क्षेत्र शोधण्याच्या समस्येप्रमाणे, आपल्याला आत्मविश्वासपूर्ण रेखाचित्र कौशल्ये आवश्यक आहेत - ही जवळजवळ सर्वात महत्वाची गोष्ट आहे (कारण अविभाज्य स्वतःच बरेचदा सोपे होईल). अध्यापन साहित्य आणि आलेखांचे भौमितिक परिवर्तन यांच्या मदतीने तुम्ही सक्षम आणि जलद आलेख बनवण्याचे तंत्र पार पाडू शकता. परंतु, खरं तर, मी वर्गात अनेक वेळा रेखाचित्रांच्या महत्त्वबद्दल बोललो आहे.

सर्वसाधारणपणे, इंटिग्रल कॅल्क्युलसमध्ये बरेच मनोरंजक ऍप्लिकेशन्स आहेत; एक निश्चित अविभाज्य वापरून, तुम्ही आकृतीचे क्षेत्रफळ, रोटेशनच्या मुख्य भागाचे आकारमान, कमानाची लांबी, रोटेशनचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ आणि बरेच काही मोजू शकता. अधिक त्यामुळे मजा येईल, कृपया आशावादी रहा!

कोऑर्डिनेट प्लेनवर काही सपाट आकृतीची कल्पना करा. ओळख करून दिली? ... मला आश्चर्य वाटते की कोणी काय सादर केले... =))) आम्हाला त्याचे क्षेत्र आधीच सापडले आहे. परंतु, याव्यतिरिक्त, ही आकृती दोन प्रकारे फिरविली जाऊ शकते आणि फिरविली जाऊ शकते:

- abscissa अक्षाभोवती;
- ऑर्डिनेट अक्षाभोवती.

हा लेख दोन्ही प्रकरणांचे परीक्षण करेल. रोटेशनची दुसरी पद्धत विशेषतः मनोरंजक आहे; यामुळे सर्वात अडचणी येतात, परंतु प्रत्यक्षात समाधान जवळजवळ समान आहे जसे x-अक्षाभोवती सामान्य फिरते. बोनस म्हणून मी परत येईन आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची समस्या, आणि मी तुम्हाला दुसऱ्या मार्गाने क्षेत्र कसे शोधायचे ते सांगेन - अक्षाच्या बाजूने. हा इतका बोनस नाही कारण सामग्री विषयाशी चांगली बसते.

चला सर्वात लोकप्रिय प्रकारच्या रोटेशनसह प्रारंभ करूया.

एका अक्षाभोवती सपाट आकृती

उदाहरण १

एका अक्षाभोवती रेषांनी बांधलेली आकृती फिरवून मिळवलेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा.

उपाय: क्षेत्र शोधण्याच्या समस्येप्रमाणे, समाधान सपाट आकृतीच्या रेखाचित्राने सुरू होते. म्हणजेच, विमानात रेषांनी बांधलेली एक आकृती तयार करणे आवश्यक आहे आणि हे समीकरण अक्ष निर्दिष्ट करते हे विसरू नका. रेखाचित्र अधिक कार्यक्षमतेने आणि द्रुतपणे कसे पूर्ण करावे ते पृष्ठांवर आढळू शकते आलेख आणि प्राथमिक कार्यांचे गुणधर्मआणि निश्चित अविभाज्य. आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे. हे एक चिनी स्मरणपत्र आहे, आणि या टप्प्यावर मी यापुढे राहणार नाही.

येथे रेखाचित्र अगदी सोपे आहे:

इच्छित सपाट आकृती निळ्या रंगात छायांकित केली जाते; ती अक्षाभोवती फिरते. परिभ्रमणाचा परिणाम म्हणून, अक्षाच्या भोवती सममितीय असलेली किंचित ओव्हॉइड फ्लाइंग बशी असते. खरं तर, शरीराला एक गणितीय नाव आहे, परंतु संदर्भ पुस्तकात काहीही स्पष्ट करण्यात मी खूप आळशी आहे, म्हणून आम्ही पुढे जाऊ.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा कशी मोजायची?

फॉर्म्युला वापरून क्रांतीच्या मुख्य भागाची मात्रा मोजली जाऊ शकते:

सूत्रामध्ये, संख्या अविभाज्य आधी उपस्थित असणे आवश्यक आहे. तर असे झाले - जीवनात फिरणारी प्रत्येक गोष्ट या स्थिरांकाशी जोडलेली आहे.

पूर्ण केलेल्या रेखांकनातून "a" आणि "be" एकत्रीकरणाच्या मर्यादा कशा सेट करायच्या याचा अंदाज लावणे सोपे आहे असे मला वाटते.

फंक्शन... हे फंक्शन काय आहे? चला रेखाचित्र पाहू. समतल आकृती शीर्षस्थानी पॅराबोलाच्या आलेखाने बांधलेली आहे. हे असे कार्य आहे जे सूत्रामध्ये निहित आहे.

व्यावहारिक कार्यांमध्ये, एक सपाट आकृती कधीकधी अक्षाच्या खाली स्थित असू शकते. हे काहीही बदलत नाही - सूत्रातील इंटिग्रँड स्क्वेअर आहे: , अशा प्रकारे अविभाज्य नेहमी गैर-नकारात्मक आहे, जे खूप तार्किक आहे.

या सूत्राचा वापर करून रोटेशनच्या मुख्य भागाची मात्रा मोजू.

मी आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, अविभाज्य जवळजवळ नेहमीच सोपे होते, मुख्य गोष्ट म्हणजे सावधगिरी बाळगणे.

उत्तर द्या:

तुमच्या उत्तरात, तुम्ही परिमाण - घन एकके सूचित करणे आवश्यक आहे. म्हणजेच, आपल्या फिरण्याच्या शरीरात अंदाजे 3.35 “क्यूब्स” असतात. का क्यूबिक युनिट्स? कारण सर्वात सार्वत्रिक सूत्रीकरण. तेथे क्यूबिक सेंटीमीटर असू शकतात, क्यूबिक मीटर असू शकतात, क्यूबिक किलोमीटर असू शकतात, इत्यादी, तुमच्या कल्पनेने फ्लाइंग सॉसरमध्ये किती हिरवे माणसे ठेवू शकतात.

उदाहरण २

रेषांनी बांधलेल्या आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरून तयार झालेल्या शरीराचे आकारमान शोधा, ,

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

चला आणखी दोन जटिल समस्यांचा विचार करूया, ज्या अनेकदा सरावात देखील येतात.

उदाहरण ३

रेषा , आणि

उपाय: समीकरण अक्ष परिभाषित करते हे न विसरता , , , रेषांनी बांधलेली एक सपाट आकृती रेखाचित्रात दाखवूया:

इच्छित आकृती निळ्या रंगात छायांकित आहे. जेव्हा ते आपल्या अक्षाभोवती फिरते तेव्हा ते चार कोपऱ्यांसह एक वास्तविक डोनट असल्याचे दिसून येते.

याप्रमाणे परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाची मात्रा मोजू शरीराच्या प्रमाणात फरक.

प्रथम, लाल वर्तुळाकार आकृती पाहू. जेव्हा ते एका अक्षाभोवती फिरते तेव्हा एक कापलेला शंकू प्राप्त होतो. या छाटलेल्या शंकूची मात्रा द्वारे दर्शवू.

हिरव्या रंगात प्रदक्षिणा घातलेल्या आकृतीचा विचार करा. जर तुम्ही ही आकृती अक्षाभोवती फिरवली तर तुम्हाला एक कापलेला शंकू देखील मिळेल, फक्त थोडा लहान. त्याची मात्रा द्वारे दर्शवू.

आणि, अर्थातच, व्हॉल्यूममधील फरक हा आमच्या "डोनट" च्या व्हॉल्यूममध्ये आहे.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा शोधण्यासाठी आम्ही मानक सूत्र वापरतो:

1) लाल वर्तुळाकार आकृती वर सरळ रेषेने बांधलेली आहे, म्हणून:

२) हिरव्या वर्तुळाकार आकृती वर सरळ रेषेने बांधलेली आहे, म्हणून:

3) क्रांतीच्या इच्छित मुख्य भागाची मात्रा:

उत्तर द्या:

हे उत्सुक आहे की या प्रकरणात तोडलेल्या शंकूच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठी शालेय सूत्र वापरून समाधान तपासले जाऊ शकते.

निर्णय स्वतः अनेकदा लहान लिहिला जातो, असे काहीतरी:

आता थोडी विश्रांती घेऊ आणि भौमितिक भ्रमांबद्दल सांगू.

लोकांमध्ये अनेकदा खंडांशी निगडीत भ्रम असतात, जे पुस्तकात पेरेलमन (दुसऱ्या) यांनी लक्षात घेतले होते मनोरंजक भूमिती. सोडवलेल्या समस्येतील सपाट आकृती पहा - ते क्षेत्रफळात लहान असल्याचे दिसते आणि क्रांतीच्या मुख्य भागाची मात्रा फक्त 50 घन युनिट्सपेक्षा जास्त आहे, जी खूप मोठी दिसते. तसे, सरासरी व्यक्ती त्याच्या संपूर्ण आयुष्यात 18 चौरस मीटरच्या खोलीच्या समतुल्य द्रवपदार्थ पितात, जे त्याउलट, खूप लहान वाटते.

सर्वसाधारणपणे, यूएसएसआरमधील शिक्षण प्रणाली खरोखरच सर्वोत्तम होती. पेरेलमनचे तेच पुस्तक, 1950 मध्ये परत प्रकाशित झाले, विनोदकाराने म्हटल्याप्रमाणे, खूप चांगले विकसित होते, विचार करून तुम्हाला समस्यांचे मूळ, गैर-मानक उपाय शोधायला शिकवते. मी अलीकडेच काही प्रकरणे मोठ्या स्वारस्याने पुन्हा वाचली, मी शिफारस करतो, ते मानवतावाद्यांसाठी देखील प्रवेशयोग्य आहे. नाही, तुम्हाला हसण्याची गरज नाही की मी मोकळा वेळ ऑफर केला आहे, ज्ञान आणि संप्रेषणातील विस्तृत क्षितिजे ही एक चांगली गोष्ट आहे.

गीतात्मक विषयांतरानंतर, सर्जनशील कार्य सोडवणे योग्य आहे:

उदाहरण ४

रेषांनी बांधलेल्या सपाट आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरून तयार झालेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा , , कुठे .

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. कृपया लक्षात घ्या की सर्व प्रकरणे बँडमध्ये आढळतात, दुसऱ्या शब्दांत, एकीकरणाची तयार मर्यादा प्रत्यक्षात दिली जाते. त्रिकोणमितीय फंक्शन्सचे आलेख योग्यरित्या काढा, मी तुम्हाला धड्याच्या सामग्रीची आठवण करून देतो. आलेखांचे भौमितीय परिवर्तन: जर वितर्क दोनने भागले असेल: , तर आलेख अक्षाच्या बाजूने दोनदा ताणले जातात. कमीतकमी 3-4 गुण शोधण्याचा सल्ला दिला जातो त्रिकोणमितीय सारण्यांनुसाररेखाचित्र अधिक अचूकपणे पूर्ण करण्यासाठी. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर. तसे, कार्य तर्कशुद्धपणे सोडवले जाऊ शकते आणि फार तर्कशुद्धपणे नाही.

रोटेशनद्वारे तयार केलेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना
एका अक्षाभोवती सपाट आकृती

दुसरा परिच्छेद पहिल्यापेक्षा अधिक मनोरंजक असेल. ऑर्डिनेट अक्षाभोवती क्रांतीच्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करण्याचे कार्य देखील चाचणी कार्यात एक सामान्य अतिथी आहे. वाटेत त्याचा विचार केला जाईल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची समस्यादुसरी पद्धत अक्षाच्या बाजूने एकत्रीकरण आहे, हे आपल्याला केवळ आपली कौशल्ये सुधारण्यास अनुमती देईल, परंतु आपल्याला सर्वात फायदेशीर उपाय शोधण्यास देखील शिकवेल. यातही व्यावहारिक जीवनाचा अर्थ आहे! गणिताच्या शिकवण्याच्या पद्धतींवरील माझ्या शिक्षिका हसतमुखाने आठवत असताना, अनेक पदवीधरांनी तिचे आभार मानले: “तुमच्या विषयाने आम्हाला खूप मदत केली, आता आम्ही प्रभावी व्यवस्थापक आहोत आणि कर्मचारी चांगल्या प्रकारे व्यवस्थापित करतो.” ही संधी साधून, मी तिच्याबद्दल खूप कृतज्ञता व्यक्त करतो, विशेषत: मी प्राप्त केलेल्या ज्ञानाचा उपयोग त्याच्या हेतूसाठी करत असल्यामुळे =).

मी प्रत्येकाला याची शिफारस करतो, अगदी पूर्ण डमी देखील. शिवाय, दुसऱ्या परिच्छेदात शिकलेली सामग्री दुहेरी अविभाज्यांची गणना करण्यात अमूल्य मदत करेल..

उदाहरण ५

रेषांनी बांधलेली सपाट आकृती , , .

1) या रेषांनी बांधलेल्या सपाट आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा.
2) अक्षाभोवती या रेषांनी बांधलेली एक सपाट आकृती फिरवून मिळवलेल्या शरीराची मात्रा शोधा.

लक्ष द्या!तुम्हाला फक्त दुसरा मुद्दा वाचायचा असला तरीही, पहिला अपरिहार्यपणेपहिले वाचा!

उपाय: कार्यात दोन भाग असतात. चला स्क्वेअरसह प्रारंभ करूया.

1) चला एक रेखाचित्र बनवू:

हे पाहणे सोपे आहे की फंक्शन पॅराबोलाची वरची शाखा निर्दिष्ट करते आणि फंक्शन पॅराबोलाची खालची शाखा निर्दिष्ट करते. आपल्यासमोर एक क्षुल्लक पॅराबोला आहे जो "त्याच्या बाजूला आहे."

इच्छित आकृती, ज्याचे क्षेत्रफळ शोधायचे आहे, ते निळ्या रंगात छायांकित केले आहे.

आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? हे "नेहमीच्या" मार्गाने आढळू शकते, ज्याची वर्गात चर्चा झाली निश्चित अविभाज्य. आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे. शिवाय, आकृतीचे क्षेत्रफळ क्षेत्रांची बेरीज म्हणून आढळते:
- विभागावर ;
- विभागावर.

म्हणून:

या प्रकरणात नेहमीचा उपाय वाईट का आहे? प्रथम, आम्हाला दोन अविभाज्य मिळाले. दुसरे म्हणजे, इंटिग्रल्स मुळे आहेत आणि इंटिग्रल्समधील मुळे ही भेट नाही आणि याशिवाय, एकीकरणाच्या मर्यादा बदलण्यात तुम्ही गोंधळात पडू शकता. खरं तर, अविभाज्य, अर्थातच, किलर नाहीत, परंतु सराव मध्ये सर्वकाही खूप दुःखी असू शकते, मी फक्त समस्येसाठी "चांगले" कार्ये निवडली आहेत.

एक अधिक तर्कसंगत उपाय आहे: त्यात व्यस्त फंक्शन्सवर स्विच करणे आणि अक्षासह एकत्रित करणे समाविष्ट आहे.

इन्व्हर्स फंक्शन्स कसे मिळवायचे? ढोबळपणे सांगायचे तर, तुम्हाला "x" "y" द्वारे व्यक्त करणे आवश्यक आहे. प्रथम, पॅराबोला पाहू:

हे पुरेसे आहे, परंतु खालच्या शाखेतून समान कार्य प्राप्त केले जाऊ शकते याची खात्री करूया:

सरळ रेषेसह हे सोपे आहे:

आता अक्ष पहा: कृपया तुम्ही स्पष्ट केल्याप्रमाणे तुमचे डोके अधूनमधून उजवीकडे 90 अंश तिरपा करा (हे विनोद नाही!). आपल्याला आवश्यक असलेली आकृती सेगमेंटवर आहे, जी लाल ठिपके असलेल्या रेषेद्वारे दर्शविली जाते. या प्रकरणात, सेगमेंटवर सरळ रेषा पॅराबोलाच्या वर स्थित आहे, याचा अर्थ असा आहे की आकृतीचे क्षेत्रफळ तुम्हाला आधीच परिचित असलेले सूत्र वापरून शोधले पाहिजे: . सूत्रात काय बदल झाला आहे? फक्त एक पत्र आणि आणखी काही नाही.

! नोंद: अक्षासह एकत्रीकरणाच्या मर्यादा सेट केल्या पाहिजेत तळापासून वरपर्यंत काटेकोरपणे!

क्षेत्र शोधत आहे:

विभागावर, म्हणून:

कृपया लक्षात घ्या की मी एकत्रीकरण कसे केले, हा सर्वात तर्कसंगत मार्ग आहे आणि कार्याच्या पुढील परिच्छेदामध्ये ते का स्पष्ट होईल.

एकीकरणाच्या शुद्धतेबद्दल शंका असलेल्या वाचकांसाठी, मला व्युत्पन्न सापडतील:

मूळ इंटिग्रँड फंक्शन प्राप्त झाले आहे, याचा अर्थ एकीकरण योग्यरित्या केले गेले.

उत्तर द्या:

2) या आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरल्यामुळे तयार झालेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करू या.

मी थोड्या वेगळ्या डिझाइनमध्ये रेखाचित्र पुन्हा काढेन:

तर, निळ्या रंगात छायांकित केलेली आकृती अक्षाभोवती फिरते. याचा परिणाम म्हणजे "घिरवत असलेले फुलपाखरू" जे त्याच्या अक्षाभोवती फिरते.

परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाचे आकारमान शोधण्यासाठी, आपण अक्षासह एकत्रित करू. प्रथम आपल्याला inverse functions वर जावे लागेल. हे आधीच केले गेले आहे आणि मागील परिच्छेदात तपशीलवार वर्णन केले आहे.

आता आम्ही आमचे डोके पुन्हा उजवीकडे वाकवतो आणि आमच्या आकृतीचा अभ्यास करतो. साहजिकच, परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाचा आकार खंडांमधील फरक म्हणून शोधला पाहिजे.

आम्ही अक्षाभोवती लाल वर्तुळाकार आकृती फिरवतो, परिणामी शंकू कापला जातो. हा खंड द्वारे दर्शवू.

आम्ही अक्षाभोवती हिरव्या रंगात फिरवलेली आकृती फिरवतो आणि परिभ्रमणाच्या परिणामी शरीराच्या व्हॉल्यूमद्वारे दर्शवतो.

आमच्या फुलपाखराची मात्रा व्हॉल्यूममधील फरकाइतकी आहे.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा शोधण्यासाठी आम्ही सूत्र वापरतो:

मागील परिच्छेदातील सूत्रापेक्षा काय फरक आहे? फक्त पत्रात.

परंतु एकत्रीकरणाचा फायदा, ज्याबद्दल मी अलीकडे बोललो आहे, शोधणे खूप सोपे आहे , प्रथम इंटिग्रँड 4थ पॉवर वर वाढवण्यापेक्षा.

उत्तर द्या:

तथापि, आजारी फुलपाखरू नाही.

लक्षात घ्या की जर तीच सपाट आकृती अक्षाभोवती फिरवली गेली, तर तुम्हाला नैसर्गिकरित्या वेगळ्या आकारमानासह, संपूर्णपणे भिन्न परिभ्रमणाचा मुख्य भाग मिळेल.

उदाहरण 6

रेषा आणि अक्षांनी बांधलेली सपाट आकृती दिली आहे.

1) व्युत्क्रम फंक्शन्सवर जा आणि व्हेरिएबलवर एकत्रित करून या रेषांनी बांधलेल्या समतल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा.
2) अक्षाभोवती या रेषांनी बांधलेली सपाट आकृती फिरवून मिळवलेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा.

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. ज्यांना स्वारस्य आहे ते "नेहमीच्या" मार्गाने आकृतीचे क्षेत्रफळ देखील शोधू शकतात, त्याद्वारे बिंदू 1 तपासणे). परंतु, मी पुन्हा सांगतो की, तुम्ही अक्षाभोवती एक सपाट आकृती फिरवली, तर तुम्हाला वेगळ्या व्हॉल्यूमसह संपूर्णपणे भिन्न बॉडी रोटेशन मिळेल, तसे, योग्य उत्तर (ज्यांना समस्या सोडवायला आवडते त्यांच्यासाठी देखील).

कार्याच्या दोन प्रस्तावित मुद्यांचे संपूर्ण निराकरण धड्याच्या शेवटी आहे.

होय, आणि फिरण्याचे शरीर आणि एकत्रीकरणाच्या मर्यादा समजून घेण्यासाठी आपले डोके उजवीकडे तिरपा करण्यास विसरू नका!

निश्चित इंटिग्रल वापरून क्रांतीच्या मुख्य भागाची मात्रा कशी मोजायची?

याशिवाय एक निश्चित अविभाज्य वापरून विमान आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधणे विषयाचा सर्वात महत्वाचा अनुप्रयोग आहे क्रांतीच्या शरीराच्या व्हॉल्यूमची गणना करणे. साहित्य सोपे आहे, परंतु वाचक तयार असणे आवश्यक आहे: आपण निराकरण करण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे अनिश्चित अविभाज्य मध्यम जटिलता आणि मध्ये न्यूटन-लेबनिझ सूत्र लागू करा निश्चित अविभाज्य . क्षेत्र शोधण्याच्या समस्येप्रमाणे, आपल्याला आत्मविश्वासपूर्ण रेखाचित्र कौशल्ये आवश्यक आहेत - ही जवळजवळ सर्वात महत्वाची गोष्ट आहे (कारण अविभाज्य स्वतःच बरेचदा सोपे होईल). पद्धतशीर साहित्याच्या मदतीने तुम्ही सक्षम आणि द्रुत चार्टिंग तंत्रात प्रभुत्व मिळवू शकता . परंतु, खरं तर, मी वर्गात अनेक वेळा रेखाचित्रांच्या महत्त्वबद्दल बोललो आहे. .

सर्वसाधारणपणे, इंटिग्रल कॅल्क्युलसमध्ये बरेच मनोरंजक ऍप्लिकेशन्स आहेत; एक निश्चित अविभाज्य वापरून, तुम्ही आकृतीचे क्षेत्रफळ, परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाचे आकारमान, कमानीची लांबी, पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजू शकता. एक शरीर आणि बरेच काही. त्यामुळे मजा येईल, कृपया आशावादी रहा!

कोऑर्डिनेट प्लेनवर काही सपाट आकृतीची कल्पना करा. ओळख करून दिली? ... मला आश्चर्य वाटते की कोणी काय सादर केले... =))) आम्हाला त्याचे क्षेत्र आधीच सापडले आहे. परंतु, याव्यतिरिक्त, ही आकृती दोन प्रकारे फिरविली जाऊ शकते आणि फिरविली जाऊ शकते:

– x-अक्षाभोवती; - ऑर्डिनेट अक्षाभोवती.

हा लेख दोन्ही प्रकरणांचे परीक्षण करेल. रोटेशनची दुसरी पद्धत विशेषतः मनोरंजक आहे; यामुळे सर्वात अडचणी येतात, परंतु प्रत्यक्षात समाधान जवळजवळ समान आहे जसे x-अक्षाभोवती सामान्य फिरते. बोनस म्हणून मी परत येईन आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची समस्या , आणि मी तुम्हाला दुसऱ्या मार्गाने क्षेत्र कसे शोधायचे ते सांगेन - अक्षाच्या बाजूने. हा इतका बोनस नाही कारण सामग्री विषयाशी चांगली बसते.

चला सर्वात लोकप्रिय प्रकारच्या रोटेशनसह प्रारंभ करूया.

उदाहरण १

एका अक्षाभोवती रेषांनी बांधलेली आकृती फिरवून मिळवलेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा.

उपाय:क्षेत्र शोधण्याच्या समस्येप्रमाणे, समाधान सपाट आकृतीच्या रेखाचित्राने सुरू होते. म्हणजेच, विमानात रेषांनी बांधलेली आकृती तयार करणे आवश्यक आहे आणि हे समीकरण अक्ष परिभाषित करते हे विसरू नका. रेखाचित्र अधिक कार्यक्षमतेने आणि द्रुतपणे कसे पूर्ण करावे ते पृष्ठांवर आढळू शकते आलेख आणि प्राथमिक कार्यांचे गुणधर्म आणि निश्चित अविभाज्य. आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे . हे एक चिनी स्मरणपत्र आहे, आणि या टप्प्यावर मी यापुढे राहणार नाही.

येथे रेखाचित्र अगदी सोपे आहे:

इच्छित सपाट आकृती निळ्या रंगात छायांकित केली आहे; ती अक्षाभोवती फिरणारी आहे. रोटेशनचा परिणाम म्हणून, परिणाम एक किंचित ओव्हॉइड फ्लाइंग सॉसर आहे जो अक्षाबद्दल सममित आहे. खरं तर, शरीराला एक गणिती नाव आहे, परंतु मी संदर्भ पुस्तकात पाहण्यास खूप आळशी आहे, म्हणून आम्ही पुढे जाऊ.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा कशी मोजायची?

क्रांतीच्या मुख्य भागाची मात्रा सूत्र वापरून मोजली जाऊ शकते:

सूत्रामध्ये, संख्या अविभाज्य आधी उपस्थित असणे आवश्यक आहे. तर असे झाले - जीवनात फिरणारी प्रत्येक गोष्ट या स्थिरांकाशी जोडलेली आहे.

पूर्ण केलेल्या रेखांकनातून "a" आणि "be" एकत्रीकरणाच्या मर्यादा कशा सेट करायच्या याचा अंदाज लावणे सोपे आहे असे मला वाटते.

फंक्शन... हे फंक्शन काय आहे? चला रेखाचित्र पाहू. सपाट आकृती शीर्षस्थानी पॅराबोला आलेखाने बांधलेली आहे. हे असे कार्य आहे जे सूत्रामध्ये निहित आहे.

व्यावहारिक कार्यांमध्ये, एक सपाट आकृती कधीकधी अक्षाच्या खाली स्थित असू शकते. हे काहीही बदलत नाही - सूत्रातील कार्य स्क्वेअर आहे: अशा प्रकारे क्रांतीच्या शरीराची मात्रा नेहमीच नकारात्मक नसते, जे खूप तार्किक आहे.

या सूत्राचा वापर करून रोटेशनच्या मुख्य भागाची मात्रा मोजू.

मी आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, अविभाज्य जवळजवळ नेहमीच सोपे होते, मुख्य गोष्ट म्हणजे सावधगिरी बाळगणे.

उत्तर:

तुमच्या उत्तरात, तुम्ही परिमाण - घन एकके सूचित करणे आवश्यक आहे. म्हणजेच, आपल्या फिरण्याच्या शरीरात अंदाजे 3.35 “क्यूब्स” असतात. का क्यूबिक युनिट्स? कारण सर्वात सार्वत्रिक सूत्रीकरण. तेथे क्यूबिक सेंटीमीटर असू शकतात, क्यूबिक मीटर असू शकतात, क्यूबिक किलोमीटर असू शकतात, इत्यादी, तुमच्या कल्पनेने फ्लाइंग सॉसरमध्ये किती हिरवे माणसे ठेवू शकतात.

उदाहरण २

रेषांनी बांधलेल्या आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरून तयार झालेल्या शरीराचे आकारमान शोधा,

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

चला आणखी दोन जटिल समस्यांचा विचार करूया, ज्या अनेकदा सरावात देखील येतात.

उदाहरण ३

रेषा ,, आणि

उपाय:रेखांकनामध्ये रेषांनी बांधलेली सपाट आकृती ,,,, हे समीकरण अक्ष परिभाषित करते हे न विसरता चित्रित करूया:

इच्छित आकृती निळ्या रंगात छायांकित आहे. जेव्हा ते आपल्या अक्षाभोवती फिरते तेव्हा ते चार कोपऱ्यांसह एक वास्तविक डोनट असल्याचे दिसून येते.

क्रांतीच्या मुख्य भागाची मात्रा म्हणून गणना करूया शरीराच्या प्रमाणात फरक.

प्रथम, लाल वर्तुळाकार आकृती पाहू. जेव्हा ते एका अक्षाभोवती फिरते तेव्हा एक कापलेला शंकू प्राप्त होतो. या छाटलेल्या शंकूचे आकारमान द्वारे दर्शवू.

हिरव्या रंगात प्रदक्षिणा घातलेल्या आकृतीचा विचार करा. जर तुम्ही ही आकृती अक्षाभोवती फिरवली तर तुम्हाला एक कापलेला शंकू देखील मिळेल, फक्त थोडा लहान. द्वारे त्याची मात्रा दर्शवू.

आणि, अर्थातच, व्हॉल्यूममधील फरक हा आमच्या "डोनट" च्या व्हॉल्यूममध्ये आहे.

रोटेशनच्या मुख्य भागाची मात्रा शोधण्यासाठी आम्ही मानक सूत्र वापरतो:

1) लाल वर्तुळाकार आकृती वर सरळ रेषेने बांधलेली आहे, म्हणून:

२) हिरव्या वर्तुळाकार आकृती वर सरळ रेषेने बांधलेली आहे, म्हणून:

3) रोटेशनच्या इच्छित मुख्य भागाची मात्रा:

उत्तर:

हे उत्सुक आहे की या प्रकरणात तोडलेल्या शंकूच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठी शालेय सूत्र वापरून समाधान तपासले जाऊ शकते.

निर्णय स्वतः अनेकदा लहान लिहिला जातो, असे काहीतरी:

आता थोडी विश्रांती घेऊ आणि भौमितिक भ्रमांबद्दल सांगू.

लोकांमध्ये अनेकदा खंडांशी संबंधित भ्रम असतात, जे पुस्तकात पेरेलमन (ते नाही) यांनी लक्षात घेतले होते. मनोरंजक भूमिती. सोडवलेल्या समस्येतील सपाट आकृती पहा - ते क्षेत्रफळात लहान असल्याचे दिसते आणि क्रांतीच्या मुख्य भागाची मात्रा फक्त 50 घन युनिट्सपेक्षा जास्त आहे, जी खूप मोठी दिसते. तसे, सरासरी व्यक्ती त्याच्या संपूर्ण आयुष्यात 18 चौरस मीटरच्या खोलीच्या समतुल्य द्रवपदार्थ पितात, जे त्याउलट, खूप लहान वाटते.

सर्वसाधारणपणे, यूएसएसआरमधील शिक्षण प्रणाली खरोखरच सर्वोत्तम होती. पेरेलमन यांनी 1950 मध्ये लिहिलेले तेच पुस्तक, विनोदकाराने म्हटल्याप्रमाणे, खूप चांगले विकसित होते, एखाद्याला समस्यांचे मूळ, गैर-मानक उपाय शोधण्यास शिकवते. मी अलीकडेच काही प्रकरणे मोठ्या स्वारस्याने पुन्हा वाचली, मी शिफारस करतो, ते मानवतावाद्यांसाठी देखील प्रवेशयोग्य आहे. नाही, तुम्हाला हसण्याची गरज नाही की मी मोकळा वेळ ऑफर केला आहे, ज्ञान आणि संप्रेषणातील विस्तृत क्षितिजे ही एक चांगली गोष्ट आहे.

गीतात्मक विषयांतरानंतर, सर्जनशील कार्य सोडवणे योग्य आहे:

उदाहरण ४

रेषांनी बांधलेल्या सपाट आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरून तयार झालेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा, कुठे.

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. कृपया लक्षात घ्या की सर्व गोष्टी बँडमध्ये घडतात, दुसऱ्या शब्दांत, एकीकरणाची व्यावहारिकदृष्ट्या तयार मर्यादा दिली जाते. त्रिकोणमितीय फंक्शन्सचे आलेख योग्यरित्या काढण्याचा प्रयत्न करा; जर युक्तिवाद दोनने विभागला असेल: तर आलेख अक्षाच्या बाजूने दोनदा ताणले जातात. कमीतकमी 3-4 गुण शोधण्याचा प्रयत्न करा त्रिकोणमितीय सारण्यांनुसार आणि अधिक अचूकपणे रेखाचित्र पूर्ण करा. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर. तसे, कार्य तर्कशुद्धपणे सोडवले जाऊ शकते आणि फार तर्कशुद्धपणे नाही.

एका अक्षाभोवती सपाट आकृती फिरवून तयार केलेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना

दुसरा परिच्छेद पहिल्यापेक्षा अधिक मनोरंजक असेल. ऑर्डिनेट अक्षाभोवती क्रांतीच्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करण्याचे कार्य देखील चाचणी कार्यात एक सामान्य अतिथी आहे. वाटेत त्याचा विचार केला जाईल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची समस्या दुसरी पद्धत अक्षाच्या बाजूने एकत्रीकरण आहे, हे आपल्याला केवळ आपली कौशल्ये सुधारण्यास अनुमती देईल, परंतु आपल्याला सर्वात फायदेशीर उपाय शोधण्यास देखील शिकवेल. यातही व्यावहारिक जीवनाचा अर्थ आहे! गणिताच्या शिकवण्याच्या पद्धतींवरील माझ्या शिक्षिका हसतमुखाने आठवत असताना, अनेक पदवीधरांनी तिचे या शब्दांत आभार मानले: "तुमच्या विषयामुळे आम्हाला खूप मदत झाली, आता आम्ही प्रभावी व्यवस्थापक आहोत आणि कर्मचारी चांगल्या प्रकारे व्यवस्थापित करतो." ही संधी साधून, मी तिच्याबद्दल खूप कृतज्ञता व्यक्त करतो, विशेषत: मी प्राप्त केलेल्या ज्ञानाचा उपयोग त्याच्या हेतूसाठी करत असल्यामुळे =).

उदाहरण ५

ओळींनी बांधलेली एक सपाट आकृती दिली,,.

1) या रेषांनी बांधलेल्या सपाट आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा. 2) अक्षाभोवती या रेषांनी बांधलेली एक सपाट आकृती फिरवून मिळवलेल्या शरीराची मात्रा शोधा.

लक्ष द्या!तुम्हाला फक्त दुसरा मुद्दा वाचायचा असला तरीही, पहिला अपरिहार्यपणेपहिले वाचा!

उपाय:कार्यात दोन भाग असतात. चला स्क्वेअरसह प्रारंभ करूया.

1) चला एक रेखाचित्र बनवू:

हे पाहणे सोपे आहे की फंक्शन पॅराबोलाची वरची शाखा निर्दिष्ट करते आणि फंक्शन पॅराबोलाची खालची शाखा निर्दिष्ट करते. आपल्यासमोर एक क्षुल्लक पॅराबोला आहे जो "त्याच्या बाजूला आहे."

इच्छित आकृती, ज्याचे क्षेत्रफळ शोधायचे आहे, ते निळ्या रंगात छायांकित केले आहे.

आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? हे "नेहमीच्या" मार्गाने आढळू शकते, ज्याची वर्गात चर्चा झाली निश्चित अविभाज्य. आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे . शिवाय, आकृतीचे क्षेत्रफळ क्षेत्रांची बेरीज म्हणून आढळते: - विभागावर ; - विभागावर.

म्हणून:

या प्रकरणात नेहमीचा उपाय वाईट का आहे? प्रथम, आम्हाला दोन अविभाज्य मिळाले. दुसरे म्हणजे, इंटिग्रल्स मुळे आहेत आणि इंटिग्रल्समधील मुळे ही भेट नाही आणि याशिवाय, एकीकरणाच्या मर्यादा बदलण्यात तुम्ही गोंधळात पडू शकता. खरं तर, अविभाज्य, अर्थातच, किलर नाहीत, परंतु सराव मध्ये सर्वकाही खूप दुःखी असू शकते, मी फक्त समस्येसाठी "चांगले" कार्ये निवडली आहेत.

एक अधिक तर्कसंगत उपाय आहे: त्यात व्यस्त फंक्शन्सवर स्विच करणे आणि अक्षासह एकत्रित करणे समाविष्ट आहे.

इन्व्हर्स फंक्शन्स कसे मिळवायचे? ढोबळपणे सांगायचे तर, तुम्हाला "x" "y" द्वारे व्यक्त करणे आवश्यक आहे. प्रथम, पॅराबोला पाहू:

हे पुरेसे आहे, परंतु खालच्या शाखेतून समान कार्य प्राप्त केले जाऊ शकते याची खात्री करूया:

सरळ रेषेसह हे सोपे आहे:

आता अक्ष पहा: कृपया तुम्ही स्पष्ट केल्याप्रमाणे तुमचे डोके अधूनमधून उजवीकडे 90 अंश तिरपा करा (हे विनोद नाही!). आपल्याला आवश्यक असलेली आकृती सेगमेंटवर आहे, जी लाल ठिपके असलेल्या रेषेद्वारे दर्शविली जाते. शिवाय, सेगमेंटवर सरळ रेषा पॅराबोलाच्या वर स्थित आहे, याचा अर्थ असा आहे की आकृतीचे क्षेत्रफळ तुम्हाला आधीच परिचित असलेले सूत्र वापरून शोधले पाहिजे: . सूत्रात काय बदल झाला आहे? फक्त एक पत्र आणि आणखी काही नाही.

! टीप: अक्षासह एकत्रीकरण मर्यादा सेट केल्या पाहिजेततळापासून वरपर्यंत काटेकोरपणे !

क्षेत्र शोधत आहे:

विभागावर, म्हणून:

कृपया लक्षात घ्या की मी एकत्रीकरण कसे केले, हा सर्वात तर्कसंगत मार्ग आहे आणि कार्याच्या पुढील परिच्छेदामध्ये ते का स्पष्ट होईल.

एकीकरणाच्या शुद्धतेबद्दल शंका असलेल्या वाचकांसाठी, मला व्युत्पन्न सापडतील:

मूळ इंटिग्रँड फंक्शन प्राप्त झाले आहे, याचा अर्थ एकीकरण योग्यरित्या केले गेले.

उत्तर:

2) या आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरल्यामुळे तयार झालेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करू या.

मी थोड्या वेगळ्या डिझाइनमध्ये रेखाचित्र पुन्हा काढेन:

तर, निळ्या रंगात छायांकित केलेली आकृती अक्षाभोवती फिरते. याचा परिणाम म्हणजे "घिरवत असलेले फुलपाखरू" जे त्याच्या अक्षाभोवती फिरते.

परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाचे आकारमान शोधण्यासाठी, आपण अक्षासह एकत्रित करू. प्रथम आपल्याला inverse functions वर जावे लागेल. हे आधीच केले गेले आहे आणि मागील परिच्छेदात तपशीलवार वर्णन केले आहे.

आता आम्ही आमचे डोके पुन्हा उजवीकडे वाकवतो आणि आमच्या आकृतीचा अभ्यास करतो. साहजिकच, परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाचा आकार खंडांमधील फरक म्हणून शोधला पाहिजे.

आम्ही अक्षाभोवती लाल वर्तुळाकार आकृती फिरवतो, परिणामी शंकू कापला जातो. हा खंड द्वारे दर्शवू.

आम्‍ही अक्षाभोवती हिरव्या रंगात प्रदक्षिणा घातलेली आकृती फिरवतो आणि परिणामी क्रांतीच्‍या भागाचे आकारमान दर्शवतो.

आमच्या फुलपाखराची मात्रा व्हॉल्यूममधील फरकाइतकी आहे.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा शोधण्यासाठी आम्ही सूत्र वापरतो:

मागील परिच्छेदातील सूत्रापेक्षा काय फरक आहे? फक्त पत्रात.

परंतु एकत्रीकरणाचा फायदा, ज्याबद्दल मी अलीकडे बोललो आहे, शोधणे खूप सोपे आहे , प्रथम इंटिग्रँड 4थ पॉवर वर वाढवण्यापेक्षा.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा कशी मोजायची
एक निश्चित अविभाज्य वापरून?

सर्वसाधारणपणे, इंटिग्रल कॅल्क्युलसमध्ये बरेच मनोरंजक ऍप्लिकेशन्स आहेत; एक निश्चित अविभाज्य वापरून, तुम्ही आकृतीचे क्षेत्रफळ, परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाचे आकारमान, कमानीची लांबी, पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ मोजू शकता. रोटेशन आणि बरेच काही. त्यामुळे मजा येईल, कृपया आशावादी रहा!

कोऑर्डिनेट प्लेनवर काही सपाट आकृतीची कल्पना करा. ओळख करून दिली? ... मला आश्चर्य वाटते की कोणी काय सादर केले... =))) आम्हाला त्याचे क्षेत्र आधीच सापडले आहे. परंतु, याव्यतिरिक्त, ही आकृती दोन प्रकारे फिरविली जाऊ शकते आणि फिरविली जाऊ शकते:

- abscissa अक्ष सुमारे;
- ऑर्डिनेट अक्षाभोवती.

हा लेख दोन्ही प्रकरणांचे परीक्षण करेल. रोटेशनची दुसरी पद्धत विशेषतः मनोरंजक आहे; यामुळे सर्वात अडचणी येतात, परंतु प्रत्यक्षात समाधान जवळजवळ समान आहे जसे x-अक्षाभोवती सामान्य फिरते. बोनस म्हणून मी परत येईन आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची समस्या, आणि मी तुम्हाला दुसऱ्या मार्गाने क्षेत्र कसे शोधायचे ते सांगेन - अक्षाच्या बाजूने. हा इतका बोनस नाही कारण सामग्री विषयाशी चांगली बसते.

चला सर्वात लोकप्रिय प्रकारच्या रोटेशनसह प्रारंभ करूया.

एका अक्षाभोवती सपाट आकृती

एका अक्षाभोवती रेषांनी बांधलेली आकृती फिरवून मिळवलेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा.

उपाय: क्षेत्र शोधण्याच्या समस्येप्रमाणे, समाधान सपाट आकृतीच्या रेखाचित्राने सुरू होते. म्हणजेच, विमानात रेषांनी बांधलेली एक आकृती तयार करणे आवश्यक आहे आणि हे समीकरण अक्ष निर्दिष्ट करते हे विसरू नका. रेखाचित्र अधिक कार्यक्षमतेने आणि द्रुतपणे कसे पूर्ण करावे ते पृष्ठांवर आढळू शकते आलेख आणि प्राथमिक कार्यांचे गुणधर्मआणि . हे एक चिनी स्मरणपत्र आहे, आणि या टप्प्यावर मी यापुढे राहणार नाही.

येथे रेखाचित्र अगदी सोपे आहे:

इच्छित सपाट आकृती निळ्या रंगात छायांकित केली जाते; ती अक्षाभोवती फिरते. परिभ्रमणाचा परिणाम म्हणून, अक्षाच्या भोवती सममितीय असलेली किंचित ओव्हॉइड फ्लाइंग बशी असते. खरं तर, शरीराला एक गणितीय नाव आहे, परंतु संदर्भ पुस्तकात काहीही स्पष्ट करण्यात मी खूप आळशी आहे, म्हणून आम्ही पुढे जाऊ.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा कशी मोजायची?

फॉर्म्युला वापरून क्रांतीच्या मुख्य भागाची मात्रा मोजली जाऊ शकते:

सूत्रामध्ये, संख्या अविभाज्य आधी उपस्थित असणे आवश्यक आहे. तर असे झाले - जीवनात फिरणारी प्रत्येक गोष्ट या स्थिरांकाशी जोडलेली आहे.

पूर्ण केलेल्या रेखांकनातून "a" आणि "be" एकत्रीकरणाच्या मर्यादा कशा सेट करायच्या याचा अंदाज लावणे सोपे आहे असे मला वाटते.

फंक्शन... हे फंक्शन काय आहे? चला रेखाचित्र पाहू. समतल आकृती शीर्षस्थानी पॅराबोलाच्या आलेखाने बांधलेली आहे. हे असे कार्य आहे जे सूत्रामध्ये निहित आहे.

व्यावहारिक कार्यांमध्ये, एक सपाट आकृती कधीकधी अक्षाच्या खाली स्थित असू शकते. हे काहीही बदलत नाही - सूत्रातील इंटिग्रँड स्क्वेअर आहे: , अशा प्रकारे अविभाज्य नेहमी गैर-नकारात्मक आहे, जे खूप तार्किक आहे.

या सूत्राचा वापर करून रोटेशनच्या मुख्य भागाची मात्रा मोजू.

मी आधीच नमूद केल्याप्रमाणे, अविभाज्य जवळजवळ नेहमीच सोपे होते, मुख्य गोष्ट म्हणजे सावधगिरी बाळगणे.

उत्तर द्या:

तुमच्या उत्तरात तुम्ही परिमाण - घन एकके सूचित करणे आवश्यक आहे. म्हणजेच, आपल्या फिरण्याच्या शरीरात अंदाजे 3.35 “क्यूब्स” असतात. का क्यूबिक युनिट्स? कारण सर्वात सार्वत्रिक सूत्रीकरण. तेथे क्यूबिक सेंटीमीटर असू शकतात, क्यूबिक मीटर असू शकतात, क्यूबिक किलोमीटर असू शकतात, इत्यादी, तुमच्या कल्पनेने फ्लाइंग सॉसरमध्ये किती हिरवे माणसे ठेवू शकतात.

रेषांनी बांधलेल्या आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरून तयार झालेल्या शरीराचे आकारमान शोधा, ,

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.

चला आणखी दोन जटिल समस्यांचा विचार करूया, ज्या अनेकदा सरावात देखील येतात.

रेषा , आणि

उपाय: समीकरण अक्ष परिभाषित करते हे न विसरता , , , रेषांनी बांधलेली एक सपाट आकृती रेखाचित्रात दाखवूया:

इच्छित आकृती निळ्या रंगात छायांकित आहे. जेव्हा ते आपल्या अक्षाभोवती फिरते तेव्हा ते चार कोपऱ्यांसह एक वास्तविक डोनट असल्याचे दिसून येते.

याप्रमाणे परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाची मात्रा मोजू शरीराच्या प्रमाणात फरक.

प्रथम, लाल वर्तुळाकार आकृती पाहू. जेव्हा ते एका अक्षाभोवती फिरते तेव्हा एक कापलेला शंकू प्राप्त होतो. या छाटलेल्या शंकूची मात्रा द्वारे दर्शवू.

हिरव्या रंगात प्रदक्षिणा घातलेल्या आकृतीचा विचार करा. जर तुम्ही ही आकृती अक्षाभोवती फिरवली तर तुम्हाला एक कापलेला शंकू देखील मिळेल, फक्त थोडा लहान. त्याची मात्रा द्वारे दर्शवू.

आणि, अर्थातच, व्हॉल्यूममधील फरक हा आमच्या "डोनट" च्या व्हॉल्यूममध्ये आहे.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा शोधण्यासाठी आम्ही मानक सूत्र वापरतो:

1) लाल वर्तुळाकार आकृती वर सरळ रेषेने बांधलेली आहे, म्हणून:

२) हिरव्या वर्तुळाकार आकृती वर सरळ रेषेने बांधलेली आहे, म्हणून:

3) क्रांतीच्या इच्छित मुख्य भागाची मात्रा:

उत्तर द्या:

हे उत्सुक आहे की या प्रकरणात तोडलेल्या शंकूच्या व्हॉल्यूमची गणना करण्यासाठी शालेय सूत्र वापरून समाधान तपासले जाऊ शकते.

निर्णय स्वतः अनेकदा लहान लिहिला जातो, असे काहीतरी:

आता थोडी विश्रांती घेऊ आणि भौमितिक भ्रमांबद्दल सांगू.

लोकांमध्ये अनेकदा खंडांशी निगडीत भ्रम असतात, जे पुस्तकात पेरेलमन (दुसऱ्या) यांनी लक्षात घेतले होते मनोरंजक भूमिती. सोडवलेल्या समस्येतील सपाट आकृती पहा - ते क्षेत्रफळात लहान असल्याचे दिसते आणि क्रांतीच्या मुख्य भागाची मात्रा फक्त 50 घन युनिट्सपेक्षा जास्त आहे, जी खूप मोठी दिसते. तसे, सरासरी व्यक्ती त्याच्या संपूर्ण आयुष्यात 18 चौरस मीटरच्या खोलीच्या समतुल्य द्रवपदार्थ पितात, जे त्याउलट, खूप लहान वाटते.

गीतात्मक विषयांतरानंतर, सर्जनशील कार्य सोडवणे योग्य आहे:

रेषांनी बांधलेल्या सपाट आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरून तयार झालेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा , , कुठे .

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. कृपया लक्षात घ्या की सर्व प्रकरणे बँडमध्ये आढळतात, दुसऱ्या शब्दांत, एकीकरणाची तयार मर्यादा प्रत्यक्षात दिली जाते. त्रिकोणमितीय फंक्शन्सचे आलेख योग्यरित्या काढा, मी तुम्हाला धड्याच्या सामग्रीची आठवण करून देतो. आलेखांचे भौमितीय परिवर्तन: जर वितर्क दोनने भागले असेल: , तर आलेख अक्षाच्या बाजूने दोनदा ताणले जातात. कमीतकमी 3-4 गुण शोधण्याचा सल्ला दिला जातो त्रिकोणमितीय सारण्यांनुसाररेखाचित्र अधिक अचूकपणे पूर्ण करण्यासाठी. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर. तसे, कार्य तर्कशुद्धपणे सोडवले जाऊ शकते आणि फार तर्कशुद्धपणे नाही.

रोटेशनद्वारे तयार केलेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना
एका अक्षाभोवती सपाट आकृती

दुसरा परिच्छेद पहिल्यापेक्षा अधिक मनोरंजक असेल. ऑर्डिनेट अक्षाभोवती क्रांतीच्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करण्याचे कार्य देखील चाचणी कार्यात एक सामान्य अतिथी आहे. वाटेत त्याचा विचार केला जाईल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची समस्यादुसरी पद्धत अक्षाच्या बाजूने एकत्रीकरण आहे, हे आपल्याला केवळ आपली कौशल्ये सुधारण्यास अनुमती देईल, परंतु आपल्याला सर्वात फायदेशीर उपाय शोधण्यास देखील शिकवेल. यातही व्यावहारिक जीवनाचा अर्थ आहे! गणिताच्या शिकवण्याच्या पद्धतींवरील माझ्या शिक्षिका हसतमुखाने आठवत असताना, अनेक पदवीधरांनी तिचे आभार मानले: “तुमच्या विषयाने आम्हाला खूप मदत केली, आता आम्ही प्रभावी व्यवस्थापक आहोत आणि कर्मचारी चांगल्या प्रकारे व्यवस्थापित करतो.” ही संधी साधून, मी तिच्याबद्दल खूप कृतज्ञता व्यक्त करतो, विशेषत: मी प्राप्त केलेल्या ज्ञानाचा उपयोग त्याच्या हेतूसाठी करत असल्यामुळे =).

मी प्रत्येकाला याची शिफारस करतो, अगदी पूर्ण डमी देखील. शिवाय, दुसऱ्या परिच्छेदात शिकलेली सामग्री दुहेरी अविभाज्यांची गणना करण्यात अमूल्य मदत करेल..

रेषांनी बांधलेली सपाट आकृती , , .

1) या रेषांनी बांधलेल्या सपाट आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा.
2) अक्षाभोवती या रेषांनी बांधलेली एक सपाट आकृती फिरवून मिळवलेल्या शरीराची मात्रा शोधा.

लक्ष द्या!तुम्हाला फक्त दुसरा मुद्दा वाचायचा असला तरीही पहिला मुद्दा जरूर वाचा!

उपाय: कार्यात दोन भाग असतात. चला स्क्वेअरसह प्रारंभ करूया.

1) चला एक रेखाचित्र बनवू:

हे पाहणे सोपे आहे की फंक्शन पॅराबोलाची वरची शाखा निर्दिष्ट करते आणि फंक्शन पॅराबोलाची खालची शाखा निर्दिष्ट करते. आपल्यासमोर एक क्षुल्लक पॅराबोला आहे जो "त्याच्या बाजूला आहे."

इच्छित आकृती, ज्याचे क्षेत्रफळ शोधायचे आहे, ते निळ्या रंगात छायांकित केले आहे.

आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? हे "नेहमीच्या" मार्गाने आढळू शकते, ज्याची वर्गात चर्चा झाली निश्चित अविभाज्य. आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे. शिवाय, आकृतीचे क्षेत्रफळ क्षेत्रांची बेरीज म्हणून आढळते:
- विभागावर ;
- विभागावर.

म्हणून:

या प्रकरणात नेहमीचा उपाय वाईट का आहे? प्रथम, आम्हाला दोन अविभाज्य मिळाले. दुसरे म्हणजे, इंटिग्रल्सच्या खाली मुळे आहेत आणि इंटिग्रल्समधील मुळे ही भेट नाही आणि याशिवाय, एकीकरणाच्या मर्यादा बदलण्यात तुम्ही गोंधळात पडू शकता. खरं तर, अविभाज्य, अर्थातच, किलर नाहीत, परंतु सराव मध्ये सर्वकाही खूप दुःखी असू शकते, मी फक्त समस्येसाठी "चांगले" कार्ये निवडली आहेत.

एक अधिक तर्कसंगत उपाय आहे: त्यात व्यस्त फंक्शन्सवर स्विच करणे आणि अक्षासह एकत्रित करणे समाविष्ट आहे.

इन्व्हर्स फंक्शन्स कसे मिळवायचे? ढोबळपणे सांगायचे तर, तुम्हाला "x" "y" द्वारे व्यक्त करणे आवश्यक आहे. प्रथम, पॅराबोला पाहू:

हे पुरेसे आहे, परंतु खालच्या शाखेतून समान कार्य प्राप्त केले जाऊ शकते याची खात्री करूया:

सरळ रेषेसह हे सोपे आहे:

आता अक्ष पहा: कृपया तुम्ही स्पष्ट केल्याप्रमाणे तुमचे डोके अधूनमधून उजवीकडे 90 अंश तिरपा करा (हे विनोद नाही!). आपल्याला आवश्यक असलेली आकृती सेगमेंटवर आहे, जी लाल ठिपके असलेल्या रेषेद्वारे दर्शविली जाते. या प्रकरणात, सेगमेंटवर सरळ रेषा पॅराबोलाच्या वर स्थित आहे, याचा अर्थ असा आहे की आकृतीचे क्षेत्रफळ तुम्हाला आधीच परिचित असलेले सूत्र वापरून शोधले पाहिजे: . सूत्रात काय बदल झाला आहे? फक्त एक पत्र आणि आणखी काही नाही.

! नोंद: अक्षासह एकत्रीकरणाच्या मर्यादा सेट केल्या पाहिजेत तळापासून वरपर्यंत काटेकोरपणे!

क्षेत्र शोधत आहे:

विभागावर, म्हणून:

कृपया लक्षात घ्या की मी एकत्रीकरण कसे केले, हा सर्वात तर्कसंगत मार्ग आहे आणि कार्याच्या पुढील परिच्छेदामध्ये ते का स्पष्ट होईल.

एकीकरणाच्या शुद्धतेबद्दल शंका असलेल्या वाचकांसाठी, मला व्युत्पन्न सापडतील:

मूळ इंटिग्रँड फंक्शन प्राप्त झाले आहे, याचा अर्थ एकीकरण योग्यरित्या केले गेले.

उत्तर द्या:

2) या आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरल्यामुळे तयार झालेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करू या.

मी थोड्या वेगळ्या डिझाइनमध्ये रेखाचित्र पुन्हा काढेन:

तर, निळ्या रंगात छायांकित केलेली आकृती अक्षाभोवती फिरते. याचा परिणाम म्हणजे "घिरवत असलेले फुलपाखरू" जे त्याच्या अक्षाभोवती फिरते.

परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाचे आकारमान शोधण्यासाठी, आपण अक्षासह एकत्रित करू. प्रथम आपल्याला inverse functions वर जावे लागेल. हे आधीच केले गेले आहे आणि मागील परिच्छेदात तपशीलवार वर्णन केले आहे.

आता आम्ही आमचे डोके पुन्हा उजवीकडे वाकवतो आणि आमच्या आकृतीचा अभ्यास करतो. साहजिकच, परिभ्रमणाच्या मुख्य भागाचा आकार खंडांमधील फरक म्हणून शोधला पाहिजे.

आम्ही अक्षाभोवती लाल वर्तुळाकार आकृती फिरवतो, परिणामी शंकू कापला जातो. हा खंड द्वारे दर्शवू.

आम्ही अक्षाभोवती हिरव्या रंगात फिरवलेली आकृती फिरवतो आणि परिभ्रमणाच्या परिणामी शरीराच्या व्हॉल्यूमद्वारे दर्शवतो.

आमच्या फुलपाखराची मात्रा व्हॉल्यूममधील फरकाइतकी आहे.

क्रांतीच्या शरीराची मात्रा शोधण्यासाठी आम्ही सूत्र वापरतो:

मागील परिच्छेदातील सूत्रापेक्षा काय फरक आहे? फक्त पत्रात.

परंतु एकत्रीकरणाचा फायदा, ज्याबद्दल मी अलीकडे बोललो आहे, शोधणे खूप सोपे आहे , प्रथम इंटिग्रँड 4थ पॉवर वर वाढवण्यापेक्षा.

उत्तर द्या:

लक्षात घ्या की जर तीच सपाट आकृती अक्षाभोवती फिरवली गेली, तर तुम्हाला नैसर्गिकरित्या वेगळ्या आकारमानासह, संपूर्णपणे भिन्न परिभ्रमणाचा मुख्य भाग मिळेल.

रेषा आणि अक्षांनी बांधलेली सपाट आकृती दिली आहे.

1) व्युत्क्रम फंक्शन्सवर जा आणि व्हेरिएबलवर एकत्रित करून या रेषांनी बांधलेल्या समतल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा.
2) अक्षाभोवती या रेषांनी बांधलेली सपाट आकृती फिरवून मिळवलेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा.

हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवण्याचे उदाहरण आहे. ज्यांना स्वारस्य आहे ते "नेहमीच्या" मार्गाने आकृतीचे क्षेत्रफळ देखील शोधू शकतात, त्याद्वारे बिंदू 1 तपासणे). परंतु, मी पुन्हा सांगतो की, तुम्ही अक्षाभोवती एक सपाट आकृती फिरवली, तर तुम्हाला वेगळ्या व्हॉल्यूमसह संपूर्णपणे भिन्न बॉडी रोटेशन मिळेल, तसे, योग्य उत्तर (ज्यांना समस्या सोडवायला आवडते त्यांच्यासाठी देखील).

कार्याच्या दोन प्रस्तावित मुद्यांचे संपूर्ण निराकरण धड्याच्या शेवटी आहे.

होय, आणि फिरण्याचे शरीर आणि एकत्रीकरणाच्या मर्यादा समजून घेण्यासाठी आपले डोके उजवीकडे तिरपा करण्यास विसरू नका!

मी लेख संपवणार होतो, पण आज त्यांनी फक्त ऑर्डिनेट अक्षाभोवती क्रांतीच्या शरीराची मात्रा शोधण्यासाठी एक मनोरंजक उदाहरण आणले आहे. ताजे:

वक्र आणि वक्रांनी बांधलेल्या आकृतीच्या अक्षाभोवती फिरून तयार झालेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा.

उपाय: चला एक रेखाचित्र बनवू:

वाटेत, आम्ही इतर काही फंक्शन्सच्या आलेखांशी परिचित होतो. येथे सम फंक्शनचा एक मनोरंजक आलेख आहे...

I. रोटेशनच्या शरीराचे खंड. G. M. Fikhtengolts यांच्या पाठ्यपुस्तकातील बारावा अध्याय, परिच्छेद 197, 198 चा प्राथमिकपणे अभ्यास करा * परिच्छेद 198 मध्ये दिलेल्या उदाहरणांचे तपशीलवार विश्लेषण करा.

५०८. ऑक्स अक्षाभोवती लंबवर्तुळाकार फिरवून तयार झालेल्या शरीराच्या आकारमानाची गणना करा.

अशा प्रकारे,

530. बिंदू X = 0 ते बिंदू X = It पर्यंत सायनसॉइड चाप y = sin x च्या Ox अक्षाभोवती फिरून तयार झालेले पृष्ठभाग क्षेत्र शोधा.

531. h आणि त्रिज्या r असलेल्या शंकूच्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करा.

532. तयार केलेल्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करा

Astroid x3 -)-y* - a3 चे ऑक्स अक्षाभोवती फिरणे.

533. ऑक्स अक्षाभोवती वक्र 18 ug - x (6 - x) z ची लूप फिरवून तयार केलेल्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करा.

534. ऑक्स अक्षाभोवती X2 - j - (y-3)2 = 4 वर्तुळाच्या परिभ्रमणामुळे निर्माण झालेल्या टॉरसचा पृष्ठभाग शोधा.

535. वर्तुळ X = a खर्च, y = asint च्या ऑक्स अक्षाभोवती फिरल्याने तयार झालेल्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाची गणना करा.

536. ऑक्स अक्षाभोवती वक्र x = 9t2, y = St - 9t3 च्या लूपच्या फिरण्याने तयार केलेल्या पृष्ठभागाच्या क्षेत्राची गणना करा.

537. ऑक्स अक्षाभोवती वक्र x = e*sint, y = el खर्चाचा कंस फिरवून तयार झालेले पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा.

t = 0 ते t = —.

538. Oy अक्षाभोवती सायक्लॉइड चाप x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) च्या परिभ्रमणामुळे निर्माण होणारा पृष्ठभाग 16 u2 o2 आहे हे दाखवा.

539. ध्रुवीय अक्षाभोवती कार्डिओइड फिरवून प्राप्त केलेली पृष्ठभाग शोधा.

540. लेम्निस्केटच्या फिरण्याने तयार होणारे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ शोधा ध्रुवीय अक्षाभोवती.

अध्याय IV साठी अतिरिक्त कार्ये

विमान आकृत्यांचे क्षेत्र

541. वक्राने बांधलेल्या प्रदेशाचे संपूर्ण क्षेत्र शोधा आणि अक्ष बैल.

542. वक्राने बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधा

आणि अक्ष बैल.

543. प्रदेशाच्या क्षेत्रफळाचा भाग पहिल्या चतुर्भुज मध्ये स्थित आणि वक्र ने बांधलेला भाग शोधा

l समन्वय अक्ष.

544. आत असलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधा

पळवाट:

545. वक्राच्या एका लूपने बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधा:

546. लूपमध्ये असलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधा:

547. वक्राने बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधा

आणि अक्ष बैल.

548. वक्राने बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधा

आणि अक्ष बैल.

549. Oxr अक्षाने बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधा

सरळ आणि वक्र

रोटेशनच्या बॉडीजची मात्रा शोधण्यासाठी इंटिग्रल्स वापरणे

गणिताची व्यावहारिक उपयुक्तता ही वस्तुस्थिती शिवाय आहे

विशिष्ट गणितीय ज्ञानामुळे उपकरणाची तत्त्वे आणि आधुनिक तंत्रज्ञानाचा वापर समजून घेणे कठीण होते. त्याच्या आयुष्यातील प्रत्येक व्यक्तीला बरीच क्लिष्ट गणना करावी लागते, सामान्यतः वापरलेली उपकरणे वापरावी लागतात, संदर्भ पुस्तकांमध्ये आवश्यक सूत्रे शोधावी लागतात आणि समस्या सोडवण्यासाठी साधे अल्गोरिदम तयार करावे लागतात. आधुनिक समाजात, अधिकाधिक वैशिष्ट्ये ज्यांना उच्च स्तरीय शिक्षण आवश्यक आहे ते गणिताच्या थेट वापराशी संबंधित आहेत. अशा प्रकारे, गणित हा विद्यार्थ्यासाठी व्यावसायिकदृष्ट्या महत्त्वाचा विषय बनतो. अल्गोरिदम विचारांच्या निर्मितीमध्ये अग्रगण्य भूमिका गणिताची आहे; ते दिलेल्या अल्गोरिदमनुसार कार्य करण्याची आणि नवीन अल्गोरिदम तयार करण्याची क्षमता विकसित करते.

क्रांतीच्या शरीराच्या खंडांची गणना करण्यासाठी इंटिग्रल वापरण्याच्या विषयाचा अभ्यास करताना, मी सुचवितो की निवडक वर्गातील विद्यार्थ्यांना या विषयाचा विचार करा: "अविभाज्य घटकांचा वापर करून क्रांतीचे खंड." या विषयावर विचार करण्यासाठी खालील पद्धतीविषयक शिफारसी आहेत:

1. सपाट आकृतीचे क्षेत्रफळ.

बीजगणित अभ्यासक्रमावरून आपल्याला माहित आहे की व्यावहारिक स्वरूपाच्या समस्यांमुळे निश्चित अविभाज्य संकल्पना निर्माण झाली..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

तुटलेल्या रेषा y=f(x), ऑक्स अक्ष, सरळ रेषा x=a आणि x=b, ऑक्स अक्षाभोवती वक्र ट्रापेझॉइडच्या रोटेशनने तयार केलेल्या रोटेशनच्या मुख्य भागाचे आकारमान शोधण्यासाठी, आम्ही गणना करतो सूत्र वापरून

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.सिलेंडर व्हॉल्यूम.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">ज्या पायावर AC आहे त्या ऑक्स अक्षाभोवती काटकोन त्रिकोण ABC (C = 90) फिरवून शंकू मिळवला जातो.

AB खंड y=kx+c या सरळ रेषेवर आहे, जेथे https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src="> आहे.

समजा a=0, b=H (H ही शंकूची उंची आहे), नंतर Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. छाटलेल्या शंकूची मात्रा.

ऑक्सच्या अक्षाभोवती आयताकृती ट्रॅपेझॉइड ABCD (CDOx) फिरवून कापलेला शंकू मिळवता येतो.

AB हा खंड y=kx+c या सरळ रेषेवर आहे, जेथे , c=r.

सरळ रेषा बिंदू A (0;r) मधून जात असल्याने.

अशा प्रकारे, सरळ रेषा https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src="> सारखी दिसते

समजा a=0, b=H (H ही छाटलेल्या शंकूची उंची आहे), नंतर https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src => = .

6. बॉलची मात्रा.

ऑक्स अक्षाभोवती केंद्र (०;०) असलेले वर्तुळ फिरवून चेंडू मिळवता येतो. ऑक्स अक्षाच्या वर स्थित अर्धवर्तुळ समीकरणाने दिले आहे

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.