עוברים ממספר זה יותר ימינה עד בצד ימין של הטבלה (מאחורי) השורה המודגשת האחרונה) אנו פוגשים את העמודה האנכית המסומנת בראש (והתחתון) 4 הספרה ה' של המספר הנתון, כלומר המספר 6, ונמצא שם את המספר 1. זה יהיה תיקון שיש ליישם (במוח) למספר שנמצא קודם לכן 2729; נקבל 2730. אנו רושמים את המספר הזה ומכניסים בו פסיק במקום הנכון: 27.30.

בדרך זו אנו מוצאים, למשל:

√44.37 = 6.661; √4.437 = 2.107; √0.04"437 =0.2107 וכו'.

אם המספר הרדיקלי מבוטא רק בספרה אחת או שתיים, אז נוכל להניח שאחריהם יש אפס אחד או שניים, ואז להמשיך כפי שהוסבר עבור מספר תלת ספרתי. לדוגמה, √2.7 =√2.70 =1.643; √0.13 = √0.13"0 = 0.3606 וכו'.

לבסוף, אם המספר הרדיקלי מבוטא ביותר מ-4 ספרות, אז ניקח רק את ה-4 הראשונות שבהן, ונזרוק את השאר, וכדי להקטין את השגיאה, אם הראשונה מבין הספרות שהושלכו היא 5 או יותר מ-5, אז נגדיל ב-1 את הרביעית מהספרות שנשמרו. כך:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0.7025; וכולי.

תגובה. הטבלאות מציינות את השורש הריבועי המשוער, לפעמים עם חסר, לפעמים עם עודף, כלומר זה מהשורשים המשוערים האלה שמתקרב לשורש המדויק.

179. חילוץ שורשים מרובעים משברים רגילים.ניתן לחלץ את השורש הריבועי המדויק של שבר בלתי ניתן לצמצום רק כאשר שני האיברים של השבר הם ריבועים מדויקים. במקרה זה, מספיק לחלץ את השורש של המונה והמכנה בנפרד, למשל:

הדרך הקלה ביותר למצוא שורש ריבועי משוער של שבר רגיל בדיוק עשרוני היא להמיר תחילה את השבר הרגיל לעשרוני, ולחשב בשבר זה את מספר המקומות העשרוניים אחרי הנקודה העשרונית שיהיה כפול ממספר המקומות העשרוניים. בשורש הרצוי.

עם זאת, אתה יכול לעשות את זה אחרת. הבה נסביר זאת באמצעות הדוגמה הבאה:

מצא משוער √ 5 / 24

בואו נהפוך את המכנה לריבוע מדויק. לשם כך, די יהיה להכפיל את שני האיברים של השבר במכנה 24; אבל בדוגמה זו אתה יכול לעשות את זה אחרת. בואו נפרק 24 לגורמים ראשוניים: 24 = 2 2 2 3. מהפירוק הזה ברור שאם 24 מוכפל ב-2 ועוד 3, אז במכפל כל גורם פשוט יחזור על עצמו מספר זוגי של פעמים, ולכן , המכנה יהפוך לריבוע:

נותר לחשב √30 בדיוק מסוים ולחלק את התוצאה ב-12. יש לקחת בחשבון שחלוקה ב-12 תפחית גם את השבר המציין את מידת הדיוק. לכן, אם נמצא √30 בדיוק של 1/10 ונחלק את התוצאה ב-12, נקבל שורש משוער של השבר 5/24 בדיוק של 1/120 (כלומר 54/120 ו-55/120)

פרק שלישי.

גרף של פונקציהx = √y .

180. פונקציה הפוכה.תן איזו משוואה שקובעת בְּ- כתפקוד של איקס , למשל, כך: y = x 2 . אנחנו יכולים לומר שזה קובע לא רק בְּ- כתפקוד של איקס , אבל גם, להיפך, קובע איקס כתפקוד של בְּ- , אם כי באופן מרומז. כדי להפוך את הפונקציה הזו למפורשת, עלינו לפתור את המשוואה הזו עבור איקס , לוקח בְּ- עבור מספר ידוע; אז מהמשוואה שלקחנו אנו מוצאים: y = x 2 .

הביטוי האלגברי המתקבל עבור x לאחר פתרון המשוואה המגדירה את y כפונקציה של x נקרא הפונקציה ההפוכה של זו שמגדירה את y.

אז הפונקציה x = √y פונקציה הפוכה y = x 2 . אם, כמקובל, נסמן את המשתנה הבלתי תלוי איקס , והתלויים בְּ- , אז ניתן לבטא את הפונקציה ההפוכה המתקבלת כעת באופן הבא: y = √x . לפיכך, על מנת לקבל פונקציה הפוכה לנתונה (ישירה), יש צורך לגזור מהמשוואה המגדירה פונקציה נתונה זו איקס תלוי ב y ובביטוי המתקבל להחליף y עַל איקס , א איקס עַל y .

181. גרף של פונקציה y = √x . פונקציה זו אינה אפשרית עם ערך שלילי איקס , אך ניתן לחשב אותו (בכל דיוק) עבור כל ערך חיובי איקס , ועל כל ערך כזה הפונקציה מקבלת שני ערכים שונים בעלי אותו ערך מוחלט, אך עם סימנים הפוכים. אם אתם מכירים √ אם נסמן רק את הערך האריתמטי של השורש הריבועי, אז שני הערכים הללו של הפונקציה יכולים לבוא לידי ביטוי באופן הבא: y = ± √ x כדי לשרטט גרף של פונקציה זו, תחילה עליך להרכיב טבלה של ערכיה. הדרך הקלה ביותר ליצור טבלה זו היא מהטבלה של ערכי פונקציה ישירה:

y = x 2 .

איקס

y

אם הערכים בְּ- לקחת כערכים איקס , ולהיפך:

y = ± √ x

על ידי שרטוט כל הערכים הללו על הציור, אנו מקבלים את הגרף הבא.

באותו ציור תיארנו (עם קו שבור) את הגרף של הפונקציה הישירה y = x 2 . הבה נשווה את שני הגרפים הללו אחד עם השני.

182. הקשר בין הגרפים של פונקציות ישירות והפוכות.להרכיב טבלת ערכים של הפונקציה ההפוכה y = ± √ x לקחנו עבור איקס המספרים האלה שנמצאים בטבלה של הפונקציה הישירה y = x 2 שימש כערכים עבור בְּ- , ועבור בְּ- לקח את המספרים האלה; אשר בטבלה זו היו הערכים עבור איקס . מכאן נובע ששני הגרפים זהים, רק הגרף של הפונקציה הישירה ממוקם כך ביחס לציר בְּ- - כיצד ממוקם הגרף של הפונקציה ההפוכה ביחס לציר איקס - או. כתוצאה מכך, אם נכופף את הציור סביב קו ישר OA חציית זווית ישרה xOy , כך שהחלק של הציור המכיל את חצי הציר OU , נפל על החלק המכיל את ציר הציר אה , זה OU מותאם ל אה , כל החטיבות OU יעלה בקנה אחד עם חלוקות אה , ונקודות פרבולה y = x 2 יתיישר עם הנקודות המתאימות בגרף y = ± √ x . למשל, נקודות M ו נ , מי סמיכה 4 , והאבססיס 2 וגם - 2 , יתאים לנקודות M" ו נ" , שעבורו האבשיסה 4 , והאורינטות 2 וגם - 2 . אם נקודות אלה חופפות, זה אומר שהקווים הישרים מ"מ" ו NN" מאונך ל OAומחלקים את הקו הישר הזה לשניים. ניתן לומר את אותו הדבר לגבי כל שאר הנקודות המתאימות בשני הגרפים.

לפיכך, הגרף של הפונקציה ההפוכה צריך להיות זהה לגרף של הפונקציה הישירה, אך הגרפים הללו ממוקמים באופן שונה, כלומר באופן סימטרי אחד עם השני ביחס לחציו של הזווית xOy . אנו יכולים לומר שהגרף של הפונקציה ההפוכה הוא השתקפות (כמו במראה) של גרף הפונקציה הישירה ביחס לחציו של הזווית xOy .

חישוב (או מיצוי) השורש הריבועי יכול להתבצע בכמה דרכים, אך כולן אינן פשוטות במיוחד. קל יותר, כמובן, להשתמש במחשבון. אבל אם זה לא אפשרי (או שאתה רוצה להבין את מהות השורש הריבועי), אני יכול לייעץ לך ללכת בדרך הבאה, האלגוריתם שלו הוא כדלקמן:

אם אין לך כוח, רצון או סבלנות לחישובים ארוכים כל כך, אתה יכול לפנות לבחירה גסה; היתרון שלה הוא שהיא מהירה להפליא, ועם כושר המצאה מתאים, מדויקת. דוגמא:

כשהייתי בבית הספר (תחילת שנות ה-60), לימדו אותנו לקחת את השורש הריבועי של כל מספר. הטכניקה פשוטה, דומה כלפי חוץ לחלוקה ארוכה, אבל כדי להציג אותה כאן יידרש חצי שעה של זמן ו-4-5 אלף תווים של טקסט. אבל למה אתה צריך את זה? יש לך טלפון או גאדג'ט אחר, ל-nm יש מחשבון. יש מחשבון בכל מחשב. באופן אישי, אני מעדיף לבצע חישובים מסוג זה באקסל.

לעתים קרובות בבית הספר נדרש למצוא את השורשים הריבועיים של מספרים שונים. אבל אם אנחנו רגילים להשתמש כל הזמן במחשבון בשביל זה, אז בבחינות זה לא יתאפשר, אז צריך ללמוד לחפש את השורש בלי עזרה של מחשבון. ובאופן עקרוני אפשר לעשות זאת.

האלגוריתם הוא כדלקמן:

תסתכל תחילה על הספרה האחרונה של המספר שלך:

לדוגמה,

כעת עלינו לקבוע בערך את הערך עבור השורש של הקבוצה השמאלית ביותר

במקרה שלמספר יש יותר משתי קבוצות, אז אתה צריך למצוא את השורש כך:

אבל המספר הבא צריך להיות הגדול ביותר, אתה צריך לבחור אותו כך:

כעת עלינו ליצור מספר חדש A על ידי הוספת הקבוצה הבאה לשארית שהתקבלה למעלה.

בדוגמאות שלנו:

העמודה גבוהה יותר, וכאשר יש צורך ביותר מחמש עשרה תווים, אז מחשבים וטלפונים עם מחשבונים לרוב נחים. נותר לבדוק אם תיאור הטכניקה ייקח 4-5 אלף תווים.

ברם כל מספר, מהנקודה העשרונית נספור זוגות ספרות ימינה ושמאלה

לדוגמה, 1234567890.098765432100

זוג ספרות הוא כמו מספר דו ספרתי. השורש של דו ספרתי הוא חד ספרתי. נבחר ספרה בודדת שהריבוע שלה קטן מזוג הספרות הראשון. במקרה שלנו זה 3.

כמו כאשר מחלקים בעמודה, אנו כותבים את הריבוע הזה מתחת לזוג הראשון ומחסירים אותו מהזוג הראשון. התוצאה מסומנת בקו תחתון. 12 - 9 = 3. הוסף את צמד המספרים השני להפרש הזה (זה יהיה 334). משמאל למספר הברמים, הערך הכפול של אותו חלק מהתוצאה שכבר נמצא מתווסף במספר (יש לנו 2 * 6 = 6), כך שכאשר מכפילים את המספר שלא התקבל, הוא עושה זאת. לא יעלה על המספר עם זוג הספרות השני. אנו מבינים שהנתון שנמצא הוא חמש. נמצא שוב את ההפרש (9), נוסיף את צמד הספרות הבא כדי לקבל 956, נכתוב שוב את החלק הכפול של התוצאה (70), שוב משלימים אותו בספרה הרצויה, וכך הלאה עד שיפסיק. או לדיוק הנדרש של חישובים.

ראשית, כדי לחשב את השורש הריבועי, עליך להכיר היטב את לוח הכפל. הדוגמאות הפשוטות ביותר הן 25 (5 על 5 = 25) וכן הלאה. אם אתה לוקח מספרים מרוכבים יותר, אתה יכול להשתמש בטבלה זו, שבה הקו האופקי הוא יחידות והקו האנכי הוא עשרות.



יש דרך טובה למצוא את השורש של מספר ללא עזרת מחשבונים. לשם כך תזדקק לסרגל ומצפן. הנקודה היא שאתה מוצא על הסרגל את הערך שנמצא מתחת לשורש שלך. לדוגמה, שימו סימן ליד 9. המשימה שלכם היא לחלק את המספר הזה למספר שווה של קטעים, כלומר לשני קווים של 4.5 ס"מ כל אחד, ולקטע זוגי. קל לנחש שבסופו של דבר תקבלו 3 מקטעים של 3 סנטימטר כל אחד.

השיטה אינה פשוטה ואינה מתאימה למספרים גדולים, אך ניתן לחשב אותה ללא מחשבון.

ללא עזרת מחשבון, שיטת חילוץ השורש נלמדה בימי ברית המועצות בבית הספר בכיתה ח'.

כדי לעשות זאת, עליך לשבור מספר רב ספרתי מימין לשמאל לקצוות של 2 ספרות :

הספרה הראשונה של השורש היא כל השורש של הצד השמאלי, במקרה זה, 5.

נחסר 5 בריבוע מ-31, 31-25 = 6 ונוסיף את הצלע הבאה לשישה, יש לנו 678.

הספרה הבאה x מותאמת לחמש הכפולות כך

10x*x היה המקסימום, אבל פחות מ-678.

x=6, מאז 106*6 = 636,

כעת אנו מחשבים 678 - 636 = 42 ומוסיפים את הקצה הבא 92, יש לנו 4292.

שוב אנו מחפשים את ה-x המקסימלי כך ש-112x*x lt; 4292.

תשובה: השורש הוא 563

אתה יכול להמשיך בדרך זו כל עוד צריך.

במקרים מסוימים, אתה יכול לנסות לפרק את המספר הרדיקלי לשני גורמים ריבועיים או יותר.

כדאי גם לזכור את הטבלה (או לפחות חלק ממנה) - הריבועים של המספרים הטבעיים מ-10 עד 99.



אני מציע גרסה שהמצאתי לחילוץ השורש הריבועי של עמודה. הוא שונה מהידוע בדרך כלל, למעט מבחר המספרים. אבל כפי שגיליתי מאוחר יותר, השיטה הזו כבר הייתה קיימת שנים רבות לפני שנולדתי. אייזק ניוטון הגדול תיאר זאת בספרו General Arithmetic או ספר על סינתזה וניתוח אריתמטיים. אז כאן אני מציג את החזון והרציונל שלי לאלגוריתם של שיטת ניוטון. אין צורך לשנן את האלגוריתם. אתה יכול פשוט להשתמש בתרשים באיור כעזר חזותי במידת הצורך.







בעזרת טבלאות לא ניתן לחשב אלא למצוא את השורשים הריבועיים של המספרים שנמצאים בטבלאות. הדרך הקלה ביותר לחשב לא רק שורשים מרובעים, אלא גם מעלות אחרות, היא בשיטת קירובים עוקבים. לדוגמה, אנו מחשבים את השורש הריבועי של 10739, מחליפים את שלוש הספרות האחרונות באפסים ומחלצים את השורש של 10000, נקבל 100 עם חסרון, אז ניקח את המספר 102, ריבוע אותו, נקבל 10404, שגם הוא פחות מהנתון, אנחנו לוקחים שוב 103*103=10609 עם חיסרון, אנחנו לוקחים 103.5*103.5=10712.25, לוקחים אפילו יותר 103.6*103.6=10732, לוקחים 103.7*103.7=10753.69 כבר יותר. אתה יכול לקחת את השורש של 10739 כדי להיות שווה בערך ל-103.6. ליתר דיוק 10739=103.629... . . באופן דומה, אנו מחשבים את שורש הקובייה, ראשית מ-10000 נקבל בערך 25*25*25=15625, שזה עודף, ניקח 22*22*22=10.648, ניקח קצת יותר מ-22.06*22.06*22.06=10735 , שקרוב מאוד לנתון.