วิธีค้นหาเลขลำดับที่ n ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: สูตรและคุณสมบัติ ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด

ลองพิจารณาซีรีย์บางเรื่อง

7 28 112 448 1792...

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่ามูลค่าขององค์ประกอบใด ๆ ของมันนั้นมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้าถึงสี่เท่าอย่างแน่นอน ซึ่งหมายความว่าซีรีส์นี้มีความก้าวหน้า

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นลำดับของตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด คุณลักษณะหลักคือได้ตัวเลขถัดไปจากตัวเลขก่อนหน้าโดยการคูณด้วยตัวเลขเฉพาะ นี่แสดงโดยสูตรต่อไปนี้

a z +1 =a z ·q โดยที่ z คือจำนวนขององค์ประกอบที่เลือก

ดังนั้น z ∈ N

ช่วงเวลาที่ศึกษาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่โรงเรียนคือชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ตัวอย่างจะช่วยให้คุณเข้าใจแนวคิด:

0.25 0.125 0.0625...

จากสูตรนี้ ตัวส่วนของความก้าวหน้าสามารถหาได้ดังนี้:

ทั้ง q และ bz ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ นอกจากนี้ แต่ละองค์ประกอบของความก้าวหน้าไม่ควรเท่ากับศูนย์

ดังนั้น หากต้องการหาตัวเลขถัดไปในชุดข้อมูล คุณต้องคูณตัวเลขสุดท้ายด้วย q

หากต้องการตั้งค่าความก้าวหน้านี้ คุณต้องระบุองค์ประกอบแรกและตัวส่วน หลังจากนี้ คุณสามารถค้นหาคำศัพท์ที่ตามมาและผลรวมได้

พันธุ์

ขึ้นอยู่กับ q และ 1 ความก้าวหน้านี้แบ่งออกเป็นหลายประเภท:

• หากทั้ง 1 และ q มากกว่า 1 ลำดับดังกล่าวจะเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เพิ่มขึ้นพร้อมกับองค์ประกอบที่ตามมาแต่ละองค์ประกอบ ตัวอย่างนี้แสดงไว้ด้านล่าง

ตัวอย่าง: a 1 =3, q=2 - พารามิเตอร์ทั้งสองมีค่ามากกว่าหนึ่ง

จากนั้นสามารถเขียนลำดับจำนวนได้ดังนี้:

3 6 12 24 48 ...

• ถ้า |q| น้อยกว่าหนึ่ง กล่าวคือ การคูณด้วยมันเท่ากับการหาร ดังนั้นความก้าวหน้าที่มีเงื่อนไขคล้ายกันคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง ตัวอย่างนี้แสดงไว้ด้านล่าง

ตัวอย่าง: a 1 =6, q=1/3 - a 1 มากกว่า 1, q น้อยกว่า

จากนั้นสามารถเขียนลำดับจำนวนได้ดังนี้:

6 2 2/3 ... - องค์ประกอบใด ๆ ที่มีขนาดใหญ่กว่าองค์ประกอบที่ตามมา 3 เท่า

• ป้ายสลับ. ถ้าถาม<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ตัวอย่าง: a 1 = -3, q = -2 - พารามิเตอร์ทั้งสองมีค่าน้อยกว่าศูนย์

จากนั้นลำดับตัวเลขสามารถเขียนได้ดังนี้:

3, 6, -12, 24,...

สูตร

มีหลายสูตรสำหรับการใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่สะดวก:

• สูตรเทอม Z ช่วยให้คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบภายใต้ตัวเลขเฉพาะโดยไม่ต้องคำนวณตัวเลขก่อนหน้า

ตัวอย่าง:ถาม = 3, ก 1 = 4. จะต้องนับองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า

สารละลาย:ก 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• ผลรวมขององค์ประกอบแรกที่มีจำนวนเท่ากับ z- ช่วยให้คุณสามารถคำนวณผลรวมขององค์ประกอบทั้งหมดของลำดับได้สูงสุดถึงzรวมอยู่ด้วย

ตั้งแต่ (1-ถาม) อยู่ในตัวส่วน จากนั้น (1 - q)≠ 0 ดังนั้น q จึงไม่เท่ากับ 1

หมายเหตุ: ถ้า q=1 การก้าวหน้าจะเป็นชุดของตัวเลขที่ซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุด

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่าง:ก 1 = 2, ถาม= -2. คำนวณ S5

สารละลาย:ส 5 = 22 - การคำนวณโดยใช้สูตร

• จำนวนเงินถ้า |ถาม| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ตัวอย่าง:ก 1 = 2 , ถาม= 0.5. หาจำนวนเงิน.

สารละลาย:ส = 2 · = 4

ส = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

คุณสมบัติบางอย่าง:

• คุณสมบัติลักษณะ หากเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้ ทำงานเพื่อสิ่งใด ๆzจากนั้นอนุกรมตัวเลขที่กำหนดจะเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

z 2 = z -1 · กซ+1

• นอกจากนี้ กำลังสองของตัวเลขใดๆ ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถหาได้โดยการบวกกำลังสองของตัวเลขอื่นๆ สองตัวใดๆ ในชุดที่กำหนด หากพวกมันอยู่ห่างจากองค์ประกอบนี้เท่ากัน

z 2 = z - ที 2 + z + ที 2 , ที่ไหนที- ระยะห่างระหว่างตัวเลขเหล่านี้

• องค์ประกอบแตกต่างกันใน qครั้งหนึ่ง.
• ลอการิทึมขององค์ประกอบของความก้าวหน้าก็ก่อให้เกิดความก้าวหน้าเช่นกัน แต่เป็นเลขคณิตนั่นคือแต่ละองค์ประกอบมีค่ามากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยจำนวนที่แน่นอน

ตัวอย่างของปัญหาคลาสสิกบางประการ

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคืออะไร ตัวอย่างพร้อมคำตอบสำหรับคลาส 9 สามารถช่วยได้

• เงื่อนไข:ก 1 = 3, ก 3 = 48. ค้นหาถาม.

วิธีแก้ไข: แต่ละองค์ประกอบที่ตามมาจะมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้าในถาม ครั้งหนึ่ง.จำเป็นต้องแสดงองค์ประกอบบางอย่างในรูปขององค์ประกอบอื่นๆ โดยใช้ตัวส่วน

เพราะฉะนั้น,ก 3 = ถาม 2 · ก 1

เมื่อทำการทดแทนถาม= 4

• เงื่อนไข:ก 2 = 6, ก 3 = 12. คำนวณ S 6.

สารละลาย:เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงหา q ซึ่งเป็นองค์ประกอบแรกแล้วแทนที่ลงในสูตร

ก 3 = ถาม· ก 2 , เพราะฉะนั้น,ถาม= 2

ก 2 = คิว · ก 1 ,นั่นเป็นเหตุผล ก 1 = 3

ส 6 = 189

• · ก 1 = 10, ถาม= -2. ค้นหาองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า

วิธีแก้: เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแสดงองค์ประกอบที่สี่ผ่านทางตัวแรกและตัวส่วนแล้ว

ก 4 = ค 3· ก 1 = -80

ตัวอย่างการใช้งาน:

• ลูกค้าธนาคารฝากเงินจำนวน 10,000 รูเบิล ภายใต้เงื่อนไขที่ลูกค้าจะได้เงินต้นเพิ่ม 6% ทุกปี หลังจาก 4 ปีจะมีเงินเข้าบัญชีเท่าไหร่?

วิธีแก้ปัญหา: จำนวนเงินเริ่มต้นคือ 10,000 รูเบิล ซึ่งหมายความว่าหนึ่งปีหลังจากการลงทุน บัญชีจะมีจำนวนเงินเท่ากับ 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10,000 1.06

ดังนั้นจำนวนเงินในบัญชีหลังจากปีอื่นจะแสดงดังนี้:

(10,000 · 1.06) · 0.06 + 10,000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10,000

นั่นคือทุกปีจำนวนเงินจะเพิ่มขึ้น 1.06 เท่า ซึ่งหมายความว่าหากต้องการค้นหาจำนวนเงินในบัญชีหลังจาก 4 ปี ก็เพียงพอที่จะค้นหาองค์ประกอบที่สี่ของความก้าวหน้า ซึ่งกำหนดโดยองค์ประกอบแรกเท่ากับ 10,000 และตัวส่วนเท่ากับ 1.06

ส = 1.06 1.06 1.06 1.06 10,000 = 12625

ตัวอย่างปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณผลรวม:

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในปัญหาต่างๆ ตัวอย่างการหาผลรวมได้ดังนี้:

ก 1 = 4, ถาม= 2 คำนวณส 5.

วิธีแก้ไข: ทราบข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการคำนวณแล้ว คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ข้อมูลเหล่านั้นลงในสูตร

ส 5 = 124

• ก 2 = 6, ก 3 = 18. คำนวณผลรวมของหกองค์ประกอบแรก

สารละลาย:

ในภูมิศาสตร์ ความก้าวหน้า แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะมากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า q เท่า นั่นคือเพื่อคำนวณผลรวมที่คุณต้องรู้องค์ประกอบนั้นก 1 และตัวส่วนถาม.

ก 2 · ถาม = ก 3

ถาม = 3

ในทำนองเดียวกันคุณต้องค้นหาก 1 , รู้ก 2 และถาม.

ก 1 · ถาม = ก 2

ก 1 =2

ส 6 = 728.

>>คณิตศาสตร์: ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เพื่อความสะดวกของผู้อ่าน ย่อหน้านี้ถูกสร้างขึ้นตามแผนเดียวกันกับที่เราติดตามในย่อหน้าก่อนหน้า

1. แนวคิดพื้นฐาน

คำนิยาม.ลำดับตัวเลข สมาชิกทั้งหมดจะแตกต่างจาก 0 และสมาชิกแต่ละคนโดยเริ่มจากสมาชิกตัวที่สองได้รับจากสมาชิกก่อนหน้าโดยการคูณด้วยจำนวนเดียวกัน เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในกรณีนี้ เลข 5 เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ดังนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจึงเป็นลำดับตัวเลข (bn) ที่กำหนดซ้ำโดยความสัมพันธ์

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะดูลำดับตัวเลขและพิจารณาว่าเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือไม่? สามารถ. หากคุณมั่นใจว่าอัตราส่วนของสมาชิกใดๆ ในลำดับต่อสมาชิกก่อนหน้านั้นคงที่ แสดงว่าคุณมีความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ตัวอย่างที่ 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
ข 1 = 1, คิว = 3

ตัวอย่างที่ 2

ซึ่งเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ได้
ตัวอย่างที่ 3

ซึ่งเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ได้
ตัวอย่างที่ 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่ b 1 - 8, q = 1

โปรดทราบว่าลำดับนี้เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วย (ดูตัวอย่างที่ 3 จากมาตรา 15)

ตัวอย่างที่ 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่ b 1 = 2, q = -1

แน่นอนว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับที่เพิ่มขึ้นถ้า b 1 > 0, q > 1 (ดูตัวอย่างที่ 1) และลำดับที่ลดลงถ้า b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

เพื่อระบุว่าลำดับ (bn) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต บางครั้งการใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้ก็สะดวก:

ไอคอนจะแทนที่วลี “ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต”
ให้เราสังเกตคุณสมบัติที่น่าสนใจอย่างหนึ่งและในเวลาเดียวกันก็ค่อนข้างชัดเจนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:
ถ้าเป็นลำดับ คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตามด้วยลำดับของกำลังสอง เช่น เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
ในการก้าวหน้าทางเรขาคณิตครั้งที่สอง เทอมแรกเท่ากับและเท่ากับ q 2
หากในความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเราละทิ้งพจน์ทั้งหมดที่ตามหลัง bn เราก็จะได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีขอบเขตจำกัด
ในย่อหน้าถัดไปของส่วนนี้ เราจะพิจารณาคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

2. สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

พิจารณาความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วน คิว เรามี:

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเดาว่าสำหรับจำนวนใดๆ n ความเท่าเทียมกันนั้นเป็นจริง

นี่คือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความคิดเห็น

หากคุณได้อ่านหมายเหตุสำคัญจากย่อหน้าก่อนแล้วและเข้าใจแล้ว ให้ลองพิสูจน์สูตร (1) โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับที่ทำกับสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ลองเขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอีกครั้ง

และแนะนำสัญกรณ์: เราได้ y = mq 2 หรือรายละเอียดเพิ่มเติม
อาร์กิวเมนต์ x มีอยู่ในเลขชี้กำลัง ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงเรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ซึ่งหมายความว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่กำหนดบนเซต N ของจำนวนธรรมชาติ ในรูป 96a แสดงกราฟของฟังก์ชัน Fig. 966 - กราฟฟังก์ชัน ในทั้งสองกรณี เรามีจุดแยก (โดยมีจุดหักล้าง x = 1, x = 2, x = 3 ฯลฯ) ที่วางอยู่บนเส้นโค้งที่แน่นอน (ทั้งสองรูปแสดงเส้นโค้งเดียวกัน เพียงแต่มีตำแหน่งต่างกันและแสดงในระดับที่ต่างกัน) เส้นโค้งนี้เรียกว่าเส้นโค้งเอ็กซ์โปเนนเชียล รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลและกราฟจะกล่าวถึงในหลักสูตรพีชคณิตเกรด 11

กลับไปที่ตัวอย่างที่ 1-5 จากย่อหน้าก่อนหน้า

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่ b 1 = 1, q = 3 มาสร้างสูตรสำหรับเทอมที่ n กัน
2) นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งมาสร้างสูตรสำหรับเทอมที่ n กันดีกว่า

ซึ่งเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ได้ มาสร้างสูตรสำหรับเทอมที่ n กัน
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยที่ b 1 = 8, q = 1 มาสร้างสูตรสำหรับเทอมที่ n กัน
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ b 1 = 2, q = -1 มาสร้างสูตรสำหรับเทอมที่ n กัน

ตัวอย่างที่ 6

เมื่อพิจารณาถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ในทุกกรณี คำตอบจะขึ้นอยู่กับสูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

a) เราได้รับ n = 6 ในสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ข) เรามี

เนื่องจาก 512 = 2 9 เราได้ n - 1 = 9, n = 10

ง) เรามี

ตัวอย่างที่ 7

ความแตกต่างระหว่างเทอมที่เจ็ดและห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 48 ผลรวมของเทอมที่ห้าและหกของความก้าวหน้าก็คือ 48 เช่นกัน ค้นหาเทอมที่สิบสองของความก้าวหน้านี้

ขั้นแรก.การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

เงื่อนไขของปัญหาสามารถเขียนโดยย่อได้ดังนี้:

เมื่อใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เราจะได้:
จากนั้นเงื่อนไขที่สองของปัญหา (b 7 - b 5 = 48) สามารถเขียนเป็น

เงื่อนไขที่สามของปัญหา (b 5 + b 6 = 48) สามารถเขียนเป็น

เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการสองสมการที่มีตัวแปรสองตัว b 1 และ q:

ซึ่งเมื่อรวมกับเงื่อนไข 1) ที่เขียนไว้ข้างต้น แสดงถึงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหา

ระยะที่สอง

การทำงานกับโมเดลที่คอมไพล์แล้ว เมื่อทำให้ด้านซ้ายของสมการทั้งสองของระบบเท่ากันเราได้:

(เราหารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ b 1 q 4)

จากสมการ q 2 - q - 2 = 0 เราพบว่า q 1 = 2, q 2 = -1 เราได้แทนค่า q = 2 ลงในสมการที่สองของระบบ
แทนค่า q = -1 ลงในสมการที่สองของระบบเราจะได้ b 1 1 0 = 48; สมการนี้ไม่มีคำตอบ

ดังนั้น b 1 =1, q = 2 - คู่นี้คือคำตอบของระบบสมการที่คอมไพล์แล้ว

ตอนนี้เราสามารถเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กล่าวถึงในโจทย์ได้แล้ว: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

ขั้นตอนที่สาม

ตอบคำถามปัญหา. คุณต้องคำนวณ b 12 เรามี

คำตอบ: ข 12 = 2048

3. สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด

ปล่อยให้มีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด

ให้เราแสดงด้วย S n ผลรวมของเงื่อนไขนั่นคือ

ขอให้เราได้สูตรในการหาจำนวนนี้

เริ่มต้นด้วยกรณีที่ง่ายที่สุดเมื่อ q = 1 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn ประกอบด้วยตัวเลข n เท่ากับ b 1 เช่น ความก้าวหน้าดูเหมือน b 1, b 2, b 3, ..., b 4 ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้คือ nb 1

ปล่อยให้ตอนนี้ q = 1 ในการค้นหา S n เราใช้เทคนิคประดิษฐ์: เราทำการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ S n q เรามี:

เมื่อทำการแปลง ประการแรก เราใช้คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตามนั้น (ดูบรรทัดที่สามของการให้เหตุผล) ประการที่สองพวกเขาเพิ่มและลบซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมความหมายของสำนวนจึงไม่เปลี่ยนแปลง (ดูบรรทัดที่สี่ของการให้เหตุผล) ประการที่สาม เราใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

จากสูตร (1) เราพบว่า:

นี่คือสูตรสำหรับผลรวมของเทอม n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (สำหรับกรณีที่ q = 1)

ตัวอย่างที่ 8

ด้วยความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด

ก) ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้า; b) ผลรวมของกำลังสองของเงื่อนไข

b) ข้างต้น (ดูหน้า 132) เราได้สังเกตแล้วว่าหากเงื่อนไขทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตยกกำลังสอง เราจะได้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเทอมแรก b 2 และตัวส่วน q 2 จากนั้นผลรวมของเงื่อนไขทั้งหกของความก้าวหน้าใหม่จะถูกคำนวณโดย

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาเทอมที่ 8 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่ง

อันที่จริงเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้แล้ว

ลำดับตัวเลขคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ก็ต่อเมื่อกำลังสองของแต่ละเทอม ยกเว้นทฤษฎีบทแรก (และสุดท้าย ในกรณีของลำดับจำกัด) เท่ากับผลคูณของเทอมก่อนหน้าและเทอมต่อๆ ไป (a คุณสมบัติเฉพาะของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)

22.09.2018 22:00

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตควบคู่ไปกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นชุดตัวเลขที่สำคัญซึ่งมีการศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในบทความนี้ เราจะดูตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต และค่าของมันส่งผลต่อคุณสมบัติของมันอย่างไร

คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ก่อนอื่น เรามานิยามของอนุกรมตัวเลขนี้กันก่อน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือชุดของจำนวนตรรกยะที่เกิดขึ้นจากการคูณองค์ประกอบแรกตามลำดับด้วยจำนวนคงที่ที่เรียกว่าตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น ตัวเลขในชุด 3, 6, 12, 24, ... เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพราะถ้าคุณคูณ 3 (องค์ประกอบแรก) ด้วย 2 คุณจะได้ 6 หากคุณคูณ 6 ด้วย 2 คุณจะได้ 12 และอื่นๆ

สมาชิกของลำดับที่กำลังพิจารณามักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ai โดยที่ i เป็นจำนวนเต็มที่ระบุจำนวนขององค์ประกอบในอนุกรม

คำจำกัดความข้างต้นของความก้าวหน้าสามารถเขียนได้ในภาษาคณิตศาสตร์ดังนี้ an = bn-1 * a1 โดยที่ b คือตัวส่วน ง่ายต่อการตรวจสอบสูตรนี้: ถ้า n = 1 ดังนั้น b1-1 = 1 แล้วเราจะได้ a1 = a1 ถ้า n = 2 ดังนั้น an = b * a1 และเรามาถึงคำจำกัดความของชุดตัวเลขที่ต้องการอีกครั้ง การให้เหตุผลที่คล้ายกันสามารถดำเนินต่อไปได้สำหรับค่า n ที่มีขนาดใหญ่

ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวเลข b เป็นตัวกำหนดโดยสมบูรณ์ว่าชุดตัวเลขทั้งหมดจะมีอักขระใด ตัวส่วน b สามารถเป็นบวก ลบ หรือมากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่งได้ ตัวเลือกทั้งหมดข้างต้นนำไปสู่ลำดับที่แตกต่างกัน:

• b > 1. มีอนุกรมจำนวนตรรกยะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น 1, 2, 4, 8, ... ถ้าองค์ประกอบ a1 เป็นลบ ลำดับทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นเป็นค่าสัมบูรณ์เท่านั้น แต่จะลดลงตามเครื่องหมายของตัวเลข
• b = 1 บ่อยครั้งกรณีนี้ไม่เรียกว่าความก้าวหน้า เนื่องจากมีอนุกรมธรรมดาของจำนวนตรรกยะที่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น -4, -4, -4

สูตรสำหรับจำนวนเงิน

ก่อนที่จะพิจารณาปัญหาเฉพาะโดยใช้ตัวส่วนของประเภทของความก้าวหน้าที่กำลังพิจารณา ควรกำหนดสูตรที่สำคัญสำหรับผลรวมขององค์ประกอบ n ตัวแรก สูตรมีลักษณะดังนี้: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)

คุณสามารถรับนิพจน์นี้ได้ด้วยตนเองหากคุณพิจารณาลำดับการเรียกซ้ำของเงื่อนไขของความก้าวหน้า โปรดทราบด้วยว่าในสูตรข้างต้น ก็เพียงพอที่จะรู้เฉพาะองค์ประกอบแรกและตัวส่วนเพื่อค้นหาผลรวมของจำนวนคำศัพท์ที่ต้องการ

ลำดับลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

คำอธิบายได้รับข้างต้นว่ามันคืออะไร ทีนี้ เมื่อรู้สูตรของ Sn แล้ว ลองนำไปใช้กับอนุกรมตัวเลขนี้กัน เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่มีโมดูลัสไม่เกิน 1 มีแนวโน้มจะเป็นศูนย์เมื่อยกกำลังสูง นั่นคือ b∞ => 0 ถ้า -1

เนื่องจากความแตกต่าง (1 - b) จะเป็นค่าบวกเสมอ ไม่ว่าค่าของตัวส่วนจะเป็นเช่นไรก็ตาม เครื่องหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด S∞ จึงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยเครื่องหมายขององค์ประกอบแรก a1

ตอนนี้เรามาดูปัญหาต่างๆ ที่เราจะแสดงวิธีใช้ความรู้ที่ได้รับกับตัวเลขเฉพาะ

ภารกิจที่ 1 การคำนวณองค์ประกอบที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้าและผลรวม

เมื่อพิจารณาจากความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ 2 และองค์ประกอบแรกของมันคือ 3 เทอมที่ 7 และ 10 จะเท่ากับเท่าใด และผลรวมขององค์ประกอบเริ่มต้นทั้ง 7 องค์ประกอบเป็นเท่าใด

เงื่อนไขของปัญหาค่อนข้างง่ายและเกี่ยวข้องกับการใช้สูตรข้างต้นโดยตรง ดังนั้นในการคำนวณหมายเลของค์ประกอบ n เราใช้นิพจน์ an = bn-1 * a1 สำหรับองค์ประกอบที่ 7 ที่เรามี: a7 = b6 * a1 แทนที่ข้อมูลที่รู้จักเราได้รับ: a7 = 26 * 3 = 192 เราทำเช่นเดียวกันกับเทอมที่ 10: a10 = 29 * 3 = 1536

ลองใช้สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับผลรวมและกำหนดค่านี้สำหรับ 7 องค์ประกอบแรกของชุดข้อมูล เรามี: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381

ปัญหาหมายเลข 2 การกำหนดผลรวมขององค์ประกอบโดยพลการของความก้าวหน้า

ให้ -2 เท่ากับตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn-1 * 4 โดยที่ n คือจำนวนเต็ม มีความจำเป็นต้องกำหนดผลรวมจากองค์ประกอบที่ 5 ถึง 10 ของซีรีย์นี้รวมอยู่ด้วย

ปัญหาที่เกิดขึ้นไม่สามารถแก้ไขได้โดยตรงโดยใช้สูตรที่ทราบ สามารถแก้ไขได้โดยใช้ 2 วิธีที่แตกต่างกัน เพื่อให้การนำเสนอหัวข้อสมบูรณ์ เราขอนำเสนอทั้งสองอย่าง

วิธีที่ 1 แนวคิดนั้นง่าย: คุณต้องคำนวณผลรวมสองคำที่สอดคล้องกันของเทอมแรกแล้วลบอีกอันออกจากที่หนึ่ง เราคำนวณจำนวนที่น้อยกว่า: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364 ตอนนี้เราคำนวณผลรวมที่มากขึ้น: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 โปรดทราบว่าในนิพจน์สุดท้ายมีเพียง 4 คำเท่านั้นที่สรุปได้เนื่องจากคำที่ 5 ได้รวมไว้ในจำนวนที่ต้องคำนวณตามเงื่อนไขของปัญหาแล้ว สุดท้าย เราก็หาผลต่าง: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344

วิธีที่ 2 ก่อนที่จะแทนที่ตัวเลขและการนับ คุณสามารถรับสูตรสำหรับผลรวมระหว่างเงื่อนไข m และ n ของชุดข้อมูลที่ต้องการได้ เราทำเช่นเดียวกับวิธีที่ 1 ทุกประการ เพียงแต่ก่อนอื่นเราจะทำงานกับการแสดงจำนวนเงินเชิงสัญลักษณ์ เรามี: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . คุณสามารถแทนที่ตัวเลขที่รู้จักลงในนิพจน์ผลลัพธ์และคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344

ปัญหาข้อที่ 3 ตัวส่วนคืออะไร?

ให้ a1 = 2 ค้นหาตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยที่ผลรวมอนันต์ของมันคือ 3 และเป็นที่รู้กันว่านี่คือชุดตัวเลขที่ลดลง

เมื่อพิจารณาจากเงื่อนไขของปัญหาแล้วเดาได้ไม่ยากว่าควรใช้สูตรใดในการแก้ปัญหา แน่นอนว่าสำหรับผลรวมของการก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรามี: S∞ = a1 / (1 - b) จากที่เราแสดงตัวส่วน: b = 1 - a1 / S∞ ยังคงทดแทนค่าที่ทราบและรับหมายเลขที่ต้องการ: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 หรือ -0.333(3) เราสามารถตรวจสอบผลลัพธ์นี้ได้ในเชิงคุณภาพหากเราจำไว้ว่าสำหรับลำดับประเภทนี้ โมดูลัส b ไม่ควรเกิน 1 ดังที่เห็น |-1 / 3|

ภารกิจที่ 4 การกู้คืนชุดตัวเลข

ให้ระบุองค์ประกอบ 2 รายการของชุดตัวเลข เช่น องค์ประกอบที่ 5 เท่ากับ 30 และองค์ประกอบที่ 10 เท่ากับ 60 จำเป็นต้องสร้างอนุกรมทั้งหมดใหม่จากข้อมูลเหล่านี้ โดยรู้ว่าเป็นไปตามคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ในการแก้ปัญหา คุณต้องเขียนนิพจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับคำศัพท์แต่ละคำที่ทราบก่อน เรามี: a5 = b4 * a1 และ a10 = b9 * a1 ตอนนี้หารนิพจน์ที่สองด้วยตัวแรกเราจะได้: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5 จากตรงนี้ เราจะหาตัวส่วนโดยการหารากที่ห้าของอัตราส่วนของพจน์ที่ทราบจากประโยคปัญหา ซึ่งก็คือ b = 1.148698 เราแทนที่ตัวเลขผลลัพธ์เป็นหนึ่งในนิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่รู้จักเราได้รับ: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966

ดังนั้นเราจึงพบตัวส่วนของความก้าวหน้า bn และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn-1 * 17.2304966 = an โดยที่ b = 1.148698

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช้ที่ไหน?

หากไม่มีการประยุกต์ใช้อนุกรมตัวเลขนี้ในทางปฏิบัติ การศึกษาก็จะลดเหลือเพียงความสนใจทางทฤษฎีเท่านั้น แต่มีแอปพลิเคชันดังกล่าวอยู่

ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุด 3 ตัวอย่าง:

• ความขัดแย้งของ Zeno ซึ่งจุดอ่อนที่ว่องไวไม่สามารถตามเต่าที่เชื่องช้าได้ ได้รับการแก้ไขโดยใช้แนวคิดเรื่องลำดับตัวเลขที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด
• หากคุณวางเมล็ดข้าวสาลีบนกระดานหมากรุกแต่ละช่องเพื่อที่สี่เหลี่ยมที่ 1 คุณใส่เมล็ดพืช 1 เม็ดในวันที่ 2 - 2 ในวันที่ 3 - 3 และต่อ ๆ ไปเพื่อเติมสี่เหลี่ยมทั้งหมดของกระดานที่คุณต้องการ 18446744073709551615ธัญพืช!
• ในเกม "Tower of Hanoi" เพื่อที่จะย้ายดิสก์จากแท่งหนึ่งไปยังอีกแท่งหนึ่งจำเป็นต้องดำเนินการ 2n - 1 นั่นคือจำนวนของมันจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณตามจำนวน n ของดิสก์ที่ใช้

ถนนเคียฟยาน, 16 0016 อาร์เมเนีย เยเรวาน +374 11 233 255

เรามานั่งลงและเริ่มเขียนตัวเลขกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น:

คุณสามารถเขียนตัวเลขใดก็ได้ และอาจมีได้มากเท่าที่คุณต้องการ (ในกรณีของเราก็มีอยู่แล้ว) ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขไปกี่จำนวน เราก็บอกได้เสมอว่าอันไหนเป็นอันดับแรก อันไหนเป็นอันที่สอง และต่อๆ ไปจนถึงตัวสุดท้าย นั่นคือ เราสามารถนับเลขได้ นี่คือตัวอย่างลำดับตัวเลข:

ลำดับหมายเลขคือชุดตัวเลขซึ่งแต่ละชุดสามารถกำหนดหมายเลขเฉพาะได้

ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับของเรา:

หมายเลขที่กำหนดจะเฉพาะกับหมายเลขเดียวในลำดับเท่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีตัวเลขสามวินาทีในลำดับ ตัวเลขที่สอง (เช่นตัวเลขที่ th) จะเหมือนกันเสมอ

ตัวเลขที่มีตัวเลขนั้นเรียกว่าสมาชิกตัวที่ n ของลำดับ

โดยปกติเราเรียกลำดับทั้งหมดด้วยตัวอักษรบางตัว (เช่น) และสมาชิกแต่ละคนของลำดับนี้จะเป็นตัวอักษรเดียวกัน โดยมีดัชนีเท่ากับจำนวนสมาชิกนี้:

ในกรณีของเรา:

ประเภทความก้าวหน้าที่พบบ่อยที่สุดคือเลขคณิตและเรขาคณิต ในหัวข้อนี้เราจะพูดถึงประเภทที่สอง - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

เหตุใดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจึงจำเป็นต้องมีและประวัติของมัน

แม้แต่ในสมัยโบราณ พระภิกษุชาวอิตาลี เลโอนาร์โดแห่งปิซา (รู้จักกันดีในชื่อฟีโบนัชชี) ก็ยังจัดการกับความต้องการทางการค้าในทางปฏิบัติ พระภิกษุต้องเผชิญกับภารกิจในการกำหนดน้ำหนักที่น้อยที่สุดที่สามารถนำมาใช้ชั่งน้ำหนักผลิตภัณฑ์ได้คือเท่าใด ในงานของเขา Fibonacci พิสูจน์ว่าระบบน้ำหนักดังกล่าวเหมาะสมที่สุด: นี่เป็นหนึ่งในสถานการณ์แรกๆ ที่ผู้คนต้องรับมือกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งคุณคงเคยได้ยินมาและอย่างน้อยก็มีความเข้าใจโดยทั่วไปแล้ว เมื่อคุณเข้าใจหัวข้อนี้ครบถ้วนแล้ว ให้ลองคิดดูว่าเหตุใดระบบดังกล่าวจึงเหมาะสมที่สุด

ในปัจจุบันในทางปฏิบัติในชีวิตความก้าวหน้าทางเรขาคณิตปรากฏขึ้นเมื่อนำเงินไปลงทุนในธนาคารเมื่อมีการเพิ่มจำนวนดอกเบี้ยจากจำนวนเงินที่สะสมในบัญชีสำหรับงวดก่อนหน้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณฝากเงินเข้าธนาคารออมสิน หลังจากนั้นหนึ่งปี เงินฝากก็จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเดิม นั่นคือ จำนวนเงินใหม่จะเท่ากับเงินสมทบคูณด้วย ในอีกปีหนึ่งจำนวนนี้จะเพิ่มขึ้นเช่น จำนวนที่ได้รับในขณะนั้นจะถูกคูณอีกครั้งไปเรื่อยๆ สถานการณ์ที่คล้ายกันอธิบายไว้ในปัญหาของการคำนวณสิ่งที่เรียกว่า ดอกเบี้ยทบต้น– เปอร์เซ็นต์จะถูกนำมาคำนวณในแต่ละครั้งจากจำนวนเงินที่อยู่ในบัญชีโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยก่อนหน้า เราจะพูดถึงงานเหล่านี้ในภายหลัง

มีกรณีง่ายๆ อีกหลายกรณีที่ใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น การแพร่กระจายของไข้หวัดใหญ่: คนหนึ่งติดเชื้ออีกคน ในทางกลับกัน ติดเชื้ออีกคนหนึ่ง และด้วยเหตุนี้ การติดเชื้อระลอกที่สองจึงเป็นบุคคลหนึ่ง และในทางกลับกัน พวกเขาก็ติดเชื้ออีกคน... และอื่นๆ.. .

อย่างไรก็ตาม ปิรามิดทางการเงินซึ่งมี MMM เดียวกันนั้นเป็นการคำนวณที่ง่ายและแห้งโดยพิจารณาจากคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต น่าสนใจ? ลองคิดดูสิ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สมมติว่าเรามีลำดับตัวเลข:

คุณจะตอบทันทีว่านี่เป็นเรื่องง่ายและชื่อของลำดับนั้นขึ้นอยู่กับความแตกต่างของสมาชิก เป็นอย่างไรบ้าง:

หากคุณลบตัวเลขก่อนหน้าออกจากตัวเลขถัดไป คุณจะเห็นว่าทุกครั้งที่คุณได้รับผลต่างใหม่ (และอื่นๆ) แต่ลำดับนั้นมีอยู่แน่นอนและสังเกตได้ง่าย - แต่ละตัวเลขที่ตามมาจะมีขนาดใหญ่กว่าตัวเลขก่อนหน้าหลายเท่า!

ลำดับตัวเลขประเภทนี้เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและถูกกำหนดไว้

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต () เป็นลำดับตัวเลข เทอมแรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ข้อจำกัดที่ว่าเทอมแรก ( ) ไม่เท่ากันและไม่สุ่ม สมมติว่าไม่มีพวกมันอยู่ และเทอมแรกยังคงเท่ากัน และ q เท่ากับ อืม.. ปล่อยให้มันเป็นไป ปรากฎว่า:

ยอมรับว่านี่ไม่ใช่ความก้าวหน้าอีกต่อไป

ตามที่คุณเข้าใจ เราจะได้ผลลัพธ์เดียวกันหากมีตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ a ในกรณีเหล่านี้ จะไม่มีความคืบหน้า เนื่องจากชุดตัวเลขทั้งหมดจะเป็นศูนย์ทั้งหมดหรือตัวเลขเดียว และส่วนที่เหลือทั้งหมดเป็นศูนย์

ทีนี้มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต นั่นก็คือ o

ทำซ้ำ: - นี่คือตัวเลข แต่ละเทอมต่อมาจะเปลี่ยนแปลงกี่ครั้ง?ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คุณคิดว่ามันจะเป็นอย่างไร? ถูกต้อง ทั้งเชิงบวกและเชิงลบ แต่ไม่ใช่ศูนย์ (เราพูดถึงเรื่องนี้สูงกว่านี้เล็กน้อย)

สมมติว่าของเราเป็นบวก ในกรณีของเรา ก. เทอมที่สองมีมูลค่าเท่าใด และ? คุณสามารถตอบได้ง่ายๆ ว่า:

ถูกตัอง. ดังนั้นหากเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน - พวกเขา เป็นบวก.

เกิดอะไรขึ้นถ้ามันเป็นลบ? ตัวอย่างเช่น ก. เทอมที่สองมีมูลค่าเท่าใด และ?

นี่เป็นเรื่องราวที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

พยายามนับเงื่อนไขของความก้าวหน้านี้ คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี. ดังนั้น หากสัญญาณของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสลับกัน นั่นคือ หากคุณเห็นความก้าวหน้าโดยมีสัญลักษณ์สลับกันสำหรับสมาชิก ตัวส่วนจะเป็นลบ ความรู้นี้สามารถช่วยคุณทดสอบตัวเองเมื่อแก้ไขปัญหาในหัวข้อนี้

ทีนี้มาฝึกกันหน่อย: ลองพิจารณาว่าลำดับตัวเลขใดเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและลำดับใดเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

เข้าใจแล้ว? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:

• ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต – 3, 6.
• ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ – 2, 4
• ไม่ใช่ทั้งเลขคณิตหรือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - 1, 5, 7

กลับไปที่ความก้าวหน้าครั้งล่าสุดของเราแล้วลองค้นหาสมาชิกของมันเหมือนกับในเลขคณิต ดังที่คุณอาจเดาได้ มีสองวิธีในการค้นหา

เราคูณแต่ละเทอมอย่างต่อเนื่องด้วย

ดังนั้น เทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อธิบายไว้จึงเท่ากับ

ดังที่คุณเดาไว้แล้ว ตอนนี้คุณจะได้สูตรที่จะช่วยคุณค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต หรือคุณได้พัฒนาเองแล้วโดยอธิบายวิธีการหาสมาชิกทีละขั้นตอน? หากเป็นเช่นนั้น ให้ตรวจสอบความถูกต้องของเหตุผลของคุณ

ให้เราอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างการค้นหาเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้านี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

ค้นหาค่าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดด้วยตัวเอง

เกิดขึ้น? ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:

โปรดทราบว่าคุณได้ตัวเลขเดียวกันกับวิธีก่อนหน้าทุกประการ เมื่อเราคูณตามลำดับด้วยแต่ละเทอมก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
เรามาลอง "ลดความเป็นตัวตน" ของสูตรนี้ - มาวางไว้ในรูปแบบทั่วไปแล้วจะได้:

สูตรที่ได้รับนั้นเป็นจริงสำหรับทุกค่า - ทั้งบวกและลบ ตรวจสอบด้วยตัวเองโดยการคำนวณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีเงื่อนไขต่อไปนี้: , a.

คุณนับไหม? ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

ยอมรับว่าเป็นไปได้ที่จะหาเงื่อนไขของความก้าวหน้าในลักษณะเดียวกับเงื่อนไข อย่างไรก็ตาม มีความเป็นไปได้ที่จะคำนวณไม่ถูกต้อง และถ้าเราพบเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว จะมีอะไรง่ายกว่าการใช้ส่วนที่ "ถูกตัดทอน" ของสูตร

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่สิ้นสุด

เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้พูดคุยเกี่ยวกับความจริงที่ว่ามันสามารถเป็นได้ทั้งมากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์อย่างไรก็ตามมีค่าพิเศษที่เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด.

ทำไมคุณถึงคิดว่าได้รับชื่อนี้?
ก่อนอื่น ลองเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยคำศัพท์กันก่อน
สมมติว่า:

เราเห็นว่าแต่ละเทอมต่อๆ มามีค่าน้อยกว่าเทอมก่อนหน้าด้วยตัวประกอบ แต่จะมีจำนวนไหม? คุณจะตอบทันทีว่า “ไม่” นั่นคือสาเหตุที่มันลดลงอย่างไม่สิ้นสุด - มันลดลงเรื่อยๆ แต่ไม่เคยกลายเป็นศูนย์เลย

เพื่อให้เข้าใจได้อย่างชัดเจนว่าสิ่งนี้มีลักษณะอย่างไร เรามาลองวาดกราฟความก้าวหน้าของเรากัน ดังนั้น ในกรณีของเรา สูตรจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

บนกราฟเราคุ้นเคยกับการวางแผนการพึ่งพาดังนั้น:

แก่นแท้ของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง: ในรายการแรกเราแสดงการพึ่งพาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเลขลำดับของมัน และในรายการที่สอง เราเพียงแต่เอาค่าของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็น และกำหนดเลขลำดับให้ไม่ใช่เป็น แต่เป็น สิ่งที่ต้องทำคือสร้างกราฟ
ให้ดูสิ่งที่คุณได้. นี่คือกราฟที่ฉันคิดขึ้นมา:

คุณเห็นไหม? ฟังก์ชันลดลง มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แต่ไม่เคยข้ามฟังก์ชันดังกล่าว ดังนั้นจึงลดลงอย่างไม่สิ้นสุด มาทำเครื่องหมายจุดของเราบนกราฟและในเวลาเดียวกันว่าพิกัดและหมายถึงอะไร:

พยายามแสดงกราฟของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในเชิงแผนผังหากเทอมแรกเท่ากัน วิเคราะห์ความแตกต่างกับกราฟก่อนหน้าของเราคืออะไร?

คุณจัดการหรือไม่? นี่คือกราฟที่ฉันคิดขึ้นมา:

ตอนนี้คุณเข้าใจพื้นฐานของหัวข้อความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว คุณรู้ว่ามันคืออะไร คุณรู้วิธีหาคำศัพท์ และคุณรู้ด้วยว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคืออะไร มาดูคุณสมบัติหลักของมันกันดีกว่า

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

คุณจำคุณสมบัติของเงื่อนไขของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่? ใช่ ใช่ จะค้นหามูลค่าของความก้าวหน้าจำนวนหนึ่งได้อย่างไรเมื่อมีค่าก่อนหน้าและค่าที่ตามมาของข้อกำหนดของความก้าวหน้านี้ คุณจำได้ไหม? นี้:

ตอนนี้เราต้องเผชิญกับคำถามเดียวกันทุกประการเกี่ยวกับเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เพื่อให้ได้สูตรมาเริ่มวาดและหาเหตุผลกัน คุณจะเห็นว่ามันง่ายมาก และถ้าคุณลืม คุณก็สามารถเอามันออกมาได้ด้วยตัวเอง

ลองใช้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตง่ายๆ อีกอันที่เรารู้และ จะหาได้อย่างไร? ด้วยความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มันง่ายและไม่ซับซ้อน แต่แล้วที่นี่ล่ะ? ในความเป็นจริงก็ไม่มีอะไรซับซ้อนในเรขาคณิตเช่นกัน - คุณเพียงแค่ต้องเขียนแต่ละค่าที่มอบให้เราตามสูตร

คุณอาจถามว่าเราควรทำอย่างไรกับเรื่องนี้ตอนนี้? ใช่ ง่ายมาก ขั้นแรก เรามาอธิบายสูตรเหล่านี้ในรูปภาพแล้วลองดำเนินการต่างๆ เพื่อให้ได้ค่า

เรามาสรุปจากตัวเลขที่ให้มากันดีกว่า เน้นเฉพาะการแสดงออกผ่านสูตรเท่านั้น เราจำเป็นต้องค้นหาค่าที่เน้นด้วยสีส้ม โดยรู้คำศัพท์ที่อยู่ติดกัน เรามาลองดำเนินการต่าง ๆ กับพวกเขาซึ่งเป็นผลมาจากสิ่งที่เราจะได้

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป.
ลองเพิ่มสองนิพจน์แล้วเราจะได้:

อย่างที่คุณเห็นจากนิพจน์นี้ เราไม่สามารถแสดงออกมาได้ในทางใดทางหนึ่ง ดังนั้นเราจะลองใช้ตัวเลือกอื่น - การลบ

การลบ

อย่างที่คุณเห็น เราไม่สามารถแสดงสิ่งนี้ได้เช่นกัน ดังนั้นลองคูณนิพจน์เหล่านี้ด้วยกัน

การคูณ

ทีนี้ลองดูสิ่งที่เรามีอย่างละเอียดโดยการคูณเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มอบให้เราโดยเปรียบเทียบกับสิ่งที่ต้องค้นหา:

เดาสิ่งที่ฉันกำลังพูดถึง? อย่างถูกต้อง เพื่อค้นหาเราจำเป็นต้องหารากที่สองของจำนวนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการคูณกัน:

เอาล่ะ. ตัวคุณเองได้รับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองเขียนสูตรนี้ในรูปแบบทั่วไป เกิดขึ้น?

ลืมเงื่อนไข? ลองคิดดูว่าเหตุใดจึงสำคัญ เช่น ลองคำนวณเอง จะเกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้? ถูกต้องไร้สาระเพราะสูตรมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้นอย่าลืมข้อจำกัดนี้

ทีนี้ลองคำนวณดูว่ามันเท่ากับอะไร

คำตอบที่ถูกต้อง - ! หากคุณไม่ลืมค่าที่เป็นไปได้ที่สองในระหว่างการคำนวณ แสดงว่าคุณเก่งมากและสามารถเข้าสู่การฝึกได้ทันที และหากคุณลืม ให้อ่านสิ่งที่จะกล่าวถึงด้านล่าง และให้ความสนใจว่าเหตุใดจึงต้องเขียนรากทั้งสองลงใน คำตอบ.

ลองวาดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตของเราทั้งคู่ - อันหนึ่งมีค่าและอีกอันมีค่าแล้วตรวจสอบว่าทั้งคู่มีสิทธิ์ที่จะมีอยู่หรือไม่:

เพื่อที่จะตรวจสอบว่ามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหรือไม่ จำเป็นต้องดูว่าเงื่อนไขที่ให้มาทั้งหมดเหมือนกันหรือไม่ คำนวณ q สำหรับกรณีที่หนึ่งและสอง

ดูว่าทำไมเราต้องเขียนสองคำตอบ? เพราะสัญลักษณ์ของคำที่คุณกำลังมองหานั้นขึ้นอยู่กับว่ามันเป็นบวกหรือลบ! และเนื่องจากเราไม่รู้ว่ามันคืออะไร เราจึงต้องเขียนคำตอบทั้งบวกและลบ

ตอนนี้คุณได้เข้าใจประเด็นหลักและได้รับสูตรสำหรับคุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว การค้นหา การรู้ และ

เปรียบเทียบคำตอบของคุณกับคำตอบที่ถูกต้อง:

คุณคิดอย่างไรจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่ได้รับค่าของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่อยู่ติดกับจำนวนที่ต้องการ แต่อยู่ห่างจากมันเท่ากัน ตัวอย่างเช่นเราจำเป็นต้องค้นหาและให้และ เราสามารถใช้สูตรที่เราได้มาในกรณีนี้ได้หรือไม่? พยายามยืนยันหรือหักล้างความเป็นไปได้นี้ในลักษณะเดียวกัน โดยอธิบายว่าแต่ละค่าประกอบด้วยอะไรบ้าง เช่นเดียวกับที่คุณทำเมื่อได้รับสูตรในตอนแรก
คุณได้อะไร?

ตอนนี้ดูอย่างระมัดระวังอีกครั้ง
และตามลำดับ:

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าสูตรนี้ใช้งานได้ ไม่ใช่แค่กับเพื่อนบ้านเท่านั้นด้วยเงื่อนไขที่ต้องการของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแต่ก็ด้วย ระยะเท่ากันจากสิ่งที่สมาชิกตามหา

ดังนั้น สูตรเริ่มต้นของเราจึงอยู่ในรูปแบบ:

นั่นคือ หากในกรณีแรกเราพูดอย่างนั้น ตอนนี้เราบอกว่ามันสามารถเท่ากับจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่น้อยกว่าได้ สิ่งสำคัญคือตัวเลขที่ให้มาทั้งสองจะเหมือนกัน

ฝึกฝนโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง เพียงใช้ความระมัดระวังอย่างยิ่ง!

1. - หา.
2. - หา.
3. - หา.

ตัดสินใจแล้ว? ฉันหวังว่าคุณจะเอาใจใส่เป็นอย่างยิ่งและสังเกตเห็นจุดเล็กๆ น้อยๆ

ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์กัน

ในสองกรณีแรก เราใช้สูตรข้างต้นอย่างใจเย็นและรับค่าต่อไปนี้:

ในกรณีที่สาม เมื่อเราตรวจสอบซีเรียลนัมเบอร์ของตัวเลขที่ให้มาอย่างละเอียดแล้ว เราก็เข้าใจว่าตัวเลขเหล่านั้นไม่ได้อยู่ห่างจากตัวเลขที่เรากำลังมองหาอยู่ไม่เท่ากัน มันเป็นตัวเลขก่อนหน้า แต่ถูกลบออก ณ ตำแหน่งหนึ่ง จึงเป็นเช่นนั้น ไม่สามารถใช้สูตรได้

วิธีแก้ปัญหา? จริงๆแล้วมันไม่ยากอย่างที่คิด! มาเขียนกันว่าแต่ละหมายเลขที่ให้มาและหมายเลขที่เราค้นหาประกอบด้วยอะไร

ดังนั้นเราจึงมีและ มาดูกันว่าเราสามารถทำอะไรกับพวกเขาได้บ้าง? ผมเสนอให้แบ่งตาม.. เราได้รับ:

เราแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตร:

ขั้นตอนต่อไปที่เราหาได้คือ - สำหรับสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องหารากที่สามของจำนวนผลลัพธ์

ทีนี้ลองดูอีกครั้งว่าเรามีอะไรบ้าง เรามีมัน แต่เราต้องค้นหามันให้เจอ และมันก็เท่ากับ:

เราพบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการคำนวณ แทนลงในสูตร:

คำตอบของเรา: .

ลองแก้ไขปัญหาอื่นที่คล้ายกันด้วยตัวเอง:
ที่ให้ไว้: ,
หา:

คุณได้รับเท่าไหร่? ฉันมี - .

อย่างที่คุณเห็นโดยพื้นฐานแล้วคุณต้องการ จำเพียงสูตรเดียว- คุณสามารถถอนส่วนที่เหลือทั้งหมดได้ด้วยตัวเองโดยไม่ยากเมื่อใดก็ได้ ในการทำเช่นนี้ เพียงเขียนความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดลงบนกระดาษแล้วจดว่าตัวเลขแต่ละตัวมีค่าเท่ากับเท่าใดตามสูตรที่อธิบายไว้ข้างต้น

ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตอนนี้เรามาดูสูตรที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในช่วงเวลาที่กำหนดได้อย่างรวดเร็ว:

หากต้องการหาสูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอันจำกัด ให้คูณทุกส่วนของสมการข้างต้นด้วย เราได้รับ:

ดูให้ดี: สองสูตรสุดท้ายมีอะไรเหมือนกัน? ถูกต้อง สมาชิกทั่วไป เป็นต้น ยกเว้นสมาชิกตัวแรกและตัวสุดท้าย ลองลบสมการที่ 1 จากสมการที่ 2 กัน คุณได้อะไร?

ตอนนี้แสดงเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตผ่านสูตรและแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์เป็นสูตรสุดท้ายของเรา:

จัดกลุ่มนิพจน์ คุณควรได้รับ:

สิ่งที่ต้องทำคือแสดง:

ดังนั้นในกรณีนี้

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า? แล้วสูตรไหนได้ผลล่ะ? ลองนึกภาพความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ เธอชอบอะไร? ชุดตัวเลขที่เหมือนกันนั้นถูกต้อง ดังนั้นสูตรจึงมีลักษณะดังนี้:

มีตำนานมากมายเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต หนึ่งในนั้นคือตำนานของเซตผู้สร้างหมากรุก

หลายคนรู้ว่าเกมหมากรุกถูกประดิษฐ์ขึ้นในอินเดีย เมื่อกษัตริย์ฮินดูได้พบกับเธอ เขาก็รู้สึกยินดีกับความเฉลียวฉลาดของเธอและท่าทางที่หลากหลายในตัวเธอ เมื่อรู้ว่ามันถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยอาสาสมัครคนหนึ่งของเขา กษัตริย์จึงตัดสินใจให้รางวัลแก่เขาเป็นการส่วนตัว เขาเรียกนักประดิษฐ์มาเองและสั่งให้เขาขอทุกสิ่งที่เขาต้องการโดยสัญญาว่าจะตอบสนองแม้แต่ความปรารถนาที่เก่งที่สุด

Seta ขอเวลาคิด และเมื่อวันรุ่งขึ้น Seta ปรากฏตัวต่อหน้ากษัตริย์ เขาก็ทำให้กษัตริย์ประหลาดใจด้วยความสุภาพเรียบร้อยในคำขอของเขาอย่างที่ไม่เคยมีมาก่อน เขาขอให้มอบเมล็ดข้าวสาลีหนึ่งเมล็ดสำหรับกระดานหมากรุกสี่เหลี่ยมแรก, เมล็ดข้าวสาลีสำหรับอันที่สอง, เมล็ดข้าวสาลีสำหรับอันที่สาม, อันที่สี่, ฯลฯ

กษัตริย์โกรธและขับไล่เซธออกไป โดยบอกว่าคำขอของคนรับใช้นั้นไม่คู่ควรกับความมีน้ำใจของกษัตริย์ แต่สัญญาว่าจะรับธัญพืชของเขาสำหรับสี่เหลี่ยมทั้งหมดของกระดาน

และตอนนี้คำถาม: การใช้สูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณว่า Seth ควรได้รับเมล็ดจำนวนเท่าใด

มาเริ่มใช้เหตุผลกัน เนื่องจากตามเงื่อนไข เซธขอเมล็ดข้าวสาลีสำหรับสี่เหลี่ยมแรกของกระดานหมากรุก สี่เหลี่ยมที่สอง ที่สาม สี่ เป็นต้น จากนั้นเราจะเห็นว่าปัญหาเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ในกรณีนี้จะเท่ากับอะไร?
ขวา.

สี่เหลี่ยมรวมของกระดานหมากรุก ตามลำดับ, . เรามีข้อมูลทั้งหมด เหลือเพียงเสียบเข้ากับสูตรและคำนวณ

หากต้องการจินตนาการอย่างน้อยประมาณ "มาตราส่วน" ของจำนวนที่กำหนด เราจะแปลงโดยใช้คุณสมบัติของดีกรี:

แน่นอน หากคุณต้องการ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขและคำนวณว่าคุณจะได้จำนวนเท่าใด และหากไม่เป็นเช่นนั้น คุณจะต้องเชื่อคำพูดของฉัน: ค่าสุดท้ายของนิพจน์จะเป็น
นั่นคือ:

ล้านล้านสี่ล้านล้านล้านล้านล้านพันล้าน

วุ้ย) หากคุณต้องการจินตนาการถึงความใหญ่โตของตัวเลขนี้ ให้ประมาณว่าโรงนาจะต้องใหญ่แค่ไหนเพื่อรองรับเมล็ดพืชทั้งหมดได้
หากโรงนามีความสูง ม. และกว้าง ม. ความยาวจะต้องขยายออกไปอีกกิโลเมตร เช่น ไกลจากโลกถึงดวงอาทิตย์ถึงสองเท่า

หากพระราชามีวิชาคณิตศาสตร์ที่เข้มแข็ง พระองค์สามารถเชิญนักวิทยาศาสตร์มานับเมล็ดข้าวได้ เพราะในการนับเมล็ดข้าวหนึ่งล้านเมล็ด พระองค์ทรงต้องใช้เวลาอย่างน้อยหนึ่งวันในการนับอย่างไม่เหน็ดเหนื่อย และเนื่องจากจำเป็นต้องนับล้านล้านเมล็ด จะต้องนับตลอดชีวิต

ทีนี้มาแก้ปัญหาง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกัน
นักเรียนห้อง 5A วาสยา ป่วยเป็นไข้หวัดใหญ่ แต่ยังไปโรงเรียนต่อไป ทุกๆ วัน วาสยาทำให้คนสองคนติดเชื้อ และในทางกลับกัน ก็ทำให้คนติดเชื้อเพิ่มอีกสองคน และอื่นๆ มีเพียงคนในชั้นเรียนเท่านั้น ทั้งชั้นจะป่วยเป็นไข้หวัดใหญ่ภายในกี่วัน?

ดังนั้นระยะแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือวาสยานั่นคือบุคคล ระยะที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือคนสองคนที่เขาติดเชื้อในวันแรกที่มาถึง ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าจะเท่ากับจำนวนนักเรียน 5A ดังนั้นเราจึงพูดถึงความก้าวหน้าซึ่ง:

ลองแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตรเพื่อหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ทั้งชั้นจะป่วยภายในไม่กี่วัน ไม่เชื่อสูตรและตัวเลขเหรอ? พยายามพรรณนาถึง "การติดเชื้อ" ของนักเรียนด้วยตัวเอง เกิดขึ้น? ดูว่ามันมีลักษณะอย่างไรสำหรับฉัน:

คำนวณด้วยตัวคุณเองว่าจะใช้เวลากี่วันก่อนที่นักเรียนจะป่วยด้วยไข้หวัดใหญ่หากแต่ละคนติดเชื้อ และมีคนในชั้นเรียนเพียงคนเดียว

คุณได้รับคุณค่าอะไร? ปรากฎว่าทุกคนเริ่มป่วยหลังจากผ่านไปหนึ่งวัน

อย่างที่คุณเห็นงานดังกล่าวและการวาดภาพนั้นมีลักษณะคล้ายกับปิรามิดซึ่งแต่ละงานจะ "นำ" ผู้คนใหม่มา อย่างไรก็ตาม ไม่ช้าก็เร็ว เมื่อสิ่งหลังไม่สามารถดึงดูดใครได้ ในกรณีของเรา ถ้าเราจินตนาการว่าคลาสถูกแยกออกจากกัน บุคคลนั้นจะปิดเชน () ดังนั้นหากบุคคลหนึ่งมีส่วนร่วมในปิรามิดทางการเงินซึ่งมีการให้เงินหากคุณพาผู้เข้าร่วมอีกสองคนมาด้วย บุคคลนั้น (หรือโดยทั่วไป) จะไม่พาใครมาด้วย ดังนั้นจะสูญเสียทุกสิ่งที่พวกเขาลงทุนในการหลอกลวงทางการเงินนี้

ทุกสิ่งที่กล่าวไว้ข้างต้นหมายถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงหรือเพิ่มขึ้น แต่อย่างที่คุณจำได้ เรามีประเภทพิเศษ - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด จะคำนวณผลรวมของสมาชิกได้อย่างไร? และเหตุใดความก้าวหน้าประเภทนี้จึงมีลักษณะเฉพาะบางประการ? ลองคิดออกด้วยกัน

ก่อนอื่น เรามาดูภาพวาดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดจากตัวอย่างของเราอีกครั้ง:

ตอนนี้เรามาดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ได้มาจากก่อนหน้านี้เล็กน้อย:
หรือ

เรามุ่งมั่นเพื่ออะไร? ถูกต้องแล้ว กราฟแสดงว่ามีแนวโน้มเป็นศูนย์ นั่นคือที่จะเกือบเท่ากันตามลำดับเมื่อคำนวณนิพจน์เราจะได้เกือบ ในเรื่องนี้ เราเชื่อว่าเมื่อคำนวณผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด วงเล็บนี้สามารถละเลยได้ เนื่องจากมันจะเท่ากัน

- สูตรคือผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราต้องค้นหาผลรวม ไม่มีที่สิ้นสุดจำนวนสมาชิก

หากมีการระบุตัวเลข n ไว้ เราจะใช้สูตรสำหรับผลรวมของพจน์ n แม้ว่าหรือก็ตาม

ตอนนี้เรามาฝึกกัน

1. ค้นหาผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย และ
2. จงหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วย และ

ฉันหวังว่าคุณจะระมัดระวังเป็นอย่างยิ่ง ลองเปรียบเทียบคำตอบของเรา:

ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว และถึงเวลาเปลี่ยนจากทฤษฎีไปสู่การปฏิบัติ ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่พบบ่อยที่สุดที่พบในการสอบคือปัญหาในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น สิ่งเหล่านี้คือสิ่งที่เราจะพูดถึง

ปัญหาในการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น

คุณคงเคยได้ยินชื่อที่เรียกว่าสูตรดอกเบี้ยทบต้น คุณเข้าใจความหมายหรือไม่? ถ้าไม่ ลองมาคิดกันดู เพราะเมื่อคุณเข้าใจกระบวนการแล้ว คุณจะเข้าใจได้ทันทีว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเกี่ยวข้องกับมันอย่างไร

เราทุกคนไปที่ธนาคารและรู้ว่ามีเงื่อนไขสำหรับการฝากเงินที่แตกต่างกัน ซึ่งรวมถึงเงื่อนไข บริการเพิ่มเติม และดอกเบี้ยด้วยวิธีการคำนวณสองวิธีที่แตกต่างกัน - ง่ายและซับซ้อน

กับ ดอกเบี้ยง่ายๆทุกอย่างชัดเจนไม่มากก็น้อย: ดอกเบี้ยจะเกิดขึ้นหนึ่งครั้งเมื่อสิ้นสุดระยะเวลาการฝาก นั่นคือถ้าเราบอกว่าเราฝากเงิน 100 รูเบิลเป็นเวลาหนึ่งปี พวกเขาจะได้รับเครดิตในช่วงปลายปีเท่านั้น ดังนั้นเมื่อสิ้นสุดการฝากเงินเราจะได้รับรูเบิล

ดอกเบี้ยทบต้น- นี่คือตัวเลือกที่มันเกิดขึ้น การแปลงดอกเบี้ยเป็นทุน, เช่น. นอกเหนือจากจำนวนเงินฝากและการคำนวณรายได้ในภายหลังไม่ใช่จากเริ่มต้น แต่จากจำนวนเงินฝากสะสม การใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่ไม่ได้เกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง แต่มีความถี่อยู่บ้าง ตามกฎแล้ว ระยะเวลาดังกล่าวจะเท่ากัน และส่วนใหญ่ธนาคารมักใช้เดือน ไตรมาส หรือปี

สมมติว่าเราฝากเงินรูเบิลเท่ากันทุกปี แต่ใช้มูลค่าเงินฝากเป็นรายเดือน เรากำลังทำอะไรอยู่?

คุณเข้าใจทุกอย่างที่นี่หรือไม่? ถ้าไม่ลองคิดดูทีละขั้นตอน

เรานำรูเบิลไปที่ธนาคาร ภายในสิ้นเดือน เราควรมีจำนวนเงินในบัญชีของเราซึ่งประกอบด้วยรูเบิลของเราพร้อมดอกเบี้ยนั่นคือ:

เห็นด้วย?

เราสามารถเอามันออกจากวงเล็บ แล้วเราจะได้:

เห็นด้วยสูตรนี้คล้ายกับที่เราเขียนไว้ตอนต้นมากกว่าแล้ว ที่เหลือก็แค่หาเปอร์เซ็นต์

ในคำชี้แจงปัญหา เราจะแจ้งเกี่ยวกับอัตรารายปี ดังที่คุณทราบ เราไม่ได้คูณด้วย - เราแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วนทศนิยม นั่นคือ:

ขวา? ตอนนี้คุณอาจถามว่าตัวเลขมาจากไหน? ง่ายมาก!
ฉันพูดซ้ำ: คำแถลงปัญหาพูดถึง ประจำปีดอกเบี้ยที่เกิดขึ้น รายเดือน- ดังที่คุณทราบ ในหนึ่งปีของเดือน ธนาคารจะคิดดอกเบี้ยรายปีส่วนหนึ่งต่อเดือนจากเรา:

เข้าใจไหม? ทีนี้ลองเขียนว่าส่วนนี้ของสูตรจะเป็นอย่างไรถ้าฉันบอกว่าคำนวณดอกเบี้ยรายวัน
คุณจัดการหรือไม่? ลองเปรียบเทียบผลลัพธ์:

ทำได้ดี! กลับไปที่งานของเรา: เขียนจำนวนเงินที่จะเข้าบัญชีของเราในเดือนที่สองโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยที่เกิดขึ้นกับจำนวนเงินฝากสะสม
นี่คือสิ่งที่ฉันได้รับ:

หรืออีกนัยหนึ่ง:

ฉันคิดว่าคุณได้สังเกตเห็นรูปแบบหนึ่งแล้วและเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตในเรื่องทั้งหมดนี้ เขียนว่าสมาชิกจะเท่ากับเท่าใด หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเราจะได้รับเงินจำนวนเท่าใดเมื่อสิ้นเดือน
ทำ? มาตรวจสอบกัน!

อย่างที่คุณเห็น หากคุณฝากเงินในธนาคารด้วยอัตราดอกเบี้ยธรรมดาเป็นเวลาหนึ่งปี คุณจะได้รับรูเบิล และหากใช้อัตราดอกเบี้ยทบต้น คุณจะได้รับรูเบิล ผลประโยชน์มีน้อย แต่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเฉพาะในช่วงปีนั้นเท่านั้น แต่สำหรับระยะเวลาที่นานกว่านั้น การลงทุนจะทำกำไรได้มากกว่ามาก:

ลองดูปัญหาอีกประเภทหนึ่งเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น หลังจากสิ่งที่คุณคิดได้แล้วมันจะเป็นเรื่องพื้นฐานสำหรับคุณ ดังนั้นภารกิจ:

บริษัท Zvezda เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2000 ด้วยเงินทุนเป็นดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2544 ก็มีกำไรเท่ากับทุนของปีก่อน บริษัท Zvezda จะได้รับกำไรเท่าใด ณ สิ้นปี 2546 หากไม่ถอนกำไรออกจากการหมุนเวียน

เมืองหลวงของบริษัท Zvezda ในปี 2543
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2544
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2545
- เมืองหลวงของ บริษัท Zvezda ในปี 2546

หรือเราจะเขียนสั้นๆ ว่า:

สำหรับกรณีของเรา:

พ.ศ. 2543, 2544, 2545 และ 2546

ตามลำดับ:
รูเบิล
โปรดทราบว่าในปัญหานี้ เราไม่มีการหารตามหรือตาม เนื่องจากเปอร์เซ็นต์จะได้รับเป็นรายปีและมีการคำนวณเป็นรายปี นั่นคือเมื่ออ่านปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้นให้ใส่ใจกับเปอร์เซ็นต์ที่ได้รับและคำนวณในช่วงเวลาใดจากนั้นจึงทำการคำนวณต่อไป
ตอนนี้คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้ว

การฝึกอบรม.

1. ค้นหาเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตหากทราบแล้ว และ
2. หาผลรวมของเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถ้าทราบ และ
3. บริษัท MDM Capital เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2546 โดยมีทุนเป็นสกุลเงินดอลลาร์ ทุกปีตั้งแต่ปี 2547 ก็มีกำไรเท่ากับทุนของปีก่อน บริษัท MSK Cash Flows เริ่มลงทุนในอุตสาหกรรมนี้ในปี 2548 ด้วยมูลค่า 10,000 ดอลลาร์ เริ่มทำกำไรในปี 2549 ด้วยจำนวนเงิน เงินทุนของบริษัทหนึ่งมีมูลค่ามากกว่าอีกบริษัทหนึ่ง ณ สิ้นปี 2550 กี่ดอลลาร์หากไม่ถอนกำไรออกจากการหมุนเวียน?

คำตอบ:

1. เนื่องจากคำแถลงปัญหาไม่ได้บอกว่าความก้าวหน้านั้นไม่มีที่สิ้นสุดและจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของจำนวนเงื่อนไขที่ระบุ การคำนวณจึงดำเนินการตามสูตร:
2. 
   บริษัท เอ็มดีเอ็ม แคปปิตอล:

   2546, 2547, 2548, 2549, 2550.
   - เพิ่มขึ้น 100% นั่นคือ 2 เท่า
   ตามลำดับ:
   รูเบิล
   บริษัท MSK กระแสเงินสด:

   2548, 2549, 2550.
   - เพิ่มขึ้นทีละครั้ง
   ตามลำดับ:
   รูเบิล
   รูเบิล

มาสรุปกัน

1) ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ( ) เป็นลำดับตัวเลข เทอมแรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน จำนวนนี้เรียกว่าตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

2) สมการของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ

3) สามารถใช้ค่าใดๆ ก็ได้ ยกเว้น และ

• ถ้าเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน - พวกเขา เป็นบวก;
• ถ้าแล้วเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้า สัญญาณทางเลือก;
• เมื่อใด – ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

4) ที่ – คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (เงื่อนไขที่อยู่ติดกัน)

หรือ
, ที่ (เงื่อนไขระยะเท่ากัน)

เมื่อพบแล้วอย่าลืมสิ่งนั้น ควรมีสองคำตอบ.

ตัวอย่างเช่น,

5) ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ

หรือ

สำคัญ!เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดก็ต่อเมื่อเงื่อนไขระบุอย่างชัดเจนว่าเราจำเป็นต้องค้นหาผลรวมของเทอมที่มีจำนวนอนันต์

6) ปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้นยังคำนวณโดยใช้สูตรของเทอมที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยมีเงื่อนไขว่าเงินทุนไม่ได้ถูกถอนออกจากการหมุนเวียน:

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต( ) เป็นลำดับตัวเลข โดยเทอมแรกแตกต่างจากศูนย์ และแต่ละเทอมเริ่มจากวินาทีจะเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยตัวเลขเดียวกัน เบอร์นี้มีชื่อว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถใช้ค่าใดๆ ก็ได้ ยกเว้น และ

• หากเงื่อนไขที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้ามีเครื่องหมายเดียวกัน - ถือว่าเป็นค่าบวก
• ถ้า จากนั้นสมาชิกที่ตามมาทั้งหมดของความก้าวหน้าจะสลับสัญญาณกัน
• เมื่อใด – ความก้าวหน้าเรียกว่าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

สมการของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางเรขาคณิต - .

ผลรวมของเงื่อนไขความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคำนวณโดยสูตร:
หรือ

หากความก้าวหน้าลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้น:

บทความ 2/3 ที่เหลือมีไว้สำหรับนักเรียนที่ฉลาดเท่านั้น!

มาเป็นนักเรียน YouClever

เตรียมสอบ Unified State หรือ Unified State วิชาคณิตศาสตร์ในราคา “กาแฟเดือนละแก้ว”

และยังเข้าถึงหนังสือเรียน “YouClever” ได้ไม่จำกัด โปรแกรมเตรียมการ “100gia” (หนังสือแก้ปัญหา) การสอบ Unified State และ Unified State แบบทดลองใช้ไม่จำกัด ปัญหา 6,000 ข้อเกี่ยวกับการวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา และบริการ YouClever และ 100gia อื่นๆ