Ang paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation (SLAEs) ay walang alinlangan ang pinakamahalagang paksa sa isang linear algebra course. Ang isang malaking bilang ng mga problema mula sa lahat ng sangay ng matematika ay bumaba sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Ipinapaliwanag ng mga salik na ito ang dahilan ng artikulong ito. Ang materyal ng artikulo ay pinili at nakabalangkas upang sa tulong nito ay magagawa mo

• piliin ang pinakamainam na paraan para sa paglutas ng iyong sistema ng mga linear algebraic equation,
• pag-aralan ang teorya ng napiling pamamaraan,
• lutasin ang iyong sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga detalyadong solusyon sa karaniwang mga halimbawa at problema.

Maikling paglalarawan ng materyal ng artikulo.

Una, ibibigay namin ang lahat ng kinakailangang mga kahulugan, konsepto at ipakilala ang mga notasyon.

Susunod, isasaalang-alang natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at kung saan ay may natatanging solusyon. Una, tututukan natin ang pamamaraan ng Cramer, pangalawa, ipapakita natin ang pamamaraan ng matrix para sa paglutas ng mga naturang sistema ng mga equation, at pangatlo, susuriin natin ang pamamaraang Gauss (ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable). Upang pagsama-samahin ang teorya, tiyak na malulutas namin ang ilang SLAE sa iba't ibang paraan.

Pagkatapos nito, magpapatuloy tayo sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo, kung saan ang bilang ng mga equation ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable o ang pangunahing matrix ng system ay isahan. Bumuo tayo ng Kronecker-Capelli theorem, na nagpapahintulot sa atin na itatag ang compatibility ng SLAEs. Suriin natin ang solusyon ng mga system (kung magkatugma ang mga ito) gamit ang konsepto ng isang batayang minor ng isang matrix. Isasaalang-alang din natin ang pamamaraang Gauss at ilalarawan nang detalyado ang mga solusyon sa mga halimbawa.

Tiyak na tatalakayin natin ang istruktura ng pangkalahatang solusyon ng homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng linear algebraic equation. Ibigay natin ang konsepto ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon at ipakita kung paano isinulat ang pangkalahatang solusyon ng isang SLAE gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, tingnan natin ang ilang mga halimbawa.

Sa konklusyon, isasaalang-alang namin ang mga sistema ng mga equation na maaaring mabawasan sa mga linear, pati na rin ang iba't ibang mga problema sa solusyon kung saan lumitaw ang mga SLAE.

Pag-navigate sa pahina.

Mga kahulugan, konsepto, pagtatalaga.

Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang mga variable (p ay maaaring katumbas ng n) ng form

Mga hindi kilalang variable, - coefficients (ilang tunay o kumplikadong mga numero), - libreng termino (real o kumplikadong mga numero din).

Ang form na ito ng pagtatala ng SLAE ay tinatawag coordinate.

SA anyo ng matris Ang pagsulat ng sistemang ito ng mga equation ay may anyo,
saan - ang pangunahing matrix ng system, - isang column matrix ng hindi kilalang mga variable, - isang column matrix ng mga libreng termino.

Kung magdaragdag tayo ng matrix-column ng mga libreng termino sa matrix A bilang (n+1)th column, makukuha natin ang tinatawag na pinahabang matrix sistema ng mga linear na equation. Karaniwan, ang isang pinahabang matrix ay tinutukoy ng titik T, at ang haligi ng mga libreng termino ay pinaghihiwalay ng isang patayong linya mula sa natitirang mga haligi, iyon ay,

Paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation tinatawag na isang hanay ng mga halaga ng hindi kilalang mga variable na ginagawang mga pagkakakilanlan ang lahat ng mga equation ng system. Ang matrix equation para sa mga ibinigay na halaga ng hindi kilalang mga variable ay nagiging isang pagkakakilanlan din.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay may hindi bababa sa isang solusyon, kung gayon ito ay tinatawag magkadugtong.

Kung ang isang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon, kung gayon ito ay tinatawag hindi magkasanib.

Kung ang isang SLAE ay may natatanging solusyon, kung gayon ito ay tinatawag tiyak; kung mayroong higit sa isang solusyon, kung gayon - hindi sigurado.

Kung ang mga libreng termino ng lahat ng mga equation ng system ay katumbas ng zero , pagkatapos ay tinawag ang system homogenous, kung hindi - magkakaiba.

Paglutas ng mga elementary system ng linear algebraic equation.

Kung ang bilang ng mga equation ng isang system ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix nito ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang mga naturang SLAE ay tatawagin elementarya. Ang ganitong mga sistema ng mga equation ay may natatanging solusyon, at sa kaso ng isang homogenous na sistema, ang lahat ng hindi kilalang mga variable ay katumbas ng zero.

Nagsimula kaming mag-aral ng mga ganitong SLAE noong high school. Kapag nilulutas ang mga ito, kumuha kami ng isang equation, nagpahayag ng isang hindi kilalang variable sa mga tuntunin ng iba at pinalitan ito sa natitirang mga equation, pagkatapos ay kinuha ang susunod na equation, ipinahayag ang susunod na hindi kilalang variable at pinalitan ito sa iba pang mga equation, at iba pa. O ginamit nila ang paraan ng pagdaragdag, iyon ay, nagdagdag sila ng dalawa o higit pang mga equation upang maalis ang ilang hindi kilalang mga variable. Hindi namin tatalakayin nang detalyado ang mga pamamaraang ito, dahil ang mga ito ay mahalagang pagbabago ng pamamaraang Gauss.

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga elementary system ng linear equation ay ang Cramer method, ang matrix method at ang Gauss method. Ayusin natin sila.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng Cramer.

Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation

kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable at ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay iba sa zero, iyon ay, .

Hayaan ang determinant ng pangunahing matrix ng system, at - mga determinant ng mga matrice na nakukuha mula sa A sa pamamagitan ng pagpapalit 1st, 2nd, …, nth column ayon sa pagkakasunod-sunod sa column ng mga libreng miyembro:

Sa notasyong ito, ang mga hindi kilalang variable ay kinakalkula gamit ang mga formula ng paraan ng Cramer bilang . Ito ay kung paano ang solusyon sa isang sistema ng mga linear algebraic equation ay matatagpuan gamit ang Cramer's method.

Halimbawa.

Pamamaraan ni Cramer .

Solusyon.

Ang pangunahing matrix ng system ay may anyo . Kalkulahin natin ang determinant nito (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Dahil ang determinant ng pangunahing matrix ng system ay nonzero, ang system ay may natatanging solusyon na matatagpuan sa pamamaraan ni Cramer.

Bumuo tayo at kalkulahin ang mga kinakailangang determinant (nakukuha namin ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column sa matrix A ng column ng mga free terms, ang determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa pangalawang column ng column ng free terms, at sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikatlong column ng matrix A ng column ng libreng terms) :

Paghahanap ng mga hindi kilalang variable gamit ang mga formula :

Sagot:

Ang pangunahing kawalan ng pamamaraan ni Cramer (kung matatawag itong disadvantage) ay ang pagiging kumplikado ng pagkalkula ng mga determinant kapag ang bilang ng mga equation sa system ay higit sa tatlo.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method (gamit ang inverse matrix).

Hayaang ibigay ang isang sistema ng mga linear algebraic equation sa anyong matrix, kung saan ang matrix A ay may dimensyon n ng n at ang determinant nito ay nonzero.

Dahil , ang matrix A ay invertible, iyon ay, mayroong isang inverse matrix. Kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa kaliwa, makakakuha tayo ng formula para sa paghahanap ng matrix-column ng mga hindi kilalang variable. Ito ay kung paano namin nakuha ang isang solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method.

Halimbawa.

Lutasin ang sistema ng mga linear na equation pamamaraan ng matrix.

Solusyon.

Isulat muli natin ang sistema ng mga equation sa anyong matrix:

kasi

pagkatapos ay ang SLAE ay maaaring malutas gamit ang matrix method. Gamit ang inverse matrix, ang solusyon sa sistemang ito ay matatagpuan bilang .

Bumuo tayo ng inverse matrix gamit ang isang matrix mula sa algebraic na pagdaragdag ng mga elemento ng matrix A (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Ito ay nananatiling kalkulahin ang matrix ng mga hindi kilalang variable sa pamamagitan ng pagpaparami ng inverse matrix sa isang matrix-column ng mga libreng miyembro (kung kinakailangan, tingnan ang artikulo):

Sagot:

o sa ibang notasyon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Ang pangunahing problema kapag naghahanap ng mga solusyon sa mga sistema ng linear algebraic equation gamit ang matrix method ay ang pagiging kumplikado ng paghahanap ng inverse matrix, lalo na para sa square matrices ng order na mas mataas kaysa sa ikatlo.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method.

Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng solusyon sa isang sistema ng n linear equation na may n hindi kilalang mga variable
ang determinant ng pangunahing matrix kung saan ay iba sa zero.

Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss binubuo ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable: una, ang x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation ng system, simula sa pangalawa, pagkatapos x 2 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo, at iba pa, hanggang sa ang hindi kilalang variable na x n na lang ang natitira sa huling equation. Ang prosesong ito ng pagbabago ng mga equation ng system upang sunud-sunod na alisin ang mga hindi kilalang variable ay tinatawag direktang pamamaraan ng Gaussian. Matapos makumpleto ang forward stroke ng Gaussian method, ang x n ay matatagpuan mula sa huling equation, gamit ang halagang ito mula sa penultimate equation, x n-1 ay kinakalkula, at iba pa, x 1 ay matatagpuan mula sa unang equation. Ang proseso ng pagkalkula ng mga hindi kilalang variable kapag lumilipat mula sa huling equation ng system hanggang sa una ay tinatawag kabaligtaran ng pamamaraang Gaussian.

Ilarawan natin nang maikli ang algorithm para sa pag-aalis ng mga hindi kilalang variable.

Ipagpalagay natin na , dahil palagi nating makakamit ito sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga equation ng system. Tanggalin natin ang hindi kilalang variable x 1 sa lahat ng equation ng system, simula sa pangalawa. Upang gawin ito, sa pangalawang equation ng system ay idinagdag namin ang una, pinarami ng , sa ikatlong equation idinaragdag namin ang una, pinarami ng , at iba pa, sa ika-n equation idinaragdag namin ang una, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan at .

Narating namin ang parehong resulta kung ipinahayag namin ang x 1 sa mga tuntunin ng iba pang hindi kilalang mga variable sa unang equation ng system at pinalitan ang resultang expression sa lahat ng iba pang mga equation. Kaya, ang variable na x 1 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa pangalawa.

Susunod, nagpapatuloy kami sa isang katulad na paraan, ngunit sa bahagi lamang ng nagresultang sistema, na minarkahan sa figure

Upang gawin ito, sa ikatlong equation ng system idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng , sa ikaapat na equation idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng , at iba pa, sa ika-n equation idinaragdag namin ang pangalawa, pinarami ng . Ang sistema ng mga equation pagkatapos ng gayong mga pagbabago ay kukuha ng anyo

saan at . Kaya, ang variable na x 2 ay hindi kasama sa lahat ng mga equation, simula sa ikatlo.

Susunod, nagpapatuloy kami sa pag-aalis ng hindi kilalang x 3, habang kumikilos kami nang katulad sa bahagi ng system na minarkahan sa figure

Kaya't ipinagpatuloy namin ang direktang pag-unlad ng pamamaraang Gaussian hanggang sa makuha ng sistema ang anyo

Mula sa sandaling ito sinisimulan natin ang reverse ng Gaussian method: kinakalkula natin ang x n mula sa huling equation bilang , gamit ang nakuhang halaga ng x n nahanap natin ang x n-1 mula sa penultimate equation, at iba pa, nahanap natin ang x 1 mula sa unang equation .

Halimbawa.

Lutasin ang sistema ng mga linear na equation Pamamaraan ng Gauss.

Solusyon.

Ibukod natin ang hindi kilalang variable x 1 mula sa pangalawa at pangatlong equation ng system. Upang gawin ito, sa magkabilang panig ng pangalawa at pangatlong equation ay idinaragdag namin ang mga kaukulang bahagi ng unang equation, na pinarami ng at ng, ayon sa pagkakabanggit:

Ngayon ay tinanggal namin ang x 2 mula sa ikatlong equation sa pamamagitan ng pagdaragdag sa kaliwa at kanang bahagi nito sa kaliwa at kanang bahagi ng pangalawang equation, na pinarami ng:

Kinukumpleto nito ang pasulong na stroke ng pamamaraang Gauss; sinisimulan natin ang reverse stroke.

Mula sa huling equation ng nagresultang sistema ng mga equation nakita namin ang x 3:

Mula sa pangalawang equation makuha namin.

Mula sa unang equation nakita namin ang natitirang hindi kilalang variable at sa gayon ay kumpletuhin ang reverse ng Gauss method.

Sagot:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

Sa pangkalahatan, ang bilang ng mga equation ng system p ay hindi tumutugma sa bilang ng mga hindi kilalang variable n:

Ang mga naturang SLAE ay maaaring walang mga solusyon, may iisang solusyon, o may walang katapusang maraming solusyon. Nalalapat din ang pahayag na ito sa mga sistema ng mga equation na ang pangunahing matrix ay parisukat at isahan.

Kronecker–Capelli theorem.

Bago maghanap ng solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation, kinakailangan upang maitatag ang pagiging tugma nito. Ang sagot sa tanong kung kailan tugma ang SLAE at kapag hindi tugma ay ibinibigay ng Kronecker–Capelli theorem:
Upang maging pare-pareho ang isang sistema ng mga p equation na may n hindi alam (p ay maaaring katumbas ng n), kinakailangan at sapat na ang ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, iyon ay , Ranggo(A)=Ranggo(T).

Isaalang-alang natin, bilang isang halimbawa, ang aplikasyon ng Kronecker–Capelli theorem upang matukoy ang pagiging tugma ng isang sistema ng mga linear na equation.

Halimbawa.

Alamin kung ang sistema ng mga linear equation ay mayroon mga solusyon.

Solusyon.

. Gamitin natin ang paraan ng bordering menor de edad. Minor ng pangalawang order iba sa zero. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito:

Dahil ang lahat ng mga karatig na menor de edad ng ikatlong order ay katumbas ng zero, ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng dalawa.

Sa turn, ang ranggo ng pinalawig na matrix ay katumbas ng tatlo, dahil ang menor de edad ay nasa ikatlong pagkakasunud-sunod

iba sa zero.

kaya, Rang(A), samakatuwid, gamit ang Kronecker-Capelli theorem, maaari nating tapusin na ang orihinal na sistema ng mga linear na equation ay hindi pare-pareho.

Sagot:

Ang sistema ay walang solusyon.

Kaya, natutunan nating itatag ang hindi pagkakapare-pareho ng isang sistema gamit ang Kronecker–Capelli theorem.

Ngunit paano makahanap ng solusyon sa isang SLAE kung ang pagkakatugma nito ay itinatag?

Upang gawin ito, kailangan namin ang konsepto ng isang batayang menor ng isang matrix at isang teorama tungkol sa ranggo ng isang matrix.

Ang menor sa pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng matrix A, naiiba sa zero, ay tinatawag basic.

Mula sa kahulugan ng isang batayang minor ay sumusunod na ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng ranggo ng matris. Para sa isang non-zero matrix A, maaaring mayroong ilang batayang minor; palaging may isang batayang minor.

Halimbawa, isaalang-alang ang matrix .

Ang lahat ng mga third-order na menor de edad ng matrix na ito ay katumbas ng zero, dahil ang mga elemento ng ikatlong hilera ng matrix na ito ay ang kabuuan ng mga katumbas na elemento ng una at ikalawang hanay.

Ang mga sumusunod na second-order minor ay basic, dahil hindi zero ang mga ito

Mga menor de edad ay hindi basic, dahil ang mga ito ay katumbas ng zero.

Teorama ng ranggo ng matrix.

Kung ang ranggo ng isang matrix ng order p by n ay katumbas ng r, kung gayon ang lahat ng row (at column) na elemento ng matrix na hindi bumubuo sa napiling batayang minor ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng katumbas na row (at column) na mga elemento na bumubuo. ang batayang menor.

Ano ang sinasabi sa atin ng matrix rank theorem?

Kung, ayon sa Kronecker–Capelli theorem, naitatag namin ang compatibility ng system, pagkatapos ay pipili kami ng anumang batayang minor ng pangunahing matrix ng system (ang pagkakasunud-sunod nito ay katumbas ng r), at ibubukod mula sa system ang lahat ng mga equation na ginagawa hindi bumubuo ng napiling batayang menor. Ang SLAE na nakuha sa ganitong paraan ay magiging katumbas ng orihinal, dahil ang mga itinapon na equation ay kalabisan pa rin (ayon sa matrix rank theorem, sila ay isang linear na kumbinasyon ng mga natitirang equation).

Bilang resulta, pagkatapos itapon ang mga hindi kinakailangang equation ng system, posible ang dalawang kaso.

Kung ang bilang ng mga equation r sa resultang sistema ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ito ay magiging tiyak at ang tanging solusyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.

Halimbawa.

.

Solusyon.

Ranggo ng pangunahing matrix ng system ay katumbas ng dalawa, dahil ang menor de edad ay nasa pangalawang pagkakasunud-sunod iba sa zero. Pinalawak na Ranggo ng Matrix ay katumbas din ng dalawa, dahil ang tanging ikatlong order na minor ay zero

at ang pangalawang-order na menor de edad na isinasaalang-alang sa itaas ay iba sa zero. Batay sa Kronecker–Capelli theorem, maaari nating igiit ang pagiging tugma ng orihinal na sistema ng mga linear equation, dahil Rank(A)=Rank(T)=2.

Bilang batayang minor ang kinukuha namin . Ito ay nabuo sa pamamagitan ng mga coefficient ng una at pangalawang equation:


Ang pangatlong equation ng system ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng batayang menor, kaya hindi namin ito kasama sa system batay sa theorem sa ranggo ng matrix:


Ito ay kung paano namin nakuha ang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation. Lutasin natin ito gamit ang paraan ng Cramer:


Sagot:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Kung ang bilang ng mga equation r sa nagreresultang SLAE ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi kilalang variable n, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation ay iniiwan natin ang mga terminong bumubuo sa batayang minor, at inililipat natin ang mga natitirang termino sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may kabaligtaran na tanda.

Ang mga hindi kilalang variable (r ng mga ito) na natitira sa kaliwang bahagi ng mga equation ay tinatawag pangunahing.

Ang mga hindi kilalang variable (may mga n - r na piraso) na nasa kanang bahagi ay tinatawag libre.

Ngayon naniniwala kami na ang mga libreng hindi kilalang variable ay maaaring kumuha ng mga arbitrary na halaga, habang ang mga pangunahing hindi kilalang variable ay ipahahayag sa pamamagitan ng mga libreng hindi kilalang variable sa isang natatanging paraan. Ang kanilang expression ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang SLAE gamit ang Cramer method, ang matrix method, o ang Gauss method.

Tingnan natin ito sa isang halimbawa.

Halimbawa.

Lutasin ang isang sistema ng mga linear algebraic equation .

Solusyon.

Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix ng system sa pamamagitan ng paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Kunin natin ang 1 1 = 1 bilang non-zero minor ng unang order. Simulan natin ang paghahanap para sa isang hindi zero na menor de edad ng pangalawang order na malapit sa menor de edad na ito:


Ito ay kung paano namin nakita ang isang non-zero minor ng pangalawang order. Simulan natin ang paghahanap ng non-zero bordering minor ng ikatlong order:


Kaya, ang ranggo ng pangunahing matrix ay tatlo. Ang ranggo ng pinalawig na matrix ay katumbas din ng tatlo, iyon ay, ang sistema ay pare-pareho.

Isinasaalang-alang namin ang nahanap na di-zero minor ng ikatlong order bilang batayan ng isa.

Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang mga elemento na bumubuo sa batayang minor:


Iniiwan namin ang mga terminong kasangkot sa batayang minor sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system, at inilipat ang natitira na may magkasalungat na mga palatandaan sa kanang bahagi:


Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable na x 2 at x 5 na mga arbitrary na halaga, ibig sabihin, tinatanggap natin , kung saan ang mga arbitrary na numero. Sa kasong ito, kukunin ng SLAE ang form


Lutasin natin ang nagreresultang elementarya na sistema ng mga linear algebraic equation gamit ang paraan ng Cramer:


Kaya naman, .

Sa iyong sagot, huwag kalimutang ipahiwatig ang mga libreng hindi kilalang variable.

Sagot:

Nasaan ang mga arbitrary na numero.

Ibuod.

Upang malutas ang isang sistema ng pangkalahatang linear algebraic equation, una naming tinutukoy ang pagiging tugma nito gamit ang Kronecker–Capelli theorem. Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay hindi katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay napagpasyahan namin na ang sistema ay hindi tugma.

Kung ang ranggo ng pangunahing matrix ay katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix, pagkatapos ay pumili kami ng isang batayang menor at itapon ang mga equation ng sistema na hindi nakikilahok sa pagbuo ng napiling batayang menor.

Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang variable, kung gayon ang SLAE ay may natatanging solusyon, na maaaring matagpuan sa pamamagitan ng anumang paraan na alam natin.

Kung ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi kilalang variable, pagkatapos ay sa kaliwang bahagi ng mga equation ng system ay iniiwan namin ang mga termino na may pangunahing hindi kilalang mga variable, ilipat ang natitirang mga termino sa kanang bahagi at bigyan ng mga arbitrary na halaga sa ang mga libreng hindi kilalang variable. Mula sa nagresultang sistema ng mga linear equation ay makikita natin ang pangunahing hindi kilalang mga variable gamit ang Cramer method, ang matrix method o ang Gauss method.

Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ng pangkalahatang anyo.

Ang Gauss method ay maaaring gamitin upang malutas ang mga sistema ng linear algebraic equation ng anumang uri nang hindi muna sinusubukan ang mga ito para sa consistency. Ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang variable ay ginagawang posible upang makagawa ng isang konklusyon tungkol sa parehong compatibility at incompatibility ng SLAE, at kung mayroong isang solusyon, ginagawang posible na mahanap ito.

Mula sa isang computational point of view, ang Gaussian method ay mas mainam.

Tingnan ang detalyadong paglalarawan nito at sinuri na mga halimbawa sa artikulong Gauss method para sa paglutas ng mga sistema ng pangkalahatang linear algebraic equation.

Pagsusulat ng pangkalahatang solusyon sa homogenous at inhomogeneous na linear algebraic system gamit ang mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon.

Sa seksyong ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa sabay-sabay na homogenous at inhomogeneous na mga sistema ng mga linear algebraic equation na may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Hayaan muna natin ang mga homogenous na sistema.

Pangunahing sistema ng mga solusyon homogenous system ng p linear algebraic equation na may n hindi kilalang variable ay isang koleksyon ng (n – r) linearly independent solutions ng system na ito, kung saan ang r ay ang order ng batayang minor ng pangunahing matrix ng system.

Kung tinutukoy natin ang mga linearly independent na solusyon ng isang homogenous na SLAE bilang X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) ay columnar matrices ng dimensyon n sa pamamagitan ng 1), pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na sistemang ito ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga vector ng pangunahing sistema ng mga solusyon na may mga di-makatwirang pare-parehong coefficient C 1, C 2, ..., C (n-r), na ay, .

Ano ang ibig sabihin ng terminong pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng mga linear algebraic equation (oroslau)?

Ang kahulugan ay simple: ang formula ay tumutukoy sa lahat ng posibleng solusyon ng orihinal na SLAE, sa madaling salita, kumukuha ng anumang hanay ng mga halaga ng mga di-makatwirang constants C 1, C 2, ..., C (n-r), gamit ang formula na gagawin namin. kumuha ng isa sa mga solusyon ng orihinal na homogenous na SLAE.

Kaya, kung makakita tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, maaari nating tukuyin ang lahat ng solusyon ng homogenous na SLAE na ito bilang .

Ipakita natin ang proseso ng pagbuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na SLAE.

Pinipili namin ang batayang minor ng orihinal na sistema ng mga linear na equation, ibubukod ang lahat ng iba pang equation mula sa system at ilipat ang lahat ng mga terminong naglalaman ng mga libreng hindi kilalang variable sa kanang bahagi ng mga equation ng system na may magkasalungat na mga palatandaan. Bigyan natin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga 1,0,0,...,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam sa pamamagitan ng paglutas ng nagresultang elementarya na sistema ng mga linear na equation sa anumang paraan, halimbawa, gamit ang paraan ng Cramer. Magreresulta ito sa X (1) - ang unang solusyon ng pangunahing sistema. Kung bibigyan natin ang mga libreng hindi alam ng mga halaga 0,1,0,0,…,0 at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, makakakuha tayo ng X (2). At iba pa. Kung itatalaga namin ang mga halaga 0.0,…,0.1 sa mga libreng hindi kilalang variable at kalkulahin ang mga pangunahing hindi alam, nakukuha namin ang X (n-r) . Sa ganitong paraan, ang isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa isang homogenous na SLAE ay bubuo at ang pangkalahatang solusyon nito ay maaaring isulat sa form .

Para sa mga inhomogeneous system ng linear algebraic equation, ang pangkalahatang solusyon ay kinakatawan sa anyo , kung saan ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang homogenous system, at ang partikular na solusyon ng orihinal na inhomogeneous na SLAE, na nakukuha natin sa pamamagitan ng pagbibigay sa mga libreng hindi alam ng mga halaga ​​0,0,…,0 at pagkalkula ng mga halaga ng mga pangunahing hindi alam.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Hanapin ang pangunahing sistema ng mga solusyon at ang pangkalahatang solusyon ng isang homogenous na sistema ng linear algebraic equation .

Solusyon.

Ang ranggo ng pangunahing matrix ng mga homogenous na sistema ng mga linear na equation ay palaging katumbas ng ranggo ng pinalawig na matrix. Hanapin natin ang ranggo ng pangunahing matrix gamit ang paraan ng hangganan ng mga menor de edad. Bilang isang non-zero minor ng unang order, kinukuha namin ang elemento a 1 1 = 9 ng pangunahing matrix ng system. Hanapin natin ang bordering non-zero minor ng pangalawang order:

Ang isang menor de edad ng pangalawang order, naiiba sa zero, ay natagpuan. Tingnan natin ang mga third-order na menor de edad na nasa hangganan nito sa paghahanap ng hindi zero one:

Ang lahat ng third-order bordering minors ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang ranggo ng main at extended matrix ay katumbas ng dalawa. Kunin natin . Para sa kalinawan, tandaan natin ang mga elemento ng system na bumubuo nito:

Ang ikatlong equation ng orihinal na SLAE ay hindi nakikilahok sa pagbuo ng batayang minor, samakatuwid, maaari itong ibukod:

Iniiwan namin ang mga terminong naglalaman ng mga pangunahing hindi alam sa kanang bahagi ng mga equation, at inililipat ang mga terminong may mga libreng hindi alam sa kanang bahagi:

Bumuo tayo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon sa orihinal na homogenous na sistema ng mga linear equation. Ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng SLAE na ito ay binubuo ng dalawang solusyon, dahil ang orihinal na SLAE ay naglalaman ng apat na hindi kilalang variable, at ang pagkakasunud-sunod ng batayang minor nito ay katumbas ng dalawa. Upang mahanap ang X (1), binibigyan namin ang mga libreng hindi kilalang variable ng mga halaga x 2 = 1, x 4 = 0, pagkatapos ay nakita namin ang mga pangunahing hindi alam mula sa sistema ng mga equation
.

Mas maaasahan kaysa sa graphical na pamamaraan na tinalakay sa nakaraang talata.

Pamamaraan ng pagpapalit

Ginamit namin ang paraang ito sa ika-7 baitang upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Ang algorithm na binuo sa ika-7 baitang ay medyo angkop para sa paglutas ng mga sistema ng anumang dalawang equation (hindi kinakailangang linear) na may dalawang variable na x at y (siyempre, ang mga variable ay maaaring italaga ng iba pang mga titik, na hindi mahalaga). Sa katunayan, ginamit namin ang algorithm na ito sa nakaraang talata, kapag ang problema ng isang dalawang-digit na numero ay humantong sa isang modelo ng matematika, na isang sistema ng mga equation. Nalutas namin ang sistemang ito ng mga equation sa itaas gamit ang paraan ng pagpapalit (tingnan ang halimbawa 1 mula sa § 4).

Isang algorithm para sa paggamit ng paraan ng pagpapalit kapag nilulutas ang isang sistema ng dalawang equation na may dalawang variable na x, y.

1. Ipahayag ang y sa mga tuntunin ng x mula sa isang equation ng system.
2. Palitan ang resultang expression sa halip na y sa isa pang equation ng system.
3. Lutasin ang resultang equation para sa x.
4. Palitan naman ang bawat ugat ng equation na matatagpuan sa ikatlong hakbang sa halip na x sa expression na y hanggang x na nakuha sa unang hakbang.
5. Isulat ang sagot sa anyo ng mga pares ng mga halaga (x; y), na matatagpuan sa ikatlo at ikaapat na hakbang, ayon sa pagkakabanggit.

4) Palitan ng isa-isa ang bawat isa sa mga nahanap na halaga ng y sa formula x = 5 - 3. Kung noon
5) Mga pares (2; 1) at mga solusyon sa isang ibinigay na sistema ng mga equation.

Sagot: (2; 1);

Algebraic na paraan ng pagdaragdag

Ang pamamaraang ito, tulad ng paraan ng pagpapalit, ay pamilyar sa iyo mula sa kursong algebra sa ika-7 baitang, kung saan ginamit ito upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation. Alalahanin natin ang kakanyahan ng pamamaraan gamit ang sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 2. Lutasin ang sistema ng mga equation

I-multiply natin ang lahat ng termino ng unang equation ng system sa 3, at iwanan ang pangalawang equation na hindi nagbabago:
Ibawas ang pangalawang equation ng system mula sa unang equation nito:

Bilang resulta ng algebraic na pagdaragdag ng dalawang equation ng orihinal na sistema, nakuha ang isang equation na mas simple kaysa sa una at pangalawang equation ng ibinigay na sistema. Sa mas simpleng equation na ito ay may karapatan kaming palitan ang anumang equation ng isang ibinigay na sistema, halimbawa ang pangalawa. Pagkatapos ang ibinigay na sistema ng mga equation ay papalitan ng isang mas simpleng sistema:

Ang sistemang ito ay maaaring malutas gamit ang paraan ng pagpapalit. Mula sa pangalawang equation nakita namin. Ang pagpapalit ng expression na ito sa halip na y sa unang equation ng system, nakukuha namin

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng x sa formula

Kung x = 2 kung gayon

Kaya, nakakita kami ng dalawang solusyon sa system:

Paraan para sa pagpapakilala ng mga bagong variable

Ipinakilala ka sa paraan ng pagpapakilala ng bagong variable kapag nilulutas ang mga rational equation na may isang variable sa kursong algebra sa ika-8 baitang. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation ay pareho, ngunit mula sa isang teknikal na punto ng view mayroong ilang mga tampok na tatalakayin natin sa mga sumusunod na halimbawa.

Halimbawa 3. Lutasin ang sistema ng mga equation

Magpakilala tayo ng bagong variable. Pagkatapos ay maaaring muling isulat ang unang equation ng system sa mas simpleng anyo: Lutasin natin ang equation na ito kaugnay ng variable t:

Pareho sa mga halagang ito ay nakakatugon sa kondisyon at samakatuwid ay ang mga ugat ng isang rational equation na may variable t. Ngunit nangangahulugan ito kung saan natin makikita na x = 2y, o
Kaya, gamit ang paraan ng pagpapakilala ng isang bagong variable, nagawa naming "pagsapin-sapin" ang unang equation ng system, na medyo kumplikado sa hitsura, sa dalawang mas simpleng equation:

x = 2 y; y - 2x.

Anong susunod? At pagkatapos ang bawat isa sa dalawang simpleng equation na nakuha ay dapat isaalang-alang sa turn sa isang sistema na may equation x 2 - y 2 = 3, na hindi pa natin naaalala. Sa madaling salita, ang problema ay bumababa sa paglutas ng dalawang sistema ng mga equation:

Kailangan nating maghanap ng mga solusyon sa unang sistema, ang pangalawang sistema at isama ang lahat ng mga resultang pares ng mga halaga sa sagot. Lutasin natin ang unang sistema ng mga equation:

Gamitin natin ang paraan ng pagpapalit, lalo na't handa na ang lahat para dito: palitan natin ang expression na 2y sa halip na x sa pangalawang equation ng system. Nakukuha namin

Dahil ang x = 2y, nakita namin, ayon sa pagkakabanggit, x 1 = 2, x 2 = 2. Kaya, dalawang solusyon ng ibinigay na sistema ang nakuha: (2; 1) at (-2; -1). Lutasin natin ang pangalawang sistema ng mga equation:

Gamitin nating muli ang paraan ng pagpapalit: palitan ang expression na 2x sa halip na y sa pangalawang equation ng system. Nakukuha namin

Ang equation na ito ay walang mga ugat, na nangangahulugan na ang sistema ng mga equation ay walang mga solusyon. Kaya, ang mga solusyon lamang ng unang sistema ang kailangang isama sa sagot.

Sagot: (2; 1); (-2;-1).

Ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong variable kapag ang paglutas ng mga sistema ng dalawang equation na may dalawang variable ay ginagamit sa dalawang bersyon. Unang opsyon: isang bagong variable ang ipinakilala at ginagamit sa isang equation lamang ng system. Ganito mismo ang nangyari sa halimbawa 3. Pangalawang opsyon: dalawang bagong variable ang ipinakilala at ginamit nang sabay-sabay sa parehong mga equation ng system. Ito ang magiging kaso sa halimbawa 4.

Halimbawa 4. Lutasin ang sistema ng mga equation

Ipakilala natin ang dalawang bagong variable:

Isaalang-alang natin iyon kung gayon

Papayagan ka nitong muling isulat ang ibinigay na sistema sa isang mas simpleng anyo, ngunit may kinalaman sa mga bagong variable na a at b:

Dahil ang a = 1, pagkatapos ay mula sa equation na a + 6 = 2 makikita natin ang: 1 + 6 = 2; 6=1. Kaya, tungkol sa mga variable a at b, nakakuha kami ng isang solusyon:

Pagbabalik sa mga variable na x at y, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation

Ilapat natin ang paraan ng algebraic na karagdagan upang malutas ang sistemang ito:

Mula noon mula sa equation na 2x + y = 3 nakita namin:
Kaya, tungkol sa mga variable na x at y, nakakuha kami ng isang solusyon:

Tapusin natin ang talatang ito sa isang maikli ngunit seryosong teoretikal na pag-uusap. Nakakuha ka na ng ilang karanasan sa paglutas ng iba't ibang equation: linear, quadratic, rational, irrational. Alam mo na ang pangunahing ideya ng paglutas ng isang equation ay ang unti-unting paglipat mula sa isang equation patungo sa isa pa, mas simple, ngunit katumbas ng ibinigay na isa. Sa nakaraang talata ipinakilala namin ang konsepto ng equivalence para sa mga equation na may dalawang variable. Ginagamit din ang konseptong ito para sa mga sistema ng mga equation.

Kahulugan.

Dalawang sistema ng mga equation na may mga variable na x at y ay tinatawag na katumbas kung mayroon silang parehong mga solusyon o kung ang parehong mga sistema ay walang mga solusyon.

Ang lahat ng tatlong pamamaraan (pagpapalit, algebraic na pagdaragdag at pagpapakilala ng mga bagong variable) na aming tinalakay sa seksyong ito ay ganap na tama mula sa punto ng view ng equivalence. Sa madaling salita, gamit ang mga pamamaraang ito, pinapalitan namin ang isang sistema ng mga equation ng isa pa, mas simple, ngunit katumbas ng orihinal na sistema.

Graphical na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation

Natutunan na natin kung paano lutasin ang mga sistema ng mga equation sa mga karaniwan at maaasahang paraan gaya ng paraan ng pagpapalit, pagdaragdag ng algebraic at ang pagpapakilala ng mga bagong variable. Ngayon ay alalahanin natin ang pamamaraan na iyong napag-aralan sa nakaraang aralin. Ibig sabihin, ulitin natin ang alam mo tungkol sa paraan ng graphical na solusyon.

Ang pamamaraan ng paglutas ng mga sistema ng mga equation ay graphically ay nagsasangkot ng pagbuo ng isang graph para sa bawat isa sa mga tiyak na equation na kasama sa isang naibigay na sistema at matatagpuan sa parehong coordinate plane, pati na rin kung saan kinakailangan upang mahanap ang mga intersection ng mga punto ng mga ito. mga graph. Upang malutas ang sistemang ito ng mga equation ay ang mga coordinate ng puntong ito (x; y).

Dapat tandaan na karaniwan para sa isang graphical na sistema ng mga equation na magkaroon ng alinman sa isang solong tamang solusyon, o isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, o walang mga solusyon sa lahat.

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa mga solusyong ito nang mas detalyado. Kaya, ang isang sistema ng mga equation ay maaaring magkaroon ng isang natatanging solusyon kung ang mga linya na ang mga graph ng mga equation ng system ay magsalubong. Kung ang mga linyang ito ay magkatulad, kung gayon ang gayong sistema ng mga equation ay ganap na walang mga solusyon. Kung ang mga direktang graph ng mga equation ng system ay nag-tutugma, kung gayon ang ganitong sistema ay nagpapahintulot sa isa na makahanap ng maraming mga solusyon.

Well, ngayon tingnan natin ang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng dalawang equation na may 2 hindi alam gamit ang isang graphical na pamamaraan:

Una, bumuo muna tayo ng graph ng 1st equation;
Ang pangalawang hakbang ay ang pagbuo ng isang graph na nauugnay sa pangalawang equation;
Pangatlo, kailangan nating hanapin ang mga intersection point ng mga graph.
At bilang resulta, nakukuha natin ang mga coordinate ng bawat intersection point, na magiging solusyon sa sistema ng mga equation.

Tingnan natin ang pamamaraang ito nang mas detalyado gamit ang isang halimbawa. Binigyan tayo ng isang sistema ng mga equation na kailangang lutasin:

Paglutas ng mga equation

1. Una, bubuo tayo ng graph ng equation na ito: x2+y2=9.

Ngunit dapat tandaan na ang graph na ito ng mga equation ay magiging isang bilog na may sentro sa pinanggalingan, at ang radius nito ay magiging katumbas ng tatlo.

2. Ang susunod nating hakbang ay ang pag-graph ng isang equation tulad ng: y = x – 3.

Sa kasong ito, dapat tayong bumuo ng isang tuwid na linya at hanapin ang mga puntos (0;−3) at (3;0).

3. Tingnan natin kung ano ang nakuha natin. Nakikita natin na ang tuwid na linya ay nag-intersect sa bilog sa dalawa sa mga punto nito A at B.

Ngayon hinahanap namin ang mga coordinate ng mga puntong ito. Nakikita namin na ang mga coordinate (3;0) ay tumutugma sa punto A, at ang mga coordinate (0;−3) ay tumutugma sa punto B.

At ano ang makukuha natin bilang resulta?

Ang mga numero (3;0) at (0;−3) na nakuha kapag ang linya ay nag-intersect sa bilog ay tiyak na mga solusyon sa parehong mga equation ng system. At mula rito ay sumusunod na ang mga numerong ito ay mga solusyon din sa sistemang ito ng mga equation.

Ibig sabihin, ang sagot sa solusyon na ito ay ang mga numero: (3;0) at (0;−3).

Linear equation – isang equation ng anyong a x = b, kung saan ang x ay variable, a at b ang ilang numero, at a ≠ 0.

Mga halimbawa ng linear equation:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Ang mga linear na equation ay tinatawag na hindi lamang mga equation ng form a x = b, kundi pati na rin ang anumang mga equation na, sa tulong ng mga pagbabagong-anyo at pagpapasimple, ay nabawasan sa form na ito.

Paano malutas ang mga equation na nabawasan sa anyo a x = b? Ito ay sapat na upang hatiin ang kaliwa at kanang bahagi ng equation sa pamamagitan ng halaga a. Bilang resulta, nakuha natin ang sagot: x = b a.

Paano makilala kung ang isang arbitrary na equation ay linear o hindi? Kailangan mong bigyang-pansin ang variable na naroroon dito. Kung ang nangungunang kapangyarihan ng isang variable ay katumbas ng isa, kung gayon ang naturang equation ay isang linear equation.

Upang malutas ang linear equation , kailangan mong buksan ang mga bracket (kung mayroon man), ilipat ang mga "X" sa kaliwang bahagi, ang mga numero sa kanan, at magdala ng mga katulad na termino. Ang resulta ay isang equation ng anyong a x = b. Ang solusyon sa linear equation na ito ay: x = b a.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear na equation:

1. 2 x + 1 = 2 (x − 3) + 8

Ito ay isang linear equation dahil ang variable ay nasa unang kapangyarihan.

Subukan nating ibahin ito sa anyo na a x = b:

Una, buksan natin ang mga bracket:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

Ang lahat ng mga terminong may x ay inililipat sa kaliwang bahagi, at mga numero sa kanan:

2 x − 4 x = 2 − 1

Ngayon, hatiin natin ang kaliwa at kanang bahagi ng numero (-2):

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0.5

Sagot: x = − 0.5

1. x 2 − 1 = 0

Ang equation na ito ay hindi isang linear equation dahil ang pinakamataas na kapangyarihan ng variable na x ay dalawa.

1. x (x + 3) − 8 = x − 1

Ang equation na ito ay mukhang linear sa unang tingin, ngunit pagkatapos buksan ang mga panaklong, ang nangungunang kapangyarihan ay magiging katumbas ng dalawa:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Ang equation na ito ay hindi isang linear equation.

Mga espesyal na kaso(hindi sila nakatagpo sa gawain 4 ng OGE, ngunit kapaki-pakinabang na malaman ang mga ito)

Mga halimbawa:

1. 2 x − 4 = 2 (x − 2)

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

At paano natin hahanapin ang x dito kung wala ito? Pagkatapos isagawa ang mga pagbabago, natanggap namin ang tamang pagkakapantay-pantay (pagkakakilanlan), na hindi nakadepende sa halaga ng variable na x. Anuman ang halaga ng x na ihahalili natin sa orihinal na equation, ang resulta ay palaging nagreresulta sa tamang pagkakapantay-pantay (pagkakakilanlan). Nangangahulugan ito na ang x ay maaaring maging anumang numero. Isulat natin ang sagot sa linear equation na ito.

Sagot: x ∈ (− ∞ ;  + ∞)

1. 2 x − 4 = 2 (x − 8)

Ito ay isang linear equation. Buksan natin ang mga bracket, ilipat ang mga X sa kaliwa, mga numero sa kanan:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

Bilang resulta ng mga pagbabago, ang x ay nabawasan, ngunit ang resulta ay isang hindi tamang pagkakapantay-pantay, dahil. Anuman ang halaga ng x na ipalit natin sa orihinal na equation, ang resulta ay palaging magiging maling pagkakapantay-pantay. Nangangahulugan ito na walang mga halaga ng x kung saan ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo. Isulat natin ang sagot sa linear equation na ito.

Sagot: x ∈ ∅

Quadratic equation

Quadratic equation – isang equation ng anyong a x 2 + b x + c = 0, kung saan ang x ay variable, a, b at c ang ilang numero, at a ≠ 0.

Algorithm para sa paglutas ng isang quadratic equation:

1. Buksan ang mga bracket, ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi upang ang equation ay makuha ang form: a x 2 + b x + c = 0
2. Isulat kung ano ang katumbas ng mga coefficient sa mga numero: a = … b = … c = …
3. Kalkulahin ang discriminant gamit ang formula: D = b 2 − 4 a c
4. Kung D > 0, magkakaroon ng dalawang magkaibang ugat, na makikita sa pamamagitan ng formula: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Kung D = 0, magkakaroon ng isang ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula: x = − b 2 a
6. Kung si D< 0, решений нет: x ∈ ∅

Mga halimbawa ng paglutas ng isang quadratic equation:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – magkakaroon ng dalawang magkaibang ugat:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ (− 1) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 6 − − 2 = − 6 − − = − 14 − 2 = 7

Sagot: x 1 = − 1, x 2 = 7

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ (− 1) ⋅ (− 4) = 16 − 16 = 0

D = 0 - magkakaroon ng isang ugat:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ (− 1) = − 4 − 2 = 2

Sagot: x = 2

1. 2 x 2 − 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = (− 7) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D< 0 – решений нет.

Sagot: x ∈ ∅

Meron din hindi kumpletong quadratic equation (ito ay mga quadratic equation kung saan ang b = 0, o c = 0, o b = c = 0). Panoorin ang video kung paano lutasin ang mga quadratic equation na ito!

Pag-factor ng isang quadratic trinomial

Ang square trinomial ay maaaring i-factor tulad ng sumusunod:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

kung saan ang a ay isang numero, isang coefficient bago ang nangungunang coefficient,

x – variable (i.e. letra),

Ang x 1 at x 2 ay mga numero, mga ugat ng quadratic equation a x 2 + b x + c = 0, na matatagpuan sa pamamagitan ng discriminant.

Kung ang isang quadratic equation ay may isang ugat lamang, ang pagpapalawak ay ganito ang hitsura:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

Mga halimbawa ng factoring ng isang quadratic trinomial:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,  x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

Kung ang quadratic trinomial ay hindi kumpleto, ((b = 0 o c = 0) kung gayon maaari itong i-factorize sa mga sumusunod na paraan:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ mag-aplay para sa pagkakaiba ng mga parisukat.

Fractional rational equation

Hayaang maging ilang function ang f (x) at g (x) depende sa variable na x.

Fractional rational equation ay isang equation ng anyong f (x) g (x) = 0.

Upang malutas ang isang fractional rational equation, kailangan nating tandaan kung ano ang ODZ at kung kailan ito nangyayari.

ODZ– hanay ng mga pinahihintulutang halaga ng variable.

Sa isang pagpapahayag ng anyong f (x) g (x) = 0

ODZ: g (x) ≠ 0 (ang denominator ng fraction ay hindi maaaring katumbas ng zero).

Algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation:

1. Isulat ang ODZ: g (x) ≠ 0.
2. I-equate ang numerator ng fraction sa zero f (x) = 0 at hanapin ang mga ugat.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang fractional rational equation:

Lutasin ang fractional rational equation x 2 − 4 2 − x = 1.

Solusyon:

Kikilos tayo alinsunod sa algorithm.

1. Bawasan ang expression sa anyong f (x) g (x) = 0.

Inilipat namin ang yunit sa kaliwang bahagi, sumulat ng karagdagang kadahilanan dito upang dalhin ang parehong mga termino sa isang karaniwang denominator:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − (2 − x) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Matagumpay na nakumpleto ang unang hakbang ng algorithm.

1. Isulat ang ODZ:

Kino-frame namin ang ODZ, huwag kalimutan ang tungkol dito: x ≠ 2

1. I-equate ang numerator ng fraction sa zero f (x) = 0 at hanapin ang mga ugat:

x 2 + x − 6 = 0 – Quadratic equation. Malutas namin sa pamamagitan ng discriminant.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 6) = 1 + 24 = 25

D > 0 – magkakaroon ng dalawang magkaibang ugat.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 6 2 = −

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

1. Ipahiwatig sa iyong sagot ang mga ugat mula sa numerator, hindi kasama ang mga ugat na nahuhulog sa ODZ.

Mga ugat na nakuha sa nakaraang hakbang:

[ x 1 = 2 x 2 = − 3

Nangangahulugan ito na ang sagot ay naglalaman lamang ng isang ugat, x = − 3.

Sagot: x = − 3.

Mga sistema ng equation

Sistema ng mga equation tumawag ng dalawang equation na may dalawang hindi alam (kadalasan ang mga hindi alam ay tinutukoy na x at y), na pinagsama sa isang karaniwang sistema ng isang kulot na brace.

Halimbawa ng isang sistema ng mga equation

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Lutasin ang sistema ng mga equation – humanap ng isang pares ng mga numerong x at y, na, kapag ipinalit sa sistema ng mga equation, ay bumubuo ng isang tunay na pagkakapantay-pantay sa parehong mga equation ng system.

Mayroong dalawang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation:

1. Pamamaraan ng pagpapalit.
2. Paraan ng pagdaragdag.

Algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit:

1. Hanapin ang natitirang hindi alam.

Halimbawa:

Lutasin ang isang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagpapalit

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Solusyon:

1. Ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa anumang equation.

( x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

1. Palitan ang nagresultang halaga sa isa pang equation sa halip na ang ipinahayag na variable.

( x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

( x = 8 − 2 y 3 (8 − 2 y) − y = − 4

1. Lutasin ang isang equation na may isang hindi alam.

3 (8 − 2 y) − y = − 4

24 − 6 y − y = − 4

− 7 y = − 4 − 24

− 7 y = − 28

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Hanapin ang natitirang hindi alam.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ang sagot ay maaaring isulat sa isa sa tatlong paraan:

1. x = 0, y = 4
2. ( x = 0 y = 4
3. (0 ;   4)

Paglutas ng isang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag.

Ang paraan ng pagdaragdag ay batay sa sumusunod na katangian:

(a + c) = (b + d)

Ang ideya sa likod ng paraan ng pagdaragdag ay upang alisin ang isa sa mga variable sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga equation nang magkasama.

Halimbawa:

Lutasin ang isang sistema ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag

( x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

Alisin natin ang x variable sa halimbawang ito. Ang kakanyahan ng pamamaraan ay ang pagkakaroon ng magkasalungat na coefficient sa harap ng variable na x sa una at pangalawang equation. Sa pangalawang equation, ang x ay nauuna sa isang koepisyent ng 3. Upang gumana ang paraan ng pagdaragdag, ang variable na x ay dapat may isang koepisyent (− 3) sa harap nito. Upang gawin ito, i-multiply ang kaliwa at kanang bahagi ng unang equation sa pamamagitan ng (− 3) .

Lutasin ang sistema na may dalawang hindi alam - nangangahulugan ito ng paghahanap ng lahat ng mga pares ng mga variable na halaga na nakakatugon sa bawat isa sa mga ibinigay na equation. Ang bawat ganoong pares ay tinatawag solusyon sa sistema.

Halimbawa:
Ang pares ng mga halaga \(x=3\);\(y=-1\) ay isang solusyon sa unang sistema, dahil kapag pinapalitan ang mga tatlo at minus na ito sa halip na \(x\) at \(y \), ang parehong mga equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases)\)

Ngunit \(x=1\); \(y=-2\) - ay hindi solusyon sa unang sistema, dahil pagkatapos ng pagpapalit ang pangalawang equation ay "hindi nagtatagpo" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)

Tandaan na ang mga ganitong pares ay kadalasang isinusulat nang mas maikli: sa halip na "\(x=3\); \(y=-1\)" sumusulat sila ng ganito: \((3;-1)\).

Paano malutas ang isang sistema ng mga linear na equation?

Mayroong tatlong pangunahing paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation:

1. Pamamaraan ng pagpapalit.

1. \(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)

   Sa pangalawang equation, ang bawat termino ay pantay, kaya pinapasimple namin ang equation sa pamamagitan ng paghahati nito sa \(2\).
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)

   Ang sistemang ito ng mga linear na equation ay maaaring malutas sa alinman sa mga sumusunod na paraan, ngunit tila sa akin na ang paraan ng pagpapalit ay ang pinaka-maginhawa dito. Ipahayag natin ang y mula sa pangalawang equation.
   

   \(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   I-substitute natin ang \(6x-13\) sa halip na \(y\) sa unang equation.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ang unang equation ay naging isang ordinaryong equation. Solusyonan natin ito.

   Una, buksan natin ang mga bracket.
   

   \(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   Ilipat natin ang \(117\) sa kanan at ipakita ang mga katulad na termino.

   \(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hatiin natin ang magkabilang panig ng unang equation sa \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Hurray, nakita namin ang \(x\)! I-substitute natin ang halaga nito sa pangalawang equation at hanapin ang \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Isulat natin ang sagot.

Ipinakilala ng artikulo ang konsepto ng pagtukoy ng isang sistema ng mga equation at ang solusyon nito. Isasaalang-alang ang mga madalas na nakakaharap na kaso ng mga solusyon sa system. Ang mga halimbawang ibinigay ay makakatulong na ipaliwanag ang solusyon nang detalyado.

Kahulugan ng isang sistema ng mga equation

Upang magpatuloy sa pagtukoy ng isang sistema ng mga equation, kailangan mong bigyang pansin ang dalawang punto: ang uri ng talaan at ang kahulugan nito. Upang maunawaan ito, kailangan nating talakayin nang detalyado ang bawat isa sa mga uri, pagkatapos ay makarating tayo sa kahulugan ng mga sistema ng mga equation.

Halimbawa, kunin natin ang dalawang equation na 2 x + y = − 3 at x = 5, at pagkatapos ay pagsamahin ang mga ito sa isang kulot na brace tulad nito:

2 x + y = - 3, x = 5.

Ang mga equation na pinagsama ng mga kulot na brace ay itinuturing na mga talaan ng mga sistema ng mga equation. Tinutukoy nila ang mga hanay ng mga solusyon sa mga equation ng isang ibinigay na sistema. Ang bawat solusyon ay dapat na isang solusyon sa lahat ng ibinigay na equation.

Sa madaling salita, nangangahulugan ito na ang anumang mga solusyon sa unang equation ay magiging mga solusyon sa lahat ng equation na pinagsama ng system.

Kahulugan 1

Mga sistema ng equation- ito ay isang tiyak na bilang ng mga equation, pinagsama ng isang curly brace, pagkakaroon ng maraming mga solusyon sa mga equation, na sabay-sabay na mga solusyon para sa buong system.

Mga pangunahing uri ng mga sistema ng mga equation

Mayroong napakaraming uri ng mga equation, pati na rin ang mga sistema ng mga equation. Upang gawing maginhawa ang paglutas at pag-aaral, sila ay nahahati sa mga grupo ayon sa ilang mga katangian. Makakatulong ito sa pagsasaalang-alang ng mga sistema ng mga equation ng mga indibidwal na uri.

Upang magsimula, ang mga equation ay inuri ayon sa bilang ng mga equation. Kung mayroon lamang isang equation, kung gayon ito ay isang ordinaryong equation; kung mayroong higit pa, kung gayon tayo ay nakikitungo sa isang sistema na binubuo ng dalawa o higit pang mga equation.

Ang isa pang pag-uuri ay may kinalaman sa bilang ng mga variable. Kapag ang bilang ng mga variable ay 1, sinasabi namin na kami ay nakikitungo sa isang sistema ng mga equation na may isang hindi alam, kapag 2 - na may dalawang variable. Tingnan natin ang isang halimbawa

x + y = 5, 2 x - 3 y = 1

Malinaw, ang sistema ng mga equation ay kinabibilangan ng dalawang variable na x at y.

Kapag nagsusulat ng mga naturang equation, binibilang ang bilang ng lahat ng variable na nasa talaan. Ang kanilang presensya sa bawat equation ay hindi kinakailangan. Dapat may isang variable man lang ang isang equation. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang sistema ng mga equation

2 x = 11, x - 3 z 2 = 0, 2 7 x + y - z = - 3

Ang sistemang ito ay may 3 variable na x, y, z. Ang unang equation ay may tahasang x at implicit y at z. Ang mga implicit na variable ay mga variable na mayroong 0 sa coefficient. Ang pangalawang equation ay may x at z, at ang y ay isang implicit variable. Kung hindi, maaari itong isulat ng ganito

2 x + 0 y + 0 z = 11

At ang iba pang equation ay x + 0 · y − 3 · z = 0.

Ang ikatlong pag-uuri ng mga equation ay uri. Ang paaralan ay nagtuturo ng mga simpleng equation at sistema ng mga equation, simula sa mga sistema ng dalawang linear equation sa dalawang variable . Nangangahulugan ito na ang sistema ay may kasamang 2 linear na equation. Halimbawa, isaalang-alang

2 x - y = 1, x + 2 y = - 1 at - 3 x + y = 0. 5 , x + 2 2 3 y = 0

Ito ang mga pangunahing pinakasimpleng linear equation. Susunod, maaari kang makatagpo ng mga system na naglalaman ng 3 o higit pang mga hindi alam.

Sa ika-9 na baitang, nilulutas nila ang mga equation na may dalawang variable at nonlinear. Sa buong mga equation, ang antas ay nadagdagan upang madagdagan ang pagiging kumplikado. Ang ganitong mga sistema ay tinatawag na mga sistema ng nonlinear equation na may tiyak na bilang ng mga equation at hindi alam. Tingnan natin ang mga halimbawa ng gayong mga sistema

x 2 - 4 x y = 1, x - y = 2 at x = y 3 x y = - 5

Parehong mga system na may dalawang variable at pareho ay nonlinear.

Kapag nag-solve, maaari kang makakita ng mga fractional rational equation. Halimbawa

x + y = 3, 1 x + 1 y = 2 5

Maaari lamang nilang tawagin itong isang sistema ng mga equation nang hindi tinukoy kung alin. Ang uri ng system mismo ay bihirang tinukoy.

Ang mga matataas na grado ay nagpapatuloy sa pag-aaral ng mga irrational, trigonometriko at exponential equation. Halimbawa,

x + y - x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .

Ang mga institusyong mas mataas na edukasyon ay nag-aaral at nagsasaliksik ng mga solusyon sa mga sistema ng linear algebraic equation (SLAEs). Ang kaliwang bahagi ng naturang mga equation ay naglalaman ng mga polynomial na may unang degree, at ang kanang bahagi ay naglalaman ng ilang mga numero. Ang pagkakaiba sa mga paaralan ay ang bilang ng mga variable at ang bilang ng mga equation ay maaaring maging arbitrary, kadalasan ay hindi tumutugma.

Paglutas ng mga sistema ng mga equation

Kahulugan 2

Paglutas ng isang sistema ng mga equation na may dalawang variable ay isang pares ng mga variable na, kapag pinalitan, ginagawa ang bawat equation sa isang tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero, iyon ay, ito ay isang solusyon para sa bawat equation ng isang ibinigay na sistema.

Halimbawa, ang isang pares ng mga halaga x = 5 at y = 2 ay isang solusyon sa sistema ng mga equation x + y = 7, x - y = 3. Dahil kapag pinapalitan, ang mga equation ay nagiging tamang mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero 5 + 2 = 7 at 5 − 2 = 3. Kung papalitan natin ang pares x = 3 at y = 0, kung gayon ang sistema ay hindi malulutas, dahil ang pagpapalit ay hindi magbibigay ng tamang equation, ibig sabihin, nakakakuha tayo ng 3 + 0 = 7.

Bumuo tayo ng isang kahulugan para sa mga system na naglalaman ng isa o higit pang mga variable.

Kahulugan 3

Paglutas ng isang sistema ng mga equation na may isang variable– ito ang halaga ng variable, na siyang ugat ng mga equation ng system, na nangangahulugan na ang lahat ng mga equation ay mako-convert sa tamang numerical equalities.

Isaalang-alang natin ang halimbawa ng isang sistema ng mga equation na may isang variable t

t 2 = 4, 5 (t + 2) = 0

Ang numero - 2 ay isang solusyon sa equation, dahil ang (− 2) · 2 = 4, at 5 · (− 2 + 2) = 0 ay mga tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Sa t = 1, ang sistema ay hindi nalutas, dahil sa pagpapalit ay nakakakuha tayo ng dalawang maling pagkakapantay-pantay 12 = 4 at 5 · (1 + 2) = 0.

Kahulugan 4

Paglutas ng isang sistema na may tatlo o higit pang mga variable tinatawag nila ang tatlo, apat, at karagdagang mga halaga, ayon sa pagkakabanggit, na ginagawang tamang pagkakapantay-pantay ang lahat ng equation ng system.

Kung mayroon tayong mga halaga ng mga variable na x = 1, y = 2, z = 0, pagkatapos ay palitan ang mga ito sa sistema ng mga equation 2 · x = 2, 5 · y = 10, x + y + z = 3, nakukuha natin ang 2 · 1 = 2, 5 · 2 = 10 at 1 + 2 + 0 = 3. Nangangahulugan ito na ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero ay tama. At ang mga halaga (1, 0, 5) ay hindi magiging isang solusyon, dahil, kapag pinalitan ang mga halaga, ang pangalawa sa kanila ay magiging mali, pati na rin ang pangatlo: 5 0 = 10, 1 + 0 + 5 = 3.

Ang mga sistema ng mga equation ay maaaring walang mga solusyon sa lahat o isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng malalim na pag-aaral ng paksang ito. Maaari tayong makarating sa konklusyon na ang isang sistema ng mga equation ay ang intersection ng mga hanay ng mga solusyon sa lahat ng mga equation nito. Palawakin natin ang ilang mga kahulugan:

Kahulugan 5

Hindi magkatugma ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag kapag wala itong mga solusyon, kung hindi man ito ay tinatawag magkadugtong.

Kahulugan 6

Hindi sigurado tinatawag ang isang sistema kapag mayroon itong walang katapusang bilang ng mga solusyon, at tiyak na may isang tiyak na bilang ng mga solusyon o kung wala sila.

Ang ganitong mga termino ay bihirang ginagamit sa paaralan, dahil ang mga ito ay inilaan para sa mga programa ng mas mataas na institusyong pang-edukasyon. Ang pagiging pamilyar sa mga katumbas na sistema ay magpapalalim sa iyong umiiral na kaalaman sa paglutas ng mga sistema ng mga equation.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter