แนวคิดของวิธีการมีการเลือกสมการโดยให้ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งแสดงผ่านตัวแปรอื่นๆ ได้ง่ายที่สุด นิพจน์ผลลัพธ์สำหรับตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือของระบบ

1. b) ใช้ร่วมกับวิธีอื่น

แนวคิดของวิธีการ. หากวิธีการทดแทนโดยตรงไม่สามารถใช้งานได้ในระยะเริ่มต้นของการแก้ปัญหา ระบบจะใช้การแปลงที่เทียบเท่ากัน (การบวก การลบ การคูณ การหาร แบบทีละเทอม) จากนั้นจึงดำเนินการการทดแทนโดยตรงโดยตรง

2) วิธีการแก้สมการอย่างอิสระ

แนวคิดของวิธีการ. ถ้าระบบมีสมการที่พบนิพจน์ผกผันร่วมกัน จะมีการแนะนำตัวแปรใหม่และสมการจะได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพ จากนั้นระบบจะแบ่งออกเป็นระบบที่ง่ายกว่าหลายระบบ

แก้ระบบสมการ

พิจารณาสมการแรกของระบบ:

ทำการทดแทน โดยที่ t ≠ 0 เราได้รับ

โดยที่ 1 = 4, t 2 = 1/4

กลับมาที่ตัวแปรเก่า ลองพิจารณาสองกรณี

รากของสมการ 4y 2 – 15y – 4 = 0 คือ y 1 = 4, y 2 = - 1/4

รากของสมการ 4x 2 + 15x – 4 = 0 คือ x 1 = – 4, x 2 = 1/4

3) การลดขนาดระบบให้เป็นการผสมผสานของระบบที่เรียบง่ายกว่า

1. ก) การแยกตัวประกอบโดยการนำตัวประกอบร่วมออกมา

แนวคิดของวิธีการหากสมการใดสมการหนึ่งมีปัจจัยร่วม สมการนี้จะถูกแยกตัวประกอบและเมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของนิพจน์เป็นศูนย์ ให้ดำเนินการแก้ไขระบบที่ง่ายกว่าต่อไป

1. ข) การแยกตัวประกอบโดยการแก้สมการเอกพันธ์.

แนวคิดของวิธีการหากสมการใดสมการหนึ่งเป็นสมการเอกพันธ์ (จากนั้นเมื่อแก้สมการด้วยตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งแล้ว เราก็แยกตัวประกอบออกเป็นปัจจัย เช่น a(x-x 1)(x-x 2) และเมื่อคำนึงถึงความเท่าเทียมกันของ การแสดงออกถึงศูนย์ เราจะดำเนินการแก้ไขระบบที่ง่ายกว่าต่อไป

มาแก้ระบบแรกกัน

1. ค) การใช้ความเป็นเนื้อเดียวกัน

แนวคิดของวิธีการหากระบบมีนิพจน์ที่เป็นผลคูณของปริมาณแปรผัน ให้ใช้วิธีบวกพีชคณิต จะได้สมการเอกพันธ์ จากนั้นจึงใช้วิธีแยกตัวประกอบเพื่อแก้สมการเอกพันธ์

4) วิธีการบวกพีชคณิต

แนวคิดของวิธีการในสมการใดสมการหนึ่ง เราจะกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบออกไปหนึ่งรายการ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราจะทำให้โมดูลของสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเท่ากัน จากนั้นเราจะทำการบวกหรือลบสมการแบบเทอมต่อเทอม

5) วิธีการคูณสมการ

แนวคิดของวิธีการหากไม่มีคู่ (x;y) ที่ทั้งสองด้านของสมการหนึ่งหายไปพร้อมๆ กัน สมการนี้จะถูกแทนที่ด้วยผลคูณของสมการทั้งสองของระบบ

ลองแก้สมการที่สองของระบบกัน

กำหนดให้ = t จากนั้น 4t 3 + t 2 -12t -12 = 0 เมื่อนำข้อพิสูจน์มาใช้กับทฤษฎีบทบนรากของพหุนาม เราจะได้ t 1 = 2

P(2) = 4∙2 3 + 2 2 – 12∙2 – 12 = 32 + 4 – 24 – 12 = 0 ลองลดดีกรีของพหุนามโดยใช้วิธีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้

4t 3 + เสื้อ 2 -12t -12 = (t – 2) (ที่ 2 + bt + c)

4t 3 +t 2 -12t -12 = ที่ 3 + bt 2 + ct - 2at 2 -2bt - 2c

4t 3 + เสื้อ 2 - 12t -12 = ที่ 3 + (b - 2a) เสื้อ 2 + (c -2b) เสื้อ - 2c

เราได้สมการ 4t 2 + 9t + 6 = 0 ซึ่งไม่มีราก เนื่องจาก D = 9 2 - 4∙4∙6 = -15<0.

กลับไปที่ตัวแปร y เรามี = 2 โดยที่ y = 4

คำตอบ. (1;4).

6) วิธีการหารสมการ

แนวคิดของวิธีการหากไม่มีคู่ (x; y) ที่ทั้งสองด้านของสมการหนึ่งหายไปพร้อมๆ กัน สมการนี้สามารถถูกแทนที่ด้วยสมการที่ได้โดยการหารสมการของระบบหนึ่งด้วยอีกสมการหนึ่ง

7) วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

แนวคิดของวิธีการนิพจน์บางส่วนจากตัวแปรดั้งเดิมถือเป็นตัวแปรใหม่ ซึ่งนำไปสู่ระบบที่ง่ายกว่าตัวแปรดั้งเดิมจากตัวแปรเหล่านี้ หลังจากพบตัวแปรใหม่แล้วเราจำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแปรเดิม

กลับไปที่ตัวแปรเก่า เรามี:

มาแก้ระบบแรกกัน

8) การประยุกต์ทฤษฎีบทของเวียตนาม.

แนวคิดของวิธีการหากระบบถูกประกอบเช่นนี้ สมการหนึ่งจะแสดงเป็นผลรวม และสมการที่สองเป็นผลคูณของตัวเลขบางตัวที่เป็นรากของสมการกำลังสอง จากนั้นใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เราจะเขียนสมการกำลังสองแล้วแก้มัน

คำตอบ. (1;4), (4;1)

ในการแก้ระบบสมมาตร จะใช้การทดแทน: x + y = a; xy = โวลต์ เมื่อแก้ระบบสมมาตรจะใช้การแปลงต่อไปนี้:

x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy = a 2 – 2b; x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2) = a(a 2 -3b);

x 2 y + xy 2 = xy (x + y) = ab; (x +1)∙(y +1) = xy +x +y+1 =a + b +1;

คำตอบ. (1;1), (1;2), (2;1)

10) “ปัญหาค่าขอบเขต”

แนวคิดของวิธีการการแก้ปัญหาของระบบได้มาจากการใช้เหตุผลเชิงตรรกะที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างของโดเมนของคำจำกัดความหรือชุดของค่าฟังก์ชัน และการศึกษาเครื่องหมายของการแบ่งแยกของสมการกำลังสอง

ลักษณะเฉพาะของระบบนี้คือจำนวนตัวแปรในนั้นมากกว่าจำนวนสมการ สำหรับระบบไม่เชิงเส้น คุณลักษณะดังกล่าวมักเป็นสัญญาณของ "ปัญหาค่าขอบเขต" ขึ้นอยู่กับรูปแบบของสมการเราจะพยายามค้นหาชุดค่าของฟังก์ชันที่เกิดขึ้นทั้งในสมการที่หนึ่งและที่สองของระบบ เนื่องจาก x 2 + 4 ≥ 4 จึงตามมาจากสมการแรก

ตอบ (0;4;4), (0;-4;-4)

11) วิธีกราฟิก

แนวคิดของวิธีการ. สร้างกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดเดียวและค้นหาพิกัดของจุดตัดกัน

1) เมื่อเขียนสมการแรกของระบบใหม่ในรูปแบบ y = x 2 เราได้ข้อสรุป: กราฟของสมการคือพาราโบลา

2) เมื่อเขียนสมการที่สองของระบบใหม่ในรูปแบบ y = 2/x 2 เราก็ได้ข้อสรุป: กราฟของสมการคือไฮเปอร์โบลา

3) พาราโบลาและไฮเปอร์โบลาตัดกันที่จุด A มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียว เนื่องจากกิ่งด้านขวาของพาราโบลาทำหน้าที่เป็นกราฟของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น และกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลาทำหน้าที่เป็นฟังก์ชันลดลง เมื่อพิจารณาจากแบบจำลองทางเรขาคณิตที่สร้างขึ้น จุด A มีพิกัด (1;2) การตรวจสอบพบว่าคู่ (1;2) เป็นวิธีแก้สมการทั้งสองของระบบ

สมการเชิงเส้น – สมการที่อยู่ในรูปแบบ a x = b โดยที่ x เป็นตัวแปร a และ b คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a ≠ 0

ตัวอย่างของสมการเชิงเส้น:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

สมการเชิงเส้นไม่เพียงถูกเรียกว่าสมการในรูปแบบ a x = b เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสมการใด ๆ ที่ถูกลดขนาดลงเป็นรูปแบบนี้ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงและลดความซับซ้อน

จะแก้สมการที่ลดรูปให้อยู่ในรูป a x = b ได้อย่างไร? แค่หารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการด้วยค่า a ก็เพียงพอแล้ว เป็นผลให้เราได้คำตอบ: x = b a

จะทราบได้อย่างไรว่าสมการตามอำเภอใจนั้นเป็นเชิงเส้นหรือไม่? คุณต้องใส่ใจกับตัวแปรที่มีอยู่ในนั้น ถ้ากำลังนำของตัวแปรเท่ากับ 1 สมการดังกล่าวก็จะเป็นสมการเชิงเส้น

เพื่อแก้สมการเชิงเส้น คุณต้องเปิดวงเล็บ (ถ้ามี) เลื่อนตัว "X" ไปทางซ้าย ตัวเลขไปทางขวา แล้วนำคำที่คล้ายกันมา ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการในรูปแบบ a x = b วิธีแก้สมการเชิงเส้นนี้คือ: x = b a

ตัวอย่างของการแก้สมการเชิงเส้น:

1. 2 x + 1 = 2 (x − 3) + 8

นี่คือสมการเชิงเส้นเนื่องจากตัวแปรเป็นกำลังแรก

ลองแปลงให้อยู่ในรูปแบบ a x = b:

ก่อนอื่นเรามาเปิดวงเล็บ:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

พจน์ทั้งหมดที่มี x จะถูกโอนไปทางด้านซ้าย และตัวเลขทางด้านขวา:

2 x − 4 x = 2 − 1

ทีนี้ลองหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วยตัวเลข (-2):

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0.5

คำตอบ: x = − 0.5

1. x 2 − 1 = 0

สมการนี้ไม่ใช่สมการเชิงเส้นเพราะกำลังสูงสุดของตัวแปร x คือ 2

1. x (x + 3) − 8 = x − 1

สมการนี้มีลักษณะเชิงเส้นเมื่อมองแวบแรก แต่หลังจากเปิดวงเล็บ กำลังนำจะเท่ากับ 2:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

สมการนี้ไม่ใช่สมการเชิงเส้น

กรณีพิเศษ(ไม่พบพวกเขาในภารกิจที่ 4 ของ OGE แต่การรู้จักพวกเขาก็มีประโยชน์)

ตัวอย่าง:

1. 2 x - 4 = 2 (x − 2)

2 x - 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

แล้วเราจะหา x ตรงนี้ได้อย่างไรถ้ามันไม่มี? หลังจากดำเนินการแปลงแล้ว เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง (ตัวตน) ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร x ไม่ว่าเราจะแทนค่า x ใด ๆ ลงในสมการดั้งเดิม ผลลัพธ์ที่ได้จะส่งผลให้เกิดความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง (ตัวตน) เสมอ หมายความว่า x สามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ ลองเขียนคำตอบของสมการเชิงเส้นนี้ลงไป

คำตอบ: x ∈ (− ∞ ;  + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x − 8)

นี่คือสมการเชิงเส้น ลองเปิดวงเล็บ เลื่อน X ไปทางซ้าย ตัวเลขไปทางขวา:

2 x - 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

จากผลของการแปลง x ลดลง แต่ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก ไม่ว่าเราจะแทนค่า x ลงในสมการเดิมเท่าใด ผลลัพธ์ก็จะเท่ากับค่าที่ไม่ถูกต้องเสมอไป ซึ่งหมายความว่าไม่มีค่า x ใดที่ความเท่าเทียมกันจะกลายเป็นจริง ลองเขียนคำตอบของสมการเชิงเส้นนี้ลงไป

คำตอบ: x ∈ ∅

สมการกำลังสอง

สมการกำลังสอง – สมการที่อยู่ในรูปแบบ a x 2 + b x + c = 0 โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ a ≠ 0

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสอง:

1. เปิดวงเล็บ ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้สมการอยู่ในรูปแบบ: a x 2 + b x + c = 0
2. เขียนว่าสัมประสิทธิ์เท่ากับจำนวนเท่าใด: a = … b = … c = …
3. คำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: D = b 2 − 4 a c
4. ถ้า D > 0 จะมีรากที่แตกต่างกันสองอัน ซึ่งหาได้จากสูตร: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. ถ้า D = 0 จะมีหนึ่งรูตซึ่งพบได้จากสูตร: x = − b 2 a
6. ถ้า D< 0, решений нет: x ∈ ∅

ตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสอง:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = - 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – จะมีรากที่แตกต่างกันสองแบบ:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ (− 1) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

คำตอบ: x 1 = − 1, x 2 = 7

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

ก = − 1, ข = 4, ค = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 4) = 16 − 16 = 0

D = 0 – จะมีหนึ่งรูต:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ (− 1) = − 4 − 2 = 2

คำตอบ: x = 2

1. 2 x 2 − 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = (− 7) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

ดี< 0 – решений нет.

คำตอบ: x ∈ ∅

นอกจากนี้ยังมี สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (นี่คือสมการกำลังสองโดยที่ b = 0 หรือ c = 0 หรือ b = c = 0) ชมวิดีโอวิธีแก้สมการกำลังสองเหล่านี้!

แยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง

ตรีโกณมิติกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

โดยที่ a คือตัวเลข ซึ่งเป็นค่าสัมประสิทธิ์ก่อนค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า

x – ตัวแปร (เช่น ตัวอักษร)

x 1 และ x 2 คือตัวเลข รากของสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c = 0 ซึ่งหาได้จากการแบ่งแยก

หากสมการกำลังสองมีเพียงรากเดียว การขยายตัวจะมีลักษณะดังนี้:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

ตัวอย่างของการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,  x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

หากตรีโกณมิติกำลังสองไม่สมบูรณ์ ((b = 0 หรือ c = 0) ก็สามารถแยกตัวประกอบได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

• ค = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ ใช้กับผลต่างของกำลังสอง

สมการตรรกยะเศษส่วน

ให้ f (x) และ g (x) เป็นฟังก์ชันบางอย่าง ขึ้นอยู่กับตัวแปร x

สมการตรรกยะเศษส่วน เป็นสมการที่อยู่ในรูปแบบ f (x) g (x) = 0

ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน เราต้องจำไว้ว่า ODZ คืออะไรและเกิดขึ้นเมื่อใด

โอดีซ– ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร

ในการแสดงออกของรูปแบบ f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (ตัวส่วนของเศษส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์)

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน:

1. เขียน ODZ: g (x) ≠ 0
2. นำเศษของเศษส่วนมาเทียบกับศูนย์ f (x) = 0 แล้วหาราก

ตัวอย่างของการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน:

แก้สมการตรรกยะเศษส่วน x 2 − 4 2 − x = 1

สารละลาย:

เราจะดำเนินการตามอัลกอริทึม

1. ลดนิพจน์ให้อยู่ในรูปแบบ f (x) g (x) = 0

เราย้ายหน่วยไปทางซ้าย เขียนตัวประกอบเพิ่มเติมเข้าไปเพื่อนำทั้งสองเทอมมาหารด้วยตัวส่วนร่วมตัวเดียว:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − (2 − x) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 - x = 0

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมเสร็จสมบูรณ์แล้ว

1. เขียน ODZ:

เราวางกรอบ ODZ อย่าลืม: x ≠ 2

1. เท่ากับตัวเศษของเศษส่วนให้เป็นศูนย์ f (x) = 0 และค้นหาราก:

x 2 + x − 6 = 0 – สมการกำลังสอง เราแก้ปัญหาด้วยการแยกแยะ

ก = 1, ข = 1, ค = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6) = 1 + 24 = 25

D > 0 – จะมีรากที่แตกต่างกันสองแบบ

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

[ x 1 = 2 x 2 = - 3

1. ระบุรากจากตัวเศษในคำตอบของคุณ ไม่รวมรากที่อยู่ใน ODZ

รากที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า:

[ x 1 = 2 x 2 = - 3

ซึ่งหมายความว่าคำตอบจะมีเพียงรากเดียวเท่านั้น x = − 3

คำตอบ: x = − 3

ระบบสมการ

ระบบสมการ เรียกสมการสองสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว (โดยปกติแล้วไม่ทราบค่าจะแสดงแทน x และ y) ซึ่งรวมกันเป็นระบบทั่วไปด้วยเครื่องหมายปีกกา

ตัวอย่างระบบสมการ

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

แก้ระบบสมการ – หาคู่ของตัวเลข x และ y ซึ่งเมื่อแทนที่ในระบบสมการ จะทำให้เกิดความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริงในสมการทั้งสองของระบบ

มีสองวิธีในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น:

1. วิธีการทดแทน
2. วิธีการบวก

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีการทดแทน:

1. ค้นหาสิ่งที่เหลืออยู่ที่ไม่รู้จัก

ตัวอย่าง:

แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีทดแทน

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

สารละลาย:

1. แสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งจากสมการใดๆ

( x = 8 − 2 ปี 3 x − y = − 4

1. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการอื่นแทนตัวแปรที่แสดง

( x = 8 − 2 ปี 3 x − y = − 4

( x = 8 − 2 ปี 3 (8 − 2 ปี) − y = − 4

1. แก้สมการด้วยอันที่ไม่รู้จัก

3 (8 − 2 ปี) − y = − 4

24 − 6 ปี - y = − 4

− 7 ปี = − 4 − 24

− 7 ปี = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. ค้นหาสิ่งที่เหลืออยู่ที่ไม่รู้จัก

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

คำตอบสามารถเขียนได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสามวิธี:

1. x = 0, y = 4
2. ( x = 0 ปี = 4
3. (0 ;   4)

การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวก

วิธีการบวกจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติต่อไปนี้:

(ก + ค) = (ข + ง)

แนวคิดเบื้องหลังวิธีการบวกคือการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งออกไปโดยการบวกสมการเข้าด้วยกัน

ตัวอย่าง:

แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีการบวก

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

ลองกำจัดตัวแปร x ในตัวอย่างนี้ออกไป สาระสำคัญของวิธีนี้คือการมีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้ามหน้าตัวแปร x ในสมการที่หนึ่งและสอง ในสมการที่สอง x นำหน้าด้วยสัมประสิทธิ์ 3 เพื่อให้วิธีการบวกทำงานได้ ตัวแปร x ต้องมีสัมประสิทธิ์ (- 3) อยู่ข้างหน้า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณด้านซ้ายและด้านขวาของสมการแรกด้วย (- 3)

ในวิดีโอนี้ ฉันจะเริ่มชุดบทเรียนเกี่ยวกับระบบสมการโดยเฉพาะ วันนี้เราจะมาพูดถึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้น วิธีการบวก- นี่เป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดวิธีหนึ่ง

วิธีการบวกประกอบด้วยสามขั้นตอนง่ายๆ:

1. ดูที่ระบบและเลือกตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน (หรือตรงกันข้าม) ในแต่ละสมการ
2. ดำเนินการลบพีชคณิต (สำหรับจำนวนตรงข้าม - การบวก) ของสมการจากกัน จากนั้นนำพจน์ที่คล้ายกันมา
3. แก้สมการใหม่ที่ได้รับหลังจากขั้นตอนที่สอง

หากทุกอย่างถูกต้องเราจะได้สมการเดียวที่เอาต์พุต ด้วยตัวแปรตัวหนึ่ง— การแก้ไขมันไม่ใช่เรื่องยาก สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่รูทที่พบลงในระบบดั้งเดิมและรับคำตอบสุดท้าย

อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติทุกอย่างไม่ง่ายนัก มีหลายสาเหตุนี้:

• การแก้สมการโดยใช้วิธีการบวกหมายความว่าทุกบรรทัดต้องมีตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันหรือตรงกันข้าม จะทำอย่างไรหากไม่เป็นไปตามข้อกำหนดนี้?
• ไม่เสมอไป หลังจากบวก/ลบสมการตามวิธีที่ระบุ เราจะได้โครงสร้างที่สวยงามซึ่งสามารถแก้ได้อย่างง่ายดาย เป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นและเพิ่มความเร็วในการคำนวณ?

หากต้องการทราบคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้ และในขณะเดียวกันก็เข้าใจรายละเอียดปลีกย่อยเพิ่มเติมบางประการที่นักเรียนหลายคนล้มเหลว โปรดดูบทเรียนวิดีโอของฉัน:

ในบทเรียนนี้ เราจะเริ่มการบรรยายเกี่ยวกับระบบสมการ และเราจะเริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุด ได้แก่ สมการที่มีสองสมการและตัวแปรสองตัว แต่ละตัวจะเป็นเส้นตรง

ระบบเป็นเนื้อหาเกรด 7 แต่บทเรียนนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายที่ต้องการทบทวนความรู้ในหัวข้อนี้ด้วย

โดยทั่วไปมีสองวิธีในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว:

1. วิธีการบวก
2. วิธีการแสดงตัวแปรหนึ่งในแง่ของอีกตัวแปรหนึ่ง

วันนี้เราจะมาจัดการกับวิธีแรก - เราจะใช้วิธีการลบและการบวก แต่เพื่อทำสิ่งนี้ คุณต้องเข้าใจข้อเท็จจริงต่อไปนี้: เมื่อคุณมีสมการสองสมการขึ้นไปแล้ว คุณสามารถนำสมการสองสมการมาบวกกัน พวกเขาจะถูกเพิ่มสมาชิกโดยสมาชิกเช่น มีการเพิ่ม "X's" ใน "X's" และให้สิ่งที่คล้ายกัน "Y's" กับ "Y's" จะคล้ายกันอีกครั้ง และสิ่งที่อยู่ทางด้านขวาของเครื่องหมายเท่ากับก็จะถูกเพิ่มซึ่งกันและกันด้วย และให้สิ่งที่คล้ายกันที่นั่นด้วย .

ผลลัพธ์ของการใช้เครื่องจักรดังกล่าวจะเป็นสมการใหม่ ซึ่งหากมีราก ก็จะอยู่ในหมู่รากของสมการดั้งเดิมอย่างแน่นอน ดังนั้น งานของเราคือลบหรือบวกในลักษณะที่ $x$ หรือ $y$ หายไป

วิธีบรรลุเป้าหมายนี้และเครื่องมือใดที่จะใช้สำหรับสิ่งนี้ - เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาง่ายๆ โดยใช้การบวก

ดังนั้นเราจึงเรียนรู้ที่จะใช้วิธีการบวกโดยใช้ตัวอย่างนิพจน์ง่ายๆ สองนิพจน์

ภารกิจที่ 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่า $y$ มีค่าสัมประสิทธิ์ $-4$ ในสมการแรก และ $+4$ ในสมการที่สอง พวกมันตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะสรุปได้ว่าถ้าเรารวมมันเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ "เกม" จะถูกทำลายร่วมกัน เพิ่มและรับ:

มาแก้การก่อสร้างที่ง่ายที่สุด:

เยี่ยมเลย เราเจอ "x" แล้ว เราควรทำอย่างไรกับมันตอนนี้? เรามีสิทธิ์แทนที่มันลงในสมการใดๆ ได้ มาแทนที่ในอันแรก:

\[-4y=12\ซ้าย| :\left(-4 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(2;-3 \right)$.

ปัญหาหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

สถานการณ์ที่นี่คล้ายกันมาก เฉพาะกับ "X's" เท่านั้น มาเพิ่มกัน:

เรามีสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด มาแก้กัน:

ตอนนี้เรามาหา $x$:

คำตอบ: $\left(-3;3 \right)$.

จุดสำคัญ

ดังนั้นเราจึงเพิ่งแก้สมการเชิงเส้นอย่างง่ายสองระบบโดยใช้วิธีการบวก ประเด็นสำคัญอีกครั้ง:

1. หากตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ตรงกันข้าม จำเป็นต้องบวกตัวแปรทั้งหมดในสมการ ในกรณีนี้หนึ่งในนั้นจะถูกทำลาย
2. เราแทนตัวแปรที่พบลงในสมการของระบบใดๆ เพื่อหาค่าที่สอง
3. บันทึกการตอบกลับขั้นสุดท้ายสามารถนำเสนอได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น - $x=...,y=...$ หรือในรูปแบบของพิกัดจุด - $\left(...;... \right)$ ตัวเลือกที่สองจะดีกว่า สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือพิกัดแรกคือ $x$ และพิกัดที่สองคือ $y$
4. กฎการเขียนคำตอบในรูปแบบพิกัดจุดไม่สามารถใช้ได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถใช้เมื่อตัวแปรไม่ใช่ $x$ และ $y$ แต่ ตัวอย่างเช่น $a$ และ $b$

ในปัญหาต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเทคนิคการลบเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ไม่ตรงกันข้าม

การแก้ปัญหาง่าย ๆ โดยใช้วิธีลบ

ภารกิจที่ 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

โปรดทราบว่าไม่มีสัมประสิทธิ์ที่ตรงกันข้ามตรงนี้ แต่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงลบอันที่สองออกจากสมการแรก:

ตอนนี้เราแทนค่า $x$ ลงในสมการของระบบใดๆ ไปก่อน:

คำตอบ: $\left(2;5\right)$.

ปัญหาหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันอีกครั้งที่ $5$ สำหรับ $x$ ในสมการที่หนึ่งและที่สอง ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะถือว่าคุณต้องลบตัวที่สองออกจากสมการแรก:

เราได้คำนวณตัวแปรหนึ่งตัวแล้ว ทีนี้ เรามาค้นหาอันที่สองกันดีกว่า โดยการแทนที่ค่า $y$ ลงในโครงสร้างที่สอง:

คำตอบ: $\left(-3;-2 \right)$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

แล้วเราเห็นอะไร? โดยพื้นฐานแล้ว โครงการนี้ไม่แตกต่างจากโซลูชันของระบบก่อนหน้านี้ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือเราไม่ได้เพิ่มสมการ แต่ลบออก เรากำลังลบพีชคณิต.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทันทีที่คุณเห็นระบบที่ประกอบด้วยสมการสองสมการในค่าไม่ทราบค่าสองตัว สิ่งแรกที่คุณต้องดูคือค่าสัมประสิทธิ์ หากเท่ากันทุกจุด สมการจะถูกลบออก และหากอยู่ตรงข้ามกัน จะใช้วิธีบวก สิ่งนี้จะทำเสมอเพื่อให้หนึ่งในนั้นหายไป และในสมการสุดท้ายซึ่งยังคงอยู่หลังจากการลบ จะเหลือเพียงตัวแปรเดียวเท่านั้น

แน่นอนว่านั่นไม่ใช่ทั้งหมด ตอนนี้เราจะพิจารณาระบบที่สมการโดยทั่วไปไม่สอดคล้องกัน เหล่านั้น. ไม่มีตัวแปรในตัวแปรที่เหมือนหรือตรงกันข้าม ในกรณีนี้ มีการใช้เทคนิคเพิ่มเติมในการแก้ระบบดังกล่าว กล่าวคือ การคูณแต่ละสมการด้วยสัมประสิทธิ์พิเศษ วิธีค้นหาและวิธีแก้ไขระบบดังกล่าวโดยทั่วไป เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาด้วยการคูณด้วยสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

เราเห็นว่าทั้ง $x$ และ $y$ สัมประสิทธิ์ไม่เพียงแต่ตรงกันข้ามกันเท่านั้น แต่ยังไม่มีความสัมพันธ์กับสมการอื่นด้วย ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะไม่หายไป แต่อย่างใดแม้ว่าเราจะบวกหรือลบสมการออกจากกันก็ตาม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การคูณ ลองกำจัดตัวแปร $y$ ออกไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคูณสมการแรกด้วยสัมประสิทธิ์ของ $y$ จากสมการที่สอง และสมการที่สองด้วยสัมประสิทธิ์ $y$ จากสมการแรก โดยไม่ต้องแตะเครื่องหมาย เราคูณและรับระบบใหม่:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

ลองดูที่: ที่ $y$ ค่าสัมประสิทธิ์อยู่ตรงข้าม ในสถานการณ์เช่นนี้จำเป็นต้องใช้วิธีบวก มาเพิ่ม:

ตอนนี้เราต้องค้นหา $y$ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ $x$ ในนิพจน์แรก:

\[-9y=18\ซ้าย| :\left(-9 \right) \right.\]

คำตอบ: $\left(4;-2 \right)$.

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

ขอย้ำอีกครั้งว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรใดไม่สอดคล้องกัน ลองคูณด้วยสัมประสิทธิ์ของ $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

ระบบใหม่ของเราเทียบเท่ากับระบบก่อนหน้า แต่ค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ นั้นตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะใช้วิธีการบวกที่นี่:

ทีนี้ มาหา $y$ โดยการแทนที่ $x$ ลงในสมการแรก:

คำตอบ: $\left(-2;1 \right)$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

กฎสำคัญมีดังนี้: เราคูณด้วยจำนวนบวกเท่านั้นซึ่งจะช่วยคุณจากข้อผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนสัญญาณ โดยทั่วไป รูปแบบการแก้ปัญหาค่อนข้างง่าย:

1. เราดูที่ระบบและวิเคราะห์แต่ละสมการ
2. หากเราเห็นว่าทั้ง $y$ และ $x$ สัมประสิทธิ์ไม่สอดคล้องกัน กล่าวคือ มันไม่เท่ากันหรือตรงกันข้าม จากนั้นเราจะทำดังต่อไปนี้: เราเลือกตัวแปรที่ต้องการกำจัดออก จากนั้นจึงดูค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเหล่านี้ หากเราคูณสมการแรกด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการที่สองและสมการที่สองคูณด้วยสัมประสิทธิ์จากสมการแรกตามลำดับในที่สุดเราจะได้ระบบที่เทียบเท่ากับสมการก่อนหน้าอย่างสมบูรณ์และค่าสัมประสิทธิ์ $ y$ จะสอดคล้องกัน การกระทำหรือการแปลงทั้งหมดของเรามุ่งเป้าไปที่การรับตัวแปรเพียงตัวเดียวในสมการเดียวเท่านั้น
3. เราพบตัวแปรหนึ่งตัว
4. เราแทนที่ตัวแปรที่พบเป็นสมการหนึ่งในสองสมการของระบบและค้นหาสมการที่สอง
5. เราเขียนคำตอบในรูปแบบของพิกัดจุดถ้าเรามีตัวแปร $x$ และ $y$

แต่แม้แต่อัลกอริธึมธรรมดา ๆ ก็ยังมีรายละเอียดปลีกย่อยของตัวเอง เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของ $x$ หรือ $y$ อาจเป็นเศษส่วนและตัวเลขที่ "น่าเกลียด" อื่นๆ ได้ ตอนนี้เราจะพิจารณากรณีเหล่านี้แยกกันเนื่องจากในกรณีเหล่านี้คุณสามารถดำเนินการแตกต่างไปจากอัลกอริทึมมาตรฐานได้เล็กน้อย

การแก้ปัญหาเรื่องเศษส่วน

ตัวอย่าง #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

ขั้นแรก สังเกตว่าสมการที่สองมีเศษส่วน แต่โปรดทราบว่าคุณสามารถหาร $4$ ด้วย $0.8$ ได้ เราจะได้รับ $5$. ลองคูณสมการที่สองด้วย $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

เราลบสมการออกจากกัน:

เราพบ $n$ แล้ว ทีนี้มานับ $m$ กัน:

คำตอบ: $n=-4;m=5$

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ ขวา.\]

เช่นเดียวกับในระบบก่อนหน้านี้ มีค่าสัมประสิทธิ์เศษส่วน แต่ไม่มีตัวแปรใดเลยที่ค่าสัมประสิทธิ์จะเข้ากันเป็นจำนวนเต็มครั้ง ดังนั้นเราจึงใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน กำจัด $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

เราใช้วิธีลบ:

มาหา $p$ โดยการแทนที่ $k$ ลงในโครงสร้างที่สอง:

คำตอบ: $p=-4;k=-2$.

ความแตกต่างของการแก้ปัญหา

นั่นคือการเพิ่มประสิทธิภาพทั้งหมด ในสมการแรก เราไม่ได้คูณสิ่งใดเลย แต่คูณสมการที่สองด้วย $5$ เป็นผลให้เราได้รับสมการที่สม่ำเสมอและเหมือนกันสำหรับตัวแปรแรก ในระบบที่สอง เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมมาตรฐาน

แต่คุณจะพบตัวเลขที่ใช้คูณสมการได้อย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว ถ้าเราคูณเศษส่วน เราก็จะได้เศษส่วนใหม่ ดังนั้นเศษส่วนจะต้องคูณด้วยตัวเลขที่จะให้จำนวนเต็มใหม่ และหลังจากนั้นตัวแปรจะต้องคูณด้วยสัมประสิทธิ์ตามอัลกอริทึมมาตรฐาน

โดยสรุปฉันต้องการดึงความสนใจของคุณไปที่รูปแบบการบันทึกการตอบกลับ อย่างที่ผมบอกไปแล้ว เนื่องจากที่นี่เราไม่มี $x$ และ $y$ แต่มีค่าอื่นๆ เราจึงใช้รูปแบบที่ไม่เป็นมาตรฐาน:

การแก้ระบบสมการที่ซับซ้อน

เพื่อเป็นบันทึกสุดท้ายของวิดีโอสอนวันนี้ เรามาดูระบบที่ซับซ้อนจริงๆ สองสามระบบกัน ความซับซ้อนจะประกอบด้วยความจริงที่ว่าพวกมันจะมีตัวแปรทั้งซ้ายและขวา ดังนั้นเพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้เราจะต้องใช้การประมวลผลล่วงหน้า

ระบบหมายเลข 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

แต่ละสมการมีความซับซ้อนบางอย่าง ดังนั้น เราจะถือว่าแต่ละนิพจน์เหมือนกับการสร้างเชิงเส้นปกติ

โดยรวมแล้วเราได้ระบบสุดท้ายซึ่งเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ลองดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$: $3$ พอดีกับ $6$ สองครั้ง ดังนั้นลองคูณสมการแรกด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของ $y$ เท่ากัน ดังนั้นเราจึงลบค่าที่สองออกจากสมการแรก: $$

ตอนนี้เรามาหา $y$:

คำตอบ: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

ระบบหมายเลข 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

มาแปลงนิพจน์แรกกัน:

มาจัดการกับอันที่สองกันดีกว่า:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

โดยรวมแล้ว ระบบเริ่มต้นของเราจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

เมื่อดูค่าสัมประสิทธิ์ของ $a$ เราจะเห็นว่าสมการแรกต้องคูณด้วย $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

ลบวินาทีจากการก่อสร้างครั้งแรก:

ตอนนี้เรามาหา $a$:

คำตอบ: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

นั่นคือทั้งหมดที่ ฉันหวังว่าวิดีโอบทช่วยสอนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อยากๆ นี้ ซึ่งก็คือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นอย่างง่าย ในอนาคตจะมีบทเรียนอีกมากมายในหัวข้อนี้: เราจะดูตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งจะมีตัวแปรมากกว่านี้ และสมการเองก็จะไม่เชิงเส้น แล้วพบกันอีก!

1. วิธีการทดแทน: จากสมการใดๆ ของระบบ เราจะแสดงสมการที่ไม่รู้จักผ่านอีกสมการหนึ่งและแทนที่มันลงในสมการที่สองของระบบ

งาน.แก้ระบบสมการ:

สารละลาย.จากสมการแรกของระบบที่เราแสดงออก ที่ผ่าน เอ็กซ์และแทนที่มันลงในสมการที่สองของระบบ มาวางระบบกันเถอะ เทียบเท่ากับของเดิม

หลังจากนำข้อกำหนดที่คล้ายกันมา ระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

จากสมการที่สองเราพบว่า: . แทนค่านี้ลงในสมการ ที่ = 2 - 2เอ็กซ์, เราได้รับ ที่= 3 ดังนั้น ผลเฉลยของระบบนี้คือตัวเลขคู่หนึ่ง

2. วิธีการบวกพีชคณิต: เมื่อบวกสองสมการ คุณจะได้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียว

งาน.แก้สมการของระบบ:

สารละลาย.เมื่อคูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย 2 เราจะได้ระบบ เทียบเท่ากับของเดิม เมื่อบวกสมการทั้งสองของระบบนี้ เราก็มาถึงระบบ

หลังจากนำคำที่คล้ายกันมาใช้แล้ว ระบบนี้จะอยู่ในรูปแบบ: จากสมการที่สองที่เราพบ แทนค่านี้เป็นสมการที่ 3 เอ็กซ์ + 4ที่= 5 เราได้ , ที่ไหน . ดังนั้นคำตอบของระบบนี้คือเลขคู่

3. วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่: เรากำลังมองหานิพจน์ที่ซ้ำกันในระบบ ซึ่งเราจะแสดงด้วยตัวแปรใหม่ ซึ่งจะทำให้รูปลักษณ์ของระบบดูง่ายขึ้น

งาน.แก้ระบบสมการ:

สารละลาย.มาเขียนระบบนี้ให้แตกต่างออกไป:

อนุญาต x + ย = คุณ xy = โวลต์จากนั้นเราจะได้ระบบ

ลองแก้มันโดยใช้วิธีการแทนที่กัน จากสมการแรกของระบบที่เราแสดงออก ยูผ่าน โวลต์และแทนที่มันลงในสมการที่สองของระบบ มาวางระบบกันเถอะ เหล่านั้น.

จากสมการที่สองของระบบที่เราพบ โวลต์ 1 = 2, โวลต์ 2 = 3.

แทนค่าเหล่านี้ลงในสมการ ยู = 5 - โวลต์, เราได้รับ ยู 1 = 3,
ยู 2 = 2 จากนั้นเรามีสองระบบ

การแก้ระบบแรกเราจะได้ตัวเลขสองคู่ (1; 2), (2; 1) ระบบที่สองไม่มีวิธีแก้ปัญหา

แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

1. แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีทดแทน

ในบทนี้ เราจะดูวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง ระบบสมการเชิงเส้นจำเป็นต้องแก้ทั้งในรูปแบบของงานแยกกัน เช่น "แก้ระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์" และในหลักสูตรแก้ปัญหาอื่นๆ ระบบสมการเชิงเส้นจะต้องได้รับการจัดการในคณิตศาสตร์ชั้นสูงเกือบทุกสาขา

ก่อนอื่นมีทฤษฎีเล็กน้อย คำทางคณิตศาสตร์ "เชิงเส้น" ในกรณีนี้หมายถึงอะไร? ซึ่งหมายความว่าสมการของระบบ ทั้งหมดรวมตัวแปรด้วย ในระดับแรก: ไม่มีของหรูหราอะไรแบบนั้น ฯลฯ ซึ่งมีเพียงผู้เข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกเท่านั้นที่พึงพอใจ

ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ไม่เพียงแต่ใช้ตัวอักษรที่คุ้นเคยตั้งแต่วัยเด็กเพื่อแสดงถึงตัวแปรเท่านั้น
ตัวเลือกที่ได้รับความนิยมพอสมควรคือตัวแปรที่มีดัชนี: .
หรืออักษรเริ่มต้นของอักษรละตินทั้งเล็กและใหญ่:
ตัวอักษรกรีกไม่ได้หายากนัก: – หลายคนรู้จักกันในชื่อ “อัลฟา เบต้า แกมมา” และยังเป็นชุดที่มีดัชนี เช่น ตัวอักษร "mu":

การใช้ตัวอักษรชุดใดชุดหนึ่งขึ้นอยู่กับส่วนของคณิตศาสตร์ชั้นสูงที่เราต้องเผชิญกับระบบสมการเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น ในระบบสมการเชิงเส้นที่พบเมื่อแก้ปริพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญกรณ์

แต่ไม่ว่าตัวแปรจะถูกกำหนดอย่างไร หลักการ วิธีการ และวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นก็ไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นหากคุณเจอเรื่องที่น่ากลัว เช่น อย่ารีบปิดหนังสือปัญหาด้วยความกลัว เพราะคุณสามารถวาดดวงอาทิตย์แทน นกแทน และใบหน้า (ครู) แทนได้ และที่น่าตลกก็คือ ระบบสมการเชิงเส้นที่มีสัญลักษณ์เหล่านี้ก็สามารถแก้ไขได้เช่นกัน

รู้สึกว่าบทความจะยาวหน่อยนะคะ เลยมีสารบัญเล็กๆ น้อยๆ ค่ะ ดังนั้น "การซักถาม" ตามลำดับจะเป็นดังนี้:

– การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีทดแทน (“วิธีโรงเรียน”);
– การแก้ระบบด้วยการบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม;
– การแก้ปัญหาระบบโดยใช้สูตรของแครมเมอร์;
– การแก้ปัญหาระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน;
– การแก้ปัญหาระบบด้วยวิธีเกาส์เซียน.

ทุกคนคุ้นเคยกับระบบสมการเชิงเส้นจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน โดยพื้นฐานแล้ว เราเริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีทดแทน

วิธีนี้อาจเรียกว่า “วิธีโรงเรียน” หรือวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ก็ได้ หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง อาจเรียกได้ว่าเป็น "วิธีเกาส์เซียนที่ยังไม่เสร็จ"

ตัวอย่างที่ 1

ที่นี่เราได้รับระบบสมการสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว โปรดทราบว่าคำศัพท์อิสระ (หมายเลข 5 และ 7) จะอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ โดยทั่วไปแล้ว ไม่สำคัญว่าพวกเขาอยู่ที่ไหน ด้านซ้ายหรือด้านขวา เพียงแต่ว่าในโจทย์คณิตศาสตร์ระดับสูงมักจะอยู่ในแนวทางนั้น และการบันทึกดังกล่าวไม่ควรทำให้เกิดความสับสน หากจำเป็น ระบบสามารถเขียนได้ "ตามปกติ" เสมอ: . อย่าลืมว่าเมื่อย้ายคำจากส่วนหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่ง จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นหมายความว่าอย่างไร? การแก้ระบบสมการหมายถึงการค้นหาคำตอบมากมาย คำตอบของระบบคือชุดของค่าของตัวแปรทั้งหมดที่รวมอยู่ในนั้น ซึ่งเปลี่ยนทุกสมการของระบบให้มีความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง นอกจากนี้ระบบยังสามารถ ไม่ใช่ข้อต่อ (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา)อย่าอาย นี่คือคำจำกัดความทั่วไป =) เราจะมีค่า "x" เพียงค่าเดียวและค่า "y" หนึ่งค่า ซึ่งเป็นไปตามสมการ c-we แต่ละค่า

มีวิธีการแก้ปัญหาระบบแบบกราฟิกซึ่งคุณสามารถทำความคุ้นเคยในชั้นเรียนได้ ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับเส้น. ที่นั่นฉันพูดถึง ความรู้สึกทางเรขาคณิตระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว แต่ตอนนี้เป็นยุคของพีชคณิต ตัวเลข-ตัวเลข การกระทำ-การกระทำ

มาตัดสินใจกัน: จากสมการแรกที่เราแสดง:
เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสมการที่สอง:

เราเปิดวงเล็บ เพิ่มคำที่คล้ายกัน และค้นหาค่า:

ต่อไปเราจำสิ่งที่เราเต้นเพื่อ:
เรารู้ถึงคุณค่าแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหา:

คำตอบ:

หลังจากที่ระบบสมการใดๆ ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีใดก็ตามแล้ว ฉันขอแนะนำให้ตรวจสอบอย่างยิ่ง (วาจา บนร่าง หรือบนเครื่องคิดเลข). โชคดีที่สามารถทำได้ง่ายและรวดเร็ว

1) แทนคำตอบที่พบลงในสมการแรก:

– ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

2) แทนคำตอบที่พบลงในสมการที่สอง:

– ได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

หรือพูดง่ายๆ ก็คือ “ทุกสิ่งทุกอย่างมารวมกัน”

วิธีการแก้ปัญหาที่พิจารณาไม่ได้เป็นเพียงวิธีเดียว จากสมการแรก มันเป็นไปได้ที่จะแสดง และไม่ใช่ .
คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ โดยแสดงบางสิ่งจากสมการที่สองแล้วแทนที่มันลงในสมการแรก โปรดทราบว่าวิธีที่เสียเปรียบที่สุดในสี่วิธีคือการแสดงจากสมการที่สอง:

ผลลัพธ์ก็คือเศษส่วน แต่ทำไม? มีวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลมากขึ้น

อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี คุณยังขาดเศษส่วนไม่ได้ ในเรื่องนี้ ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ว่าฉันเขียนสำนวนนี้อย่างไร ไม่ใช่เช่นนี้ และไม่ว่าในกรณีเช่นนี้: .

หากในทางคณิตศาสตร์ที่สูงกว่าคุณกำลังเผชิญกับเศษส่วนให้ลองคำนวณทั้งหมดเป็นเศษส่วนเกินธรรมดา

อย่างแน่นอนและไม่หรือ!

สามารถใช้เครื่องหมายจุลภาคได้ในบางครั้งเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเป็นคำตอบสุดท้ายสำหรับปัญหาบางอย่าง และไม่จำเป็นต้องดำเนินการใดๆ เพิ่มเติมกับตัวเลขนี้

ผู้อ่านหลายคนอาจคิดว่า “เหตุใดการอธิบายอย่างละเอียดสำหรับชั้นเรียนการแก้ไขจึงชัดเจน” ไม่มีอะไรเลย ดูเหมือนเป็นตัวอย่างง่ายๆ ของโรงเรียน แต่มีข้อสรุปที่สำคัญมากมากมาย! นี่เป็นอีกอันหนึ่ง:

คุณควรพยายามทำงานให้สำเร็จอย่างมีเหตุผลที่สุด. หากเพียงเพราะมันช่วยประหยัดเวลาและความกังวลใจและยังช่วยลดโอกาสที่จะทำผิดพลาดอีกด้วย

หากมีปัญหาในคณิตศาสตร์ชั้นสูงคุณเจอระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวคุณสามารถใช้วิธีทดแทนได้ตลอดเวลา (เว้นแต่จะระบุว่าระบบจำเป็นต้องแก้ไขด้วยวิธีอื่น) ไม่ใช่ครูคนเดียวที่จะ คิดว่าคุณมันห่วยและจะลดเกรดการใช้ “วิธีเรียน” ลง”
นอกจากนี้ ในบางกรณี ขอแนะนำให้ใช้วิธีการทดแทนที่มีตัวแปรจำนวนมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยค่าไม่ทราบสามค่า

ระบบสมการที่คล้ายกันมักเกิดขึ้นเมื่อใช้วิธีการที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน เมื่อเราค้นหาอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน ฉันนำระบบที่เป็นปัญหาไปจากที่นั่น

เมื่อค้นหาอินทิกรัลเป้าหมายก็คือ เร็วหาค่าสัมประสิทธิ์แทนการใช้สูตรของแครมเมอร์ วิธีเมทริกซ์ผกผัน เป็นต้น ดังนั้นในกรณีนี้วิธีการทดแทนจึงมีความเหมาะสม

เมื่อให้ระบบสมการใด ๆ ก่อนอื่นควรค้นหาว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะทำให้มันง่ายขึ้นทันที? เมื่อวิเคราะห์สมการของระบบ เราสังเกตเห็นว่าสมการที่สองของระบบสามารถหารด้วย 2 ได้ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำ:

อ้างอิง:เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์หมายถึง "จากสิ่งนี้ตามนั้น" และมักใช้ในการแก้ปัญหา

ตอนนี้เรามาวิเคราะห์สมการกัน เราต้องแสดงตัวแปรบางตัวในรูปของตัวแปรอื่นๆ ฉันควรเลือกสมการใด คุณคงเดาได้แล้วว่าวิธีที่ง่ายที่สุดสำหรับจุดประสงค์นี้คือการใช้สมการแรกของระบบ:

ในที่นี้ ไม่ว่าจะแสดงตัวแปรใด ก็สามารถแสดง หรือ ได้อย่างง่ายดายพอๆ กัน

ต่อไป เราจะแทนที่นิพจน์ลงในสมการที่สองและสามของระบบ:

เราเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

หารสมการที่สามด้วย 2:

จากสมการที่สองเราแสดงและแทนที่เป็นสมการที่สาม:

เกือบทุกอย่างพร้อมแล้วจากสมการที่สามที่เราพบ:
จากสมการที่สอง:
จากสมการแรก:

ตรวจสอบ: แทนที่ค่าที่พบของตัวแปรทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ:

1)
2)
3)

จะได้ด้านขวามือของสมการที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงหาคำตอบได้ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยค่าไม่ทราบค่า 4 ค่า

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

การแก้ระบบโดยการบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น คุณควรพยายามใช้ไม่ใช่ "วิธีโรงเรียน" แต่ควรใช้วิธีบวก (ลบ) สมการของระบบทีละเทอม ทำไม ซึ่งช่วยประหยัดเวลาและทำให้การคำนวณง่ายขึ้น แต่ตอนนี้ทุกอย่างจะชัดเจนขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

ฉันใช้ระบบเดียวกันกับในตัวอย่างแรก
จากการวิเคราะห์ระบบสมการ เราสังเกตว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรมีขนาดเท่ากันและมีเครื่องหมายตรงกันข้าม (–1 และ 1) ในสถานการณ์เช่นนี้ สมการสามารถเพิ่มทีละเทอมได้:

การกระทำที่วงกลมสีแดงนั้นดำเนินการด้วยจิตใจ
อย่างที่คุณเห็น ผลของการบวกทีละเทอม เราสูญเสียตัวแปรไป อันที่จริงนี่คือสิ่งที่ สาระสำคัญของวิธีนี้คือการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง.