تعريف. نشور زجاجيهو متعدد السطوح، تقع جميع رؤوسه في مستويين متوازيين، وفي نفس المستويين يوجد وجهان للمنشور، وهما مضلعان متساويان مع جوانب متوازية مقابلة، وجميع الحواف التي لا تقع في هذه المستويات متوازية.

يتم استدعاء وجهين متساويين قواعد المنشور(ABCDE، أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1).

يتم استدعاء جميع الوجوه الأخرى للمنشور وجوه جانبية(AA 1 B 1 B، BB 1 C 1 C، CC 1 D 1 D، DD 1 E 1 E، EE 1 A 1 A).

تتشكل جميع الوجوه الجانبية السطح الجانبي للمنشور .

جميع الوجوه الجانبية للمنشور متوازية الأضلاع .

تسمى الحواف التي لا تقع عند القواعد بالحواف الجانبية للمنشور ( أأ 1, ب 1, سي سي 1, دي دي 1, إي 1).

المنشور قطري هو قطعة طرفاها رأسان لمنشور لا يقعان على وجه واحد (م 1).

يسمى طول القطعة التي تصل بين قاعدتي المنشور والمتعامدة مع القاعدتين في نفس الوقت ارتفاع المنشور .

تعيين:ABCDE أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1. (أولاً، في ترتيب الاجتياز، تتم الإشارة إلى رؤوس قاعدة واحدة، وبعد ذلك، بنفس الترتيب، يتم تحديد رؤوس قاعدة أخرى؛ ويتم تحديد نهايات كل حافة جانبية بنفس الحروف، ويتم تحديد القمم الموجودة في قاعدة واحدة فقط بالحروف بدون فهرس وفي الآخر - بفهرس)

يرتبط اسم المنشور بعدد زوايا الشكل الواقع عند قاعدته، على سبيل المثال، في الشكل 1 يوجد خماسي عند القاعدة، لذلك يسمى المنشور المنشور الخماسي. ولكن مثل هذا المنشور له 7 وجوه، ثم سباعي السطوح(2 وجهين - قواعد المنشور، 5 أوجه - متوازيات الأضلاع، - وجوهه الجانبية)

من بين المنشورات المستقيمة، يبرز نوع معين: المنشورات العادية.

يسمى المنشور المستقيم صحيح،إذا كانت قواعدها مضلعات منتظمة.

متوازي الأضلاع

مستطيلة متوازية- متوازي سطوح قائم قاعدته مستطيلة.

الخصائص والنظريات:

,

حيث d هو قطري المربع؛
أ هو جانب المربع.

يتم إعطاء فكرة المنشور بواسطة:

• الهياكل المعمارية المختلفة.
• ألعاب أطفال؛
• صناديق التعبئة والتغليف؛
• عناصر المصمم، الخ.

مساحة السطح الكلي والجانبي للمنشور

S كامل = جانب S + 2S رئيسي,

أين س كامل- المساحة الإجمالية، الجانب S-مساحة السطح الجانبية، قاعدة S- منطقة قاعدة

مساحة السطح الجانبية للمنشور المستقيم تساوي حاصل ضرب محيط القاعدة وارتفاع المنشور.

الجانب S= ف الأساسية * ح،

أين الجانب S-مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم،

P الرئيسية - محيط قاعدة المنشور المستقيم،

h هو ارتفاع المنشور المستقيم، ويساوي الحافة الجانبية.

حجم المنشور

حجم المنشور يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.

متعددات الوجوه

الهدف الرئيسي لدراسة القياس المجسم هو الأجسام المكانية. جسميمثل جزءًا من الفضاء محدودًا بسطح معين.

متعدد السطوحهو الجسم الذي يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة. يسمى متعدد السطوح محدبًا إذا كان موجودًا على جانب واحد من مستوى كل مضلع مستوي على سطحه. يسمى الجزء المشترك من هذا المستوى وسطح متعدد السطوح حافة. وجوه متعدد السطوح المحدب هي مضلعات محدبة مسطحة. وتسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوح، والقمم هي رؤوس متعدد السطوح.

على سبيل المثال، يتكون المكعب من ستة مربعات، وهي وجوهه. ويحتوي على 12 حرفًا (جوانب المربعات) و8 رؤوس (قمم المربعات).

أبسط متعددات الوجوه هي المنشورات والأهرامات، والتي سندرسها أكثر.

نشور زجاجي

تعريف وخصائص المنشور

نشور زجاجيهو متعدد السطوح يتكون من مضلعين مسطحين يقعان في مستويات متوازية يتم دمجهما عن طريق ترجمة متوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه المضلعات. يتم استدعاء المضلعات قواعد المنشور، والأجزاء التي تربط القمم المقابلة للمضلعات هي الحواف الجانبية للمنشور.

ارتفاع المنشوروتسمى المسافة بين مستويات قواعدها (). يسمى الجزء الذي يربط بين رأسين منشور لا ينتميان إلى نفس الوجه قطري المنشور(). يسمى المنشور ن الكربون، إذا كانت قاعدته تحتوي على n-gon.

يتمتع أي منشور بالخصائص التالية، الناتجة عن حقيقة أن قواعد المنشور يتم دمجها عن طريق الترجمة المتوازية:

1. قاعدتا المنشور متساويتان.

2. الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية.

يتكون سطح المنشور من قواعد و السطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي للمنشور من متوازيات الأضلاع (وهذا يتبع من خصائص المنشور). مساحة السطح الجانبي للمنشور هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية.

المنشور المستقيم

يسمى المنشور مستقيمإذا كانت حوافها الجانبية متعامدة مع القواعد. وإلا يسمى المنشور يميل.

وجوه المنشور الأيمن مستطيلة. ارتفاع المنشور المستقيم يساوي أوجهه الجانبية.

سطح المنشور الكاملويسمى مجموع مساحة السطح الجانبية ومساحات القواعد.

مع المنشور الصحيحيسمى المنشور القائم الذي يوجد في قاعدته مضلع منتظم.

نظرية 13.1. مساحة السطح الجانبي للمنشور المستقيم تساوي ناتج المحيط وارتفاع المنشور (أو، وهو نفس الشيء، بالحافة الجانبية).

دليل. الوجوه الجانبية للمنشور القائم هي مستطيلات، قواعدها هي جوانب المضلعات عند قواعد المنشور، وارتفاعاتها هي الحواف الجانبية للمنشور. ومن ثم، بحكم التعريف، مساحة السطح الجانبية هي:

,

أين محيط قاعدة المنشور المستقيم؟

متوازي الأضلاع

إذا كانت متوازيات الأضلاع تقع على قاعدة منشور، فإنها تسمى متوازي السطوح. جميع وجوه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع. في هذه الحالة، تكون الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

نظرية 13.2. تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

دليل. النظر في اثنين من الأقطار التعسفية، على سبيل المثال، و. لأن أوجه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع، ثم و، مما يعني أنه يوجد خطان مستقيمان موازيان للثالث. بالإضافة إلى ذلك، هذا يعني أن الخطوط المستقيمة تقع في نفس المستوى (الطائرة). يتقاطع هذا المستوى مع مستويات متوازية وعلى طول خطوط متوازية و . وهكذا فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع، ومن خاصية متوازي الأضلاع أن أقطاره تتقاطع وتنقسم إلى نصفين بنقطة التقاطع، وهذا هو ما يحتاج إلى إثبات.

يسمى متوازي السطوح الأيمن الذي قاعدته مستطيلة متوازي مستطيل. جميع وجوه متوازي السطوح المستطيل هي مستطيلات. تسمى أطوال الحواف غير المتوازية لمتوازي السطوح المستطيل بأبعاده الخطية (الأبعاد). هناك ثلاثة أحجام من هذا القبيل (العرض والارتفاع والطول).

نظرية 13.3. في متوازي الأضلاع المستطيل، مربع أي قطر يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة (تم إثباته بتطبيق فيثاغورس تي مرتين).

يُسمى متوازي السطوح المستطيل الذي تكون جميع أضلاعه متساوية مكعب.

مهام

13.1 كم عدد الأقطار؟ ن-منشور الكربون

13.2 في المنشور الثلاثي المائل، تكون المسافات بين الحواف الجانبية 37، 13، 40. أوجد المسافة بين الحافة الجانبية الأكبر والحافة الجانبية المقابلة.

13.3 يتم رسم مستوى من خلال جانب القاعدة السفلية لمنشور مثلثي منتظم، بحيث يتقاطع الأوجه الجانبية على طول الأجزاء بزاوية بينهما. أوجد زاوية ميل هذا المستوى إلى قاعدة المنشور.

المنشورات المختلفة تختلف عن بعضها البعض. وفي الوقت نفسه، لديهم الكثير من القواسم المشتركة. للعثور على مساحة قاعدة المنشور، سوف تحتاج إلى فهم نوعه.

النظرية العامة

المنشور هو أي متعدد السطوح له شكل متوازي الأضلاع. علاوة على ذلك، يمكن أن تكون قاعدتها أي متعدد السطوح - من المثلث إلى n-gon. علاوة على ذلك، فإن قواعد المنشور تكون دائمًا متساوية مع بعضها البعض. ما لا ينطبق على الوجوه الجانبية هو أنها يمكن أن تختلف بشكل كبير في الحجم.

عند حل المشكلات، لا تتم مواجهة مساحة قاعدة المنشور فقط. وقد يتطلب معرفة السطح الجانبي، أي جميع الوجوه التي ليست قواعد. سيكون السطح الكامل هو اتحاد جميع الوجوه التي تشكل المنشور.

في بعض الأحيان تنطوي المشاكل على الارتفاع. إنه عمودي على القواعد. قطري متعدد السطوح هو الجزء الذي يربط في أزواج أي رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه.

وتجدر الإشارة إلى أن مساحة قاعدة المنشور المستقيم أو المائل لا تعتمد على الزاوية بينهما وبين الوجوه الجانبية. إذا كان لديهم نفس الأرقام على الوجهين العلوي والسفلي، فستكون مساحاتهم متساوية.

منشور ثلاثي

وله في قاعدته شكل ذو ثلاثة رؤوس، أي مثلث. كما تعلمون، يمكن أن يكون مختلفا. إذا كان الأمر كذلك، يكفي أن نتذكر أن مساحتها تتحدد بنصف منتج الساقين.

يبدو التدوين الرياضي كما يلي: S = ½ av.

لمعرفة مساحة القاعدة في منظر عامستكون الصيغ مفيدة: مالك الحزين والذي يتم فيه أخذ نصف الجانب إلى الارتفاع المرسوم عليه.

يجب كتابة الصيغة الأولى على النحو التالي: S = √(ص (ص-أ) (ر-ف) (ر-س)). يحتوي هذا الترميز على نصف المحيط (p)، أي مجموع ثلاثة أضلاع مقسومًا على اثنين.

ثانياً: S = ½ n a*a.

إذا كنت تريد معرفة مساحة قاعدة المنشور الثلاثي، والتي تكون منتظمة، فسيصبح المثلث متساوي الأضلاع. هناك صيغة لذلك: S = ¼ a 2 * √3.

المنشور الرباعي

قاعدتها هي أي من الرباعيات المعروفة. يمكن أن يكون مستطيلًا أو مربعًا أو متوازيًا أو معينًا. في كل حالة، لحساب مساحة قاعدة المنشور، سوف تحتاج إلى الصيغة الخاصة بك.

إذا كانت القاعدة مستطيلة، فتحدد مساحتها كما يلي: S = ab، حيث a، b هما أضلاع المستطيل.

عندما يتعلق الأمر بمنشور رباعي الزوايا، يتم حساب مساحة قاعدة المنشور العادي باستخدام صيغة المربع. لأنه هو الذي يكمن في الأساس. س = أ 2.

في الحالة عندما تكون القاعدة متوازية، ستكون هناك حاجة إلى المساواة التالية: S = a * n a. يحدث أن يتم إعطاء جانب متوازي السطوح وإحدى الزوايا. بعد ذلك، لحساب الارتفاع، ستحتاج إلى استخدام صيغة إضافية: n a = b * sin A. علاوة على ذلك، الزاوية A مجاورة للضلع "b"، والارتفاع n مقابل هذه الزاوية.

إذا كان هناك معين عند قاعدة المنشور، فستحتاج إلى نفس الصيغة المستخدمة في متوازي الأضلاع لتحديد مساحته (لأنه حالة خاصة منه). ولكن يمكنك أيضًا استخدام هذا: S = ½ d 1 d 2. هنا d 1 و d 2 قطران للمعين.

المنشور الخماسي المنتظم

تتضمن هذه الحالة تقسيم المضلع إلى مثلثات يسهل معرفة مساحاتها. على الرغم من أنه يحدث أن الأشكال يمكن أن يكون لها عدد مختلف من القمم.

بما أن قاعدة المنشور عبارة عن شكل خماسي منتظم، فيمكن تقسيمه إلى خمسة مثلثات متساوية الأضلاع. ثم مساحة قاعدة المنشور تساوي مساحة أحد هذه المثلثات (يمكن رؤية الصيغة أعلاه)، مضروبة في خمسة.

المنشور السداسي المنتظم

باستخدام المبدأ الموصوف للمنشور الخماسي، من الممكن تقسيم مسدس القاعدة إلى 6 مثلثات متساوية الأضلاع. صيغة المساحة الأساسية لمثل هذا المنشور مشابهة للصيغة السابقة. فقط يجب ضربها بستة.

ستبدو الصيغة كما يلي: S = 3/2 a 2 * √3.

مهام

رقم 1. إذا كان لدينا خط مستقيم منتظم قطره 22 سم وارتفاع متعدد السطوح 14 سم احسب مساحة قاعدة المنشور وكامل السطح.

حل.قاعدة المنشور مربعة، لكن ضلعها غير معروف. يمكنك معرفة قيمته من قطر المربع (x) المرتبط بقطر المنشور (d) وارتفاعه (h). س 2 = د 2 - ن 2. ومن ناحية أخرى، فإن هذا الجزء "x" هو الوتر في المثلث الذي تساوي أضلاع المربع فيه. أي أن × 2 = أ 2 + أ 2. وبذلك يتبين أن أ 2 = (د 2 - ن 2)/2.

استبدل الرقم 22 بدلًا من d، واستبدل "n" بقيمته - 14، يتبين أن ضلع المربع هو 12 سم، الآن فقط اكتشف مساحة القاعدة: 12 * 12 = 144 سم 2.

لمعرفة مساحة السطح بالكامل، عليك إضافة ضعف مساحة القاعدة ومضاعفة المساحة الجانبية أربع مرات. يمكن العثور على الأخير بسهولة باستخدام صيغة المستطيل: اضرب ارتفاع متعدد السطوح وجانب القاعدة. أي أن 14 و 12 سيكون هذا الرقم مساوياً لـ 168 سم2. وتبلغ المساحة الإجمالية للمنشور 960 سم 2.

إجابة.مساحة قاعدة المنشور 144 سم2 . - المساحة الكاملة 960 سم2 .

رقم 2: عند القاعدة يوجد مثلث طول ضلعه 6 سم، وفي هذه الحالة يكون قطر الوجه الجانبي 10 سم، احسب المساحتين: القاعدة والسطح الجانبي.

حل.وبما أن المنشور منتظم، فإن قاعدته مثلث متساوي الأضلاع. لذلك تصبح مساحتها 6 تربيع مضروبة في ¼ والجذر التربيعي لـ 3. عملية حسابية بسيطة تؤدي إلى النتيجة: 9√3 سم 2. هذه هي مساحة قاعدة واحدة للمنشور.

جميع الوجوه الجانبية متماثلة وهي مستطيلات أضلاعها 6 و 10 سم، ولحساب مساحاتها ما عليك سوى ضرب هذه الأرقام. ثم اضربهم في ثلاثة، لأن المنشور له نفس العدد من الأوجه الجانبية. فتصبح مساحة السطح الجانبي للجرح 180 سم2.

إجابة.المساحات: القاعدة - 9√3 سم 2، السطح الجانبي للمنشور - 180 سم 2.