Matematyka. Algebra. Geometria. Trygonometria

ALGEBRA: Liczby

2.2. Liczby całkowite i wymierne. Odsetki

Ułamki zwykłe.

Ułamek zwykły

jest liczbą w postaci , gdzie m i n są liczbami naturalnymi. Nazywa się liczbę m licznik ułamka, N- mianownik. Jeśli n = 1, to ułamek ma postać , ale częściej pisze się po prostu m, tj. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego o mianowniku 1.

Ułamek nazywa się prawidłowy, jeśli jego licznik jest mniejszy niż mianownik, oraz zło jeśli jego licznik jest większy lub równy mianownikowi. Każdy ułamek niewłaściwy można przedstawić jako sumę liczby naturalnej i ułamka właściwego (lub jako liczbę naturalną, jeśli m jest wielokrotnością n).

Zwyczajowo zapisuje się sumę liczby naturalnej i ułamka właściwego bez znaku dodawania, czyli zamiast pisać . Liczba zapisana w tej formie nazywa się pomieszane numery. Składa się z części całkowitej i ułamkowej.

Równość ułamków. Redukcja ułamków.

Liczone są dwa ułamki równy jeśli reklama = bc. Z definicji równości wynika, że

= , ponieważ . Główna właściwość ułamka:Jeżeli licznik i mianownik ułamka pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę naturalną, otrzymamy ułamek równy podanemu. Korzystając z podstawowej właściwości ułamka, czasami można zastąpić dany ułamek innym, którego licznik i mianownik są mniejsze niż dane. To zastąpienie nazywa się zmniejszenie ułamki Jeżeli licznik i mianownik są wzajemnie liczbami pierwszymi, to redukcja nie jest możliwa i taki ułamek nazywamy nieskracalny.

Działania arytmetyczne na ułamkach zwykłych.

Niech zostaną podane dwa ułamki i

, . Możesz zastąpić te ułamki innymi, im równymi, tak aby powstałe ułamki miały te same mianowniki. Ta transformacja nazywa się sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika. Zwykle próbują redukować ułamki do najniższy wspólny mianownik, co jest równe NOK().

1.Dodatek zwykłe ułamki wykonuje się w następujący sposób:

A) jeśli mianowniki są takie same, to liczniki są dodawane i pozostawiają ten sam mianownik:;

2. Odejmowanie zwykłe frakcje wykonuje się w następujący sposób:

A) jeśli mianowniki są takie same, to

b) jeżeli mianowniki ułamków są różne, wówczas ułamki najpierw sprowadza się do najniższego wspólnego mianownika, a następnie stosuje się zasadę a).

3. Mnożeniezwykłe frakcje wykonuje się w następujący sposób:

4. Podział ułamków zwykłych przeprowadza się w następujący sposób:

.

Dziesiętne. Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły.

Ułamek dziesiętny to inna forma zapisywania ułamka zwykłego za pomocą mianownika. Jeżeli mianownik ułamka jest rozłożony na czynniki tylko przez 2 i 5, wówczas ułamek można zapisać jako ułamek dziesiętny; Jeśli ułamek jest nieredukowalny, a rozkład jego mianownika na czynniki pierwsze uwzględnia inne czynniki pierwsze, to ułamka tego nie można zapisać w postaci dziesiętnej.

W ułamku dziesiętnym możesz dodawać i odrzucać zera po prawej stronie - otrzymasz ułamek równy temu.

Ułamek mający nieskończoną liczbę miejsc po przecinku nazywa się ułamkiem zwykłym nieskończony ułamek dziesiętny.

Twierdzenie 10.

Dowolny ułamek zwykły można przedstawić jako nieskończony ułamek dziesiętny.

Powtarzająca się sekwencyjnie grupa cyfr (minimum) po przecinku w zapisie dziesiętnym liczby nazywana jest kropką, a nieskończony ułamek dziesiętny posiadający kropkę nazywa się okresowym.

Niech będzie ona podana w postaci ułamka dziesiętnego okresowego: , gdzie - zatem liczba m-cyfrowa

, JA
JA - wzór na przeliczenie okresowego ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły.

Odsetki.

Wśród ułamków dziesiętnych najczęściej używanym ułamkiem jest 0,01, co jest tzw procent i jest oznaczony przez 1

%. Zatem 1% = 0,01; 25% = 0,25; 450% = 4,5 itd.

PRZYKŁAD Pracownik musiał wyprodukować 60 części na zmianę. Pod koniec dnia roboczego okazało się, że ukończył 125

% zadania. Ile części wykonał robotnik?

Rozwiązanie: 1) 125

% = 1,25

2)60H 1,25 = 75.

ODPOWIEDŹ: 75 części.

Linia współrzędnych.

Weźmy prostą l, zaznaczmy na niej punkt O, który przyjmiemy za początek, wyznaczymy kierunek i odcinek jednostkowy. W tym przypadku mówią, że biorąc pod uwagę linia współrzędnych. Każda liczba naturalna lub ułamek odpowiada jednemu punktowi na prostej l. Jeżeli punkt M prostej l odpowiada pewnej liczbie r, to nazywa się tę liczbę koordynować punkt M i jest oznaczony przez M(r). Liczby a i -a nazywane są naprzeciwko. Nazywa się liczby odpowiadające punktom znajdującym się na linii współrzędnych w danym kierunku pozytywny; nazywane są liczby odpowiadające punktom położonym na linii współrzędnych w kierunku przeciwnym do danego negatywny. Liczba 0 nie jest uważana ani za dodatnią, ani ujemną. Punkt O, odpowiadający liczbie 0, oddziela na linii współrzędnych punkty o współrzędnych dodatnich od punktów o współrzędnych ujemnych.

Nazywa się dany kierunek na linii współrzędnych pozytywny(zwykle idzie w prawo), a kierunek przeciwny do podanego to negatywny

.

Liczby całkowite i wymierne.

Liczby naturalne 1, 2, 3, ... nazywane są także liczbami całkowitymi dodatnimi. Liczby -1, -2, -3, ..., znajdujące się w opozycji do liczb naturalnych, nazywane są liczbami całkowitymi ujemnymi. Liczba 0 jest również liczbą całkowitą. Wszystkie liczby- liczby naturalne, ich przeciwieństwa i 0.

Liczby całkowite i ułamki zwykłe (dodatnie i ujemne) tworzą zbiór liczby wymierne.

Prawa autorskie © 2005-2013 Xenoid v2.0

Korzystanie z materiałów serwisu jest możliwe pod warunkiem aktywnego linku.

Transkrypcja

2 GŁÓWNA FALA 2013 CENTRUM URAL SYBERIA WSCHÓD: ułamki procenty liczby wymierne Teoria: Zbiór liczb wymiernych 1 1 ~ HOD ge N Z Właściwość podstawowa 0 0. Proporcja to równość dwóch stosunków. Własność: konsekwencje Schemat zależności wprost proporcjonalnej. Podstawowe właściwości 1. Rząd: 0 ; 0 ; Operacja dodawania: ; HOK 3. Działanie mnożenia i dzielenia: 4. Przechodniość relacji porządku: 5. Przemienność: 6. Łączność: 7. Rozdzielność: 8. Obecność zera: Obecność liczb przeciwnych: Obecność jedynki: Obecność liczb odwrotnych: R R 12. Powiązanie relacji zlecenia z operacją dodawania. Tę samą liczbę wymierną można dodać do lewej i prawej strony nierówności wymiernej. 2 B1

3 13. Powiązanie relacji porządku z operacją mnożenia. Lewą i prawą stronę nierówności wymiernej można pomnożyć przez tę samą dodatnią liczbę wymierną. Niezależnie od liczby wymiernej możesz wziąć tyle jednostek, że ich suma przekracza a. N k Racjonalne nierówności tego samego znaku można dodawać termin po wyrazie. Każdy ułamek wymierny można zamienić na odpowiadający mu ułamek dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik. 1 reszta może okazać się równa zeru i iloraz zostanie wyrażony jako skończony ułamek dziesiętny, na przykład 3:4 = zero w reszcie nigdy nie wyjdzie, ponieważ reszta będzie się powtarzać w nieskończoność, a iloraz będzie wyrażony jako nieskończony okresowy ułamek dziesiętny. Na przykład 2:3=0666 =06 7:13= = :15=21333 =? Odsetki. Setna część liczby nazywana jest jej procentem. Trzy rodzaje problemów z procentami A 100% 1. Znalezienie procentu danej liczby A p% x. x p% 100% Aby znaleźć p% liczby „A”, musisz znaleźć 1% „A” A: 100% i pomnożyć przez p%. 2. Znalezienie liczby z innej liczby i jej wartości jako procent żądanej liczby. x 100% 100% x. p% p% Aby znaleźć liczbę dla danej wartości „a” jej p% należy znaleźć 1% żądanej liczby, dzieląc daną wartość „a” przez p% i pomnożyć wynik przez 100% A 100% 3 Znajdowanie procentu liczb. 100% x% x% A Musisz znaleźć stosunek liczby „a” do liczby „A” i pomnożyć przez 100%. 3

4 CENTRUM Opcja 1;8. Jedna tabletka leku waży 70 mg i zawiera 4% substancji czynnej. Czy lekarz przepisuje 105 mg substancji czynnej dziecku do 6 miesiąca życia i wadze 8 kg dziennie? Opcja 2. Jedna tabletka leku waży 20 mg i zawiera 5% substancji czynnej. Czy lekarz przepisuje dziecku do 6 miesiąca życia 04 mg substancji czynnej na każde dziecko w wieku 3 miesięcy i wadze 5 kg dziennie? Opcja 3. Jedna tabletka leku waży 20 mg i zawiera 5% substancji czynnej. Czy lekarz przepisuje 1 mg substancji czynnej dziecku do 6 miesiąca życia i wadze 7 kg dziennie? Opcja 4;5. Jedna tabletka leku waży 20 mg i zawiera 9% substancji czynnej. Czy lekarz przepisuje 135 mg substancji czynnej dziecku do 6 miesiąca życia i wadze 8 kg na każde dziecko w wieku 4 miesięcy i wadze 8 kg dziennie? Opcja 6. Jedna tabletka leku waży 30 mg i zawiera 5% substancji czynnej. Czy lekarz przepisuje dziecku do 6 miesiąca życia i wadze 8 kg dziennie 075 mg substancji czynnej? Opcja 7. Jedna tabletka leku waży 40 mg i zawiera 5% substancji czynnej. Czy lekarz przepisuje 125 mg substancji czynnej dziecku do 6 miesiąca życia i wadze 8 kg na każde dziecko w wieku 3 miesięcy i wadze 8 kg dziennie? Należy zauważyć, że osiem opcji składa się z sześciu problemów z różnymi danymi liczbowymi, ale o tej samej treści. Informacje niezbędne do obliczeń zapisano w tabeli: Masa jednej Zawartość procentowa Opcje Przepis mg Waga dziecka kg tabletki mg substancji czynnej % 1 oraz Rozwiązanie opcji 1. Pomysł: Procentowa zawartość substancji czynnej w znana jest jedna tabletka, co oznacza, że ​​odpowiednią ilość substancji można znaleźć w mg. Znając wagę dziecka i dawkę substancji czynnej na 1 kg masy ciała, można obliczyć dzienną dawkę substancji czynnej. Wówczas liczba tabletek jest ilorazem dziennej normy substancji czynnej podzielonej przez ilość substancji czynnej w jednej tabletce. Działania: 1. Ustalić ilość substancji aktywnej w jednej tabletce. Zróbmy proporcję: masę jednej tabletki 70 mg przyjmijmy jako 100% i 4% tej wagi będzie x mg ilości substancji aktywnej w jednej tabletce. Zapiszmy tę proporcję schematycznie. Stąd znajdujemy nieznany termin proporcji. Aby to zrobić, należy pomnożyć x 4% znane wyrazy jednej przekątnej i podzielić przez znany wyraz drugiej przekątnej: 70 4% x 28 mg. 100% 4

5 2. Ustalić ilość substancji czynnej przepisanej przez lekarza zgodnie z receptą, biorąc pod uwagę masę ciała dziecka. Dawkę substancji należy pomnożyć przez wagę dziecka: mg. Oznacza to, że dziecko powinno przyjmować dziennie 84 mg substancji czynnej. Ustal liczbę tabletek zawierających 84 mg substancji czynnej. 3 zakładka. 28 Odpowiedź 3. Inne opcje rozwiązuje się podobnie. W URAL Opcja 1;5. W mieszkaniu, w którym mieszka Anastasia, zainstalowany jest licznik zimnej wody. 1 września licznik wskazywał zużycie 122 metrów sześciennych wody, a 1 października 142 metrów sześciennych. Ile Anastazja powinna zapłacić za zimną wodę we wrześniu, jeśli cena 1 metra sześciennego zimnej wody wynosi 9 rubli 90 kopiejek? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 2. W mieszkaniu, w którym mieszka Maxim, zainstalowany jest licznik zimnej wody. 1 lutego licznik wskazywał zużycie 129 metrów sześciennych wody, a 1 marca 140 metrów sześciennych. Jaką kwotę Maxim powinien zapłacić za zimną wodę w lutym, jeśli cena 1 metra sześciennego zimnej wody wynosi 10 rubli? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 3. W mieszkaniu, w którym mieszka Aleksiej, zainstalowany jest licznik zimnej wody. 1 czerwca licznik wskazywał zużycie 151 metrów sześciennych wody, a 1 lipca 165 metrów sześciennych. Ile Aleksiej powinien zapłacić za zimną wodę w marcu, jeśli cena 1 metra sześciennego zimnej wody wynosi 20 rubli? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 4. W mieszkaniu, w którym mieszka Asya, zainstalowany jest licznik ciepłej wody. 1 maja licznik wskazywał zużycie 84 metrów sześciennych wody, a 1 czerwca 965 metrów sześciennych. Ile Anastazja powinna zapłacić za ciepłą wodę w styczniu, jeśli cena 1 metra sześciennego ciepłej wody wynosi 72 ruble? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 6;8. W mieszkaniu, w którym mieszka Anfisa, zainstalowany jest licznik ciepłej wody. 1 września licznik wskazywał zużycie 239 metrów sześciennych wody, a 1 października 349 metrów sześciennych. Jaką kwotę Anfisa powinna zapłacić za ciepłą wodę we wrześniu, jeśli cena 1 metra sześciennego ciepłej wody wynosi 78 rubli 60 kopiejek? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 7. W mieszkaniu, w którym mieszka Alla, zainstalowany jest licznik ciepłej wody. 1 lipca licznik wskazywał zużycie 772 metrów sześciennych wody, a 1 sierpnia 797 metrów sześciennych. Jaką kwotę Alla powinna zapłacić za ciepłą wodę w lipcu, jeśli cena 1 metra sześciennego ciepłej wody wynosi 144 ruble? Podaj odpowiedź w rublach. Region URAL rozwiązał problem płacenia za zużycie wody za pomocą licznika. Dane liczbowe do obliczenia opcji zostały wpisane do tabeli: Vari Stan licznika na początku Stan licznika na początku Cena 1 metr sześcienny przed miesiącem kalendarzowym metr sześcienny następnego miesiąca kalendarzowego metr sześcienny 1 i rubel 90 kopiejek rubla 60 kopiejek rubel 80 kopiejek rubel 60 kopiejek 6 i rubel 60 kopiejek rubel 80 kopiejek Rozwiązanie opcji 1. Pomysł: Stan liczników znany jest na początku miesiąca kalendarzowego w metrach sześciennych i na początku kolejnego miesiąca kalendarzowego w metrach sześciennych. Oznacza to, że możesz dowiedzieć się, jakie miesięczne zużycie wody należy zapłacić. Znając liczbę metrów sześciennych zużytej wody i cenę jednego metra sześciennego wody, możesz obliczyć kwotę, jaką musisz zapłacić za tę wodę. 5

6 Czynności: Określ zużycie wody za miesiąc Określ kwotę do zapłaty za zużytą wodę za miesiąc p Odpowiedź 198. Pozostałe opcje rozwiązuje się w ten sam sposób. NA SYBERIĘ Opcja 1. 1 kilowatogodzina prądu kosztuje 1 rubel 40 kopiejek. Licznik energii elektrycznej pokazywał kilowatogodziny 1 czerwca i kilowatogodziny 1 lipca. Ile trzeba zapłacić za prąd w czerwcu? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 2. 1 kilowatogodzina energii elektrycznej kosztuje 1 rubel 20 kopiejek. Licznik energii elektrycznej 1 listopada pokazywał 669 kilowatogodzin, a 1 grudnia 846 kilowatogodzin. Ile zapłacę za prąd w listopadzie? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 3. 1 kilowatogodzina energii elektrycznej kosztuje 2 ruble 40 kopiejek. Licznik prądu pokazywał kilowatogodziny 1 października i kilowatogodziny 1 listopada. Ile zapłacę za prąd w październiku? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 4;5. 1 kilowatogodzina energii elektrycznej kosztuje 2 ruble 50 kopiejek. Licznik energii elektrycznej 1 stycznia pokazywał kilowatogodziny, a 1 lutego pokazywał kilowatogodziny. Ile zapłacę za prąd w styczniu? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 6. 1 kilowatogodzina energii elektrycznej kosztuje 1 rubel 30 kopiejek. Licznik energii elektrycznej pokazywał kilowatogodziny 1 września i kilowatogodziny 1 października. Ile zapłacę za prąd we wrześniu? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 7;8. 1 kilowatogodzina energii elektrycznej kosztuje 1 rubel 70 kopiejek. 1 kwietnia licznik energii elektrycznej pokazywał kilowatogodziny, a 1 maja kilowatogodziny. Ile zapłacę za prąd w kwietniu? Podaj odpowiedź w rublach. Region SYBERIA rozwiązał problem płacenia za zużycie energii elektrycznej według licznika. Do tabeli wprowadzono dane liczbowe do obliczeń według opcji: Opcje Stan licznika na początek miesiąca kalendarzowego kWh Stan licznika na początek następnego miesiąca kalendarzowego kWh Koszt 1 kilowatogodziny rubla 40 kopiejek rubla 20 kopiejek rubla 40 kopiejek 4 i rubli 50 kopiejek rubli 30 7 kopiejek i 70 kopiejek rubli Rozwiązanie opcji 1. Pomysł: Znane są stany liczników na początku kilowatogodzinnego miesiąca kalendarzowego i na początku kolejnego kilowatogodzinnego miesiąca kalendarzowego. Oznacza to, że możesz dowiedzieć się, jakie miesięczne zużycie energii elektrycznej należy zapłacić. Znając liczbę kilowatogodzin zużytej energii elektrycznej i cenę jednej kilowatogodziny, możesz obliczyć kwotę, jaką musisz zapłacić za tę energię elektryczną. Działania: Określ zużycie energii elektrycznej w danym miesiącu. Ustal kwotę do zapłaty za zużytą energię elektryczną w danym miesiącu. 6

7 p Odpowiedź Pozostałe opcje rozwiązuje się podobnie. NA WSCHÓD Opcja 1;5;8. W mieszkaniu, w którym mieszka Ekaterina, zainstalowany jest licznik zimnej wody. 1 września licznik wskazywał zużycie 189 metrów sześciennych wody, a 1 października 204 metrów sześciennych. Jaką kwotę Ekaterina powinna zapłacić za zimną wodę we wrześniu, jeśli cena 1 metra sześciennego zimnej wody wynosi 16 rubli 90 kopiejek? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 2. W mieszkaniu, w którym mieszka Valery, zainstalowany jest licznik zimnej wody. 1 marca licznik wskazywał zużycie 182 metrów sześciennych wody, a 1 kwietnia 192 metrów sześciennych. Jaką kwotę Valery powinien zapłacić za zimną wodę w marcu, jeśli cena 1 metra sześciennego zimnej wody wynosi 23 ruble? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 3. W mieszkaniu, w którym mieszka Marina, zainstalowany jest licznik zimnej wody. 1 lipca licznik wskazywał zużycie 120 metrów sześciennych wody, a 1 sierpnia 131 metrów sześciennych. Ile Marina powinna zapłacić za zimną wodę w lipcu, jeśli cena 1 metra sześciennego zimnej wody wynosi 20 rubli 60 kopiejek? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 4. W mieszkaniu, w którym mieszka Egor, zainstalowany jest licznik ciepłej wody. 1 listopada licznik wskazywał zużycie 879 metrów sześciennych wody, a 1 grudnia 969 metrów sześciennych. Ile Jegor powinien zapłacić za ciepłą wodę w listopadzie, jeśli cena 1 metra sześciennego ciepłej wody wynosi 108 rubli 20 kopiejek? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 6. W mieszkaniu, w którym mieszka Michaił, zainstalowany jest licznik ciepłej wody. 1 marca licznik wskazywał zużycie 708 metrów sześciennych wody, a 1 kwietnia 828 metrów sześciennych. Jaką kwotę Michaił powinien zapłacić za ciepłą wodę w marcu, jeśli cena 1 metra sześciennego ciepłej wody wynosi 72 ruble 20 kopiejek? Podaj odpowiedź w rublach. Opcja 7. W mieszkaniu, w którym mieszka Anastasia, zainstalowany jest licznik ciepłej wody. 1 stycznia licznik wskazywał zużycie 894 metrów sześciennych wody, a 1 lutego 919 metrów sześciennych. Ile Anastazja powinna zapłacić za ciepłą wodę w styczniu, jeśli cena 1 metra sześciennego ciepłej wody wynosi 103 ruble? Podaj odpowiedź w rublach. Zadania regionu WOSTOK pokrywały się z zadaniami regionu URAL z różnicą w danych liczbowych. Opcje Stan liczników na początek miesiąca kalendarzowego, metry sześcienne Stan liczników na początek następnego miesiąca kalendarzowego, metry sześcienne Cena 1 metr sześcienny 1 i 5 oraz rubel 90 kopiejek rubel 10 kopiejek rubel 60 kopiejek rubel 20 kopiejek rubli 20 kopiejek rubli 60 kopiejek Dlatego pomysł rozwiązania i działania będą podobne do tych omówionych wcześniej dla regionu URAL. W

Sekcja Operacje na ułamkach Sekcja Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły i odwrotnie Sekcja Procenty (procent liczby, procent liczb, zmiana procentowa) Sekcja Depozyty proste i złożone

Test na temat „GCD i NOC” Nazwisko, imię. Liczby naturalne nazywane są względnie pierwszymi, jeśli: a) mają więcej niż dwa dzielniki; b) ich gcd jest równe; c) mają jeden dzielnik. Największym wspólnym dzielnikiem liczb jest a

Pytania na sprawdzian wiedzy z matematyki. 5-6 klasa. 1. Definicja liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych. 2. Testy na podzielność przez 10, przez 5, przez 2. 3. Testy na podzielność przez 9, przez 3. 4. Własność podstawowa

Temat. Rozwój pojęcia liczby. Działania arytmetyczne na ułamkach zwykłych. Dodatek. Suma ułamków o tym samym mianowniku to ułamek, który ma ten sam mianownik, a licznik jest równy sumie

4 Pytania powtórkowe I. Liczby naturalne. Seria naturalna. Liczby i liczby. Dziesiętny system liczbowy. 3. Ranga i klasy. Reprezentacja liczby jako sumy wyrazów cyfrowych. 4. Porównanie naturalnego

Równania liniowe z jedną zmienną Wprowadzenie Nikita Sarukhanov 7. klasa Algebra powstała w związku z rozwiązywaniem różnych problemów za pomocą równań. Zazwyczaj problemy wymagają znalezienia jednego lub więcej

1. Znajdowanie procentu liczby Pomoc B1 Procent 1% to jedna setna czegoś, czyli 1% = 0,01 =. Odpowiednio 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =. Znajdźmy na przykład 25%

Temat matematyki dla klasy 6. Podzielność liczb. Podstawowe koncepcje. Dzielnik liczby naturalnej a to liczba naturalna, przez którą a dzieli się bez reszty. Na przykład, ; 2; 5; 0 jest dzielnikiem liczby 0. Liczba 3 jest dzielnikiem

SPIS TREŚCI WSTĘP... 4 ALGEBRA... 5 Liczby, pierwiastki i potęgi... 5 Podstawy trygonometrii... 20 Logarytmy... 0 Zamiana wyrażeń... 5 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI... 57 Równania... 57 Nierówności...91

Izba Nauczycieli Uralskiego Okręgu Federalnego XI Międzynarodowa Olimpiada Nauk Podstawowych Drugi etap. Pierwsza liga. Opiekun naukowy projektu przedmiotowego: Elena Lvovna Grivkova, nauczycielka matematyki wyższej

Odpowiedzi do prac egzaminacyjnych z matematyki 6. klasa DPR >>> Odpowiedzi do prac egzaminacyjnych z matematyki 6. klasa DPR Odpowiedzi do prac egzaminacyjnych z matematyki 6. klasa DPR Dodawanie Odejmowanie mieszane

Materiał źródłowy „Matematyka, klasa 5” Liczby naturalne Liczby używane w liczeniu nazywane są liczbami naturalnymi. Oznaczono je łacińską literą Ν. Liczba 0 nie jest liczbą naturalną! Metoda nagrywania

MATEMATYKA. WSZYSTKO DLA NAUCZYCIELA! Ułamki dziesiętne i operacje na nich BIBLIOTEKA DYDAKTYCZNA I ICES BLIO IOTE Oferujemy materiały edukacyjne na temat „Ułamki dziesiętne”: karty do samodzielnego

Algorytm znajdowania zakresu dopuszczalnych wartości ułamka algebraicznego. Przykład. Znajdź zakres dopuszczalnych wartości: x 25 (x 5) (2x+4). 1. Zapisz mianownik ułamka algebraicznego; 2. Zrównaj zapisane

Temat 3. „Relacje. Proporcje. Procent” Stosunek dwóch liczb to iloraz podzielenia jednej z nich przez drugą. Stosunek pokazuje, ile razy pierwsza liczba jest większa od drugiej lub jaka część pierwszej liczby

Znajdowanie liczb Przykład 1. Liczniki trzech ułamków są proporcjonalne do liczb 1, 2, 5, a mianowniki są proporcjonalne do liczb 1, 3, 7. Średnia ułamków arytmetycznych jest równa. Znajdź te ułamki. Rozwiązanie. Według warunku

Ćwierć 1 Które liczby są liczbami naturalnymi? Jak czytać liczbę? Jak zapisać liczbę cyframi? Zależności między jednostkami Jak narysować półprostą i zaznaczyć punkty na tej półprostej? Formuły liczbowe

Numer lekcji Temat lekcji KALENDARZ - PLANOWANIE TEMATYCZNE Klasa 6 Liczba godzin Rozdział 1. Ułamki zwykłe. 1. Podzielność liczb 24 godziny 1-3 Dzielniki i wielokrotności 3 Dzielnik, wielokrotność, najmniejsza wielokrotność liczby naturalnej

Temat. Rozwój koncepcji liczby Streszczenie: Podręcznik został opracowany zgodnie z Programem Pracy dyscypliny kształcenia ogólnego ODP.0 Matematyka. Poradnik zawiera: część teoretyczną

„Uzgodnione” „Zatwierdzone” Zastępca dyrektora ds. Gospodarki wodnej Dyrektor szkoły miejskiej 6. klasa Kalendarzowo-planowanie tematyczne z matematyki (kurs korespondencyjny) Rok akademicki 2018-2019 Podręcznik: Vilenkin N.Ya., Zhokhov

Wyrażenia ułamkowo-wymierne Wyrażenia zawierające dzielenie przez wyrażenie ze zmiennymi nazywane są wyrażeniami ułamkowymi (ułamkowo-wymiernymi). Wyrażenia ułamkowe dla niektórych wartości zmiennych nie mają

Temat 1 „Wyrażenia liczbowe. Procedura. Porównanie liczb.” Wyrażenie liczbowe to jedna lub więcej wielkości numerycznych (liczb) połączonych znakami działań arytmetycznych: dodawania,

Kalendarz i planowanie tematyczne matematyka klasa 6 (5 godzin tygodniowo, łącznie 170 godzin) lekcja Temat lekcji 1-3 Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach, dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych

Rozdział 1 Podstawy algebry Zbiory liczbowe Przyjrzyjmy się podstawowym zbiorom liczbowym. Zbiór liczb naturalnych N obejmuje liczby postaci 1, 2, 3 itd., które służą do liczenia obiektów. Pęczek

LICZBY WYMIENNE Ułamki zwykłe Definicja Ułamki postaci nazywane są ułamkami zwykłymi Ułamki zwyczajne regularne i niewłaściwe Definicja Ułamek właściwy jeśli< при, где Z, N Z, N Z,

1 LICZBY WYMIAROWE I RZECZYWISTE Liczby niewymierne Najprostszy przykład pomiaru długości przekątnej kwadratu jednostkowego pokazuje, że operacja wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego z liczby wymiernej

26. Zadania z liczbami całkowitymi Znajdź największy wspólny dzielnik liczb (1 8): 1. 247 i 221. 2. 437 i 323. 3. 357 i 391. 4. 253 i 319. 5. 42 4 i 54 3. 6 78 4 i 65 2. 7. 77 3 i 242 2. 8. 51 3 i 119 2. 9. Suma

Treści merytoryczne: 1. Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych. Porównanie liczb naturalnych. 2. Wyrażenia numeryczne i alfabetyczne. Równanie. 3. Mnożenie liczb naturalnych. 4. Podział liczb naturalnych zwyczajnych

WYKŁAD 6 KOMBINACJE LINIOWE I ZALEŻNOŚĆ LINIOWA GŁÓWNY LEMAT O PODSTAWIE ZALEŻNOŚCI LINIOWEJ I WYMIARACH RANGI PRZESTRZENI LINIOWEJ UKŁADU WEKTOROWEGO 1 KOMBINACJE LINIOWE I ZALEŻNOŚĆ LINIOWA

Główna właściwość ułamka ZASADY PRZYKŁADOWE ZADANIA Zmniejsz ułamek do nowego mianownika: 1) Pomnóż (lub podziel) mianownik ułamka przez liczbę. 2) Pomnóż (lub podziel) licznik ułamka przez tę samą liczbę.

I opcja 8B klasa, 4 października 007 1 Wstaw brakujące słowa: Definicja 1 Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby, która jest równa a z liczby a (a 0) oznacza się następująco: wyrażeniem Akcja znajdowania

Pytanie: Jakie liczby nazywamy liczbami naturalnymi? Odpowiedź Liczby naturalne to liczby używane do liczenia. Czym są klasy i stopnie w zapisie liczb? Jak nazywają się liczby podczas dodawania? Sformułuj spółgłoskę

Dla studentów zagranicznych wydziału przygotowawczego AUTOR: Starovoitova Natalya Aleksandrovna Katedra Kształcenia Przeduniwersyteckiego i Poradnictwa Kariery 1 2 3 8 4 Liczby; ; ; ; 2 3 7 5 4 - ułamki zwykłe.

ARYTMETYKA Działania na liczbach naturalnych i ułamkach zwykłych. Procedura) Jeśli nie ma nawiasów, najpierw wykonywane są działania potęgi th (podniesienie do potęgi naturalnej), a następnie potęgi th (mnożenie

SPIS TREŚCI Symbole matematyczne... 3 Porównanie liczb... 4 Dodawanie... 5 Związek między składnikami dodawania... 5 Przemienne prawo dodawania... 6 Kombinacyjne prawo dodawania... 6 Procedura...

MATERIAŁ POMOCNICZY DO PRZYGOTOWANIA ODPOWIEDZI NA ZADANIE TEORETYCZNE Z EGZAMINU Z TŁUMACZENIA Z MATEMATYKI W KLAPIE VI (w materiale źródłowym hiperłącza do zasobów Internetu są zaznaczone na niebiesko) BILET

Typowa wersja „Liczby zespolone Wielomiany i ułamki wymierne” Zadanie Biorąc pod uwagę dwie liczby zespolone i cos sn Znajdź i zapisz wynik w postaci algebraicznej Zapisz wynik w formie trygonometrycznej

Rozdział WPROWADZENIE DO ALGEBRA.. Trójmian kwadratowy... Babiloński problem znajdowania dwóch liczb z ich sumy i iloczynu. Jeden z najstarszych problemów algebry został zaproponowany w Babilonie, gdzie był szeroko rozpowszechniony

Temat 1. Kierunek liczenia Analiza rozwiązania problemu według tematu Rozdział 1 „Liczby ujemne” Zadania z tego tematu mają charakter praktyczny, są ważne dla zrozumienia użycia znaków „+” i rozwijania umiejętności

DODANIE Dodanie 1 do liczby oznacza otrzymanie liczby następującej po podanej: 4+1=5, 1+1=14 itd. Dodanie liczby 5 oznacza trzykrotne dodanie od 1 do 5: 5+1+1+1=5+=8. ODEJMIJ Odejmij 1 od średniej liczby

2. Ogólne przestrzenie liniowe i euklidesowe Mówią, że zbiór X jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych lub po prostu rzeczywistą przestrzenią liniową, jeśli dla dowolnych elementów

WYKŁAD Pojęcie macierzy i jej właściwości Działania na macierzach Pojęcie macierzy Macierz porządkowa (wymiarowa) to prostokątna tabela liczb lub wyrażeń literowych zawierająca kolumny: () i wiersze

Arytmetyka - zajęcia ODPOWIEDZI: Temat Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych)) 00.0 Temat Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach)) Temat Dzielenie ułamków zwykłych))) i Temat Proporcje) Temat

3 Drogi czytelniku! W Twoich rękach jest nowoczesny podręcznik, który wesprze Cię podczas nauki w klasach 5-11, pomoże przygotować się do egzaminów i da Ci możliwość łatwego dostania się na studia. W katalogu

Lekcja Temat lekcji Notatki Podzielność liczb 16 godzin 1 Podzielność liczb naturalnych 2 Dzielniki i wielokrotności 3 Dzielniki liczb 4 Wielokrotności 5 Testy podzielności przez 10 6 Testy podzielności przez 5, przez 2 7 Test

Temat 1. Zestawy. Zbiory numeryczne N, Z, Q, R 1. Zbiory. Operacje na zbiorach. 2. Zbiór liczb naturalnych N. 3. Zbiór liczb całkowitych Z. Podzielność liczb całkowitych. Znaki podzielności. 4. Racjonalne

Moskwa: Wydawnictwo AST: Astrel, 2016. 284, s. 25. (Akademia Edukacji Podstawowej). 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 978-5-17-098011-6 978-5-271-47746-1 Spis treści Drodzy dorośli!... 6 cyfr

Strona internetowa matematyki elementarnej autorstwa Dmitrija Gushchina wwwthetspru Gushchin D D MATERIAŁY REFERENCYJNE DO PRZYGOTOWANIA DO Ujednoliconego egzaminu państwowego z matematyki ZADANIA B7: OBLICZENIA I TRANSFORMACJE Testowane elementy i typy treści

Spis treści Równanie............................................ Całe wyrażenia.... .... .................................. Wyrażenia z potęgami.............. .... ............. 3 Jednomian......................................... ....

V. V. Rasin LICZBY PRAWDZIWE Jekaterynburg 2005 Federalna Agencja Edukacji Ural State University im. A. M. Gorky V. V. Racine LICZBY PRAWDZIWE Jekaterynburg 2005 UDC 517,13(075,3)

Równania W algebrze rozważa się dwa rodzaje równości: tożsamości i równania Tożsamość jest spełniona dla wszystkich ważnych) wartości liter w niej zawartych. W przypadku tożsamości używane są znaki

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Kolekcja Do

PRZYGOTOWANIE DO OGE Materiały pomocnicze dla uczniów 9. klasy Algebra Liczby naturalne i działania na nich Pojęcie liczby naturalnej odnosi się do najprostszych, pierwotnych pojęć matematycznych i nie jest zdefiniowane

Rozważmy pierwszą metodę rozwiązania SLE przy użyciu reguły Cramera dla układu trzech równań z trzema niewiadomymi: Odpowiedź jest obliczana przy użyciu wzorów Cramera: D, D1, D2, D3 są wyznacznikami Wyznacznik trzeciej

Układy równań Niech zostaną dane dwa równania z dwiema niewiadomymi f(x, y)=0 i g(x, y)=0, gdzie f(x, y), g(x, y) to pewne wyrażenia ze zmiennymi x i y. Jeśli zadaniem jest znalezienie wszystkich ogólnych rozwiązań danych

Zajęcia matematyczne. Nauczyciel Demidova Elena Nikolaevna ćwiartka.podzielność LICZB Dzielniki i wielokrotności. Znaki podzielności przez 0 itp. Testy na podzielność przez i przez 9. Liczby pierwsze i złożone. Rozkład na liczby pierwsze

Lekcja klasy 6 (Federal State Educational Standards LLC) Typ główny Treść (sekcja, tematy) zajęć edukacyjnych Powtórzenie kursu matematyki klasy 5 (godziny) Liczba godzin Materiał podręcznika Korekta Powtórzenie kursu matematyki.

Klasa. Potęga o dowolnym wykładniku rzeczywistym, jej własności. Funkcja potęgowa, jej własności, wykresy. Przypomnij sobie właściwości potęgi o wykładniku wymiernym. a a a a a dla czasów naturalnych

Wykład 2 Rozwiązywanie układów równań liniowych. 1. Rozwiązywanie układów 3 równań liniowych metodą Cramera. Definicja. Układ 3 równań liniowych jest układem w postaci W tym układzie wymagane wielkości wynoszą

Lekcja 16 Relacje. Proporcje. Procenty Iloraz 12:6 = 2 to stosunek liczb 12 do 6. Stosunek liczb 12 i 6 jest równy liczbie 2. Liczba 2. Iloraz 2: = 2 to stosunek cyfry 2 i. Stosunek liczb wynosi 2 i jest równy

Zadanie 1 Unified State Exam -2015 (podstawowe) Jeśli potrzebujesz tylko odpowiedzi pierwszy przykład 2.65 - drugi przykład 3.2 - trzeci przykład -1.1 To jest zadanie dotyczące operacji na ułamkach zwykłych. Oto mała teoria dla tych, którzy są trochę

Rozdział I. Elementy algebry liniowej Algebra liniowa jest częścią algebry badającą przestrzenie i podprzestrzenie liniowe, operatory liniowe, funkcje liniowe, dwuliniowe i kwadratowe w przestrzeniach liniowych.

Progresje Sekwencja jest funkcją argumentu naturalnego. Określenie sekwencji za pomocą ogólnego wzoru terminologicznego: a n = f(n), n N, np. a n = n + n + 4, a = 43, a = 47, a 3 = 3,. Sekwencjonowanie

Temat 1.4. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań liniowych o wzorze Cramera Gabriel Cramer (1704 1752) Szwajcarski matematyk. Metodę tę można zastosować jedynie w przypadku układów równań liniowych, gdzie występuje liczba zmiennych

Matematyka 6. klasa TREŚCI NAUKI Arytmetyka Liczby naturalne. Podzielność liczb naturalnych. Kryteria podzielności przez 5, 9, 0. Liczby pierwsze i złożone. Rozkładanie liczby naturalnej na czynniki pierwsze.

Ułamek zwykły to liczba w postaci, której typem są liczby naturalne, np. Liczbę nazywa się licznikiem ułamka, mianownikiem. W szczególności może w tym przypadku ułamek ma postać, ale częściej jest zapisywany po prostu. Oznacza to, że dowolną liczbę naturalną można przedstawić jako ułamek zwykły o mianowniku 1. Notacja - inna wersja notacji.

Ułamki zwykłe dzielą się na właściwe i niewłaściwe

ułamki Ułamek nazywamy właściwym, jeśli jego licznik jest mniejszy od mianownika, a niewłaściwym, jeśli jego licznik jest większy lub równy mianownikowi.

Każdy ułamek niewłaściwy można przedstawić jako sumę liczby naturalnej i ułamka właściwego (lub jako liczbę naturalną, jeśli ułamek jest taki, że jest wielokrotnością np.:

Przykład. Przedstaw ułamek niewłaściwy jako sumę liczby naturalnej i ułamka właściwego: a)

Rozwiązanie

Zwyczajowo zapisuje się sumę liczby naturalnej i ułamka właściwego bez znaku dodawania, czyli zamiast pisać zamiast pisać, liczbę zapisaną w tej postaci nazywa się liczbą mieszaną. Składa się z dwóch części: całkowitej i ułamkowej. Zatem dla liczby 3 część całkowita jest równa 3, a część ułamkowa - każdy ułamek niewłaściwy można zapisać jako liczbę mieszaną (lub liczbę naturalną). Dzieje się tak również na odwrót: każdą liczbę mieszaną lub naturalną można zapisać w postaci ułamka niewłaściwego. Na przykład, .

(nr 2475) Butelka szamponu kosztuje 200 rubli. Jaka jest największa liczba butelek, które można kupić za 1000 rubli podczas wyprzedaży, gdy rabat wynosi 15%?

(nr 2491) Długopis kosztuje 20 rubli. Jaka jest największa liczba takich długopisów, którą można kupić za 700 rubli po wzroście ceny o 15%?

(nr 2503) Notatnik kosztuje 40 rubli. Jaka jest największa liczba takich notatników, które można kupić za 550 rubli po obniżce ceny o 15%?

(Nr 2513) Sklep kupuje doniczki w cenie hurtowej 100 rubli za sztukę. Marża handlowa wynosi 15%. Jaka jest największa liczba takich doniczek, które można kupić w tym sklepie za 1300 rubli?

(nr 2595) Bilet kolejowy dla osoby dorosłej kosztuje 550 rubli. Koszt biletu studenckiego wynosi 50% ceny biletu dla osoby dorosłej. Grupę tworzy 18 uczniów i 4 osoby dorosłe. Ile rubli kosztują bilety dla całej grupy?

(nr 2601) Cena za czajnik elektryczny została podwyższona o 21% i wyniosła 3025 rubli. Ile rubli kosztował produkt przed wzrostem ceny?

(nr 2617) Koszulka kosztowała 800 rubli. Po obniżce ceny zaczął kosztować 680 rubli. O ile procent obniżono cenę koszulki?

(nr 6193) Miasto N liczy 250 000 mieszkańców. Wśród nich 15% to dzieci i młodzież. Wśród dorosłych 35% nie pracuje (emeryci, gospodynie domowe, bezrobotni). Ilu dorosłych pracuje?

(nr 6235) Klient zaciągnął w banku pożyczkę w wysokości 3000 rubli. przez rok na poziomie 12%. Musi spłacić pożyczkę, wpłacając co miesiąc do banku tę samą kwotę, aby po roku spłacić całą pożyczoną kwotę wraz z odsetkami. Ile powinien miesięcznie wpłacać do banku?

(nr 24285) Podatek dochodowy wynosi 13% wynagrodzenia. Po potrąceniu podatku dochodowego Maria Konstantinowna otrzymała 13 050 rubli. Ile rubli wynosi pensja Marii Konstantinownej?

(nr 24261) Podatek dochodowy wynosi 13% wynagrodzenia. Wynagrodzenie Iwana Kuźmicza wynosi 14 500 rubli. Ile rubli otrzyma po odliczeniu podatku dochodowego?

(nr 2587) Cena hurtowa podręcznika wynosi 170 rubli. Cena detaliczna jest o 20% wyższa od ceny hurtowej. Jaka jest największa liczba takich podręczników, które można kupić po cenie detalicznej 7000 rubli?

W tym artykule zaczniemy odkrywać liczby wymierne. Tutaj podamy definicje liczb wymiernych, podamy niezbędne wyjaśnienia i przykłady liczb wymiernych. Następnie skupimy się na tym, jak ustalić, czy dana liczba jest wymierna, czy nie.

Nawigacja strony.

Definicja i przykłady liczb wymiernych

W tej części podamy kilka definicji liczb wymiernych. Pomimo różnic w sformułowaniach, wszystkie te definicje mają to samo znaczenie: liczby wymierne łączą liczby całkowite i ułamki, tak jak liczby całkowite łączą liczby naturalne, ich przeciwieństwa i liczbę zero. Innymi słowy, liczby wymierne uogólniają liczby całkowite i ułamkowe.

Zacznijmy definicje liczb wymiernych, co jest postrzegane najbardziej naturalnie.

Z podanej definicji wynika, że ​​liczba wymierna to:

• Dowolna liczba naturalna n. Rzeczywiście, możesz przedstawić dowolną liczbę naturalną w postaci ułamka zwykłego, na przykład 3=3/1.
• Dowolna liczba całkowita, w szczególności liczba zero. W rzeczywistości dowolną liczbę całkowitą można zapisać jako ułamek dodatni, ułamek ujemny lub zero. Na przykład 26=26/1, .
• Dowolny ułamek zwykły (dodatni lub ujemny). Bezpośrednio potwierdza to podana definicja liczb wymiernych.
• Dowolna liczba mieszana. Rzeczywiście, zawsze możesz przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy. Na przykład i.
• Dowolny skończony ułamek dziesiętny lub nieskończony ułamek okresowy. Dzieje się tak dlatego, że wskazane ułamki dziesiętne zamieniane są na ułamki zwykłe. Na przykład , i 0,(3)=1/3.

Jasne jest również, że każdy nieskończony, nieokresowy ułamek dziesiętny NIE jest liczbą wymierną, ponieważ nie można go przedstawić w postaci ułamka zwykłego.

Teraz możemy łatwo dawać przykłady liczb wymiernych. Liczby 4,903,100,321 są liczbami wymiernymi, ponieważ są liczbami naturalnymi. Liczby całkowite 58, -72, 0, -833,333,333 są również przykładami liczb wymiernych. Ułamki zwykłe 4/9, 99/3 są również przykładami liczb wymiernych. Liczby wymierne to także liczby.

Z powyższych przykładów jasno wynika, że ​​istnieją zarówno dodatnie, jak i ujemne liczby wymierne, a liczba wymierna zero nie jest ani dodatnia, ani ujemna.

Powyższą definicję liczb wymiernych można sformułować w bardziej zwięzłej formie.

Definicja.

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać jako ułamek z/n, gdzie z jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną.

Udowodnijmy, że ta definicja liczb wymiernych jest równoważna poprzedniej definicji. Wiemy, że możemy uznać linię ułamka za znak dzielenia, wówczas z właściwości dzielenia liczb całkowitych i zasad dzielenia liczb całkowitych wynika ważność następujących równości i. Zatem to jest dowód.

Podajmy przykłady liczb wymiernych w oparciu o tę definicję. Liczby -5, 0, 3 i są liczbami wymiernymi, ponieważ można je zapisać jako ułamki z licznikiem całkowitym i naturalnym mianownikiem postaci i.

Definicję liczb wymiernych można podać w następującym sformułowaniu.

Definicja.

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci skończonego lub nieskończonego okresowego ułamka dziesiętnego.

Definicja ta jest również równoważna pierwszej definicji, ponieważ każdy ułamek zwykły odpowiada skończonemu lub okresowemu ułamkowi dziesiętnemu i odwrotnie, a każdą liczbę całkowitą można powiązać z ułamkiem dziesiętnym z zerami po przecinku.

Na przykład liczby 5, 0, -13 są przykładami liczb wymiernych, ponieważ można je zapisać w postaci ułamków dziesiętnych 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 i -7, (18).

Zakończmy teorię tego punktu następującymi stwierdzeniami:

• liczby całkowite i ułamki (dodatnie i ujemne) tworzą zbiór liczb wymiernych;
• każdą liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek mający licznik całkowity i mianownik naturalny, a każdy taki ułamek reprezentuje pewną liczbę wymierną;
• każdą liczbę wymierną można przedstawić jako skończony lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny, a każdy taki ułamek reprezentuje liczbę wymierną.

Czy ta liczba jest wymierna?

W poprzednim akapicie dowiedzieliśmy się, że dowolna liczba naturalna, dowolna liczba całkowita, dowolna liczba ułamkowa zwykła, dowolna liczba mieszana, dowolna skończona ułamek dziesiętny, a także dowolny okresowy ułamek dziesiętny jest liczbą wymierną. Wiedza ta pozwala nam „rozpoznać” liczby wymierne ze zbioru liczb pisanych.

Ale co, jeśli liczbę podamy w postaci jakiegoś, albo jako itd., jak odpowiedzieć na pytanie, czy ta liczba jest wymierna? W wielu przypadkach bardzo trudno jest odpowiedzieć. Wskażmy pewne kierunki myślenia.

Jeśli liczbę podano jako wyrażenie numeryczne, które zawiera tylko liczby wymierne i znaki arytmetyczne (+, -, · i:), to wartość tego wyrażenia jest liczbą wymierną. Wynika to ze sposobu definiowania operacji na liczbach wymiernych. Przykładowo po wykonaniu wszystkich operacji na wyrażeniu otrzymamy liczbę wymierną 18.

Czasami po uproszczeniu i skomplikowaniu wyrażeń możliwe staje się określenie, czy dana liczba jest wymierna.

Idźmy dalej. Liczba 2 jest liczbą wymierną, ponieważ każda liczba naturalna jest wymierna. A co z numerem? Czy to racjonalne? Okazuje się, że nie, to nie jest liczba wymierna, to jest liczba wymierna (dowód tego faktu przez sprzeczność podano w podręczniku algebry dla klasy 8, wymienionym poniżej w spisie literatury). Udowodniono również, że pierwiastek kwadratowy liczby naturalnej jest liczbą wymierną tylko w tych przypadkach, gdy pod pierwiastkiem znajduje się liczba będąca idealnym kwadratem jakiejś liczby naturalnej. Na przykład i są liczbami wymiernymi, ponieważ 81 = 9 2 i 1 024 = 32 2, a liczby i nie są wymierne, ponieważ liczby 7 i 199 nie są idealnymi kwadratami liczb naturalnych.

Czy liczba jest wymierna czy nie? W tym przypadku łatwo zauważyć, że zatem liczba ta jest wymierna. Czy liczba jest wymierna? Udowodniono, że k-ty pierwiastek liczby całkowitej jest liczbą wymierną tylko wtedy, gdy liczba pod pierwiastkiem jest k-tą potęgą jakiejś liczby całkowitej. Nie jest to zatem liczba wymierna, gdyż nie ma liczby całkowitej, której piąta potęga wynosi 121.

Metoda sprzeczna pozwala udowodnić, że logarytmy niektórych liczb nie są z jakiegoś powodu liczbami wymiernymi. Udowodnijmy na przykład, że - nie jest liczbą wymierną.

Załóżmy odwrotnie, czyli powiedzmy, że jest to liczba wymierna i można ją zapisać jako ułamek zwyczajny m/n. Następnie podajemy następujące równości: . Ostatnia równość jest niemożliwa, ponieważ po lewej stronie jest liczba nieparzysta 5 n, a po prawej stronie jest liczba parzysta 2 m. Dlatego nasze założenie jest błędne, a zatem nie jest liczbą wymierną.

Podsumowując, warto szczególnie zauważyć, że przy ustalaniu racjonalności lub niewymierności liczb należy powstrzymać się od wyciągania pochopnych wniosków.

Na przykład nie należy od razu twierdzić, że iloczyn liczb niewymiernych π i e jest liczbą niewymierną. Jest to „pozornie oczywiste”, ale nie udowodnione. Rodzi to pytanie: „Dlaczego produkt miałby być liczbą wymierną?” A czemu nie, bo można podać przykład liczb niewymiernych, których iloczyn daje liczbę wymierną: .

Nie wiadomo również, czy liczby i wiele innych liczb są wymierne, czy nie. Na przykład istnieją liczby niewymierne, których moc irracjonalna jest liczbą wymierną. Dla ilustracji podajemy stopień postaci , podstawa tego stopnia i wykładnik nie są liczbami wymiernymi, ale , a 3 jest liczbą wymierną.

Bibliografia.

• Matematyka. Klasa 6: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [N. Tak, Vilenkin i inni]. - wyd. 22, wyd. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.