Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszym tematem zajęć z algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich działów matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Czynniki te wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest tak dobrany i skonstruowany, abyś przy jego pomocy mógł to zrobić

• wybrać optymalną metodę rozwiązania swojego układu liniowych równań algebraicznych,
• przestudiować teorię wybranej metody,
• rozwiązuj swój układ równań liniowych, rozważając szczegółowe rozwiązania typowych przykładów i problemów.

Krótki opis materiału artykułu.

Najpierw podajemy wszystkie niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzamy oznaczenia.

Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Po pierwsze skupimy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby utrwalić teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.

Następnie przejdziemy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, w których liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest pojedyncza. Sformułujmy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie układów (o ile są kompatybilne) wykorzystując pojęcie molowej podstawy macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.

Na pewno zatrzymamy się na strukturze ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy pojęcie podstawowego układu rozwiązań i pokażmy, jak zapisuje się rozwiązanie ogólne SLAE za pomocą wektorów podstawowego układu rozwiązań. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.

Podsumowując, rozważymy układy równań, które można sprowadzić do równań liniowych, a także różne problemy, przy rozwiązywaniu których powstają SLAE.

Nawigacja strony.

Definicje, pojęcia, oznaczenia.

Rozważymy układy p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n) postaci

Nieznane zmienne, - współczynniki (niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone), - wyrazy swobodne (również liczby rzeczywiste lub zespolone).

Ta forma nagrywania SLAE nazywa się koordynować.

W postać matrycowa zapisanie tego układu równań ma postać,
Gdzie - macierz główna systemu, - macierz kolumnowa nieznanych zmiennych, - macierz kolumnowa wolnych terminów.

Jeśli do macierzy A dodamy macierz-kolumnę wolnych wyrazów jako (n+1)-tą kolumnę, otrzymamy tzw. rozszerzona matryca układy równań liniowych. Zazwyczaj macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych terminów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli

Rozwiązywanie układu liniowych równań algebraicznych nazywany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również staje się tożsamością.

Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się go wspólny.

Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, nazywa się go nie wspólne.

Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się je niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to – niepewny.

Jeśli wolne wyrazy wszystkich równań układu są równe zeru , wówczas system zostaje wywołany jednorodny, W przeciwnym razie - heterogeniczny.

Rozwiązywanie elementarnych układów liniowych równań algebraicznych.

Jeżeli liczba równań układu jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jego macierzy głównej nie jest równy zeru, wówczas takie SLAE będą nazywane podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, a w przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.

Zaczęliśmy uczyć się takich SLAE w szkole średniej. Rozwiązując je, braliśmy jedno równanie, wyrażaliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i podstawialiśmy ją do pozostałych równań, następnie braliśmy następne równanie, wyrażaliśmy kolejną nieznaną zmienną i podstawialiśmy ją do innych równań i tak dalej. Lub zastosowali metodę dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy szczegółowo omawiać tych metod, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.

Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Uporządkujmy je.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Załóżmy, że musimy rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych

w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, czyli .

Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu i - wyznaczniki macierzy otrzymanych z A przez podstawienie 1., 2.,…, n-te kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków:

Przy takim zapisie nieznane zmienne są obliczane przy użyciu wzorów metody Cramera jako . W ten sposób znajduje się rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą Cramera.

Przykład.

Metoda Cramera .

Rozwiązanie.

Główna macierz układu ma postać . Obliczmy jego wyznacznik (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Ponieważ wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, układ ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.

Skomponujmy i obliczmy niezbędne wyznaczniki (wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych, wyznacznik zastępując drugą kolumnę kolumną wyrazów wolnych, a trzecią kolumnę macierzy A kolumną wyrazów wolnych) :

Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą wzorów :

Odpowiedź:

Główną wadą metody Cramera (jeśli można to nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań w układzie jest większa niż trzy.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (z wykorzystaniem macierzy odwrotnej).

Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie dany w postaci macierzowej, gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest różny od zera.

Ponieważ , macierz A jest odwracalna, to znaczy istnieje macierz odwrotna. Jeśli pomnożymy obie strony równości przez lewą stronę, otrzymamy wzór na znalezienie macierzy-kolumny nieznanych zmiennych. W ten sposób otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.

Przykład.

Rozwiązywać układ równań liniowych metoda matrycowa.

Rozwiązanie.

Zapiszmy układ równań w postaci macierzowej:

Ponieważ

wówczas SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Korzystając z macierzy odwrotnej, rozwiązanie tego układu można znaleźć jako .

Skonstruujmy macierz odwrotną, korzystając z macierzy z algebraicznych dodatków elementów macierzy A (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Pozostaje obliczyć macierz nieznanych zmiennych poprzez pomnożenie macierzy odwrotnej do kolumny macierzy wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Odpowiedź:

lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Głównym problemem przy znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierzy kwadratowych rzędu wyższego niż trzeci.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.

Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi
którego wyznacznik macierzy głównej jest różny od zera.

Istota metody Gaussa polega na sekwencyjnym eliminowaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego i tak dalej, aż pozostanie tylko nieznana zmienna x n w ostatnim równaniu. Ten proces przekształcania równań układu w celu sekwencyjnego eliminowania nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po wykonaniu skoku do przodu metodą Gaussa, z ostatniego równania oblicza się x n, wykorzystując tę ​​​​wartość z przedostatniego równania, oblicza się x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania oblicza się x 1. Nazywa się proces obliczania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia od ostatniego równania układu do pierwszego odwrotność metody Gaussa.

Opiszmy pokrótce algorytm eliminacji nieznanych zmiennych.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wyeliminujmy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. W tym celu do drugiego równania układu dodajemy pierwsze pomnożone przez , do trzeciego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy pierwsze pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w kategoriach innych nieznanych zmiennych i podstawieli otrzymane wyrażenie do wszystkich pozostałych równań. Zatem zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od drugiego.

Następnie postępujemy w podobny sposób, ale tylko z częścią powstałego układu, co zaznaczono na rysunku

W tym celu do trzeciego równania układu dodajemy drugie pomnożone przez , do czwartego równania dodajemy drugie pomnożone przez , i tak dalej, do n-tego równania dodajemy drugie pomnożone przez . Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie i . Zatem zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, zaczynając od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomej x 3, analogicznie postępujemy z zaznaczoną na rysunku częścią układu

Kontynuujemy zatem bezpośredni postęp metody Gaussa, aż system przyjmie formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotność metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , wykorzystując otrzymaną wartość x n z przedostatniego równania znajdujemy x n-1 i tak dalej, z pierwszego równania znajdujemy x 1 .

Przykład.

Rozwiązywać układ równań liniowych Metoda Gaussa.

Rozwiązanie.

Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. Aby to zrobić, do obu stron drugiego i trzeciego równania dodajemy odpowiednie części pierwszego równania, odpowiednio pomnożone przez i przez:

Teraz eliminujemy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej strony lewą i prawą stronę drugiego równania, pomnożone przez:

Na tym kończy się ruch do przodu w metodzie Gaussa; rozpoczynamy ruch w tył.

Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3:

Z drugiego równania otrzymujemy .

Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i w ten sposób uzupełniamy odwrotność metody Gaussa.

Odpowiedź:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

Generalnie liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:

Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy także układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i osobliwa.

Twierdzenie Kroneckera–Capelliego.

Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych należy ustalić jego zgodność. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest kompatybilne, a kiedy niespójne, daje Twierdzenie Kroneckera–Capelliego:
Aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równe n) był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli , Pozycja (A) = Pozycja (T).

Rozważmy jako przykład zastosowanie twierdzenia Kroneckera – Capelliego do określenia zgodności układu równań liniowych.

Przykład.

Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma rozwiązania.

Rozwiązanie.

. Zastosujmy metodę graniczących nieletnich. Minor drugiego rzędu różny od zera. Spójrzmy na graniczące z nim nieletnie trzeciego rzędu:

Ponieważ wszystkie graniczące nieletni trzeciego rzędu są równe zeru, ranga macierzy głównej jest równa dwa.

Z kolei ranga rozszerzonej macierzy jest równe trzy, ponieważ moll jest trzeciego rzędu

różny od zera.

Zatem, Rang(A), korzystając zatem z twierdzenia Kroneckera–Capelliego, możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.

Odpowiedź:

System nie ma rozwiązań.

Nauczyliśmy się więc ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera–Capelliego.

Ale jak znaleźć rozwiązanie dla SLAE, jeśli zostanie ustalona jego kompatybilność?

Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia podstawy mniejszej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.

Nazywa się moll najwyższego rzędu macierzy A, różny od zera podstawowy.

Z definicji bazy minor wynika, że ​​jej rząd jest równy rządowi macierzy. W przypadku niezerowej macierzy A może być kilka drugorzędnych baz; zawsze jest jeden moll bazowy.

Rozważmy na przykład macierz .

Wszystkie nieletnie trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.

Poniższe nieletni drugiego rzędu są podstawowe, ponieważ są niezerowe

Nieletni nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.

Twierdzenie o rangach macierzy.

Jeżeli rząd macierzy rzędu p na n jest równy r, to wszystkie elementy wierszowe (i kolumnowe) macierzy nie tworzące wybranej podstawy mniejszej są wyrażone liniowo w postaci odpowiadających im elementów wierszowych (i kolumnowych) tworzących podstawa niewielka.

Co mówi nam twierdzenie o rankingu macierzy?

Jeżeli zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną bazę mniejszą macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wykluczamy z układu wszystkie równania, które spełniają nie tworzą wybranej podstawy drobnej. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny pierwotnemu, gdyż odrzucone równania są w dalszym ciągu zbędne (zgodnie z twierdzeniem o randze macierzy są one liniową kombinacją pozostałych równań).

W efekcie po odrzuceniu zbędnych równań układu możliwe są dwa przypadki.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie będzie równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie to określone i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Przykład.

.

Rozwiązanie.

Ranga głównej macierzy systemu jest równe dwa, ponieważ moll jest drugiego rzędu różny od zera. Rozszerzony ranking matrycy jest również równe dwa, ponieważ jedynym drugorzędnym trzecim rzędem jest zero

a drugorzędna drugorzędna rozważana powyżej jest różna od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera–Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, gdyż Ranga(A)=Rank(T)=2.

Jako podstawę bierzemy mniej . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania:


Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu podstawy moll, dlatego wykluczamy je z układu w oparciu o twierdzenie o rzędzie macierzy:


W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera:


Odpowiedź:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jeżeli liczba równań r w wynikowym SLAE jest mniejsza niż liczba nieznanych zmiennych n, to po lewej stronie równań pozostawiamy wyrazy tworzące podstawę minor, a pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę równania równania układu o przeciwnym znaku.

Wywoływane są nieznane zmienne (z nich r) pozostałe po lewej stronie równań główny.

Wywoływane są nieznane zmienne (jest n - r elementów), które znajdują się po prawej stronie bezpłatny.

Teraz wierzymy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne zostaną wyrażone poprzez wolne nieznane zmienne w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć rozwiązując wynikowy SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Spójrzmy na to na przykładzie.

Przykład.

Rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Znajdźmy rangę głównej macierzy układu metodą graniczących nieletnich. Przyjmijmy 1 1 = 1 jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego molla drugiego rzędu graniczącego z tym mollem:


W ten sposób znaleźliśmy niezerową mollę drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowej granicy moll trzeciego rzędu:


Zatem ranga głównej macierzy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.

Jako podstawę przyjmujemy znalezioną niezerową mollę trzeciego rzędu.

Dla przejrzystości pokazujemy elementy tworzące podstawę moll:


Wyrazy związane z mollą bazową pozostawiamy po lewej stronie równań układu, a resztę z przeciwnymi znakami przenosimy na prawą stronę:


Dajmy wolnym nieznanym zmiennym x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli akceptujemy , gdzie są dowolnymi liczbami. W tym przypadku SLAE przybierze formę


Rozwiążmy powstały elementarny układ liniowych równań algebraicznych metodą Cramera:


Stąd, .

W swojej odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.

Odpowiedź:

Gdzie są liczby dowolne.

Podsumować.

Aby rozwiązać układ ogólnych równań algebraicznych liniowych, najpierw określamy jego zgodność za pomocą twierdzenia Kroneckera – Capelliego. Jeżeli ranga macierzy głównej nie jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas stwierdzamy, że system jest niekompatybilny.

Jeżeli ranga macierzy głównej jest równa rangi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy moll bazowy i odrzucamy równania układu, które nie biorą udziału w tworzeniu wybranego molla bazowego.

Jeśli rząd moll podstawy jest równy liczbie nieznanych zmiennych, wówczas SLAE ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną znaną nam metodą.

Jeśli rząd podstawy mniejszej jest mniejszy niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu pozostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę i podajemy dowolne wartości wolne nieznane zmienne. Z powstałego układu równań liniowych wyznaczamy główne nieznane zmienne, stosując metodę Cramera, metodę macierzową lub metodę Gaussa.

Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Metodę Gaussa można zastosować do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych dowolnego rodzaju bez uprzedniego sprawdzania ich spójności. Proces sekwencyjnej eliminacji nieznanych zmiennych pozwala wyciągnąć wniosek zarówno o zgodności, jak i niezgodności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.

Z obliczeniowego punktu widzenia preferowana jest metoda Gaussa.

Jej szczegółowy opis i przeanalizowane przykłady można znaleźć w artykule Metoda Gaussa rozwiązywania układów ogólnych równań algebraicznych liniowych.

Zapisywanie rozwiązań ogólnych jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.

W tej sekcji omówimy jednoczesne jednorodne i niejednorodne układy liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończoną liczbę rozwiązań.

Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.

Podstawowy system rozwiązań jednorodny układ p równań algebraicznych liniowych z n nieznanymi zmiennymi to zbiór (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rządem mniejszej podstawy macierzy głównej układu.

Jeśli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) są kolumnowe macierze wymiaru n przez 1) , wówczas ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań o dowolnych stałych współczynnikach C 1, C 2, ..., C (n-r), to Jest, .

Co oznacza termin ogólne rozwiązanie jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?

Znaczenie jest proste: wzór określa wszystkie możliwe rozwiązania pierwotnego SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zbiór wartości dowolnych stałych C 1, C 2, ..., C (n-r), korzystając ze wzoru, który zrobimy otrzymać jedno z rozwiązań pierwotnego jednorodnego SLAE.

Zatem jeśli znajdziemy podstawowy system rozwiązań, wówczas możemy zdefiniować wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .

Pokażmy proces konstruowania podstawowego systemu rozwiązań do jednorodnego SLAE.

Wybieramy bazę mniejszą pierwotnego układu równań liniowych, wykluczamy z układu wszystkie pozostałe równania i przenosimy wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne na prawą stronę równań układu o przeciwnych znakach. Niewiadomym swobodnym nadajmy wartości 1,0,0,...,0 i obliczmy główne niewiadome rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W rezultacie otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeśli podamy wolnym niewiadomym wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, otrzymamy X (2) . I tak dalej. Jeżeli niewiadomym wolnym przypiszemy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy niewiadome główne, otrzymamy X (n-r). W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy system rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne będzie można zapisać w postaci .

W przypadku niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne jest reprezentowane w postaci , gdzie jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego układu jednorodnego i jest rozwiązaniem szczególnym pierwotnego niejednorodnego SLAE, które otrzymujemy podając wartości niewiadomym wolnym ​0,0,...,0 i obliczenie wartości głównych niewiadomych.

Spójrzmy na przykłady.

Przykład.

Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych .

Rozwiązanie.

Ranga macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równa rangi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rząd macierzy głównej, stosując metodę graniczących nieletnich. Jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu bierzemy element a 1 1 = 9 macierzy głównej układu. Znajdźmy graniczący niezerowy moll drugiego rzędu:

Znaleziono moll drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez nieletnie trzeciego rzędu graniczące z nim w poszukiwaniu niezerowej jedynki:

Wszystkie nieletnie graniczące trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej jest równa dwa. Weźmy . Dla jasności zwróćmy uwagę na elementy systemu, które go tworzą:

Trzecie równanie pierwotnego SLAE nie uczestniczy w tworzeniu podstawy moll, dlatego można je wykluczyć:

Wyrazy zawierające główne niewiadome pozostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony:

Skonstruujmy podstawowy układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. Podstawowy system rozwiązań tego SLAE składa się z dwóch rozwiązań, ponieważ pierwotny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a rząd jego molowej podstawy jest równy dwa. Aby znaleźć X (1), wolnym nieznanym zmiennym nadajemy wartości x 2 = 1, x 4 = 0, następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań
.

Bardziej niezawodna niż metoda graficzna omówiona w poprzednim akapicie.

Metoda substytucyjna

Tę metodę stosowaliśmy w 7. klasie do rozwiązywania układów równań liniowych. Algorytm opracowany w 7. klasie całkiem nadaje się do rozwiązywania układów dowolnych dwóch równań (niekoniecznie liniowych) z dwiema zmiennymi x i y (oczywiście zmienne można oznaczyć innymi literami, co nie ma znaczenia). Faktycznie, zastosowaliśmy ten algorytm w poprzednim akapicie, gdy problem liczby dwucyfrowej doprowadził do modelu matematycznego, który jest układem równań. Rozwiązaliśmy powyższy układ równań, stosując metodę podstawienia (patrz przykład 1 z § 4).

Algorytm stosowania metody podstawieniowej przy rozwiązywaniu układu dwóch równań z dwiema zmiennymi x, y.

1. Wyraź y w postaci x z jednego równania układu.
2. Zastąp powstałe wyrażenie zamiast y do innego równania układu.
3. Rozwiąż powstałe równanie dla x.
4. Podstaw kolejno każdy z pierwiastków równania znalezionego w kroku trzecim zamiast x do wyrażeń od y do x otrzymanych w kroku pierwszym.
5. Zapisz odpowiedź w postaci par wartości (x; y), które znaleziono odpowiednio w trzecim i czwartym kroku.

4) Zastąp jedną po drugiej znalezione wartości y wzorem x = 5 - 3. Jeśli następnie
5) Pary (2; 1) i rozwiązania danego układu równań.

Odpowiedź: (2; 1);

Metoda dodawania algebraicznego

Metodę tę, podobnie jak metodę podstawieniową, znacie z zajęć algebry w klasie VII, gdzie stosowano ją do rozwiązywania układów równań liniowych. Przypomnijmy istotę metody na poniższym przykładzie.

Przykład 2. Rozwiązać układ równań

Pomnóżmy wszystkie wyrazy pierwszego równania układu przez 3, a drugie równanie pozostawmy bez zmian:
Odejmij drugie równanie układu od jego pierwszego równania:

W wyniku algebraicznego dodania dwóch równań układu pierwotnego otrzymano równanie prostsze od pierwszego i drugiego równania danego układu. Tym prostszym równaniem mamy prawo zastąpić dowolne równanie danego układu, np. drugie. Wówczas dany układ równań zostanie zastąpiony prostszym układem:

Układ ten można rozwiązać metodą podstawieniową. Z drugiego równania, które znajdujemy, podstawiając to wyrażenie zamiast y do pierwszego równania układu, otrzymujemy

Pozostaje zastąpić znalezione wartości x we ​​wzorze

Jeśli x = 2 to

W ten sposób znaleźliśmy dwa rozwiązania systemu:

Metoda wprowadzania nowych zmiennych

Na kursie algebry w ósmej klasie zapoznałeś się ze sposobem wprowadzania nowej zmiennej przy rozwiązywaniu równań wymiernych z jedną zmienną. Istota tej metody rozwiązywania układów równań jest taka sama, ale z technicznego punktu widzenia istnieją pewne cechy, które omówimy w poniższych przykładach.

Przykład 3. Rozwiązać układ równań

Wprowadźmy nową zmienną.Wtedy pierwsze równanie układu można zapisać w prostszej postaci: Rozwiążmy to równanie ze względu na zmienną t:

Obie te wartości spełniają warunek i dlatego są pierwiastkami równania wymiernego o zmiennej t. Ale to oznacza albo miejsce, w którym stwierdzamy, że x = 2y, albo
Tym samym, stosując metodę wprowadzenia nowej zmiennej, udało nam się „rozwarstwić” pierwsze równanie układu, z pozoru dość złożonego, na dwa prostsze równania:

x = 2 lata; y - 2x.

Co dalej? I wtedy każde z dwóch otrzymanych prostych równań należy po kolei rozpatrzyć w układzie z równaniem x 2 - y 2 = 3, o którym jeszcze nie pamiętaliśmy. Inaczej mówiąc, problem sprowadza się do rozwiązania dwóch układów równań:

Musimy znaleźć rozwiązania dla pierwszego układu, drugiego układu i uwzględnić w odpowiedzi wszystkie powstałe pary wartości. Rozwiążmy pierwszy układ równań:

Skorzystajmy z metody podstawieniowej, zwłaszcza, że ​​tutaj wszystko jest na to gotowe: podstawmy wyrażenie 2y zamiast x do drugiego równania układu. Dostajemy

Ponieważ x = 2y, znajdujemy odpowiednio x 1 = 2, x 2 = 2. Otrzymujemy zatem dwa rozwiązania danego układu: (2; 1) i (-2; -1). Rozwiążmy drugi układ równań:

Zastosujmy ponownie metodę podstawienia: wstawmy wyrażenie 2x zamiast y do drugiego równania układu. Dostajemy

Równanie to nie ma pierwiastków, co oznacza, że ​​układ równań nie ma rozwiązań. Zatem w odpowiedzi należy uwzględnić jedynie rozwiązania pierwszego układu.

Odpowiedź: (2; 1); (-2;-1).

Metodę wprowadzania nowych zmiennych przy rozwiązywaniu układów dwóch równań z dwiema zmiennymi zastosowano w dwóch wersjach. Opcja pierwsza: wprowadza się jedną nową zmienną i wykorzystuje się ją tylko w jednym równaniu układu. Dokładnie tak się stało w przykładzie 3. Opcja druga: wprowadza się dwie nowe zmienne i wykorzystuje je jednocześnie w obu równaniach układu. Będzie tak w przykładzie 4.

Przykład 4. Rozwiązać układ równań

Wprowadźmy dwie nowe zmienne:

Weźmy to w takim razie pod uwagę

Umożliwi to przepisanie danego układu w znacznie prostszej formie, ale z uwzględnieniem nowych zmiennych aib:

Ponieważ a = 1, to z równania a + 6 = 2 znajdujemy: 1 + 6 = 2; 6=1. Zatem w odniesieniu do zmiennych a i b otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:

Wracając do zmiennych x i y, otrzymujemy układ równań

Zastosujmy metodę dodawania algebraicznego do rozwiązania tego układu:

Odtąd z równania 2x + y = 3 znajdujemy:
Zatem w odniesieniu do zmiennych x i y otrzymaliśmy jedno rozwiązanie:

Zakończmy ten akapit krótką, ale dość poważną rozmową teoretyczną. Zdobyłeś już pewne doświadczenie w rozwiązywaniu różnych równań: liniowych, kwadratowych, wymiernych, niewymiernych. Wiesz, że główną ideą rozwiązywania równania jest stopniowe przechodzenie od jednego równania do drugiego, prostszego, ale równoważnego danemu. W poprzednim akapicie wprowadziliśmy pojęcie równoważności równań z dwiema zmiennymi. Pojęcie to jest również stosowane w przypadku układów równań.

Definicja.

Dwa układy równań ze zmiennymi x i y nazywamy równoważnymi, jeśli mają takie same rozwiązania lub oba układy nie mają rozwiązań.

Wszystkie trzy metody (podstawienie, dodawanie algebraiczne i wprowadzenie nowych zmiennych), które omówiliśmy w tej sekcji, są całkowicie poprawne z punktu widzenia równoważności. Innymi słowy, stosując te metody, zastępujemy jeden układ równań innym, prostszym, ale równoważnym układowi pierwotnemu.

Graficzna metoda rozwiązywania układów równań

Nauczyliśmy się już rozwiązywać układy równań w tak powszechny i ​​niezawodny sposób, jak metoda podstawienia, dodawania algebraicznego i wprowadzanie nowych zmiennych. Przypomnijmy sobie teraz metodę, której nauczyłeś się już na poprzedniej lekcji. Oznacza to, że powtórzmy to, co wiesz o graficznej metodzie rozwiązywania.

Metoda graficznego rozwiązywania układów równań polega na skonstruowaniu wykresu dla każdego z konkretnych równań wchodzących w skład danego układu i znajdujących się w tej samej płaszczyźnie współrzędnych, a także tam, gdzie konieczne jest znalezienie przecięć punktów tych równań wykresy. Do rozwiązania tego układu równań służą współrzędne tego punktu (x; y).

Należy pamiętać, że graficzny układ równań często ma jedno poprawne rozwiązanie, nieskończoną liczbę rozwiązań lub nie ma ich wcale.

Przyjrzyjmy się teraz każdemu z tych rozwiązań bardziej szczegółowo. Zatem układ równań może mieć unikalne rozwiązanie, jeśli linie będące wykresami równań układu przecinają się. Jeżeli te linie są równoległe, to taki układ równań nie ma absolutnie żadnych rozwiązań. Jeżeli bezpośrednie wykresy równań układu pokrywają się, to taki układ pozwala na znalezienie wielu rozwiązań.

Cóż, teraz spójrzmy na algorytm rozwiązywania układu dwóch równań z 2 niewiadomymi metodą graficzną:

Najpierw budujemy wykres pierwszego równania;
Drugim krokiem będzie skonstruowanie wykresu powiązanego z drugim równaniem;
Po trzecie, musimy znaleźć punkty przecięcia wykresów.
W rezultacie otrzymujemy współrzędne każdego punktu przecięcia, który będzie rozwiązaniem układu równań.

Przyjrzyjmy się tej metodzie bardziej szczegółowo na przykładzie. Mamy układ równań, który należy rozwiązać:

Rozwiązywanie równań

1. Najpierw zbudujemy wykres tego równania: x2+y2=9.

Należy jednak zauważyć, że ten wykres równań będzie kołem ze środkiem w początku, a jego promień będzie równy trzy.

2. Następnym krokiem będzie narysowanie równania typu: y = x – 3.

W tym przypadku musimy skonstruować linię prostą i znaleźć punkty (0;−3) i (3;0).

3. Zobaczmy, co mamy. Widzimy, że linia prosta przecina okrąg w dwóch punktach A i B.

Teraz szukamy współrzędnych tych punktów. Widzimy, że współrzędne (3;0) odpowiadają punktowi A, a współrzędne (0;−3) odpowiadają punktowi B.

I co w efekcie otrzymamy?

Liczby (3;0) i (0;−3) otrzymane, gdy prosta przecina okrąg, są dokładnie rozwiązaniami obu równań układu. Z tego wynika, że ​​liczby te są również rozwiązaniami tego układu równań.

Oznacza to, że odpowiedzią na to rozwiązanie są liczby: (3;0) i (0;−3).

Równanie liniowe – równanie w postaci a x = b, gdzie x jest zmienną, a i b to niektóre liczby, a a ≠ 0.

Przykłady równań liniowych:

1. 3x = 2

1. 2 7 x = - 5

Równania liniowe nazywane są nie tylko równaniami postaci a x = b, ale także dowolnymi równaniami, które za pomocą przekształceń i uproszczeń sprowadzają się do tej postaci.

Jak rozwiązywać równania zredukowane do postaci a x = b? Wystarczy podzielić lewą i prawą stronę równania przez wartość a. W rezultacie otrzymujemy odpowiedź: x = b a.

Jak rozpoznać, czy dowolne równanie jest liniowe, czy nie? Trzeba zwrócić uwagę na zmienną, która jest w nim obecna. Jeżeli siła wiodąca zmiennej jest równa jeden, wówczas takie równanie jest równaniem liniowym.

Aby rozwiązać równanie liniowe , musisz otworzyć nawiasy (jeśli występują), przesunąć „X” na lewą stronę, cyfry na prawą i wprowadzić podobne terminy. Wynikiem jest równanie postaci a x = b. Rozwiązaniem tego równania liniowego jest: x = b a.

Przykłady rozwiązywania równań liniowych:

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

Jest to równanie liniowe, ponieważ zmienna jest podana do pierwszej potęgi.

Spróbujmy przekształcić to do postaci a x = b:

Najpierw otwórzmy nawiasy:

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

Wszystkie terminy z x są przenoszone na lewą stronę, a liczby na prawą:

2 x - 4 x = 2 - 1

Teraz podzielmy lewą i prawą stronę przez liczbę (-2):

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Odpowiedź: x = - 0,5

1. x 2 - 1 = 0

To równanie nie jest równaniem liniowym, ponieważ największa potęga zmiennej x wynosi dwa.

1. x (x + 3) - 8 = x - 1

To równanie na pierwszy rzut oka wygląda liniowo, ale po otwarciu nawiasów potęga wiodąca staje się równa dwa:

x 2 + 3 x - 8 = x - 1

To równanie nie jest równaniem liniowym.

Specjalne przypadki(nie napotkano ich w zadaniu 4 OGE, ale warto je poznać)

Przykłady:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x - 4 = 2 x - 4

2 x - 2 x = - 4 + 4

I jak możemy tutaj szukać x, jeśli ono nie istnieje? Po wykonaniu przekształceń otrzymaliśmy poprawną równość (tożsamość), która nie zależy od wartości zmiennej x. Bez względu na to, jaką wartość x podstawimy do pierwotnego równania, wynik zawsze daje poprawną równość (tożsamość). Oznacza to, że x może być dowolną liczbą. Zapiszmy odpowiedź na to równanie liniowe.

Odpowiedź: x ∈ (− ∞ ;  + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

To jest równanie liniowe. Otwórzmy nawiasy, przesuńmy X w lewo, cyfry w prawo:

2 x - 4 = 2 x - 16

2 x - 2 x = - 16 + 4

W wyniku przekształceń x zostało zmniejszone, ale w rezultacie otrzymano błędną równość, ponieważ. Bez względu na to, jaką wartość x podstawimy do pierwotnego równania, wynikiem zawsze będzie niepoprawna równość. Oznacza to, że nie ma wartości x, przy których równość stałaby się prawdziwa. Zapiszmy odpowiedź na to równanie liniowe.

Odpowiedź: x ∈ ∅

Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe – równanie w postaci a x 2 + b x + c = 0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, a a ≠ 0.

Algorytm rozwiązywania równania kwadratowego:

1. Otwórz nawiasy, przesuń wszystkie wyrazy na lewą stronę tak, aby równanie przybrało postać: a x 2 + b x + c = 0
2. Zapisz, jakie współczynniki są równe w liczbach: a = … b = … c = …
3. Oblicz dyskryminator ze wzoru: D = b 2 − 4 a c
4. Jeśli D > 0, będą dwa różne pierwiastki, które można znaleźć ze wzoru: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Jeśli D = 0, będzie jeden pierwiastek, który można znaleźć ze wzoru: x = - b 2 a
6. Jeśli D< 0, решений нет: x ∈ ∅

Przykłady rozwiązywania równania kwadratowego:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = - 1, b = 6, do = 7

re = b 2 - 4 za do = 6 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – będą dwa różne pierwiastki:

x 1,2 = − b ± re 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ (− 1) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = - 14 - 2 = 7

Odpowiedź: x 1 = - 1, x 2 = 7

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

a = - 1, b = 4, do = - 4

re = b 2 - 4 za do = 4 2 - 4 ⋅ (- 1) ⋅ (- 4) = 16 - 16 = 0

D = 0 – będzie jeden pierwiastek:

x = - b 2 za = - 4 2 ⋅ (- 1) = - 4 - 2 = 2

Odpowiedź: x = 2

1. 2 x 2 - 7 x + 10 = 0

a = 2, b = - 7, c = 10

re = b 2 - 4 za do = (- 7) 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 - 80 = - 31

D< 0 – решений нет.

Odpowiedź: x ∈ ∅

Istnieje również niekompletne równania kwadratowe (są to równania kwadratowe, w których albo b = 0, albo c = 0, albo b = c = 0). Obejrzyj film pokazujący, jak rozwiązać te równania kwadratowe!

Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego

Trójmian kwadratowy można rozłożyć na czynniki w następujący sposób:

ZA x 2 + b x + do = za ⋅ (x - x 1) ⋅ (x - x 2)

gdzie a jest liczbą, współczynnikiem przed współczynnikiem wiodącym,

x – zmienna (czyli litera),

x 1 i x 2 to liczby, pierwiastki równania kwadratowego a x 2 + b x + c = 0, które można znaleźć poprzez dyskryminator.

Jeśli równanie kwadratowe ma tylko jeden pierwiastek, rozwinięcie wygląda następująco:

za x 2 + b x + do = za ⋅ (x - x 0) 2

Przykłady rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,  x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

Jeśli trójmian kwadratowy jest niekompletny ((b = 0 lub c = 0), wówczas można go rozłożyć na czynniki w następujący sposób:

• do = 0 ⇒ za x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ stosuje się do różnicy kwadratów.

Ułamkowe równania wymierne

Niech f (x) i g (x) będą pewnymi funkcjami zależnymi od zmiennej x.

Ułamkowe równanie wymierne jest równaniem postaci f (x) g (x) = 0.

Aby rozwiązać ułamkowe równanie wymierne, musimy pamiętać, czym jest ODZ i kiedy występuje.

OZ– zakres dopuszczalnych wartości zmiennej.

W wyrażeniu w postaci f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (mianownik ułamka nie może być równy zero).

Algorytm rozwiązywania ułamkowego równania wymiernego:

1. Zapisz ODZ: g (x) ≠ 0.
2. Przyrównaj licznik ułamka do zera f (x) = 0 i znajdź pierwiastki.

Przykład rozwiązania ułamkowego równania wymiernego:

Rozwiąż ułamkowe równanie wymierne x 2 - 4 2 - x = 1.

Rozwiązanie:

Będziemy działać zgodnie z algorytmem.

1. Sprowadź wyrażenie do postaci f (x) g (x) = 0.

Przesuwamy jednostkę na lewą stronę, dopisujemy do niej dodatkowy współczynnik, aby oba wyrazy sprowadziły do ​​jednego wspólnego mianownika:

x 2 - 4 2 - x - 1 \ 2 - x = 0

x 2 - 4 2 - x - 2 - x 2 - x = 0

x 2 - 4 - (2 - x) 2 - x = 0

x 2 - 4 - 2 + x 2 - x = 0

x 2 + x - 6 2 - x = 0

Pierwszy krok algorytmu został pomyślnie zakończony.

1. Napisz ODZ:

Oprawiamy ODZ, nie zapomnij o tym: x ≠ 2

1. Przyrównaj licznik ułamka do zera f (x) = 0 i znajdź pierwiastki:

x 2 + x − 6 = 0 – Równanie kwadratowe. Rozwiązujemy poprzez dyskryminator.

a = 1, b = 1, do = - 6

re = b 2 - 4 za do = 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25

D > 0 – będą dwa różne pierwiastki.

x 1,2 = − b ± re 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

[ x 1 = 2 x 2 = - 3

1. Wskaż w swojej odpowiedzi pierwiastki z licznika, z wyłączeniem pierwiastków wpadających do ODZ.

Korzenie uzyskane w poprzednim kroku:

[ x 1 = 2 x 2 = - 3

Oznacza to, że odpowiedź zawiera tylko jeden pierwiastek, x = - 3.

Odpowiedź: x = - 3.

Układy równań

Układ równań nazywamy dwa równania z dwiema niewiadomymi (zwykle niewiadome są oznaczone x i y), które są łączone we wspólny system za pomocą nawiasu klamrowego.

Przykład układu równań

( x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Rozwiązać układ równań – znajdź parę liczb x i y, które po podstawieniu do układu równań tworzą prawdziwą równość w obu równaniach układu.

Istnieją dwie metody rozwiązywania układów równań liniowych:

1. Metoda substytucyjna.
2. Metoda dodawania.

Algorytm rozwiązywania układu równań metodą podstawieniową:

1. Znajdź pozostałą niewiadomą.

Przykład:

Rozwiązać układ równań metodą podstawieniową

( x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Rozwiązanie:

1. Wyraź jedną zmienną w postaci innej z dowolnego równania.

( x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

1. Zastąp wynikową wartość innym równaniem zamiast wyrażonej zmiennej.

( x = 8 - 2 y 3 x - y = - 4

( x = 8 - 2 y 3 (8 - 2 y) - y = - 4

1. Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą.

3 (8 - 2 lata) - y = - 4

24 - 6 y - y = - 4

– 7 lat = – 4 – 24

– 7 lat = – 28

y = - 28 - 7 = 28 7 = 4

1. Znajdź pozostałą niewiadomą.

x = 8 - 2 y = 8 - 2 ⋅ 4 = 8 - 8 = 0

Odpowiedź można zapisać na jeden z trzech sposobów:

1. x = 0, y = 4
2. ( x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Rozwiązywanie układu równań metodą dodawania.

Metoda dodawania opiera się na następującej właściwości:

(a + c) = (b + d)

Ideą metody dodawania jest pozbycie się jednej ze zmiennych poprzez dodanie równań.

Przykład:

Rozwiązać układ równań metodą dodawania

( x + 2 y = 8 3 x - y = - 4

Pozbądźmy się zmiennej x w tym przykładzie. Istotą tej metody jest posiadanie przeciwnych współczynników przed zmienną x w pierwszym i drugim równaniu. W drugim równaniu x jest poprzedzone współczynnikiem 3. Aby metoda dodawania zadziałała, zmienna x musi mieć przed sobą współczynnik (-3). Aby to zrobić, pomnóż lewą i prawą stronę pierwszego równania przez (− 3).

Rozwiąż system z dwiema niewiadomymi - oznacza to znalezienie wszystkich par wartości zmiennych, które spełniają każde z podanych równań. Każda taka para nazywana jest rozwiązanie systemowe.

Przykład:
Para wartości \(x=3\);\(y=-1\) jest rozwiązaniem pierwszego układu, gdyż podstawiając te trójki i minusy w zamiast \(x\) i \(y \), oba równania zamieniają się w prawdziwe równości \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases)\)

Ale \(x=1\); \(y=-2\) - nie jest rozwiązaniem pierwszego układu, gdyż po podstawieniu drugie równanie „nie jest zbieżne” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(przypadki)\)

Należy pamiętać, że takie pary są często zapisywane krócej: zamiast „\(x=3\); \(y=-1\)” zapisuje się je w ten sposób: \((3;-1)\).

Jak rozwiązać układ równań liniowych?

Istnieją trzy główne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych:

1. Metoda substytucyjna.

1. \(\begin(przypadki)13x+9y=17\\12x-2y=26\koniec(przypadki)\)

   W drugim równaniu każdy wyraz jest parzysty, dlatego upraszczamy równanie, dzieląc je przez \(2\).
   

   \(\begin(przypadki)13x+9y=17\\6x-y=13\koniec(przypadki)\)

   Ten układ równań liniowych można rozwiązać na dowolny z poniższych sposobów, jednak wydaje mi się, że metoda podstawieniowa jest tutaj najwygodniejsza. Wyraźmy y z drugiego równania.
   

   \(\begin(przypadki)13x+9y=17\\y=6x-13\end(przypadki)\)

   Podstawmy \(6x-13\) zamiast \(y\) do pierwszego równania.
   

   \(\begin(przypadki)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(przypadki)\)

   Pierwsze równanie zamieniło się w zwykłe. Rozwiążmy to.

   Najpierw otwórzmy nawiasy.
   

   \(\begin(przypadki)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(przypadki)\)

   Przesuńmy \(117\) w prawo i przedstawmy podobne terminy.

   \(\begin(przypadki)67x=134\\y=6x-13\end(przypadki)\)

   Podzielmy obie strony pierwszego równania przez \(67\).

   \(\begin(przypadki)x=2\\y=6x-13\end(przypadki)\)

   Hurra, znaleźliśmy \(x\)! Podstawmy jego wartość do drugiego równania i znajdźmy \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Zapiszmy odpowiedź.

W artykule przedstawiono koncepcję definiowania układu równań i jego rozwiązania. Rozważone zostaną często spotykane przypadki rozwiązań systemowych. Podane przykłady pomogą szczegółowo wyjaśnić rozwiązanie.

Definicja układu równań

Aby przejść do definiowania układu równań, należy zwrócić uwagę na dwa punkty: rodzaj zapisu i jego znaczenie. Aby to zrozumieć, musimy szczegółowo rozważyć każdy z typów, a następnie możemy dojść do definicji układów równań.

Na przykład weźmy dwa równania 2 x + y = − 3 i x = 5, a następnie połączmy je za pomocą nawiasu klamrowego w następujący sposób:

2 x + y = - 3, x = 5.

Równania połączone nawiasami klamrowymi uważa się za zapisy układów równań. Definiują zbiory rozwiązań równań danego układu. Każde rozwiązanie musi być rozwiązaniem wszystkich podanych równań.

Innymi słowy oznacza to, że dowolne rozwiązania pierwszego równania będą rozwiązaniami wszystkich równań połączonych przez układ.

Definicja 1

Układy równań- jest to pewna liczba równań połączonych nawiasem klamrowym, mających wiele rozwiązań równań, które są jednocześnie rozwiązaniami całego układu.

Główne typy układów równań

Istnieje wiele rodzajów równań, a także układów równań. Aby ułatwić rozwiązywanie i studiowanie, podzielono je na grupy według określonych cech. Pomoże to w rozważaniu układów równań poszczególnych typów.

Na początek równania są klasyfikowane według liczby równań. Jeśli jest tylko jedno równanie, to jest to równanie zwykłe, jeśli jest ich więcej, to mamy do czynienia z układem składającym się z dwóch lub więcej równań.

Inna klasyfikacja dotyczy liczby zmiennych. Gdy liczba zmiennych wynosi 1, mówimy, że mamy do czynienia z układem równań z jedną niewiadomą, gdy 2 – z dwiema zmiennymi. Spójrzmy na przykład

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

Oczywiście układ równań zawiera dwie zmienne x i y.

Podczas zapisywania takich równań zliczana jest liczba wszystkich zmiennych występujących w zapisie. Ich obecność w każdym równaniu nie jest konieczna. Co najmniej jedno równanie musi mieć jedną zmienną. Rozważmy przykład układu równań

2 x = 11, x - 3 z 2 = 0, 2 7 x + y - z = - 3

Układ ten ma 3 zmienne x, y, z. Pierwsze równanie ma jawne x i ukryte y i z. Zmienne ukryte to te, które mają współczynnik 0. Drugie równanie ma x i z, a y jest zmienną ukrytą. Inaczej można to zapisać w ten sposób

2 x + 0 y + 0 z = 11

Drugie równanie to x + 0 · y − 3 · z = 0.

Trzecia klasyfikacja równań to typ. Szkoła uczy prostych równań i układów równań, zaczynając od układów dwóch równań liniowych w dwóch zmiennych . Oznacza to, że w układzie znajdują się 2 równania liniowe. Rozważmy na przykład

2 x - y = 1, x + 2 y = - 1 i - 3 x + y = 0. 5 , x + 2 2 3 y = 0

Są to podstawowe, najprostsze równania liniowe. Następnie możesz napotkać układy zawierające 3 lub więcej niewiadomych.

W klasie IX rozwiązują równania z dwiema zmiennymi i równania nieliniowe. W całych równaniach stopień zwiększa się w celu zwiększenia złożoności. Układy takie nazywane są układami równań nieliniowych z pewną liczbą równań i niewiadomych. Spójrzmy na przykłady takich systemów

x 2 - 4 x y = 1, x - y = 2 i x = y 3 x y = - 5

Obydwa są układami z dwiema zmiennymi i oba są nieliniowe.

Podczas rozwiązywania można natknąć się na ułamkowe równania wymierne. Na przykład

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

Mogą po prostu nazwać to układem równań, nie określając, które. Sam typ systemu jest rzadko określany.

Klasy starsze przechodzą do studiowania równań niewymiernych, trygonometrycznych i wykładniczych. Na przykład,

x + y - x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Instytucje szkolnictwa wyższego studiują i badają rozwiązania układów liniowych równań algebraicznych (SLAE). Lewa strona takich równań zawiera wielomiany pierwszego stopnia, a prawa strona pewne liczby. Różnica od szkolnych polega na tym, że liczba zmiennych i liczba równań może być dowolna, najczęściej niepasująca.

Rozwiązywanie układów równań

Definicja 2

Rozwiązywanie układu równań z dwiema zmiennymi to para zmiennych, która po podstawieniu zamienia każde równanie w poprawną nierówność numeryczną, czyli jest rozwiązaniem każdego równania danego układu.

Na przykład para wartości x = 5 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań x + y = 7, x - y = 3. Ponieważ podczas podstawienia równania zamieniają się w prawidłowe nierówności numeryczne 5 + 2 = 7 i 5 - 2 = 3. Jeśli podstawimy parę x = 3 i y = 0, to układ nie zostanie rozwiązany, ponieważ podstawienie nie da prawidłowego równania, a mianowicie otrzymamy 3 + 0 = 7.

Sformułujmy definicję systemów zawierających jedną lub więcej zmiennych.

Definicja 3

Rozwiązywanie układu równań z jedną zmienną– jest to wartość zmiennej będącej pierwiastkiem równań układu, co oznacza, że ​​wszystkie równania zostaną przeliczone na prawidłowe równości liczbowe.

Rozważmy przykład układu równań z jedną zmienną t

t 2 = 4, 5 (t + 2) = 0

Liczba - 2 jest rozwiązaniem równania, ponieważ (− 2) · 2 = 4 i 5 · (− 2 + 2) = 0 są prawdziwymi równościami liczbowymi. Przy t = 1 układ nie jest rozwiązany, ponieważ po podstawieniu otrzymujemy dwie błędne równości 12 = 4 i 5 · (1 + 2) = 0.

Definicja 4

Rozwiązywanie układu z trzema lub większą liczbą zmiennych nazywają odpowiednio trzy, cztery i dalsze wartości, które zamieniają wszystkie równania układu w prawidłowe równości.

Jeśli mamy wartości zmiennych x = 1, y = 2, z = 0, to podstawiając je do układu równań 2 · x = 2, 5 · y = 10, x + y + z = 3, otrzymujemy 2 · 1 = 2, 5 · 2 = 10 i 1 + 2 + 0 = 3. Oznacza to, że te nierówności liczbowe są poprawne. A wartości (1, 0, 5) nie będą rozwiązaniem, ponieważ po podstawieniu wartości druga z nich będzie niepoprawna, a także trzecia: 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3.

Układy równań mogą nie mieć żadnych rozwiązań lub mieć nieskończoną liczbę rozwiązań. Można to zweryfikować poprzez dogłębne przestudiowanie tego tematu. Można dojść do wniosku, że układ równań jest przecięciem zbiorów rozwiązań wszystkich jego równań. Rozwińmy kilka definicji:

Definicja 5

Niekompatybilny układ równań nazywa się, gdy nie ma rozwiązań, w przeciwnym razie nazywa się go wspólny.

Definicja 6

Niepewny system nazywa się, gdy ma nieskończoną liczbę rozwiązań, oraz niektórzy ze skończoną liczbą rozwiązań lub przy ich braku.

Terminy te są rzadko używane w szkole, ponieważ są przeznaczone do programów szkół wyższych. Znajomość układów równoważnych pogłębi Twoją dotychczasową wiedzę z zakresu rozwiązywania układów równań.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter